«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ...»

При анализе рядов динамики в ряде случаев возникает необходимость в выявлении сезонных колебаний. Для определения сезонных колебаний обычно анализируются месячные и квартальные уровни ряда динамики за год или за несколько лет (в основном не менее 3-х лет). При выявлении и оценке сезонности рассчитывают специальные показатели – индексы сезонности (). Способы определения индексов сезонности различны и зависят от характера ряда динамики.

В рядах, не имеющих ярко выраженной тенденции развития (или она не наблюдается совсем), изучение сезонности основано на методе простой средней. Сущность этого метода заключается в том, что показатели сезонной волны определяются процентным отношением соответствующих средних месячных (квартальных уровней) к их общей средней за весь изучаемый период. Следовательно, при изучении помесячной сезонности сначала средние по месяцам и среднюю годовую исчисляют из данных за несколько лет (по простой арифметической), а затем эти средние по месяцам года ()относят к средней годовой (к среднему месячному уровню для взятых лет) (), т.е. индекс сезонности исчисляется по формуле:

В рядах динамики, имеющих тенденцию развития, для определе-ния индексов сезонности вначале рассчитывают уровни, сглаженные методом скользящей средней или выравненные по определенной функции. Индексы сезонности вычисляются отношением фактического уровня за определенный квартал или месяц () к выравненному за этот же период (). В результате при использовании, например, квар-тальных данных за три года получают двенадцать индексов сезонности:

.

Затем исчисляют средние индексы сезонности для одноименных кварталов за рассматриваемые годы:

.

В качестве аналитической формы сезонной волны иногда применяется уравнение следующего вида:

,

где k - порядок гармоники тригонометрического многочлена; t - время; - параметры ряда Фурье.

Это уравнение представляет собой ряд Фурье, где время (t) выражается в радиальной мере или в градусах:

Месяцы t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Радиальная мера	0
Градусы	0	30	60	90	120	150	180	210	240	270	300	330
Уровни, уi	у1	у2	у3	у4	у5	у6	у7	у8	у9	у10	у11	у12

Обычно при выравнивании по ряду Фурье рассчитывают не более четырех гармоник и затем уже определяют, с каким числом гармоник наилучшим образом отражается периодичность изменения уровней ряда.

Например, при k = 1 уравнение ряда Фурье будет иметь вид:

при k = 2 соответственно: .

Параметры уравнения находят по способу наименьших квадратов. При этом формулы, используемые для исчисления указанных выше параметров уравнения ряда Фурье имеют вид:

; ; .

Тесты

11. В чем суть приема “укрупнение периодов времени”?

1) определяются средние уровни с помощью математического урав-нения; 2) отыскиваются и сравниваются базисные темпы роста; 3) производится замена абсолютных данных средними арифметическими при постепенном исключении из рассмотрения первых уровней и включении последующих уровней; 4) производится замена абсолютных уровней данными.

2. Каким методом целесообразно сглаживать короткие динамические ряды?

1) с помощью скользящей средней; 2) путем укрупнения интервалов; 3) с помощью аналитического выравнивания; 4) исчислением средних по укрупненным интервалам.

3. Что является первым этапом аналитического выравнивания динамического ряда?

1) выявление характера динамики явления; 2) расчет выровненных уровней; 3) определение параметров уравнения по способу наименьших квадратов; 4) выбор математического выражения закономерности.

4. В каком случае упрощается система уравнений для нахождения параметров уравнения ?

1) принимается четное количествоо периодов; 2) принимается нечетное количество периодов; 3) начало отсчета времени переносится в середину рассматриваемого периода; 4) расчет выполняется табличным методом.

5. По какой формуле можно определить ?

1); 2);; 3) 4).

6. В чем суть приема эмпирического сглаживания?

1) определяются средние уровни с помощью математического урав-нения; 2) отыскиваются и сравниваются базисные темпы роста; 3) про-изводится замена абсолютных данных средними арифметическими при постепенном исключении из рассмотрения первых уровней и включении последующих уровней; 4) производится замена абсолютных данных средними арифметическими за укрупненные периоды.

7. В чем суть метода наименьших квадратов?

1); 2); 3); 4).

8. Какой расчет необходимо сделать для определения параметров уравнения ?

1); 2); 3).

9. Какую систему уравнений надо решить для определения параметров уравнения ?

1);2);3);4)

Решение типовых задач

Пример 1. Имеются следующие данные о товарных запасах торгового дома за 1994 – 2002гг., млн. грн.

1994 г. 1995 г. 1996 г. 1997 г. 1998 г. 1999 г. 2000 г. 2001 г. 2002 г.

10,0 10,7 12,0 10,3 12,9 16,3 15,6 17,8 18,0

Требуется выявить основную тенденцию изменения товарных запасов, используя следующие методы: 1) укрупнение интервалов времени; 2) эмпирическое сглаживание; 3) аналитическое выравнивание по прямой.

Решение

1. Укрупнение интервалов времени. Произведем укрупнение интервалов, начиная с объединения двух уровней:

1994-1995гг.:10,0+10,7=20,7 млн.грн; 1998-1999гг.:12,9+16,3=29,2 млн.грн

1996-1997гг.:12,0+10,3=22,3 млн.грн; 2000-2001гг.:15,6+17,8=33,4млн.грн.

По результатам проведенных расчетов проявляется тенденция роста изучаемого показателя. Используя полученные суммы по периодам, можно рассчитать ступенчатые средние. Для наглядности итоги расчетов оформим в таблице.

Таблица 8.2

Укрупнение интервалов времени и ступенчатые средние, исчисленные по данным о товарных запасах торгового дома за 1994 – 2002 гг.

Интервалы времени	Суммы по периодам,млн.грн.	Ступенчатые средние,млн.грн.
1994 – 1995	20,7	10,4
1996 – 1997	22,3	11,2
1998 – 1999	29,2	14,6
2000 – 2001	33,4	17,7
2002	-	18,0

Ступенчатые средние наглядно отображают тенденцию роста товарных запасов торгового дома за 1994–2002гг.

2. Эмпирическое сглаживание. Сгладим данный ряд динамики по трехлетней скользящей средней, т.к. период колебаний запасов равен трем годам. Исчислим:

средний уровень за 1994-1996гг.:млн.грн.;

средний уровень за 1995-1997гг.:млн.грн.;

средний уровень за 1996-1998гг.:млн.грн.

и т.д. Результаты расчета трехлетней суммы и скользящей средней по периодам представим в таблице (табл. 8.3).

Таблица 8.3

Сглаживание динамического ряда товарных запасов за 1994 – 2002гг. с помощью трехлетней скользящей средней

Годы	Товарные за-пасы,млн.грн.	Период сглаживания	Середин-ный год	3х-летние сум-мы,млн.грн	3х-летние скользящие средние,млн. грн
1	2	3	4	5	6
1994	10,0	–	–	–	–
1995	10,7	1994 - 1996	1995	32,7	10,9
1996	12,0	1995 - 1997	1996	33,0	11,0
1997	10,3	1996 - 1998	1997	35,2	11,7
1998	12,9	1997 - 1999	1998	39,5	13,2
1999	16,3	1998 - 2000	1999	44,8	14,9
2000	15,6	1999 - 2001	2000	19,7	16,6
2001	17,8	2000 - 2002	2001	51,4	17,1
2002	18,0	–	–	–	–

Таким образом, нами получен новый ряд динамики (гр. 4 и 6), в котором наблюдается тенденция роста запасов за исследуемый период времени.

3. Аналитическое выравнивание. При выборе функции, описывающей тенденцию, логический анализ динамического ряда должен опираться на графические изображение его. Нанесем на график приведенные данные. Ломаная кривая, отображающая фактические данные, позволяет выбрать в качестве функции, описывающей тренд, уравнение прямой (рис.8.1).

Уравнение прямой выражается формулой:

где значение выравненного ряда (теоретические уровни);и - параметры уравнения прямой; показатель времени.

Рис. 8.1. Товарные запасы торгового дома за 1994–2002гг.

Для нахождения параметров и необходимо решить систему нормальных уравнений:

где у – фактические уровни ряда динамики; п – количество уровней.

Для упрощения расчетов в рядах динамики обозначают время так, чтобы начало отсчета времени приходилось на середину рассматриваемого периода. Если количество уровней четное, то условное обозначение показателя времени принимает вид:

Годы 1997 1998 1999 2000 2001 2002

t -5 -3 -1 +1 +3 +5

Если количество уровней нечетное, условное обозначение t имеет вид:

Годы 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

t -3 -2 -1 0 1 2 3

Таблица 8.4

Вспомогательные расчеты для определения параметров а0 и а1 уравнения прямой и критерия статистической точности

аналитического уравнения

Годы	Товарные запасы, млн.грн.	t	t2	yt	yt	|y - yt|
1	2	3	4	5	6	7	8
1994	10,0	- 4	16	- 40,0	9,4	0,6	0,036
1995	10,7	- 3	9	- 32,1	10,5	0,2	0,004
1996	12,0	- 2	4	- 24,0	11,6	0,4	0,013
1997	10,3	- 1	1	- 10,3	12,7	2,4	0,233
1998	12,9	0	0	0	13,8	0,9	0,070
1999	16,3	1	1	16,3	14,9	1,4	0,086
2000	15,6	2	4	31,2	16,0	0,4	0,026
2001	17,8	3	9	53,4	17,1	0,7	0,039
2002	18,0	4	16	72,0	18,2	0,2	0,011
Итого	123,6	0	60	66,5	124,2	-	0,520

Следовательно, = 0. Тогда система нормальных уравнений примет вид: Отсюда,

Следовательно,; .

Таким образом, уравнение прямой, описывающей тенденцию из-менения товарных запасов за 1994-2002гг., примет вид:

Подставив в это уравнение значение t получим выравненные (теоретические) показатели товарных запасов (табл. 8.3, гр.6). По приведенным расчетам можно сделать вывод о тенденции роста запасов, при этом в среднем ежегодно они возрастали на 1,1 млн.грн., о чем свидетельствует значение параметра а1 в уравнении прямой.

Определим критерий статистической точности анализируемого уравнения:. Так как то можно заключить, что в данном случае аналитическое уравнение достаточно точно описывает эмпирические данные.

Пример 2. Имеются следующие данные о продаже трикотажных изделий в розничной торговой сети по кварталам за три года, млн.грн:

Годы	Кварталы
	I	II	III	IV
Первый год	70	51	46	83
Второй год	79	47	44	88
Третий год	73	46	45	96

Для анализа внутригодовой динамики продажи трикотажных изделий необходимо определить индексы сезонности.

Решение

По годовым показателям рассчитаем темпы роста:

Таблица 8.5

Динамика продажи трикотажных изделий в розничной

торговой сети региона

Годы	Годовые уровни продажи три-котажных изделий, млн. грн	Темпы роста, %
		к предыдущему году	к первому году
Первый	250	-	100,0
Второй	258	103,2	103,2
Третий	260	100,8	104,0

Представленный в нашем примере ряд динамики имеет цепные и базисные темпы роста, изменяющиеся незначительно. Для анализа внут-ригодовой динамики рядов, в которых наблюдается стабильность годо-вых уровней или имеет место незначительная тенденция роста (сниже-ние), изучать сезонность возможно с помощью метода простой средней:

.

Применяя формулу средней арифметической простой, определим средние квартальные уровни за три года:

I квартал: млн.грн.;

II квартал: млн.грн и т.д. (табл. 8.6)

Исчислим общую среднюю (итог по гр.6 табл.8.6): Определим за каждый квартал индексы сезонности:

I квартал: и т.д. (табл. 8.6).

Таблица 8.6

Расчет индексов сезонности продажи трикотажных изделий в розничной сети региона по кварталам трех лет

Годы и показатели	Кварталы				Итого за год
	I	II	III	IV
1	2	3	4	5	6
Первый	70	51	46	83	250
Второй	79	47	44	88	258
Третий	73	46	45	96	260
Итого:	222	144	135	267	768
Средний уровень, млн.грн	74	48	45	89	64
Индексы сезонности, %	115,6	75,0	70,3	139,1	100,0

Рис. 8.2. График сезонности продажи трикотажных изделий по кварталам за три года.

По индексам сезонности можно наблюдать рост или снижение продажи трикотажных изделий в различное время года. Так, по проведенным расчетам очевидно, что наименьший спрос приходится на III квартал и наибольший – на IV квартал.

Сезонная волна, изображенная графически (рис 8.2), показывает, что ниже среднего уровня продажа трикотажных товаров наблюдается во II и III кварталах и выше среднего уровня она в I и IV кварталах года (осенний и зимний подъемы).

Пример 3. Имеются следующие данные о внутригодовой динамике поставок сельскохозяйственной продукции торговой фирме, тыс.т:

Кварталы	Поставка, тыс. т
	первый год	второй год	третий год
I	16,2	15,0	15,8
II	17,0	19,8	22,5
III	17,7	17,8	18,7
IV	15,1	16,8	17,2

Для анализа внутригодовой динамики поставки сельскохозяйственной продукции требуется исчислить индексы сезонности.

Решение

Для каждого года квартальные уровни укрупним до годовых и по ним исчислим темпы роста.

Таблица 8.7

Динамика поставки сельскохозяйственной

продукции торговой фирме

Годы	Годовые уровни, тыс. т	Темпы роста, %
		к предыдущему году	к первому году
Первый	66,0	-	100,0
Второй	69,4	105,2	105,2
Третий	74,2	106,9	112,4

Можно отметить, что ряд динамики имеет четкую тенденцию роста поставок, об этом свидетельствуют увеличивающиеся цепные и базисные темпы роста.

Для расчета индексов сезонности в таких рядах динамики применяют формулу:

Определим теоретические значенияпо уравнению:

Для определения параметров а0 и а1 составим таблицу 8.8 со вспомогательными расчетами.

Таблица 8.8

Расчет параметров и аналитического уравнения

Периоды	Поставка, тыс.т,	t	t2	yit
1	2	3	4	5	6	7
Первый год
I кв.	16,2	-11	121	-178,2	16,2	100,0
II кв.	17,0	-9	81	-153,0	16,4	103,7
III кв.	17,7	-7	49	-123,9	16,7	106,0
IV кв.	15,1	-5	25	-75,5	16,9	89,3
Второй год
I кв.	15,2	-3	9	-45,6	17,1	88,9
II кв.	19,4	-1	1	-19,4	17,4	111,5
III кв.	18,0	1	1	18,8	17,6	102,3
IV кв.	16,8	3	9	50,4	17,9	93,9
Третий год
I кв.	15,8	5	25	79,0	18,1	87,3
II кв.	22,5	7	49	157,5	18,3	117,5
III кв.	18,7	9	81	168,3	18,6	100,5
IV кв.	17,2	11	121	189,2	18,8	91,5
Итого	209,6	0	572	66,8	210,0	-

Определим параметры: ;

Следовательно, уравнение прямой примет вид:. Подставив в полученное уравнение значения t (квартальные), получим выравненные уровни ряда (табл. 8.8 гр. 6). Далее необходимо оп-ределить для каждого квартала процентные отношения эмпирических уровней ряда (yi) к теоретическим (), т.е. (табл.8.8 гр.7).

Таблица 8.9

Динамика поставок сельскохозяйственной продукции торговой фирме и расчет индексов сезонности

Квар- талы	Фактические данные, yi			Выравненные данные,			Фактические данные в % к выравненным,			Сумма про-центных отноше ний, (гр.8+ +гр.9+ +гр.10)	Индексы сезон- ности, : : n
	первый год	второй год	третий год	первый год	второй год	третий год	первый год	второй год	третий год
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
I	16,2	15,2	15,8	16,5	17,1	18,1	100,0	88,9	87,3	276,2	92,1
II	17,0	19,4	22,5	16,4	17,4	18,3	103,7	111,5	117,5	332,7	110,9
III	17,7	18,0	18,7	16,7	17,6	18,6	106,0	102,3	100,5	308,8	102,9
IV	15,1	16,8	17,2	16,9	17,9	18,8	89,3	93,9	91,5	274,7	91,6
Итого	66,0	69,4	74,2	66,2	70,0	73,8	-	-	-	-	100

Просуммируем полученные процентные отношения за три года по одноименным кварталам:

I кв. : 100,00 + 88,9 + 87,3 = 276,2;

II кв. : 100,3 + 111,5 + 117,5 = 332,3 и т. д. (табл. 8.9 гр.11).

Затем исчислим индексы сезонности (табл. 8.9 гр.12). Они характеризуют размеры поставок сельскохозяйственной продукции в зависимости от времени года. Наибольший удельный вес поставок приходится на второй и третий кварталы года.

Пример 4. На условных данных о грузообороте предприятий в одном из регионов необходимо произвести выравнивание по ряду Фурье. В таблице содержатся произведения у · соst, у · sint, необходи-мые для определения параметров уравнения по первой гармонике.

На основе полученных итоговых данных таблицы 8.10 находим:

Отсюда:

Подставляя в это уравнение значения соst, sint (из таблицы приложения 2) получим теоретические значения грузооборота (см. гр. 5 табл. 8.10).

Таблица 8.10

Грузооборот транспортных предприятий региона и расчет параметров системы уравнения по ряду Фурье

Месяц, t	Грузооборот, млрд. ткм, у	у соst	у sint
1	2	3	4	5
1	60	60,00	0	71,20
2	80	69,28	40,00	81,02
3	86	43,00	74,45	90,22
4	108	0	108,00	96,03
5	134	- 67,00	116,04	97,10
6	58	- 50,22	29,00	93,06
7	70	- 70,00	0	85,04
8	68	- 58,88	- 34,00	76,50
9	90	-45,00	- 77,94	66,10
10	70	0	- 70,00	60,26
11	58	29,00	- 50,22	59,22
12	56	48,50	- 28,00	63,26
Итого	938	- 41,32	107,36	939,04

Параметры гармоники второго и высшего порядка рассчитываются аналогично, и их значения последовательно присоединяются к значениям первой гармоники. Опустив расчеты, запишем уравнение для выравнивания изучаемого ряда с учетом второй гармоники:

Подставив в данное уравнение конкретные значения соst, sint, sin2t, соs2t, получим выравненные данные грузооборота по месяцам. Расчет и сравнение остаточных дисперсий позволяет судить о том, какая гармоника наиболее близка к фактическим уровням ряда.

Задачи для самостоятельного решения

8.1. Поголовье крупного рогатого скота в стране характеризуется следующими данными, тыс. голов:

1996г. 1997г. 1998г. 1999г. 2000г. 2001г. 2002г.

67,2 73,4 68,2 64,1 65,0 66,7 70,5

Выявите тенденцию ряда динамики поголовья крупного рогато-го скота в стране с помощью аналитического выравнивания. Произ-ведите расчет показателя на 2006г. Сделайте выводы.

8.2. По страховым организациям города имеются следующие данные о страховых взносах по месяцам 2002 г., тыс. грн.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
22,7	24,5	31,3	29,4	30,2	27,4	30,3	32,5	28,1	34,1	32,0	34,7

Установите, по какой функции следует произвести выравнива-ние этого ряда. Определите параметры уравнения, характеризующего тренд. Рассчитайте теоретические (выравненные) уровни. Сделайте выводы.

8.3. Производство продуктов земледелия в регионе характеризуется следующими данными, млн. т.

Годы	Морковь	Баклажаны	Картофель
1994	1,8	1,1	58
1995	1,9	1,6	54
1996	2,0	1,7	61
1997	2,4	1,5	65
1998	2,2	1,2	63
1999	2,5	1,3	64
2000	2,4	1,0	37
2001	2,6	0,9	70
2002	2,3	1,1	72

Для изучения общей тенденции производства сельскохозяйственной продуктов произведите: 1) сглаживание уровней рядов динамики с помощью трехчленной скользящей средней; 2) аналитическое выравнивание; 3) прогноз объема производства каждого продукта на 2005 год.

8.4. Размеры ссуд, выданных банком по месяцам, характеризуются данными, млн. грн.:

Месяцы	2000 г.	2001 г.	2002 г.
Январь	7,4	10,1	14,2
Февраль	8,2	12,4	13,8
Март	7,8	11,8	14,4
Апрель	7,9	13,2	12,1
Май	8,1	12,4	11,0
Июнь	8,0	13,1	13,4
Июль	8,2	10,8	12,8
Август	7,9	12,8	11,0
Сентябрь	8,3	12,2	12,5
Октябрь	7,8	14,0	10,8
Ноябрь	8,5	13,6	11,6
Декабрь	8,4	13,8	9,2

Для изучения тенденции данного показателя по месяцам 2000 - 2002гг., произведите: 1) укрупнение интервалов времени в квартальные уровни; 2) сглаживание данных с помощью скользящей средней.

8.5. Имеются следующие данные об издержках обращения посреднических торговых фирм в регионе, млн. грн.:

Месяцы	2000	2001	2002
Январь	4,2	4,8	5,2
Февраль	4,7	5,4	5,9
Март	4,4	5,1	5,1
Апрель	4,9	4,9	5,6
Май	4,8	5,2	6,0
Июнь	5,1	5,6	5,8
Июль	5,3	4,8	5,9
Август	5,0	5,3	6,1
Сентябрь	4,9	5,0	6,3
Октябрь	4,5	5,4	5,7
Ноябрь	4,9	5,3	5,8
Декабрь	4,6	4,9	6,2

Для изучения тенденции изменения издержек обращения по месяцам за 2000 - 2002гг. произведите: 1) преобразование начальных данных путем укрупнения периодов времени в квартальные уровни; 2) сглаживание показателей издержек обращения по месяцам каждого года с помощью скользящей средней. Сделайте выводы.

8.6. Имеются следующие данные о продаже шелковых тканей в розничной торговле города по кварталам за 2000 - 2002гг., тыс. грн.:

Кварталы	2000 г.	2001 г.	2002 г.
I II III IV	60,3 95,7 148,4 100,1	68,2 111,8 155,7 102,5	70,4 120,1 164,5 118,3

Для анализа внутригодовой динамики продажи шелковых тканей: 1) определите индексы сезонности методом простой средней; 2) изоб-разите сезонную волну на графике по кварталам года. Сделайте выводы.

8.7. По данным о реализации картофеля на колхозных рынках города (тыс. т.) рассчитайте 3-месячные скользящие средние и на их основе вычислите индексы сезонности:

Месяцы	2001 г.	2002 г.
Январь	15,2	16,8
Февраль	14,6	15,1
Март	11,8	12,4
Апрель	8,4	9,7
Май	6,2	7,3
Июнь	9,8	10,4
Июль	11,5	12,7
Август	16,8	18,2
Сентябрь	29,6	35,9
Октябрь	38,7	42,8
Ноябрь	19,4	22,5
Декабрь	16,1	18,7

8.8. Используя данные задачи 8.5 для анализа внутригодовой динамики издержек обращения посреднических торговых фирм в регионе по месяцам 2000 - 2002гг., определите индексы сезонности с применением: 1) 3-месячной скользящей средней; 2) аналитического выравнивания по прямой. Изобразите сезонную волну графически с помощью линейной диаграммы и сделайте выводы.

8.9. Имеются следующие данные в регионе о числе родившихся и количестве зарегистрированных браков по месяцам 2001 - 2002гг., тыс.:

Месяцы	Число родившихся		Количество зарегистрированных браков
	2001 г.	2002 г.	2001 г.	2002 г.
Январь	24,1	25,8	11,5	10,9
Февраль	19,5	20,4	12,4	11,9
Март	26,2	24,2	11,4	10,5
Апрель	21,2	23,1	9,2	8,4
Май	25,0	24,8	8,8	7,8
Июнь	23,4	24,1	12,0	11,9
Июль	24,0	25,6	13,1	12,8
Август	20,2	25,0	18,4	19,2
Сентябрь	18,4	18,9	18,0	17,0
Октябрь	17,0	17,4	11,0	11,7
Ноябрь	17,8	17,0	9,5	9,2
Декабрь	18,2	20,5	8,0	7,5

Для анализа внутригодовой динамики числа родившихся и количества зарегистрированных браков определите индексы сезонности: 1) методом простой средней; 2) с помощью аналитического выравнивания по прямой. Представьте графически сезонную волну развития изучаемых явлений по месяцам года. Сделайте выводы.

8.10. Строительные организации региона имеют следующие данные о сметной стоимости выполненных работ по месяцам, млн.грн.:

Месяцы	2000 г.	2001 г.	2002 г.
Январь	4,8	6,0	6,6
Февраль	5,4	6,3	7,2
Март	6,6	7,2	8,4
Апрель	7,2	7,8	8,7
Май	7,8	8,4	9,3
Июнь	8,4	9,0	9,6
Июль	9,6	9,9	10,2
Август	9,9	10,5	10,2
Сентябрь	9,6	9,9	9,0
Октябрь	8,7	9,3	9,6
Ноябрь	8,1	8,1	9,6
Декабрь	7,5	7,5	9,0

Для анализа внутригодовой динамики объема выполненных работ в строительстве: 1) определите объем выполненных работ по месяцам, используя периодическую функцию ряда Фурье по первой и второй гармоникам; 2) сравните полученные результаты путем определения сумм квадратов отклонений исходных и выравненных данных; 3) вычислите индексы сезонности как отношение выравненных уровней объема работ по месяцам к среднему годовому; 4) постройте график сезонной волны. Сделайте выводы.

8.11. Имеются следующие данные о внутригодовой динамике поставки тканей в розничную торговую сеть города по кварталам за 2000-2002гг., тыс. грн.:

Кварталы	2000 г.	2001 г.	2002 г.
I II III IV	80,5 114,8 156,7 102,1	91,4 121,5 168,4 108,4	100,3 128,4 182,0 112,5

Для анализа внутригодовой динамики поставки тканей: 1) определите индексы сезонности с применением метода аналитического выравнивания по прямой; 2) изобразите графически сезонную волну поставки тканей по кварталам года. Сделайте выводы.

8.12. По данным задачи 8.7: 1) определите реализацию картофе-ля по рынкам города, используя периодическую функцию ряда Фурье по первой и второй гармоникам; 2) сравните полученные результаты путем расчета сумм квадратов отклонений исходных и выравненных данных; 3) вычислите индексы сезонности как отношение выравненных уровней реализации картофеля по месяцам к среднему годовому; 4) постройте график сезонной волны.

8.13. Данные задачи 7.4 о транспортировании грузов трубопроводами страны за 1997 - 2002гг. экстраполируйте на предстоящие пять лет на основе: 1) среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста; 2) аналитического выравнивания уровней ряда динамики. Сравните полученные результаты и выберите наилучший прогноз.

8.14. Данные задачи 7.5 о числе безработных по региону за 1997 - 2002гг. экстраполируйте на ближайшие пять лет на основе: 1) средних показателей ряда динамики; 2) аналитического выравнивания. Сравните полученные результаты и выберите наилучший прогноз.

Тема 9. ИНДЕКСЫ

Методические указания

Индекс – это относительный показатель, характеризующий изменение величины какого-либо социально-экономического явления во времени или соотношение её в пространстве.

Различают индивидуальные индексы и общие. Первые устанавливают изменение единичных, простых показателей (производства отдельного вида изделий, цен на отдельные виды продукции и т.п.), их обозначают буквой “і”. Общие индексы характеризуют изменение показателя по сложной совокупности (объема реализации продукции нескольких видов, цен на все виды проданных товаров и т.п.), их обозначают буквой “І” (рис.9.1)

Все анализируемые с помощью индексов показатели также имеют свою символику и условно делятся на три группы: количественные, качественные и объемные (некоторые из них приведены в табл.9.1.).

Таблица 9.1

Группировка статистических показателей и их символы

в индексном анализе

С т а т и с т и ч е с к и е п о к а з а т е л и
количественные		качественные (показатели уровня)		объёмные
символ	название	символ	название	символ	название
q	количество продукции	p	цена	C	выручка, товарооборот
q	количество продукции	z	себестоимость	Z	общие затраты на производство
h	посевная площадь	u	урожайность	V	валовой сбор
T	затраты труда	w	выработка	q	количество продукции
T	затраты труда	f	средняя зарплата	F	фонд заработной платы
q	количество продукции	t	трудоемкость	T	затраты труда
ОФ	стоимость ос-новных фондов	f0	фондоотдача	q	количество продукции
	средние товарные запасы	с	скорость товарооборота	ТО	товарооборот