«Серия: СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ А.И.Орлов ...»

Как сложились два параллельных терминологических ряда? Основные понятия теории вероятностей и ее терминология сформировались в XVII-XVIII вв. Теория множеств возникла в конце XIX в. независимо от теории вероятностей и получила распространение в ХХ в.

Принятый в настоящее время аксиоматический подход к теории вероятностей, разработанный академиком АН СССР А.Н. Колмогоровым (1903-1987), дал возможность развивать эту дисциплину на базе теории множеств и теории меры. Этот подход позволил рассматривать теорию вероятностей и математическую статистику как часть математики, проводить рассуждения на математическом уровне строгости. В частности, было введено четкое различие между частотой и вероятностью, случайная величина стала рассматриваться как функция от элементарного исхода, и т.д. За основу методов статистического анализа данных стало возможным брать вероятностно-статистические модели, сформулированные в математических терминах. В результате удалось четко отделить строгие утверждения от обсуждения философских вопросов случайности, преодолеть подход на основе понятия равновозможности, имеющий ограниченное практическое значение. Наиболее существенно, что после работ А.Н.Колмогорова нет необходимости связывать вероятности тех или иных событий с пределами частот. Так называемые «субъективные вероятности» получили смысл экспертных оценок вероятностей.

После выхода (в 1933 г. на немецком языке и в 1936 г. – на русском) основополагающей монографии [4] аксиоматический подход к теории вероятностей стал общепринятым в научных исследованиях в этой области. Во многом перестроилось преподавание. Повысился научный уровень многих прикладных работ. Однако традиционный подход оказался живучим. Распространены устаревшие и во многом неверные представления о теории вероятностей и математической статистике. Поэтому в настоящей главе рассматриваем основные понятия, подходы, идеи, методы и результаты в этих областях, необходимые для их квалифицированного применения в задачах различных областей знаний и практической деятельности.

В послевоенные годы А.Н.Колмогоров формализовал понятие случайности на основе теории информации [5]. Грубо говоря, числовая последовательность является случайной, если ее нельзя заметно сжать без потери информации. Однако этот подход не был предназначен для использования в прикладных работах и преподавании. Он представляет собой важное методологическое и теоретическое продвижение.

Вероятность события. Перейдем к основному понятию теории вероятностей – понятию вероятности события. В методологических терминах можно сказать, что вероятность события является мерой возможности осуществления события. В ряде случаев естественно считать, что вероятность события А – это число, к которому приближается отношение количества осуществлений события А к общему числу всех опытов (т.е. частота осуществления события А) – при увеличении числа опытов, проводящихся независимо друг от друга. Иногда можно предсказать это число из соображений равновозможности. Так, при бросании симметричной монеты и герб, и решетка имеют одинаковые шансы оказаться сверху, а именно, 1 шанс из 2, а потому вероятности выпадения герба и решетки равны 1/2.

Однако этих соображений недостаточно для развития теории. Методологическое определение не дает численных значений. Не все вероятности можно оценивать как пределы частот, и неясно, сколько опытов надо брать. На основе идеи равновозможности можно решить ряд задач, но в большинстве практических ситуаций применить ее нельзя. Например, для оценки вероятности дефектности единицы продукции. Поэтому перейдем к определениям в рамках аксиоматического подхода на базе математической модели, предложенной А.Н.Колмогоровым (1933).

Определение 1. Пусть конечное множество является пространством элементарных событий, соответствующим некоторому опыту. Пусть каждому поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое вероятностью элементарного события , причем сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1, т.е.

(1)

Тогда пара , состоящая из конечного множества и неотрицательной функции Р, определенной на и удовлетворяющей условию (1), называется вероятностным пространством. Вероятность события А равна сумме вероятностей элементарных событий, входящих в А, т.е. определяется равенством

(2)

Сконструирован математический объект, основной при построении вероятностных моделей. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Бросанию монеты соответствует вероятностное пространство с = {Г, Р} и Р(Г) = Р(Р) = ; здесь обозначено: Г – выпал герб, Р – выпала решетка.

Пример 2. Проверке качества одной единицы продукции (в ситуации, описанной в романе А.Н.Толстого «Хождение по мукам» - см. выше) соответствует вероятностное пространство с = {Б, Г} и Р(Б) = 0,23, Р(Г) = 0,77; здесь обозначено: Б - дефектная единица продукции, Г – годная единица продукции; значение вероятности 0,23 взято из слов Струкова.

Отметим, что приведенное выше определение вероятности Р(А) согласуется с интуитивным представлением о связи вероятностей события и входящих в него элементарных событий, а также с распространенным мнением, согласно которому «вероятность события А – число от 0 до 1, которое представляет собой предел частоты реализации события А при неограниченном числе повторений одного и того же комплекса условий».

Из определения вероятности события, свойств символа суммирования и равенства (1) вытекает, что

(3)

Для несовместных событий А и В согласно формуле (3) Р(А+В) = Р(А)+Р(В). Последнее утверждение называют также теоремой сложения вероятностей.

Независимые события. При практическом применении вероятностно-статистических методов принятия решений постоянно используется понятие независимости. Например, при применении статистических методов управления качеством продукции говорят о независимых измерениях значений контролируемых параметров у включенных в выборку единиц продукции, о независимости появления дефектов одного вида от появления дефектов другого вида, и т.д. Независимость случайных событий понимается в вероятностных моделях в следующем смысле.

Определение 2. События А и В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А) Р(В). Несколько событий А, В, С,… называются независимыми, если вероятность их совместного осуществления равна произведению вероятностей осуществления каждого из них в отдельности: Р(АВС…) = Р(А)Р(В)Р(С)…

Это определение соответствует интуитивному представлению о независимости: осуществление или неосуществление одного события не должно влиять на осуществление или неосуществление другого. Иногда соотношение Р(АВ) = Р(А) Р(В|A) = P(B)P(A|B), справедливое при P(A)P(B) > 0, называют также теоремой умножения вероятностей.

Утверждение 1. Пусть события А и В независимы. Тогда события и независимы, события и В независимы, события А и независимы (здесь - событие, противоположное А, и - событие, противоположное В).

Действительно, из свойства в) в (3) следует, что для событий С и D, произведение которых пусто, P(C+D) = P(C) + P(D). Поскольку пересечение АВ и В пусто, а объединение есть В, то Р(АВ) + Р(В) = Р(В). Так как А и В независимы, то Р(В) = Р(В) - Р(АВ) = Р(В) - Р(А)Р(В) = Р(В)(1 - Р(А)). Заметим теперь, что из соотношений (1) и (2) следует, что Р() = 1 – Р(А). Значит, Р(В) = Р()Р(В).

Вывод равенства Р(А) = Р(А)Р() отличается от предыдущего лишь заменой всюду А на В, а В на А.

Для доказательства независимости и воспользуемся тем, что события АВ, В, А, не имеют попарно общих элементов, а в сумме составляют все пространство элементарных событий. Следовательно, Р(АВ) + Р(В) + Р(А) + Р() = 1. Воспользовавшись ранее доказанными соотношениями, получаем, что Р(В)= 1 - Р(АВ) - Р(В)(1 - Р(А)) - Р(А)(1 - Р(В))= (1 – Р(А))(1 – Р(В)) = Р()Р(), что и требовалось доказать.

Пример 3. Рассмотрим опыт, состоящий в бросании игрального кубика, на гранях которого написаны числа 1, 2, 3, 4, 5,6. Считаем, что все грани имеют одинаковые шансы оказаться наверху. Построим соответствующее вероятностное пространство. Покажем, что события «наверху – грань с четным номером» и «наверху – грань с числом, делящимся на 3» являются независимыми.

Разбор примера. Пространство элементарных исходов состоит из 6 элементов: «наверху – грань с 1», «наверху – грань с 2»,…, «наверху – грань с 6». Событие «наверху – грань с четным номером» состоит из трех элементарных событий – когда наверху оказывается 2, 4 или 6. Событие «наверху – грань с числом, делящимся на 3» состоит из двух элементарных событий – когда наверху оказывается 3 или 6. Поскольку все грани имеют одинаковые шансы оказаться наверху, то все элементарные события должны иметь одинаковую вероятность. Поскольку всего имеется 6 элементарных событий, то каждое из них имеет вероятность 1/6. По определению 1событие «наверху – грань с четным номером» имеет вероятность, а событие «наверху – грань с числом, делящимся на 3» - вероятность 1/3. Произведение этих событий состоит из одного элементарного события «наверху – грань с 6», а потому имеет вероятность 1/6. Поскольку 1/6 = х 1/3, то рассматриваемые события являются независимыми в соответствии с определением независимости.

Независимые испытания. В вероятностных моделях процедур принятия решений с помощью понятия независимости событий можно придать точный смысл понятию «независимые испытания». Для этого рассмотрим сложный опыт, состоящий в проведении двух испытаний. Эти испытания называются независимыми, если любые два события А и В, из которых А определяется по исходу первого испытания, а В – по исходу второго, являются независимыми.

Пример 4. Опишем вероятностное пространство, соответствующее бросанию двух монет независимо друг от друга.

Разбор примера. Пространство элементарных событий состоит из четырех элементов: ГГ, ГР, РГ, РР (запись ГГ означает, что первая монета выпала гербом и вторая – тоже гербом; запись РГ – первая – решеткой, а вторая – гербом, и т.д.). Поскольку события «первая монета выпала решеткой» и «вторая монета выпала гербом» являются независимыми по определению независимых испытаний и вероятность каждого из них равна, то вероятность РГ равна. Аналогично вероятность каждого из остальных элементарных событий также равна.

Пример 5. Опишем вероятностное пространство, соответствующее проверке качества двух единиц продукции независимо друг от друга, если вероятность дефектности равна х.

Разбор примера. Пространство элементарных событий состоит из четырех элементов:

- обе единицы продукции годны;

- первая единица продукции годна, а вторая – дефектна;

- первая единица продукции дефектна, а вторая – годна;

- обе единицы продукции являются дефектными.

Вероятность того, что единица продукции дефектна, есть х, а потому вероятность того, что имеет место противоположное событие, т.е. единица продукции годна, есть 1 – х. Поскольку результат проверки первой единицы продукции не зависит от такового для второй, то

Условные вероятности. В некоторых задачах прикладной статистики оказывается полезным такое понятие, как условная вероятность Р(В|A) – вероятность осуществления события В при условии, что событие А произошло. При P(A)>0 по определению

Для независимых событий А и В, очевидно, P(B|A)= P(B). Это равенство эквивалентно определению независимости. Понятия условной вероятности и независимости введены А.Муавром в 1718 г.

Необходимо иметь в виду, что для независимости в совокупности нескольких событий недостаточно их попарной независимости. Рассмотрим классический пример [6, с.46]. Пусть одна грань тетраэдра окрашена в красный цвет, вторая - в зеленый. Третья грань окрашена в синий цвет и четвертая – во все эти три цвета. Пусть событие А состоит в том, что грань, на которую упал тетраэдр при бросании, окрашена красным (полностью или частично), событие В – зеленым, событие С – синим. Пусть при бросании все четыре грани тетраэдра имеют одинаковые шансы оказаться внизу. Поскольку граней четыре и две из них имеют в окраске красный цвет, то Р(А) = 1/2. Легко подсчитать, что

P(B) = P(C) = P(A|B) = P(B|C) = P(C|A) = P(B|A)

= P(C|A) = P(A|C) =.

События А, В и С, таким образом, попарно независимы. Однако если известно, что осуществились одновременно события В и С, то это значит, что тетраэдр встал на грань, содержащую все три цвета, т.е. осуществилось и событие А. Следовательно, Р(АВС) =, в то время как для независимых событий должно быть Р(А)Р(В)Р(С) = 1/8. Следовательно, события А, В и С в совокупности зависимы, хотя попарно независимы.

Формула полной вероятности. Предположим, что событие В может осуществиться с одним и только с одним из n попарно несовместных событий A1, A2,…, Ak. Тогда

где события BAi и BAj с разными индексами i и j несовместны. По теореме сложения вероятностей

Воспользовавшись теоремой умножения, находим, что

Получена т.н. «формула полной вероятности». Она широко использовалась математиками при конкретных расчетах еще в начале 18 века, но впервые была сформулирована как одно из основных утверждений теории вероятностей П.Лапласом лишь в конце этого века. Она применяется, в частности, при нахождении среднего выходного уровня дефектности в задачах статистического обеспечения качества продукции.

Формулы Байеса. Применим формулу полной вероятности для вывода т.н. «формул Байеса», которые иногда используют при проверке статистических гипотез. Требуется найти вероятность события Ai, если известно, что событие В произошло. Согласно теореме умножения

Р(АiВ) = P(B)P(Ai|B) = Р(Аi) Р(В|Ai).

Следовательно,

Используя формулу полной вероятности для знаменателя, находим, что

Две последние формулы и называют обычно формулами Байеса. Общая схема их использования такова. Пусть событие В может протекать в различных условиях, относительно которых может быть сделано k гипотез A1, A2,…, Ak. Априорные (от a priori (лат.) – до опыта) вероятности этих гипотез есть Р(A1), Р(A2),…, Р(Ak). Известно также, что при справедливости гипотезы Ai вероятность осуществления события В равна P(B|Ai). Произведен опыт, в результате которого событие В наступило. Естественно после этого уточнить оценки вероятностей гипотез. Апостериорные (от a posteriori (лат.) – на основе опыта) оценки вероятностей гипотез Р(A1|B), Р(A2|B),…, Р(Ak|B) даются формулами Байеса. В прикладной статистике существует направление «байесовская статистика», в которой, в частности, на основе априорного распределения параметров после проведения измерений, наблюдений, испытаний, опытов анализов вычисляют уточненные оценки параметров.

Случайные величины. Случайная величина – это величина, значение которой зависит от случая, т.е. от элементарного события . Таким образом, случайная величина – это функция, определенная на пространстве элементарных событий . Примеры случайных величин: количество гербов, выпавших при независимом бросании двух монет; число, выпавшее на верхней грани игрального кубика; число дефектных единиц продукции среди проверенных.

Определение случайной величины Х как функции от элементарного события , т.е. функции , отображающей пространство элементарных событий в некоторое множество Н, казалось бы, содержит в себе противоречие. О чем идет речь – о величине или о функции? Дело в том, что наблюдается всегда лишь т.н. «реализация случайной величины», т.е. ее значение, соответствующее именно тому элементарному исходу опыта (элементарному событию), которое осуществилось в конкретной реальной ситуации. Т.е. наблюдается именно «величина». А функция от элементарного события – это теоретическое понятие, основа вероятностной модели реального явления или процесса.

Отметим, что элементы Н – это не обязательно числа. Ими могут быть и последовательности чисел (вектора), и функции, и математические объекты иной природы, в частности, нечисловой (упорядочения и другие бинарные отношения, множества, нечеткие множества и др.) [2]. Однако наиболее часто рассматриваются вероятностные модели, в которых элементы Н – числа, т.е. Н = R1. В иных случаях обычно используют термины «случайный вектор», «случайное множество», «случайное упорядочение», «случайный элемент» и др.

Математическое ожидание. Рассмотрим случайную величину с числовыми значениями. Часто оказывается полезным связать с этой функцией число – ее «среднее значение» или, как говорят, «среднюю величину», «показатель центральной тенденции». По ряду причин, некоторые из которых будут ясны из дальнейшего, в качестве «среднего значения» обычно используют математическое ожидание.

Определение 3. Математическим ожиданием случайной величины Х называется число

(4)

т.е. математическое ожидание случайной величины – это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям соответствующих элементарных событий.

Пример 6. Вычислим математическое ожидание числа, выпавшего на верхней грани игрального кубика. Непосредственно из определения 3 следует, что

Утверждение 2. Пусть случайная величина Х принимает значения х1, х2,…, хm. Тогда справедливо равенство

(5)

т.е. математическое ожидание случайной величины – это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям того, что случайная величина принимает определенные значения.

В отличие от (4), где суммирование проводится непосредственно по элементарным событиям, случайное событие может состоять из нескольких элементарных событий.

Иногда соотношение (5) принимают как определение математического ожидания. Однако с помощью определения 3, как показано далее, более легко установить свойства математического ожидания, нужные для построения вероятностных моделей реальных явлений, чем с помощью соотношения (5).

Для доказательства соотношения (5) сгруппируем в (4) члены с одинаковыми значениями случайной величины :

Поскольку постоянный множитель можно вынести за знак суммы, то

По определению вероятности события

С помощью двух последних соотношений получаем требуемое:

Понятие математического ожидания в вероятностно-статистической теории соответствует понятию центра тяжести в механике. Поместим в точки х1, х2,…, хm на числовой оси массы P(X=x1), P(X=x2),…, P(X=xm) соответственно. Тогда равенство (5) показывает, что центр тяжести этой системы материальных точек совпадает с математическим ожиданием, что показывает естественность определения 3.

Утверждение 3. Пусть Х – случайная величина, М(Х) – ее математическое ожидание, а – некоторое число. Тогда

1) М(а)=а; 2) М(Х-М(Х))=0; 3) М[(X-a)2]=M[(X-M(X))2]+(a-M(X))2.

Для доказательства рассмотрим сначала случайную величину, являющуюся постоянной, т.е. функция отображает пространство элементарных событий в единственную точку а. Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то

Если каждый член суммы разбивается на два слагаемых, то и вся сумма разбивается на две суммы, из которых первая составлена из первых слагаемых, а вторая – из вторых. Следовательно, математическое ожидание суммы двух случайных величин Х+У, определенных на одном и том же пространстве элементарных событий, равно сумме математических ожиданий М(Х) и М(У) этих случайных величин:

М(Х+У) = М(Х) + М(У).

А потому М(Х-М(Х)) = М(Х) - М(М(Х)). Как показано выше, М(М(Х)) = М(Х). Следовательно, М(Х-М(Х)) = М(Х) - М(Х) = 0.

Поскольку (Х - а)2 = {(X – M(X)) + (M(X) - a)}2 = (X - M(X))2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a)2, то M[(Х - а)2] =M(X - M(X))2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} +M[(M(X) – a)2]. Упростим последнее равенство. Как показано в начале доказательства утверждения 3, математическое ожидание константы – сама эта константа, а потому M[(M(X) – a)2] = (M(X) – a)2. Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)М(X - M(X)). Правая часть последнего равенства равна 0, поскольку, как показано выше, М(Х-М(Х))=0. Следовательно, М[(X-a)2]=M[(X-M(X))2]+(a-M(X))2, что и требовалось доказать.

Из сказанного вытекает, что М[(X-a)2] достигает минимума по а, равного M[(X-M(X))2], при а = М(Х), поскольку второе слагаемое в равенстве 3) всегда неотрицательно и равно 0 только при указанном значении а.

Утверждение 4. Пусть случайная величина Х принимает значения х1, х2,…, хm, а f – некоторая функция числового аргумента. Тогда

Для доказательства сгруппируем в правой части равенства (4), определяющего математическое ожидание, члены с одинаковыми значениями :

Пользуясь тем, что постоянный множитель можно выносить за знак суммы, и определением вероятности случайного события (2), получаем

что и требовалось доказать.

Утверждение 5. Пусть Х и У – случайные величины, определенные на одном и том же пространстве элементарных событий, а и b – некоторые числа. Тогда M(aX+bY)=aM(X)+bM(Y).

С помощью определения математического ожидания и свойств символа суммирования получаем цепочку равенств:

Требуемое доказано.

Выше показано, как зависит математическое ожидание от перехода к другому началу отсчета и к другой единице измерения (переход Y=aX+b), а также к функциям от случайных величин. Полученные результаты постоянно используются в технико-экономическом анализе, при оценке финансово-хозяйственной деятельности предприятия, при переходе от одной валюты к другой во внешнеэкономических расчетах, в нормативно-технической документации и др. Рассматриваемые результаты позволяют применять одни и те же расчетные формулы при различных параметрах масштаба и сдвига.

Независимость случайных величин – одно из базовых понятий теории вероятностей, лежащее в основе практических всех вероятностно-статистических методов принятия решений.

Определение 4. Случайные величины Х и У, определенные на одном и том же пространстве элементарных событий, называются независимыми, если для любых чисел а и b независимы события {X=a} и {Y=b}.

Утверждение 6. Если случайные величины Х и У независимы, а и b – некоторые числа, то случайные величины X+a и Y+b также независимы.

Действительно, события {X+a=с} и {Y+b=d} совпадают с событиями {X=с-a} и {Y=d-b} соответственно, а потому независимы.

Пример 7. Случайные величины, определенные по результатам различных испытаний в схеме независимых испытаний, сами независимы. Это вытекает из того, что события, с помощью которых определяется независимость случайных величин, определяются по результатам различных испытаний, а потому независимы по определению независимых испытаний.

В вероятностно-статистических методах принятия решений постоянно используется следующий факт: если Х и У – независимые случайные величины, f(X) и g(Y) – случайные величины, полученные из Х и У с помощью некоторых функций f и g, то f(X) и g(Y) – также независимые случайные величины. Например, если Х и У независимы, то Х2 и 2У+3 независимы, logX и logУ независимы. Доказательство рассматриваемого факта – тема одной из контрольных задач в конце главы.

Подавляющее большинство вероятностно-статистических моделей, используемых на практике, основывается на понятии независимых случайных величин. Так, результаты наблюдений, измерений, испытаний, анализов, опытов обычно моделируются независимыми случайными величинами. Часто считают, что наблюдения проводятся согласно схеме независимых испытаний. Например, результаты финансово-хозяйственной деятельности предприятий, выработка рабочих, результаты (данные) измерений контролируемого параметра у изделий, отобранных в выборку при статистическом регулировании технологического процесса, ответы потребителей при маркетинговом опросе и другие типы данных, используемых при принятии решений, обычно рассматриваются как независимые случайные величины, вектора или элементы. Причина такой популярности понятия независимости случайных величин состоит в том, что к настоящему времени теория продвинута существенно дальше для независимых случайных величин, чем для зависимых.

Часто используется следующее свойство независимых случайных величин.

Утверждение 7. Если случайные величины Х и У независимы, то математическое ожидание произведения ХУ равно произведению математических ожиданий Х и У, т.е. М(ХУ)=М(Х)М(У).

Доказательство. Пусть Х принимает значения х1, х2,…, хm, в то время как У принимает значения у1, у2,…, уk. Сгруппируем в задающей М(ХУ) сумме члены, в которых Х и У принимают фиксированные значения:

(6)

Поскольку постоянный множитель можно вынести за знак суммы, то

Из последнего равенства и определения вероятности события заключаем, что равенство (6) можно преобразовать к виду

Так как Х и У независимы, то . Воспользовавшись этим равенством и свойством символа суммирования

заключаем, что

(7)

Из равенства (5) следует, что первый сомножитель в правой части (7) есть М(Х), а второй – М(У), что и требовалось доказать.

Пример 8. Построим пример, показывающий, что из равенства М(ХУ)=М(Х)М(У) не следует независимость случайных величин Х и У. Пусть вероятностное пространство состоит из трех равновероятных элементов . Пусть

.

Тогда ХУ = Х, М(Х) = М(ХУ) = 0, следовательно, М(ХУ) = М(Х)М(У). Однако при этом Р(Х=0) = Р(У=0) = Р(Х=0, У=0) = , в то время как вероятность события {X=0, Y=0} в случае независимых Х и У должна была равняться .

Независимость нескольких случайных величин X, Y, Z,… означает по определению, что для любых чисел x, y, z,… справедливо равенство

P(X=x, Y=y, Z=z,…) = P(X=x) P(Y=y) P(Z=z)…

Например, если случайные величины определяются по результатам различных испытаний в схеме независимых испытаний, то они независимы.

Дисперсия случайной величины. Математическое ожидание показывает, вокруг какой точки группируются значения случайной величины. Необходимо также уметь измерить изменчивость случайной величины относительно математического ожидания. Выше показано, что M[(X-a)2] достигает минимума по а при а = М(Х). Поэтому за показатель изменчивости случайной величины естественно взять именно M[(X-М(Х))2].

Определение 5. Дисперсией случайной величины Х называется число

Установим ряд свойств дисперсии случайной величины, постоянно используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений.

Утверждение 8. Пусть Х – случайная величина, а и b – некоторые числа, Y = aX + b. Тогда D(Y) = a2D(X).

Как следует из утверждений 3 и 5, M(Y) = aM(X) + b. Следовательно, D(Y) =M[(Y - M(Y))2] = M[(aX + b - aM(X) - b)2] = M[a2(X - M(X))2]. Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то M[a2(X - M(X))2] = a2 M[(X - M(X))2] = a2 D(Х).

Утверждение 8 показывает, в частности, как меняется дисперсия результата наблюдений при изменении начала отсчета и единицы измерения. Оно дает правило преобразования расчетных формул при переходе к другим значениям параметров сдвига и масштаба.

Утверждение 9. Если случайные величины Х и У независимы, то дисперсия их суммы Х+У равна сумме дисперсий: D(X+Y) = D(X) + D(Y).

Для доказательства воспользуемся тождеством

(Х + У – (М(Х)+М(У))2 = (Х–М(Х))2

+ 2(Х–М(Х))(У–М(У)) + (У–М(У))2,

которое вытекает из известной формулы элементарной алгебры (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 при подстановке a = X-M(X) и b = Y-M(Y). Из утверждений 3 и 5 и определения дисперсии следует, что

D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2M{(Х–М(Х))(У–М(У))}.

Согласно утверждению 6 из независимости Х и У вытекает независимость Х-М(Х) и У-М(У). Из утверждения 7 следует, что

M{(Х–М(Х))(У–М(У))}= M(Х–М(Х))М(У–М(У)).

Поскольку M(Х–М(Х)) = 0 (см. утверждение 3), то правая часть последнего равенства равна 0, откуда с учетом двух предыдущих равенств и следует заключение утверждения 9.

Утверждение 10. Пусть X1, X2,…, Xk – попарно независимые случайные величины (т.е. Xi и Xj независимы, если ). Пусть Yk – их сумма, Yk = X1+ X2+…+ Xk. Тогда математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, М(Yk) = М(X1)+ М(X2)+…+М(Xk), дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых, D(Yk) = D(X1)+D(X2)+…+D(Xk).

Соотношения, сформулированные в утверждении 10, являются основными при изучении выборочных характеристик, поскольку результаты наблюдений или измерений, включенные в выборку, обычно рассматриваются в математической статистике, теории принятия решений и эконометрике как реализации независимых случайных величин.

Для любого набора числовых случайных величин (не только независимых) математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий. Это утверждение является обобщением утверждения 5. Строгое доказательство легко проводится методом математической индукции.

При выводе формулы для дисперсии D(Yk) воспользуемся следующим свойством символа суммирования:

Положим ai = Xi – M(Xi), получим

Воспользуемся теперь тем, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий:

(8)

Как показано при доказательстве утверждения 9, из попарной независимости рассматриваемых случайных величин следует, что при . Следовательно, в сумме (8) остаются только члены с i=j, а они равны как раз D(Xi).

Полученные в утверждениях 8-10 фундаментальные свойства таких характеристик случайных величин, как математическое ожидание и дисперсия, постоянно используются практически во всех вероятностно-статистических моделях реальных явлений и процессов.

Пример 9. Рассмотрим событие А и случайную величину Х такую, что , если , и в противном случае, т.е. если . Покажем, что М(Х) = Р(А), D(X) = P(A)(1 – P(A)).

Воспользуемся формулой (5) для математического ожидания. Случайная величина Х принимает два значения – 0 и 1, значение 1 с вероятностью Р(А) и значение 0 с вероятностью 1 – Р(А), а потому М(Х) = 1 х Р(А) + 0 х (1 - Р(А)) = Р(А). Аналогично (Х – М(Х))2 = (1 – Р(А))2 с вероятностью Р(А) и (Х – М(Х))2 = (0 – Р(А))2 с вероятностью 1 – Р(А), а потому D(A) = (1 – P(A))2 P(A) + (P(A))2(1 – P(A)). Вынося общий множитель, получаем, что D(A) = P(A)(1 – P(A)).

Пример 10. Рассмотрим k независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может наступить, а может и не наступить. Введем случайные величины X1, X2,…, Xk следующим образом: = 1, если в i-ом испытании событие А наступило, и = 0 в противном случае. Тогда случайные величины X1, X2,…, Xk попарно независимы (см. пример 7). Как показано в примере 9, M(Xi) = p, D(Xi) = p(1 – p), где p = P(A). Иногда р называют «вероятностью успеха» - в случае, если наступление события А рассматривается как «успех».

Биномиальное распределение. Случайная величина В = X1 + X2 +…+ Xk называется биномиальной. Ясно, что 0<B<k при всех возможных исходах опытов. Чтобы найти распределение В, т.е. вероятности Р(В = а) при а = 0, 1, …, k, достаточно знать р – вероятность наступления рассматриваемого события в каждом из опытов. Действительно, случайное событие В = а осуществляется тогда и только тогда, когда событие А наступает ровно при а испытаниях. Если известны номера всех этих испытаний (т.е. номера в последовательности испытаний), то вероятность одновременного осуществления в а опытах события А и в k-а опытах противоположного ему – это вероятность произведения k независимых событий. Вероятность произведения равна произведению вероятностей, т.е. ра(1 - р)k-a. Сколькими способами можно задать номера а испытаний из k? Это - число сочетаний из k элементов по а, рассматриваемое в комбинаторике. Как известно,

где символом k! обозначено произведение всех натуральных чисел от 1 до k, т.е. (дополнительно принимают, что 0! = 1). Из сказанного следует, что биномиальное распределение, т.е. распределение биномиальной случайной величины, имеет вид

Название «биномиальное распределение» основано на том, что Р(В = а) является членом с номером (а+1) в разложении по биному Ньютона

если положить А = 1 – р, С = р. Тогда при j = a получим

Для числа сочетаний из k элементов по а, кроме , используют более распространенное в отечественной литературе обозначение .

Из утверждения 10 и расчетов примера 9 следует, что для случайной величины В, имеющей биномиальное распределение, математическое ожидание и дисперсия выражаются формулами

поскольку В является суммой k независимых случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, найденными в примере 9.

Неравенства Чебышёва. Во введении к разделу обсуждалась задача проверки того, что доля дефектной продукции в партии равна определенному числу. Для демонстрации вероятностно-статистического подхода к проверке подобных утверждений являются полезными неравенства, впервые примененные в теории вероятностей великим русским математиком Пафнутием Львовичем Чебышёвым (1821-1894) и потому носящие его имя. Эти неравенства широко используются в теории математической статистики, а также непосредственно применяются в ряде практических задач принятия решении. Например, в задачах статистического анализа технологических процессов и качества продукции в случаях, когда явный вид функции распределения результатов наблюдений не известен. Они применяются также в задаче исключения резко отклоняющихся результатов наблюдений.

Первое неравенство Чебышева. Пусть Х – неотрицательная случайная величина (т.е. для любого ). Тогда для любого положительного числа а справедливо неравенство

Доказательство. Все слагаемые в правой части формулы (4), определяющей математическое ожидание, в рассматриваемом случае неотрицательны. Поэтому при отбрасывании некоторых слагаемых сумма не увеличивается. Оставим в сумме только те члены, для которых . Получим, что

. (9)

Для всех слагаемых в правой части (9) , поэтому

. (10)

Из (9) и (10) следует требуемое.

Второе неравенство Чебышева. Пусть Х – случайная величина. Для любого положительного числа а справедливо неравенство

.

Это неравенство содержалось в работе П.Л.Чебышёва «О средних величинах», доложенной Российской академии наук 17 декабря 1866 г. и опубликованной в следующем году.

Для доказательства второго неравенства Чебышёва рассмотрим случайную величину У = (Х – М(Х))2. Она неотрицательна, и потому для любого положительного числа b, как следует из первого неравенства Чебышёва, справедливо неравенство

.

Положим b = a2. Событие {Y>b} совпадает с событием {|X – M(X)|>a}, а потому

,

что и требовалось доказать.

Пример 11. Можно указать неотрицательную случайную величину Х и положительное число а такие, что первое неравенство Чебышёва обращается в равенство.

Достаточно рассмотреть . Тогда М(Х) = а, М(Х)/а = 1 и Р(а>a) = 1, т.е. P(X>a) = M(X)|a = 1.

Следовательно, первое неравенство Чебышёва в его общей формулировке не может быть усилено. Однако для подавляющего большинства случайных величин, используемых при вероятностно-статистическом моделировании реальных явлений и процессов, левые части неравенств Чебышёва много меньше соответствующих правых частей.

Пример 12. Может ли первое неравенство Чебышёва обращаться в равенство при всех а? Оказывается, нет. Покажем, что для любой неотрицательной случайной величины с ненулевым математическим ожиданием можно найти такое положительное число а, что первое неравенство Чебышёва является строгим.

Действительно, математическое ожидание неотрицательной случайной величины либо положительно, либо равно 0. В первом случае возьмем положительное а, меньшее положительного числа М(Х), например, положим а = М(Х)/2. Тогда М(Х)/а больше 1, в то время как вероятность события не может превышать 1, а потому первое неравенство Чебышева является для этого а строгим. Второй случай исключается условиями примера 11.

Отметим, что во втором случае равенство 0 математического ожидания влечет тождественное равенство 0 случайной величины. Для такой случайной величины левая и правая части первого неравенства Чебышёва равны 0 при любом положительном а.

Можно ли в формулировке первого неравенства Чебышева отбросить требование неотрицательности случайной величины Х? А требование положительности а? Легко видеть, что ни одно из двух требований не может быть отброшено, поскольку иначе правая часть первого неравенства Чебышева может стать отрицательной.

Закон больших чисел. Неравенство Чебышёва позволяет доказать замечательный результат, лежащий в основе математической статистики – закон больших чисел. Из него вытекает, что выборочные характеристики при возрастании числа опытов приближаются к теоретическим, а это дает возможность оценивать параметры вероятностных моделей по опытным данным. Без закона больших чисел не было бы части прикладной математической статистики.

Теорема Чебышёва. Пусть случайные величины Х1, Х2,…, Хk попарно независимы и существует число С такое, что D(Xi)<C при всех i = 1, 2, …, k. Тогда для любого положительного выполнено неравенство

(11)

Доказательство. Рассмотрим случайные величины Yk = Х1 + Х2+…,+ Хk и Zk = Yk/k. Тогда согласно утверждению 10

М(Yk) = М(Х1)+М(Х2)+…+М(Хk), D(Yk) = D(Х1)+D(Х2)+…+D(Хk).

Из свойств математического ожидания следует, что М(Zk) = М(Yk)/k, а из свойств дисперсии - что D(Zk) = D(Yk)/k2. Таким образом,

М(Zk) ={М(Х1)+М(Х2)+…+М(Хk)}/k,

D(Zk) ={D(Х1)+D(Х2)+…+D(Хk)}/k2.

Из условия теоремы Чебышёва, что

Применим к Zk второе неравенство Чебышёва. Получим для стоящей в левой части неравенства (11) вероятности оценку

что и требовалось доказать.

Эта теорема была получена П.Л.Чебышёвым в той же работе 1867 г. «О средних величинах», что и неравенства Чебышёва.

Пример 13. Пусть С = 1, = 0,1. При каких k правая часть неравенства (11) не превосходит 0,1? 0,05? 0,00001?

В рассматриваемом случае правая часть неравенства (11) равно 100/ k. Она не превосходит 0,1, если k не меньше 1000, не превосходит 0,05, если k не меньше 2000, не превосходит 0,00001, если k не меньше 10 000 000.

Правая часть неравенства (11), а вместе с ней и левая, при возрастании k и фиксированных С и убывает, приближаясь к 0. Следовательно, вероятность того, что среднее арифметическое независимых случайных величин отличается от своего математического ожидания менее чем на , приближается к 1 при возрастании числа случайных величин, причем при любом . Это утверждение называют ЗАКОНОМ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Наиболее важен для вероятностно-статистических методов принятия решений (и для математической статистики в целом) случай, когда все Xi, i = 1, 2, …, имеют одно и то же математическое ожидание M(X1) и одну и ту же дисперсию . В качестве замены (оценки) неизвестного исследователю математического ожидания используют выборочное среднее арифметическое

Из закона больших чисел следует, что при увеличении числа опытов (испытаний, измерений) сколь угодно близко приближается к М(Х1), что записывают так:

Здесь знак означает «сходимость по вероятности». Обратим внимание, что понятие «сходимость по вероятности» отличается от понятия «переход к пределу» в математическом анализе. Напомним, что последовательность bn имеет предел b при , если для любого сколь угодно малого существует число такое, что при любом справедливо утверждение: . При использовании понятия «сходимость по вероятности» элементы последовательности предполагаются случайными, вводится еще одно сколь угодно малое число и утверждение предполагается выполненным не наверняка, а с вероятностью не менее .

Сходимость частот к вероятностям. Уже отмечалось, что с точки зрения ряда естествоиспытателей вероятность события А – это число, к которому приближается отношение количества осуществлений события А к количеству всех опытов при безграничном увеличении числа опытов. Известный математики Якоб Бернулли (1654-1705), живший в городе Базель в Швейцарии, в самом конце XVII века доказал это утверждение в рамках математической модели (опубликовано доказательство было лишь после его смерти, в 1713 году). Современная формулировка теоремы Бернулли такова.

Теорема Бернулли. Пусть m – число наступлений события А в k независимых (попарно) испытаниях, и р есть вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда при любом справедливо неравенство

(12)

Доказательство. Как показано в примере 10, случайная величина m имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха р и является суммой k независимых случайных величин Xi, i = 1, 2. …, k, каждое из которых равно 1 с вероятностью р и 0 с вероятностью 1-р, т.е. m= X1+ X2+…+ Xk.Применим к X1, X2,…, Xk теорему Чебышёва с С = р(1 - р) и получим требуемое неравенство (12).

Теорема Бернулли дает возможность связать математическое определение вероятности (по А.Н.Колмогорову) с определением ряда естествоиспытателей (по Р. Мизесу (1883-1953)), согласно которому вероятность есть предел частоты в бесконечной последовательности испытаний. Продемонстрируем эту связь. Для этого сначала отметим, что

при всех р. Действительно,

Следовательно, в теореме Чебышёва можно использовать С =. Тогда при любом р и фиксированном правая часть неравенства (12) при возрастании k приближается к 0, что и доказывает согласие математического определения в рамках вероятностной модели с мнением естествоиспытателей.

Есть и прямые экспериментальные подтверждения того, что частота осуществления определенных событий близка к вероятности, определенной из теоретических соображений. Рассмотрим бросания монеты. Поскольку и герб, и решетка имеют одинаковые шансы оказаться сверху, то вероятность выпадения герба равна из соображений равновозможности. Французский естествоиспытатель XVIII века Бюффон бросил монету 4040 раз, герб выпал при этом 2048 раз. Частота появления герба в опыте Бюффона равна 0,507. Английский статистик К.Пирсон бросил монету 12000 раз и при этом наблюдал 6019 выпадений герба – частота 0,5016. В другой раз он бросил монету 24000 раз, герб выпал 12012 раз – частота 0,5005. Как видим, во всех этих случаях частоты лишь незначительно отличаются от теоретической вероятности 0,5 [6, с.148].

О проверке статистических гипотез. С помощью неравенства (12) можно кое-что сказать по поводу проверки соответствия качества продукции заданным требованиям.

Пусть из 100000 единиц продукции 30000 оказались дефектными. Согласуется ли это с гипотезой о том, что вероятность дефектности равна 0,23? Прежде всего, какую вероятностную модель целесообразно использовать? Принимаем, что проводится сложный опыт, состоящий из 100000 испытаний 100000 единиц продукции на годность. Считаем, что испытания (попарно) независимы и что в каждом испытании вероятность того, что единица продукции является дефектной, равна р. В реальном опыте получено, что событие «единица продукции не является годной» осуществилось 30000 раз при 100000 испытаниях. Согласуется ли это с гипотезой о том, что вероятность дефектности р = 0,23?

Для проверки гипотезы воспользуемся неравенством (12). В рассматриваемом случае k = 100000, m = 30000, m/k = 0,3, p = 0,23, m/k – p = 0,07. Для проверки гипотезы поступают так. Оценим вероятность того, что m/k отличается от р так же, как в рассматриваемом случае, или больше, т.е. оценим вероятность выполнения неравенства |m/k – 0,23| > 0,07. Положим в неравенстве (12) р = 0,23, = 0,07. Тогда

. (13)

При k = 100000 правая часть (13) меньше 1/2500. Значит, вероятность того, что отклонение будет не меньше наблюдаемого, весьма мала. Следовательно, если исходная гипотеза верна, то в рассматриваемом опыте осуществилось событие, вероятность которого меньше 1/2500. Поскольку 1/2500 – очень маленькое число, то исходную гипотезу надо отвергнуть.

Подробнее методы проверки статистических гипотез будут рассмотрены ниже. Здесь отметим, что одна из основных характеристик метода проверки гипотезы – уровень значимости, т.е. вероятность отвергнуть проверяемую гипотезу (ее в математической статистике называют нулевой и обозначают Н0), когда она верна. Для проверки статистической гипотезы часто поступают так. Выбирают уровень значимости - малое число . Если описанная в предыдущем абзаце вероятность меньше , то гипотезу отвергают, как говорят, на уровне значимости . Если эта вероятность больше или равна , то гипотезу принимают. Обычно в вероятностно-статистических методах принятия решений выбирают = 0,05, значительно реже = 0,01 или = 0,1, в зависимости от конкретной практической ситуации. В рассматриваемом случае , напомним, та доля опытов (т.е. проверок партий по 100000 единиц продукции), в которой мы отвергаем гипотезу Н0: р = 0,23, хотя она верна.

Насколько результат проверки гипотезы Н0 зависит от числа испытаний k? Пусть при k = 100, k = 1000, k = 10000 оказалось, что m = 30, m = 300, m = 3000 соответственно, так что во всех случаях m/k = 0,3. Какие значения принимает вероятность

и ее оценка – правая часть формулы (13)?

При k = 100 правая часть (13) равна приблизительно 0,36, что не дает оснований отвергнуть гипотезу. При k = 1000 правая часть (13) равна примерно 0,036. Гипотеза отвергается на уровне значимости = 0,05 (и = 0,1), но на основе оценки вероятности с помощью правой части формулы (13) не удается отвергнуть гипотезу на уровне значимости = 0,01. При k = 10000 правая часть (13) меньше 1/250, и гипотеза отвергается на всех обычно используемых уровнях значимости.

Более точные расчеты, основанные на применении центральной предельной теоремы теории вероятностей (см. ниже), дают Р100 = 0,095, Р1000 = 0,0000005, так что оценка (13) является в рассматриваемом случае весьма завышенной. Причина в том, что получена она из наиболее общих соображений, применительно ко всем возможным случайным величинам улучшить ее нельзя (см. пример 11 выше), но применительно к конкретному биномиальному распределению – можно.

Ясно, что без введения уровня значимости не обойтись, ибо даже очень большие отклонения m/k от р имеют положительную вероятность осуществления. Так, при справедливости гипотезы Н0 событие «все 100000 единиц продукции являются дефектными» отнюдь не является невозможным с математической точки зрения, оно имеет положительную вероятность осуществления, равную 0,23100000, хотя эта вероятность и невообразимо мала.

Аналогично разберем проверку гипотезы о симметричности монеты.

Пример 14. Если монета симметрична, то р =, где р – вероятность выпадения герба. Согласуется ли с этой гипотезой результат эксперимента, в котором при 10000 бросаниях выпало 4000 гербов?

В рассматриваемом случае m/k = 0,4. Положим в неравенстве (12) р = 0,5, = 0,1:

При k = 10000 правая часть последнего неравенства равна 1/400. Значит, если исходная гипотеза верна, то в нашем единственном эксперименте осуществилось событие, вероятность которого весьма мала – меньше 1/400. Поэтому исходную гипотезу необходимо отвергнуть.

Если из 1000 бросаний монеты гербы выпали в 400 случаях, то правая часть выписанного выше неравенства равна 1/40. Гипотеза симметричности отклоняется на уровне значимости 0,05 (и 0,1), но рассматриваемые методы не дают возможности отвергнуть ее на уровне значимости 0,01.

Если k = 100, а m = 40, то правая часть неравенства равна. Оснований для отклонения гипотезы нет. С помощью более тонких методов, основанных на центральной предельной теореме теории вероятностей, можно показать, что левая часть неравенства равна приблизительно 0,05. Это показывает, как важно правильно выбрать метод проверки гипотезы или оценивания параметров. Следовательно, целесообразна стандартизация подобных методов, позволяющая сэкономить усилия, необходимые для сравнения и выбора наилучшего метода, а также избежать устаревших, неверных или неэффективных методов.

Ясно, что даже по нескольким сотням опытов нельзя достоверно отличить абсолютно симметричную монету (р = ) от несколько несимметричной монеты (для которой, скажем, р = 0,49). Более того, любая реальная монета несколько несимметрична, так что монета с р = - математическая абстракция. Между тем в ряде управленческих и производственных ситуаций необходимо осуществить справедливую жеребьевку, а для этого требуется абсолютно симметричная монета. Например, речь может идти об очередности рассмотрения инвестиционных проектов комиссией экспертов, о порядке вызова для собеседования кандидатов на должность, об отборе единиц продукции из партии в выборку для контроля и т.п.

Пример 15. Можно ли с помощью несимметричной монеты получить последовательность испытаний с двумя исходами, каждый из которых имеет вероятность 1/2 ?

Ответ: да, можно. Приведем способ, предложенный видным польским математиком Гуго Штейнгаузом (1887-1972).

Будем бросать монету два раза подряд и записывать исходы бросаний так (Г – герб, Р – решетка, на первом месте стоит результат первого бросания, на втором – второго): ГР запишем как Г, в то время РГ запишем как Р, а ГГ и РР вообще не станем записывать. Например, если исходы бросаний окажутся такими:

ГР, РГ, ГР, РР, ГР, РГ, ГГ, РГ, РР, РГ,

то запишем их в виде:

Г, Р, Г, Г, Р, Р, Р.

Сконструированная таким образом последовательность обладает теми же свойствами, что и полученная при бросании идеально симметричной монеты, поскольку даже у несимметричной монеты последовательность ГР встречается столь же часто, как и последовательность РГ.

Применим теорему Бернулли и неравенство (12) к обработке реальных данных.

Пример 16. С 1871 г. по 1900 г. в Швейцарии родились 1359671 мальчик и 1285086 девочек. Совместимы ли эти данные с предположением о том, что вероятность рождения мальчика равна 0,5? А с предположением, что она равна 0,515? Другими словами, требуется проверить нулевые гипотезы Н0: р = 0,5 и Н0: р = 0,515 с помощью неравенства (12).

Число испытаний равно общему числу рождений, т.е. 1359671 + 1285086 = 2644757. Есть все основания считать испытания независимыми. Число рождений мальчиков составляет приблизительно 0,514 всех рождений. В случае р = имеем = 0,014, и правая часть неравенства (12) имеет вид

Таким образом, гипотезу р = 0,5 следует считать несовместимой с приведенными в условии данными. В случае р = 0,515 имеем = 0,001, и правая часть (12) равна приблизительно 0,1, так что с помощью неравенства (12) отклонить гипотезу Н0: р = 0,515 нельзя.

Итак, здесь на основе элементарной теории вероятностей (с конечным пространством элементарных событий) мы сумели построить вероятностные модели для описания проверки качества деталей (единиц продукции) и бросания монет и предложить методы проверки гипотез, относящихся к этим явлениям. В математической статистике есть более тонкие и сложные методы проверки описанных выше гипотез, которыми и пользуются в практических расчетах.

Можно спросить: «В рассмотренных выше моделях вероятности были известны заранее – со слов Струкова или же из-за того, что мы предположили симметричность монеты. А как строить модели, если вероятности неизвестны? Как оценить неизвестные вероятности?» Теорема Бернулли – результат, с помощью которого дается ответ на этот вопрос. Именно, оценкой неизвестной вероятности р является число m/k, поскольку доказано, что при возрастании k вероятность того, что m/k отличается от p более чем на какое-либо фиксированное число, приближается к 0. Оценка будет тем точнее, чем больше k. Более того, можно доказать, что с некоторой точки зрения (см. далее) оценка m/k для вероятности р является наилучшей из возможных (в терминах математической статистики – состоятельной, несмещенной и эффективной).

3. Суть вероятностно-статистических методов

Как подходы, идеи и результаты теории вероятностей и математической статистики используются при обработке данных – результатов наблюдений, измерений, испытаний, анализов, опытов с целью принятия практически важных решений?

Базой является вероятностная модель реального явления или процесса, т.е. математическая модель, в которой объективные соотношения выражены в терминах теории вероятностей. Вероятности используются прежде всего для описания неопределенностей, которые необходимо учитывать при принятии решений. Имеются в виду как нежелательные возможности (риски), так и привлекательные («счастливый случай»). Иногда случайность вносится в ситуацию сознательно, например, при жеребьевке, случайном отборе единиц для контроля, проведении лотерей или опросов потребителей.

Теория вероятностей позволяет по одним вероятностям рассчитать другие, интересующие исследователя. Например, по вероятности выпадения герба можно рассчитать вероятность того, что при 10 бросаниях монет выпадет не менее 3 гербов. Подобный расчет опирается на вероятностную модель, согласно которой бросания монет описываются схемой независимых испытаний, кроме того, выпадения герба и решетки равновозможны, а потому вероятность каждого из этих событий равна. Более сложной является модель, в которой вместо бросания монеты рассматривается проверка качества единицы продукции. Соответствующая вероятностная модель опирается на предположение о том, что контроль качества различных единиц продукции описывается схемой независимых испытаний. В отличие от модели с бросанием монет необходимо ввести новый параметр – вероятность р того, что единица продукции является дефектной. Модель будет полностью описана, если принять, что все единицы продукции имеют одинаковую вероятность оказаться дефектными. Если последнее предположение неверно, то число параметров модели возрастает. Например, можно принять, что каждая единица продукции имеет свою вероятность оказаться дефектной.

Обсудим модель контроля качества с общей для всех единиц продукции вероятностью дефектности р. Чтобы при анализе модели «дойти до числа», необходимо заменить р на некоторое конкретное значение. Для этого необходимо выйти из рамок вероятностной модели и обратиться к данным, полученным при контроле качества. Математическая статистика решает обратную задачу по отношению к теории вероятностей. Ее цель – на основе результатов наблюдений (измерений, анализов, испытаний, опытов) получить выводы о вероятностях, лежащих в основе вероятностной модели. Например, на основе частоты появления дефектных изделий при контроле можно сделать выводы о вероятности дефектности (см. обсуждение выше сиспользованием теоремы Бернулли). На основе неравенства Чебышева делались выводы о соответствии частоты появления дефектных изделий гипотезе о том, что вероятность дефектности принимает определенное значение.

Таким образом, применение математической статистики опирается на вероятностную модель явления или процесса. Используются два параллельных ряда понятий – относящиеся к теории (вероятностной модели) и относящиеся к практике (выборке результатов наблюдений). Например, теоретической вероятности соответствует частота, найденная по выборке. Математическому ожиданию (теоретический ряд) соответствует выборочное среднее арифметическое (практический ряд). Как правило, выборочные характеристики являются оценками теоретических. При этом величины, относящиеся к теоретическому ряду, «находятся в головах исследователей», относятся к миру идей (по древнегреческому философу Платону), недоступны для непосредственного измерения. Исследователи располагают лишь выборочными данными, с помощью которых они стараются установить интересующие их свойства теоретической вероятностной модели.

Зачем же нужна вероятностная модель? Дело в том, что только с ее помощью можно перенести свойства, установленные по результатам анализа конкретной выборки, на другие выборки, а также на всю так называемую генеральную совокупность. Термин «генеральная совокупность» используется, когда речь идет о большой, но конечной совокупности изучаемых единиц. Например, о совокупности всех жителей России или совокупности всех потребителей растворимого кофе в Москве. Цель маркетинговых или социологических опросов состоит в том, чтобы утверждения, полученные по выборке из сотен или тысяч человек, перенести на генеральные совокупности в несколько миллионов человек. При контроле качества в роли генеральной совокупности выступает партия продукции.

Чтобы перенести выводы с выборки на более обширную совокупность, необходимы те или иные предположения о связи выборочных характеристик с характеристиками этой более обширной совокупности. Эти предположения основаны на соответствующей вероятностной модели.

Конечно, можно обрабатывать выборочные данные, не используя ту или иную вероятностную модель. Например, можно рассчитывать выборочное среднее арифметическое, подсчитывать частоту выполнения тех или иных условий и т.п. Однако результаты расчетов будут относиться только к конкретной выборке, перенос полученных с их помощью выводов на какую-либо иную совокупность некорректен. Иногда подобную деятельность называют «анализ данных». По сравнению с вероятностно-статистическими методами анализ данных имеет ограниченную познавательную ценность.

Итак, использование вероятностных моделей на основе оценивания и проверки гипотез с помощью выборочных характеристик – вот суть вероятностно-статистических методов принятия решений.

Подчеркнем, что логика использования выборочных характеристик для принятия решений на основе теоретических моделей предполагает одновременное использование двух параллельных рядов понятий, один из которых соответствует вероятностным моделям, а второй – выборочным данным. К сожалению, в ряде литературных источников, обычно устаревших либо написанных в рецептурном духе, не делается различия между выборочными и теоретическими характеристиками, что приводит читателей к недоумениям и ошибкам при практическом использовании статистических методов.

4. Случайные величины и их распределения

Распределения случайных величин и функции распределения. Распределение числовой случайной величины – это функция, которая однозначно определяет вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к некоторому заданному интервалу.

Первое – если случайная величина принимает конечное число значений. Тогда распределение задается функцией Р(Х = х), ставящей каждому возможному значению х случайной величины Х вероятность того, что Х = х.

Второе – если случайная величина принимает бесконечно много значений. Это возможно лишь тогда, когда вероятностное пространство, на котором определена случайная величина, состоит из бесконечного числа элементарных событий. Тогда распределение задается набором вероятностей P(a <X <b) для всех пар чисел a, b таких, что a<b. Распределение может быть задано с помощью т.н. функции распределения F(x) = P(X<x), определяющей для всех действительных х вероятность того, что случайная величина Х принимает значения, меньшие х. Ясно, что

P(a <X <b) = F(b) – F(a).

Это соотношение показывает, что как распределение может быть рассчитано по функции распределения, так и, наоборот, функция распределения – по распределению.

Используемые в прикладных исследованиях функции распределения бывают либо дискретными, либо непрерывными, либо их комбинациями.

Дискретные функции распределения соответствуют дискретным случайным величинам, принимающим конечное число значений или же значения из множества, элементы которого можно перенумеровать натуральными числами (такие множества в математике называют счетными). Их график имеет вид ступенчатой лестницы (рис. 1).

Пример 1. Число Х дефектных изделий в партии принимает значение 0 с вероятностью 0,3, значение 1 с вероятностью 0,4, значение 2 с вероятностью 0,2 и значение 3 с вероятностью 0,1. График функции распределения случайной величины Х изображен на рис.1.

F(x)

1,0

0,9

0,7

0,3

0 1 2 3 х

Рис.1. График функции распределения числа дефектных изделий.

Непрерывные функции распределения не имеют скачков. Они монотонно возрастают ^[1] при увеличении аргумента – от 0 при до 1 при . Случайные величины, имеющие непрерывные функции распределения, называют непрерывными.

Практически используемые непрерывные функции распределения, как правило, имеют производные. Первая производная f(x) функции распределения F(x) называется плотностью вероятности,

По плотности вероятности можно определить функцию распределения:

Для любой функции распределения

а потому

Перечисленные свойства функций распределения постоянно используются в вероятностно-статистических методах принятия решений. В частности, из последнего равенства вытекает конкретный вид констант в формулах для плотностей вероятностей, рассматриваемых ниже.

Пример 2. Часто используется следующая функция распределения:

(1)

где a и b – некоторые числа, a<b. Найдем плотность вероятности этой функции распределения:

(в точках x = a и x = b производная функции F(x) не существует).

Случайная величина с функцией распределения (1) называется «равномерно распределенной на отрезке [a; b]».

Смешанные функции распределения встречаются, в частности, тогда, когда наблюдения в какой-то момент прекращаются. Например, при анализе статистических данных, полученных при использовании планов испытаний на надежность, предусматривающих прекращение испытаний по истечении некоторого срока. Или при анализе данных о технических изделиях, потребовавших гарантийного ремонта.

Пример 3. Пусть, например, срок службы электрической лампочки – случайная величина с функцией распределения F(t), а испытание проводится до выхода лампочки из строя, если это произойдет менее чем за 100 часов от начала испытаний, или до момента t0 = 100 часов. Пусть G(t) – функция распределения времени эксплуатации лампочки в исправном состоянии при этом испытании. Тогда

Функция G(t) имеет скачок в точке t0, поскольку соответствующая случайная величина принимает значение t0 с вероятностью 1-F(t0)>0.

Характеристики случайных величин. В вероятностно-статистических методах используется ряд характеристик случайных величин, выражающихся через функции распределения и плотности вероятностей.

Квантили. При описании дифференциации доходов, при нахождении доверительных границ для параметров распределений случайных величин и во многих иных случаях применяется такое понятие, как «квантиль порядка р», где 0 < p < 1 (обозначается хр). Квантиль порядка р – значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение р или имеет место «скачок» со значения меньше р до значения больше р (рис.2). Может случиться, что это условие выполняется для всех значений х, принадлежащих этому интервалу (т.е. функция распределения постоянна на этом интервале и равна р). Тогда каждое такое значение называется «квантилем порядка р». Для непрерывных функций распределения, как правило, существует единственный квантиль хр порядка р (рис.2), причем

F(xp) = p. (2)

F(x)

1

p y=F(x)

0 xp x

Рис.2. Определение квантиля хр порядка р.

Пример 4. Найдем квантиль хр порядка р для функции распределения F(x) из (1).

При 0 < p < 1 квантиль хр находится из уравнения

,

т.е. хр = a + p(b – a) = a(1- p) +bp. При p = 0 любое x < a является квантилем порядка p = 0. Квантилем порядка p = 1 является любое число x > b.

Для дискретных распределений, как правило, не существует хр, удовлетворяющих уравнению (2). Точнее, если распределение случайной величины дается табл.1, где x1 < x2 < … < xk, то равенство (2), рассматриваемое как уравнение относительно хр, имеет решения только для k значений p, а именно,

p = p1,

p = p1 + p2,

p = p1 + p2 + p3,

…

p = p1 + p2 + … + pm, 3 < m < k,

…

p = p1 + p2 + … + pk.

Таблица 1.

Распределение дискретной случайной величины

Значения x случайной величины Х	х1	х2	…	хk
Вероятности P(X =x)	p1	p2	…	pk