«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ...»

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля простоев на заводе из-за несвоевременного поступления материалов.

Решение

Доля в генеральной совокупности определяется так:

Рассчитаем выборочную долю простоев:

или 8 %.

Определим дисперсии типических групп:

для 1 цеха: ;

для 2 цеха: = 0,1275;

для 3 цеха: .

Средняя из групповых дисперсий будет равна:

Определим среднюю ошибку выборочной доли:

или 2,8 %.

Рассчитаем предельную ошибку выборочной доли: =

±2,8%· 2= ± 5,6 %. Тогда доля простоев с вероятностью 0,954 в генеральной совокупности будет находиться в пределах:

= 8 % ± 5,6 %;

Пример 6. С целью прогнозирования урожая пшеницы в хозяйстве была проведена 5%-я серийная выборка посевных площадей этой культуры, в которую попали три участка. В результате обследования установлено, что средняя урожайность пшеницы на участках составила 28, 32, 30 ц/га. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будет находиться средняя урожайность пшеницы в хозяйстве.

Решение

Средняя в генеральной совокупности рассчитывается по формуле: .Определим среднюю по выборке:=30 ц/га

Межсерийная дисперсия, необходимая для расчета средней ошибки выборки, будет следующей:

.

Тогда предельная ошибка серийной выборки (t =2, т.к. P = 0,954) составит: ц/га.

Следовательно, средняя урожайность в хозяйстве будет находиться в пределах: = 30 ± 0,5; 29,5ц 30,5ц. Результат гарантирован с вероятностью 0,954.

Пример 7. С целью определения доли сотрудников коммерческих банков в возрасте старше 40 лет предполагается организовать типическую выборку пропорционально численности сотрудников мужского и женского пола с механическим отбором внутри групп. Общее число сотрудников банков составляет 13 тыс.чел., в т.ч. 8 тыс. мужчин и 5 тыс.женщин. На основании предыдущих обследований известно, что средняя из групповых дисперсий доли составляет 600. Определите необходимый объем выборки при вероятности 0,997 и ошибке.

Решение

чел.

Объем предельных типических групп при этом составит:

мужчины - чел.; женщины - чел.

Таким образом, необходимый объем выборочной совокупности сотрудников коммерческих банков составляет 212 чел., в т.ч. 130 мужчин и 82 женщины.

Задачи для самостоятельного решения

6.1. Укажите способ отбора в следующих выборках: 1) при изучении производительности труда отбирался каждый десятый рабочий завода; 2) для обследования физического здоровья школьников отобрано 5 % школ от их общего количества в городе; ученики школ, попавших в выборку, обследовались сплошь; 3) при обследовании семейных бюджетов население города было предварительно распределено на одиноких и семейных, а затем производилась пропорциональная выборка; 4) при изучении пассажиропотоков на городском транспорте; 5) при определении длительности телефонных разговоров абонентов.

6.2. В области организуется выборочное обследование наличия легковых автомобилей в пользовании семей. Ниже описаны возможные способы отбора. При каком из них ошибка выборки меньше: 1) отбирался каждый пятый населенный пункт, и в каждом из них производилось сплошное наблюдение; 2) отбирается каждая десятая семья из их общего списка; 3) совокупность семей распределяется на группы, например, городские и сельские семьи, а затем пропорционально численности групп производится отбор семей.

6.3. Как изменится величина предельной ошибки выборки, если вероятность, гарантирующую результат: а) увеличить с 0,683 до 0,997; б) уменьшить с 0,954 до 0,683; в) увеличить с 0,954 до 0,997; г) уменьшить с 0,997 до 0,954?

6.4. Определите, как изменится средняя ошибка собственно-случай-ной выборки, если численность выборочной совокупности: а) увеличить в 1,5 раза; б) уменьшить в 2,5 раза. Как изменить необходимую численность выборки, чтобы средняя ошибка уменьшилась в 2 раза; на 50%?

6.5. Каким должен быть объем собственно-случайной бесповторной выборки из генеральной совокупности численностью 5000 единиц при среднем квадратическом отклонении не более 12, предельной ошибке, не превышающей 5%, и вероятности 0,997?

6.6. С целью определения средней продолжительности времени поездки на работу обследовано 400 горожан, отобранных в случайном порядке на разных маршрутах городского транспорта. По данным обследования установлено среднее время поездки 30 мин. при среднем квадратическом отклонении 80 мин. Определите: 1) как изменится ошибка выборки, если объем выборочной совокупности увеличить в 2 раза; 2) как отразится на величине ошибки выборки увеличение дисперсии в 1,5 раза; 3) как изменится ошибка выборки, если с увеличением дисперсии в 1,21 раза объем выборки увеличить в 2,25 раза; 4) как изменится ошибка выборки, если численность выборочной совокупности будет в 2 раза больше.

6.7. Для определения среднего размера денежного вклада в отделениях Сбербанка города предполагается провести механическую выборку лицевых счетов из их общего числа 70200. По данным предыдущего обследования установлено среднее квадратическое отклонение размера вклада равно 250 грн. С вероятностью 0,954 определите необходимый объем выборочной совокупности при условии, что ошибка выборки не превысит 100 грн.

6.8. Финансовая корпорация с численностью сотрудников 784 человека путем механической выборки планирует определить долю сотрудников со стажем работы свыше 5 лет. Какова должна быть необходимая численность выборки, если по данным предыдущего обследования дисперсия стажа составила 0,25, а результаты выборочного наблюдения требуется гарантировать с вероятностью 0,954 и ошибкой не более 8 %?

6.9. Для определения средней дневной выработки ткачих требуется, чтобы предельная ошибка выборки, проведенной собственно-случайным способом, не превышала 0,4 м. Какой должна быть численность повторной выборки, чтобы результаты ее можно было гарантировать с вероятностью 0,954 при среднем квадратическом отклонении 2,5 м? Каким будет объем выборки, если предельную ошибку уменьшить в два раза?

6.10. В районе проживает 8000 семей. Предполагается провести их выборочное обследование методом случайного бесповторного отбора для определения среднего размера семьи. Определите необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превысит одного человека при среднем квадратическом отклонении три человека.

6.11. В городе с числом семей 15 тыс. предполагается методом случайного бесповторного отбора определить долю семей, имеющих детей школьного возраста. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка выборки не превышала 0,05, если дисперсия равна 0,30?

6.12. На склад торговой фирмы поступило 280 коробок с микрокалькуляторами, в каждой из которых упаковано по 28 штук. С целью установления соответствия этого товара международным стандартам планируется выборочная проверка калькуляторов. Определите необходимый объем выборки, если результат требуется гарантировать с вероятностью 0,954 и ошибкой не более 5%, а межсерийная дисперсия равна 40.

6.13. При планировании выборочного обследования занятости женского населения сельских районов области использованы следующие данные:

Район	Численность женщин в трудоспособном возрасте, тыс. чел.	Удельный вес занятых женщин, %
1 2 3 4	3,6 2,2 5,8 4,7	70 62 85 80

С вероятностью 0,954 определите необходимый объем типической пропорциональной выборки для установления границ генеральной доли при повторном отборе, чтобы ошибка выборки не превышала 5 %.

6.14 При подготовке выборочного обследования качества импортируемых кондитерских изделий была проведена пробная проверка 6 ящиков этой продукции для получения данных о колеблемости веса изделий. При этом получены следующие результаты:

№ ящика	1	2	3	4	5	6
Средний вес коробки в ящике, г	470	445	450	420	470	430

Сколько ящиков с кондитерскими изделиями необходимо отобрать в порядке бесповторного отбора для проверки качества, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 25 г, если генеральная совокупность насчитывает 600 равных по величине серий?

6.15. Для определения процента углерода в стали отобрано по схеме собственно-случайного отбора 80 проб:

% содержания углерода в стали	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09	0,10
Количество проб	8	14	27	18	7	6

Определите: 1) с вероятностью 0,997 возможные пределы среднего процента углерода в стали во всей генеральной совокупности; 2) вероятность, с которой можно утверждать, что средний процент углерода во всей генеральной совокупности будет не более 0,085 и не менее 0,080.

6.16. С целью определения среднего уровня издержек обращения торговых фирм проведена 5%-ная механическая выборка их по области. Результаты обследования представлены в таблице:

Уровень издержек обращения, %	До 4	4-6	6-8	8-10	Свыше 10
Количество торговых фирм	11	19	30	15	5

Определите для всех торговых фирм области: 1) средний уровень из-держек обращения; 2) долю фирм, имеющих уровень издержек обраще-ния свыше 8%. Результаты расчетов гарантируйте с вероятностью 0,954.

6.17. Для определения среднего возраста рабочих предприятия была произведена 10%-ная механическая выборка рабочих. В результате обследования получены следующие данные:

Возраст рабочих, лет	До 20	20-30	30-40	40-50	Свыше 50
Число рабочих	12	32	45	26	15

С вероятностью 0,997 определите: 1) пределы, в которых находится средний возраст рабочих предприятия; 2) пределы, в которых находится доля рабочих предприятия в возрасте старше 50 лет.

6.18. С целью определения средней месячной заработной платы персонала гостиниц города было проведено 20%-ное выборочное обследование с отбором единиц пропорционально численности типических групп. Для отбора сотрудников каждого типа гостиниц использовался механический отбор. Результаты обследования представлены данными таблицы:

Тип гостиниц	Средняя месячная зарплата, грн.	Среднее квадратическое отклонение, грн.	Число сотрудников
1 2 3	380 520 640	18 45 52	70 130 200

С вероятностью 0,954 определите пределы средней месячной зарплаты всех сотрудников гостиниц города.

6.19. Для выявления затрат времени на обработку деталей рабочими разной квалификации на предприятии была проведена 10%-ная типическая выборка пропорционально численности выделенных групп. Результаты обследования представлены данными:

Группы рабо-чих по уровню квалификации	Число рабочих	Средние затраты времени на обработку одной детали, мин.	Среднее квадра-тическое откло-нение, мин.
Высокий Средний Низкий	30 50 20	18 22 28	2 5 3

С вероятностью 0,954 определите по предприятию: 1) пределы, в которых находятся средние затраты времени на обработку деталей рабочими; 2) пределы доли рабочих, затрачивающих на обработку одной детали в среднем 18 мин.

6.20. Для определения среднего возраста мужчин, вступающих в брак, в районе была проведена 5%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности типических групп. Внутри групп применялся механический отбор. Результаты проведения выборки следующие:

Социальная группа	Число муж-чин, чел.	Средний возраст, лет	Дисперсия возраста	Удельный вес мужчин,вступаю--щих в брак во второй раз,%
Рабочие Служащие	110 90	23 32	25 85	20 28

С вероятностью 0,954 определите для генеральной совокупности: 1) пределы среднего возраста мужчин, вступающих в брак; 2) долю мужчин, вступающих в брак во второй раз.

6.21. Качество партии молочных продуктов, состоящей из 2000 пакетов, помещенных в ящики по 25 пакетов, проверялось с помощью 2%-ной серийной бесповторной выборки. Результаты проверки представлены следующими данными:

Показатели	Ящики
	1	2	3	4	5
Средний срок хранения, дн.	3	5	7	2	4
Удельный вес продуктов со сроком хранения не менее 4 дней	0,75	0,84	0,94	0,70	0,98

С вероятностью 0,997 определите во всей партии: 1) пределы среднего срока хранения молочных продуктов; 2) пределы доли молочных продуктов со сроком хранения не менее 4 дней.

6.22. В сборочном цехе машиностроительного завода работает в десяти бригадах 100 рабочих. В целях изучения уровня их квалификации была проведена 20%-ная серийная бесповторная выборка, в которую были включены 2 бригады. При этом получено следующее распределение обследованных рабочих по разрядам:

Рабочие	Разряды рабочих
	бригада №1	бригада №2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	4 5 2 6 3 4 3 3 6 5	5 4 6 6 4 3 5 5 6 3

Определите с вероятностью 0,954 для сборочного цеха завода: 1) пределы, в которых находится средний разряд рабочих; 2) пределы доли рабочих, имеющих 6-й разряд.

6.23. Для обследования всхожести семян они были распределе-ны на 50 равновеликих серий. На основе механического отбора было проверено 10 серий, в которых удельный вес взошедших семян сос-тавил 85%. С вероятностью 0,683 установите границы доли всхожес-ти семян во всей партии, если межсерийная дисперсия равна 729.

6.24. При проведении контроля качества произведенной продукции методом случайного отбора было проверено 60 изделий, из которых 3 оказались бракованными. Можно ли с вероятностью 0,683 утверждать, что доля бракованных изделий во всей партии не превысит 8%, если процент отбора составляет 10?

6.25. Выборочное обследование 200 работников родственных ма-лых предприятий показало, что средний процент выполнения норм вы-работки составляет 110%. Дисперсия этого показателя у данной катего-рии работников 576. С вероятностью 0,954 рассчитайте пределы средне-го процента выполнения норм выработки в генеральной совокупности.

6.26. Проведено 25%-ное собственно-случайное выборочное обследование 40 продавцов супермаркета с целью определения дневной производительности их труда. В результате установлено, что объем товарооборота в расчете на одного продавца составляет1620 грн. в день при среднем квадратическом отклонении 180 грн. С вероятностью 0,997 определите средний объем товарооборота, приходящегося на одного продавца, в целом по супермаркету.

6.27. Из партии готовой продукции в 1000 шт. в случайном бесповторном порядке обследовано 100 шт., из которых продукция высшего сорта составила 85%. Определите вероятность того, что допущенная при выборочном обследовании погрешность в оценке среднего процента продукции высшего сорта не превысит 10%.

6.28. В порядке 5%-ной серийной выборки обследовано 40 отделений Сбербанка области. Результаты обследования показали, что средний размер вклада составляет 5000 грн., доля рабочих в общей численности вкладчиков обследованных отделений Сбербанка равна 60%, межсерийные дисперсии: а) для средней – 965775; б) для доли – 0,0125. С вероятностью 0,954 определите средний размер денежного вклада и долю рабочих в общей численности вкладчиков.

Тема 7. АНАЛИЗ ИНТЕНСИВНОСТИ ДИНАМИКИ

Методические указания

Рядом динамики называется ряд чисел, характеризующих изменение явления во времени.

В зависимости от того, выражают уровни ряда состояние явления на определенные моменты времени (на начало месяца, квартала, года и т.п.) или его величину за определенные интервалы времени (за сутки, декаду, месяц, год и т.п.) различают соответственно моментные и интервальные ряды динамики.

Уровни ряда динамики могут выражаться абсолютными, относительными и средними величинами.

Для анализа изменения социально-экономических явлений во времени применяются следующие показатели: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное содержание 1% прироста. Их определяют базисным, цепным способами и осредняют.

Таблица 7.1

Формулы показателей анализа ряда динамики

Показатели	Способ расчета
	базисный	цепной
Абсолютный прирост
Темп роста
Темп прироста	или	или
Абсолютное содержание 1% прироста

Условные обозначения: уi - уровень текущего периода; уi-1- уровень периода, предшествующего текущему; уб - базисный уровень (первый в ряду динамики).

В оценке динамики явлений большое значение имеют расчеты средних аналитических показателей, которые являются обобщающей характеристикой уровней, их абсолютной скорости и интенсивности изменения.

Методы расчета среднего уровня ряда динамики зависят от его вида и способов получения статистических данных.

В интервальном ряду динамики с равностоящими во времени уровнями расчет среднего уровня () производится по формуле средней арифметической простой:

где n – количество хронологических дат.

Если интервальный ряд динамики имеет не равноотстоящие уровни, то средний уровень вычисляется по формуле:

где t – количество периодов времени, в течение которых уровень не изменяется.

В моментных рядах динамики существует следующие варианты расчета среднего уровня:

1) дан ряд с равными интервалами времени между датами:

2) дан ряд с разными интервалами времени между датами и неизвестным характером изменений уровней между датами:

где - средний уровень явления между двумя соседними датами.

где - начальный и конечный уровни на і-м интервале; - длительность интервала времени между двумя соседними датами.

3) дан ряд с неравными интервалами времени между датами, но с исчер-пывающими данными об изменении явления между теми же датами:

где yi – размер явления, который оставался неизменным в течение ti интервала времени.

Средний абсолютный прирост определяется по формуле:

где - конечный уровень ряда.

Средний темп роста рассчитывается по средней геометрической:

Средний темп прироста вычисляется так:

или

Среднее абсолютное содержание 1% прироста рассчитывается по формуле:

Одной из причин неверного отражения динамики явления слу-жит несопоставимость уровней ряда. Устранение несопоставимости уровней динамических рядов достигается использованием специальных приемов.

Смыкание рядов динамики применяется в случае несопоставимости уровней по территории, по кругу охватываемых объектов, по методике расчета показателей и др. Смыкание осуществляется двумя методами.

1. Использование коэффициентов пересчета. За год, когда возникла несопоставимость уровней, рассчитывается коэффициент, показывающий во сколько раз один уровень больше или меньше другого. Умножая на полученный коэффициент уровни ряда до изменения, приводят их к виду, сопоставимому с последующими уровнями.

2. Замена абсолютных уровней относительными, выраженными в базисных темпах роста. При этом уровень ряда за год, общий для сравниваемых рядов, принимается за 100%. Остальные уровни пересчитываются по отношению к этой базе сравнения, и получается новый ряд динамики, состоящий из относительных показателей.

При изучении рядов динамики возникает необходимость получения сравнительных характеристик направления и интенсивности роста одновременно развивающихся во времени явлений. Это достигается путем приведения рядов динамики к общему основанию. В этом случае данные о величине изучаемого показателя за год, принятый за базисный, принимают в каждом ряду за 100%, а уровни остальных лет относят к нему, получая базисные темпы роста.

Для оценки роста показателей сравниваемых параллельных рядов динамики за один и тот же период времени рассчитывают коэффициент опережения.

Его исчисляют как отношение базисных темпов роста (или средних годовых темпов роста) за одинаковые отрезки времени по двум динамическим рядам:

или

где ,- соответственно базисные и средние годовые темпы роста одного ряда динамики; ,- соответственно базисные и средние годовые темпы роста второго ряда динамики.

При этом в качестве первого ряда динамики берется тот ряд, темпы роста для которого выше.

Для характеристики скорости изменения уровней одного и того же ряда динамики за отдельные периоды времени определяют коэффициент ускорения (замедления). По аналогии с коэффициентом опережения он рассчитывается на основании базисных или средних годовых темпов роста:

где ,- базисные темпы роста уровней ряда динамики соответственно за второй и первый периоды одного и того же ряда динамики; ,- средние годовые темпы роста соответственно за второй и первый периоды одного и того же ряда динамики

Тесты

1. Что характеризует уровень ряда динамики?

0. отношение показателя за один период к другому; 2) величину явления на определенную дату или за определенный период; 3) на сколько единиц своего измерения данный показатель отличается от другого; 4) относительную оценку абсолютного прироста.
1. В каких единицах измеряется абсолютный прирост?
2. в коэффициентах; 3) в гривнах;
3. в единицах измерения уровня ряда; 4) в процентах.

3. По какой формуле исчисляется базисный абсолютный прирост?

1) 2) 3) 4)

4. Какая формула используется для расчета цепного темпа роста?

1) 2) 3) 4)

5. По какой формуле можно определить базисные темпы прироста?

1) 2) 3) 4)

6. Какую формулу можно использовать для определения абсолютного значения 1% прироста?

1) 2) 3) 4)

7. По какой формуле исчисляется средний абсолютный прирост?

1) 2) 3) 4)

8. По какой формуле находится средний темп роста?

1) 2) 3) 4)

4. Какую формулу можно использовать для исчисления среднего уровня моментного ряда с равными интервалами времени между датами?

1) 2) 3) 4).

10. По какой формуле вычисляется средний уровень интервального ряда динамики с равными интервалами?

1) 2) 3) 4)

Решение типовых задач

Пример 1. Провести анализ динамики прямых иностранных инвестиций в регион за 1999 – 2002гг.

Годы 1999 2000 2001 2002

Иностранные инвестиции, млн.долл.США 5,0 4,6 5,3 6,4

Решение

1. Для выражения абсолютной скорости роста (снижения) уров-ня ряда динамики рассчитывается абсолютный прирост.

Базисный способ: = 4,6 - 5,0 = -0,4млн.долл;

= 5,3 - 5,0 = 0,3млн.долл; = 6,4 - 5,0 = 1,4млн.долл.

Следовательно, по сравнению с 1999г. иностранные инвестиции в регион в 2000г. снизились на 0,4 млн.долл., в 2001г. и 2002г. возросли соответственно на 0,3 и 1,4 млн.долл.

Цепной способ: = 4,6 -5,0 = - 0,4млн.долл.; = 5,3 - 4,6 = 0,7млн.долл.; = 6,4 - 5,3 = 1,1млн.долл.

Следовательно, ежегодно по сравнению с предыдущим годом иностранные инвестиции изменялись так: в 2000г. снизились на 0,4млн.долл., в 2001г. возросли на 0,7млн.долл. и в 2002г. увеличи-лись на 1,1млн. долл.

2. Интенсивность изменения уровней ряда динамики оценивается с помощью темпа роста (Т).

Базисный способ: = = 92,0%;

== 106,0%; = = 128,0%.

Таким образом, по сравнению с 1999г. иностранные инвестиции в 2000г. снизились в 0,92 раза, в 2001г. и в 2002г. увеличились соответственно в 1,06 и 1,28 раза.

Цепной способ: == 92,0%;

== 115,2%; = = 120,8%.

Следовательно, ежегодно по сравнению с предыдущим годом иностранные инвестиции изменялись так: в 2000г. их объем снизился в 0,92 раза, в 2001г. возрос в 1,152 раза, в 2002г. увеличился в 1,028 раза.

3. Для выражения изменения величины абсолютного прироста уровней ряда динамики в относительном выражении определяется темп прироста (). В случае, когда уже исчислены темпы роста, темпы прироста целесообразно определять по следующим формулам.

Базисный способ: или

= 92 - 100 = - 8%; =106 - 100 = 6%;

= 128 - 100 = 28%.

Это означает, что иностранные инвестиции в регион по сравнению с 1999г. в 2000г. снизились на 8 %, в 2001г. возросли на 6 %, а в 2002г. увеличились на 28 %.

Цепной способ: или

= 92 -100 = - 8%; =1 15,2 -100 = 15,2%;

= 120,8 -100 = 20,8%.

Следовательно, ежегодно по сравнению с предыдущим годом иностранные инвестиции изменялись так: в 2000г. снизились на 8 %, в 2001г. возросли на 15,2 %, в 2001г. тоже увеличились на 20,8 %.

4. Определим показатель абсолютного значения 1% прироста. Его расчет на цепной основе будет следующим:

Для 2000г. этот показатель равен 5 : 100 = 0,050 млн.долл, для 2001г: 4,6 : 100 = 0,046млн.долл, для 2002г: 5,3 : 100 = 0,053млн.долл.

Таким образом, в 2000г. на каждый процент снижения инвестиций приходилось 0,05 млн.долл, в 2001г. на один процент прироста инвестиций приходилось 0,046 млн.долл., в 2002г. – 0,053 млн.долл. Итоги расчетов аналитических показателей изучаемого ряда динамики для наглядности рекомендуется представлять в таблице ( табл.7.2).

Таблица 7.2

Показатели анализа динамики иностранных

инвестиций в регион за 1999 – 2002 гг.

Годы	Инстран-ные инвес-тиции,млн. долл США	Абсолютный прирост,млн. долл США		Темп роста, %		Темп прироста, %		Абсолютное значение 1% прироста(цеп ной способ), млн.долл.США
		базисный способ	цепной способ	базисный способ	цепной способ	базисный способ	цепной способ
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1999	5,0	-	-	100,0	-	-	-	-
2000	4,6	-0,4	-0,4	92,0	92,0	-8,0	-8,0	0,050
2001	5,3	0,3	0,7	106,0	115,2	6,0	15,2	0,046
2002	6,4	1,4	1,1	128,0	120,8	28,0	20,8	0,053

5. Данный ряд динамики по своему виду является интерваль-ным, поэтому средний уровень определяется по формуле:

= = млн.долл.

Это означает, что в среднем ежегодно иностранные инвестиции в регион составляли 5,3 млн.долл.

6. Средний абсолютный прирост определяется так:

0,47 млн. долл. Это означает, что в среднем ежегодно иностранные инвестиции возрастали на 0,47 млн.долл.

7. В нашем примере средний темп роста составит:

или 108,5%, т.е. в среднем ежегодно иностранные инвестиции возрастали в 1,085 раза.

8. По данным нашего примера средний темп прироста будет таким:, т.е. в среднем ежегодно иностранные инвестиции увеличивались на 8,5%.

9. Рассчитаем среднее абсолютное значение одного процента прироста: млн.грн. Следова-тельно, в среднем ежегодно на каждый процент прироста иностранных инвестиций приходилось 0,049 млн. грн.

Пример 2. В I квартале отчетного года списочная численность работников предприятия составляла: на 01.01 – 32, на 01.02 - 36, на 01.03 – 27, на 01.04 - 34 человека. Определим среднюю списочную численность работников за квартал.

Решение

Приведенная в условии задачи информация представляет собой моментный ряд динамики с равными интервалами времени между датами, поэтому его средний уровень определяется по формуле:

чел. Средняя списоч-ная численность работников банка за квартал составляла 32 человека.

Пример 3. Задолженность предприятия по кредиту перед банком составила, млн. грн.: на 01.01 – 20, на 01.03 – 18, на 01.07 – 14.

Определим среднюю сумму задолженности предприятия по кредиту перед банком за I полугодие.

Решение

Исходные данные представлены в виде моментного ряда с неравными интервалами времени между датами. При этом не известен характер изменения показателя между датами. По приведенным в условии задачи данным полугодие состоит из двух интервалов: I - c 01.01 по 01.03 – 2 месяца, II - с 01.03 по 01.07 – 4 месяца.

По каждому интервалу рассчитаем средний уровень по формуле:млн.грн., tI = 2мес, млн.грн.,

tII = 4 мес; млн.грн.

Таким образом, за I полугодие средняя сумма задолженности предприятия по кредиту перед банком составляла 17 млн. грн.

Пример 4. Известны следующие данные о движении денежных средств на расчетном счете предприятия в июле месяце: на начало месяца на счете было 100тыс.грн., 5 июля поступило еще 60тыс.грн., 22 июля списано 70тыс.грн. Какова средняя сумма денежных средств на счете предприятия в июле, если до конца месяца изменений на счете не наблюдалось?

Решение

Статистическая информация приведена в виде моментного ряда динамики с исчерпывающими данными об изменении явления, поэтому для расчета среднего уровня применяется формула:

тыс.грн. Средняя сумма де-нежных средств на счете предприятия в июле составляла 97 тыс.грн.

Пример 5. По имеющимся данным, характеризующие общий объем продукции промышленности в регионе (в фактически действовавших ценах), млн.грн., необходимо привести ряды динамики к сопоставимому виду.

Годы	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002
В старых границах региона	28,0	29,4	30,0	31,5
В новых границах региона				36,2	37,4	38,3	40,0

Решение

1. Определим коэффициент пересчета уровней для 1999г., с этой целью сопоставим уровень производства этого года в старых и новых границах региона: . Умножая на этот коэффициент показатели объема продукции первого ряда, получаем уровни, сопоставимые с уровнями второго ряда, млн. грн.: 1996г.– 28,0 · 1,15 = 32,2; 1997г.–24,9 · 1,15 = 33,8; 1998 г.– 30,0 · 1,15 = 34,5.

Получен ряд динамики с сопоставимыми уровнями объема продукции промышленности (в фактически действовавших ценах) в регионе (в новых границах):

Годы 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Сомкнутый ряд объема произ-

водства продукции, млн.грн. 32,2 33,8 34,5 36,2 37,4 38,3 40,0

2. Применяя другой способ смыкания, принимаем за 100% уровни 1999г. как для последующих, так и для предыдущих лет. Остальные уровни пересчитываются в % по отношению к этим уровням соответственно (до изменений – по отношению к 31,5, а после изменений – по отношению к 36,2). В результате получается сомкнутый ряд:

Годы 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Сомкнутый ряд объема про

изводства продукции в новых 88,9 93,3 95,2 100,0 103,3 105,8 110,5

границах региона, млн.грн.

Пример 6. Имеются данные о грузообороте железных дорог по двум странам, млрд. т. км:

Годы 1998 1999 2000 2001 2002

Страна А 158,7 164,9 172,8 180,4 185,0

Страна Б 65,0 66,8 70,4 68,5 66,8

Необходимо привести ряды динамики к одному основанию и рассчитать коэффициент опережения.

Решение

По абсолютным уровням приведенных рядов динамики затруднительно сделать оценку характера развития анализируемого показателя по разным странам. Приведем абсолютные уровни рядов динамики к общему основанию, приняв за постоянную базу сравнения 1998г., и получим данные, выраженные в % к 1998г.:

Годы 1998 1999 2000 2001 2002

Страна А 100,0 103,9 108,9 113,7 116,6

Страна Б 100,0 102,8 108,3 105,4 102,8

Из этих данных видно, что темпы роста грузооборота железных дорог в стране А превосходят темпы роста этого показателя в стране Б. Если в 2002г. грузооборот в стране А возрос по сравнению с 1998г. в 1,17 раза, то в стране Б он увеличился в 1,03 раза за то же время. При этом коэффициент опережения составил:, т.е. гру-зооборот в стране А развивался за 1998-2002гг. в 1,13 раза быстрее, чем в стране Б.

Задачи для самостоятельного решения

7.1. Определите вид рядов динамики, характеризующих изменение следующих показателей: 1) списочной численности работников фирмы (по состоянию на начало каждого года); 2) числа родившихся по годам; 3) средней урожайности пшеницы по годам; 4) товарных запасов на начало каждого квартала года; 5) процента выполнения договора поставки продукции по месяцам; 6) индекса потребительских цен на товары и услуги населению (по месяцам за ряд лет); 7) средней месячной заработной платы работников отрасли по годам; 8) удельного веса городского населения страны в общей его численности по годам.

7.2. Производство стали в стране характеризуется следующими данными, млн.т:

1998 г. 1999 г. 2000 г. 2001 г. 2002 г.

24,4 24,7 31,8 36,5 44,2

Определите показатели анализа ряда динамики с переменной и постоянной базой сравнения (цепным и базисным способами): 1) абсолют-ный прирост; 2) темп роста; 3) темп прироста; 4) абсолютное значение 1% прироста. Изложите результаты расчетов в табличной форме. Рас-считайте средние показатели анализа ряда динамики. Сделайте выводы.

7.3. Количество зарегистрированных браков в регионе составляло (на 1000 населения), %0:

1998 г. 1999 г. 2000 г. 2001 г. 2002 г.

6,2 6,9 5,5 4,2 3,9.

Определите показатели анализа ряда динамики с переменной и постоянной базой сравнения: 1) абсолютный прирост; 2) темп роста; 3) темп прироста; 4) абсолютное значение 1% прироста. Изложите результаты расчетов в табличной форме. Рассчитайте средние показатели анализа ряда динамики. Сделайте выводы.

7.4. Транспортирование грузов трубопроводами страны характеризуется следующими данными:

1997 г. 1998 г. 1999 г. 2000 г. 2001 г. 2002 г.

254 241 235 250 228 238

Определите цепным, базисным способами и осредните: 1) абсолютный прирост; 2) темп роста; 3) темп прироста; 4) абсолютное значение 1% прироста. Сделайте выводы.

7.5. Число зарегистрированных безработных по региону характеризуется следующими данными (на начало года), тыс.чел.:

1997 г. 1998 г. 1999 г. 2000 г. 2001 г. 2002 г.

34,8 30,5 36,6 38,5 32,5 37,4.

Определите цепные, базисные и средние: 1) абсолютные приросты; 2) темпы роста; 3) темпы прироста; 4) абсолютное значение 1% прироста. Сделайте выводы.

7.6. Ввод в эксплуатацию жилых домов по стране характеризуется следующими данными (на 1000 населения), м2:

1995 г. 1998 г. 1999 г. 2000 г. 2001 г. 2002 г.

168 117 124 113 108 112

Определите за 1995 – 1999 гг. и за 1999 – 2002 гг.: 1) средний абсолютный прирост; 2) средний темп роста; 3) средний темп прироста; 4) коэффициент ускорения (замедления). Сделайте выводы.

7.7. Производство молока в частных подсобных хозяйствах населения характеризуется следующими данными, млн.т:

1995 г. 1999 г. 2000 г. 2001 г. 2002 г.

7,8 8,6 9,0 9,5 10,4

Определите за 1995 – 1999 гг. и за 1999 – 2002 гг.: 1) средний абсолютный прирост; 2) средний темп роста; 3) средний темп прироста; 4) коэффициент ускорения (замедления). Сделайте выводы.

6. Имеются следующие данные о численности населения области на начало года, тыс.чел.:

Годы	Все население	В том числе
		городское	сельское
1991	754,2	523,0	231,2
1995	895,5	645,2	250,3
2002	982,7	761,6	221,1

Определите за 1991–1995гг. и за 1995–2002гг. по общей численности населения, а также отдельно по численности городского и сельского населения: 1) абсолютный прирост; 2) средний годовой абсолютный прирост; 3) темпы роста и прироста; 4) средние годовые темпы роста и прироста. По общей численности населения определите коэффициент ускорения (замедления).

7.9. Используя взаимосвязь показателей анализа динамики, оп-ределите уровни ряда динамики и недостающие в таблице базисные показатели анализа динамики по следующим данным:

Годы	Производство хими- ческих волокон и нитей, млн.т	Базисные показатели динамики
		абсолютный прирост, млн.м	темп роста, %	темп прироста,%
1994	2,4	-	100,0	-
1995		0,2
1996			103,8
1997				6,2
1998				7,3
1999			110,4
2000		0,6
2001
2002		0,8

7.10. Используя взаимосвязь показателей динамики, определите уровни ряда динамики и недостающие в таблице цепные показатели динамики по следующим данным о производстве продукции предприятиями объединения (в сопоставимых ценах):

Годы	Производст-во продукции,млн.грн	По сравнению с предыдущим годом
		абсолютный прирост,млн.грн	темп роста,%	темп при-роста, %	абсолютное значение 1% прироста,млн.грн.
1997	48,6
1998		1,2
1999			101,3
2000				2,9
2001
2002		3,7			0,6

7.11. Абсолютное значение 1% прироста платных услуг населению в регионе составило в 2002г. по сравнению с 1997г. 4,5тыс.грн., а весь абсолютный прирост платных услуг за этот же период – 90тыс. грн. Определите средний годовой абсолютный прирост и средний годовой темп роста платных услуг населению в регионе за 1997-2002гг.

7. Средний годовой темп прироста валового сбора овощей в сельском хозяйстве области составил за 1990 -1995 гг. - 10%, а за 1996 - 2002 гг. – 14%. Определите средний годовой темп роста валового сбора овощей за 1990 – 2002 гг.

8. Розничный товарооборот во всех каналах реализации товаров в области увеличился в 2001г. по сравнению с 2000г. на 10%, а в 2002г. по сравнению с 2001г. еще на 12%. Определите розничный товарооборот в области в 2000, 2001, 2002гг., если абсолютный прирост товарооборота в 2001г. по сравнению с 2000г. составил 150млн.грн.

9. Абсолютное значение 1% прироста валового сбора зерновых в фермерских хозяйствах района составило в 2002г. по сравнению с 1997г. 400ц., а весь абсолютный прирост валового сбора зерновых за тот же период – 6000ц. Определите: 1) средний годовой абсолютный прирост; 2) средний годовой темп роста валового сбора зерновых в фермерских хозяйствах за 1997–2002гг.

7.15. Ежегодные темпы прироста производства товаров народного потребления в области за 1999-2002гг. составляли (в % в предыдущему году):

1999 г. 2000 г. 2001 г. 2002 г.

+ 3 - 2 - 4 +1

Исчислите базисные темы роста (1998г. = 100) за каждый год, средний годовой темп роста и прироста производства товаров народного потребления в области.

7.16. Темпы роста поставки товаров фирмой ежегодно по сравнению с 1998г. характеризуются следующими данными:

1998 г. 1999 г. 2000 г. 2001 г. 2002 г.

1,00 1,42 1,28 1,32 1,44

Определите темпы прироста поставки товаров в каждом текущем периоде по сравнению с предыдущим, а также средние годовые темпы прироста поставки за анализируемый период.

7.17. Имеются следующие данные об остатках сырья и материалов на складе предприятия, тыс.грн.: на 01.01 – 11,0; на 01.02 – 10,0; на 01.03 – 11,8; на 01.04 – 13,0; на 01.06 – 12,6; на 01.07 – 13,6. Определите средние остатки сырья и материалов на складе: 1) за I квартал; 2) за II квартал; 3) за I полугодие. Рассчитайте темп роста средних остатков. Сделайте выводы по результатам расчетов.

7.18. Размер денежных средств на текущем счете предприятия был следующим, тыс.грн.: на 01.01 – 120; на 01.02 – 140; на 01.03 – 130; на 01.04 – 160. Средний размер денежных средств за второй квартал составил – 150, за третий – 200, четвертый – 180 тыс.грн. Определите средний размер денежных средств на текущем счете предприятия за год.

7.19. Численность вкладчиков в сбербанке составила на 01.07 – 1200 чел., на 01.08 – 1500 чел., на 01.09 – 1400 чел., на 01.10 – 1420 чел., на 01.01 следующего года – 1500 чел. Определите среднюю месячную численность вкладчиков в сбербанке за III квартал и за II полугодие.

7.20. Численность рабочих цеха на 1 сентября составляла 35 чел, 6 сентября 1 человек уволился, а 20-го численность рабочих увеличилась на 4 человека. До конца месяца численность рабочих цеха не менялась. Определите среднюю месячную численность рабочих цеха в сентябре.

7.21. Списочная численность работников фирмы в 2002г. составила на 1-е число месяца, чел.: январь - 280; февраль – 288; март- 279; апрель – 281;май – 270; июнь – 274; июль – 278; август – 284; сентябрь – 281; октябрь – 294; ноябрь – 292; декабрь – 300. Определите: 1) среднюю месячную численность работников в I и II полугодиях; 2) среднюю годовую численность работников фирмы; 3) темп роста средней численности работников во II полугодии по сравнению с I.

7.22. По данным о розничном товарообороте района, тыс.грн. (границы района изменились в 1999г.) приведите ряды динамики к сопоставимому виду (сомкните ряды), используя два приема:

Товарооборот района	1997 г	1998 г	1999 г	2000 г	2001 г	2002 г
В старых границах	450	475	500
В новых границах			650	675	700	715

7.23. По данным о производительности труда на шахте приведите ряды динамики к сопоставимому виду и рассчитайте средние годовые темпы роста за 1996-1998гг. и 1999-2002гг.:

Производительность труда	1996 г	1997 г	1998 г	1999 г	2000 г	2002 г
т/чел	28	30	35
грн./чел			2400	2500	2800	2800

7.24. По имеющимся данным о стоимости основных производственных фондов предприятия, млн.грн., сомкните ряды динамики, используя два приема:

Показатели	1995г	1996г	1997г	1998г	1999г	2000г	2001г	2002г
Средняя годовая стоимость	5,4	6,2	6,8	7,6
Стоимость на конец года				8,2	8,4	8,6	9,0	9,5

7.25. Приведите уровни следующих рядов динамики, характе-ризующих численность работников банка, к сопоставимому виду:

Показатели	1997г	1998г	1999г	2000г	2002г
Численность работников на 1 января	120	128	132
Средняя годовая численность работников			146	150	158

10. Имеются данные о средней месячной заработной плате одного работника и стоимости набора из 25 основных продуктов питания в расчете на одного человека по городу:

Годы	Средняя месячная зарплата, грн	Стоимость набора из 25 основных продуктов питания, грн
1997	380	140,2
1998	392	154,8
1999	430	161,7
2000	508	168,5
2001	540	174,1
2002	556	178,6

Приведите ряды динамики к одному основанию; рассчитайте коэффициент опережения. Сделайте выводы.

7.27. Известны следующие данные о производстве хлопчатобумажных тканей на комбинате, тыс. м2:

Годы	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002
Ситец	2,18	2,43	2,85	3,38	3,84	4,25	4,52
Сатин	1,92	2,15	2,38	2,49	2,64	2,75	3,14

Для сравнительного анализа объемов производства разновидностей хлопчатобумажных тканей за 1996-2002гг.: 1) приведите ряды динамики к одному основанию; 2) укажите, производство какого вида тканей развивалось опережающими темпами.

Тема 8. АНАЛИЗ ТЕНДЕНЦИЙ РАЗВИТИЯ

Методические указания

Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение основной тенденции развития.

Основными показателями, дающими представление о тенденции (тренде) развития явления во времени, являются цепные абсолютные приросты, цепные темпы роста и средние уровни.

Если расчет цепных показателей не позволил выявить тенденцию в ряду динамики, то переходят к обработке ряда с помощью методов, основанных на расчете средних уровней. К таким методам относятся: укрупнение интервалов времени, эмпирическое сглаживание (метод скользящей средней) и аналитическое выравнивание.

Укрупнение интервалов времени. Суть метода укрупнения интервалов времени в динамических рядах состоит в том, что берут данные за промежутки времени большей длительности по сравнению с первоначальными. Например, суточные данные заменяют пятидневными, декадными, месячными; месячные – квартальными, годовыми; годовые – трех-, четырех-, пятилетними и т.д. Укрупнение интервалов следует начинать с наименьшего возможного, т.е. интервала, объединяющего два уровня. В случае, если укрупнение по два уровня не дает возможности увидеть тенденцию, переходят к следующему возможному интервалу.

Сущность метода скользящей средней заключается в замене абсолютных уровней средними арифметическими за определенные периоды. При этом расчет средних ведется способом скольжения, т.е. постепенным исключением из принятого периода скольжения первого уровня и включением следующего.

Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. При этом уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени:. Аналитическое выравнивание может быть осуществлено по любому рациональному уравнению тренда. Выбор формы уравнения производится на основе анализа характера закономерностей динамики изучаемого явления. В таблице 8.1 приведены системы уравнений, которые необходимо решить для определения параметров уравнений, описывающих тенденции в рядах динамики.

Таблица 8.1

Уравнения, используемые при аналитическом

выравнивании динамических рядов

Вид уравнения	Системы уравнений
	Обычный способ рас- чета параметров	Упрощенный способ расчета параметров
Прямая:
Парабола второго порядка:
Показательная кри-вая:
Гипербола: