«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ...»

4.15. По данным о количестве дошкольных учреждений в Ук-раине за три года вычислите и проанализируйте все возможные отно-сительные величины:

Показатели	1998 г	1999 г	2000 г
Всего дошкольных учреждений, тыс.	17,6	17,2	16,3
В т.ч: - в городской местности	8,2	7,8	7,4
- в сельской местности	9,4	9,4	8,9

4.16. Распределение основных фондов Украины по формам собст-венности за два года характеризуется следующими данными, млн. грн.:

Показатели	Базисный год	Отчетный год
Все основные фонды Украины,	823,6	837,4
в том числе по видам собственности:
- государственная	329,38	326,6
- коммунальная	103,8	119,6
- частная	18,5	20,3
- коллективная	371,0	369,4
- собственность международных орга-низаций и юридических лиц
- других государств	0,92	1,5

Определите все возможные относительные величины.

4.17. За два года объем производства всех автомобилей увеличился на 20 %, а грузовых снизился на 40 %. Как изменился за два года удельный вес производства грузовых автомобилей?

4.18. В прошлом году себестоимость единицы продукции на предприятии составила 18 грн. В плане на текущий год предусмотрено снижение себестоимости единицы продукции до 17 грн. Определите плановое задание по снижению себестоимости.

4.19. В отчетном году план производства продукции малым предприятием выполнен на 106%. По сравнению с прошлым годом прирост производства продукции составил 11,3%. Определите планируемый рост производства продукции малого предприятия по сравнению с прошлым годом.

4.20. По плану на предприятии предусматривалось снижение себестоимости продукции на 1%. Фактически себестоимость была снижена на 1,2%. Определите относительную величину выполнения плана по снижению себестоимости.

4.21. В хозяйстве за год снизилась доля посевов пшеницы в общем объеме посевов зерновых на 20%. А доля посевов зерновых в общем объеме всех посевных площадей возросла на 5%. Как изменилась доля посевов пшеницы в структуре всех посевных площадей?

4.22. Удельный вес городского населения области в 2002 году составил 91%. Общая численность населения в этом же году – 4,8млн.чел. Определите относительную величину координации.

4.23. По одному из предприятий в отчетном году планом предусматривался рост производства продукции на 10%. Фактически в отчетном периоде по сравнению с базисным производство возросло на 6%. Определите относительную величину выполнения плана.

4.24. План товарооборота торговым предприятием выполнен на 102%. По сравнению с прошлым годом прирост товарооборота составил 4%. Определите, какой прирост товарооборота предусматривался планом по сравнению с прошлым годом?

4.25. По плану в АО предусматривалось снижение себестоимости продукции на 5%. Фактически себестоимость была снижена на 2%. Вычислите относительную величину выполнения плана по снижению себестоимости продукции.

4.26. Объем продаж продукции в АО в 2001 году в сопоставимых ценах возрос по сравнению с 2000 годом на 5% и составил 146 тыс.грн. Определите объем продаж в 2000 году.

4.27. Объем продаж компании SAMSUNG с странах СНГ в первом полугодии текущего года составил 250 млн.долл. В целом за год компания планировала реализовать товаров на 600 млн.долл. Определите относительную величину планового задания на второе полугодие.

4.28. По имеющимся данным об урожайности пшеницы в некоторых странах (ц/га) определите относительные величины сравнения:

Украина - 15,4 Казахстан - 7,2 США - 25,3

Россия - 14,5 Нидерланды - 80,7 Китай - 33,2

4.29. По имеющимся данным об инвестициях в основной капитал в стране за три года (млрд.грн.) проанализируйте: 1) структуру инвестиций в основной капитал: а) за счет средств государственного бюджета; б) за счет средств из других источников; 2) показатели динамики инвестиций с постоянной и переменной базой сравнения; 3) относительную величину координации объема инвестиций по годам.:

Годы	Освоено инвестиций в основной капитал
	за счет всех источников финансирования	в том числе за счет средств государственного бюджета
2000	13,9	1,03
2001	17,6	1,34
2002	23,6	1,20

4.30. По следующим данным за 2002 год определите все возможные относительные величины:

Регион	Численность населения, тыс.чел.				Межгосударственная миграция,тыс.чел
	Всего	в том числе в возрасте
		младше тру-доспособного	трудоспо собном	старше тру-доспособного	число при бывших	число вы-бывших
АР Крым	2089,3	401,3	1231,1	456,9	7,4	9,6
Донецкая область	4932,4	852,1	2861,2	1219,1	6,7	11,4
Киевская область	1824,9	356,4	1028,8	439,7	1,2	1,7

4.31. Три бригады рабочих обрабатывают один и тот же вид деталей. Дневная выработка деталей на день обследования характеризуется следующими данными:

Порядковый № рабочего	Дневная выработка рабочего, шт.
	1 бригада	2 бригада	3 бригада
1	38	40	39
2	37	32	33
3	34	50	41
4	36	42	37
5	35	30	32
6	-	28	40
7	-	35	-

Определите среднее дневное количество деталей, обработанных одним рабочим: 1) для каждой бригады; 2) для всех бригад в целом, используя: а) непосредственно данные условия задачи; б) вычисленные показатели средней дневной выработки по каждой бригаде.

4.32. Распределение по успеваемости характеризуется следующими данными:

Экзамена- ционный балл	Число студентов, получивших соответствующий балл по группам, чел.
	1 группа	2 группа	3 группа	4 группа	5 группа
2	2	1	3	1	-
3	10	13	8	6	8
4	16	9	1	12	14
5	4	3	12	11	6

Определите средний балл экзаменационной оценки: 1) для каждой академической группы студентов; 2) для всех академических групп в це-лом, используя: а) непосредственно данные условия задачи; б) вычис-ленные показатели среднего экзаменационного балла по каждой группе.

4.33. По данным трех АО, вырабатывающим однородную продукцию, определите средние затраты времени на единицу продукции по трем заводам вместе за каждый год. Обоснуйте выбор форм средней.

АО	Базисный год		Отчетный год
	затраты времени на ед.продукции,час	изготовлено продукции,шт	затраты времени на ед. продукции, час	затраты времени на всю продукцию,час
1	0,20	22	0,28	4020
2	0,24	42	0,24	7860
3	0,26	28	0,2	5750

34. Имеются данные за отчетный период по трем малым предприятиям:

МП	Фактический выпуск продукции, тыс. грн.	Выполнение плана, %	Продукция высшего сорта, %
1	509,0	101,8	90
2	624,0	104,0	80
3	412,0	103,0	85

Определите по трем малым предприятиям: 1) средний процент выполнения плана; 2) средний процент продукции высшего сорта. Обоснуйте выбор формы средней.

35. По трем ОАО имеются следующие данные за I и II кварталы года:

ОАО	I квартал		П квартал
	план выпуска продукции, тыс.грн	процент выполнения плана	фактический выпуск продукции, тыс.грн	процент выполнения плана
1	440,0	100,0	560,0	112,0
2	300,0	98,0	340,0	100,0
3	220,0	110,0	180,0	90,0

Исчислите средний процент выполнения плана отдельно за I и П кварталы. Обоснуйте вид средних, которые надо применять для вычисления этих показателей.

4.36. Имеется распределение рабочих по непрерывному стажу ра-боты на предприятии: Определите: средний непрерывный стаж работы.

Стаж работы, лет	до 2	2-4	4-6	6-8	8-10	10 и более	Итого
Численность рабочих, чел	15	20	40	13	8	4	100

37. Выработка суровых тканей по цехам предприятия характеризуется следующими показателями:

Цех	Март		Апрель
	численность рабочих, чел	средняя выработка ткани за смену одним рабочим, м	средняя выработка ткани за смену одним рабочим, м	выработано ткани всего, м
1	50	80	83	4565
2	70	82	83	5810
3	80	85	86	7740

Вычислите выработку ткани на одного рабочего в среднем по предприятия: а) за март; б) за апрель. В каком месяце и на сколько средняя выработка была выше? Укажите, какие виды средних применяли.

38. По имеющимся данным о посевной площади и урожайности пшеницы по двум сельскохозяйственным предприятиям определите среднюю урожайность озимой пшеницы в каждом сельскохозяйственном предприятии. Обоснуйте выбор формы средней

Номер бригады	Предприятие № 1		Предприятие № 2
	урожайность,ц/га	посевнаяплощадь,га	урожайность,ц/га	валовой сбор,ц
1	20	240	22	4400
2	22	200	20	4000
3	25	100	30	6000

4.39. АО выпускает плитку размером 20х20см. Допустимое отклонение длины от стандартного размера +10мм. Определите средний размер отклонений от стандартного размера:

Отклонение, мм	- 8	- 6	- 5	- 3	4	6	8	10	Итого
Число образцов, шт	3	5	15	30	25	13	5	4	100

4.40. Определите среднюю цену картофеля за полугодие, если известно, что за I квартал средняя цена 1 кг составила 1,30 грн, товарооборот – 250 тыс.грн, за 2-й соответственно:1,50 грн и 120 тыс.грн.

4.41. По следующим данным определите средний размер отклонения длины изделия от нормы. Какую среднюю величину нужно использовать для расчета?

Отклонение фактической длины от нормы, мм	-0,5	0	0,5	1,0
Число изделий, шт.	3	4	2	1

4.42. По данным о выполнении норм выработки рабочими цеха за три месяца определите по каждому ряду распределения средний процент выполнения норм выработки. Сделайте выводы.

Группы рабочих по выполнению норм выработки, %	Удельный вес рабочих,%
	январь	февраль	март
До 90	5	9	-
90 - 100	27	28	32
100 – 110	47	31	32
Свыше 110	21	32	36
Итого	100	100	100

4.43. По следующим показателям работы трех угольных шахт за месяц определите в целом: 1) среднемесячную добычу на одного работника; 2) среднюю себестоимость 1т. угля; 3) объем добычи угля в среднем на одну шахту. Обоснуйте выбор форм средних.

Шах ты	Добыча угля, тыс. т	Средняя месячная добыча на одного работника, т	Себестоимость 1т угля, грн.
1	120,0	60	42
2	48,6	54	53
3	290,0	50	30

4.44. По имеющимся данным о трех предприятиях за I квартал определите: 1) процент выполнения плана выпуска продукции в целом по трем предприятиям, используя данные: а) гр. 2 и 3; б) гр. 2 и 4; в) гр. 3 и 4; 2) процент продукции высшего сорта: а) по плану; б) фактически. Обоснуйте выбор формы средней.

Пред-приятия	Выпуск продукции,млн.грн		% выполне-ния плана	% продукции высшего сорта
	по плану	фактически		по плану	фактически
1	22,0	19,9	90,5	90	91
2	35,0	36,0	103,0	95	88
3	43,0	47,3	110,0	98	98

4.45. Изготовлено три партии одинаковых деталей. В результате проверки установлено, что количество бракованных изделий составило: в I партии – 40 деталей, во II партии – 160 деталей, в III партии – 50 деталей. Удельный вес брака в каждой партии составил: в I-й – 2%, во II-й – 1,6%, в III партии – 2,5%. Определите средний процент бракованных деталей в трех партиях вместе.

4.46. Трое рабочих заняты изготовлением одинаковых деталей. Первый изготовил 1500 деталей, второй – 2000, третий – 1700 дета-лей. Доля бракованных изделий составила соответственно: 1,2; 1,5; 2%. Определите средний процент бракованных изделий, изготовленных тремя рабочими.

4.47. Двое рабочих в течение 7-часовой смены были заняты изготовлением одинаковых деталей. Первый из них затрачивал на изготовление одной детали 20 мин., а второй – 15 мин. Определите средние затраты времени на изготовление одной детали.

4.48. Две автомашины прошли один и тот же путь: одна со скоростью 80 км/час, а другая – 100 км/час. Определите среднюю скорость движения автомашин.

49. Распределение фирм, выпускающих одноименную продукцию, по размеру прибыли характеризуется данными:

Группы фирм по размеру прибыли, млн.грн	До 6	6-8	8-10	10-12	12-14	Итого
Количество фирм	12	50	20	10	8	100

Определите: средний размер прибыли.

4.50. Распределение предприятий по уровню рентабельности характеризуется данными:

Уровень рентабельности, %	до 10	10-20	20-30	30-40	Свыше 40	Итого
Удельный вес предприятий,%	12	20	32	23	13	100

Определите: средний уровень рентабельности.

Тема 5. АНАЛИЗ РЯДОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

СТАТиСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

Методические указания

1. Анализ рядов распределения. Упорядоченное распределение единиц совокупности по определенному варьирующему признаку представляет собой ряд распределения.

Первым этапом статистического изучения вариации количественного признака является построение вариационного ряда, который в зависимости от характера представления варьирующего признака может быть: а) интервальным; б) дискретным. Если же признак атрибутивный или альтернативный, то, соответственно, строятся атрибутивный или альтернативный ряды распределения.

Графически вариационный ряд изображают в виде полигона и гистограммы. Они дают представление о характере и форме распределения варьирующих признаков в совокупности, при этом в случае неравенства интервалов гистограмма строится не по частотам или частостям, а по плотности распределения.

Процессы концентрации или неравномерности распределения (концентрация производства, концентрация капитала и др.) изображаются графически в виде кривой Лоренца. Для ее построения абсолютные значения частот и размер изучаемого признака выражаются в относительных показателях (в долях или процентах к итогу) и исчисляются их накопленные значения. На оси “х” наносится шкала накопленных частостей, на оси “у” - накопленные значения варьирующего признака. Соединив все точки прямыми линиями, получают кривую Лоренца, которая по степени отклонения от диагонали характеризует степень неравномерности распределения признака (рис.5.3, пример 4).

Для анализа вариационных рядов используется три группы показателей:

• структурные характеристики ряда распределения;

• показатели меры вариации;

• показатели формы распределения.

Структурные характеристики ряда распределения. К ним от-носятся медиана (),мода (), квартили (), децили () и пер-центили () распределения.

Медиана – это величина варьирующего признака, которая делит ряд распределения на две равные части, т.е. медиана соответствует варианте, стоящей в середине ряда.

Медиана определяется в зависимости от вида ряда распределения:

• в ранжированном ряду с нечетным числом уровней медиана соответствует признаку с порядковым номером: ,

где n - объем совокупности.

• в ранжированном ряду с четным числом значений варьирующего признака (;) за медиану условно принимают значение:

• в дискретном ряду распределения медиана соответствует варианте, для которой первая накопленная частота больше половины общего числа наблюдений;

• в интервальном ряду распределения медианным интервалом будет интервал, для которого первая накопленная частота больше половины объема совокупности, а сама медиана определяется по формуле: ,

где- нижняя граница медианного интервала;- величина медианного интервала;- частота медианного интервала; - накопленная частота до медианного интервала.

Графически медиана определяется по кумуляте распределения (рис. 5.2, пример 1).

Мода - наиболее часто встречающийся признак в совокупности. Определяется:

• в дискретном ряду – по максимальной частоте;

• в интервальном ряду модальный интервал определяется по максимальной частоте, а сама мода - по формуле:

,

где - нижняя граница модального интервала; - величина модального интервала;- частота модального интервала;- час-тота интервала, предшествующего модальному;- частота интервала, следующего за модальным.

Графически мода определяется на основе полигона распределения (для дискретного вариационного ряда) или гистограммы распределения (для интервального вариационного ряда) (рис.5.1, пример 1).

Значения признака, делящие совокупность на четыре равные части, называются квартелями и обозначаются буквой Q с подписным значком номера квартиля, - ясно, что Q2 совпадает с медианой, т.е. Q2 = = М е. Первый (Q1) и третий (Q3) квартили определяются по следующим формулам:;,

где хQ1,хQ3- нижняя граница, соответственно, первого и третьего квартильных интервалов; hQ1, hQ3- величина соответствующего первого и третьего квартильных интервалов; fQ1, fQ3 - частота соотвествующих квартильных интервалов;- накопленная частота до первого квартильного интервала;- накопленная частота до третьего квартильного интервала.

Децили – варианты, делящие ряд распределения на десять равных частей. Вычисляются они по той же схеме, что и медиана, и квартили:; и т.д

Значения признака, делящее ряд на сто частей, называются перцентилями, и их расчет выполняется аналогично исчислению децилей и квартилей. Анализ вариационного ряда дополняется определением показателей дифференциации и концентрации. Например, коэффициент децильной дифференциации:,

где d9 – девятая дециль, или девятый дециль; d1 – первая дециль, или первый дециль.

Он показывает, во сколько раз наименьший уровень признака из 10% признаков, имеющих наибольший уровень, больше наибольшего уровня признака из 10% единиц совокупности, имеющих наименьший уровень признака.

Коэффициент фондов (Кф)– это соотношение между средними значениями изучаемого признака (или суммарными их значениями) в десятой и первой децильных группах, - рассчитывается по формуле:

Более точной мерой степени дифференциации (или концентрации) является коэффициент Джини ():.

где fотн - доля частот i-той группы;- доля признака i-той груп-пы;- кумулятивная доля признака.

Коэффициент Джини изменяется в пределах от 0 до 1, - чем ближе он к 1, тем выше уровень неравенства (концентрации) распределения, т.е. тем в большей степени варьирующий признак сконцентрирован в отдельной группе распределения, и наоборот.

Показатели меры вариации. Количественная оценка степени ко-леблемости признака в совокупности измеряется с помощью показателей вариации. Различают абсолютные и относительные показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации:

1. Размах вариации: ,

где , - соответственно, наибольшее и наименьшее значение варьирующего признака.

2. Среднее линейное отклонение:

- простое; - взвешенное.

3. Дисперсия:

- простая; - взвешенная.

4. Среднее квадратическое отклонение:

- простое; - взвешенное.

Среднее квадратическое отклонение и среднее линейное отклонение – это обобщающие характеристики размеров вариации признака в совокупности, они выражаются в тех же единицах измерения, что и сам признак.

При сравнительно простых значениях признака используется упрощенный способ расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения – метод разности средних: ; .

• по несгруппированным данным: ; ,

• по сгруппированным данным:

Относительные показатели вариации:

• Относительный размах вариации или коэффициент осцилляции (КR): ;
• Относительное линейное отклонение или линейный коэффициент вариации (К): ;
• Коэффициент вариации (V): .

Средняя и дисперсия альтернативного признака. Введем условные обозначения для альтернативного признака и построим альтернативный ряд распределения.

Альтернативный признак принимает значение 1, что означает наличие признака; 0 – его отсутствие; р – доля единиц, обладающих данным признаком, q – соответственно, необладающих данным признаком. Тогда среднее значение альтернативного признака будет равно: при этом p + q = 1, т.е. q =1 – p.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение рассчитываются по соотношению:

.

Виды дисперсий и их взаимосвязь. При проведении группировки изучаемой совокупности по факторному признаку (х) вариацию результативного признака ( у) можно оценить с помощью 3-х видов дисперсии:

• общей дисперсии ();
• межгрупповой дисперсии ();
• средней из внутригрупповых дисперсий ().

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака под влиянием всех факторов, вызывающих эту вариацию и вычисляется по формуле: или ,

где - средняя по всей совокупности; - частоты, если по у построен вариационный ряд.

Межгрупповая дисперсия отражает вариацию результативного признака под воздействием фактора, положенного в основу группировки: ,

где- средняя результативного признака по каждой i-ой группе;- частота появления признака в i-ой группе;; k -число групп.

Средняя из внутригрупповых дисперсий показывает вариацию результативного признака под воздействием всех факторов, кроме группировочного: ; ,

где - внутригрупповая дисперсия или дисперсия i-ой группе;.

Между видами дисперсий существует взаимосвязь, называемая правилом сложения дисперсий: = + .

Это правило используется в статистике для определения степени тесноты связи между изучаемыми признаками.

Для количественной оценки тесноты связи между явлениями на основе рассмотренных дисперсий вычисляют ряд показателей, которые будут рассмотрены далее в теме: “Статистические приемы выявления взаимосвязи между социально-экономическими явлениями”.

Показатели формы распределения. Для получения приблизительного представления о форме распределения строят графики распределения (полигон и гистограмму), рассчитываются структурные или ранговые характеристики распределения (квартили, децили), показатели дифференциации, концентрации, асимметрии, эксцесса, а также строятся кривые распределения.

Для сравнительного анализа степени асимметрии нескольких распределений рассчитывается показатель асимметрии (АS):

или

Наиболее широко (как показатель асимметрии) применяется отношение центрального момента третьего порядка (m3) к среднему квадратическому отклонению в кубе, т.е.,.

Если > 0,то это указывает на наличие правосторонней асимметрии, а при , - левосторонней. Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем больше степень скошенности распределения.

Оценка существенности AS проводится на основе средней квад-ратической ошибки коэффициента ():.

Если , асимметрия распределения существенна и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично. В противном случае асимметрия несущественна, и ее наличие может быть вызвано случайными факторами.

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности): ,

где m4 – центральный момент четвертого порядка; m4 = .

Эксцесс у высоковершинных распределений положительный, а у низковершинных – отрицательный. Появление значительного отрицательного эксцесса может указывать на качественную неоднородность исследуемой совокупности.

Для оценки существенности коэффициента эксцесса используется его средняя квадратическая ошибка ():.

Если , то значение коэффициента эксцесса существенно или статистически значимо.

2. Статистическая проверка гипотез состоит в выявлении согласованности между эмпирическими и гипотетическими (теоретическими) характеристиками. Это могут быть гипотезы о согласованности величины средней, дисперсии, характера распределения, формы и тесноты связи между переменными. Гипотезы принимают, если расхождение между сравниваемыми величинами не выходит за пределы случайных ошибок.

Проверка гипотезы о равенстве средних величин и дисперсий двух совокупностей. Выдвигается нулевая гипотеза | Н0 | о том, что две средние - и - существенно отклоняются друг от друга при условии примерного равенства дисперсий двух сравниваемых совокупностей.

Рассчитывается:или ;

По таблицам t-распределения (приложение 1) находим теоретическое значение критерия (t) по принятому уровню статистической достоверности () и числу степеней свободы: m = n – 2,- если tP > t, то средние существенно отклоняются друг от друга, т.е. нулевая гипотеза не отвергается.

Дополнительно может быть проверена гипотеза о равенстве дисперсий для этих совокупностей. Для этой цели используется критерий Фишера-Снедекора или F-критерий.

Вводим Н0 : или альтернативную гипотезу Н1:.

F-критерий строится таким образом, чтобы в числителе стояла большая дисперсия, т.е., .

По таблицам F-распределения критические значения критерия или его теоретическое значение () определяют по заданному уровню значимости () и числам степеней свободы сравниваемых дисперсий (m1 = n1 – 1; m2 = n2 – 1) (приложение 2).

Если <, то Н0 принимается, а если >, то Н0 отвергается, а принимается альтернативная, т.е. Н1 - гипотеза.

Проверка статистических гипотез о законах распределения. Кривая распределения – это кривая линия, которая отражает закономерность изменения частот в чистом, исключающим влияние случайных факторов, виде. В практике статистических исследований часто используется нормальное распределение, распределение Пуассона, бинормальное распределение и др. Каждое теоретическое распределение имеет специфику и свою область применения в различных областях знаний.

Для проверки близости теоретического и эмпирического распределений используются критерии согласия, в частности:

• Критерий согласия К.Пирсона или (хи–квадрат):,

где f – эмпирические частоты (или частости);- теоретические частоты (или частости).

Для нормального закона распределения:;; - определяется по специальной таблице (приложение 3). По таблицам -распределения (приложение 4) в зависимости от принятой вероятности (Р) и числа степеней свободы m ( m = k – 3, где k - число групп) находим,и если<, то гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.

• На основерассчитывается характеристика критерия В. И. Рома-новского:. Если < 3, то можно принять гипотезу о близости эмпирического распределения нормальному.
• Распространенным критерием согласия выступает критерий А.Н.Колмогорова (): ,

где Д – максимальное значение разности между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами; n - сумма эмпирических частот.

По таблице вероятностей - критерия (приложение 5), определяется вероятность, с которой можно утверждать, случайный или неслучайный характер имеют отклонения фактических частот от теоретических.

Кроме критериев согласия используются также коэффициенты асимметрии и эксцесса. Для нормального закона распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса близки к нулю. Распределение можно считать нормальным, если показатели асимметрии и эксцесса не превышают своих двукратных средних квадратических отклоненийи . Для редко встречающихся явлений характерно распределение Пуассона. Его называют “законом малых чисел”. Теоретические частоты распределения Пуассона рассчитываются по формуле: .

где - среднее число появления редкого события; f - частота данного события; - определяется по специальной таблице (приложение 6); f! - произведение 1. 2. 3 … f ; 0! =1.

Степень расхождения теоретических и эмпирических частот оценивается с помощью рассмотренных выше критериев согласия.

Тесты

1. Какой из перечисленных ниже показателей не характеризует вариацию?

1. размах вариации; 3) мода;
2. среднее линейное отклонение; 4) дисперсия.

2. Какой показатель можно определить по формуле: ?

1. размах вариации; 2) дисперсию;3) среднее линейное отклонение простое; 4) среднее квадратическое отклонение взвешенное.

3. Укажите формулу упрощенного способа расчета дисперсии:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4. Какой показатель применяется для характеристики формы распределения?

1. коэффициент вариации; 3) децильные коэффициенты;
2. коэффициент асимметрии; 4) коэффициент Джинни.

5. Что характеризуют с помощью коэффициента эксцесса?

1. степень однородности распределения; 2) плоско или островер-шинность распределения; 3) дифференциацию распределения; 4) асимметричность распределения;

6. Какой показатель не характеризует структуру распределения вариационного ряда?

1. децили; 2) квартили; 3) медиана; 4) размах вариации.

7. Что характеризует коэффициент вариации?

1. чаще всего встречающийся признак в совокупности; 2) степень однородности совокупностей, достоверность средней; 3) средний квадрат отклонений признаков от средней величины; 4) крайние отклонения признака.

8. Какой показатель определяется по формуле ?

1. среднее линейное отклонение; 2) размах вариации; 3) дисперсия альтернативного признака; 4) средняя альтернативного признака.

9. Какое соотношение лежит в основе -критерия Пирсона?

1) ; 2); 3) ; 4) .

10. Какой критерий не применяется для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному закону распределения?

1)-критерий; 2) критерий Колмогорова; 3)критерий “существенности разности средних”; 4) коэффициент асимметрии и эксцесса.

11. Какой показатель определяется по формуле ?

1. общая дисперсия; 3) межгрупповая дисперсия;
2. средняя из групповых дисперсий; 4) коэффициент асимметрии.

12. Какая формула применяется для оценки децильной дифференциации распределения?

1) ; 2) ; 3) ; 4) p q.

13. Какой показатель определяется по формуле: ?

1. общая дисперсия; 2) средняя из внутригрупповых дисперсий;

3) межгрупповая дисперсия; 4) коэффициент асимметрии.

14. При каких условиях структурные средние совпадают?

1. ряд распределения имеет левостороннюю асимметрию; 2) эмпи-рическое распределение соответствует нормальному закону распре-деления; 3) эмпирическое распределение более островершинное, чем кривая нормального распределения.

15. Каким может быть максимальное значение дисперсии альтернативного признака?

1) 0,5; 2) 0,25; 3) 0,09; 4) 1

Решение типовых задач

Пример 1. Имеются следующие данные об успеваемости студентов факультета по статистике: 4, 2, 5, 5, 3, 4, 3, 2, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 4, 2, 1, 1, 1, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 4, 2, 2, 3, 3.

Для анализа распределения студентов по успеваемости: 1) постройте дискретный ряд распределения; 2) дайте графическое изображение ряда; 3) исчислите структурные средние ряда (двумя способами) и показатели формы распределения; 4) проверьте гипотезу о соответствии эмпирического распределения нормальному закону распределения.

Решение

1. Для построения дискретного вариационного ряда необходимо подсчитать количество появления каждой оценки, т.е. частоту появления признака. Дискретный ряд представлен в таблице 5.1.

Таблица 5.1

Распределение студентов по успеваемости

Успеваемость (балл), х	Число сту- дентов, f	Накопленные частоты, S нак	x f	x2 f
1	3	3	3	3	88,875
2	5	8	10	20	15,787
3	7	15	21	63	0,086
4	9	24	36	144	1,8136
5	6	30	30	150	46,3333
Итого	30	-	100	380	152,8949

2. Графически дискретный вариационный ряд может быть представлен в виде полигона (рис.5.1), кумуляты (рис.5.2) распределения. Полигон строится в прямоугольной системе координат.

По оси абсцисс откладываются значения дискретного признака, а по оси ординат – частоты распределения. Полигон часто замыкается, - для этого крайние вершины соединяются с точками на оси абсцисс, отстоящими на одно деление в принятом масштабе (в данном примере х = 0 и х = 6).

Кумулята – это линейный график накопленных частот. Для построения кумуляты дополнительно рассчитываются накопленные частоты (SНАК), - они представлены в таблице 5.1, и в прямоугольной системе координат строится их график (рис.5.2).

Рис. 5.2. Кумулята распределения студентов по успеваемости

3. Cтруктурными средними выступают мода и медиана.

Модальное значение признака, т.е. Мо = 4 (балла). Графически – это вершина полигона распределения (рис.5.1).

Медиана равна 3 балла, так как SНАК ==15 для признака, равному 3. Графически медиана определяется с помощью кумуляты распределения. Для ее определения сумму ординат (сумму частот) делят пополам, т.е.. Через полученную точку проводится прямая параллельно оси абсцисс до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианной величиной распределения (рис. 5.2).

3. Для оценки формы распределения исчислим коэффициент асимметрии и эксцесса:;(балла); М0=

= 4(балла);;.

, это свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии распределения студентов по успеваемости (рис. 5.1).

Для проверки статистической гипотезы о существенности асимметрии рассчитываем соотношение, исчислив предварительно: =; .

В нашем примере наличие асимметрии несущественно и объясняется влиянием случайных факторов.

Исчислим коэффициент эксцесса:; =

; .

Так как , то распределение студентов по успеваемости – низковершинное или плосковершинное по сравнению с нормальным распределением.

5. Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному используем критерий Пирсона или- критерий. Определим теоретические частоты нормального распределения по формуле: ; ; h = 1 (для дискретного ряда); n = f = 30, тогда .

Все промежуточные расчеты представлены в таблице 5.2.

Определяем расчетное значение -критерия: =2,1146. Полученное значение =2,1146 сравнивается с табличным значением, которое определяется по заданной вероятности (например, Р = 0,95) и числу степеней свободы (m = k – 3 = 5 - 2) (приложение 4).

Таблица 5.2

Вспомогательные расчеты теоретических частот нормального

закона распределения

Успеваемость, (x)	Число студентов, (f)		[2] = =	Теор.частоты,	Округл. теорет. частоты,
1	3	-1,854	0,0721	1,72	2,0	0,5
2	5	-1,058	0,2275	5,43	5,4	0,0296
3	7	-0,262	0,3857	9,2	9,2	0,526
4	9	0,533	0,3467	8,26	8,3	0,059
5	6	1,328	0,1647	3,93	4,0	1,0
Итого	30				28,9[3]	2,1146

= 6. Так как< (2,1146 < 6,0), то гипотеза о соответствии эмпирического распределения нормальному с вероятностью 0,95 не отвергается. На рис.5.1 построим теоретическую линию нормального закона распределения. Эмпирическое распределение близко нормальному закону распределения, однако оно более плосковершинно, чем нормальное (ЕХ < 0) и с незначительной правовершинной асимметрией (АS < 0), что видно на графическом изображении эмпирического и теоретического распределения.

Пример 2. Известно распределение коммерческих банков области по размеру прибыли.

Размер прибыли, млн.грн	До 10,0	10,0 – 20,0	20,0 - 30,0	30,0 - 40,0	40,0 - 50,0	Свыше 50,0	Ито- го
Количество банков	20	40	25	45	50	20	200

Оцените уровень вариации банков по размеру прибыли, рассчитав абсолютные и относительные показатели вариации. Сделайте выводы.

Решение

1. Для определения абсолютных показателей вариации необходимо закрыть открытые интервалы и перейти от интервального ряда к дискретному (табл.5.3. гр. 3)

Таблица 5.3

Вспомогательные расчеты для определения показателей вариации

Размер прибыли,млн.грн	Количество банков, f	Середина интервала,х	xf			x2	x 2 f
1	2	3	4	5	6	7	8
до 10,0	20	5	100	52,5	1378,125	25	500
10,0-20,0	40	15	600	650	10562,5	225	9000
20,0-30,0	25	25	625	156,25	976,5625	625	15625
30,0-40,0	45	35	1575	168,75	632,8125	1225	55125
40,0-50,0	50	45	2250	687,5	9453,125	2025	101250
Свыше50,0	20	55	1100	475,0	11281,25	3025	60500
Итого	200,0		6250	2190	46687,5		242000