« МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ...»

Укажите недостатки данного макета таблицы. Переработайте макет с учетом выявленных недостатков и укажите по нему подлежащее, сказуемое и вид таблицы по характеру их разработки.

Тема 3. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД

Методические указания

Анализ данных c помощью графического метода является одним из наиболее эффективных и доступных видов анализа. Основным его преимуществом выступает простота применения и наглядность полученных результатов, которые впоследствии используются для принятия решений. Широкое применение этого метода стало возможным благодаря развитию компьютерной техники и информатики.

Построение основных типов графиков и диаграмм, обычно, осуществляется с помощью наиболее распространенной и популярной программы Microsoft Excel.

Графический метод включает разнообразные типы графиков, применение которых зависит от цели, вида, особенностей социально-экономических процессов и условий их протекания. Наибольшее распространение имеют два основных вида графиков: диаграммы и ста-тистические карты.

Диаграмма – это плоскостное или фигурное графическое изображение статистических данных, наглядно показывающее соотношение между сравниваемыми величинами. Диаграммы могут быть линейные, столбиковые, полосовые, радиальные, круговые, треугольные, квадратные и графики фигур-знаков.

Статистические карты разделяются на картограммы и картодиаграммы. В статистических картах цифровые данные изображаются путем нанесения на контурные географические карты условных знаков в виде точек, различной штриховки или раскраски, диаграммных знаков. На статистических картах пространственная ориентировка задается контурной сеткой, определяющей те территории, к которым относятся статистические характеристики.

Любой график имеет общие элементы: 1) графический образ; 2) по-ле графика; 3) масштабные ориентиры; 4) экспликация графика и 5) система координат.

Графический образ – геометрические знаки, совокупности точек, линии, фигуры, с помощью которых изображаются статистические величины. Поле графика – это пространство, в котором размещаются геометрические знаки. Масштабные ориентиры определяются масштабом и масштабной шкалой. Масштаб статистического графика – это мера перевода числовой величины в графическую, а масштабная шкала – это линия (носитель шкалы) и отдельные расположенные на ней в определенном порядке точки, которые могут быть прочитаны как конкретные числа. Носитель шкалы может быть представлен прямой или кривой линией, поэтому шкалы называются прямолинейными и криволинейными (круговые и дуговые).

Шкалы могут быть равномерными и неравномерными. Одним из видов неравномерной шкалы является логарифмическая. На этой шкале отрезки пропорциональны не изображаемым величинам, а их логарифмам (рис.3.1).

Экспликация графика – это словесное описание его содержания. Оно включает название графика, которое в краткой форме передает его содержание; подписи (надписи) вдоль масштабных шкал и пояснения к отдельным частям графика.

Для размещения геометрических знаков в поле графика используется система координат. Наиболее распространенной при построении статистических графиков является система прямоугольных координат. Наилучшим соотношением масштаба по осям абсцисс и ординат является 1,62:1, известное под названием “золотого сечения”.

Рис.3.1. Масштабные шкалы: а) равномерные; б) неравномерная.

По форме графического образа наиболее распространенные в статистике диаграммы подразделяют на:

• линейные (рис. 3.9);
• плоскостные (рис. 3.8);
• изобразительные (рис. 3.10).

По задачам изображения различают диаграммы:

• структурные (рис. 3.3, в типовой задаче № 1, рис.3.15);
• динамики структуры (рис. 3.4, 3.6);
• балансовые (рис. 3.7);

• сравнения (рис. 3.5, 3.8);
• выполнения плана.

Линейные диаграммы широко применяются для характеристики изменений явлений во времени, хода выполнения плановых заданий, для изучения рядов распределения, а также для выявления связи между явлениями. Линейные диаграммы строятся на координатной сетке. Геометрическими знаками в линейных диаграммах служат точки и последовательно соединяющие их отрезки прямой, которые складываются в ломаные “кривые”. Методика построения таких кривых не отличается от построения графика рис. 3.9.

На одной линейной диаграмме можно привести несколько кривых, которые дают сравнительную характеристику динамики различных показателей или одного и того же показателя для разных территорий (на рис. 3.9 – одна линия).

Разновидностью линейного графика являются радиальные диаграммы, которые строятся в полярной системе координат. Их используют для наглядного изображения циклического изменения явления во времени. В радиальных диаграммах радиусы обозначают периоды времени, а полученная фигура, окружность - величину изучаемого явления (рис.3.2).

Рис. 3.2. Сезонные колебания продажи творога на колхозных рынках области по месяцам 2002 г.

Плоскостная диаграмма отображает размеры явлений площадями геометрических фигур (квадратов, кругов, прямоугольников, треугольников).

Изобразительные диаграммы (фигур-знаков) представляют собой графические изображения в виде рисунков, силуэтов, фигур, соответствующих содержанию статистических данных. Отдельные величины на них изображаются определенным количеством (упрощенных) одинаковых (увеличивающихся или уменьшающихся) по размеру и типу фигур (рис. 3.10) или геометрическими фигурами (столбцами, кругами, квадратами).

Существует три типа диаграмм, в которых применяются изобразительные символы:

• размеры изобразительных символов пропорциональны изображаемым величинам;
• каждый из символов представляет определенную и неизменную величину;
• диаграмма, основные графические элементы которой сопровождаются иллюстрациями, художественным фоном.

Структурные диаграммы показывают состав (структуру) целого, разделенного на части. Они подразделяются на:

• секторные (рис. 3.3);
• столбиковые (рис. 3.4, 3.6);
• треугольные (рис.3.1 – тип. задача № 1) и др.

Секторная диаграмма позволяет сопоставить различные части целого при помощи площадей, образуемых секторами круга пропорционально удельному весу частей в целом (рис.3.3).

Рис. 3.3. Структура операционных затрат на производство продукции

При их построении вся величина явления принимается за 100%, рассчитываются доли отдельных его частей в процентах. Круг разбивается на секторы пропорционально долям изображаемого целого.

Треугольная диаграмма (рис.3.15 – тип. задача № 1) применяется при изучении структуры для одновременного изображения трех переменных, представляющих элементы или составные части целого.

Столбиковая диаграмма (рис.3.5) изображает статистические величины в форме прямоугольников – столбиков, равных по величине основания и размещенных вертикально рядом или на одинаковом расстоянии друг от друга. Высота этих столбиков в соответствии с принятым масштабом пропорциональна изображаемым величинам.

Рис.3.4. Динамика структуры потребления

При помощи столбиковой диаграммы можно сравнивать явления (рис.3.5), а при помощи столбиков, разделенных на части, - изучать структурные сдвиги (рис.3.4, 3.6).

При построении столбиковой диаграммы необходимо выполнение следующих требований: 1) наличие вертикальной масштабной шкалы; 2) шкала, по которой устанавливается высота столбика, должна начинаться с нуля; 3) шкала должна быть, как правило, непре-рывной; 4) основания столбиков - равны между собой; 5) столбики могут размещаться на одинаковом расстоянии друг от друга, вплотную один к другому или наплывом (один столбик частично накладывается на другой); 6) наряду с разметкой шкалы соответствующими цифровыми надписями следует снабжать и столбцы.

Рис. 3.5 Сравнительная динамика производства ВВП по странам.

Диаграмма динамики структуры является разновидностью структурных диаграмм (рис.3.4, 3.6). Она отображает изменения удельных весов и соотношений составных частей явлений для нескольких периодов (моментов) времени. Изобразительными средствами могут служить столбиковые (общая высота столбика принимается равной 100%, а отдельные его части выражают удельные веса), секторные или треугольные диаграммы. Изображаемые части явлений как в столбиках, так и в секторах должны иметь различную раскраску или штриховку и располагаться в определенной последовательности: в секторных диаграммах – по движению часовой стрелки, в столбиковых – от верха к низу.

Ленточные (полосовые) диаграммы строятся аналогично столбиковым, но располагаются горизонтально (полосами, лентами). В этом случае масштабной шкалой будет горизонтальная ось.

В квадратных и круговых диаграммах величина изображаемого явления выражается размером площади. Для ее построения необходимо вначале определить сторону квадрата-графика. Для этого из сравниваемых статистических величин следует извлечь квадратные корни, а затем начертить квадраты с соответствующими сторонами. Построение показано в типовой задаче № 3 (рис.3.17).

Рис. 3.6. Добыча топлива по видам.

Круговые диаграммы строятся аналогично. Разница состоит лишь в том, что на графике вычерчиваются круги, площади которых пропорциональны радиусам изображаемых величин (рис.3.8).

Для одновременного сопоставления трех величин, связанных между собой так, что одна величина является произведением двух других, применяют диаграммы, называемые “Знаком Варзара”. Знак Варзара представляет собой прямоугольник, у которого один сомножитель принят за основание, другой – за высоту, а вся площадь, равная произведению этих двух величин, изображает объем изучаемого явления. Так можно изобразить, например, размер посевной площади под пшеницей, величину урожайности и объем валового сбора в определенном году; численность работающих, уровень их производительности труда и объем произведенной продукции для предприятия, отрасли или страны за период.

Балансовую диаграмму применяют для характеристики балансовых соотношений в какой-либо области. Данный вид диаграммы строится в виде четырех расположенных особым образом прямоугольников, из которых два крайних изображают запасы на начало и конец периода, два средних – их поступление и использование (рис.3.7).

Рис. 3.8. Сравнение территорий некоторых стран

Диаграммы сравнения применяются для сопоставления величин. Для сравнений можно использовать столбиковые (рис.3.5), ленточные и плоскостные диаграммы (рис.3.8).

Рис. 3.9. Динамика инвестиций в основной капитал Украины

График временного ряда – способ изображения динамики, т.е. изменения процессов или явлений во времени. С этой целью применяются линейные (например, на рис.3.9 представлена динамика инвестиций в основной капитал Украины), столбиковые (рис.3.5), изобразительные диаграммы (рис.3.10).

Изобразительный график строится с использованием упрощенных предметных изображений описываемых явлений и процессов. Примером может служить рис.3.10.

Графики распределения совокупностей – графическое изображение вариационных рядов. С помощью полигона распределения изображается дискретный ряд. Для его построения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс отмечают точки, соответствующие величине вариант. Из этих точек восстанавливаются перпендикуляры, длина которых соответствует частоте (частости) этих вариант по принятому масштабу на оси ординат.

Вершины перпендикуляров в последовательном порядке соединяются отрезками прямых. Для замыкания полигона крайние вершины соединяются с точками на оси абсцисс, отстоящими на одно значение от минимального и максимального в принятом масштабе (рис.3.11).

Для построения полигона (рис.3.11) использованы данные, приведенные в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Распределение семей города по числу детей

Число детей в семье	Число семей, тыс.	Удельный вес семей, % к итогу
1	20	22,2
2	31	34,5
3	17	18,9
4	12	13,3
5	10	11,1
Итого:	90	100,0

Для графического изображения интервальных вариационных рядов распределения применяется гистограмма (рис.3.12), построенный по данным таблицы 3.2. При ее построении на оси абсцисс откладываются величины интервалов, а частоты изображаются высотами прямоугольников, построенных на соответствующих интервалах. Высота столбиков должна быть пропорциональна частотам.

Таблица 3.2

Распределение банков по размеру прибыли

Группы банков по размеру прибыли, млн. грн	Количество банков	Удельный вес банков, % к итогу	Накопленные частоты
До 20	2	10	2
20 – 24	4	20	6
24 – 28	6	30	12
28 – 32	5	25	17
Свыше 32	3	15	20
Итого:	20	100	-

Если середины верхних сторон прямоугольников соединить прямыми, то гистограмма может быть преобразована в полигон распределения.

Рис. 3.12. Гистограмма и полигон распределения банков по размеру прибыли

Иногда ряды распределения преобразуются в кумулятивные ряды, строящиеся по накопленным частотам, такой график называют кумулятой.

При построении кумуляты по оси абсцисс откладываются варианты ряда, а по оси ординат - накопленные частоты. Полученные точки соединяют прямыми, образующими кумуляту (рис.3.13). Если же поменять местами варианты и частоты, то получится другой график – огива.

Рис.3.13. Кумулята распределения банков по размеру прибыли

Графический метод может быть использован также для выявления связи, ее характера и направления. По аналитическому выражению обычно выделяют связи прямолинейные (или просто линейные) и криволинейные. Если статистическая связь явлений может быть приближенно выражена математическим уравнением прямой линии, то ее называют линейной связью, если же она выражается уравнением какой-либо кривой линии (параболы, гиперболы и т.п.), - то криволинейной. В таблице 3.3 приведены данные, характеризующие зависимость между часовой выработкой ткани и количеством станков, обслуживаемых одной работницей.

Из таблицы видно, что частоты концентрируются у диагона­ли, идущей из левого верхнего угла в правый нижний. Это указы­вает на прямую (с увеличе­нием числа обслуживаемых станков увеличивается выработка) или близкую к ней связь (концентрация частот идет почти по прямой ли­нии) между количеством обслуживаемых работ­ницей станков и ее часовой выработкой ткани. По данным таблицы 3.3 необходимо рассчитать среднюю выработку для каждой из семи групп работниц, выделенных по числу обслуживае­мых станков.

Таблица 3.3

Корре­ляционная таблица

Количество станков, обслуживаемых одной работницей, шт., х	Часовая выра­ботка ткани, м (у)
	10-15	15-20	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45	fy
5 - 7 7 - 9 9 - 11 11 - 13 13 - 15 15 - 17 17 - 19	7 4 2 1	3 8 5 4	2 11 8 2	5 13 7 1	1 16 3	2 6 19 3	3 7 18	10 14 21 30 33 32 21
fx	14	20	23	26	20	30	28	161

Обозначив эти средние значения через и произведя расчеты, получаем:

Данные таблицы и результаты расчетов гра­фически изображаются (рис.3.14) с помощью корреляционного поля.

Рис.3.14. Корреляционное поле зависимости часовой выработки от числа обслуживаемых станков

Таким образом, применение графического метода позволяет наглядно представить динамику, структурные изменения, взаимосвязи различных социально-экономических процессов и явлений, а также заметить преимущества и недостатки отдельных явлений или процессов, тенденции их развития, возможные изменения в перспективе и своевременно принять обоснованные управленческие решения.

Тесты

1. Содержание какого ответа не является элементом графического изображения:

1. графический образ; 2) масштабные ориентиры; 3) экспликация графика; 4) диаграмма; 5) система координат.

2. Какая диаграмма характеризует состав явления, в котором выделены отдельные части?

1) сравнения; 2) структурная; 3) балансовая; 4) динамики

3. Какая диаграмма характеризует изменение явления во времени?

1) сравнения; 2) структурная; 3) балансовая; 4) динамики

4. Что представляет собой графическое изображение в виде прямоугольника, у которого одна сторона является численностью работающих, другая – уровнем производительности труда, а площадь равна объему произведенной продукции?

1. Знак Варзара; 2) полосовая диаграмма; 3) график динамики; 4) диаграмма структуры

5. При графическом изображении взаимосвязи между явлениями по группе предприятий на оси ординат помещают:

1. значения признака - результата; 2) значения признака - фактора; 3) периоды времени

6. Назовите график, изображающий интервальный вариационный ряд распределения:

1. полигон распределения; 2) гистограмма распределения; 3) кумулята; 4) огива

7. Назовите график, изображающий дискретный вариационный ряд распределения

1) полигон распределения; 2) гистограмма распределения; 4) кумулята; 4) огива

8. Какой график получим, если на оси “ОХ” отложим отрезки времени, а на оси “ОУ” - производство холодильников в регионе?

1. секторная диаграмма; 2) линейная диаграмма; 3) прямоугольная диаграмма; 4) Знак Варзара

10. Что такое графический образ?

1) геометрические знаки, совокупности точек, линии, фигуры, с помощью которых изображаются статистические величины; 2) пространство, в котором размещаются геометрические знаки; 3) мера перевода числовой величины в графическую; 4) словесное описание содержания графика.

Решение типовых задач

Задача 1. Построить треугольную диаграмму структуры пот-ребления товаров и услуг, если на долю продовольственных товаров приходится 50%, непродовольственных – 20%, услуг – 30%.

Решение

Треугольная диаграмма строится в виде равностороннего треугольника, каждая сторона которого разбивается на равные части от 0 до 100.

Параллельно сторонам треугольника проводятся прямые линии, образующие координатную сетку. Перпендикуляры из любой точки поля графика представляют процентные доли трех переменных, составляющих в сумме 100%.

На данной диаграмме точка Х указывает значения всех трех переменных: для компонента А - 20%, для В - 30% и для компонента С - 50%.

Рис. 3.15. Структура потребления

Задача 2. Изобразить графически данные о росте доли информационно-вычислительных услуг в общем их объеме, если в 1990г. они составляли менее 3%, 1995г. – примерно 20%, 2002г. – более 40%.

Решение

Необходимо построить три круга одинакового радиуса.

Для выделения секторов определить по приведенным данным центральные углы: для 1990г. центральный угол составит 10,8о (3 3,6), для 1995г. – 61,8 о, для 2002г. - 144 о (рис.3.16).

Задача 3. Необходимо построить квадратную диаграмму для сравнения грузооборотов разных видов транспорта по следующим данным: грузооборот железнодорожного транспорта - 3236,5 тыс.ткм; грузооборот автомобильного транспорта – 338 тыс.ткм; грузооборот речного транспорта – 221,7 тыс.ткм.

Решение

Для построения диаграммы нужно извлечь квадратные корни из приведенных величин. Это составит соответственно 56,8; 18,4; 14,8. Чтобы построить по этим данным квадраты, необходимо выбрать масштаб, например, принять 1 см за 10 тыс.ткм. Сторонами квадратов на графике будут отрезки, пропорциональные полученным числам.

Рис.3.17. Грузооборот железнодорожного, автомобильного и речного транспорта страны.

Задача 4. По данным о сборке легковых автомобилей (в шт.) за 1995 - 2001 гг. построить линейную диаграмму:

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

201 344 529 730 917 1119 1201

Решение

В прямоугольной системе координат нанесем на ось абсцисс показатели времени, а на ось ординат – данные о сборке автомобилей

(рис.3.18). Масштаб – 1 см = 200 шт.

Рис.3.18. Динамика сборки легковых автомобилей

Задачи для самостоятельного решения

3.1. Изобразите с помощью столбиковой диаграммы данные о расходах на социально-культурные мероприятия из государственного бюджета Украины, млрд. грн.:

1998 1999 2000 2001

13,1 13,5 19,1 25,5

3.2. С помощью квадратной диаграммы сопоставьте следующие данные об инвестициях в жилищное строительство Украины по формам собственности за 2001 год, млн.грн.: частная - 705; коллективная - 561; государственная - 409; коммунальная - 265.

3.3. По данным о вводе в эксплуатацию жилья в Украине (в кв.м в расчете на 1 тыс.чел. населения) в 1995 – 2001 гг. постройте столбиковые и секторные диаграммы.

м2 на 1000 чел

Площадь жилых домов	1995 г.	1998 г.	1999 г.	2000 г.	2001 г.
Всего	169	117	124	113	118
в городских поселениях	186	138	145	130	141
в сельских местностях	133	73	79	77	71

3.4. По данным о грузообороте Украины постройте: 1) квадратные, 2) круговые, 3) секторные диаграммы:

млрд. т/км

Виды транспорта	1995 г.	2001 г.
Все виды транспорта, в том числе:	544	393,8
- железнодорожный	195,8	177,5
- морской	123,1	10,1
- речной	5,7	3,7
- автомобильный	34,5	18,3
- трубопроводный	184,9	184,2

3.5. Изобразите графически с помощью фигур-знаков данные о производстве холодильников (тыс.шт.) в Украине за 1995-2001 гг.

1995 1998 1999 2000 2001

562,5 389,5 409,4 450,9 508,5

3.6. Постройте знаки Варзара по следующим данным о вкладах населения в сберегательном банке области на конец 2001г: 1) число вкладов - 106,6 тыс.: а) в городских поселениях - 78,9; б) в сельских местнос-тях - 27,7; 2) сумма вкладов - 91,0 млн.грн.: а) в городских поселениях - 66,1; б) в сельских местностях - 24,9; 3) средний размер вклада - 854,0 грн.: а) в городских поселениях - 837,0; б) в сельских местностях- 900,0.

3.7. Постройте линейные диаграммы, характеризующие динамику внешней торговли Украины:

Показатели	1995г	1996г	1997г	1998г	1999г	2000г	2001г
Внешнеторговый оборот	31,8	32,0	31,3	27,3	23,4	28,6	32,1
Экспорт	15,7	14,4	14,2	12,6	11,6	14,6	16,3
Импорт	16,1	17,6	17,1	14,7	11,8	14,0	15,8

3.8. Продажа отдельных товаров на колхозных рынках города по месяцам 2002 г. характеризуется следующими данными:

Месяцы	Картофель, тыс.т	Молоко, тыс.л.	Месяцы	Картофель, тыс. т	Молоко, тыс.л.
Январь	2,4	30	Июль	14,9	35
Февраль	3,7	40	Август	11,7	34
Март	3.8	43	Сентябрь	14,0	45
Апрель	5,5	54	Октябрь	11,4	35
Май	5.2	67	Ноябрь	6,6	29
Июнь	9,7	29	декабрь	6,5	28

Постойте радиальную диаграмму. Проведите анализ полученных результатов.

3.9. По областям Украины по состоянию на 01.01.2001г. имеются следующие данные:

Области	Территория, тыс.км2	Численность населения,тыс.чел
Донецкая	26,5	4893,6
Днепропетровская	31,9	3678,0
Запорожская	26,7	2607,4
Кировоградская	27,2	1983,9
Луганская	24,6	1152,9

Постройте картограмму “плотность населения” по областям Украины: а) точечную, б) фоновую. Что показывает построенная картограмма?

10. По восьми административным районам области об урожайности и посевных площадях озимого ячменя постройте: 1) картограмму урожайности с помощью штриховки; 2) точечную картограмму посевных площадей.

Номер района	Посевная площадь, га	Урожайность озимого ячменя, ч с 1 га	Номер района	Посевная площадь, га	Урожайность озимого ячменя, ч с 1 га
1	14,1	17,5	5	15,9	31.6
2	9,2	20,1	6	2,6	18,1
3	10,2	36,1	7	9,3	24,3
4	3,1	27,2	8	17,4	26,3

Тема 4. Статистические показатели

Методические указания

При анализе статистической информации применяется система обобщающих показателей: абсолютных, относительных и средних величин.

Абсолютные величины выражают размеры, объемы явлений или процессов. Их получают непосредственно в результате статистического наблюдения, сводки и группировки данных, а также в результате специальных расчетов. К абсолютным показателям, например, относится площадь территории страны, объем промышленного производства, число предприятий и т.п.

Абсолютные статистические показатели всегда являются числами именованными. В зависимости от социально-экономической сущности исследуемых явлений, их физических свойств они выражаются в натуральных и условно-натуральных, трудовых и стоимостных единицах измерения.

В международной практике используются такие натуральные единицы измерения, как тонны, килограммы, литры, километры, мили, баррели, штуки и т.д.

Условно-натуральные измерители используются в тех случаях, когда какой-либо продукт имеет несколько разновидностей и общий объем можно определить только исходя из общего для всех разновидностей потребительского свойства. Так, различные виды топлива переводят в условное топливо с теплотворной способностью в 7000 ккал/кг, мыло разных сортов – в условное мыло с 40 %-м содержанием жирных кислот и т.п. Перевод в условные единицы измерения осуществляется на основе коэффициентов, рассчитываемых как отношение потребительских свойств отдельных разновидностей продукта к эталонному значению:.

Трудовые единицы измерения применяют, в основном, для определения единиц измерения рабочего времени (чел-час, чел-день).

В условиях рыночной экономики особое значение имеют стоимостные единицы измерения, позволяющие дать денежную оценку социально-экономическим объектам и явлениям.

Относительная величина - это обобщающий статистический показатель, характеризующий количественное соотношение двух величин в пространстве (между объектами), во времени (по одному и тому же объекту) или сравнения показателей разных свойств изучаемого объекта.

Относительные показатели получаются путем деления одной статистической величины на другую. В числителе всегда находится сравниваемый показатель, а в знаменателе – показатель, с которым производится сравнение (база сравнения). База сравнения выступает в качестве своеобразного измерителя. В зависимости от числового значения базы сравнения, результат отношения может быть выражен в коэффициентах, процентах, промилле (0/00), продецимилле (0/000), а также может быть числом именованным.

В статистике вычисляют следующие относительные величины:

1.Относительная величина планового задания - отношение величины показателя, устанавливаемого на планируемый период или обусловленной договором к его величине, достигнутой за предшествующий (базисный) период:

где Qплан и Qбаз – плановый и базисный размеры явления за период.

2. Относительная величина выполнения плана (нормы или договорных обязательств) - результат сравнения фактически достигнутого уровня показателя в текущем (отчетном) периоде с его плановым уровнем или нормативным, или уровнем, обусловленным договором. Если показатели заданы в абсолютном выражении:

,

где Q факт – фактический объем явления за отчетный период.

3. Относительная величина динамики характеризует степень изменения изучаемого явления во времени, то есть в отчетном периоде по сравнению с базисным (сравниваются фактические уровни):

Рассмотренные относительные величины взаимосвязаны между собой: Кдинамики = Кплан. задания · Квып. плана

4. Относительная величина структуры характеризует состав совокупности, показывает, какой удельный вес (долю) во всей совокупности составляют ее части. Определяется как отношение размеров частей к целому: d =(100).

5. Относительная величина координации – соотношение частей целого между собой. За базу сравнения принимают одну из составных частей целого, а затем находят отношение всех частей к ней. Показывает, сколько единиц данной части целого приходится на 1, 10, 100, 1000 и т.п. единиц части, принятой за базу сравнения:

Kкоординации = K1 : K2 :... : K баз, ,

где Qбаз– уровень, принятый за базу сравнения; Q1+ Q 2+...+ Qбаз=Qцелое

6. Относительная величина интенсивности характеризует сте-пень распространения или развития какого-либо явления в определенной совокупности, с ним связанной. Получается сопоставлением разноименных абсолютных величин, связанных в своем развитии, но относящихся к различным совокупностям (производительность труда, фондоотдача, рентабельность, демографические коэффициенты, социальные показатели и т.д.)

7. Относительная величина сравнения – отношение одноименных величин, относящихся к разным объектам или территориям, взятое, как правило, за одно и то же время. Выражается в коэффициентах.

Средняя величина – это обобщающий показатель, который характеризует типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности. Она рассчитывается путем деления объема признаков на число единиц, обладающих данным признаком. Поэтому в общем виде формально это соотношение может быть представлено в форме агрегатной средней:

где M – объем явления или объем признака; n – объем совокуп-ности, т.е. число единиц, обладающих данным признаком.

В практике статистической обработки материалов возникают различные задачи. Для их решения требуются разные виды средних. В статистике вычисляют следующие виды средних величин:

1. среднюю арифметическую; 4) моду и медиану;
2. среднюю гармоническую; 5) среднюю хронологическую^[1] ;
3. среднюю квадратическую; 6) среднюю геометрическую2.

Указанные средние величины можно объединить в две группы: степенные средние (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая и средняя геометрическая) и структурные средние (мода и медиана). Общая формула степенной средней имеет вид: ,

где k - показатель степени средней.

При k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая;

k = 1 - средняя арифметическая; k = 2 - средняя квадратическая.

Признак, по которому находится средняя, называется осредняемым признаком и обозначается . Величины осредняемого признака у каждой единицы совокупности называются индивидуальными его значениями или вариантами. Обозначаются как x1, x2, x3, …xn.. Частота (повторяемость) индивидуальных значений признака – f (статистический вес).

Каждая средняя в зависимости от характера представления исходных данных рассчитывается двумя способами – как простая и как взвешенная. Если признак не сгруппирован, то применяется форма простой средней; если признак заранее сгруппирован, то применяется форма взвешенной средней.

Средняя арифметическая простая: ,

где n – количество единиц совокупности (n = f)

Средняя арифметическая взвешенная: ,

где xf = M – объем явления.

Весами могут быть и частости, т.е относительные величины структуры (доли), выраженные в процентах или коэффициентах.

Тогда: (если d - доля, выраженная в коэффициентах):

(если d – в процентах)

В интервальных вариационных рядах значение признаков дано в виде интервалов “от … до …”. Для расчета средней в этом случае необходимо перейти к дискретному ряду, т.е. в каждом интервале найти среднее значение (x), а затем расчет выполнять по средней арифметической взвешенной:

Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической. Применяется, если заданы объемы явлений (объемы признаков), но не известны частоты. По способу расчета средняя гармоническая бывает:

- простая, применяется, когда объемы признака (n) равны.

- взвешенная, применяется, когда известны индивидуальные значения признака (х), но не заданы веса (f), которые входят сомножителем в известный объемный показатель (М = х f).

В практической работе часто возникает задача выбора формы средней величины между средней арифметической взвешенной и средней гармонической взвешенной. Для этого необходимо составить исходную схему расчета показателя:

.

Например,; . Если в условии задачи известен знаменатель исходной схемы, а неизвестен числитель, то применяется средняя арифметическая взвешенная. Если известен числитель, а знаменатель – нет, то используется средняя гармоническая взвешенная.

Средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда варианты представляют собой отклонение заданных величин от нормы, от ГОСТа, от стандарта, т.е. от какой-то постоянной величины, в том числе и от среднего значения.

Рассчитывается: - простая; - взвешенная;

где f – количество единиц совокупности с тем или иным отклонением; х – отклонения (±)

Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые называют структурными средними. Это мода и медиана. Эти показатели будут рассмотрены в теме 5.

Тесты

1. Что характеризуют абсолютные величины?
1. количественные соотношения размеров явлений; 2) размеры или объемы явлений; 3) результат деления двух величин; 4) изменение явлений во времени.

2. Что характеризуют показатели динамики?

1) отношение части совокупности к численности всей совокуп-ности; 2) соотношение частей совокупности между собой; 3) изме-нение явления во времени; 4) объемы явления.

3. Какую относительную величину можно определить путем де-лния объема производства тканей на численность населения?
1. сравнения; 2) интенсивности; 3) координации; 4) структуры.
4. Как исчисляются относительные показатели структуры?
1. делением величины признака текущего периода на величину признака в прошедшем периоде; 2) делением величины части сово-купности на численность всей совокупности; 3) делением величины одной части совокупности на величину другой ее части; 4) деле-нием величины признака, планируемой на текущий период, к фак-тически достигнутой величине этого признака в базисном периоде.
5. Какую относительную величину можно получить путем деле-ния объема производства стали в Донецкой области на объем производства стали в Луганской области за год?
1. интенсивности; 2) координации; 3) сравнения; 4) планового задания.
6. Какая величина не является относительной?
1. процент выполнения плана; 2) численность родившихся детей за год; 3) производство обуви на душу населения; 4) удельный вес продукции высшего сорта.
7. Какую относительную величину можно получить, разделив число умерших за год на среднегодовую численность населения?
1. координации; 2) сравнения; 3) интенсивности; 4) динамики.
8. Какой из показателей является относительной величиной?
1. численность рабочих предприятия; 2) стоимость основных фондов; 3) удельный вес рабочих в общей численности работающих; 4) объем произведенной продукции.
9. Какой относительный показатель можно определить по формуле: ?

1) планового задания; 2) сравнения; 3) выполнения плана или вы-полнения договорных обязательств; 4) координации.

10. Что характеризует относительная величина интенсивности?

1. соотношение частей целого между собой; 2) соотношение одно-именных величин, относящихся к разным объектам; 3) степень рас-пространения какого-либо явления в определенной совокупности, с ним связанной; 4) удельный вес части в целом.

11. Какую относительную величину можно определить по форму-ле: ?

1) планового задания; 3) сравнения;

2) выполнения плана; 4) интенсивности.

12. Какими величинами надо располагать для исчисления отно-сительного показателя планового задания?

1. величинами планового задания и фактического выполнения; 2) величинами фактического выполнения за истекший и преды-дущий периоды; 3) величиной планового задания на предстоя-щий период и величиной фактического выполнения за пред-шествующий период; 4) величиной целого и его частей.

13. В каких единицах обычно выражаются показатели структуры?

1. в натуральных единицах; 3) в стоимостном выражении;
2. в коэффициентах, процентах; 4) в трудовом измерении.

14. Какая из формул является средней арифметической взвешенной?

1);

2);

3);

4).

15. Какую среднюю можно определить по формуле: ?

1. среднюю гармоническую простую; 2) среднюю гармоническую взвешенную; 3) среднюю арифметическую простую; 4) среднюю квадратическую простую.

16. Какая из формул является средней гармонической взвешенной:

1. ; 2) ; 3); 4).

17. Какую среднюю можно определить по формуле ?

1. 1) среднюю квадратическую простую; 2) среднюю хронологическую; 3) среднюю арифметическую простую; 4) среднюю гармоническую простую.

18. Какая из формул является средней гармонической простой:

1) ;

2) ;

3);

4)

19. Какая из формул является средней квадратической взвешенной:
1. ; 2) ; 3); 4)

20. Какую среднюю следует применять, если отдельные значения признака в совокупности встречаются несколько раз:

1. среднюю гармоническую простую; 2) среднюю арифметическую простую; 3) среднюю гармоническую взвешенную; 4) среднюю арифметическую взвешенную.

Решение типовых задач

Пример 1. Валовой выпуск продукции отрасли составил в ба-зисном периоде 3500 тыс.грн. Планом на текущий период предус-мотрен выпуск на сумму 3800 тыс.грн., а фактическая его величина составила 3760 тыс.грн. Определите относительные величины плано-вого задания, выполнения плана и динамики.

Решение

1. Относительная величина планового задания:

= 1,086 или 108,6%.

Таким образом, планировалось увеличить в отчетном периоде по сравнению с базисным валовой выпуск продукции в 1,086 раза или на 8,6% (108,6% - 100%).

2. Относительная величина выполнения плана: == 0,989 или 98,9%, т.е. план валового выпуска продукции вы-полнен на 98,9% или недовыполнен на 1,1% (98,9% -100%).

3. Относительная величина динамики: = = 1,074 или 107,4%. В отчетном периоде по сравнению с базисным валовой выпуск продукции увеличился в 1,074 раза или на 7,4% (107,4% -100%). Взаимосвязь вычисленных показателей:

1,086 · 0,989 = 1,074.

Пример 2. Планом производства на текущий год по сравнению с базисным было предусмотрено снижение себестоимости продукции на 3%, а фактически она была снижена на 2,5%. Определите относительную величину выполнения плана по снижению себестоимости продукции в текущем году.

Решение

Показатели заданы в процентах. По их содержанию определяем значения относительных величин: относительная величина планового задания по снижению себестоимости составляет 97% или Кплан.задания= = 0,97, а относительная величина динамики – 97,5% или Кдинамики = 0,975. Тогда относительная величина выполнения плана через взаимосвязь показателей будет равна:

= 101,52 %. Это означает, что план по снижению себестоимости недовыполнен на 5,2 %.

Пример 3. За отчетный год в стране было зарегистрировано 9710 промышленных предприятий (без малых предприятий и кооперативов), в том числе по формам собственности: частная – 37; коллективная – 7141; государственная – 2516; собственность международных организаций и юридических лиц других государств – 16.

Определите все возможные относительные величины.

Решение

1.Относительная величина структуры:

d = ; dчаст = 100 = 0,4%; dгосуд. = 100 = 25,9%;

dкол. = 100 = 73,5%; dмеждунар.= 100 = 0,2%.

Наибольший удельный вес составляют предприятия коллективной формы собственности (73,5 %), на долю государственных предприятий приходится (25,9 %), малую долю составляют предприятия частные (0,4 %) и международные (0,2 %).

2. Относительная величина координации: примем за базу сравнения предприятия частной формы собственности: Ккоордин.= 446 : 157 : 2 : 1.

Это означает, что на одно предприятие частной формы собственности приходится 446 предприятий коллективной формы собственности, 157 государственной и 2 предприятия частных.

Пример 4. По городу имеются данные за год, тыс.чел.: число родившихся - 24,92; среднегодовая численность населения – 2800. Определить относительную величину интенсивности, характеризую-щую рождаемость.

Решение

Определим коэффициент рождаемости:

Крожд. = 1000 =1000= 90/00. Это означает, что в расчете на каждую тысячу человек населения за год рождается 9 детей.

Пример 5. Заработная плата бригады строителей по отдельным профессиям за месяц характеризуется следующими данными:

Маляры		Штукатуры		Кровельщики
Заработная плата, грн	Число ра-бочих, чел	Заработная плата, грн	Число ра-бочих, чел	Заработная плата, грн	Число рабочих, чел
300	1	320	2	330	3
310	1	336	2	342	5
317	1	340	2	355	2

Определить среднюю заработную плату рабочих: а) по каждой профессии; б) в целом по бригаде.

Решение

1. Среднюю зарплату маляров определим по средней арифметической простой, так как каждый признак встречается в совокупности один раз: ; грн.

2. Среднюю зарплату штукатуров определим также по формуле средней арифметической простой, так как частоты равны между собой: грн.

3. Среднюю зарплату кровельщиков определим по формуле средней арифметической взвешенной, так как каждый признак встречается неодинаковое число раз:

грн.

4. Средняя зарплата всех рабочих бригады строителей может быть определена как средняя арифметическая взвешенная из групповых средних:333,1 грн.

Пример 6. Средняя выработка продукции на одного рабочего за смену в двух цехах завода, вырабатывающих однородную продукцию, характеризуется следующими данными:

Бригада №	Цех № 1		Бригада №	Цех № 2
	дневная выработ- ка продукции,шт	число ра-бочих,чел		дневная выработ- ка продукции,шт	объем произведен-ной продукции,шт.
I	20	8	IV	38	418
II	30	11	V	36	432
III	35	16	VI	20	140

Определить среднюю дневную выработку продукции рабочих по каждому цеху.

Решение

Логическая схема расчета:

По первому цеху расчет произведем по средней арифметической взвешенной, поскольку по условию задачи известен знаменатель логической схемы расчета, т. е. число рабочих или частота появления признака:шт. По второму цеху – по средней гармонической взвешенной, т.к. известен числитель логической схемы расчета, т.е объем произведенной продукции:

шт.

Пример 7. Три предприятия производят электромиксеры. Себестоимость одного миксера составляет: на 1-ом предприятии 50 грн, на 2-ом 60 грн, на 3-ем 80 грн. Определить среднюю себестоимость миксера при условии, что общие затраты на производство миксера на всех предприятиях одинаковы.

Решение

Составим исходную схему расчета:

.

Так как общие затраты на всех предприятиях одинаковы, а значения признака (себестоимости) известны (x), расчет выполняем по средней гармонической простой:

= 60,6 (грн).

Пример 8. По данным о месячной зарплате 50-ти рабочих цеха определим среднюю зарплату:

Группы рабочих по месячной зарплате, грн	Число ра-бочих, чел, f	Дискретный ряд, x	xf	Доля рабочих в коэф-тах, df	x df
1	2	3	4	5	6
400 - 420	2	410	820	0,04	16,4
420 - 440	4	430	1720	0,08	34,4
440 - 460	8	450	3600	0,16	72,0
460 - 480	20	470	9400	0,4	188,0
480 - 500	16	490	7840	0,32	156,8
Итого:	50	-	23380	1,0	467,6

Решение

Данные о месячной зарплате рабочих цеха представлены в виде интервального ряда распределения (гр.1, 2). Для расчета средней месячной зарплаты необходимо перейти к дискретному ряду распределения. Определим середину каждого интервала (x) и запишем результаты в гр.3. Затем выполним расчет в 2-х вариантах:

1. Используя в качестве весов численность рабочих (f) (гр.4):

грн.

2. Используя в качестве весов долю рабочих в коэффициентах (df) (гр.5, 6): ; грн.

Пример 9. Члены садового товарищества постановили, что допустимый размер отклонения площади земельных участков от установленной нормы должен составлять 0,02 га. По следующим данным определите средний размер отклонения площади земельных участков от нормы:

Отклонение, га	-0,03	-0,02	-0,01	0	0,03	0,04	0,05	0,06	Итого
Число участков	12	18	10	35	25	8	7	5	120

Решение

Для ответа на вопрос задачи вычислим среднюю квадратическую взвешенную, т.к. значения признака представлены в виде отклонений и предварительно сгруппированы: . Промежуточные вычисления выполним в таблице 4.1.

Таблица 4.1

Промежуточные расчеты для определения среднего размера

отклонения величины земельных участков от нормы

Отклонения, га, x	Количество участков, f	x2	x2f
1	2	3	4
- 0,03	12	0,0009	0,0108
- 0,02	18	0,0004	0,0072
- 0,01	10	0,0001	0,001
0	35	0	0
0,03	25	0,0009	0,0225
0,04	8	0,0016	0,0128
0,05	7	0,0025	0,0175
0,06	5	0,0036	0,018
Итого	120	-	0,0898

га. Средний размер отклонения величины земельных участков от нормы в ту и другую сторону составляет 0,027 га.

Задачи для самостоятельного решения

4.1. За два периода предприятиями консервной промышлен-ности района произведено продукции:

Консервы	Масса бан-ки(нетто),г	Количество банок, шт.
		в базисном периоде	в отчетном периоде
Соус томатный	520	120	120
Икра кабачковая	510	150	200
Молоко сгущенное	400	500	710

Определить относительную величину динамики объема произ-водства консервов в условных единицах (за условную единицу при-мите банку с массой продукции нетто, равной 400 г).

4.2. По имеющимся данным по участкам цеха вычислите отно-сительные величины планового задания, выполнения плана и дина-мики по каждому участку. Проверьте взаимосвязь исчисленных показателей.

Участок	Выпуск продукции, тыс. грн.
	в предыдущем месяце	в отчетном месяце
		по плану	фактически
№ 1	180	219	214
№ 2	250	267	256

4.3. По следующим данным определите фактический выпуск продукции предприятием за каждый квартал и процент выполнения плана за год:

Показатели	Кварталы
	I	II	III	IV
План производства продукции, тыс. грн	5000	5100	5400	5500
Процент выполнения плана	92,0	91,3	100,4	105,6

4.4. Определите плановое задание по производству продукции фирмой за каждый квартал и процент выполнения плана за год по следующим данным:

Показатели	Кварталы
	I	II	III	IV
Фактически произведено продукции,тыс.грн	8200	8300	8150	8400
Процент выполнения плана	100,2	97,3	98,5	101,3

4.5. На предприятии в начале года по списку числилось рабочих 215чел, административно-управленческого персонала (АУП) - 13чел. К концу года списочная численность рабочих увеличилась на 9 чел., а численность АУП выросла на 2 чел. Определите все возможные относительные величины.

4.6. Остатки выданных кредитов на конец года составили, тыс. грн.: Нацбанком Украины -3569, коммерческими банками - 5200. Оп-ределите все возможные относительные величины.

4.7. За отчетный период ввод в действие жилых домов в регионе составил, млн.м2: государственными предприятиями и организациями - 0,2; жилищно-строительными кооперативами - 1,7; индивидуальны-ми застройщиками - 3,5. Проанализируйте структуру ввода в дейст-вие жилых домов в регионе.

4.8. Имеются данные одного сельскохозяйственного предприятия:

Показатели	Базисный период	Отчетный период
		по плану	фактически
Посевная площадь всех зерновых культур,га	5000	6500	6700
в т.ч.: пшеницы	2500	4000	4100
ячменя	800	1400	1450
кукурузы	1400	600	550
овса	300	500	600

Определите: 1) структуру посевных площадей в отчетном периоде по плану и фактически, и в базисном периоде; 2) динамику структур-ных сдвигов в общей площади зерновых культур. Сделайте выводы.

4.9. Какую относительную величину можно определить, если из-вестно, что в регионе за год произведено 1350 тонн масла животного, а среднегодовая численность населения составила 24,9 тыс.чел. Выполните расчет и сделайте вывод.

4.10. Число зарегистрированных браков в Украине в 1997г. сос-тавило 345 тыс., а в 2000г.- 274,5тыс., а число разводов – соответст-венно 188,24 и 197,3 тыс. при среднегодовой численности населения, равной в1997г. – 50,6 млн.чел, а в 2000г.- 49,7 млн.чел. Определите относительные величины, характеризующие: 1) интенсивность брач-ности и разводимости за каждый год; 2) динамику всех показателей.

4.11. Число родившихся в расчете на каждую тысячу человек на-селения составило в среднем по Донецкой области 6,7, а по Жито-мирской – 10,2, а число умерших соответственно: 16,3 и 16,0. Опре-делите, во сколько раз отличаются показатели по областям; какую относительную величину нужно рассчитать?

4.12. Валовой внутренний продукт Украины (в сопоставимых ценах) составлял: в 1998г.- 102,6 млрд.грн, а в 2000г.- 172,95 млрд.грн Среднегодовая численность постоянного населения соответственно составляла: 50,05 и 49,7 млн.чел. Определите все возможные относи-тельные величины. Сделайте выводы.

4.13. Известны объемы производства отдельных видов продук-ции в четырех странах в отчетном году:

Вид продукции	Венгрия	Украина	Германия	Россия
Электроэнергия, млрд.кВт-час	33	171,4	521	876
Синтетические смолы, млн.т.	0,7	0,152	10,5	1,5
Пиломатериалы, млн.м3	0,6	2,1	14,1	32,1

Известно также, что среднегодовая численность населения за этот же год составила, млн.чел: в Венгрии – 10,3; в Германии – 81,4; в Украине – 49,7; в России – 148,3. Определите все возможные относительные величины.

4.14. По данным о среднемесячной заработной плате в Украине и отдельных ее областях за два года (грн.), определите все возможные относительные величины:

Среднемесячная заработная плата	Базисный	Отчетный
В Украине	153	311
В Донецкой области	195	383
В Закарпатской области	108	238