« ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Клюев, Сергей Васильевич Оптимальное проектирование конструкций башенного типа ...»
высоте, например, в осветительных вышках и при больших продольных силах (водонапорные башни). В этих условиях некоторое несоответствие между очертанием башни и эпюрой изгибающих моментов от ветровой нагрузки несущественно сказывается на повышении металлоемкости конструкций. В то же время изготовление и монтаж призматических башен значительно проще других типов, особенно при габаритных размерах, допускающих перевозку укрупненных отправочных марок.
Пирамидальные башни (рис. 2.2, б) отчасти сохраняют технологические преимущества призматических башен и имеют более удачные показатели по распределению усилий. Однако малая повторяемость элементов приводит к большому количеству типоразмеров элементов.
Башни с переломами граней по высоте (рис. 2.2, в, г) включают призматическую и пирамидальную части. С помощью переломов граней можно обеспечить близкое соответствие между конфигурацией башни и эпюрой изгибающих моментов от ветровой нагрузки, а также повысить архитектурную выразительность сооружения. Однако узлы сопряжения поясов в местах их перелома имеют сложную конструкцию и трудоемки в изготовлении. Обычно предусматривают 1-2 перелома. В телевизионных башнях изменение сечения по высоте достигается не только за счет переломов поясов, но и путем использования двух призматических частей разных размеров. Размеры поперечного сечения верхней призматической части назначают, исходя из условий удобства размещения антенн.
2.4.2. Схемы решеток
Соединительная решетка обеспечивает совместную работу поясов и воспринимает сдвиг от поперечной силы. В этом состоит ее основная роль и этим, главным образом, определяется ее напряженное состояние. Но, кроме того, при обжатии ветвей продольной силой уменьшаются длины
48 панелей, что сопровождается поворотом раскосов и раздвижкой поясов.
Так как распорки препятствуют такой раздвижке, возникают дополнительные напряжения. Их величина и знак зависят от схемы решетки. При рассмотрении вторичных напряжений будем полагать, что элементы решетки соединены с поясами с помощью шарниров.
а б е г д е
JHSKNg
/ / 2S V V S2
/ Y\ КЗ ІЙІ ТЧ Н
Рис. 2.3. Схемы решеток:
а - треугольная; б - треугольная с распорками; в - полураскосная;
г - крестовая; д - ромбическая; е - крестоворомбическая;
Простая треугольная решетка (рис. 2.3, а) работает только на поперечную силу. При обжатии поясов, они могут свободно раздвигаться, поэтому дополнительные напряжения не возникают. При установке распорок (рис. 2.3, б) последние, сдерживая раздвижку ветвей, приводят к их изгибу. Аналогичное явление будет наблюдаться при ромбической решетке (рис. 2.3, д). В крестовой решетке (рис. 2.3, г) раздвижку ветвей сдерживают распорки, непосредственно связанные с раскосами, в связи с чем эффект появления дополнительных напряжений здесь проявляется наиболее сильно, но изгиб ветвей не возникает, дополнительные напряжения приводят к разгрузке поясов, сжатию раскосов и растяжению распорок. При крестоворомбической решетке (рис. 2.3, ё) также будут разгружаться пояса, растягиваться распорки и сжиматься раскосы, но в то же время появится изгиб поясов, который будет весьма малым, так как раздвижке ветвей будут препятствовать в основном распорки. Незначительный изгиб ветвей и распорок будет наблюдаться при полураскосной решетке (рис. 2.3, в). В проектных расчетах принято учитывать только дополнительные напряжения изгиба поясов при треугольной с распорками и
49 ромбической решетках, а также сжатие раскосов и растяжение распорок -
при крестовой схеме. При этом некоторой разгрузкой поясов и растяжением распорок обычно пренебрегают. Обратим внимание, что вторичные напряжения могут возникать только от продольной силы, а при ромбической и крестоворомбической решетках - от продольной силы и изгибающего момента.
Общая характеристика различных схем решеток с учетом отмеченных выше обстоятельств, состоит в следующем. Треугольная решетка наиболее проста в конструктивном исполнении и не чувствительна к обжатию ветвей. Ее основной недостаток - большая свободная длина пояса в пределах панели - становится доминирующим при значительных размерах башни в плане. Треугольная решетка с распорками по сравнению с треугольной имеет в два раза меньшую свободную длину пояса, что позволяет применять ее при больших высотах башни и размерах поперечного сечения. Но, как уже отмечалось, здесь следует считаться с изгибом поясов от их обжатия. Область применения треугольных схем решеток с распорками и без распорок - башни небольшой высоты, например, осветительные вышки, антенные части телевизионных опор и т.п. Малые габариты поперечного сечения позволяют формировать отправочные марки в виде пространственных секций с полной заводской готовностью. Применение треугольной решетки в башнях большой высоты может быть оправдано в условиях повышенной агрессивности среды, когда с целью сокращения количества узлов и соответствующего увеличения свободной длины поясов используют трубы большого диаметра.
Полураскосная решетка по количеству элементов, их расчетным длинам и углам наклона раскосов не отличается от крестоворомбической, что видно при изменении через одну панель направления раскосов на противоположное. При прочих равных условиях в элементах башни с такими решетками будут возникать одинаковые усилия, за исключением дополнительных усилий от обжатия поясов, которые будут отличаться не толь-
50 ко по величине, но и по знаку. Так, в распорках полураскосной решетки,
кроме растяжения, будут возникать напряжения от изгиба. Отсутствие каких-либо существенных преимуществ полураскосной решетки по сравнению с крестоворомбической объясняет более широкое применение последней.
Крестовая решетка по сравнению с треугольной с распорками имеет в два раза больше раскосов, но в отличие от последней позволяет учитывать в работе только растянутые раскосы. Другими словами, при одном направлении ветра включают в работу одни раскосы (восходящие к этому направлению), а при противоположном - другие. Это дает возможность проектировать раскосы из гибких элементов. При использовании предварительного напряжения, сжатые раскосы также можно включить в работу, повышая тем самым жесткость системы. При этом усилия в растянутых раскосах будут суммироваться с усилиями от предварительного напряжения, что не влияет на суммарный экономический эффект. При проектировании крестовой решетки следует учитывать дополнительные напряжения от обжатия поясов.
Ромбическая решетка является геометрически изменяемой, что требует установки дополнительных распорок. Можно ограничиться установкой распорки в верхнем ромбе, но обычно дополнительно устанавливают распорку и в первом снизу ромбе решетки. В последнем случае необходимо учесть дополнительные напряжения от обжатия, которые возникнут на участке между распоркой и фундаментом. Ромбическая схема решетки наиболее распространена в вытяжных башнях.
Крестоворомбическая решетка имеет как преимущества, так и недостатки крестовой и ромбической схем. Хотя недостатки проявляются в большей мере, такая решетка являлась основным типом в телевизионных башнях прошлых лет.
Учитывая указанные выше особенности работы различных схем решеток, выбор того или иного типа нужно производить, исходя из габари-
51 тов сооружения и конкретных условий эксплуатации, изготовления и монтажа [17].
2.5. Конструктивное оформление башен
Конструктивное оформление башен тесно связано с их назначением. Но есть общие черты, присущие всем типам башенных конструкций.
2.5.1. Типы сечений элементов башни
Ветровая нагрузка оказывает преобладающее, а в ряде случаев доминирующее влияние на работу высотных сооружений. Поэтому их конструктивная форма должна быть назначена с учетом максимального снижения ветровых воздействий. Ветровая нагрузка передается на саму башню и на оборудование, связанное с ней, в связи с чем весьма важно учитывать составляющие этой нагрузки. В телевизионных опорах на башне устанавливаются небольшие антенны метрового или дециметрового диапазонов, на которые передается небольшая часть суммарной ветровой нагрузки, а собственный вес их пренебрежимо мал по сравнению с конструкциями башни. В этом случае элементы башни должны иметь хорошие аэродинамические свойства, так как именно они будут определять общие технико-экономические показатели конструкции. Опыт проектирования таких башен высотой 200 м показал, что применение трубчатых профилей позволяет в два и более раза снизить металлоемкость конструкций. В вытяжных башнях, как правило, основная доля ветровой нагрузки возникает от давления ветра на газоотводящии ствол, но и в этом случае использование трубчатых профилей позволяет снизить металлоемкость на 15...20%. При проектировании водонапорных и им подобных башен, когда ветровая нагрузка уже не является определяющей, не имеет смысла уделять особое внимание улучшению аэродинамических показателей элементов башни.
52 Наиболее распространенными типами сечений элементов башни являются круглые трубчатые. Наряду с ними применяют также крестовые или коробчатые профили (рис. 2.4, а, б).
Г
<2 _-ь_ б
Рис. 2.4. Типы сечений элементов башни
Трубчатые элементы включают стандартные бесшовные, электросварные или вальцованные (при диаметрах более 600 мм) труб. Наряду с высокими аэродинамическими показателями, трубчатые профили обладают равноустойчивостью и хорошо работают в агрессивных средах.
Элементы коробчатого сечения включают прокатные уголки или гнутые профили. По аэродинамическим характеристикам, коррозионной стойкости и некоторым другим показателям они существенно уступают трубчатым элементам, но имеют меньшую стоимость. Кроме того, имеющие место в гнутых профилях структурные изменения стали в месте гиба могут отрицательно сказаться на работе конструкций, находящихся в условиях знакопеременных и динамических воздействий. Несколько сдерживает применение коробчатых профилей также необходимость осуществления двух сварных швов по всей длине элемента с последующей правкой его. Область применения гнутых профилей ограничена башнями небольшой высоты, так как сечение гнутого профиля существенно ограничено толщиной листа, применяемого для его изготовления.
Элементы крестового сечения включают прокатные уголки или три сваренных листа. Они также хуже трубчатых сечений по аэродинамиче-
53 ским показателям, имеют пониженную антикоррозионную стойкость из-за
наличия значительного количества внутренних и внешних углов в поперечных сечениях. Но их достаточно широко применяют в башенных конструкциях, главным образом из-за простоты изготовления и относительно низкой стоимости. При этом предпочтение отдают более простым в изготовлении элементам из прокатных уголков, переходя на листы лишь в тех случаях, когда прокатные уголки не могут обеспечить необходимую площадь поперечного сечения.
Сечения элементов диафрагм назначают в зависимости от характера и условий работы элемента. Сжатые и раскрепляющие элементы выполняют обычно того же профиля, что и основные элементы башни, т.е. трубчатого, коробчатого, крестового сечений. Изгибаемые элементы большей частью проектируют из прокатных швеллеров. Если вертикальные нагрузки на диафрагму велики (например, от газоотводящего ствола вытяжной башни), возникает необходимость в использовании прокатных, а иногда и сварных двутавров.
Элементы шпренгелей выполняют, как правило, из однотипных с поясами и решеткой профилей. Шпренгели и связи в нижней части башни выполняют из одиночных прокатных уголков.
2.5.2. Соединения поясов
Заводские соединения поясов выполняют только при помощи сварки. Соединения трубчатых элементов одинакового диаметра производят сваркой встык на подкладном кольце или с помощью парных кольцевых накладок. Элементы разного диаметра соединяют сваркой встык через коническую вставку или путем заводки трубы меньшего диаметра и врезанного в нее креста в трубу большего диаметра. Коническую вставку применяют при соединении труб большого диаметра (800... 1400 мм).
54
Монтажные соединения могут быть фланцевыми, сварными на остающихся подкладных кольцах или встык через врезной крест, с помощью уголковых накладок на высокопрочных болтах. Фланцевое соединение считается достаточно надежным в сопряжении труб диаметром до 400 мм и при растягивающих усилиях, не превышающих 2 МН. Разность диаметров труб в фланцевых соединениях не должна превышать 50 мм.
Заводские и монтажные стыки поясов крестового сечения из прокатных уголков осуществляют при помощи сварки или высокопрочных болтов с помощью уголковых или листовых накладок. Аналогично выполняются монтажные стыки элементов крестового сечения. Заводские стыки элементов крестового сечения осуществляются сваркой встык.
2.5.3. Узлы сопряжения поясов с решеткой
При строительстве башен, особенно телевизионных, широкое применение нашли узловые сопряжения фланцевого типа на болтах (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Фланцевое соединение
Если размер грани призматической башни или ее верхней части укладывается в габариты железнодорожного транспорта, то целесообразна поставка отправочных марок в виде плоских ферм. В этом случае элемен-
55 ты решетки, расположенные в других плоскостях, крепят при монтаже на
болтах. В башнях с ромбической и треугольной схемами решеток примыкание раскосов к поясам можно осуществить с помощью специальных "лап", которые при небольших диаметрах раскосов (до 250 мм) и небольших усилиях в них (до 200 кН) можно приваривать непосредственно к торцевой заглушке с внутренним ребром, а в других случаях заводить в прорезь раскоса. По торцам фасонок приваривают кольцевые ребра, раскрепляющие пояс во избежание потери местной устойчивости и воспринимающие усилия от изгибающего момента в месте расположения продольного шва приварки фасонки к поясу башни, который возникает за счет эксцентриситета между швом и осью узла [17].
Примыкание раскосов к поясам крестового сечения также производят на болтах, проходящих через фасонки, приваренные к поясам на заводе. Заводское крепление фасонок к поясам крестового сечения из прокатных уголков осуществляют обычным способом: фасонку одной грани башни пропускают между уголками пояса, а фасонку смежной грани не доводят до оси и приваривают только к одному из уголков. Если крестовое сечение пояса башни выполнено сварным из листовой стали, то фасонки для крепления раскосов прикрепляют заводскими швами к поясу встык.
2.5.4. Опорные узлы башен
Опорный узел позволяет передать на фундамент продольную и поперечную силы. В зависимости от направления ветра продольная сила может быть сжимающей или растягивающей. Сжимающая сила передается непосредственно через опорную плиту, растягивающая - через анкерные болты. Для передачи поперечной силы предусматриваются упоры, которые обычно устанавливаются в плоскостях двух смежных граней с внешних сторон башни. Они выполняются из заделанных в фундамент швеллеров, соединяемых при монтаже с опорной плитой с помощью пластин.
56
Рис. 2.6. Опорный узел башни
При малых усилиях в опорном узле (до 1000 кН) опорная плита может быть установлена горизонтально с непосредственным креплением к ней анкерных болтов (рис. 2.6). При больших усилиях необходимы устройство анкерных столиков и более четкая передача усилий, что можно обеспечить при установке опорной плиты перпендикулярно оси пояса башни, а анкерных болтов - параллельно ей. Желательно предусмотреть 4 анкерных болта. Если при этом диаметр болтов превысит 90 мм, то следует применить 8 болтов, прикрепив анкерные столики к траверсе в виде врезного креста.
Выводы
- Тип и конфигурация конструкций башенного типа во многом определяются их назначением и действующими нагрузками.
- При директивных габаритах башни варьированию подлежат сечения элементов поясов, топология, геометрия и параметры элементов решетки.
- Типы сечений элементов башни определяются в процессе сопоставления вариантов проекта, исходя из принятого критерия оптимальности.
57 3. ПРОЕКТНЫЕ РАСЧЕТЫ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННЫХ
ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ
Наметившийся в последнее время переход от поверочных расчетов к проектным использует в основном методы оптимизации конструктивных решений. В задачах оптимального проектирования присутствует целевая функция, определяемая как функция переменных параметров проектирования и лежащая в основе выбора конструкции из альтернативных приемлемых решений. Априорный критерий оптимальности, представленный в виде условия максимума или минимума целевой функции, чаще всего имеет экономическую основу типа минимума массы, стоимости. При вариационной постановке задачи оптимального проектирования уравнения Эйле-ра-Лагранжа выражают условие стационарности функционала цели, но не гарантируют его глобального экстремума. В итоге, экстремальная форма, развившаяся на основе осмысления физических процессов, получив относительную самостоятельность в задачах оптимального проектирования, не всегда приводит к ожидаемым результатам [51, 67].
Таким образом, постановка во главу угла проектной задачи экономической стороны часто ведет к выхолащиванию ее физического содержания и, как следствие, к неверным результатам. Не случайно многочисленные решения задач минимизации объема, массы, веса конструкции не привели к созданию стройной теории оптимизации.
Важный этап в развитии проектирования рациональных несущих конструкций - становление конструкционной бионики. Анализ природных форм и структур не только открыл приемы и способы рационализации конструкций, но и наметил ее согласование с принципами механики [23, 83, 84, 87].
58 3.1. Вариационные принципы для прямых задач
Задача вариационного исчисления состоит в отыскании среди множества допустимых функций такой, которая придает исследуемому функционалу стационарное значение [12].
Вариационное исчисление - мощное средство для исследований в области механики. Вариационные принципы, с одной стороны, имеют глубокое теоретическое значение, выявляя энергетическую основу теории и устанавливая связь между различными подходами к решениям задач. С другой стороны, велико их практическое значение, поскольку при наличии выражений для функционалов они позволяют находить дифференциальные уравнения и естественные (не обусловленные внешними обстоятельствами) граничные условия в таких случаях, когда непосредственно это сделать затруднительно. Более того, прямые методы позволяют получить решение вариационной задачи, минуя составление и решение дифференциальных уравнений.
Еще одно преимущество вариационного подхода состоит в том, что можно налагать менее жесткие требования на непрерывность решения, ибо порядок производных в выражении функционала вариационной задачи понижается в два раза по сравнению с дифференциальным уравнением краевой задачи механики. Это достигается вычислением функционала путем интегрирования по частям. Таким образом, расширяется класс функций, при которых вариационная задача имеет смысл. Перечисленные достоинства вариационных принципов объясняют их широкое применение в механике и, в частности, в данной работе.
Вариационные принципы имеют глубокое теоретическое значение, выявляя энергетическую основу теории и устанавливая взаимосвязь между различными подходами к решению задач. Не менее велико и их практическое значение, поскольку при наличии функционалов принятой теории они позволяют находить дифференциальные уравнения и граничные условия в
59 таких случаях, когда непосредственно это сделать затруднительно.
Представляют интерес такие вариационные постановки, которые упрощали бы, а не усложняли решение задачи по сравнению с постановкой в форме дифференциальных уравнений. К ним можно прийти лишь при определенной структуре дифференциальных операторов, входящих в уравнения задачи. Если уравнения или системы уравнений записаны только для одной функции или одного тензора, то для вывода их из вариационного принципа при произвольных вариациях функции или тензора необходима и достаточна формальная симметрия оператора. Если же в систему уравнений входит несколько тензоров или функций, то для их получения из вариационного принципа необходимо и достаточно, чтобы операторы, входящие в различные группы уравнений, были формально сопряженными.
Общие решения уравнений равновесия и уравнений совместности деформаций содержат операторы Вт и Ат, которые являются формально сопряженными операторам В и А, входящим соответственно в уравнения совместности деформаций и уравнения равновесия, что позволяет перейти от постановки задачи в форме дифференциальных уравнений к вариационной постановке. Таким образом, за всей рассматриваемой совокупностью уравнений и зависимостей скрывается вариационный принцип, содержащий в себе смысл этого комплекса уравнений и граничных условий.
Единство физических форм движения материи выражается общефизическим принципом, дающим возможность вывести из него частные законы. Им является принцип стационарного действия [23, 84, 87]. Особенность, различие форм движения материи выражается в специальном подборе (на основе обобщения опытных данных) функции Лагранжа, имеющей энергетический смысл и входящей в выражение интеграла по времени, называемое действием.
В частном случае однородности времени лагранжева функция замкнутой системы (а также системы, находящейся в не связанном со временем внешнем поле) не зависит явно от времени. При этом энергия системы
60 имеет стационарное собственное значение.
Воздействие на деформируемое тело внешней среды состоит в том, что к нему подводится некоторая энергия (механическая Т и немеханическая Р), которая затрачивается на увеличение кинетической К и потенциальной П энергии тела. Уравнение закона сохранения (стационарности собственного значения) энергии в общем случае представим в следующей форме:
dT + dP = dK + dU, (3.1)
где йГГ, dP, Ж., dn. - изменение указанных энергий за бесконечно малый отрезок времени.
Если процесс таков, что к телу подводится только механическая энергия, кинетическая энергия не возникает и энергия П равна потенциальной энергии деформации U, то равенство принимает вид
dU-dl = 0, (3.2)
или
8С/-5Т = 0, (3.3)
где 8U и 5Т - вариации функционалов U и Т. Уравнение справедливо при отвечающих действительности приращениях параметров, от которых зависят U и Т. Его можно рассматривать как математическое выражение принципа возможной работы для деформируемых тел.
Приращения величин Uu T зависят от приращений ряда параметров: 1 Перемещений, 2)внутренних сил, 3)конфигурации тела, 4)модулей материала, 5)нагрузки. Влияние первых двух факторов учтено при формулировке принципа возможных перемещений и принципа возможных изменения напряженного состояния, используемых для анализа напряженно-деформированного состояния конструкций.
61
3.2. Вариационные принципы для проектных задач. Проектные критерии
Полный функционал прямой задачи имеет в качестве уравнений Эйлера - Лагранжа и естественных граничных условий уравнения и граничные условия теории деформирования. Функционал проектной задачи связан с дополнительными уравнениями, свидетельствующими о зависимости изменения энергии системы от изменения конфигурации, модулей упругости материала тела и расположения нагрузки.
Частный функционал проектной задачи можно получить из общего, рассматривая некоторые уравнения Эйлера - Лагранжа и естественные граничные условия полного функционала как дополнительные условия, если это не противоречит постановке задачи. В большинстве случаев остается неизвестным напряженно-деформированное состояние. Поэтому постановки задач структурного синтеза следует связывать с обобщением известных вариационных принципов теории упругости.
В общем случае, в проектных задачах стационарность функционала по варьируемым параметрам рассматривается при дополнительных условиях (в форме уравнений связи), накладываемых на искомые функции ф, в числе которых - функции напряженно-деформированного состояния, конфигурации (фс), модулей упругости материала (фт), нагрузки (^):
ф(?) = 0, (3.4)
т\ф\і(і) = с, (3.5)
(У
где со - допустимая область интегрирования, с - заданная постоянная.
Эти условия отражают геометрические и конструктивные ограничения, а также ограничения на нагрузку и поведение конструкции. Они имеют вид алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений.
Вариационная задача с дополнительными условиями приводится к
62 свободной задаче с помощью метода множителей Лагранжа. Если за основу взять функционал принципа возможных перемещений (функционал Лагранжа), то вспомогательный функционал будет иметь вид
/=|{й[е(5),^ -qTp)dV-jqT~psdS+fkydV, (3.6)
и - удельная потенциальная энергия деформации; q - вектор перемещений; є - вектор деформаций; р - вектор объемных сил; ps - вектор распределения нагрузки по части поверхности Sl; V - объем тела; X - вектор множителей Лагранжа.
Возможными вариациями функций конфигурации и модулей упругости материала будут бесконечно малые изменения функций, удовлетворяющие директивным требованиям к конструкции и материалу; они непрерывны и удовлетворяют требованиям дифференцируемости. Вследствие малости вариаций функций, определяющих конфигурацию, пренебрегаем изменениями в расположении внешних сил относительно отдельных частей тела.
Следствием стационарности функционала / являются: а) уравнения равновесия в объеме тела V и на части поверхности 5,; б) уравнения связи; в) уравнения структурного синтеза, обусловливающие критерий рациональности конструкции.
Если за основу взять функционал принципа возможных изменений
напряженного состояния (функционал Кастильяно), то при 5р = 0, є V; bps = О, є, вспомогательный функционал будет иметь вид
/= fu(a)dV- jqTA85dS+ fiydV, (3.7)
V S2 V
-* _ ~т
где и - удельная дополнительная энергия; а - вектор напряжений; q -
вектор перемещений на части поверхности S2; А - оператор граничных
условий в напряжениях.
63
Следствием стационарности функционала (3.7) являются: а) решение
уравнений совместности деформаций как уравнения Эйлера - Лагранжа вариационной задачи; б) кинематические условия на части поверхности S2
как естественные граничные условия; в) уравнения структурного синтеза, обусловливающие критерий рациональности конструкции.
Потенциальная энергия системы в положении устойчивого равновесия достигает абсолютного минимума по перемещениям в функциональном пространстве, расширенном за счет полей функций конфигурации и (или) модулей упругости материала. Это происходит в момент приобретения несущей конструкцией максимальных жесткостных показателей, так что в точке стационарности функционал имеет минимакс - минимум по функциям перемещений максимумов по функциям конфигурации и (или) модулей упругости материала.
Энергетический критерий использовал В. Хорак [119] при решении изопериметрических задач по определению конфигурации. Распространение его на все типы проектных задач дано в работах [79 - 81, 85 - 91].
Следует заметить, что первичным этапом научного поиска в области проектирования рациональных несущих конструкций явилось направление, известное как оптимальное проектирование. Присущая ему первоначальная постановка проектной задачи с сугубо экономическим критерием (минимум объема, массы, стоимости и т.п.) при определенном выхолащивании физического содержания выходит за рамки механики деформируемого твердого тела. Как следствие, не обеспечивается гарантия достижения глобального экстремума функционала цели ввиду возможного отсутствия у него свойства выпуклости.
Достаточное условие для его достижения может дать лишь введение энергетического начала в процедуру оптимального проектирования, что следует из двойственности постановки задач на условный экстремум с интегральными связями [93]. Так, целью изопериметрическои задачи формообразования является расположение материала заданного объема V0 таким образом, чтобы доставить абсолютный (глобальный) минимум
64 образом, чтобы доставить абсолютный (глобальный) минимум функционалу потенциальной энергии системы, зависящей от векторов функций перемещений q и конфигурации фс. При этом функционал свободной вариационной задачи (на основе функционала Лагранжа /) имеет вид
(3.8)
/,=/(дД)+Иі[У(^)-г0
где ц, - множитель Лагранжа, имеющий постоянное значение.
В то же время можно задать величину потенциальной энергии системы 10 и определять конфигурацию из условия, чтобы функционал объема У\ФС) достиг стационарного значения. В этом случае функционал свободной вариационной задачи получает вид
В силу двойственности постановки задачи имеем соотношение \і2 =1/ц,. Следовательно,
К=\і2\і[д,фс)-І0 + \іїУ{фс)
(3.10)
и мы по существу приходим к предыдущей задаче о глобальном минимуме /,. Исключение составляют случаи ц, = 0 и ц2 = 0, имеющие характер вырождения решения. Решения рассмотренных задач совпадают с точностью до постоянного множителя ц.
Таким образом, постановка задачи минимизации объема строго согласуется с общефизическим принципом стационарного действия лишь в отдельных случаях, подобных рассмотренному выше.
В частном случае конструкция может быть равнонапряженной по всему объему, и тогда, по теореме Васютинского для линейно-упругого тела, ей соответствует минимум потенциальной энергии деформации. Так как последняя пропорциональна объему тела, то в качестве критерия рациональности здесь может выступать минимум объема.
65 Что касается используемой в качестве проектного критерия равно-
напряженности, то в строгом смысле она не всегда достижима. Равнонап-ряженность не предполагает существования какого-либо функционала, и в этом случае проектным задачам не свойственна двойственность постановки. Согласование с энергетическим критерием возможно лишь в частных случаях постоянства удельной потенциальной энергии деформации в пределах поверхности тела или его объема. В последнем случае оба критерия вместе с критерием минимума объема приводят к одинаковым результатам.
Принцип стационарного действия в природных конструкциях наиболее четко прослеживается на клеточном уровне. В 1970 г. канадский ученый П. Кенхэм подверг анализу семейство возможных форм эритроцитов. Оказалось, что наименьшей потенциальной энергией деформации (/) обладает элемент в виде дискоцита, форму которого и имеет эритроцит в состоянии покоя. Минимум U свидетельствует в то же время о минимуме потенциальной энергии системы, что в свою очередь является выражением принципа стационарного действия при устойчивом равновесии.
Проектный расчет в общем случае можно построить в форме итерационного процесса, в основу которого положен аналитический расчет и корректировка параметров. Однако, может случиться, что сходимость данного процесса потребует большого числа циклов. Предпринимаемый для выхода из этого положения анализ чувствительности для инженеров-проектировщиков имеет сложную форму. Поэтому в настоящее время, в особенности при большом числе варьируемых параметров, предлагаются новые подходы к оптимизации конструкций, основанные на аналогиях с эволюцией природных систем и организмов. Это так называемые эволюционные и генетические алгоритмы.
66
3.3. Проектная задача для стержневой системы
Проектная задача, как правило, решается при дополнительных условиях, которые накладывают ограничения на искомые параметры.
Изопериметрическая задача формообразования конструкции из однородного материала решается при заданном объеме V0. Обобщенный функционал Кастильяно для стержневой системы имеет вид:
\
^ N}1
(3.11)
где N; - продольное усилие в / - м стержне; п - число стержней; /,. и Д. -длина и площадь поперечного сечения /-го стержня соответственно; Е-модуль продольной упругости; ц, - множитель Лагранжа.
Следствием стационарности функционала являются т уравнений совместности деформаций (т - число лишних связей)
dIJdNm=0, (3.12)
уравнение объема
ІД/,-^0 (3.13)
ы
и г уравнений структурообразования (г - число варьируемых параметров); в частности, при варьировании углов а,., определяющих геометрию конструкции, имеем
dljda,=0. (3.14)
При варьировании площадей сечений растянутых стержней получаем
#/2/(2ЕД2) = ц,(= const). (3.15)
В системах со сжатыми стержнями необходимо выполнение условия безопасной устойчивости. Это эквивалентно введению виртуального состояния с внутренними силами Nil^i для сжатых стержней (ф,- коэффициент уменьшения расчетного сопротивления). Таким образом, по анало-
67 гии с формулой (3.15) получаем уравнение
Nf /(2E<tfAf) = Ц, = (const). (3.16)
В качестве примера рассмотрим проектирование четырехстержневой пространственной системы (рис. 3.1). Определим угол а и площади поперечных сечений стержней 1, 2 и 3. На основе предварительного анализа можно предположить, что стержень 1 растянут, а стержни 2 и 3 сжаты.
F 45°
Рис. 3.1. Четырехстержневая пространственная система
Приняв во внимание знаки усилий, находим Nx iV3,
sin a
N2 = —j=(Fctga - 2N3 cos а) и записываем функционал (3.11) в виде л/2
(p3/J3cosa
'.=
_1_ 2Е
(F/sma-Nrfl 2(Fctga-2N3cosa)2lyf2 N]l
^cosa cp2A2
+
>
A]-!— + 2A2l42 + Ai— V0
cos a )
+Иі
(3.17)
V cos a
Из условия стационарности функционала (3.17) вытекают 6 уравнений типа (3.12), (3.13), (3.14), (3.15), (3.16):
-(F - N3 s'ma)<p22(p23A2A3 - 2V2(Fctga - 2N3 cosa)q>34^3sinacosa+
+N^22AlA2sma = 0; (3.18)
Al + 2<j2AJ cos a + Ad - VQ cos a = 0; (3.19)
_1_
IE
68
2.
2(F/sina-N3)F(-cosa/sin cOcosoH^F/sina-A^) sin a
A, cos2 a
+
4V2(Fctga - 2N3 cosa)(-F/sin2 a + 2N3 sin a) N2 sin a
Ф2Ч
Ф3Л3 cos2 a
+ц,(Л, + ^3)(sina/cos2a) = 0;
+ Ц, = 0;
(F/sma-NJ2 2EA?
+ щ=0;
(Fctga-2iV3cosa)2
ж
з
2 л 2
2Ф24
+ ц,=0.
+
(3.20) (3.21)
(3.22)
(3.23)
Решение системы уравнений (3.18) - (3.23) позволяет найти несколько сочетаний параметров a, A\, Aj и A3, которые удовлетворяют условию стационарности функционала (3.17), но лишь один вариант определяет рациональный проект, что выявляется в процессе отбора. Целью отбора является выявление в семействах решений такого сочетания параметров, которое отвечает минимальной энергии деформации.
Может случиться, что среди полученных сочетаний параметров есть такие, которые противоречат предварительно принятым знакам усилий. Это влечет за собой необоснованное введение или отсутствие ф в формуле
(3.17). Корректировка системы уравнений типа (3.18) - (3.23) приводит к новому семейству решений и т.д. Разработана программа проектного расчета (приложение 1).
При ЫЪм, F = 20 кН, V0 = 0,00144 м\ Е = 2Л05МПа и ф2=ф3=0,65 рациональный проект содержит следующие величины: а=\,П рад; Ах =0,0001014 м2; А2 = 0,0000705 м2; А3 = 0,0000233 ж2; N3 = 4,66kH.
Вычисляем модули усилий в стержнях 1 и 2:
69
F 20
sin a
Nx=- #3=^^-4,66 = 17,66 кЯ,
0,896
(3.24)
N2=-^(Fctga-2N3cosa) = -U(20- 0,497 -2-4,66-0,445) = 1,87 кЯ.(3.25)
При этом напряжения равны:
a, = N{ IA{ =(17,66/0,0001014)• 10"3 МПа = 174,16 МПа; (3.26)
02 = N2 /A2= -(1,17/0,0000705)- 10~3 МПа = -16,6 МПа; (3.27)
03 = N3/A3 =-(4,66/0,0000233) \0'3 МПа = -200 МПа. (3.28)
В табл. 3.1 приведены величины объема материала и потенциальной
энергии деформации U для четырех значений a.
Таблица 3.1 Зависимость объема материала и потенциальной энергии
деформации от угла a
| a | V, мь | СЛДж |
| 30 | 0,0027 | 179,2 |
| 45 | 0,00175 | 84 |
| 61,5 | 0,00144 | 76,9 |
| 75 | 0,00188 | 109,7 |
Как видно из табл. 3.1, при a = 61,5° получено оптимальное решение для заданного функционального пространства. Оно отвечает минимальному расходу материала и минимальной потенциальной энергии деформации. Можно также сказать, что оптимальный вариант фермы является конструкцией наибольшей жесткости, поскольку ему соответствуют минимальные перемещения и минимальная работа внешних сил.
Уместно заметить, что проблеме безопасной устойчивости стержней ферм на уровне их оптимального проектирования не уделялось должного внимания. Часто встречающаяся в литературе теорема Леви [70] сформулирована без учета потери устойчивости стрежней. Теория Максвелла -
70 Мичелла и ее развитие не получили большого практического применения
при проектировании ферм главным образом из-за того, что конструкции обнаруживают неудовлетворительное поведение в отношении устойчивости равновесия.
Исходя из величин напряжений и принятого модуля продольной упругости подбираем материал с необходимой прочностью.
Соответствующую прочность можно обеспечить выбором материала, в виде стали С 235, для которой предел текучести составляет 225 МПа.
Проектный расчет завершается вычислением размеров поперечных сечений стержней. Для растянутых стержней они определяются непосредственно из формулы, связывающей площадь и параметры сечения.
Для сжатых стержней, кроме этой формулы, привлекается формула, связывающая радиус инерции и параметры сечения. Проведем эти вычисления для стержня 3, предположив для него трубчатое сечение с нарулшым диаметром de и внутренним диаметром dt. Вычислим радиус инерции:
i = WK (3.29)
где и, - коэффициент приведенной длины, который в данном случае равен
1; X - гибкость стержня.
При принятом коэффициенте ф = 0,65 для избранного материала
Х=92, что больше критической величины (А, = 93,б), соответствующей линейно-упругой деформации. Следовательно, / = (300/0,445)/92 = 7,32 см. Таким образом, для определения de и d( имеем два уравнения:
^(d*-df) = 0,233; (3.30)
-^d*+df =7,32. (3.31)
В результате решения системы уравнений получаем величины диаметров: de = 20,8 см, dt = 20,4 см.
71 3.4. Пример проектирования многостержневой
пространственной фермы
3.4.1. Расчет внутренне статически неопределимой пространственной фермы
Рассмотрим внутренне статически неопределимую пространственную ферму (рис. 3.2). С целью выявления знаков внутренних усилий в первом приближении произведем ее расчет [30].
Рис. 3.2. Статически неопределимая пространственная ферма
Ферма имеет 12 узлов, 25 стержней и 12 опорных стержней. 12 узлов имеют 36 степеней свободы, которые ограничиваются 37 связями. Таким образом, ферма имеет одну лишнюю связь.
Проведем дополнительный анализ геометрической структуры фермы. Узел 6 связан с шарнирными неподвижными опорами 1, 2, 3 тремя стержнями, не лежащими в одной плоскости. Подобным же образом узел 8 связан с опорами 1, 3, 4, узел 5-е опорой 1 и неподвижными точками 6, 8 и т.д. Узлы 9, 10, 11 и 12 как принадлежащие одновременно двум неизменяемым четырехугольникам, не лежащим в одной плоскости и примыкающим к неподвижной нижней части фермы, являются неподвижными. Таким образом, ферма неизменяема.
72 Найдем длины стержней и косинусы углов, образуемых стержнями и
координатными осями. По условию известно: /,_5 =/2_б =/4_8 = 1,050 л/,
h-ь = h-i = h-% = h-% ~2'^°0 м, /9_10 = /9_]2 = /10_п = /п_12 = 1,000 м.
Проводим дополнительные построения. Находим высоту в треугольнике 8-11-7, обозначив ее 11 - В:
Ai-d = ^п-д+'д-в = л/05742+0,52 = 0,893 м. Определяем длины остальных стержней: '7-и = 4-12 = h-9 = U = Фп-в+ІІв = V0,8932 + 0,52 = 1,024 м.
V..= 4-12= h-9 =Vio = V/n-B+tB = >/0,8932+1,52 =1,746 м,
h-s = h-г = h-e = h-ь = Фіз+ts = Л052+2,02 = 2,259 м. Обозначим углы, образуемые стержнями и координатными осями: а - относительно оси х, Р - относительно оси у, у - относительно оси z.
Для стержня 8- 12: а - это^С-8-12, р - это Z А-8-12, (при этом ZC-8-12 = ZA-8-12), у - это/0-8-12.
Таким образом, для стержней 5-9, 6-10, 7-11,8-12 получаем косинусы углов:
cosa = cosp=-^- = 0,488,cosY=-5^i = 0,723.
к 1,024 1,024
Для стержня 8 - 11: a - это Z С —8 — 11, Р - это Z В-8-11,
у - 3TOZ8-11-D.
Для стержней 8 - 11 и 6 - 9 получаем косинусы углов:
cosa=-5^- = 0,286,cosp= -^- = 0,859, cosy =-^- = 0,424.
1,746 1,746 1,746
Для стержня 5 - 12: a - это Z С-5-12, р - это Z Е-5-12, у - это Z 5-12-0.
Таким образом, для стержней 5 - 12 и 7 - 10 получаем косинусы углов:
73
cosa=-^- = 0,859, cos6= -^- = 0,286, cos у =-^^ = 0,424.
1,746 1,746 1,746
Для стержня 3 - 8: a = 90°, p - это Z 7-8-3, у - это Z 3-8-4.
Для стержней 3 - 8 и 1 - 6 получаем косинусы углов:
cos a = 0, cos В = -Ш- = 0,885, cos у =Jb21_ = о,465.
2,259 2,259
Для стержней 1 - 8 и 3 - 6 получаем косинусы углов:
2,259
cos a = ' = 0,885, cos р = 0, cos у = „'„_ = 0,465.
2,259
1,0 м
Рис. 3.3. Основная система и лишнее неизвестное
Основная система метода сил образована путем исключения диагонального стержня 2-5. Вместо него введена сила Хх (рис. 3.3).
Каноническое уравнение имеет вид
ЬиХ1+А^ = 0, (3.32)
где 8П - перемещение по направлению силы X, от Хх = \; AlF - перемещения по направлению силы Хх от внешней нагрузки.
Определеляем усилия в статически определимой ферме от силы F = 60 кН. Начало координат поместим в узле 10. Длины стержней и абсолютные значения косинусов углов даны в табл. 3.2. Последние используются при определении усилий в стержнях методом вырезания узлов.
74
Таблица 3.2
Геометрические характеристики стержней и внутренние усилия
| Наименование стержней | Длина, м | cos a | cosp | cosy | Усилие | |
| обозн. | величина, кН | |||||
| 9-10 | 1,000 | 0 | 1 | 0 | 0, | 0 |
| 9-12 | 1,000 | 1 | 0 | 0 | о2 | 0 |
| 11-12 | 1,000 | 0 | 1 | 0 | 0з | 0 |
| 10-11 | 1,000 | 1 | 0 | 0 | о4 | 0 |
| 5-6 | 2,000 | 0 | 1 | 0 | о5 | 0 |
| 5-8 | 2,000 | 1 | 0 | 0 | о* | 0 |
| 7-8 | 2,000 | 0 | 1 | 0 | о7 | -15,03 |
| 6-7 | 2,000 | 1 | 0 | 0 | о8 | -15,03 |
| 6-10 | 1,024 | 0,488 | 0,488 | 0,724 | 5, | 0 |
| 5-9 | 1,024 | 0,488 | 0,488 | 0,724 | $2 | 0 |
| 8-12 | 1,024 | 0,488 | 0,488 | 0,724 | s3 | 0 |
| 7-11 | 1,024 | 0,488 | 0,488 | 0,724 | st | 30,79 |
| 2-6 | 1,050 | 0 | 0 | 1 | s5 | -7,90 |
| 1-5 | 1,050 | 0 | 0 | 1 | s6 | 0 |
| 4-8 | 1,050 | 0 | 0 | 1 | S7 | -61,62 |
| 3-7 | 1,050 | 0 | 0 | 1 | ss | 22,29 |
| 7-10 | 1,746 | 0,859 | 0,287 | 0,424 | T, | 0 |
| 6-9 | 1,746 | 0,287 | 0,859 | 0,424 | Тг | 0 |
| 5-12 | 1,746 | 0,859 | 0,287 | 0,424 | T, | 0 |
| 8-11 | 1,746 | 0,287 | 0,859 | 0,424 | Ъ | -52,36 |
| 1-6 | 2,259 | 0 | 0,885 | 0,465 | T, | 0 |
| 3-6 | 2,259 | 0,885 | 0 | 0,465 | T6 | 16,98 |
| 1-8 | 2,259 | 0,885 | 0 | 0,465 | Ту | 16,98 |
| 3-8 | 2,259 | 0 | 0,885 | 0,465 | Tt | 67,80 |
Рассматривая последовательно узлы 11, 10, 9, 12, 5 и 6, на основе известных теорем устанавливаем, что усилия в 04, 0,, S,, 7J, 02, S2, Т2, 03, 3, Т3, 05, 06, S6, Т5 равны нулю.
75 Для определения усилий в остальных стержнях вырезаем последовательно узлы 11, 7, 8, и 6 и записываем уравнения равновесия: Х = 0,
7 = 0, Z = 0.
Узел 11
Узел 7
Г4- 0,287 + S4- 0,488 = 0;
Г4-0,859-5'4-0,488 + 60 = 0;
S4 = 30,79 кН; Т4=-52,36 кН.
-08-30,79-0,488 = 0; 08 = -15,03 кН; 07+30,79-0,488 = 0; 07 =-15,03 кН; -Л+30,79-0,724 = 0; S„ =22,29 кН.
Узел 8
-7/7 -0,885 + 52,36-0,287 = 0; Т1 = 16,98 кЯ;
-7/8-0,885+ 52,36-0,859+ 15,03 = 0; 7/8= 67,80 кЯ;
-Г7 -0,465 + Г8-0,465-5*7-1-52,36- 0,424 = 0; 5", =-61,62 кЯ.
Узел 6
15,03+ Г6-0,885 = 0; Т6 =16,98 кЯ;
-S5 -16,98-0,465 = 0; S5 =-7,90 кН.
Найденные усилия внесены в табл. 3.2.
Определим усилия в ферме (рис. 3.3) от силы X, =1. Усилия возникают лишь в одной грани нижней части фермы: 06 =-0,885; Ss = -0,465; S6 =-0,465; Т5 =1. Вычисляем перемещения, принимая жесткость ЕА постоянной:
5П=У^^ = —(0,8852-2 + 0,4652-1,05-2 + 12-2,259-2) = ^^; (3.33)
11 ^ ЕА ЕА{ > ЕА
A.f=S— = — (-7,9)-(-0,465)-1,05 = ^^. (3.34)
lF ^ ЕА ЕАУ } К ' ЕА
Таким образом,
76
Xl = -^- = -0,59 кН. (3.35)
5n
Вычисляем усилия в стержнях грани нижней части фермы:
06=-0,52к#; S5 =-7,9 + 0,27 = -7,53 кН; S6= 0,27кН; Т5=-0,59кН.
Производим кинематическую проверку:
Л, = —[0,52 - (-0,885) • 2 - 7,53 • (-0,465) -1,05 + 0,27 • (0,465) 1,05 - 0,59 • 1 • 2,259 • 2] =
= —(-0,91 + 3,68-0,12-2,65) = 0, (3.36)
ЕА
которая свидетельствует о правильности решения статически неопределимой задачи.
3.4.2. Проектная задача
Остановимся на изопериметрической задаче формообразования конструкции из однородного материала при заданной величине потенциальной энергии системы. В этом случае функционал имеет вид
п ( п дг2? N
r=l4i+fc Ійт-'о • (3-37)
Следствием стационарности функционала являются m уравнений совместности деформаций (m - число лишних связей)
dV/8Nm = 0, (3.38)
уравнение энергии
и г уравнений структурообразования (г - число варьируемых параметров). При варьировании площадей сечений растянутых стержней получаем
1-ц2-^ = 0, (3.40)
что соответствует уравнению (3.15).
77 При варьировании площадей сечений сжатых стержней получаем
уравнение (3.16).
Рассмотрим проектную задачу для фермы, показанной на рис. 3.2.
Лишним неизвестным будем считать усилие Г9 в стержне 2-5 (рис. 3.4).
Рис. 3.4. Основная система
Используя табл. 3.2. записываем и усилия от Хх = 1, находим: О6=-0,885Г9; 07 = О8 = -15,03 кН; S4 =30,79 кН; S5 =-7,9-0,465Г9; S6=-0,4657/9; S7 =-61,62 кН; S& = 22,29 кН; Т4= -52,36 кН; Т5 = Т9; Т6 = Т7 = 16,98 кН; Т% = 67,8 кН.
Площади поперечных сечений растянутых стержней определяем по формуле
д. А
N
(3.41)
где R - расчетное сопротивление.
Площади поперечных сечений сжатых стержней определяем по фор-
муле
(3.42)
Функционал (3.37) получает вид
78 v=0^.2+2Wm2+Wmim+7,9-0,WT9^
фЛ, <?Ry Ry <?Ry 4>Ry
+^.І505 + ^^.1,05 + ^^-1,746 + ^-.2,259 + ^^.2,259 +
фД„ л, <рД, ф*„ *,
— •2,259 + ^(0,885Г9ф^ + 2-15,03ф^+ 30,79^-0,512 +
+(7,9 - 0,465Г9)фі?у-0,525+ 0,465ф^-0,525 +61,62фі?^ 0,525 +
+22,29/?, -0,525 + 52,36-0,873 + Г9ф^-2,259 + 16,98л, -2,259 +
67,8^-1,13 -10Е). (3.43)
Уравнение (3.38) записываем в виде
177_0^8 + 41518+^/0?8 85фЛ 0)2 44<рЛ +2,2 59фЛ„) = 0, (3.44) фЛ фЛ q>Ry Ек
или
2 + ^ = 0, (3.45)
ФДУ
откуда
Н2=-^ЁГ- С3-46)
2Е
фЧ
Величина /0, соответствующая статически определимой ферме, равна
1'0 =-(0,885ф^ + 30,06фД, + 15,764^ + 4,14фДу + 0,244фДу + 32,35фД, +
Hi
+11,70Д,+45,71фД,+38,357/?,,+ 76,614фД,), (3.47)
или
Ґ0 = -(142,435^ + 112,504ф^). (3.48)
Hi
Принимаем I0 = —(і50Лу +115ф/гД Е
Уравнение (3.39) принимает вид
79 2,9Г9фД, +30,06ф/?у + 15,764/?, + 4,14ф^ + 0,244yRy + 32,35<?Ry +
+1\,702Ry + 45,7Іф^ +38,358^ + 16,6\4<?Ry = 150^ + 115ф^, (3.49)
или
2,9Г9ф^ +142,435^ +1\2,5Q4yRy = 150^ +115ф^. (3.50)
Таким образом,
f26 ^
^+0,86
Т =
кН. (3.50)
v ф ;
Переходим к составлению уравнений (2.40):
?F (О 8857" Г
для стержня 5-8 1- 2р2\'_.2У = °> (3-51)
Ф R 2ЕА[(р
u.IE (7,9 + 0,465Г9)2
для стержня 2-6 1 —j-5-і =0, (3.52)
Ф /г 2Л2ф
для стержня 1-5
^(МбЗТ^о, (3.53)
2 Т
для стержня 1-6 1—т—г—^-"7 = 0, (3.54)
Ф Ry 2EAA
откуда
А{ =^, (3.55)
Ф'Д
у
А2= г- S (3.56)
ф'Д
.у
7,9 + 0,465_Г9
4=<Ж (3.57)
Ф^
Л=^г- (3-58)
В табл. 3.3 представлены усилия и площади поперечных сечений, при Ry = 260 МПа (сталь С390) и ф=0,6. Для стержней с нулевыми усилиями
площади сечений принимаются по конструктивным соображениям.
80
Таблица 3.3
Внутренние усилия и площади поперечных сечений стержней
| Наименование стержней | Длина, м | Усилие | Площадь сечения см2 | |
| обозн. | величина, кН | |||
| 9-10 | 1,000 | о, | 0 | |
| 9-12 | 1,000 | о2 | 0 | |
| 11-12 | 1,000 | 03 | 0 | |
| 10-11 | 1,000 | о4 | 0 | |
| 5-6 | 2,000 | о5 | 0 | |
| 5-8 | 2,000 | о6 | -5,867 | 3,762 |
| 7-8 | 2,000 | о7 | -15,03 | 9,635 |
| 6-7 | 2,000 | о8 | -15,03 | 9,635 |
| 6-10 | 1,024 | 5, | 0 | |
| 5-9 | 1,024 | s2 | 0 | |
| 8-12 | 1,024 | s, | 0 | |
| 7-11 | 1,024 | s4 | 30,79 | 11,842 |
| 2-6 | 1,050 | s> | -10,314 | 6,117 |
| 1-5 | 1,050 | s6 | -2,415 | 1,548 |
| 4-8 | 1,050 | Si | -61,62 | 39,5 |
| 3-7 | 1,050 | s* | 22,29 | 8,573 |
| 7-10 | 1,746 | Ti | 0 | |
| 6-9 | 1,746 | т2 | 0 | |
| 5-12 | 1,746 | T, | 0 | |
| 8-11 | 1,746 | TA | -52,36 | 33,564 |
| 1-6 | 2,259 | T> | 5,193 | 1,997 |
| 3-6 | 2,259 | т6 | 16,98 | 6,531 |
| 1-8 | 2,259 | ъ | 16,98 | 6,531 |
| 3-8 | 2,259 | Тг | 67,80 | 26,077 |
| 2-5 | 2,259 | т9 | 5,193 | 1,997 |
Полученный оптимальный вариант конструкции башенного типа обладает наибольшей жесткостью, ему соответствуют минимальные перемещения.
81 При большем количестве лишних неизвестных отличие решения состоит в составлении системы уравнений для их определения, которая носит линейный характер.
Выводы
- Рассмотрение проблем анализа и синтеза строительных конструкций основывается на методологическом единстве методов их решения, основой для которой являются вариационные принципы строительной механики.
- Энергетический критерий оптимальности, выявленный при вариационной постановке изопериметрической задачи структурного синтеза, является основополагающим критерием качества конструкции.
- Критерий минимума объема имеет обоснованные лишь при возможности двойственной постановки проектной задачи и дополнительном условии, имеющем энергетическую основу.
- Использование энергетического критерия и критерия минимума объема для оптимального проектирования стержневой конструкции башенного типа сводится к решению систем алгебраических уравнений, определяющему глобальный экстремум целевой функции.
5. Вариационная постановка задачи позволяет решать проблему
безопасной устойчивости сжатых стержней на уровне оптимального про
екта.
82
4. ОПТИМИЗАЦИЯ СТАТИЧЕСКИ НАГРУЖЕННЫХ БАШЕН НА ОСНОВЕ ЭВОЛЮЦИОННОЙ СТРАТЕГИИ
В 1963 г. Рехенберг и Швефель использовали первые формы эволюционной стратегии в качестве экспериментального метода оптимизации. С тех пор этот прогрессивный способ интенсивно развивается и нашел применение во многих областях. Представление об этом дает работа [94], в которой Бэк, Хоффмайстер и Швефель представляют проекты, выполненные с использованием эволюционной стратегии.
Основная идея эволюционных алгоритмов, непосредственно связанных с эволюционной стратегией и эволюционным программированием, есть представление процесса таким, каким он видится в биологической эволюции живого существа. Фактически представление весьма сложных процессов в биологии сильно упрощается, но несмотря на это дает возможность решить сложные задачи, с которыми не справляются дедуктивные методы [14, 33,34, 35, 82. 92].
Долгое время использование этого способа ограничивалось весьма высокими требованиями к выполнению работ. Другая причина высказана Швефелем и Рудольфом [141]: «Люди любят знать наперед, каким путем будет найдено с гарантией (точное) решение и сколько необходимо произвести итерационных циклов, чтобы достичь цели. Эти часто встречающиеся проблемы скорее касаются способности разрешающих алгоритмов к строгим упрощениям».
Актуальный взгляд на эволюционные алгоритмы дает Швефель в своей книге [142]. Противопоставления и сравнения эволюционной стратегии и генетических алгоритмов содержатся в [117, 118]. Разнообразие информации и ссылок на источники для предписанных программных средств содержит работа [111].
При возможности пользоваться счетной системой с повышенной работоспособностью и высоко развитыми стратегическими формами эти методы нашли применение также в области структурной оптимизации. Срав-
83 нение генетических алгоритмов и эволюционной стратегии применительно
к оптимизации конструкций содержится в [147].
В соответствии с историческим развитием эволюционной стратегии сначала должна быть рассмотрена простейшая форма - двучленная эволюционная стратегия. После этого в изложении следует представление высокоразвитых форм стратегии и связь с оптимизацией конструкций.
4.1. Основные формы эволюционной стратегии
4.1.1. Двучленная эволюционная стратегия
Двучленная эволюционная стратегия, обозначаемая также как (1+1)-стратегия, представляет простейшую концепцию для отражения биологических эволюционных процессов. От одного существующего проекта (индивида), родителя, путем применения мутационного оператора производится потомок, новый проект. Выражение этого проекта х устанавливается действительными величинами п переменных (признаков) проекта дг,:
Родитель и потомок сравниваются с точки зрения удовлетворения определенному критерию качества, по значению целевой функции, и проект более высокого уровня будет представлять родителя для последующего генерационного цикла. Расчет заканчивается, если выполняется предварительно определенный критерий сходимости, при достижении заданного числа генераций (рис. 4.1).
Основные составные части этой схемы - эволюционные операторы мутации т и селекции s.
к-я генерация нового проекта определяется согласно формуле
x"(k) = xe(k) + N(0,a), (4.1)
84 где хе(к) - существующий проект-родитель; х"[к) - новый проект-потомок; N(0,g) - и-мерный вектор нормально распределенных случайных чисел со средним значением 0 и нормальным отклонением а.
Выбор случайных чисел следует в свете представления биологической эволюции, где малые изменения проявляются с большей вероятностью, чем большие изменения. Из этого вытекает возможность толковать о как размер шага в проектном пространстве. Функция плотности распределения вероятностей компонентов N, вектора N задается в виде
1 -4
WW = -R— г**- (4-2)
| t = 0 | |
| исходный проект | xe(t) |
| оценка хеit) | |
| пока нет сходимости [xe{t)\ | |
| мутация: x"(t) = rr | ,(*•(/)) |
| оценка xn(t) | |
| селекция: xe(t + \) | = s(x'(t),xH(t)), |
| t = t+\ | |
| конец | |
Рис. 4.1. Основной алгоритм двучленных эволюционных стратегий
На основе целевой функции селекция оставляет из двух конкурирующих проектов относительно лучший проект в качестве родителя для следующей генерации. В случае свободной от ограничений задачи минимизации оказывается, что
х \к +1) = {* WЄСЛИ /(*Є{к)) - /(* Ш (4.3)
\x"(k),Qcnuf(xe(k))>f(x"(k)).
85 При постановке задачи с ограничениями и применении штрафных
функций соответственно имеем
'х \к), если Ф(* '(*)) < Ф(х "(к)),
хе(к + \) = ]
(4.4) х "(к), если Ф(* \к)) > Ф(х "(к)).
Чтобы достигнуть благоприятных показателей сходимости во время поиска, производится корректировка размера шага а. Рехенберг дает для этого так называемое 1/5-правило успеха [95, 135]: отношение числа удачных мутаций к общему числу мутаций должно составлять 1/5. Эта вероятность успеха периодически проверяется. Если она меньше, то размер шага умножается на 0,85; если она больше, то размер шага делится на 0,85.
Это предписание получается из исследований сходимости двух простых оптимизационных задач - коридорной модели (линейной целевой функции внутри коридора шириной Ъ) и сферической модели (л-осного генератора):
h h
f(x) = c0+cixl; --<*,.<-, i = 2,...,n,
я*)=ї>,2. (4-5)
/=1
Этот метод допускает лишь единообразное приспособление всех размеров шагов, т.е. дифференцирование отдельных переменных проекта невозможно. Применение этого жесткого правила может привести к тому, что не достигается зависящая от типа задачи адаптация.
Итак, характерные свойства базисной формы эволюционной стратегии состоят в следующем. Каждый проект принципиально имеет возможность существовать как угодно долго в рамках заданного числа генераций. Для генерирования новых проектов используется только информация одного родительского проекта. Адаптация размера шага мутации ведется на основе 1/5-правила успеха. (1+1)-стратегия работает последовательно и довольствуется малыми возможностями рационального использования распределительных вычислительных ресурсов.
86 4.1.2. Основные формы многочленных эволюционных стратегий
Последовательное дальнейшее развитие двучленной стратегии представляют многочленные эволюционные стратегии. Они основываются на коллективных обучающих возможностях многих одновременно входящих в популяцию индивидов. Эти индивиды вступают в конкуренцию в окрестности, характеризуемой целевой функцией, ограничениями и переменными параметрами проекта.
Известные стандартные формы многочленных эволюционных стратегий охватывают (ц. + А,)- и (дД)-формы. Здесь р, обозначает число индивидов (проектов) в родительской популяции, а X - число проектов в популяции потомков, причем ц < X.
Общий алгоритм этих форм стратегии представлен на рис. 4.2.
| f = 0 | |
| исходный проект | P(t) |
| оценка P(t) | |
| пока нет сходимости (Р (/)) | |
| рекомбинация: Pr (t) = r(P (tj) | |
| мутация: Р"1 (t) = > | 71(^(0) |
| оценка Pm(t) | |
| селекция: Р(/+1) | = *(/*-(0) |
| t = t+\ | |
| конец | |
