ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ
Клюев, Сергей Васильевич
Оптимальное проектирование конструкций
башенного типа
Москва
Российская государственная библиотека
diss.rsl.ru 2007
Клюев, Сергей Васильевич.
Оптимальное проектирование конструкций башенного типа [Электронный ресурс] : дис.... канд. техн. наук : 05.23.01. - Белгород: РГБ, 2007. - (Из фондов Российской Государственной Библиотеки).
Строительство -- Строительная механика -- Теория и расчёт стержневых систем -- Сооружения башенного типа -- Расчёт и проектирование конструкций наименьшего веса
Строительные конструкции, здания и сооружения
Полный текст: http://diss.rsl.ru/diss/07/0253/070253024.pdf
Текст воспроизводится по экземпляру, находящемуся в
фонде РГБ:
Клюев, Сергей Васильевич
Оптимальное проектирование конструкций
башенного типа
Белгород 2006
Российская государственная библиотека, 2007 (электронный текст)
61:07-5/1546
Белгородский государственный технологический университет
им. В.Г. Шухова
На правах рукописи
Клюев Сергей Васильевич
ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОНСТРУКЦИЙ БАШЕННОГО ТИПА
Специальность 05.23.01. - Строительные конструкции,
здания и сооружения
Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук
Научный руководитель д.т.н., проф. Юрьев А.Г.
Белгород - 2006
2 СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Введение 5
1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ 10
- Общий подход к оптимальному проектированию строительных конструкций 11
- Иерархический принцип формирования строительных конструкций 16
- Многокритериальность в оптимальном проектировании 20
- Тенденции в оптимизации строительных конструкций 22
- Краткий обзор работ по оптимизации конструкций
в классической постановке 23
- Расширенные постановки задач оптимизации конструкций 28
- Оптимизация стержневых систем 31
- Стержневые пространственные конструкции 32
- Математическое моделирование стержневой пространственной системы 34
- Основные виды оптимизации стержневых конструкций... 37
1.8. Требования, предъявляемые к оптимальному проектированию
стержневых пространственных конструкций 37
1.8.1 Ограничения на напряжения 38
- Ограничения на перемещения 39
- Ограничение по условию совместности деформаций 39
- Конструктивные ограничения 39
- Эстетические ограничения 40
1.9. Выбор материала для проектируемой конструкции 40
Выводы 41
2. КОНСТРУКЦИИ БАШЕННОГО ТИПА 42
- Общие сведения 42
- Область применения конструкций башенного типа 43
- Нагрузки, действующие на конструкцию башни 44
3
2.4. Конструктивные схемы башен 45
- Конфигурация башни 46
- Схемы решеток 47
2.5. Конструктивное оформление башен 51
- Типы сечений элементов башни 51
- Соединения поясов 53
- Узлы сопряжения поясов с решеткой 54
- Опорные узлы башен 55
Выводы 56
3. ПРОЕКтаЫЕ РАЧЕТЫ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННЫХ
ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ 57
- Вариационные принципы для прямых задач 58
- Вариационные принципы для проектных задач.
Проектные критерии 61
- Проектная задача для стержневой системы 66
- Пример проектирования многостержневой пространственной фермы 71
- Расчет внутренне статически неопределимой пространственной фермы 71
- Проектная задача 76
Выводы 81
4. ОПТИМИЗАЦИЯ СТАТИЧЕСКИ НАГРУЖЕННЫХ БАШЕН
НА ОСНОВЕ ЭВОЛЮЦИОННОЙ СТРАТЕГИИ. 82
4.1. Основные формы эволюционной стратегии 83
- Двучленная эволюционная стратегия 83
- Основные формы многочленных эволюционных стратегий 86
4.2. Совершенствование форм эволюционной стратегии 90
- Саморегулирующаяся шаговая адаптация 90
- Эволюционные стратегии с переменной длительностью существования 92
4
- Модификации с учетом требований дискретности 94
- Выбор стратегических форм 96
- Связь оптимизации конструкции и эволюционной стратегии 97
- Целевая функция 97
- Ограничения 98
- Переменные проекта 102
- Начальная популяция 103
- Критерии сходимости 104
4.6. Пример 106
- Описание задачи 106
- Решение с использованием эволюционных стратегий 109
- Сравнение результатов по различным стратегическим формам 113
Выводы 113
5. ОПТИМИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИ НАГРУЖЕННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ 114
- Аналитический обзор 114
- Решение нелинейных задач, связанных с колебаниями 117
- Общие соображения 117
- Метод Ньюмарка 118
- Линейное уравнение движения 119
- Нелинейные уравнения движения 120
- Ускорение сходимости 121
- Нахождение внутренних усилий и напряжений 121
- Управление итеративным решением 122
5.3. Пример 124
Выводы 129
Заключение 130
Список литературы 133
Приложения 148
5 ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы исследования. В настоящее время теория оптимального проектирования является одним из актуальных и развивающихся разделов в механике деформируемого твердого тела, на которой базируются проектные расчеты строительных конструкций. Число публикаций в этой области постоянно увеличивается. Становятся все более разнообразными постановки задач и методы их решения.
Задачи оптимизации стержневых пространственных систем делятся на две группы. К первой группе относятся задачи оптимизации параметров системы. В этих задачах осуществляется управление основными характеристиками конфигурации, в том числе рассосредоточение массы по площадям поперечных сечений. Ко второй группе относятся задачи оптимизации материала конструкции, например, при переменном модуле продольной упругости.
Значительное развитие теории оптимального проектирования стержневых конструкций связано с совершенствованием вычислительной техники. Появление быстродействующих вычислительных машин способствовало интенсивному применению методов вариационного исчисления, математического программирования, оптимального управления системами с распределенными параметрами, которые позволили ставить и решать все более сложные задачи оптимизации стержневых конструкций.
Процедура оптимизации по своему характеру часто является итерационной в силу высокого уровня нелинейности задачи. На каждом шаге процедуру итерационного расчета можно разделить на две фазы. Сначала проводится расчет конструкции для определения внутренних усилий, возникающих при действии заданных нагрузок. Затем производится преобразование переменных проекта на основе соотношений, выведенных из критериев оптимальности.
Преимуществом такого подхода является то, что число итераций, необходимых для достижения оптимума, фактически не зависит от числа
6
элементов конструкции. Если усилия в элементах конструкции в значительной мере чувствительны к размерам их поперечных сечений, как это наблюдается в задаче оптимизации многостержневой статически неопределимой фермы, то может потребоваться большое число итераций для достижения оптимального проекта. В целях совершенствования этого процесса в последнее время привлекаются эволюционные стратегии.
Цель диссертационной работы заключается в разработке способов и алгоритмов оптимального проектирования конструкций башенного типа при статических и динамических нагрузках с использованием физически обоснованных критериев оптимальности и усовершенствованных эволюционных стратегий оптимизации.
Для достижения поставленной цели поставлены следующие задачи:
- Формулировка критерия оптимальности стержневых систем на основе общефизического принципа стационарного действия.
- Формирование системы уравнений для оптимального проектирования конструкций башенного типа.
- Совершенствование эволюционной стратегии оптимизации строительных конструкций.
- Построение эволюционного алгоритма оптимального проектирования конструкций башенного типа при статическом нагружении.
- Построение алгоритма расчета конструкции башенного типа при линейном и нелинейном характере колебаний.
- Реализация эволюционного алгоритма оптимального проектирования конструкций башенного типа при статическом и динамическом нагружении.
Научная новизна работы определяется следующими результатами:
- энергетический подход к формулировке критерия оптимальности стержневых систем;
7
- вариационная постановка задачи структурного синтеза конструкций башенного типа;
- эволюционная стратегия оптимизации с переменной длительностью существования индивидов;
- эволюционный алгоритм оптимального проектирования конструкций башенного типа при статическом нагружении;
- алгоритмы расчета и оптимального проектирования конструкций башенного типа при линейном и нелинейном характере колебаний.
Достоверность результатов основывается на использовании вариационных принципов механики деформируемого твердого тела, эволюционной теории и сопоставлении результатов оптимизационных расчетов с известными решениями.
Практическая ценность результатов исследований.
Результаты данной работы позволяют эффективно вести оптимальное проектирование строительных конструкций башенного типа при статическом и динамическом нагружениях. Полученные результаты и основанные на них рекомендации позволяют повысить надежность и экономичность конструкций башенного типа. Они также использованы в учебном процессе в дисциплинах строительного профиля. При внедрении результатов работы в производство достигнуто обеспечение оптимального распределения материала, реализованное на основе предложенной методики расчета конструкций башенного типа. При этом достигнута экономия материала на 15-20 % в связи с оптимизацией геометрии и параметров элементов башни.
Положения, выносимые на защиту работы:
- энергетический критерий оптимальности стержневых систем, моделирующих конструкции башенного типа;
- система нелинейных уравнений из вариационной постановки задачи структурного синтеза стержневой системы и программа для ее решения;
- введение в эволюционную стратегию оптимизации переменной длительности существования индивидов;
8 - алгоритм расчета и оптимального проектирования конструкций
башенного типа при статическом нагружении и нелинейных колебаниях.
Апробация результатов диссертации. Результаты исследований и основные материалы диссертационной работы доложены на II Международном студенческом форуме (Белгород, 2004); на региональных научно-практических конференциях (Старый Оскол, 2004 - 2006); на Международной научной конференции (Старый Оскол, 2004); на межвузовской молодежной конференции (Набережные Челны, 2005); на 5-м Всероссийском семинаре "Проблема оптимального проектирования сооружений" (Новосибирск, 2005); на Международных научно-практических конференциях "Современные технологии в промышленности строительных материалов и стройиндустрии" (Белгород, 2003, 2005); на Всероссийской выставке научно-технического творчества молодежи при поддержке ЮНЕСКО (Москва, 2005). Материалы диссертационной работы были представлены на открытом конкурсе на лучшую научную работу студентов по естественным, техническим и гуманитарным наукам в вузах Российской Федерации (г. Новосибирск, 2002 - 2004; Томск 2004); на областном конкурсе научных молодежных работ "Молодежь Белгородской области" (Белгород, 2002 - 2006).
Публикации: Материалы диссертационной работы опубликованы в 13 статьях и тезисах докладов конференций, а также 1 монографии.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы, приложения, акта и справки внедрения. Диссертация содержит 163 страницы основного текста, в том числе 13 таблиц, 26 рисунков, 150 наименований литературы и 6 приложений.
В первой главе дан общий подход к оптимальному проектированию строительных конструкций, рассмотрены принципы формирования оптимальных конструкций и тенденции их проектирования, произведен краткий обзор работ в области оптимизации конструкций, в частности, методов и алгоритмов оптимального проектирования стержневых систем, представлено математическое моделирование стержневых пространственных систем, а также требования, предъявляемые к их оптимальному проекти-
9 рованию. Подтверждена актуальность дальнейшего совершенствования
недостаточно разработанных методов оптимального проектирования
строительных конструкций и, в частности, стержневых пространственных
систем.
Во второй главе изложены общие сведения о конструкциях башенного типа, области их применения и характерных нагрузках. Рассмотрены конструктивные схемы башен: их конфигурации, схемы решеток, типы сечений элементов, соединения поясов, узлы сопряжения поясов с решеткой, а также опорные узлы. Сделан вывод, что тип и конфигурация конструкций башенного типа определяются, главным образом, их назначением и действующими нагрузками.
В третьей главе рассмотрены проектные расчеты на основе обобщенных вариационных принципов. Рассмотрены примеры оптимального проектирования стержневых пространственных конструкций на основе энергетического критерия. Сделан вывод, что использование критерия минимума объема возможно лишь при дополнительном условии с энергетическим содержанием. Приведен алгоритм и программа для решения системы алгебраических уравнений, соответствующий глобальному экстремуму целевой функции.
Четвертая глава посвящена развитию эволюционной стратегии оптимизации конструкций башенного типа. Рассмотрен пример оптимального проектирования 25-стержневой пространственной конструкции башни. Сделан вывод, что эволюционная стратегия - универсальное средство для оптимального проектирования стержневых систем, при обеспечении надлежащей вычислительной техникой.
В пятой главе рассмотрено оптимальное проектирование конструкций башенного типа при динамических нагрузках. Сделан вывод, что для оптимизации системы, подверженной нелинейным колебаниям, рациональное решение может быть получено при согласовании итерационной процедуры по методу Ньютона-Рафсона и эволюционной стратегии.
10 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ
Проектированию рациональных несущих конструкций в течение долгого времени не уделялось должного внимания, хотя решению такого рода задач для простейших систем вели такие крупные ученые прошлого, как И. Ньютон, Л. Эйлер, Ж. Лагранж.
Во-первых, это связано с тем, что архитекторы и инженеры далекого прошлого часто пренебрегали расходом материала, идущим на конструкцию или сооружение. Во-вторых, не было мощных вычислительных средств, способствующих решать сложные задачи.
Попытки решения задач оптимизации предпринимались еще в древности. Так, уже во времена Пифагора было известно, что фигура, имеющая наименьшее отношение периметра к площади - это круг. В 1638 г. Галилей, положивший начало сопротивлению материалов, решил задачу о балке равного сопротивления. Предложенное им условие равнопрочное™ использовалось при проектировании конструкций вплоть до XX в.
В 1661 г. Я. Бернулли с помощью дифференциального исчисления исследовал форму балок равного сопротивления, находящихся под действием переменной нагрузки. В этом направлении проводили исследования И. Ньютон и Ж. Лагранж. Но появление математических средств эффективного решения подобных задач следует связывать с именем основоположника вариационного исчисления Л. Эйлера. Работы Эйлера продолжили Ж. Лагранж, Ж. Даламбер, У. Гамильтон и другие знаменитые математики и механики.
В такой области деятельности, как оптимальное проектирование строительных конструкций, необходимо учитывать комплекс требований, связанных с надежностью, материалоемкостью, способами изготовления и монтажа, эксплуатацией и т. д.
В большинстве рассмотренных работ в качестве ресурсов учитываются либо материал, расходуемый на изготовление конструкции (по объе-
и
му, весу или стоимости), либо стоимостное выражение расходов по изготовлению, транспортированию, монтажу и эксплуатации конструкции. Естественно предположить, что учет затрат, связанных не только с расходами материалов, более правомерен. Однако этот подход может быть реализован в частных случаях, так как стоимостные выражения расходов по изготовлению, транспортированию, монтажу и эксплуатации конструкции в большой степени зависят от конкретных условий строительства и эксплуатации здания или сооружения. Поэтому, многие авторы при оптимальном проектировании стержневых конструкций учитывают в качестве ресурса лишь расходуемый материал.
Необходимо отметить, что разработка проблем оптимального проектирования конструкций позволяет преодолеть трудности, связанные с несовершенством конструктивных форм и большой их материалоемкостью.
1.1. Общий подход к оптимальному проектированию строительных конструкций
В последние десятилетия в области инженерного дела, а также экономики и планирования намечается стремительный переход от допустимых инженерных и управленческих решений к оптимальным решениям. Однако современная теория оптимизации пока не удовлетворяет требованиям инженера-проектировщика в связи с тем, что ее строгие математические методы не учитывают реальных ситуаций проектно-конструкторских задач. Вместе с тем современная, все более усложняющаяся практика проектирования и конструирования нуждается в эффективных математических средствах решения таких задач.
Возможности оптимального проектирования существенно расширились в связи с внедрением в практику проектирования вычислительной техники и эффективных численных методов расчета, в частности метода конечных элементов. Основные уравнения метода представляют собой
12 систему линейных уравнений, которые вводятся в итерационную процедуру. В то же время, если в процессе оптимизации варьируемые параметры претерпевает значительные колебания, то возможны трудности со сходимостью процесса.
Поскольку новый подход предусматривает комплексную разработку, позволяющую проектировать систему в целом, а не по отдельным ее частям, одной из чрезвычайно важных научных и прикладных задач является разработка методологии оптимального проектирования сложных технических систем - системного проектирования.
Каждая конструкция имеет предел своей массы. Выдающийся американский математик Винер в книге "Кибернетика или управление и связь в животном и машине" пишет по этому поводу: "... для всякой формы организации существует верхняя граница ее размера, выше которой она не будет действовать. Высота небоскребов ограничена тем, что если она превысит некоторый предел, то для верхних этажей потребуется шахта лифта, которая займет слишком большую часть поперечного сечения нижних этажей. Наилучший подвесной мост, который можно построить из материалов данной упругости, рухнет от собственного веса, если его пролет превысит некоторый предел, а при еще большем пролете рухнет от собственного веса любая конструкция, построенная из данного материала".
Конструкцию характеризует ряд показателей: надежность, стоимость, вес, габариты, время разработки и др., которые могут находиться во взаимном противоречии. Трудность решения задачи состоит в недостатке априорной информации, необходимой для поиска оптимального варианта конструкции. Поэтому процедуру проектирования целесообразно строить так, чтобы на каждом его последующем этапе объем информации о конструкции возрастал. В то же время необходимо исключать неудовлетворительные варианты, выявленные в ходе проектирования. Таким образом, должны сочетаться две тенденции - генерация многообразия вариантов и
13 усечение выявленного множества [120]. Эта процедура проектирования
согласуется с эволюционной стратегией оптимизации.
Проектирование конструкции представляется в виде некоторой последовательности уровней ее разработки, которые характеризуются степенью детализации ее элементов.
Процесс проектирования конструкции связан с определением ее конфигурации и подбором материалов. В свою очередь проектирование конфигурации включает выбор типа системы, определение ее топологии, геометрии и параметров элементов (уровни структурного синтеза).
Вообще структурный синтез можно определить как создание конструкции, которая в пределах оговоренных требований оптимально выполняет функциональные назначения.
Рациональная конструкция может быть получена не только в результате надлежащего выбора ее конфигурации, но и путем эффективного формирования структуры среды в отношении модулей, коэффициентов анизотропии и др.
Задача рационального подбора материалов приобрела практическое значение в связи с синтезом полимеров, появлением композитов. При создании конструкции заданной конфигурации из композиционных материалов определяются типы компонентов, их количество и расположение. Это повысило творческое начало, поскольку появилась возможность эффективного использования материалов. Изменение модулей в композитах может быть осуществлено, например, путем процентного содержания их составляющих. При создании конструкции заданной конфигурации из композиционных материалов определяются типы компонентов, их количество и расположение.
Не менее важное практическое значение имеет задача рационального проектирования нагрузки на данную конструкцию, например, при изменении технологической линии и связанной с этим сменой оборудования. При реконструкции здания распределение нагрузки ведут параллельно с синте-
14 зом конструкций. Проект нагрузки на конструкцию должен предусматривать наибольшую суммарную нагрузку, которую способна вынести конструкция без нарушения принятых требований относительно прочности, жесткости, устойчивости. В нем устанавливаются величина нагрузки, которая в отдельных местах может равняться нулю, и направление. Частный случай - определение величины нагрузки при заданных направлении и распределении (однопараметрическая задача).
При построении методов проектирования конструкций обычно сталкиваются с противоречивыми требованиями. С одной стороны, теория проектирования должна быть простой, применимой к решению практических задач до численных результатов, а с другой - должна наиболее точно описывать проектируемую конструкцию из реальных материалов. Постольку полное удовлетворение обоих требований одновременно почти невозможно, всегда указывают на степень идеализации рассматриваемых объектов и принимают обоснованные допущения.
В прямой задаче строительной механики имеют дело с так называемой расчетной схемой сооружения, под которой понимают упрощенную схему действительного сооружения с отражением его основных свойств. Сохраняя эти предпосылки, модель структурного синтеза содержит определенное число проектных параметров или функций и информацию о внешних и внутренних связях. Предполагается, что внешние силы относятся к квазистатическому типу, а процесс нагружения - однократный.
Для решения прямых задач строительной механики часто прибегают к дискретным моделям тел. Действительную систему заменяют приближенной физической моделью, состояние которой выражается конечным множеством чисел. В этом случае расчет физической модели можно истолковать как приложение одного из методов математической дискретизации, при которых точное решение, описываемое при помощи соответствующих функций, заменяется приближенным решением в виде конечного множества чисел. Идея дискретизации присуща и структурному синтезу.
15
Проектирование неизбежно связано с рядом требований, приводящих к определенным геометрическим и конструктивным ограничениям, а также к ограничениям на поведение конструкции. Некоторые из них носят общий характер, но большая часть определяется спецификой отдельного проекта. Остановимся на требованиях (ограничениях), относящихся к большинству конструкций.
К числу ограничений на поведение конструкции относятся следующие: 1) на напряжения, накладываемые требованиями прочности, безопасной устойчивости; 2) на перемещения, накладываемые требованиями жесткости; 3) в отношении совместности, обеспечивающие неразрывность частей конструкции.
Некоторые требования иногда можно не учитывать при постановке задачи, а проверять их выполнимость после получения решения. При наличии временной нагрузки в исходные данные задачи синтеза конструкции вводится один из вариантов ее расположения. Полученная конструкция проверяется на все возможные комбинации постоянной и временной нагрузок. При неудовлетворительных результатах проверки в исходные данные вводится другой вариант временной нагрузки. В то же время нельзя стать на путь построения огибающей конфигурации, поскольку связанное с ней перераспределение напряжений и деформаций может привести к нарушению ограничений на поведение конструкции.
Большую роль при выборе модели и постановке проектной задачи играет априорная информация о свойствах искомого решения, что позволяет принять существенные ограничения. В большинстве случаев, однако, трудно предсказать свойства искомого решения, ибо последнее может нарушить гипотезы, положенные в основу самой модели. Могут быть также нарушены неучтенные ограничения. В связи с этим представляется целесообразным решить прямую задачу для полученной конструкции, оценить напряженно-деформированное состояние и, если необходимо, скорректировать модель и ввести в проектную задачу дополнительные ограничения.
16
В общем случае физическая модель и формулировка задачи структурного синтеза корректируются в процессе ее решения, которое носит, таким образом, итерационный характер. Ускорение сходимости решения во многом зависит от удачного построения итерационного процесса, что находит отражение, в частности, в рекуррентных уравнениях для отдельных типов задач. При этом важную роль играет то обстоятельство, насколько удачным был выбор начального приближения. Иногда для этой цели можно использовать нестрогое решение задачи (например, при преднамеренной линеаризации ее уравнений).
Физическая модель предусматривает проектирование конфигурации и подбор материалов в неразрывном единстве на всех уровнях разработки конструкции.
Если при сравнении двух операций различного вида наблюдается, что одна из них характеризуется меньшей полнотой описания конструкции, чем другая, то более полная операция считается операцией более низкого уровня, чем другая. В нашем случае определение параметров элементов является операцией более низкого уровня, чем определение геометрии.
1.2. Иерархический принцип формирования строительных конструкций
Принятие типа системы (континуальной, дискретной, пространственной, плоской и т.д.), которое не связано с конкретизацией кинематических и геометрических характеристик конструкции, представляет собой операцию самого высокого уровня.
Уровень топологии предполагает расположение узлов относительно друг друга и способ их соединения между собой для образования геометрически неизменяемой структуры.
Уровень геометрии отвечает конкретизации положения узлов системы и обусловленности позиций элементов. Определение параметров эле-
17 ментов и т.д. представляет собой операцию самого низкого уровня. При
достаточном числе таких операций производится выбор конструкции.
Решение задачи строится в виде последовательности применения одного или более операторов. Каждый из них включает генерирование ряда решений и выбор одного из них исходя из критерия стоимости [80]. Операторы отличаются по уровню (детализации решений) и стоимости их осуществления. Лишь один из них может обеспечить решение данной задачи. Это оператор самого низкого уровня, порождающий основные (элементарные) операции с определением стоимости каждого из решений. Операции, порождаемые другими операторами, считаются неосновными.
Применение некоторого оператора к объекту, произведенному ранее для получения объекта более низкого уровня, будем называть экспериментом. Объекты, выявленные в результате некоторого эксперимента, и их стоимости носят приближенный характер. Цель последующей деятельности проектировщика состоит в установлении наиболее желательного эксперимента на следующем этапе. При этом прогнозируются возможные его результаты и стоимость проведения.
В основу оператора, применяемого к системе с целью получения топологии, должны быть положены принципы образования неизменяемых систем. В случае стержневых систем для обеспечения геометрической неизменяемости необходимо ввести достаточное число связей между элементами и рационально их расположить. Допустимы и лишние связи, поскольку они также могут привести к оптимальному варианту конструкции.
Оператор, применяемый к топологии с целью получения геометрии, непосредственно связан с директивными ограничениями, касающимися, например, габаритов конструкции, а также с характером и расположением нагрузки. В случае фермы нагрузка должна быть приложена в узлах. Рациональная ось трехшарнирной системы определяется из условия равенства нулю изгибающих моментов.
18
Оператор, применяемый к геометрии с целью получить конструкцию, базируется на законах механики деформируемого твердого тела, вытекающих из вариационного принципа стационарного действия, который обеспечивает единство постановки задач анализа и синтеза конструкций. Полный функционал задачи анализа напряженно-деформированного состояния имеет в качестве уравнений Эйлера-Лагранжа и естественных граничных условий уравнения и граничные условия принятой теории деформирования. Полный функционал задачи синтеза имеет еще и дополнительные уравнения, свидетельствующие о зависимости изменения энергии конструкции от изменения конфигурации и модулей материалов [86].
Исследования показали, что постановка задачи минимизации объема строго согласуется с принципом стационарного действия лишь при дополнительных условиях в виде интегральных связей с энергетическим содержанием. В остальных случаях следует использовать вариационные постановки задач структурного синтеза.
На рис. 1.1. представлено соотношение между различными уровнями проектирования конструкции. Предполагается множество возможных вариантов системы, которые могли быть решениями конкретной задачи. На следующем уровне показаны два варианта топологии. На еще более низком уровне представлена геометрия. Наконец, на самом низком уровне показана окончательно сформированная конструкция (с размерами элементов и выбранными материалами).
о
система
ID
топология
геометрия
конструкция
Рис. 1.1. История процесса выбора конструкции
19
Эта древовидная схема наглядно представляет аспекты истории решения задачи по выбору конструкций: число операций, их последовательность и относительные уровни. Известна общая генеалогия каждой операции, т.е. какие операции ей предшествовали и какие операции последуют за ней.
Схема на рис. 1.1. позволяет также решить, каков должен быть следующий шаг. Это генерирование и оценка конструкции в геометрии D и С, в топологиях В (исключая геометрию D и С) и А и вне этих топологий, генерирование и оценка геометрии в топологиях В и А и вне этих топологий, а также генерирование и оценка топологий вне этих топологий. Исследование любого из этих выборов приведет к появлению новых операций на древовидной схеме.
Из сказанного видно, что инженеру приходится принимать решение не только относительно того, какой оператор использовать, но и к какому уровню он должен быть применен, чтобы генерировать новую операцию. Задание оператора и операции определяет ветвь и точку дерева нового объекта. Такого рода решения принимаются много раз на протяжении процесса выбора конструкции, пока, наконец, не будет принято решение завершить процесс.
Заметим, что ценность неосновных операций (например, выявления геометрии) заключается лишь в том, что они с некоторой вероятностью содержат искомые решения для конструкции. Выводы проектировщика выражаются в виде распределения вероятностей результатов возможных экспериментов. Каждый из них содержит ожидаемый выигрыш, который вычисляется на основе бейесовой теории решений [130], использующей эти вероятности и функции полезности, отражающие стоимости экспериментов и полученных конструкций. Проектировщик осуществляет эксперимент, обещающий максимальную выгоду [24,26,27].
Считается, что проектировщик может ввести субъективное распределение вероятностей (основанное на статистической оценке предшествую-
20 щего опыта) каждой неосновной операции, которая была генерирована ранее. Оно выступает в роли априорного распределения. Кроме того, принимается, что каждый оператор одного уровня характеризуется некоторым условным распределением вероятностей. Эти два распределения создают вероятностное распределение возможных стоимостей операций, предложенных в результате эксперимента (безусловное распределение). На основе стоимости полученной операции по теореме Бейеса уточняются априорные распределения для одной или нескольких выбранных неосновных операций.
При выборе среди возможных экспериментов на следующем шаге необходимо, чтобы стоимость их выполнения не превышала ожидаемой выгоды. Последняя выражается в получении решений, требующих меньших затрат, чем наилучшее из полученных ранее.
1.3. Многокритериальность в оптимальном проектировании
Невозможно одновременно максимально удовлетворить каждое из множества требований в отдельности в силу того, что они нередко взаимно исключают друг друга. В то же время оптимальные решения, удовлетворяющие лишь одному из предъявляемых требований, позволяют получать такие конструкции, которые могут быть использованы лишь в частных случаях строительной практики и потому не всегда представляют интерес. Таким образом, при выборе рационального конструктивного решения из множества альтернатив необходимо использовать целый ряд критериев, т.е. оптимизировать решение в соответствии с несколькими целевыми функциями.
В этом случае приходится сталкиваться с проблемой многокритериальное™, которая затрудняет успешное применение аналитических и численных методов для решения реальных задач. В случаях использования
21 двух критериев можно путем численных расчетов получить множество
эффективных конструктивных решений.
В общем случае, когда число критериев больше двух, затруднительно не только построение множества эффективных конструктивных решений, но и выбор предпочтительного решения, так как общепринятого подхода для реализации таких задач оптимизации еще нет.
Существуют различные подходы к решению многокритериальных задач оптимизации. Наиболее распространенным из них является агрегирование многих целевых функций в единую функцию полезности. Подобный подход широко применяют, когда целевые функции аддитивны; в этом случае проще привести оценки по каждому критерию к единой шкале. В противном случае возникают трудности математического плана, вызванные вычислительной сложностью алгоритмов оптимизации.
Всем известно, что чем сложнее проектируемая конструкция, тем выше эффект от применения методов ее оптимального проектирования.
При решении практических задач также широко используется принцип последовательного выявления предпочтений относительно рассматриваемых критериев. При выборе рациональной конструктивной системы один из критериев принимается за наиболее важный из всех других и исследуется его влияние на агрегированную функцию полезности. Так поступают и со всеми другими принятыми критериями. Однако, если оценки по рассматриваемым критериям окажутся одинаковыми либо превышающими минимально необходимый уровень, тогда подобные исследования оказываются неоправданными. Но это становится ясным только после проведения численного анализа.
При решении многокритериальных задач оптимизации используют также принцип доминирования: один из выявленных в процессе проектирования рациональных конструктивных систем (например, опытным путем) преобладающий критерий оптимальности (материалоемкость, трудозатраты или энергозатраты) принимается за целевую функцию. На осталь-
22 ные же критерии эффективности накладываются ограничения. При таком
подходе поиск рациональной конструктивной системы сводится к решению задачи параметрической оптимизации.
Многокритериальная задача оптимизации в общем виде является нелинейной, невыпуклой, что значительно затрудняет ее реализацию существующими методами математического программирования.
1.4. Тенденции в оптимизации строительных конструкций
Итак, оптимизация - это система или процесс выбора таких свойств или таких параметров проектируемого объекта, которые обеспечивают его наивысшую эффективность, иначе говоря, это система (или процесс) управления качеством проектируемого объекта [46].
В настоящее время в области оптимизации конструктивных систем ведутся интенсивные научно-исследовательские работы. Приведем имена ученых, причастных к решению этой проблемы: Н.И. Абрамов, А.И. Богатырев, Н.В. Баничук, А.В. Геммерлинг, В.А. Игнатьев, А.А. Калинин, В.П. Малков, Д.А. Мацюлявичюс, А.Н. Раевский, Н.Д. Сергеев, Н.Н. Складнев, В.Г. Темнов, А.В. Угодчиков, А.П. Филин, А.А. Чирас, А.П. Чижас, А.Г. Юрьев, Л.И. Ярин, В. Прагер, Дж. Хейман, К. Мажид, Л. Шмит, Ф. Ходж, Д. Андерсон, Ф. Ниордсон, Дж. Тейлор, Ж. Арман, Э. Хог, Я. Арора, Р. Хуанг и др.
В трудах вышеперечисленных ученых заложены не только основы теории оптимального проектирования, но и получено решение целого ряда прикладных задач. Было предложено много новых эффективных методов и алгоритмов решения задач оптимизации.
Аналитическое направление в теории проектирования строительных конструкций в последнее время получило интенсивное развитие. Как отмечалось выше, число публикаций, посвященных оптимальному проектированию весьма велико и продолжает расти.
23 Стоит отметить, что первоначально решение задач оптимального
проектирования стержневых конструкций проводилось с использованием методов классического вариационного исчисления. Недостатком этих методов было то, что они решали лишь частные задачи оптимального проектирования строительных конструкций,
С появлением в середине прошлого века вычислительной техники и ее применением к решению задач оптимизации привело к интенсивному развитию методов математического программирования, которые позволили ставить и решать более сложные задачи расчета и оптимизации строительных конструкций.
Основной альтернативой этим методам явились современные численные методы (в частности метод конечных элементов), приспособленные к синтезу конструкций. Существенным моментом была разработка энергетического критерия оптимизации [86].
Энергетические характеристики оптимальных конструкций могут использоваться как критерии, обеспечивающие минимальный вес, и служить основой для построения методов их синтеза. При этом задача о поиске минимума заменяется задачей о синтезе систем с заранее заданными свойствами. Кроме того, такая постановка не только позволяет создавать эффективный вычислительный алгоритм, но и с высокой степенью достоверности оценивать уровень приближения полученного решения к оптимальному.
1.5. Краткий обзор работ по оптимизации конструкций в классической постановке
Среди инженеров интерес к задачам оптимизации конструкций был всегда велик. Выполняя работу при ограниченных вычислительных средствах и наличии неблагоприятных случайных обстоятельств, проектиров-
24 щик прямо или косвенно затрагивает вопросы оптимального проектирования.
Конструкции, близкие к оптимальным, получали с помощью метода проб, основанного на опыте проектирования других подобных конструкций. Проводился анализ нескольких проектов вблизи интуитивного оптимума, приводящий к ситуации, в которой можно было оценить их относительные достоинства и выбрать наилучший из них.
Первая задача оптимального проектирования стержневых конструкций была поставлена и решена Лагранжем в 1770 - 1773 гг. Это была задача о колонне наименьшего веса, жестко заделанной на одном конце и загруженной сжимающей силой на другом. Определялась форма колонны, отвечающая минимуму веса при заданной продольной силе. Неточность, которая содержалась в решении Лагранжа, была устранена в 1851 году в работе русского академика Клаузена.
Вопросу существования оптимальной формы упругих тел произвольного плана посвящено малое число капитальных работ [9, 40, 64] ввиду сложности этой проблемы. Этот вопрос существенно связан с выбором соответствующих численных методов оптимизации и, естественно, требует дальнейшей разработки.
Во второй половине XIX в. Морен впервые рассмотрел фермы равного сопротивления. Значительный вклад в теорию их оптимизации сделали М. Леви, Дж. Максвелл, Дж. Мичелл. Позднее Максвелл и Мичелл сформулировали теоремы о фермах равного сопротивления.
Принимая во внимание, что упомянутые выше исследования не имели широкого практического применения, можно считать, что продуктивные решения проблемы оптимизации конструкций стали появляться уже в начале XX в. Прежде всего, это было связано с возросшими объемами строительства, сложившимся математическим аппаратом, инженерными и экономическими потребностями в снижении расхода материала и стоимости конструкций. И если при решении первых оптимизационных задач оп-
25 ределялись отдельные параметры конструкции, то в последние годы стали
искать наилучшую конфигурацию [6, 7, 8, 9, 37, 85, 90], и это направление
получило принципиально новое развитие.
В XX в. появились новые направления в синтезе конструкций. Наряду с условием равнопрочности в качестве критерия рациональности конструкции стали использовать условия равноустоичивости, постоянства удельной потенциальной энергии упругой деформации и др. В историческом плане представляют интерес методы решения задач синтеза статически неопределимых стержневых систем, основанные на идее равнопрочности основных элементов конструкции. Такие методы предложили английский ученый А. Пиппард и российский ученый И.М. Рабинович [52]. В реальности окончательный выбор поперечных сечений в большой степени зависит от совокупности исходных предположений, а последовательные приближения оказываются довольно громоздкими.
Кроме того, получил распространение аналитический подход к прагматической оптимизации конструкций. При этом в задачах оптимального проектирования присутствует целевая функция, определяемая как функция переменных параметров проектирования, которая лежит в основе выбора конструкции из альтернативных приемлемых решений (вместо функции может быть задан функционал). Критерием оптимальности служит условие максимума или минимума целевой функции (функционала).
В данном случае постановка задачи оптимального проектирования связана со стремлением обеспечить максимальную технико-экономическую эффективность конструкции при соблюдении условий надежности, технологичности, эстетических требований и различного рода ограничений.
В книге М.И. Рейтмана и Г.С. Шапиро "Методы оптимального проектирования деформируемых тел" (М.: Наука, 1976), представляющей обзор исследований по оптимальному проектированию конструкций, говориться, что число публикаций в этой области удваивается каждые 4,5 года.
26
В обзорных работах [53, 103] рассмотрены постановки основных задач оптимизации, в том числе оптимизация формы тела, основные типы функционалов цели и методы отыскания оптимальных проектов. Кроме того, затронуты вопросы существования оптимальных проектов.
В работе [13] определены размеры поперечного сечения и положение промежуточной опоры для металлической балки постоянной высоты в форме двутавра исходя из равнопрочности по энергетической гипотезе. В основу положен второй закон термодинамики - самопроизвольное стремление системы к энергетической однородности, т.е. удельная потенциальная энергия деформации должна быть постоянной в любой точке оптимизируемой конструкции. В реальности это достигается в редких случаях.
Но наибольшее распространение в XX веке получило оптимальное проектирование конструкций, с целевой функцией объема, веса, стоимости, которая является экономической категорией. Иными словами, постановка задачи оптимального проектирования связана со стремлением обеспечить максимальную технико-экономическую эффективность конструкции при соблюдении условий надежности.
Среди отечественных ученых наиболее полно задачи определения оптимальной формы конструкций рассмотрены в работах Н.В. Баничука и его последователей [6, 7, 8, 9]. В этих работах впервые получены соотношения для анализа чувствительности интегральных функционалов при вариации формы упругих тел.
Необходимое условие оптимальности при определении формы границы упругого тела сводится к варьированию кратных интегралов с переменной областью интегрирования. При этом в качестве необходимого условия оптимальности в частном случае получаем равнопрочность [103]. Позднее это утверждение было подтверждено В. Прагером [50]. Им же было показано, что оно является и достаточным. Но в более общем случае в качестве критерия оптимизации следует рассматривать стационарность функционала энергии.
27
Первые задачи оптимизации формы, имеющие практическое значение, решались, как правило, при статическом действии нагрузки на сравнительно простые конструкции (скручивание стержня из условия максимума жесткости [38], отыскание форм отверстий упругих тел, оптимизация статически определимых, а позднее и неопределимых, стержневых конструкций) как задачи нелинейного математического программирования с минимизацией веса конструкции при ограничениях на геометрические размеры и компоненты напряженно-деформированного состояния.
Успех этого метода зависел от имеющегося опыта проектирования в отношении других подобных конструкций. В связи со сказанным выше в конце XX в. и в начале XXI в. резко увеличивается интерес к более рациональным методам оптимального проектирования [56, 63, 71].
В теории оптимального проектирования рассматриваются комплексные ситуации, в которых скрещиваются отдельные критерии, выражающие требования к конструктивным системам. Причем эти требования противоречат друг другу, а потому при проектировании системы необходимо учитывать каждое из них. В противном случае самая надежная система может оказаться неэкономичной, а самая экономичная - ненадежной.
Оптимизация строительных конструкций состоит в том, чтобы найти такую систему, которая, например, обеспечивая достаточно высокую надежность, требовала бы минимума затрат на ее изготовление и эксплуатацию, т. е. надо найти компромиссное решение [56]. Задачи, в которых количество функций равно количеству критериев, как говорилось выше, относятся к классу задач многокритериальной (векторной) оптимизации [41]. В настоящее время их реализация сопряжена с большими математическими и вычислительными трудностями.
Однако следует отметить, что, хотя пространственные конструкции по сравнению с плоскими конструкциями имеют меньшую материалоемкость (на 12 - 15%), вместе с тем основная доля расходов приходится на материал и составляет 50 - 60 % от общей стоимости конструк-
28 ции. Таким образом, одним из определяющих показателей качества оптимальных конструктивных систем типа башен, мачт, плит, пластин, оболочек, куполов и т. д. остается минимум массы. Вот почему в этом направлении ведутся большие экспериментально-теоретические исследования [65]. Они и позволяют оценить, насколько близки или далеки от систем, оптимальных по массе, применяемые в настоящее время в практике строительства традиционные конструкции.
1.6. Расширенные постановки задач оптимизации конструкций
Среди проектировщиков интерес к задаче оптимального проектирования строительных конструкций занимал всегда главенствующую роль. Из всего многообразия существующих постановок задач оптимизации можно выделить следующие основные направления исследований:
1) минимизация массы конструкции с фиксированной геометрией
решетки или срединной поверхности (распределение масс по элементам
заданной осевой схемы или вдоль срединной поверхности заданных очер
таний);
- оптимизация формы и упругих свойств материала конструкции;
- поиск оптимального распределения внешних нагрузок.
Первые результаты в области синтеза дискретных стержневых систем (ферм) минимальной массы на заданном множестве узлов были получены в работах [105,109, 132].
Сложные задачи синтеза многоэлементных статически неопределимых ферм были реализованы в работах [60, 71].
Дальнейшее развитие и обобщение концепции синтеза конструктивных систем минимальной массы было осуществлено в работах [68, 69] на основе сочетания алгоритмов метода конечных элементов и математического программирования. В дальнейшем был создан ряд программ синтеза конструктивных систем [48, 71, 78, 98, 99, 107, 112].
29
Значительно меньшее количество исследований было связано с поиском оптимального распределения нагрузок по поверхности или объему конструктивных систем [9, 22, 42, 43, 45, 137]. По-видимому, это объясняется необходимостью одновременного варьирования структуры упругих систем в процессе определения оптимальных нагрузок, что представляет дополнительные трудности при численном решении.
Отдельное направление в теории проектирования конструктивных систем связано с решением обратных задач строительной механики по определению формы и материала по некоторым известным характеристикам напряженно-деформированного состояния конструкции и ее элементов. Авторы работ [3, 8, 73, 74, 75, 81, 88, 91] включили в число искомых геометрические очертания поверхности и физические константы материала (модули упругости).
В виду того, что элементы реальных конструкций, имеющие в большинстве своем постоянные геометрические и физические характеристики, нагружены с разной интенсивностью, т.е. имеют различные напряжения, конструктивные системы с постоянными характеристиками элементов заведомо нерациональны. Следовательно задача конструирования заключается в следовании направлениям потоков основных напряжений, возникающих в элементах конструкции от действия заданных нагрузок и последующем перераспределении плотности и физических характеристик материала таким образом, чтобы сконцентрировать материал в направлениях и областях действия наибольших напряжений и, наоборот, ослабить малонапряженные участки.
Эта цель может быть достигнута при создании конструкций с переменными характеристиками путем варьирования плотности, толщин, физических характеристик элементов, откуда следует три разновидности постановок оптимизационных задач:
1) минимизация массы стержневых систем с одновременным поиском оптимального распределения сечений стержневых элементов;
30
2) проектирование конструкций переменной плотности, с после
дующим удалением материала из малонагруженных областей и образова
нием внутренних полостей на их местах, а также минимизация массы кон
струкций путем выбора схем оптимального армирования;
3) проектирование конструкций переменной жесткости при помощи
распределения по объему или поверхности конструкции физических ха
рактеристик материала (модулей упругости), а также путем создания оп
тимальной анизотропии элементов [6, 7, 8, 9, 75, 122].
К недостаткам работ указанного подхода следует отнести:
- отдельное, независимое рассмотрение геометрических и физических характеристик элементов конструкции, неучет их совместного влияния на оптимальный проект;
- варьирование отдельных физических характеристик материала конструкции при фиксированных значениях остальных;
- постоянство заданного типа анизотропии материала во всей задаваемой им области.
Рассмотрение этих вопросов является актуальной темой исследований по оптимизации конструктивных систем [18, 19, 20, 66, 72, 76, 121, 127, 144].
Ф. Отто [47] предлагает оценивать эффективность конструкции с учетом связи между формой, усилием и массой по формулам:
bic = m/FS, (1.1)
\ = S/y[F, (1.2)
где Ыс - отношение массы т конструкции к усилию F, действующему на расстоянии S; X - относительная стройность конструкции.
Массивные конструкции согласно формуле (1.1) имеют большие значения Ыс, а легкие конструкции - малые значения. Из формулы (1.2) следует, что с увеличением S растет стройность конструкции. Причем конструкции, подверженные сжатию и изгибу, при большой стройности X имеют большую массу и, следовательно, большие значения Ыс.
31 1.7. Оптимизация стержневых систем
С каждым годом в строительстве все большее применение получают пространственные конструкции типа куполов, сводов, вантово-стержневых покрытий, конструкций башенного типа, которые состоят преимущественно из стержней. Прежде всего, это связано с производством высокопрочных сталей, дюралюминиевых и стеклопластиковых материалов, армоцемента, фибробетона, клееной древесины, многослойных панелей, гнутых металлических и пластмассовых профилей, а также внедрение в практику проектирования ЭВМ. Все это способствует появлению и значительному распространению пространственных конструкций.
Появление новых конструктивных решений зданий и сооружений, использование новых материалов, углубленное знание о работе конструкций, использование ЭВМ требуют непрерывного совершенствования методов расчета строительных конструкций [59, 63].
С возникновением и развитием такой области прикладной механики, как математическое программирование, появилась возможность осуществлять на ЭВМ поиск оптимальных конструкций, т. е. решать задачи оптимизации, к которым не всегда применимы классические методы дифференциального и вариационного исчисления [4, 9, 71].
На основе МКЭ проводятся теоретические исследования в области статики стержневых систем при типовых комбинациях нагрузок и различных типах опирания и сопряжения узлов. После этого из числа рассмотренных схем выявляется расчетная схема, согласующаяся с действительной работой конструкции, установленной на основании экспериментальных исследований. Далее осуществляется декомпозиция сложной системы на ряд подсистем с последующей заменой их стержневыми аналогами. Проводится анализ (оптимизация) стержневых подсистем по массе (расходу материала) методами оптимального проектирования. Такого рода математическая модель и алгоритм оптимизации приведены в работах [61, 62].
32 Расчет на устойчивость стержневых систем стал определяющим в
общем процессе расчета, так как разрушение тонкостенных конструкций происходит в основном из-за общей или местной потери устойчивости. Задачам расчета стержневых систем (башен, мачт, рам, ферм куполов и т. д.), подверженных потере устойчивости, посвящены работы [2, 57, 58, 65].
1.7.1. Стержневые пространственные конструкции
Стержневые пространственные конструкции - это конструкции, состоящие из двух и более поясных сеток, соединенных между собой раскосами.
Стержневые пространственные конструкции относятся к одному из перспективных направлений в строительной индустрии, так как они обладают высокой архитектурной выразительностью, малой металлоемкостью, большой пространственной жесткостью, надежностью в эксплуатации и др. Они находят применение как при возведении уникальных сооружений, так и при строительстве объектов в труднодоступных районах.
Пространственные конструкции привлекли широкое внимание специалистов по металлическим конструкциям в конце 50-х годов прошлого столетия. Но еще в 30-е годы Г. Белл применил пространственно-жесткие конструкции кристаллического строения для каркасов летательных аппаратов. Французским ученым Р. Ле Риколе установлено сходство регулярных структур с прочными образованиями органической природы, т. е. показана бионическая суть конструкторской идеи. Им же впервые исследованы ортогональные структуры, составленные из тетраэдров и октаэдров [17].
В последнее время пространственные конструкции, сооружаемые из модульных элементов, нашли повсеместное распространение. Диапазон их применения начинается от детского конструктора и заканчивается большепролетным куполом наземного сооружения, гигантской чашей радиоте-
33 лескопа, раскрывающейся антенной космического летательного аппарата,
огромной конструкцией башни, созданной В.Г. Шуховым и т. д.
Пространственные металлические конструкции обладают рядом достоинств, рациональное использование которых раскрывает применение этих структур в выигрышном свете по сравнению с другими конструкциями [36, 77]:
- благодаря многосвязности и пространственной работе они являются более жесткими, чем плоские, что позволяет проектировать покрытия с несущими структурными плитами примерно вдвое меньшей высоты, чем традиционные (1/15 - 1/25 от пролета);
- возможность перекрывать большие пролеты;
- благодаря многообразию форм они обладают архитектурной выразительностью;
- регулярность структур определяет повторяемость размеров и, как следствие этого, максимальную унификацию стержней и узлов;
- компактность упаковки при транспортировке обеспечивает условия для доставки конструкций в труднодоступные районы, даже по воздуху;
- повышенная надежность от внезапных разрушений, связанная с тем, что потеря устойчивости или разрыв стержня, который не является абсолютно необходимым, не вызовет потери несущей способности всей системы;
- удобство проектирования линий подвесного оборудования и подвесных потолков и др.
Наряду с достоинствами пространственные конструкции обладают рядом недостатков:
1) сложность узловых сопряжений конструкций постержневой сборки и необходимость изготовления элементов с большими затратами труда;
34
- высокая трудоемкость монтажа конструкций, собираемых из отдельных стержней, обусловленная большим количеством элементов, а часто и наличием монтажной сварки;
- наличие большого числа стержней во многих случаях ведет к неполному использованию несущей способности элементов, сечение многих стержней подбирается по предельной гибкости и др.
1.7.2. Математическое моделирование стержневой пространственной системы
Широко распространена следующая вычислительная схема численной реализации нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных: сначала исходная система уравнений дискретизируется по пространственной переменной, затем выполняется интегрирование полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений по времени, и, наконец, на каждом шаге осуществляется решение системы нелинейных алгебраических уравнений.
К основным способам дискретизации континуальных задач относятся следующие методы:
- метод конечных разностей [15, 55];
- вариационные, в том числе прямые, методы [45];
- метод конечных элементов [1, 10, 41,44, 49, 54].
Метод конечных разностей предполагает переход от дифференциальных уравнений и краевых условий к уравнениям в конечных разностях, которые получаются путем замены различных дифференциальных выражений через разностные отношения и значения функций в отдельных точках. Преимуществом этого метода является его хорошее теоретическое обоснование, включающее в себя условия устойчивости, сходимости, точности разностных схем и др.
35
Другое достоинство - это относительная простота процедуры дискретизации, которая к тому же позволяет получить редко заполненные ленточные матрицы. Серьезные трудности при использовании МКР возникают, если сетка нерегулярна и ее направление не совпадает с направлением координатных осей, а также в случае сложных граничных условий и сопряжения разнородных конструктивных элементов.
Вариационные методы заменяют проблему решения систем дифференциальных уравнений задачей определения функций, обеспечивающих минимум некоторого функционала. При этом искомые неизвестные функции аппроксимируются набором определенных базисных функций с неизвестными коэффициентами. В тех случаях, когда базисные функции определены во всей рассматриваемой области, матрицы системы уравнений оказываются заполненными. При больших порядках систем решение таких уравнений затруднительно, так как матрицы часто бывают плохо обусловленными [45].
Метод конечных элементов соединил в себе преимущества метода конечных разностей и вариационных методов, исключив одновременно их недостатки. Разрешающие системы алгебраических уравнений оказываются хорошо обусловленными с редко заполненными матрицами. Достаточно полно учитываются геометрическая форма конструкции, распределение в пространстве и изменение во времени внешних нагрузок, сложные граничные условия, температурные факторы, а также физические свойства используемых в конструкциях материалов.
Теоретически МКЭ рассматривается как специфическая разновидность метода Ритца с локально определенными базисными функциями. Это позволяет использовать теоретический аппарат вариационных методов для математического обоснования МКЭ. Поэтому метод конечных элементов является мощным средством решения сложных задач строительной механики.
36 Решение задач оптимального проектирования конструкций следует
вести рациональными, практически приемлемыми методами. К решению прикладных задач предъявляются требования, которые в чисто математических исследованиях считаются второстепенными. Так, например, прикладная задача должна быть решена не только правильно, но и своевременно, с как можно меньшей затратой усилий; решение должно быть доступным для существующих вычислительных средств и пригодным для фактического использования, а его точность должна соответствовать поставленным целям.
Математическое моделирование широко применяют при расчетах и исследованиях строительных конструкций, чему способствует бурное внедрение в научно-исследовательскую и инженерную деятельность средств вычислительной техники [16].
Моделирование - это исследование объектов познания на их моделях. Математическое моделирование позволяет устанавливать закономерности изменения состояния конструкции при изменении внутренних параметров.
Для математического моделирования используются мощные расчетные комплексы, такие как Lira-Windows, Ansys, Staad, Мираж, Cosmos, Scad и другие. В данной работе для математического моделирования был использован вычислительный комплекс Lira-Windows, основанный на методе конечных элементов (МКЭ). Этот метод является мощным и надежным средством исследования поведения конструкций в условиях разнообразных воздействий. С помощью МКЭ можно проводить расчеты статического и динамического напряженно-деформированного состояния, форм и частот колебаний, анализ устойчивости конструкций и др.
При использовании вышеперечисленных методик и компьютерных программ вытекают следующие преимущества: 1) удобство автоматизированного проектирования; 2) экономия времени; 3) экономия средств.
37 В настоящее время проектирование строительных конструкций выходит на новый уровень развития. Мощная вычислительная техника позволяет осуществить перебор вариантов проектов за сравнительно короткое время.
1.7.3. Основные виды оптимизации стержневых конструкций
Анализ работ по оптимальному проектированию стержневых конструкций показывает, что к настоящему времени сформировались две постановки задач оптимизации стержневых конструкций:
- Заданы воздействия. Требуется определить такие параметры проекта, при которых расход материалов, необходимых для сооружения конструкции, была бы минимальной, а требования, заложенные в строительных нормах, выполнялись.
- Задан некоторый объем ресурсов, необходимых для сооружения конструкции. Требуется при заданном объеме ресурсов определить такие параметры проекта, при которых конструкция могла бы нести максимально возможные нагрузки и воздействия без нарушения требований, заложенных в строительных нормах.
1.8. Требования, предъявляемые к оптимальному проектированию стержневых пространственных конструкций
Проектирование неизбежно связано с рядом требований, приводящих к определенным геометрическим и конструктивным ограничениям, а также ограничениям на поведение конструкции. Некоторые из них носят общий характер, но их большая часть определяется спецификой отдельного проекта. Назовем лишь требования (ограничения), относящиеся к большинству конструкций. Функциональные ограничения содержат требования включения или исключения элементов или связей, сказывающиеся на
38 функциональной эффективности конструкции. Кроме того, существуют
ограничения: по напряжениям, по перемещениям, по условию совместности деформаций, конструктивные, эстетические (архитектурные) и др.
Некоторые требования иногда можно не учитывать при постановке задачи, а проверять их выполнимость после получения решения. При наличии временной нагрузки в исходные данные задачи синтеза конструкции вводится один из вариантов ее расположения. Полученная конструкция проверяется на все возможные комбинации постоянной и временной нагрузок. При неудовлетворительных результатах проверки в исходные данные вводится другой вариант временной нагрузки. В то же время нельзя стать на путь построения огибающей конфигурации, поскольку связанное с ней перераспределение напряжений может привести к нарушению условия прочности.
В качестве объектов исследования в данной работе приняты стержневые пространственные конструкции башенного типа. Конструкции башенного типа имеют широкое распространение, в частности, на линиях электропередачи и связи. Расход металла и других материалов во многом зависит от приближения конструкции к рациональному проекту.
1.8.1. Ограничения на напряжения
Значение напряжений в любом элементе стержневой металлической пространственной конструкции башенного типа должно быть не более предельно допустимого напряжения для данного вида элемента:
ot<Ryyc, (1.3)
где Ry - расчетное сопротивление, ус - коэффициент надежности. Для растянутых элементов принимаем
4-
39 где N, - расчетное усилие в /-м стержне, А, - площадь поперечного сечения /-го стержня.
Для сжатых элементов принимаем
^ЯДс (1.5)
где (р - коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения.
1.8.2. Ограничения на перемещения
Максимальное перемещение узла конструкции должно быть не более допустимого перемещения, определяемого нормами проектирования:
/,*Ш> (1.6)
где /. - фактическое перемещение /-го узла, fu - предельно допустимое
перемещение.
1.8.3. Ограничение по условию совместности деформаций
Возникающие в стержневых системах деформации вызывают перемещения их элементов. Чтобы после деформации системы сплошность ее не нарушалась, поле перемещений должно быть определенным образом согласованно с полем деформаций.
В методе конечных элементов необходимо принять по крайней мере квадратичные базисные функции координат, чтобы обеспечить неразрывность поля деформаций. При смягчении условий неразрывности стремятся удовлетворить лишь условия неразрывности перемещений.
1.8.4. Конструктивные ограничения
Для каждого вида сортамента есть конечное число типоразмеров, которые ограничивают область его применения:
40
4<[А], (1.7)
где Ai - площадь /-го элемента, [А]- предельная площадь сечения для определенного типа сортамента.
1.8.5. Эстетические ограничения
Требования, предъявляемые к внешнему виду конструкции, вызывают геометрические и конструктивные ограничения.
При наличии симметрии в конструкции исключение элементов необходимо производить симметрично, чтобы не потерять ее архитектурную выразительность и органичность.
Вышеперечисленные ограничения определяют область допустимых решений при оптимальном проектировании конструкций башенного типа.
1.9. Выбор материала для проектируемой конструкции
Большую роль при проектировании играет выбор материала. Как сказал академик А.А. Благонравов, мы сможем еще быстрее пойти вперед, если дадим конструкторам не те материалы, которые удается получить, а те, которые они требуют. Когда мы сможем это условие выполнить наступит эпоха, которую можно будет назвать "веком неограниченного выбора". Структура материала должна быть подчинена общим принципам образования конструкции.
Несмотря на прогресс в разработке оптимальных форм несущих конструкций и создании материалов с заданными свойствами, проблема объединения этих стремлений остается актуальной [28].
Конструкционные материалы особенно хороши тогда, когда они имеют большую прочность и высокий модуль упругости. Применение материалов с программируемыми свойствами объединяет все этапы проектирования в единую комплексную задачу. В такой ситуации, опираясь только
41 i !
на опыт и интуицию, просто невозможно найти оптимальные инженерные
решения. Тогда и проявится во всю мощь сила математических методов
структурного синтеза.
Выводы
- Анализ литературных источников показывает, что проблемы оптимального проектирования конструкций недостаточно изучены, несмотря на большое число работ в этой отрасли знаний. В частности, недостаточно разработаны методы оптимизации строительных конструкций.
- Современная теория оптимизации пока не удовлетворяет требованиям инженера-конструктора проектировщика зданий и сооружений в связи с тем, что ее строгие математические методы не учитывают реальных ситуаций проектно-конструкторских задач.
- Важное значение в решении проектных задач и повышении технического уровня строительных конструкций имеет совершенствование теории расчета и методов проектирования строительных конструкций.
- К числу недостатков можно отнести то, что в настоящее время лишь некоторые из проектировщиков используют современные математические модели для оптимизации конструкций.
42 2. КОНСТРУКЦИИ БАШЕННОГО ТИПА
2.1. Общие сведения
В большинстве случаев исследуемые конструкции имеют стержневую структуру. Работы отечественных и зарубежных ученых были направлены на создание методов расчета такого рода конструкций. Однако, как было показано выше, эти методы не предусматривают современные постановки задач проектирования, исходящие из всеобъемлющего охвата ресурсов материалов путем варьирования их формы и композиции конструкции [11,39].
Были осуществлены оптимальные проекты лишь отдельных типов гражданских и промышленных сооружений башенного типа. Сохраняется актуальность проблемы, решение которой приведет к значительному экономическому эффекту. В то же время конструктивное решение не должно создавать дополнительных сложностей в технологических процессах по возведению конструкций рассматриваемого типа.
Проектные расчеты подразумевают оптимальную форму и оптимальные сочетания материалов. Конструкции башенного типа со стержневой структурой, как правило, являются статически неопределимыми системами. При малом количестве стержней для их расчета можно применить классические методы - метод сил и метод перемещений. С нарастанием числа стержней эти методы дают усложненное решение, поэтому проектировщики чаще используют метод конечных элементов, а именно, его вариант метода перемещений.
Конструкции башенного типа являются пространственными решетчатыми конструкциями. Первая в Европе башня для радиовещания спроектирована российским инженером В.Г. Шуховым в 1921 году и построена в 1922 году в Москве. Конструкции башенного типа требуют малой площади
43 застройки, недороги в эксплуатации, хотя и небезопасны для воздушного
транспорта.
Вес четырехгранной трубчатой радиобашни при высоте до 200 метров составляет 0,5 - 0,6 т/м, трехгранной - 0,4 - 0,5 т/м. Меньшие значения относятся к низким башням, большие - к высоким. Башни из уголков в 1,5 -1,7 раза тяжелее трубчатых.
В связи с этим и возникает необходимость оптимального проектирования конструкций башенного типа [29, 31, 32, 86].
2.2. Область применения конструкций башенного типа
К конструкциям башенного типа относятся: антенные сооружения, радиобашни, телебашни и т.д. В ряде случаев антенные сооружения на оттяжках не удовлетворяют радиотехническим требованиям и могут выполняться только в виде радиобашен. В соответствии с радиотехническими требованиями радиобашни проектируются либо с изолированным, либо с заземленным основанием. Ширина базы башни назначается в пределах 1/12 - 1/17 высоты, ширина верхушки - около 1,5 -2 м, толщина шпиля -0,3-1,0 м.
Большую группу исследуемых конструкций составляют антенные устройства для телевидения, радиовещания и многоканальной телефонной связи. При передаче средних волн мачта высотой 200 - 500 м может выполнять функции излучателя. В иных случаях башни и мачты служат для размещения на определенной высоте проволочной сети или специальных антенных устройств.
Опоры воздушных линий электропередачи служат для передачи электроэнергии по проводам, прикрепленным к опорам через гирлянды изоляторов. Для защиты от молнии над проводами размещают грозозащитные тросы. Высокое напряжение электрического тока, передаваемого по проводам, требует значительного удаления проводов друг от друга и от земли,
44 поэтому высота опор составляет 20 - 40 м, а при переходе линии через
препятствия может достигать 150 м и более.
Вытяжные башни служат для поддержания газоотводящих стволов дымовых и вентиляционных труб. Высота башни, определяемая экологическими требованиями, обычно составляет 80 - 150 м, хотя имеются башни высотой 600 м.
Башни морских стационарных платформ для добычи нефти и газа устанавливают на континентальном шельфе морей и океанов. Прикрепленная с помощью свай к морскому дну башня поддерживает искусственный островок, на котором размещены буровая вышка, мастерские, вертолетная площадка, жилые помещения и пр. Это, как правило, уникальные сооружения, достигающие глубин 200 - 300 м и более при ширине основания порядка 70 м. Решетчатую конструкцию такой башни выполняют из труб диаметром 2 - 4 м при толщине стенок 60 - 90 мм.
К башенным конструкциям относят также геодезические вышки, промышленные этажерки, надшахтные копры, буровые вышки и др.
2.3. Нагрузки, действующие на конструкцию башни
Башни рассчитывают на комбинации нагрузок, дающих наибольшие усилия в элементах или наибольшие перемещения башни. Расчетной схемой при наличии антенной сети является ураганный ветер наиболее невыгодного направления.
Кроме того, башни, поддерживающие антенные сети, рассчитывают на односторонний обрыв всей сети, вызывающий изгиб, или на обрыв половины сети, который создает крутящий момент (аварийный случай). Расчет башни, не несущей антенной сети, упрощается, так как расчетной схемой в этом случае всегда является ветер на угол башни прямоугольного сечения и ветер на грань башни треугольного сечения [17].
45 2.4. Конструктивные схемы башен
Башни принято классифицировать: по количеству граней - трех-, четырех- и многогранные; по конфигурации - без переломов граней по высоте и с переломами граней; по схеме решетки - с треугольной, ромбической, крестовой и другими решетками.
Наибольшее распространение имеют четырехгранные башни. Трехгранные башни менее металлоемки, не требуют устройства диафрагм для обеспечения неизменяемости контура, менее чувствительны к осадкам фундаментов, имеют меньшее число сборочных элементов. В то же время им присущи существенные недостатки. Расположение граней в плане под углом 60° не позволяет применять для поясов стандартные уголки и крестовые сечения из них, усложняются узлы сопряжения элементов.
Многогранные башни тоже уступают четырехгранным по конструктивным и технологическим показателям. Однако, по расходу стали при достаточно большой высоте они могут оказаться более экономичными. Их применяют крайне редко, главным образом в уникальных конструкциях по архитектурным соображениям.
Основные конструктивные элементы четырехгранной башни с ромбической решеткой приведены на рис. 2.1. Аналогичную конструкцию имеют грани трех- и многогранных башен.
Неизменяемость контура поперечного сечения обеспечивают с помощью диафрагм, которые размещают по высоте башни на расстояниях, в 1,5...2,5 раза превышающих ширину грани башни. Диафрагмы одновременно используют для размещения обслуживающих устройств. Для подъема на площадки сооружают лестницу или лифт. В трехгранных башнях диафрагмы предусматривают только в целях устройства площадок, поскольку контур таких башен неизменяем.
46
Рис, 2.1. Конструктивные элементы башни:
1 - пояса; 2 - раскосы; 3 - дополнительная распорка;
4 - распорки; 5 - связи; 6 - шпренгель
2.4.1. Конфигурация башни
Основные типы силуэтов башни даны на рис. 2.2.
а б о г
Рис. 2.2. Силуэты башен
47 Призматические башни (рис. 2.2, а) сооружают при небольшой их
