МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова

АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

НАЛЬЧИК 2003

УДК 5.54:1.3

ББК 2:6.8

Актуальные вопросы современного естествознания. Межрегиональный сборник научных

трудов. – Нальчик: Каб.-Балк. ун-т., 2003. – 151 с.

Редакционная коллегия:

Ответственный редактор: Хапачев Ю.П. – доктор физ.-мат. наук, профессор, КБГУ, Нальчик

Зам. ответственного редактора: Дышеков А.А. – доктор физ.-мат. наук, профессор, КБГУ, г.Нальчик

Абрамов А.М. – чл.-корр. Российской академии образования, Московский институт

развития образования, г.Москва

Аристов В.В. – чл.-корр. РАН, Институт проблем технологии микроэлектроники

и особо чистых материалов, г.Москва

Бахмин В.И. – исполнительный директор Института Открытое общество, г.Москва

Григорьев М.С. – доктор химических наук, Институт физической химии РАН, г.Москва

Ивахненко Е.Н. – доктор философских наук, профессор, КБГУ, г.Нальчик

Карамурзов Б.С. – доктор технических наук, профессор, КБГУ, г.Нальчик

Кетенчиев Х.А. – доктор биологических наук, профессор, КБГУ, г.Нальчик

Кочесоков Р.Х. – доктор философских наук, профессор, КБГУ, г.Нальчик

Крайзман В.Л. – доктор физ.-мат. наук, профессор, Ростовский госуниверситет,

г.Ростов-на-Дону

Лисичкин Г.В. – доктор химических наук, профессор, МГУ, г.Москва

Молодкин В.Б. – чл.-корр. НАН Украины, профессор, Институт металлофизики НАН

Украины, г.Киев

Оранова Т.И. – доктор химических наук, профессор, КБГУ, г.Нальчик

Ошхунов М.М. – доктор технических наук, профессор, КБГУ, г.Нальчик

Савин Г.И. – академик РАН, профессор, Отдел информатики и вычислительной

техники РАН, г.Москва

Скворцов Н.Г. – доктор социологических наук, профессор, С.-Пб. госуниверситет,

г.Санкт-Петербург

Ткачук В.А. – чл.-корр. РАН, академик АМН, профессор, МГУ, г.Москва

Филатов В.П. – доктор философских наук, профессор, Российский государственный

гуманитарный университет, г.Москва

Шустова Т.И. – доктор биологических наук, профессор, С.-Пб. НИИ уха, горла,

носа и речи, г.Санкт-Петербург

Шхануков М.Х. – доктор физ.-мат. наук, профессор, КБГУ, г.Нальчик

УДК 5.54:1.3

ББК 2:6.8

©	Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, 2003

Великому Ученому и Учителю
100-летию со дня рождения
Андрея Николаевича Колмогорова
(25.04.1903 – 20.10.1987)
посвящается этот выпуск

"Колмогоров – Пуанкаре – Гаусс – Эйлер – Ньютон:

всего пять таких жизней отделяют нас от истоков нашей науки"

Академик В.И.Арнольд

HOMO UNIVERSALES

Колмогоров – явление чрезвычайное, событие мировое

Этот первый выпуск альманаха мы посвящаем 100-летию со дня рождения выдающегося математика современности Андрея Николаевича Колмогорова. Влияние Колмогорова на развитие математики огромно, а на математическое образование еще до конца не осознано. Цель краткой вступительной статьи сказать об Андрее Николаевиче многое, немногими словами. Характеризовать личность и разностороннюю деятельность Колмогорова даже "многими словами" – задача безумной самонадеянности. Будучи выпускниками его физико-математической школы, мы решили предоставить "слово" его университетским ученикам. Они, кстати, провели с Андреем Николаевичем более долгое время. Исключение сделано лишь для старшего из нас, участника первого выпуска ФМШ, А.М.Абрамова. В связи со сказанным, мы выбрали форму эссе, из отрывков ранее опубликованных статей и воспоминаний об Андрее Николаевиче. Наши незначительные ремарки внутри текста приведены курсивом в фигурных скобках. Подробный же текст соответствующих статей читатель может найти в следующих книгах:

Колмогоров в воспоминаниях. Редактор-составитель А.Н.Ширяев. – М.: "Физ.-мат. литература" ВО "Наука", 1993.

Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. Составитель Н.Х.Розов / Под общ. ред. В.М.Тихомирова. – М.: ФАЗИС, МИРОС, 1999.

Члены редколлегии, выпускники ФМШ №18 при МГУ:

1964 года: Абрамов А.М.

1966 года: Бахмин В.И., Крайзман В.Л.,

Савин Г.И., Филатов В.П, Хапачев Ю.П.

1967 года: Ошхунов М.М.

Начало жизни заимствовано нами из статьи П.С.Кузнецова. УМН. – 1988. – Т.43. – Вып. 6. – С.197-208.

Отец Андрея Николаевича – Николай Матвеевич Катаев, сын священника, окончил Петровскую (ныне Тимирязевскую) академию, участвовал в народническом движении, был сослан и в начале XX века работал в Ярославле. Видимо там, в Ярославле ссыльный земский статистик Николай Катаев и познакомился с младшей дочерью предводителя дворянства угличского уезда и почетного попечителя народных училищ Якова Степановича Колмогорова – Марией. У Якова Степановича Колмогорова были дочери Варвара, Софья, Вера, Надежда, Мария и сын Степан. Родители Андрея Николаевича не были венчаны, так что по законам Российской Империи он, как и его старшая сестра Татьяна, умершая в девятимесячном возрасте, считались незаконнорожденными. Весну 1903 года Мария Яковлевна проводила в Крыму и по дороге домой заехала в Тамбов к своей подруге Конкордии Климентьевне Коравко. Там в Тамбове 25 апреля и родился Андрей Николаевич. Роды были неблагополучны и через полтора часа после рождения ребенка Мария Яковлевна умерла. Однако она успела посмотреть поднесенного ей сына и сказала: "Не простудите". Ребенка по желанию матери назвали Андреем в честь Андрея Болконского, любимого литературного героя.

По дореволюционным законам ребенок не имел права ни на отчество, ни на фамилию отца или матери. Отчество и фамилия его должны были быть образованы по имени крестного отца. В то время крестить детей, родившихся от православных родителей, хотя и незаконных, было обязательно, так как без этого не выдавали метрик. Где и когда крестили Андрея Николаевича неизвестно. Крестным отцом был брат сестер Колмогоровых – Степан, который жил постоянно в Петербурге. Возможно, что он лично при крестинах и не присутствовал. Это было возможно, во время обряда на руках ребенка мог держать другой человек, но при этом говорил: "Держу за такого-то". В метрику официально вписывали того, за которого держали. Естественно, что с официальным крестным отцом все это согласовывали. Таким образом, официально Андрей Николаевич должен был называться Андреем Степановичем Степановым.

Поскольку мать умерла, а политически неблагонадежному отцу трудно было выходить ребенка, сестра Марии Вера увезла Андрея шести дней от роду из Тамбова в с. Туношны, родовое поместье Колмогоровых под Ярославлем. Везла она его в маленькой корзиночке, и весил он 2,4 кг (возможно роды были преждевременны). Вера Яковлевна заменила Андрею Николаевичу мать и жила с ним все время до самой смерти. Отец Андрея Николаевича, после того как ему был разрешен въезд в столицу, жил в Петербурге и служил в департаменте земледелия. Царский режим, как видим, был достаточно либеральным к людям с политическим прошлым. Перед революцией Николай Матвеевич имел не особо высокий чин – коллежского асессора. При Советской власти он стал заведовать учебным отделом Народного комиссариата земледелия. Н.М.Катаев пропал без вести во время гражданской войны, то ли в 1918, то ли в 1919 году. Когда произошла революция, паспорта у Андрея Николаевича еще не было, а по новым законам он мог взять отчество настоящего отца и фамилию матери и усыновившей его тетки.

Гимназии в дореволюционной России и московские гимназии, в частности, это особая тема. Это целый мир, где зарождалось мировоззрение, свободомыслие, творческий поиск и истинная интеллигентность. Андрей Николаевич учился в частной гимназии Репман, которую организовали Евгения Арнольдовна Репман и Вера Федоровна Федорова. На всю свою жизнь Андрей Николаевич сохранил глубокую благодарность своей школе. Спустя много лет, уже в 60-летнем возрасте он попытался реализовать свой юношеский идеал школы в созданной им физико-математической школе интернате при МГУ.

(Далее был Московский университет, учеба, наука, преподавание, ученики большие и маленькие – школьники из ФМШ, – признание, триумф, долгое счастье и трагедия в конце жизни. Может быть на самом деле пророки должны заканчивать жизнь в страданиях и быть побиваемы камнями? И страдание, и "побивание камнями", хотя и словесными у Колмогорова было. Возможно, что был даже и один натуральный камень, но об этом позже.)

В.А. Успенский:

"В Колмогорове все чрезвычайно. Чрезвычайна многомерность охвата знаний. Чрезвычайны воплощавшиеся в действия представления о научной этике. Чрезвычайно стремление к самосовершенствованию, к созиданию себя как личности, гармонически развитой как духовно, так и телесно...

Телесная культура была такой же неотъемлемой частью внутреннего мира Колмогорова, как поэзия и музыка, как архитектура, живопись и другие виды пластических искусств. Мало сказать, что он имел обширные и глубокие знания в каждой из этих художественных сфер. В стихах и музыкальных произведениях, зданиях, картинах и скульптурах он видел необходимые условия нормального человеческого бытия, своего рода синхронизаторы или, может быть, лучше сказать, гармонизаторы эмоционального статуса человека...

Широта научных интересов и занятий Колмогорова имеет мало прецедентов в XX веке – если вообще имеет таковые (за всю историю человечества). Спектр их простирается от метеорологии, до теории стиха. (От математики, до истории, где кстати впервые был затронут вопрос об алгоритмической сложности.)

К какой бы области знаний ни прикоснулся Колмогоров, она, эта область, получала новый импульс развития и уже больше не могла изучаться без учета колмогоровского вклада в нее...

Сформулировав те или иные идеи, Колмогоров, как правило, не занимался их развитием, а переходил к новым областям. То же относится и к математическим результатам. Колмогоров не стремился к рекордам – или если и стремился, то на свой, колмогоровский лад, без чувства соперничества. Совершив решающий прорыв, создав новые методы, преодолев принципиальные трудности, он нередко оставлял продвижение за несколько метров до финишной ленты – ему как бы переставало быть интересно… Со своими учениками Колмогоров не только делился идеями, не только подсказывал результаты, которые он провидел, – нередко он брал на себя значительную часть труда по редактированию и даже написанию текста статей. Фактически Колмогоров был соавтором многих статей своих учеников; однако он, как правило, воздерживался от включения себя в число формальных авторов. Высокое искусство Колмогорова как учителя состояло в умении создать у ученика впечатление, что именно он, ученик, и есть полноценный автор как результата, так и соответствующей публикации.

В 1963 году состоялось первое присуждение самой престижной премии в области математики – премии Бальцана, и она была присуждена А.Н. Колмогорову. Эти премии были учреждены с целью отметить достижения в тех областях, которые не покрываются Нобелевскими премиями".

В.М.Тихомиров:

"А.Н.Колмогоров известен прежде всего как ученый, поэтому начну с краткого обзора его творческой биографии. Первые научные публикации Андрея Николаевича относятся к 1923 году, когда ему исполнилось двадцать лет, а последний научный труд был напечатан в 1983 году – году его восьмидесятилетия. Между этими двумя датами прошло шестьдесят лет – огромная жизнь… Интересно проследить, как число его публикаций варьировалось от десятилетия к десятилетию (гистограмма на рисунке построена с учетом лишь тех статей, которые сам А.Н.Колмогоров включил в собрание своих сочинений). (122 работы, сравните с числом публикаций некоторых "ученых". Эти "ученые" хотят казаться кем-то, поскольку видимо не могут быть. Андрей Николаевич же всегда "был", но "казался".)

Бурное начало. В свой начальный период он черпал темы и задачи прежде всего, конечно, у своего научного руководителя – Николая Николаевича Лузина. К числу своих учителей он причислял также Павла Сергеевича Александрова, Павла Самуиловича Урысона, Алексея Константиновича Власова, Вячеслава Васильевича Степанова. Его научная любознательность распространялась фактически на всю современную математику. Начальный период его творчества был связан с теорией функций, затем началось его многолетнее сотрудничество с Александром Яковлевичем Хинчиным в области теории вероятностей. В эти же годы он делает классические работы в области математической логики, где в России у него не было ни учителей, ни предшественников.

Пожалуй, вершиной первого десятилетия его творческой деятельности явились его работы по аналитическим методам теории вероятностей (где математика соприкасается с физикой, и где он создал теорию марковских процессов, завершив усилия таких великих предшественников, как Эйнштейн, Смолуховский и Планк). Классическая монография "Основные понятия теории вероятностей" (наверное, самое известное произведение Андрея Николаевича, оказавшее столь же огромное влияние на все дальнейшее развитие этой науки, как труды Я.Бернули и Лапласа) также написана в первое десятилетие.

Затем наступил еще более блистательный период. В течение десяти лет – с 1933 по 1943 год – Андрей Николаевич опубликовал сорок пять (!) статей по самым разнообразным проблемам классического анализа, топологии, геометрии, теории приближений, функционального анализа, и, разумеется, теории вероятностей, где он занял общепризнанное в мире положение лидера. Едва ли не каждый год он открывал какое-то новое направление в науке; очень много занимался и приложениями. Одним из крупнейших достижений Колмогорова этого периода было создание теории турбулентности, где он стал прижизненным классиком наряду с величайшими механиками XX века – Дж.Тейлором и Т. фон Карманом.

Десятилетие между 1943 и 1953 годом было менее насыщенным. Конечно, это можно объяснить войной. Андрей Николаевич много сил отдал проблемам, связанным с обороной; в частности, он создал вероятностную теорию стрельбы и были заложены основания теории ветвящихся процессов.

А затем произошло истинное чудо. Начиная с 1953 года, Андрей Николаевич пережил совершенно необыкновенный творческий подъем, длившийся примерно десять лет, – период, быть может, не имевший себе равных в творчестве других математиков (да, наверное, и других естественников) всех времен. Именно в эти годы Андрей Николаевич оказался очень счастлив и в своих деяниях, и в своих учениках.

Наибольшие усилия Колмогорова в этот период, по свидетельству самого Андрея Николаевича, связаны с четырьмя темами. Это:

- малые знаменатели в задачах классической механики;

-внедрение понятия энтропия в различные области математики;

-представление функций в виде суперпозиций;

-равномерно предельные теоремы теории вероятностей.

В теории малых знаменателей Андрей Николаевич создал совершенно новый метод, который, будучи усовершенствован его учеником В.И.Арнольдом и американским математиком Ю.Мозером, привел к решению, быть может, самой глубокой задачи теоретический астрономии и классической механики – проблемы устойчивости планетарной системы, проблемы, которую решали и Ньютон, и Лаплас, и Пуанкаре. Впоследствии этот метод был назван КАМ-теорией (теорией Колмогорова – Арнольда – Мозера).

Большой успех выпал на долю Андрея Николаевича в теории динамических систем. Введенное им понятие энтропии динамической системы совершенно преобразило эту классическую область математики, где среди его предшественников были такие крупнейшие математики, как фон Нейман и Н.Н.Боголюбов. Основополагающие работы А.Н. и его ученика Я.Г.Синая принадлежат к числу самых крупных достижений математики второй половины XX века.

А.Н.Колмогоров вместе со своим учеником В.И.Арнольдом решил одну из самых знаменитых гильбертовых проблем – тринадцатую. При этом решение оказалось не соответствующим общему замыслу Гильберта: выяснилось, что на уровне непрерывности не бывает функций многих переменных (!) (хотя весь опыт классического анализа, казалось бы, свидетельствует о том, что чем больше переменных, тем богаче запас функций).

В теории вероятностей А.Н. получил теорему о равномерном приближении распределения сумм независимых случайных величин с помощью так называемых безгранично делимых распределений. Подходы к решению этой проблемы он искал почти двадцать лет.

Кроме того, в это же десятилетие учениками и последователями А.Н.Колмолгорова под его руководством и идейным влиянием:

-получены выдающиеся результаты в теории случайных процессов;

-сделаны большие продвижения в эргодической теории динамических систем, а также динамических систем классической механики;

-получены фундаментальные результаты по основаниям теории информации;

-открыта новая глава в функциональном анализе – теория размерности бесконечномерных линейных топологических пространств;

-фактически начата разработка нового этапа аппроксимации, где исследовались -энтропия и поперечники функциональных классов и связанные с ними топологические и экстремальные задачи;

-решены важные экстремальные задачи в классических предельных теоремах теории вероятностей;

-изучены предельные теоремы теории вероятностей с точки зрения распределений в функциональных пространствах;

-велась интенсивная работа в области математической логики; Андрей Николаевич обдумывал проблемы связи теории рекурсивности и теории автоматов – все это в дальнейшем способствовало созданию теории сложности, увенчавшей его творческую биографию. Ныне "колмогоровская сложность" – одно из самых популярных и широко цитируемых достижений Андрея Николаевича, а на Западе наиболее общий вид автоматов получил название "машина Колмогорова – Успенского" (Kolmogorov – Uspensky machine).

Трудно представить, что когда-нибудь в истории науки у какого-либо ученого мог быть период такой фантастической насыщенности и плодотворности!

И вот, отметив свое 60-летие, вдруг в одночасье все изменилось. В университете практически прекратились курсы, семинары, публикации и прочее. А.Н. занялся реформой математического образования. (В декабре 1963 года открылась физико-математическая школа-интернат №18 при МГУ. Авторы данной стать имели счастье обучаться там в 1963-1966 годах.) На этом поприще он (формально) потерпел большую и, пожалуй, единственную во всей его необычайно счастливой творческой жизни неудачу. Эта неудача принесла ему трагические переживания. (Однако, и любовь, и признательность многих и многих поколений бывших учеников ФМШ, носящей теперь имя А.Н.Колмогорова.) Оставляя за рамками данной статьи проблему реформы математического (и прочего) образования, отметим лишь, "что мысли гения являются общим достоянием человечества". В них всегда содержится зерна истины, недоступные для поверхностного взгляда. Они должны быть продуманы до конца, детально проанализированы.

Есть одно фундаментальное отличие творческой манеры А.Н. от "множества первых математиков" XX века. И.М.Гельфанд как-то обронил в разговоре: "Математика – это марафон". Сам Гельфанд и прочие "первые математики", были "марафонцами". А.Н. принадлежал к другому, типу творцов. Кроме него самого, подобных вряд ли возможно назвать. Он был и "марафонцем", но главным образом он был "спринтером".

Благодаря "спринтерской " особенности своего творческого гения А.Н. успел проникнуть в огромное число вопросов, проблем, тем. (В одной из своих статей, посвященных Андрею Николаевичу, В.М.Тихомиров перечислил около сорока направлений в математике, естествознании, гуманитарных науках, где он оставил фундаментальный след, не исчерпав, по-видимому, всего им созданного). Почти всюду исследования А.Н. были трудами первооткрывателя, а создание теорий, разработка открытых им новых территорий – все это выпадало на долю других.

От А.Н. всегда исходило огромное число идей, и они-то и питали учеников, работавших рядом с ним. А.Н. не работал вместе с учениками; он, собственно, и не учил их в общепринятом смысле этого слова. Он просто сеял проблемы, гипотезы, идеи, методы – на лекциях, семинарах, во время прогулок, за чаем... Это были всегда проблемы с дальним прицелом, в них была не только математическая, но общенаучная (или философская) загадка.

На протяжении многих лет и в печати, и в личных разговорах А.Н. приводил высказывание Б.Н.Делоне о том, что творчество ученого-математика отличается от труда участника математической олимпиады лишь тем, что для решения олимпиадной задачи требуется около часа времени, а для решения настоящей, глубокой математической проблемы требуется 5000 часов. Эта величина и характеризует труд математика – марафонца.

У самого же А.Н этих 5000 часов никогда не получалось. В одном из последних интервью он сказал так: "Мне во всей истории моих научных открытий так уж самозабвенно, отключившись от всего другого, приходилось работать неделю, иногда, может быть, две, но не больше". Вот поэтому он считал: "Талант, одаренность, скажем в работе в области математики, физического эксперимента, конструирования новых приборов даны от природы не всем. Никакой упорный труд не может заменить эту природную одаренность".

А.М.Абрамов:

"(Поэтому, зная о "марафоне") Андрей Николаевич неоднократно с огорчением отмечал, что блиставшие в школьные годы "олимпиадники" часто так и остаются на "олимпиадном" уровне: успешно справляются с задачами, требующими остроумной идеи, но не доходят до решения математических проблем, нуждающихся в длительном продумывании, большом объеме работы. Придавая большое значение олимпиадам, как эффективному средству поиска способных ребят, А.Н. считал, что эти соревнования не должны быть чисто спортивными. Примечательно такое его замечание: "Своим успехам на олимпиаде естественно радоваться и даже гордиться ими. Неудачи же на олимпиаде не должны чрезмерно огорчать и приводить к разочарованию в своих способностях... Уже само наличие незначительного очень ограниченного срока для решения задач многих делает совершенно беспомощными. Но существуют и такие математические проблемы, которые могут быть решены лишь в результате очень длительного спокойного размышления и формирования новых понятий". (Формированию понятий А.Н. придавал огромное значение. Неоднократно высказывал такую мысль, что "система понятий не менее важна, чем система результатов, и сама по себе может составить предмет диссертации). Много такого рода проблем было решено замечательным топологом, (ближайшим другом А.Н.) П.С.Александровым. Не случайно Павел Сергеевич неоднократно говорил, что если бы во времена его юности были математические олимпиады, то, возможно, он вообще не сделался бы математиком: его главные достижения в математике явились не плодом работающей изобретательности, а итогом длительного и углубленного созерцания".

В.И.Арнольд:

"В развитии каждой области науки можно различить три стадии. Первая стадия – пионерская: прорыв в новую область, яркое и обычно неожиданное открытие, часто опровергающее сложившиеся представления. Затем следует техническая стадия – длительная и трудоемкая; теория обрастает деталями, становится труднодоступной и громоздкой, но зато охватывает все большее число приложений. Наконец, в третей стадии появляется новый, более общий взгляд на проблему и на ее связи с другими, казалось бы, далекими от нее вопросами; делается возможным прорыв в новую область исследований.

Для Андрея Николаевича Колмогорова характерно то, что он явился пионером и первооткрывателем во многих областях математики: – трудно указать область математического анализа, в которую А.Н.Колмогоров не сделал бы существенного вклада, где бы он ни решил классических (порой двухсотлетних) проблем.

Технического усовершенствования и обобщений построенной теории Андрей Николаевич обычно старался избегать. Зато на третьей стадии работы, когда нужно осмыслить полученные результаты и увидеть новые пути, на стадии создания фундаментальных обобщающих теорий Андрею Николаевичу принадлежат замечательные достижения.

.....Колмогоров – Пуанкаре – Гаусс – Эйлер – Ньютон: всего пять таких жизней отделяют нас от истоков нашей науки".

В.А.Успенский:

"Весной 1979 года, когда Андрей Николаевич входил в свой подъезд (квартира Колмогорова №10 на третьем этаже зоны Л в МГУ, рядом в квартире под №9 жил П.С.Александров) он получил сзади удар в голову такой силы, что на время потерял сознание. Было много крови. Как объяснял потом Колмогоров, ему казалось, что сразу за ним кто-то идет, и поэтому, войдя в подъезд, он не стал заботиться о том, чтобы аккуратно закрыть за собой дверь. Эта дверь, обладающая мощнейшей пружиной, и ударила, по официальной версии, Колмогорова сзади, в голову. А я не могу отделаться от фантастической мысли, что сзади действительно кто-то был, он-то и ударил. Удар, конечно же, повлек и сотрясение мозга, и внутричерепное кровоизлияние. Все это если и не было основной причиной недомогания Колмогорова, то значительно это недомогание усилило и ускорило. (После этого признаки паркинсонизма, выражавшиеся и ранее в затруднении движения и речи, стали прогрессировать. По нашему мнению, официальная версия вряд ли соответствует действительности. Дело в том, что уже в 1979 году Андрей Николаевич ходил сильно согнувшись, так что дверная ручка, несмотря на свою длину (на всех входных дверях в МГУ они такие), никак не могла ударить его по затылку, а если сзади, то в поясницу. Другое дело, если бы Колмогоров выходил, удар был бы спереди в голову. Поэтому мы вынуждены согласиться с фантастической версией В.А.Успенского – сзади действительно кто-то был!). С 1980 года проблемой для Андрея Николаевича стал голос. Ему становилось все труднее и труднее читать лекции. После 1985 года А.Н. уже не мог передвигаться без посторонней помощи даже в пределах комнаты. Он сидел в кресле или просто погруженный в свои мысли, или слушал музыку по программе УКВ, по-прежнему придирчиво выбирая и композитора, и исполнителя.

Умер Андрей Николаевич 20 октября 1987 года в 14 часов 9 минут в палате Кунцевской больницы. (Бывшая дача Сталина, недалеко от нашего интерната, где в свое время А.Н. вместе с учениками ходил на лыжах. При нем находились один из авторов данной статьи А.М.Абрамов, а также А.А.Буканова, В.В.Козлов и В.М.Тихомиров.) По свидетельству В.М.Тихомирова можно было видеть на экране и слушать через усилитель последний удар сердца Колмогорова".

УДК 548.732

Диффузионная теория роста шероховатой поверхности

В.А. Бушуев, В.В. Козак

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,
Физический факультет

Получено модифицированное уравнение диффузионного типа, описы­вающее эволюцию шероховатостей поверхности в процессе её роста. Обоснован дополнительный механизм миграции осаждаемых частиц в потенциальные минимумы поверхности, что может приводить к значительному сглаживанию шероховатостей. В случае произвольной пространственной корреляции флуктуаций потока осаждаемых частиц получено аналитическое выражение для функции корреляции шероховатостей растущей пленки, зависимости среднеквадратичной высоты и длины продольной корреляции шероховатостей от времени, параметра локального сглаживания, шероховатостей подложки и температуры. Исследованы фрактальные свойства шероховатой поверхности.

Введение. 1Межслойные шероховатости и их корреляция

Шероховатости поверхности и межслойные шероховатости являются всегда присутствующими нарушениями структуры. Они могут значительно влиять на физические свойства приборов на основе многослойных структур и ограничивать их применение. Образуются шероховатости, как в процессе выращивания структуры, так и после (например, в результате интердиффузии).

Естественным и удобным средством их описания служит функция корреляции шероховатостей. При этом основной неопределенностью для одиноч­ного интерфейса остается выбор явного вида корреляционной функции. Для многослойной структуры это ещё более критично, так как в дополнение к корреляции шероховатостей в горизонтальном направлении очень существенным становится ее описание в направлении роста, т.е. перпендикулярно поверхности.

Традиционно для характеристики шероховатостей одной межслойной границы или поверхности используют величину  = z(x, y)1/2, где z(x, y) = h(x, y)  h(x, y), h(x, y) высота шероховатостей, угловые скобки... означают пространственное усреднение по поверхности. Шероховатости называют "гауссовскими", если h(x, y)  h(x, y) является гауссовой случайной величиной, распределение которой зависит только от относительных координат (X, Y) = (x'  x, y'  y). Для такой изотропной поверхности её среднеквадратичные флуктуации описываются функцией:

(B1)

где усреднение проводится по всем парам точек, разделенных горизонтально на расстояние R. В свою очередь g(R) связана с функцией корреляции высот шероховатостей C(R):

(B2)

Шероховатости характеризуются также длиной корреляции. В масштабе длин вдоль поверхности больших этого характерного размера величина стремится к постоянному значению, а при меньших может изменяться по степенному закону. Эти экспериментально наблюдаемые закономерности записываются следующим образом:

(B3)

где величина параметра H в случае самоаффинных поверхностей (более подробно о них см. в п. 2) находится в интервале от 0 до 1.

Поскольку диффузное рассеяние рентгеновских лучей чувствительно к эффектам корреляции шероховатостей поверхности, такие эксперименты используются для оценки величин и H [1-4]. Наиболее часто используется корреляционная функция, предложенная Синхой и др. [1]:

(B4)

Выражение (В4) имеет простую математическую форму и согласуется с (В3), однако в смысле фрактального поведения оно справедливо лишь при R << . В связи с этим в работах [4-8] предлагался ряд других альтернативных (В4) форм корреляционных функций.

Таким образом, корреляционные функции высот шероховатостей дают количественное и фундаментальное описание шероховатостей любого интерфейса. Тем не менее, информация о шероховатостях внешней поверхности или выделенной межслойной границы не дает полной картины, поскольку может существовать корреляция шероховатостей в вертикальном направлении. В случае многослойных структур (МС) факт такой корреляции межслойных шерохова­тостей и его влияние на свойства всей структуры не раз подтверждался и исследовался экспериментально [9-13].

Шероховатости двух различных интерфейсов могут быть как полностью или частично коррелированными, так и полностью некоррелированными. Полная корреляция означает идентичность интерфейсов относительно вертикального сдвига. Некоррелированность означает тождественное равенство нулю корре­ляции с любым другим интерфейсом, кроме своего собственного. Это два предельных случая частичной корреляции шероховатостей. Ее существование и степень корреляции отражают процессы, участвующие в формировании последовательных слоев МС.

Наблюдаемое разнообразие в поведении основных параметров шеро­ховатостей по всей многослойной структуре затрудняет их описание. Как следствие появляются все новые и новые варианты "угаданных" закономерностей и явных видов корреляционных функций. Особенно много вариантов корреляции межслойных шероховатостей.

Совершенно ясно, что наиболее логичным и последовательным направле­нием является моделирование корреляционных функций на основе сущес­твующих теорий роста шероховатых поверхностей (см. обзоры [14, 15]). Перспективным выглядит путь, предложенный Стеарнсом [16], где с помощью рекуррентных формул получалось выражение для функции корреляции шерохо­ватостей. При этом подчеркивалась связь этих формул с уравнением Эдвардса и Уилкинсона (EW) [17], одним из основных уравнений роста шероховатых поверх­ностей [14, 15]. Данный подход позволил избежать недостатков ранее предло­женных моделей. В его пользу свидетельствовал и ряд экспериментов, в которых данные по диффузному рассеянию рентгеновских лучей от многослойных струк­тур в той или иной мере, но согласовывались с предлагаемой теорией [16, 18-22].

Здесь необходимо отметить, что именно подход Стеарнса позволил удобным образом описывать наследование всего спектра шероховатостей с помощью так называемого фактора репликации или фактора наследования. Эта функция определяет ту часть спектра шероховатостей, которая будет преимущественно наследоваться вышележащим слоем. Однако, в случае, когда параметры межслойных шероховатостей в процессе роста МС достигают насыщения или наблюдается более сложное их поведение, модель Стеарнса [16] в чистом виде оказывается не применимой. Как показано в наших работах [23-26], это связано с функциональной формой фактора репликации, и в варианте Стеарнса приводит к монотонному росту высот шероховатостей интерфейсов в МС от подложки к верхней границе.

В связи с этим представляет значительный интерес разработка более общей модели, позволяющей интерпретировать большее число экспериментальных данных и продвинуться дальше по сравнению с существующими теориями роста шероховатых поверхностей и интерфейсов.

1. 1Диффузионное уравнение растущей поверхности

В основе всего разнообразия непрерывных моделей роста стоит линейное неоднородное уравнение Эдвардса-Уилкинса [17], аналогичное по внешнему виду уравнению диффузии. Авторы [17], рассматривая процесс осаждения частиц на растущую поверхность, учли вероятность миграции этих частиц в ближайший локальный минимум профиля шероховатой поверхности и показали, что такой механизм роста и сглаживания можно описывать уравнением диффузии. Относительная простота уравнения EW (см. ниже (1.1)) позволила достаточно полно исследовать его свойства, зависимости среднеквадратичных высот шероховатостей от времени и привлечь для их описания представления, развиваемые в теории фракталов.

Вполне закономерным стало появление множества других моделей (уравнений), описывающих различные механизмы роста. Однако лишь немногие имеют аналитические решения, что затрудняет их изучение. В данном параграфе рассматривается уравнение роста поверхности, аналогичное по виду уравнениям теплопроводности и диффузии с распределенными источниками и теплообменом (или взаимной диффузией) с окружающей средой [27]. Как будет показано ниже, в дополнение к локальному сглаживанию шероховатостей это уравнение учитывает также вероятность миграции адатомов на расстояния, значительно превы­шающие их размеры. На основе анализа свойств аналитического решения этого уравнения будут получены универсальные показатели шероховатой поверхности.

Из экспериментов[11, 28-30] известно, что среднеквадратичные высоты шероховатостей в МС с увеличением числа слоев могут меняться различным образом. Однако уравнение EW [17], на котором основано построение функции корреляции шероховатостей в [16], не всегда способно корректно описать изменение морфологии межслойных границ. Отсюда проистекает целый ряд трудностей при анализе экспериментальных данных [21, 22].

Чтобы расширить возможности применения уравнения диффузионного типа для описания роста шероховатых поверхностей, рассмотрим более подробно микроскопический механизм образования и дальнейшей трансформации шеро­ховатостей в процессе роста МС. Ограничимся для простоты анализом одномерного случая шероховатой поверхности с профилем z(x), где 0  x  L. После осаждения на эту поверхность одной частицы (магнетронное или термическое напыление) уравнение новой поверхности примет вид z(x) = z(x) + (x), где функция (x) характеризует форму, размер и местопо­ложение осаждаемой частицы. Если отсутствует какая-либо предпочтительность осаждения частицы в том или ином положении, т.е. плотность распределения вероятностей (ПРВ) w(x) = 1/L, то статистическое среднее <(x)> = r2/L не зависит от координаты x. Здесь r характерный размер частицы. При этом профиль z(x) в среднем совпадает с исходным профилем z(x), величина r2/L описывает повышение средней плоскости z.

В [17] было учтено, что вероятность осаждения частицы в какой-либо точке x зависит от состояния поверхности z(x) в этой точке и получено выражение для совместной ПРВ w(; z). При этом считалось, что частица в процессе такого "мягкого" осаждения может смещаться лишь в одну из соседних ячеек с размером r по отношению к первоначальному положению x0. Если J(x, t) = J0 + J(x, t) поток осаждаемых частиц на единицу длины в единицу времени, то скорость изменения относительной высоты шероховатостей f(x, t) = z(x, t)  <z> описы­вается диффузионным уравнением [17]

(1.1)

где J0  средний поток, J  его флуктуационная часть. Если, например, в точке x имеется локальный минимум профиля поверхности, то вторая производная в (1.1) положительна, что приводит к увеличению скорости роста поверхности в окрестности этой точки. Чем больше величина  2f/x2, тем больше скорость роста. Это означает более предпочтительное сглаживание коротковолновых (мелкомас­штабных) шероховатостей. В локальных максимумах профиля поверхности вели­чина  2f/x2 < 0, поэтому вероятность осаждения частиц здесь меньше средней.

Известно, однако [31], что адсорбированные атомы (адатомы) могут перемещаться по подложке путем дискретных прыжков по адсорбционным центрам с коэффициентом диффузии D  0,25la2 d exp(Ed/kBT), где Ed  энергия активации поверхностной диффузии, d  частота колебаний адатома в плоскости подложки, la  среднее расстояние между центрами адсорбции, kB  постоянная Больцмана, T  абсолютная температура. Время жизни адатома в потенциальной ловушке определяется температурой и энергией активации Ea:

(1.2)

где a  частота колебаний адатома по нормали к подложке. Типичные значения d  a  10111013 с–1, Ed  0,3 эВ, Еa  0,8 эВ [31]. Тогда a  10–5 с и при la  5 Е за время a адатом переместится по подложке на достаточно большое по сравнению с r расстояние (aD)1/2  400 Е.

В связи с этим дополним теорию [17] учетом случайных блужданий частиц на расстояния, значительно превышающие размеры атомов. Переход частицы из начального состояния (x0,t0) в конечное состояние (x,t) представляет собой марковский процесс, который описывается интегральным уравнением Смолу­ховского для совместной ПРВ w(x,t | x0,t0) [32]. Рассмотрим блуждание частицы, которая в момент времени t может скакать на шаг x = a вправо с вероятностью p1 или влево с вероятностью p2 = 1  p1. При этом, в отличие от [32], учтем возможную зависимость p1,2 от координаты. Тогда для плотности вероятности перехода получим уравнение Фоккера-Планка:

(1.3)

где B  коэффициент диффузии, A(x)  локальная скорость систематического движения (B = lim(a2/t), A(x) = lim[(p1  p2)a/t] при t  0). Решение уравнения (1.3) должно быть нормировано к единице и удовлетворять начальному условию w(x, t0| x0, t0) = (x  x0).

Стационарное распределение w(x) при t   имеет вид

(1.4)

где константа C определяется из условия нормировки. В частности, если A = 0, то из (1.4) следует равномерное распределение w(x) = 1/L.

В случае A = const решение (1.3) для w(x, t) имеет известный вид гаус­совского распределения с x = x0 + At и дисперсией (x – x0 – At)2 = Bt. Учтем теперь, что вероятности p1,2 зависят в общем случае от x (например, за счет разного времени жизни частицы в потенциальных ямах с разной глубиной и формой). Зависимость скорости A от x кардинальным образом изменяет плавный профиль w(x, t). Действительно, пусть в окрестности некоторой точки x1 скорость A(x) = (x  x1), т.е. x1  координата минимума ( < 0) или максимума ( > 0) функции z(x). Если, например,  < 0, то A > 0 слева и A < 0 справа от точки x1. В результате ПРВ w(x, t) начинает сгущаться в окрестности минимума потенциальной энергии. В противном случае ( > 0) в распределении w(x  x1) формируется минимум, т.е. частица находится в неустойчивом равновесии на максимуме шероховатости z(x).

Более строго это следует из анализа распределения (1.4) w(x) = C exp[(x  x1)2/B]. Если  > 0, то условие нормировки автоматически дает, что C  0. Пусть теперь A = 0 в некоторых точках xi и i = A/x < 0. Тогда ПРВ w(x) представляет собой суперпозицию гауссовских распределений [33]

(1.5)

с дисперсиями B/|i |, где ld среднее расстояние между глобальными минимумами, равное примерно длине корреляции шероховатостей l0. При выводе (1.5) считалось, что B/|i |<< l02. Ширины пиков в (1.5) увеличиваются с уменьшением |i |, поэтому влияние мелких шероховатостей уменьшается, что соответствует их сглаживанию. Таким образом, вероятность закрепления частиц w(x; z)dx повышается в окрестности глобальных минимумов. Зависимость ПРВ от высоты шероховатостей содержится неявно в зависимости величин i от z.

В общем случае скорость A(x) является случайной функцией с нулевым средним значением A(x) = 0, а её флуктуации определяются флуктуациями энергии активации Ea в (1.2): A(x) = (B/kT)Ea/x. Подстановка этого выражение в (1.4) приводит к следующему виду ПРВ:

(1.6)

где  = (2/kT)|Ea/z|. Из анализа флуктуаций глубин потенциальных ям на поверхности z(x) можно получить следующую приближенную оценку:

(1.7)

Так как характерная ширина функции w(x, z) много больше размера частиц, то изменение профиля шероховатостей (x) = r 2 w(x, z). Отсюда следует, что /z = . В итоге после замены временной переменной t в (1.1) на толщину пленки z = r 2J0t получим следующее модифицированное уравнение диффу­зионного типа, впервые полученное в нашей работе [23]:

(1.8)

Второй член в правой части (1.8) описывает релаксацию поверхности с диффузионной длиной   r. Последнее слагаемое  = J(x, z)/J0 представляет собой случайные распределенные источники. И, наконец, первый член в (1.8), который отсутствует в предыдущих рассмотрениях [16, 17], описывает предпо­чтительную миграцию атомов в глобальные минимумы, для которых f < 0. При этом происходит частичное сглаживание даже длинноволновых шероховатостей с s  0. В результате длинноволновые "холмы" и "впадины" становятся менее высокими и более гладкими. Коэффициент уменьшается с ростом температуры. Если, например, Ea = 0,8 эВ, T = 500 K, r  3 , l0  100 , то   3103  1.

Уравнение (1.8) аналогично по виду уравнениям теплопроводности и диффузии с распределенными источниками и уравнению теплообмена (или взаимной диффузией) с окружающей средой [27]. Такой же вид имеет уравнение, описывающее релаксацию параметра порядка вблизи точки фазового перехода второго рода ([35], п. 101), а также линеаризованные уравнения в теории кооперативных явлений и самоорганизации [36].

2. 2Основные представления о динамике роста поверхностей

Рост пленок, изготавливаемых с помощью напыления, представляет очевидный интерес, как с технологической точки зрения, так и сути задействованных физических процессов. Последние, как выясняется, определяют также многие важные вопросы в физике нелинейных систем.

Достаточно грубо можно выделить три типа морфологии поверхностей, образующихся во время роста:

1. Слоеный рост (layer by layer) или "слой за слоем" наиболее жела­тельный и приемлемый с технологической точки зрения. Но с точки зрения теории из-за неоднородности напыляемого пучка такой рост трудно реализуем и нестабилен. Его скорее можно назвать идеальным. Однако же вполне возможно выращивать многие пленки в такой моде [37].

2. Нестабильный рост (unstable) случается, если не сохраняется первона­чально выбранная ориентация подложки, что обычно проявляется в виде холмов либо других макроскопических особенностей на поверхности.

3. Самоаффинные (self-affine) поверхности образуются в условиях промежуточных между отмеченными выше. Средняя ориентация поверхности сохраняется, но она становится шероховатой. Масштабные свойства шерохо­ватостей на этом этапе роста сходны со свойствами фракталов.

Процесс образования шероховатостей можно описывать количественно, рассматривая их полную высоту:

, (2.1)

где L размер системы, черта означает пространственное усреднение, а угловые скобки усреднение по реализациям. Изучение дискретных моделей и непрерыв­ных уравнений роста, речь о которых пойдет ниже, привело к предположению, что в момент первоначального периода роста, например t << t x (L), высота W изменяется со временем по степенному закону:

(2.2)

где показатель роста (growth exponent). Для времен значительно больших tx высота шероховатостей стремится к предельному значению. При этом было замечено, что высота насыщения (предельная высота) зависит от L:

(2.3)

где H показатель шероховатости (roughness exponent). Зависимость tx от L позволяет объединить два последних соотношения в одно, иногда называемое законом подобия или законом масштабирования (scaling law):

(2.4)

где z = H/ назвали динамическим показателем, а функцию Y(u) универсальной функцией масштаба или функцией подобия (scaling function), возрастающей как u в случае u << 1 и приближающейся к константе при u >> 1.

Таким образом, показатель шероховатостей может быть найден из закона подобия высоты шероховатостей при её насыщении. Чтобы измерить H в эксперименте или при моделировании, необходимо исследовать системы различных размеров и ждать насыщения за времена большие tx(L)  Lz. Подобный способ определения H неудобен как с точки зрения вычислений (из-за больших размеров системы), так и эксперимента (требование нескольких образцов с различными линейными размерами). Поэтому на практике обычно используется другой метод. Высота шероховатостей оценивается в ящике размера l << L и усредняется по многим участкам той же длины вдоль интерфейса. При этом насыщение проис­ходит за более короткое время tx(l) << tx(L). Предполагается, что для локальной высоты шероховатостей законы подобия те же, что и для глобальной высоты. В этом есть плюс привлечения фрактальных закономерностей для шероховатостей. В начальном режиме роста (t << tx) w(l, t)  t . Для малых масштабов длин (эквивалентно – при больших временах роста) l << lx (t) (t >> tx ) локальная высота шероховатостей считается независящей от времени и изменяется с размерами "ящика" . Эти закономерности объединяются вместе:

(2.5)

Универсальная функция масштаба y(u) уменьшается, как при u >> 1 и приближается к константе при u << 1.

Ещё раз отметим допущение [15], что локальный показатель шероховатости предполагается равным глобальному: Hloc = H. Оно справедливо только в случае самоаффинного интерфейса. При этом для многих систем свойство самоаф­финности скорее исключение, чем правило [38].

Итак, в рамках описанной терминологии самоаффинной называют поверхность, среднеквадратичная высота которой  = [z(x)]2 1/2 возрастает с длиной L по закону   LH. При этом значение показателя шероховатости, т.е. параметра, отражающего степень корреляции высот, находится в интервале 0 < H < 1. Поверхности с острыми зазубринами соответствуют малые значения H, большие хорошо коррелированной и гладкой по текстуре. Вообще говоря, самоаффинные фракталы отличаются от самоподобных (self-similar) тем, что сохраняют свою структуру даже при анизотропном изменении масштаба. В целом это проявляется в отсутствии выступов или нависаний (overhangs) [39], приводящих к "затенению". Тем не менее, в определенном масштабе длин, меньших некоторого характерного значения, поверхность неотличима от самоподобного фрактала размерности D = 3  H. Несмотря на это, в литературе часто используется именно "локальный" (D = 3  H), а не глобальный (D = 2) размер самоаффинной поверхности. Этот факт следует учитывать, поскольку одни и те же формулы записываются авторами в одинаковых обозначениях, но по смыслу для разных D [15, 40].

Считается, что достаточно широкий класс термически напыляемых пленок имеет самоаффинную поверхность с универсальным масштабным показателем H [41]. В сопоставлении этих значений моделям нет однозначности. Атомис­тические модели (large-scale atomistic simulations) неравновесного напыления на двумерную поверхность предсказывают 0,33  H  0,40 [42]. Непрерывные модели (continuum deposition models), допускающие релаксацию частиц на поверхности, приводят к значению H = 0,67 [43].

Наиболее компактно описать самоаффинные шероховатости высотой h(x, t) в точке x и время t можно с помощью функции среднеквадратичных флуктуаций g(r, t), которая естественным образом объединяет приведенные выше формулы и соотношения между универсальными показателями:

. (2.6)

Первоначально данная форма была основана на численных результатах [39]. Сейчас для неё уже создана теоретическая основа. Динамический показатель z описывает эволюцию во времени коррелированных областей: изначально различные точки поверхности независимы, но области коррелированных шероховатостей формируются со временем. Их размер растет как (t)  t 1/z. В каждой такой области среднеквадратичная высота шероховатостей растет в (зависимости от масштаба наблюдения r) c показателем шероховатости H. Таким образом, полная высота шероховатостей первоначально растет пропорционально t  ( = H/z) до насыщения по закону LH, где L размер образца.

3. 3Универсальные показатели модели

Предметом интереса являются универсальные показатели нашего нового уравнения (1.8): показатели шероховатости H, роста, динамический показатель z, функция масштаба (подобия) Y(u). Чтобы выделить их в явном виде, необходимо исследовать свойства аналитического решения (1.8).

Наше уравнение (1.8) вместе с начальным условием образуют задачу Коши для неоднородного уравнения:

(3.1)

В общем виде решение (3.1) можно найти, используя подстановку f(x, t) = V(x, t)exp(t) и переобозначение (x, t) = exp(t)(x, t), после чего воспользуемся результатом решения задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности с неоднородным начальным условием [27] для функций V(x, t) и (x, t):

(3.2)

Возвращаясь к f(x, t) и (x, t), окончательный результат записывается в виде:

(3.3)

где G(x,,t) функция Грина, обладающая следующими свойствами:

(3.4)

Решение (3.3) задачи (3.1) не всегда удобно анализировать в прямом пространстве. Выходом является запись решения через соответствующие фурье-компоненты, получение выражений для функций спектральных плотностей корреляции, среднеквадратичных высот шероховатостей и трансформация результата обратно в прямое пространство согласно формулам:

(3.5)

Тогда, следуя [44], можно записать (3.1) в обратном пространстве s:

(3.6)

И, аналогично, для -коррелированного шума и пространства размерности d получим:

(3.7)

Выражение (3.6) обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка и его решением будет:

(3.8)

где (s) фурье-компонента начального профиля поверхности. Решение (3.8) можно переобозначить, тогда оно примет следующий вид:

(3.9)

(3.10)

(3.11)

Важно отметить, что решение дифференциального уравнения (3.6), записанное в виде (3.9), образует рекуррентную формулу зависимости фурье-компонент амплитуд шероховатостей верхней поверхности fm(s) слоя толщиной t от амплитуд шероховатостей нижележащей поверхности fm-1(s). При этом связаны они между собой через фактор репликации am(s, t) (3.10) и собственные шероховатости слоя hm(s, t) (3.11). В случае стационарной неоднородности, когда источники шероховатостей (s) не зависят от времени, выражение для hm(s, t) примет вид:

(3.12)

Далее, чтобы проанализировать зависимость среднеквадратичной высоты шероховатостей от времени (толщины пленки), воспользуемся (3.8), подставим (3.7) и, интегрируя по переменной t, для d = 1 получим выражение для корреляционной функции в фурье-пространстве:

(3.13)

Среднеквадратичная высота шероховатостей поверхности размера L связана с (3.13) следующим образом:

(3.14)

(3.15)

На этом этапе для упрощения анализа масштабных свойств нашего уравнения исключим первый член в сумме (3.15), описывающий вклад подложки в полную шероховатость. Для чего будем считать её абсолютно гладкой. Кроме того, даже не интегрируя в (3.15) по s, можно сделать некоторые важные предварительные выводы. Перейдем к безразмерной переменной интегрирования и перепишем (3.15) для w2:

(3.16)

Результат интегрирования в (3.16) является функцией YBK(t, b) двух связанных параметров и по смыслу аналогичен функции масштаба самоподобных поверхностей (2.4) (нижний индекс BK в YBK – Bushuev-Kozak):

(3.17)

При этом в приближении b << 1 интеграл (3.16) берется по частям и мы получим аналитическое выражение [40] для универсальной функции масштаба, соответствующей уравнению (1.1) Эдвардса-Уилкинсона (индекс EW):

(3.18)

Это означает, что функция YBK(t, b) обладает всеми масштабными свойствами функции YEW в режиме

(3.19)

Здесь отношение (/)1/2 характерный параметр исследуемого уравнения, который можно понимать как среднее геометрическое от длины локального сглаживания и конечной максимальной длины поперечной корреляции 1/ (длины корреляции шероховатостей с нулевой пространственной частотой). Величина этого параметра, отражающего степень корреляции шероховатостей в перпендикулярных направлениях, значительно больше характерного размера системы. В результате в процессе роста длинноволновые шероховатости наследуются практически без изменений.

К сожалению интеграл в (3.16) аналитически не берется, что не позволяет получить выражение для универсальной функции масштаба при всех значениях её аргументов. В приближении, когда размер системы можно не учитывать (L  ), второй член в выражении (3.15) трансформируется в

(3.20)

из которого методом интегрирования по параметру получаем следующее аналитическое выражение для квадрата высоты шероховатостей:

(3.21)

Из (3.21) следует, что при любом конечном значении параметров и максимальная высота шероховатостей растущей пленки остается конечной величиной даже в пределе бесконечного размера системы. Тогда как для уравнения EW она стремится к бесконечности в соответствии с (2.3). Кроме того, теперь можно получить универсальный показатель роста (2.2). Как уже отмечалось в п. 2, считается, что высота шероховатостей в начальный период роста (t <<tx) не "чувствует" размеров системы и изменяется со временем по степенному закону. Показатель степени при t и есть показатель роста. Раскладывая (3.21) в приближении t << 1/, получим:

(3.22)

Откуда следует, что в нашей модели универсальный показатель роста для случая одномерной поверхности совпадает со значением  = (3 d)/4 для уравнения EW (1.1) и равен 1/4. Отметим также независимость выражения (3.22) от параметра. Действительно, на первоначальном этапе роста поперечная корреляция не оказывает заметного влияния на шероховатость.

Чтобы получить универсальный показатель шероховатости поверхности H, устремим переменную t в (3.15) к бесконечности и проинтегрируем по s:

(3.23)

В зависимости от значения аргумента арктангенса последнее выражение может принимать две предельных формы:

(3.24)

(3.25)

В приближении b << 1 или (/)1/2 >> L, чему соответствует (3.24), свойства масштабного поведения нашего уравнения совпадают с аналогичными для уравнением EW. И в явном виде извлекается универсальный показатель шероховатости H = 1/2. Если же (/)1/2 << L, то, как следует из (3.25), поверхность перестает быть самоаффинной и её шероховатости в пределе больших времен (или малых масштабов) не описываются соотношением w(L)  LH (0 < H < 1), а их высота стремится к предельному значению

(3.26)

не зависящему от размеров системы.

Таким образом, из полученных формул можно сделать вывод, что для случая одномерной поверхности и -коррелированного шума в приближении (/)1/2 >> L наше уравнение обладает всеми масштабными характеристиками уравнения EW. В режиме (/)1/2 << L, но при малых временах роста, применимы соотношения для самоаффинных поверхностей (показатель роста  = 1/4), а в пределе больших времен роста поверхность перестает быть самоаффинной.

Дополнительный интерес с точки зрения роста самоаффинных поверх­ностей представляет исследование свойств нашего уравнения в пространстве размерности 1  d  3 и коррелированного по пространственной координате случайного шума. Форму функции корреляции положим гауссовой:

(3.27)

Соответствующая фурье-компонента будет иметь вид:

(3.28)

Здесь s = | s |. Аналогично формуле (3.13) можно получить и фурье-компоненту корреляционной функции:

(3.29)

Вспомним, что

затем, проинтегрировав по телесному углу и опуская для простоты первый член в (3.29), для высоты шероховатостей w(L, t) получим, что

(3.30)

здесь Kd численный коэффициент, зависящий от размерности пространства d.

Так же, как и в случае -коррелированного шума, интеграл в (3.30) не берется аналитически для всех допустимых значений параметров. Однако в приближении, когда размером системы можно пренебречь (L  ), результат обобщается даже для различных значений размерности пространства d:

(3.31)

где Г(x) гамма-функция, а Г(x, y) неполная гамма-функция:

Для проверки (3.31) положим d = 1 и устремим длину пространственной корреляции шума к нулю. Учитывая связь неполной гамма-функции с интегралом вероятности Г(1/2, y2) = 1/2(1  erf(y)), получим выражение, совпадающее с (3.21). Оно было получено в том же приближении (L  ) для -коррелированного шума. Теперь, чтобы извлечь показатель роста шероховатостей для случая пространственно коррелированного шума и d = 1, разложим (3.31) по степеням t и оставим первый отличный от нуля член:

(3.32)

В пределе t   из (3.31) получим предельную высоту шероховатостей wsat. Таким образом, шероховатости сначала растут по степенному закону с пока­зателем роста  = 1/2, а затем достигают насыщения wsat:

(3.33)

Последнее выражение согласуется с (3.26), полученным в приближении L   для -коррелированного шума.

В случае размерности пространства d = 2 высота шероховатостей растущей пленки (3.30) примет вид:

(3.34)

здесь у как и в (3.33), x = 1 + /(L2). Разложив (3.34) в окрестности t = 0, можно извлечь универсальный показатель роста. Как и в случае одномерной поверхности и пространственно коррелированного шума  = 1/2. Высота насыщения зависит от размера системы L. Из анализа (3.34) следует, что для 2-мерной поверхности шероховатости растут с размером системы и достигают насыщения в случае пространственно коррелированного шума, тогда как уравнение EW предсказывает логарифмический рост для любой простран­ственной корреляции шума. Кроме того, для нового уравнения роста значение одинаково для 1- и 2-мерных поверхностей.

4. 4Зависимость шероховатостей пленки от параметров подложки
и процесса роста

Представляет интерес рассмотрение влияния параметров подложки и процесса роста на шероховатости поверхности растущей пленки. Рассмотрим для простоты одномерный случай. Будем предполагать, что "шум", входящий в уравнение (3.1), скоррелирован в пространстве и времени по закону:

(4.1)

а для шероховатой подложки

(4.2)

здесь D амплитуда, ls и T длины пространственной и временной корреляции шума; 0 и l0 среднеквадратичная высота шероховатостей подложки и длина их продольной корреляции. Чтобы получить корреляционную функцию шерохова­тостей растущей пленки, используем решение (3.3) модифицированного уравнения (3.1). Подставив выражения (4.1) и (4.2), свернув интегралы по пространственной координате, получим:

(4.3)

Первый член Cext в правой части (4.3) соответствует вкладу подложки, а второй Cint обусловлен влиянием случайных внешних сил. Его анализ затруднен, поскольку интегралы аналитически не берутся. Но в случае, когда "шум" можно считать -коррелированным по времени в соответствии с (3.27), для Cint получим:

(4.4)

где , .

Если считать подложку абсолютно гладкой, то формула (4.4) есть функция корреляции шероховатостей пленки в момент времени t. В пределе больших времен она стремится к следующему выражению:

(4.5)

Характер зависимости Cint от времени (толщины) и расстояния R =  показан на рис. 1. Сечение изображенной поверхности плоскостью R = 0 пред­ставляет зависимость квадрата высоты шероховатостей от времени (толщины). Сечение t = const функция корреляции шероховатостей поверхности пленки с толщиной t. Характерный размер спадания по R определяет длину корреляции: . Используя это определение, получим, что

(4.6)

(4.7)

Используя (4.6) и (4.7), можно получить lint в приближении t << 1/:

На рис. 2 приведены зависимости длины корреляции и высоты шероховатостей от толщины пленки, а также их отношение wint/lint (тангенс угла наклона поверхности), характеризующее изменение морфологии пленки.

Учтем теперь шероховатости подложки. Тогда, используя выражение для Cext из (4.3) и Cint из (4.4), получим зависимость квадрата высоты шероховатостей растущей пленки от времени:

(4.8)

Первый член в правой части соответствует вкладу подложки, второй случайным "внешним силам", например, флуктуациям потока напыляемых частиц. На рис. 3 изображена суммарная зависимость w(t). В зависимости от параметров подложки (в частности, от высоты шероховатостей), а также от значения параметра, меняется характер изменения шероховатостей пленки от ее толщины. Поскольку величина обратно пропорциональна температуре (1.7), то ее увеличение приводит к меньшим суммарным шероховатостям.

Литература

1. Sinha S.K., Sirota E.B., Garoff S., Stanley H.B. Phys. Rev. B. 38 (1988) 2297.
2. Wong P.-Z., Bray A.J. Phys. Rev. B. 37 (1988) 7751.
3. Paniago R., Homma H., Chow P.C. et al. Phys. Rev. B. 52 (1995) R17052.
4. Salditt T., Metzger T.H., Brandt Ch. et al. Phys. Rev B. 51 (1995) 5617.
5. de Boer D.K.G., Leenaers A.J.G., van den Hoogenhof W.W. J. Phys. III France. 4 (1994) 1559.
6. Yang H.-N., Lu T.-M. Phys. Rev. B. 51 (1995) 2479.
7. de Boer D.K.G., Leenaers A.J.G. Physica B. 221 (1996) 18.
8. Palasantzas G., Krim J. Phys. Rev. B. 48 (1993) 2873.
9. Phang Y.-H., Kariotis R., Savage D.E., Lagally M.G. J.Appl.Phys. 72 (1992) 4627.
10. Phang Y.-H., Savage D.E., Kariotis R., Lagally M.G. J.Appl.Phys. 74 (1993) 3181.
11. Savage D.E., Phang Y.-H., Rownd J.J. et al. J. Appl. Phys. 74 (1993) 6158.
12. Kortright J.B. J. Appl. Phys. 70 (1991) 3620.
13. Payne A.P., Clemens B.M. Phys. Rev. B. 47 (1993) 2289.
14. Meakin P. Phys. Rep. 235 (1993) 189.
15. Halpin-Healy T., Zhang Y.-C. Phys. Rep. 254 (1995) P. 215.
16. Stearns D.G. J. Appl. Phys. 71 (1992) 4286.
17. Edwards S.F., Wilkinson D.R. Proc. R. Soc. London. Ser. A. 381 (1982) 17.
18. Spiller E., Stearns D., Krumrey M. J. Appl. Phys. 74 (1993) 107.
19. Stettner J., Schwalowsky L., Seeck O.H. et al. Phys. Rev. B. 53 (1996) 1398.
20. Salditt T., Metzger T.H., Peisl J. Phys. Rev. Lett. 73 (1994) 2228.
21. Salditt T., Lott D., Metzger T.H. et al. Physica B. 221 (1996) 13.
22. Salditt T., Lott D., Metzger T.H. et al. Phys. Rev. B. 54 (1996) 5860.
23. Бушуев В.А., Козак В.В. Письма в ЖТФ, 22, № 19 (1996) 29.
24. Бушуев В.А., Козак В.В. Кристаллография, 42 (1997) 809.
25. Бушуев В.А., Козак В.В., Корреляция межфазных шероховатостей многослой­ных структур. Препринт физического ф-та МГУ. – 1996. – № 2. – С. 7.
26. Бушуев В.А., Поверхность, N 1 (2000) 86.
27. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1966. – С. 177.
28. Savage D.E., Schimke N., Phang Y.-H., Lagally M.G. J.Appl.Phys. 71 (1992) 3283.
29. Ishikawa M., Egashira Y., Komiyama H. J. Appl. Phys. 82 (1997) 2655.
30. Cho A.Y. J. Appl. Phys., 42 (1971) 2074.
31. Трофимов В.И., Осадченко В.А., Рост и морфология тонких пленок. – М.: Энергоатомиздат, 1993. – 272 с.
32. Рытов С.М., Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы. – М.: Наука, 1976. – 494 с.
33. Kozak V.V., Bushuev V.A., Proc. 3rd European Symposium "X-ray topography and High Resolution Diffraction". Palermo. – Italy, 1996. – P. 27
34. Dumond J., Youtz J.P. J. Appl. Phys. 11 (1940) 357.
35. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика (серия "Теоретическая физика", том Х). – М.: Наука, 1979. – 528 с.
36. Хакен Г. Синергетика. – М.: Мир, 1980. – 404 с.
37. Kallabis H., Brendel L., Krug J., Wolf D.E. Preprint (cond-mat/9705100) 1997.
38. L'opez J.M., Rodr'iguez M A. Preprint (cond-mat/9603180) 1996.
39. Family F., Vicsek T. J. Phys. A. 18 (1985) L75.
40. Nattermann T., Tang L.-H. Phys. Rev. A. 45 (1992) 7156.
41. Kardar M., Parisi G., Zhang Y.C. Phys. Rev. Lett. 56 (1986) 889.
42. Meakin P., Ramanlal P., Sander L.M., Ball R.C. Phys.Rev.A. 34 (1986) 5091.
43. Lai Z.-W., Das Sarma S. Phys. Rev. Lett. 66 (1991) 2348.
44. Yu Y.-K., Pang N.-N., Halpin-Healy T. Phys. Rev. E. 50 (1994) 5111.

Diffusion theory of a rough surface growth

V.A. Bushuev, V.V. Kozak

M.V. Lomonosov Moscow State University, Physics Department, Moscow

Abstract. A modified equation of diffusion type, describing evolution of a surface roughness during its growth is received. The additional gear of migration of deposition particles in potential minima of a surface is justified, that can result in significant smoothing of roughness. In the case of any space correlation fluctuation of a flow of deposition particles analytical expression for correlation function of roughness of a growing film, dependence of root-mean-square height and length of longitudinal correlation of roughness from time, parameter of local smoothing, roughness of a substrate and temperature is received. The fractal properties of a rough surface are investigated.

УДК 519.633

Разностные схемы для неклассических задач математической физики

М.Х. Шхануков-Лафишев

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, Нальчик

В работе построены разностные схемы для решения некоторых классов неклассических краевых задач математической физики, возникающих при описании физического процесса стохастического переноса, фильтрации жидкости в средах с фрактальной геометрией, распространения волн в диспергирующих средах. Получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках для решений рассматриваемых задач, откуда следует устойчивость разностных схем.

Разностные методы широко используются для численного решения задач математической физики. В настоящее время глубоко проработаны вопросы аппроксимации, устойчивости и сходимости разностных схем. Накоплен большой опыт решения многомерных задач математической физики. Здесь следует упомянуть работы Дугласа, Писмана, Рэчфорда [1, 2], А.А. Самарского [3-6], А.А. Самарского, В.П. Вабищевича [7], Г.И. Марчука [8, 9], Н.Н. Яненко [10, 11], Е.Г. Дьяконова [12] и др.

Различные варианты безытерационных методов факторизации предложены в работах В.С. Владимирова, М.В. Келдыша, И.М. Гельфанда, О.В. Локуциевского, С.К. Годунова, В.В. Русанова, А.А. Абрамова, В.Б. Андреева и др.

Ограниченный объем данной заметки не позволяет называть имена многих, которые внесли весомый вклад в теорию разностных схем. В данной статье основное внимание будет уделено методам решения неклассических задач математической физики; это задачи с нелокальными граничными условиями [13-17], краевые задачи для неклассических дифференциальных уравнений, возникающих при описании медленных и быстрых стохастических процессов [18], краевые задачи для дифференциальных уравнений в средах с фрактальной геометрией [19], краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений [20].

1.  Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка

Дифференциальные уравнения дробного порядка возникают при изучении фильтрации жидкости в сильнопористой (фрактальной) среде [19, 20], при описании физического процесса стохастического переноса [18]:

(1)

где – дробная в смысле Римана-Лиувилля производная порядка, ,

.

Иногда уравнение (1) называют еще уравнением медленной диффузии (субдиффузии) [18]. Следует заметить, что порядок дробной производной связан с размерностью фрактала (размерностью Хаусдорфа – Безиковича), а принципы вычисления фрактальной размерности хорошо известны [22].

К уравнению (1) следует присоединить дополнительные условия:

(2)

(3)

– дробный интеграл порядка 1 – .

Для решения задачи (1)-(3) справедлива априорная оценка

, (4)

где

, .

В случае цилиндрической и сферической систем координат в области рассмотрим задачу [23]:

(5)

, (6)

. (7)

Для решения задачи (5-7) получена априорная оценка

. (8)

Оценки (4), (8) получены в терминах функции U, тем не менее, из этих оценок следует единственность решения рассматриваемых задач.

При построении разностных схем решающее значение имеет гладкость решений рассматриваемых задач, поэтому дробную производную, входящую в уравнения, будем считать регуляризованной, то есть

**D.

В области QT = {(x, t): 0 < x < l, 0 < t  T} рассмотрим задачу

**Du = uxx +f (x, t), 0 < x < l, 0 < t  T, (9)

u (0, t) = u (l, t) = 0, u (x, 0) = 0.

В введем сетку и дифференциальной задаче (9) поставим в соответствие разностную задачу

, (10)

y0 = yN = 0, y (x, 0) = 0.

где

В работе [24] получена формула

**Du = u +O ().

Здесь же для решения разностной задачи (10) получена априорная оценка

, (11)

где .

Оценка (11) получена при выполнении условия

. (12)

Условие устойчивости (12) при 1 переходит в хорошо известное условие   h2/2(1  ) (см., например [6]).

Из оценки (11) следует сходимость разностной схемы (10) в равномерной метрике при любом   [0,1] со скоростью O (h2 + ).

Для дифференциальной задачи (5)-(7), где начальное условие заменено условием u (x, 0) = 0, разностная схема имеет вид

, (13)

(14)

y (x, 0) = 0, (15)

,

.

С помощью принципа максимума доказана сходимость решения разностной задачи (13)-(15) к решению дифференциальной задачи (5)-(7), где начальное условие (7) заменено условием u (x, 0) = 0, со скоростью h2 = o( 1– ). Аналогичные результаты имеют место и для третьей краевой задачи для уравнения (5)

u (x, 0) = u0 (x), 0  x  l.

2. Локально-одномерная схема для многомерных задач математической физики с дробной производной по времени

В цилиндре , где G = {x = (x1, x2, … xp,): 0 <xk<lk, k = 1,2,…,p} – p-мерный параллелепипед с границей Г, рассмотрим краевую задачу

, (16)

(17)

u (x, 0) = u0 (x), (18)

k(x, t)  c0 > 0,  = 1,2,…,p; q c1, ± c2, 0 <  < 1,

.

Для решения задачи (16)-(18) справедлива априорная оценка [25]:

, (19)

где .

Из оценки (19) следует единственность решения задачи (16)-(18).

В цилиндре рассмотрим задачу

, (20)

uГ =  (x, t), u (x, 0) = 0, (21)

.

Уравнению (20) по аналогии с [6] поставим в соответствие цепочку одномерных уравнений. Для чего перепишем (20) в виде

,