«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ...»

Вычислите: 1) как изменились цены в целом по всем товарам (общий индекс цен); 2) динамику товарооборота в текущих и сопо-ставимых ценах (общие индексы товарооборота и физического объе-ма); 3) абсолютное изменение товарооборота – всего, в том числе, за счет изменения: цен и объема продажи товаров.

9.23. По следующим данным определите абсолютное изменение товарооборота за счет изменения объема продажи товаров и их цен:

Вид товара	Товарооборот базисного пе-риода, тыс.грн.	Индивидуальные индексы
		товаро-оборота	физического объема продажи
Электротовары	150	1,05	1,1
Галантерейные товары	50	0,95	0,8

9.24. По следующим данным определите в целом по шахте абсо­лютное изменение затрат на добычу угля (фактически по сравнению с планом) за счет изменения объема добычи угля и ее себестоимо­сти:

Участок	Увеличение(+),умень-шение(-)добычи угля,%	Увеличение(+),умень­шение (-) себестои­мости1т угля,%	Плановые зат-раты, млн.грн.
1	+5,0	-3,0	5,0
2	-2,0	+1,0	4,0
3	+3,0	без изменения	6,0

9.25. Как в среднем изменились цены, если известно, что това­рообо-рот вырос на 18%, а физический объем товарооборота увеличился на 16%?

9.26. В отчетном году по сравнению с базисным цены на сельско-хозяйственные товары в среднем снизились на 3%, физический объем продажи товаров вырос в среднем на 15%. Как изменился товарообо-рот сельскохозяйственных товаров?

9.27. Как изменилась производительность труда, если объем до­бычи угля на шахте вырос на 5%, а численность работающих снизилась на 2%?

9.28. Определить как изменятся средние товарные остатки, если товарооборот увеличится на 80%, а скорость товарооборота останется на уровне базисного периода.

9.29. Исчислите индексы среднего размера вклада населения в сбербанке региона, а также индексы фиксированного состава и структурных сдвигов. Сделайте выводы.

Вид поселения	Кол-во вкладов на конец года,тыс.		Средний размер вклада, грн.
	2000 г.	2002 г.	2000 г.	2002 г.
Городское Сельское	107 35	150 50	840 920	1070 1230

9.30. Рассчитайте индексы средней заработной платы: а) переменного состава; б) фиксированного состава; в) структурных сдвигов. Сделайте выводы.

Вид транспорта	Средняя зарплата работников, грн.		Средняя численность работников, тыс. чел.
	базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период
Железнодорожный Речной	720,0 460,0	855,0 563,0	4,5 1,5	4,8 2,0

9.31. По имеющимся данным о выпуске одноименной продук-ции и ее себестоимости по двум предприятиям вычислите: 1) индекс цен переменного состава; 2) индекс цен постоянного состава; 3) индекс структурных сдвигов. Поясните различия между полученными показателями. Сделайте выводы.

Пред- приятия	Производство продукции,тыс.шт.		Себестоимость 1 шт.,грн.
	базисный год	отчетный год	базисный год	отчетный год
1 2	80 60	90 100	20 18	18 15

9.32. Продажа яблок на двух рынках города характеризуется следующими данными:

Рынок	Продано яблок, тыс. т		Средняя цена 1 кг, грн.
	ІІ квартал	IV квартал	ІІ квартал	IV квартал
Центральный	20	40	3,2	2,9
Городской	40	70	3,6	2,7

Вычислите: 1) индекс цен переменного состава; 2) индекс цен постоянного состава; 3) индекс структурных сдвигов. Поясните различия между полученными показателями. Сделайте выводы.

9.33. Имеются данные по металлургическим комбинатам:

Пред приятия	Базисный период		Отчетный период
	среднемесячная за-работная плата,грн.	число рабо-чих,тыс.чел.	среднемесячная за- работная плата,грн.	фонд зарпла- ты, тыс.грн.
1 2	450 570	2,1 3,5	460 580	352,0 612,0

Вычислите: индекс средней заработной платы: 1) переменного состава; 2) постоянного состава; 3) структурных сдвигов.

9.34. Имеются следующие данные по двум угольным регионам:

Регион	Базисный год		Отчетный год
	добыча угля, тыс.т	отработано, чел-дн.	добыча угля, тыс.т	отработано,чел-дн.
1	25000	100000	30000	105000
2	12000	50000	15000	75000

Определить: а) индексы динамики производительности труда по каждому региону; б) индексы динамики производительности труда в целом по двум региона: переменного состава, постоянного состава, структурных сдвигов; в) абсолютную величину экономии рабочего времени, полученную в результате роста среднего уровня производительности труда, в т.ч. за счет роста индивидуальной производительности труда.

9.35. Используя нижеследующие данные определить абсолютный прирост валового выпуска по промышленной фирме всего и в том числе: а) за счет изменения фондоотдачи активной части основных фондов; б) за счет изменения доли активной части основных фондов в общей стоимости основных фондов; в) за счет изменения стоимости всех основных фондов фирмы.

Период	Валовой выпуск, тыс.грн.	Среднегодовая стои-мость всех основных фондов, тыс. грн.	Доля активной части основ-ных фондов в общей стои-мости основных фондов
Базисный	927	600	0,33
отчетный	1189	580	0,705

9.36. Имеются следующие данные о продаже молока по рынкам города:

Номер рынка	Цена за 1 л, грн.		Продано, тыс.л.
	базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период
1	0,9	1,1	400	600
2	0,8	1,2	400	200

Вычислите: 1) как изменилась средняя цена молока на рынках города (индекс цен переменного состава); 2) как повлиял на изменение средней цены молока рост цен на каждом рынке (индекс постоянного состава); 3) изменение средней цены под влиянием изменения структуры продажи молока на рынках города (индекс структурных сдвигов); 4) абсолютное изменение средней цены моло­ка, вызванное изменением цены молока на каждом рынке и структуры его продажи.

9.37. По данным о капремонте жилья в трех районах города исчислите индекс средней стоимости ремонта 1 м2 жилья: а) переменного, б) фиксированного состава, в) структурных сдвигов. Сделайте выводы.

Район	Отремонтировано общей площади за период, тыс.м		Средняя стоимость ремонта 1го м2 жилья за период, грн.
	базисный	отчетный	базисный	отчетный
Пролетарский Киевский Центральный	36,0 7,6 1,4	32,2 7,8 1,6	470 540 670	880 650 740

9.38. По двум предприятиям имеются следующие данные о производстве детали “А-5”:

Предприятие	Выработано,тыс.шт.		Затраты на производство продукции,тыс.грн.
	2002 г.	2003 г.	2002 г.	2003 г
1	10	20	40	60
2	15	12	45	30

Вычислите: 1) среднюю по двум предприятиям себестоимость продукции; 2) динамику средней себестоимости (индекс себестоимости переменного состава); 3) как изменилась средняя себестоимость под влиянием её индивидуальных уровней и структуры производства продукции (индексы себестоимости постоянного состава и структурных сдвигов); 4) абсолютное изменение затрат на производство продукции (по факторам).

9.39. Валовой сбор и урожайность отдельных видов сельскохозяйственных культур по двум районам следующие:

Райо ны	Вид культур	Валовой сбор,млн.т		Урожайность, ц/га
		2002 г.	2003г.	2002 г.	2003 г.
№1	Зерновые культуры	120,0	132,6	20,0	22,0
	Картофель	40,0	63,0	100,0	105,0
	Овощи	9,0	10,0	60,0	50,0
№2	Картофель	50,0	60,0	80,0	100,0
	Свекла	30,0	38,0	200,0	190,0

Определите: 1) относительное изменение в 2003г. по сравнению с 2002г. валового сбора, урожайности и посевных площадей сельскохозяйственных культур по каждой культуре, каждому району и в целом; 2) абсолютное изменение валового сбора по району №1 в результате изменения урожайности и посевной площади; 3) какие факторы и в какой мере повлияли на относительное и абсолютное изменение средней по районам урожайности картофеля в 2003г. по сравнению с 2002г.; 4) абсолютный прирост валового сбора картофеля в це­лом по двум районам за счет изменения: урожайности в каждом районе, структуры и размера посевных площадей.

9.40. Имеются следующие данные по предприятию:

Номер цеха	Вид изде лия	Затраты на производство, тыс.грн.		Себестоимость единицы изделия, грн.
		базисный	отчетный	базисный	отчетный
№1	А	2,0	1,8	5	4,5
	Б	10,0	12,6	25	28
	В	5,0	6,4	10	8
№2	Б	12,0	12,0	24	20
	С	80,0	77,0	50	55

Вычислите: 1) по цеху №1 и №2 (отдельно) индивидуальные и общие индексы себестоимости, объема производства и затрат на производство продукции; 2) индексы средней себестоимости изделия Б (переменного, постоянного состава и структурных сдвигов); 3) абсолютное изменение средней себестоимости изделия Б (по факторам); 4) абсолютное изменение затрат по цеху №1 и №2 (отдельно) по факто­рам; 5) абсолютное изменение затрат на производство изделия Б по факторам.

9.41. По заводу имеются следующие данные (тыс.грн.):

Показатели	Годы
	базисный	отчетный
1. Средняя годовая стоимость: а) основных производственных фондов	400	440
б) оборотных средств	340	390
2. Полная себестоимость реализованной продукции	950	990
3. Прибыль от реализации товарной продукции	200	218
4. Балансовая прибыль	222	208

Используя систему факторных индексов, определите прирост общей рентабельности в абсолютном и относительном выражении (в %) за счет изменения отдельных факторов: а) доли оборотных средств в общем объеме производственных фондов; б) числа оборотов оборотных средств; в) рентабельности продукции; г) коэффициента балансовой прибыли.

9.42. Известны следующие данные по экономическому региону за два периода, млн.грн.

Показатели	Базисный год	Отчетный год
Полная себестоимость реализованной продукции	90,9	94,2
Выручка от реализации продукции в текущих ценах	99,6	104,1
Фактическая выручка от реализации продукции отчетного года	-	104,9
Базисная себестоимость реализованной продукции отчетного года	-	94,8
Среднегодовая стоимость основных производственных фондов	126,0	124,1
Среднегодовая стоимость нормируемых оборотных средств	5,6	5,9
Прибыль от прочей реализации	+ 12,6	+ 18,9
Внереализационные доходы (расходы)	+ 3,4	- 2,0

Определить по экономическому региону: 1) динамику балансовой и прибыли от реализации продукции; 2) влияние отдельных факторов на изменение прибыли от реализации продукции; 3) уровень и динамику рентабельности продукции и рентабельности производства; 4) влияние отдельных факторов на изменение уровня рентабельности производства (использовать метод цепных схем связи). Сделать выводы.

9.43. По имеющимся данным о регионе за год определить абсолютное изменение материальных затрат на производство продукции во втором квартале по сравнению с первым за счет: а) изменения материалоемкости продукции; б) изменения коэффициента оборачиваемости; в) изменения среднеквартальной стоимости оборотных средств.

Показатели	1 квартал	П квартал
Материальные затраты на производство продукции, тыс.грн.	600	744
Среднеквартальный остаток оборотных средств, тыс.грн.	250	375
Стоимость произведенной продукции, тыс.грн.	1000	1200

1. По региону за год имеются следующие данные:

Показатели	тыс.грн.
Плановые затраты на выпуск запланированной товарной продукции	17480
Фактические затраты на фактически выпущенную товарную продукцию	18000
Затраты на фактически выпущенную товарную продукцию при плановой себестоимости	19200
Стоимость запланированной товарной продукции в плановых оптовых ценах	23000
Стоимость фактически выпущенной товарной продукции в действующих оптовых ценах	25000
Стоимость фактически выпущенной товарной продукции в плановых оптовых ценах	24000

Определить отклонение (в копейках) фактических затрат на 1 грн. товарной продукции от предусмотренных планом: а) общее; б) вследствие изменения себестоимости; г) вследствие изменения состава товарной продукции.

Тема 10. Статистические методы изучения

взаимОСВЯЗЕЙ социально-экономических

явлений

Методические указания

Статистические зависимости между переменными по своему содержанию бывают двух видов: функциональные и стохастические или вероятностные, - частным случаем стохастической связи выступает корреляционная.

Функциональные зависимости изучаются с помощью индексного анализа и балансового метода. При стохастических зависимостях применяются следующие методы изучения связей:

- метод аналитических группировок;

- дисперсионный анализ;

- корреляционно-регрессионный анализ;

- непараметрические методы или методы сравнения параллельных рядов;

- методы оценки взаимосвязей между альтернативными и атрибутивными признаками.

Метод аналитических группировок. По итогам аналитической группировки1

^[4] устанавливается наличие (или отсутствие) зависимости между факторным, т.е. группировочным (х) и результативным (у) признаками и ее направление на основе сопоставления характера изменения средних значений результативного признака () и изменения среднего значения факторного признака (і).

Дополнительно можно рассчитать количественные характеристики меры изменения результативного признака при изменении факторного на определенную величину, которые называются показателями силы связи: или .

где ,- среднее значение результативного признака по i-ой и (i-1)-ой группах; i =; k - число групп;,- дискретные значения факторного признака по i-ой и (i-1)-ой группах;,- средние значения факторного признака соответствующих групп.

Показатели вi рассчитываются для каждой группы и различия в их значении по отдельным группам показывают, в какой мере изменение результативного признака зависит от значения факторного.

В случае линейной связи рассчитывается показатель средней силы связи: или

где ,- среднее значение результативного признака в последней и первой группе, соответственно; ,- дискретные значения факторного признака в соответствующих группах;,- средние значения факторного признака по этим же группам.

В случае прямой связи , обратной - . Для нелинейных связей показатель средней силы связи не имеет значения.

Дисперсионный анализ дает возможность определить роль систематической и случайной вариации в общей вариации признака. Для этого общая вариация подразделяется на указанные составляющие и производится сравнение этих составляющих. Чаще всего эта задача решается совместно с аналитической группировкой (глава 2). В этом случае вся изучаемая совокупность делится на группы по факторному признаку, а затем вычисляются значения средних величин по результативному признаку в каждой группе . Необходимо определить, существенно ли различие между средними значениями результативного признака в группах, которое как раз и обусловлено влиянием факторного признака.

Если число выделенных групп всего две, то для проверки данной гипотезы применяется t – критерий, а если больше двух, то используется F – критерий.

Рассмотрим случай группировки по одному признаку, т.е. однофакторный дисперсионный комплекс. В качестве меры вариации в дисперсионном анализе используется не дисперсия, а девиация, т.е. сумма квадратов отклонений признака от средней: Поэтому вместо правила разложения дисперсий используется аналогичное правило разложения девиаций, т.е:

где уij – значение результативного признака j-ой единицы совокупности в і-ой группе; j- номер единицы совокупности,; i – номер группы; k - число групп; fi - размер i-той группы или число единиц в i-той группе; - среднее значение результативного признака в і-той группе;; - общая средняя результативного признака.

Если обозначить суммы квадратов отклонений буквой Д, то получим следующее равенство: . На основе данного соотношения рассчитываются три оценки дисперсии пропорционально соответствующим числам степеней свободы; при этом число степеней свободы равно:

- для общей вариации: ;

- для межгрупповой вариации: ;

- для остаточной вариации: .

Числа степеней свободы связаны между собой равенством, аналогичному взаимосвязи дисперсий и девиации, т.е. ;

Деление девиации на соответствующее число степеней свободы дает три оценки дисперсии:

- общая дисперсия: ;

- межгрупповая (или факторная) дисперсия: ;

- остаточная или случайная дисперсия: .

Д факт и, соответственно, межгрупповая дисперсия измеряет вариацию результативного признака, связанную с изменением факторного, Д ост – вариацию, связанную с изменением всех остальных факторов. Соотношение девиаций, рассчитанных на одну степень свобо-ды, дает возможность оценить существенность влияния факторного признака на результативный с помощью F – критерия:

, при этом

По таблицам F-распределения (приложение 2) с заданным уровнем статистической достоверности и по числу степеней свободы m1 и m2, находим Fтабл, и, если Fрасч> Fтабл, можно утверждать, что влияние факторного признака на изменение результативного является существенным или статистически значимым. Схема однофакторного дисперсионного анализа представлена в таблице 10.1.

Таблица 10.1

Схема однофакторного дисперсионного комплекса

Источник вариации	Сумма квадра-тов отклонений (девиация)	Число степеней свободы	Средний квадрат отклонений, вид дисперсии	F – крите рий
Между группами			факторная
Внутри групп			остаточная или случайная
Общая			общая

После подтверждения гипотезы о статистической существенности влияния факторного признака на изменение результативного рассчитываются показатели тесноты связи между ними.

По итогам аналитической группировки по результативному признаку рассчитываются три вида дисперсий – общая (), межгрупповая ()и внутригрупповая, т.е. средняя из групповых ()2

^[5]. Их соотношения позволяют рассчитать два показателя тесноты связи между факторным и результативным признаками:

- эмпирическое корреляционное отношение: ;

- коэффициент детерминации: .

Эмпирическое корреляционное отношение характеризует тесноту связи между изучаемыми факторами, а коэффициент детерминации измеряет, какая часть общей колеблемости результативного признака вызывается колеблемостью факторного. Они принимают значения в интервале [0,1]: чем ближе к 1, тем теснее связь, и, наоборот. По шкале Чеддока с помощью эмпирического корреляционного отношения оценивается теснота связи между изучаемыми признаками.

Таблица 10.2

Шкала Чеддока

Величина показателя тесноты связи по абсолютной величине	0,1 - 0,3	0,3 - 0,5	0,5 - 0,7	0,7 - 0,9	0,9 - 0,99
Характеристика связи	Сла бая	Умерен ная	Замет ная	Высокая (тесная)	Весьма высокая (очень тесная)

Корреляционно-регрессионный анализ. Корреляционной связью между двумя признаками называется такая связь, при которой изменение среднего значения факторного признака вызывает изменение среднего значения результативного.

Конечная цель статистического изучения корреляционной связи состоит в получении статистической модели этой зависимости в форме уравнения регрессии или уравнения связи. Решение этой задачи осуществляется в следующей последовательности.

2. Осуществляется логический анализ сущности изучаемого явления и причинно-следственных связей, т.е. устанавливается результативный признак () и фактор (или факторы) его изменения (х1,х2,… ). Связь двух признаков является парной корреляцией, а нескольких - множественной.
3. Проверка требований, предъявляемых к факторным и результативным признакам:

- однородность распределения, т.е. коэффициенты вариации не должны превышать 33 %: Vу , ;

- соответствие нормальному закону распределения, - чаще всего используется правило “трех сигм”.

Если и , то с вероятностью 0,997 можно утверждать, что распределение соответствующих признаков (ре-зультативного и факторного) соответствуют нормальному закону распределения.

4. независимость по объектам наблюдения. Если рассматривается статическое распределение или ряды распределения, то это требование подтверждается путем логического анализа, т.е. apriori. В то же время при построении регрессионных моделей по рядам динамики дополнительно необходимо проверять гипотезы об отсутствии автокорреляции и тенденции в рядах динами (стр.325-326. данного раздела);
5. отсутствие мультиколлинеарности между факторными признаками (при множественной корреляции), т.е.и() не должны быть связаны между собой ни функциональной (мультипликативной или аддитивной), ни тесной корреляционной связью, т.е. или , k є ; или 0,8.
6. все факторные и результативные признаки должны иметь количественное выражение и взаимно соответствовать друг другу в пространстве, т.е. по объектам наблюдения, и по времени.

3. Исключение из массива первичной информации всех резко-выделяющихся (аномальных) единиц признаков-факторов и форми-рование нового массива для последующего анализа.

4. Определение формы и направления связи. В случае парных зависимостей применяются: содержательный анализ, графический метод, метод аналитических группировок и построение корреляцион-ных таблиц.

На основе данных аналитической группировки строится график эмпирической линии связи, вид которой не только позволяет судить о возможном наличии связи, но и дает некоторое представление о ее форме.

При построении корреляционных таблиц строится таблица взаимной сопряженности факторного и результативного признака, и по распределению частот можно предположить форму связи между ними (тема 2).

Реализация графического метода предполагает построение корреляционного поля, т.е. множества точек с координатами (,, ,- номер объекта наблюдения), в прямоугольной системе координат. По расположению точек (их плотности и направлению) можно судить о возможной форме связи между признаками.

При множественных зависимостях форма связи определяется путем содержательного анализа или по соотношению формальных критериев аппроксимации: из нескольких форм связи (линейная, степенная, логарифмическая и т.д.) выбирают тот вариант, для которого выполняется следующее соотношение критериев:

- - критерий метода наименьших квадратов;

- F –критерий – критерий Фишера-Снедскора;

- R2 - максимальное значение множественного коэффициента детерминации.

5. Построение модели связи. На этом этапе определяются параметры уравнения связи по методу наименьших квадратов; - в результате чего строится система нормальных уравнений, решение которое и дает значение необходимых параметров (табл. 10.3).

6. Оценка тесноты связи. Для парных линейных зависимостей рассчитываются: линейный или парный коэффициент корреляции (rху), коэффициент детерминации (dху) и коэффициент эластичности (Кэл.) по следующим формулам:;=; Кэл.= .

Для нелинейных зависимостей, - теоретическое корреляционное отношение (), коэффициент детерминации () и коэффициент эластичности (К эл.).

; =; Кэл.= ;

где - первая производная по уравнению связи.

7. Проверка статистической достоверности или существенности (значимости) показателей тесноты связи, уравнения связи и параметров уравнения связи.

Оценка достоверности парного коэффициента корреляции, корреляционного отношения и параметров линейного уравнения связи проводится на основе критерия Стьюдента:

- рассчитывается расчетное значение критерия ():

- для показателей тесноты связи: или ;

- для параметра уравнения связи: ,

где .

Таблица 10.3

Системы нормальных уравнений для разных форм связи

Форма и уравнения связи	Система нормальных уравнений	Макет вспомогательной таблицы для определения параметров уравнения
линейная
гиперболическая
степенная или , где
параболическая
показательная или , где ,	;

По таблицам -распределения (приложение 1) определяется таб-личное значение критерия () по заданному уровню статистической достоверности () и числу степеней свободы (n - 2); и если > , то соответствующая характеристика является статистически существенной или достоверной, т.е. надежной характеристикой.

Для оценки достоверности уравнения связи используется критерий Фишера-Снедскора (- критерий) и относительная ошибка аппроксимации ().

Расчетное значение - критерий определяется:

,

где - количество параметров в уравнении связи.

По таблицам - критерия (приложение 2) находим теоретическое значение критерия: , при заданном уровне статистической достоверности () и числам степеней свободы:

Тогда, если F расч > Fтабл, то уравнение связи является статистически достоверным.

Дополнительно может рассчитываться относительная ошибка аппроксимации (отн.):

Если отн 15 %, то полученное уравнение связи считается статистически точным, т.е. достаточно хорошо отображает изучаемую зависимость.

Множественные корреляционные зависимости. Основными формами связи выступают линейные:

степенные:

гиперболические:

квадратические:

Параметры каждого из уравнений определяются по МНК. Для степенной зависимости вначале путем логарифмирования уравнения приводится к линейному виду:, а затем уже для него строится система нормальных уравнений.

Для гиперболической и квадратической зависимостей строится система нормальных уравнений аналогичная приведенной выше, но вместо берут или (для гиперболической), или же (для квадра-тической) зависимостей.

Параметры ) оценивают меру зависимости между факторными и результативным признаками в натурально-вещественной форме, т.е. несравнимы друг с другом. В частности аі показывает, на сколько единиц своего измерения изменится у, если хі увеличится на единицу своего измерения, при условии, что остальные факторы, включенные в уравнение, также влияют на изменения у, но не варьируют, т.е. зафиксированы на уровне своего среднего значения. Поэтому, обязательно рассчитываются стандартизированные коэффициенты регрессии или -коэффициенты, - для линейных зависимостей:

,

где - параметры натурального уравнения связи.

Стандартизованное уравнение регрессии будет иметь следующий вид: ,

где ,- стандартные отклонения, соответственно, результативного и факторных признаков.

; .

Соотношения-коэффициентов дают возможность сопоставить силу влияния факторных признаков на результативный; они показывают, на сколько среднеквадратических отклонений изменится результативный фактор, если факторный признак увеличится на одно среднеквадратическое отклонение, при оговоренных выше условиях.

Если факторные признаки имеют примерно равную вариацию, то для этой же цели можно использовать и частные коэффициенты эластичности:, которые характеризуют, на сколько % в среднем изменится результативный признак, если i-тый фактор увеличится на 1%, - при условии, что остальные факторы, включенные в множественное уравнение, не варьируют, т.е. зафиксированы на уровне своего среднего значения.

Показателями тесноты связи для множественных зависимостей являются: множественный коэффициент корреляции (Rухi) и детерминации (Духi), частные коэффициенты корреляции (/…) и детерминации (/…):,

где - параметры стандартизованного уравнения регрессии; -пар-ные коэффициенты корреляциис; ; =.

Содержательная характеристика показателей аналогична, как и при парных зависимостях.

При небольшом числе наблюдений () проводится корректировка, тогда скорректированный множественный коэффициент корреляции будет равен:

.

Частные коэффициенты корреляции (/…) характеризуют меру тесноты связи между двумя признаками (и) при фиксированном значении других факторных признаков:

/…=,

где - множественный коэффициент детерминации с учетом всех факторных признаков; - множественный коэффициент детерминации без учета i-того фактора.

Его величина изменяется от – 1 до +1, а знак определяется знаком при соответствующем параметре уравнения регрессии.

Частные коэффициенты детерминации рассчитываются по соотношению: =

Статистическую достоверность Ryxi можно проверить с помощью его среднеквадратической ошибки (), т.е. если > 3, то с вероятностью 0,99 можно считать множественный коэффициент корреляции значимым, при этом .

Проверка статистической достоверности уравнения множественной регрессии осуществляется на основе-критерия Фишера-Снедскора; при этом расчетное значение критерия определяется по формуле: .

Табличное значение () находится по таблицам (приложение 2) аналогично рассматриваемому ранее, тогда, если>, то уравнение множественной регрессии является статистически значимым или достоверным.

Построение регрессионных моделей по рядам динамики. При построении регрессионных моделей по рядам динамики, т.е. когда и зависимая переменная и факторные признаки представлены в виде временных рядов, объектами наблюдения выступает время. Для выполнения требования независимости по объектам наблюдения необходимо исключить из рядов динамики автокорреляцию или тенденцию (если они присутствуют в рядах).

Для этой цели используются два методических подхода:

1. Включение фактора времени в уравнение связи. В уравнении регрессии включается фактор времени (t) как дополнительная зависимая переменная. В этом случае уравнение регрессии рассчитывается в следующем виде: .

Какая бы форма множественного уравнения не использовалась, время всегда вводится в линейной форме.

Методика определения параметров уравнения и оценка степени тесноты и достоверности связи аналогична общепринятой методике множественного корреляционно-регрессионного анализа.

2. Построение регрессии по отклонениям. В случае наличия автокорреляции в рядах динамики вначале она исключается методом последовательных разниц, т.е. рассчитываются:

;

где ; ; - число временных периодов, m - число факторных признаков.

Уравнение регрессии строится не по фактическим значениям признаков, а по последовательным разностям следующим образом:

.

Если же в рядах динамики существует достоверная тенденция, то уравнение связи строится по отклонениям фактических уровней от теоретических, полученных на основе аналитического выравнивания соответствующего ряда динамики. Общий вид уравнения связи аналогичен, но при этом отклонения рассматриваются как следующие разности: ; =; = и т. д.

где , - теоретические значения соответствующих признаков, , .

Непараметрические методы анализа взаимосвязей. Непараметрические показатели тесноты связи включают: коэффициент Фехнера, коэффициент корреляции рангов, - парный и множественный. Они рассчитываются путем сравнения параллельных рядов, связанных между собой причинно-следственной зависимостью. Коэффициент Фехнера (КФ ): ,

где С, Н - количество совпадений и, соответственно, несовпадений знаков отклонений индивидуальных значений факторного признака х и результативного у от их среднего значения, – если отклонение равно 0, то это принимается как совпадение знаков.

Коэффициент меняется в пределах от - 1 до + 1 и является приблизительной мерой оценки связи, применяется при незначительном числе наблюдений.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена () может использоваться для оценки связи как между количественными, так и между качественными (атрибутивными признаками), если их можно проранжировать.

Последовательность определения парного коэффициента ранговой корреляции следующая:

1) ранжируются факторный (х) и результативный признаки и определяются их ранги, т.е.и . Ранг - это порядковый номер значений признака, расположенного в порядке возрастания или убывания. Если значения признака имеют одинаковую величину, то им присваивают одинаковый ранг, равный средней арифметической от соответствующих номеров мест, которые они занимают. Такие ранги называются связными;

2) определяются разности между рангами факторного и результативного признаков: ;

3) рассчитывается коэффициент ранговой корреляции Спирмена (): ;

4) оценивается статистическая достоверность коэффициента с помощью t–критерия, аналогично для парного коэффициента корреляции.

Для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков рассчитывается множественный коэффициент ранговой корреляции или коэффициент конкордации (W) по следующей формуле:

7. для несвязных рангов: ,

где m - число факторов; S - отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов; n - число наблюдений;

8. для связных рангов: ,

где , а t - количество связнных рангов по определенным показателям.

Значимость коэффициента проверяется на основе - критерия Пирсона: ;

определяется по заданному уровню вероятности (р) и числе степеней свободы: , при условии > коэффициент конкордации является статистически достоверным (приложение 4).

Оценка тесноты связи между альтернативными и атрибутивными признаками. Оценка тесноты связи между альтернативными признаками осуществляется на основе тетрахорических таблиц или таблиц взаимной сопряженности (табл. 10.4)

На основе таблицы сопряженности рассчитывается коэффициенты:

- ассоциация (): ;

9. контингенции(): .

Они меняются в пределах от - 1 до + 1 и всегда < .

Связи считаются подтвержденными, если 0,5 и 0,3.

Таблица 10.4

Распределение частот по сочетанию альтернативных признаков

Факторный признак	Результативный признак		Итого
	наличие	отсутствие
наличие	а	в	а + в
отсутствие	с	d	в + d
Итого	а + с	в + d	n

где а, в, с, d - частота взаимного сочетания соответствующих альтернатив, n - общая сумма частот.

Если факторный и результативный признак имеют разновидностей больше 2-х, т.е. являются атрибутивными, то для оценки тесноты связей между ними применяются: коэффициент взаимной сопряженности К. Пирсона (С) и коэффициент взаимной сопряженности А.А. Чупрова (Т ).

Для их определения первичная статистическая информация представляется в форме таблицы сопряженности (табл.10.5).

Коэффициент взаимной сопряженности К. Пирсона определяется по формуле:

, где .

Коэффициент взаимной сопряженности А.А. Чупрова рассчитывается так:

.

Таблица 10.5

Таблица сопряженности между атрибутивными признаками

Группы по фактор ному признаку	Группы по результативному признаку				Итого
	В1	В2	…	В m
А1	f11	f12	…	f1 m	А1
А2	f21	f22	…	F2 m	А2
…	…	…	…	…	…
Аk	fk 1	fk 2	…	fk m	Аk
Итого	В1	В2	…	В m	n

где - частоты взаимного соответствия двух атрибутивных признаков, i - номер группы факторного признака, , k - число разновидностей факторного признака,- номер группы результативного признака; , m - число разновидностей результативного признака; Аi - итоговые частоты по строкам; Вj - итоговые частоты по столбцам.

Коэффициенты меняются от 0 до 1, но коэффициент Чупрова яв-ляется более точным показателем, т.к. учитывает число групп по каждому признаку.

Тесты

10. Какой показатель применяется для оценки тесноты связи меж-ду факторами?
11. коэффициент вариации; 3) t – статистика;
12. коэффициент детерминации; 4) F – критерий.

2. Какой показатель тесноты связи изменяется в пределах от -1 до +1?

13. эмпирическое корреляционное отношение; 2) коэффициент детерминации; 3) парный коэффициент корреляции; 4) коэффициент эластичности.

3. Как рассчитывается парный коэффициент корреляции?

1) 2) 3) 4)

4. Какая задача решается при определении коэффициента детерминации?

14. оценка тесноты и направления связи; 2) оценка тесноты связи; 3) какая часть вариации у зависит от вариации х? 4) эластичность изменения у от изменения х.

5. На основе какого соотношения проверяется статистическая однородность распределения факторного признака?

1) коэффициента корреляции; 3) корреляционного отношения;

2) коэффициента вариации; 4) коэффициента эластичности.

6. Какие характеристики не относятся к параметрическим показателям тесноты связи:

1) коэффициент Фехнера; 3) коэффициент ранговой корреляции;

2) коэффициент конкордации; 4) корреляционное отношение.

7. Для взаимосвязи между альтернативными признаками применяется:

15. коэффициент взаимной сопряженности; 2) коэффициент контингенции; 3) коэффициент конкордации; 4) коэффициент корреляции

8. Какой показатель рассчитывается по формуле:

16. парный коэффициент корреляции; 2) коэффициент детерминации; 3) коэффициент эластичности; 4) частный коэффициент корреляции.

9. Какой показатель применяется для оценки уровня статистической точности уравнения связи?

1) t -критерий; 2) F –критерий; 3) критерий; 4)

Решение типовых задач

Пример 1. По итогам аналитической группировки, изучающей зависимость средней заработной платы рабочих от возраста (пример 6 темы 5) с помощью однофакторного дисперсионного анализа: 1) проерить статистическую существенность зависимости; 2) оценить тесноту связи между средней заработной платой и возрастом.

Решение

1. Для проверки статистической существенности зависимости между изучаемыми факторами строим однофакторный дисперсионный комплекс (табл.10.6), предварительно рассчитав соответствующие девиации и дисперсии:

+

= 269000.

Таким образом, выполняется правило разложения вариации:

, или 269000 = 234000 + 3500.

Определяем число степеней свободы для каждого вида девиации:

.

Тогда соответствующие дисперсии будут равны:

факторная:; остаточная:;

общая: .

По соотношению рассчитывается F- критерий:

Итоговые значения рассчитанных характеристик представим в таблице 10.6.

Таблица 10.6

Однофакторный дисперсионный комплекс зависимости средней заработной платы от возраста рабочих

Источник вариации	Девиа ция	Число степе- ней свободы	Дисперсия	F – кри-терий
Между группами	234000		факторная	=56,83
Внутри групп	35000		остаточная или случайная
Общая	269000		общая