ЭКОНОМЕТРИКА

Учебное пособие для экономических специальностей

Оглавление

Введение

1. Парная регрессия и корреляция

1.1. Линейная модель парной регрессии и корреляции

2. Множественная регрессия и корреляция

2.1. Спецификация модели. Отбор факторов при построении уравнения множественной регрессии

2.2. Метод наименьших квадратов (МНК). Свойства оценок на основе МНК

2.3. Проверка существенности факторов и показатели качества регрессии

3. Временные ряды

3.1. Моделирование тенденции временного ряда

3.2. Моделирование сезонных колебаний

Приложение 1. Случайные переменные

Приложение 2. Математико-статистические таблицы

Учебное пособие «Эконометрика для экономических специальностей» включает разделы: парная и множественная регрессия, временные ряды.

Учебный материал в пособии разбит на три раздела:

– в первом разделе рассмотрены линейные модели парной регрессии;

– во втором разделе разбирается модель множественной линейной регрессии;

– в третьем разделе рассматриваются модели временных рядов.

По всем разделам представлены варианты контрольных работ. В практикуме для выполнения контрольных заданий рассмотрены типовые задачи.

Пособие предназначено для студентов экономических специальностей дневной, заочной и вечерней форм обучения.

Введение

Эконометрика – одна из базовых дисциплин экономического образования во всем мире.

Эконометрика – это наука, в которой на базе реальных статистических данных строятся и анализируются математические модели реальных экономических явлений и процессов. Одно из направлений эконометрики – построение прогнозов по различным экономическим показателям.

Для описания эконометрической модели весь процесс моделирования разбивается, как правило, на шесть основных этапов:

1-й этап (постановочный) – определение конечных целей моделирования, набора участвующих в модели факторов и показателей, их роли;

2-й этап (априорный) – анализ экономической сущности изучаемого явления, формирование и формализация априорной информации, в частности, относящейся к природе исходных статистических данных и случайных остаточных составляющих;

3-й этап (спецификация) – собственно моделирование, т.е. выбор общего вида модели, в том числе состава и формы входящих в нее связей;

4-й этап (информационный) – сбор необходимой статистической информации, т.е. регистрация значений участвующих в модели факторов и показателей на различных временных или пространственных этапах функционирования изучаемого явления;

5-й этап (идентификация модели) – статистический анализ модели и, в первую очередь, статистическое оценивание неизвестных параметров модели;

6-й этап (верификация модели) – сопоставление реальных и модельных данных, проверка адекватности модели, оценка точности модельных данных.

Эконометрическое моделирование реальных социально-экономических процессов и систем обычно преследует две конечные прикладные цели:

1) прогноз экономических и социально-экономических показателей, характеризующих состояние и развитие анализируемой системы;

2) имитацию различных возможных исходов социально-экономического развития анализируемой системы.

Раздел 1. Парная регрессия и корреляция

Парная регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными – y и x, т. е. модель вида:

,

где y – зависимая переменная (результирующий показатель); x – независимая, или объясняющая, переменная (фактор-аргумент). Знак «^» означает, что между переменными x и y нет строгой функциональной зависимости, поэтому в каждом отдельном случае величина y складывается из двух слагаемых:

,

где y – фактическое значение результирующего показателя; – теоретическое значение результирующего показателя, найденное исходя из уравнения регрессии; – случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результирующего показателя от теоретического, найденного по уравнению регрессии.

Случайная величина называется также возмущением. Ее присутствие в модели порождено тремя источниками: спецификацией модели, выборочным характером исходных данных, особенностями измерения переменных.

От правильно выбранной спецификации модели зависит величина случайных ошибок: они тем меньше, чем в большей мере теоретические значения результирующего признака , подходят к фактическим данным y. К ошибкам спецификации относятся неправильный выбор той или иной математической функции для и недоучет в уравнении регрессии какого-либо существенного фактора, т. е. использование парной регрессии вместо множественной.

Ошибки выборки имеют место в силу неоднородности данных в исходной статистической совокупности, что, как правило, бывает при изучении экономических процессов. Для получения хорошего результата обычно исключают из совокупности единицы с аномальными значениями исследуемых признаков.

Использование временной информации также представляет собой выборку из всего множества хронологических дат. Изменив временной интервал, можно получить другие результаты регрессии.

Наибольшую опасность в практическом использовании методов регрессии представляют ошибки измерения. Если ошибки спецификации можно уменьшить, изменяя форму модели (вид математической формулы), а ошибки выборки – увеличивая объем исходных данных, то ошибки измерения практически сводят на нет все усилия по количественной оценке связи между признаками.

Особенно велика роль ошибок измерения при исследовании на макроуровне. Так, в исследованиях спроса и потребления в качестве объясняющей переменной широко используется «доход на душу населения». Вместе с тем, статистическое измерение величины дохода сопряжено с рядом трудностей и не лишено возможных ошибок, например, в результате наличия скрытых доходов.

Предполагая, что ошибки измерения сведены к минимуму, основное внимание в эконометрических исследованиях уделяется ошибкам спецификации модели.

В парной регрессии выбор вида математической функции может быть осуществлен тремя методами:

1. графическим;
2. аналитическим, т.е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи;
3. экспериментальным.

При изучении зависимости между двумя признаками графический метод подбора вида уравнения регрессии достаточно нагляден. Он основан на анализе корреляционного поля. Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей, представлены на рис. 1.1:

Рис. 1.1. Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей между двумя переменными.

Особый интерес представляет аналитический метод выбора типа уравнения регрессии. Он основан на изучении материальной природы связи исследуемых признаков.

При обработке информации на компьютере выбор вида уравнения регрессии обычно осуществляется экспериментальным методом, т. е. путем сравнения величины остаточной дисперсии , рассчитанной при разных моделях.

Если уравнение регрессии проходит через все точки корреляционного поля, что возможно только при функциональной связи, когда все точки лежат на линии регрессии , то фактические значения результативного показателя совпадают с теоретическими , т.е. они полностью обусловлены влиянием фактора x. В этом случае остаточная дисперсия .

В практических исследованиях, как правило, имеет место некоторое рассеяние точек относительно линии регрессии. Оно обусловлено влиянием прочих, не учитываемых в уравнении регрессии, факторов. Т.е. имеют место отклонения фактических данных от теоретических . Величина этих отклонений и лежит в основе расчета остаточной дисперсии:

.

Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем меньше влияние не учитываемых в уравнении регрессии факторов и тем лучше уравнение регрессии подходит к исходным данным.

Считают, что число наблюдений должно в 7-8 раз превышать число рассчитываемых параметров при переменной x. Это означает, что искать линейную регрессию, имея менее 7 наблюдений, вообще не имеет смысла. Если вид функции усложняется, то требуется увеличение объема наблюдений, ибо каждый параметр при x должен рассчитываться хотя бы по 7 наблюдениям. Таким образом, если в качестве модели выбирают параболу второй степени , то требуется объем информации уже не менее 14 наблюдений.

1.1. Линейная модель парной регрессии и корреляции

Рассмотрим простейшую модель парной регрессии – линейную регрессию. Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров.

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

или . (1.1)

Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора x находить теоретические значения результирующего показателя, подставляя в него фактические значения фактора x.

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – a и b. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результирующего показателя y от теоретических минимальна:

. (1.2)

Т.е. из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной (рис. 1.2):

Рис. 1.2. Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков.

Как известно из курса математического анализа, чтобы найти минимум функции (1.2), надо вычислить частные производные по каждому из параметров a и b и приравнять их к нулю. Обозначая через , получим:

(1.3)

После несложных преобразований, получим следующую систему линейных уравнений для оценки параметров a и b:

(1.4)

Решая систему уравнений (1.4), найдем искомые оценки параметров a и b. Можно воспользоваться готовыми формулами, которые следуют непосредственно из решения системы (1.4):

, , (1.5)

где – ковариация признаков x и y, – дисперсия признака x и

, , , .

Ковариация – числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий. Дисперсия – характеристика случайной величины, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Математическое ожидание – сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности (см. Приложение 1).

Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.

Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях.

Формально a – значение y при . Если фактор x не может иметь нулевого значения, то тогда трактовка свободного члена a не имеет смысла, т.е. параметр a может не иметь экономического содержания.

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции , который можно рассчитать по следующим формулам:

. (1.6)

где – дисперсия признака y.

Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: . Чем ближе абсолютное значение к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при имеем строгую функциональную зависимость). Однако близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствия связи между признаками. При другой (нелинейной) спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результирующего показателя y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результирующего показателя:

, (1.7)

где – остаточная дисперсия.

Соответственно величина характеризует долю дисперсии y, вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов.

После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Проверить значимость уравнения регрессии – означает установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации:

. (1.8)

Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8–10%.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе F-критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как самостоятельный инструмент статистического анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели.

Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной y от среднего значения раскладывается на две части – «объясненную» и «необъясненную»:

,

где – общая сумма квадратов отклонений; – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений); – остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов.

Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в таблице 1.1 (n – число наблюдений, m – число параметров при переменной x).

Таблица 1.1

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень свободы
Общая
Факторная		m
Остаточная

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F-критерия Фишера:

. (1.9)

Фактическое значение F-критерия Фишера (1.9) сравнивается с табличным значением при уровне значимости и степенях свободы и . При этом, если фактическое значение F-критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Для парной линейной регрессии , поэтому

. (1.10)

Величина F-критерия связана с коэффициентом детерминации , и ее можно рассчитать по следующей формуле:

. (1.11)

В парной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: и .

Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

, (1.12)

где – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Величина стандартной ошибки совместно с t-распределением Стьюдента при степенях свободы применяется для проверки существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительного интервала.

Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение t-критерия Стьюдента: которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы . Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как . Поскольку знак коэффициента регрессии указывает на рост результативного показателя y при увеличении фактора x (), уменьшение результативного показателя при увеличении признака-фактора () или его независимость от независимой переменной () (см. рис. 1.3), то границы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, например, . Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть.

Рис. 1.3. Наклон линии регрессии в зависимости от значения параметра b.

Стандартная ошибка параметра a определяется по формуле:

. (1.13)

Процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии. Вычисляется t-критерий: , его величина сравнивается с табличным значением при степенях свободы.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции :

. (1.14)

Фактическое значение t-критерия Стьюдента определяется как .

Существует связь между t-критерием Стьюдента и F-критерием Фишера:

. (1.15)

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое значение как точечный прогноз при , т.е. путем подстановки в уравнение регрессии прогнозного значения x. Точечный прогноз дополняется расчетом доверительного интервала прогнозного значения :

,

где , а – средняя ошибка точечного прогноза:

. (1.16)

Пример. По данным проведенного опроса восьми групп семей известны данные связи расходов населения на продукты питания с уровнем доходов семьи.

Таблица 1.2

Расходы на продукты питания, y, тыс. руб.	0,9	1,2	1,8	2,2	2,6	2,9	3,3	3,8
Доходы семьи, x, тыс. руб.	1,2	3,1	5,3	7,4	9,6	11,8	14,5	18,7

Предположим, что связь между доходами семьи и расходами на продукты питания линейная. Для подтверждения нашего предположения построим поле корреляции (Рис. 1.4).

Рис. 1.4.

По графику видно, что точки выстраиваются в некоторую прямую линию.

Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу (см. табл. 1.3).

Рассчитаем параметры линейного уравнения парной регрессии . Для этого воспользуемся формулами (1.5):

;

.

Получили уравнение: . Т.е. с увеличением дохода семьи на 1000 руб. расходы на питание увеличиваются на 169 руб.

Рассчитаем показатель тесноты связи – линейный коэффициент корреляции :

.

Таблица 1.3

	x	y							, %
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1,2	0,9	1,08	1,44	0,81	1,027	–0,127	0,016	14,060
2	3,1	1,2	3,72	9,61	1,44	1,348	–0,148	0,022	12,328
3	5,3	1,8	9,54	28,09	3,24	1,720	0,080	0,006	4,440
4	7,4	2,2	16,28	54,76	4,84	2,075	0,125	0,016	5,668
5	9,6	2,6	24,96	92,16	6,76	2,447	0,153	0,023	5,867
6	11,8	2,9	34,22	139,24	8,41	2,820	0,080	0,006	2,773
7	14,5	3,3	47,85	210,25	10,89	3,276	0,024	0,001	0,718
8	18,7	3,8	71,06	349,69	14,44	3,987	–0,187	0,035	4,915
Итого	71,6	18,7	208,71	885,24	50,83	18,700	0,000	0,125	50,769
Среднее значение	8,95	2,34	26,09	110,66	6,35	2,34	–	0,016	6,35
	5,53	0,943	–	–	–	–	–	–	–
	30,55	0,890	–	–	–	–	–	–	–

Близость коэффициента корреляции к 1 указывает на тесную линейную связь между признаками.

Коэффициент детерминации (примерно тот же результат получим, если воспользуемся формулой (1.7)) показывает, что уравнением регрессии объясняется 98,2% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 1,8%.

Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера. Сосчитаем фактическое значение F-критерия:

.

Табличное значение (, , ): (см. Приложение 2). Так как , то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции :

,

,

.

Фактические значения t-статистик: , , . Табличное значение t-критерия Стьюдента при и числе степеней свободы есть (см. Приложение 2). Так как , и , то признается статистическая значимость параметров регрессии и показателя тесноты связи.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a и b: и . Получим, что и .

Средняя ошибка аппроксимации (находим с помощью столбца 10 таблицы 1.3; ) говорит о хорошем качестве уравнения регрессии, т.е. свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

И, наконец, найдем прогнозное значение результативного фактора при значении признака-фактора, составляющем 110% от среднего уровня , т.е. найдем расходы на питание, если доходы семьи составят 9,845 тыс. руб.

(тыс. руб.)

Таким образом, если доходы семьи составят 9,845 тыс. руб., то расходы на питание будут 2,490 тыс. руб.

Найдем доверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза

,

,

а доверительный интервал ():

или .

Теперь на одном графике изобразим исходные данные и линию регрессии:

Рис. 1.5.

Раздел 2. Множественная регрессия и корреляция

Парная регрессия может дать хороший результат при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Если же этим влиянием пренебречь нельзя, то в этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т.е. построить уравнение множественной регрессии

,

где – зависимая переменная (результирующий показатель), – независимые, или объясняющие переменные (фактор-аргументы).

Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целом ряде других вопросов эконометрики. В настоящее время множественная регрессия – один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

2.1. Спецификация модели. Отбор факторов при построении уравнения множественной регрессии

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели. Он включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.

Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано, прежде всего, с представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям.

1. Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность.
2. Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.

Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, может привести к нежелательным последствиям – система нормальных уравнений может повлечь за собой неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии.

Если между факторами существует высокая корреляция (взаимосвязь), то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпретируемыми.

Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором m факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации , который фиксирует долю объясненной вариации результирующего показателя за счет рассматриваемых в регрессии m факторов. Влияние других, не учтенных в модели факторов, оценивается как с соответствующей остаточной дисперсией .

При дополнительном включении в регрессию фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться:

и .

Если же этого не происходит и данные показатели практически не отличаются друг от друга, то включаемый в анализ фактор не улучшает модель и практически является лишним фактором.

Таким образом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости. Отбор факторов производится на основе качественного теоретико-экономического анализа. Однако теоретический анализ часто не позволяет однозначно ответить на вопрос о количественной взаимосвязи рассматриваемых признаков и целесообразности включения фактора в модель. Поэтому отбор факторов обычно осуществляется в две стадии: на первой подбираются факторы исходя из сущности проблемы; на второй – на основе матрицы показателей корреляции определяют статистики для параметров регрессии.

Коэффициенты интеркорреляции (т.е. коэффициенты корреляции между объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы. Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если . Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляется специфика множественной регрессии как метода исследования комплексного воздействия факторов в условиях их независимости друг от друга.

Пусть, например, при изучении зависимости матрица парных коэффициентов корреляции оказалась следующей:

Таблица 2.1

	y
y	1	0,8	0,7	0,6
	0,8	1	0,8	0,5
	0,7	0,8	1	0,2
	0,6	0,5	0,2	1

Очевидно, что факторы и дублируют друг друга. В анализ целесообразно включить фактор , а не , хотя корреляция с результатом слабее, чем корреляция фактора с y , но зато значительно слабее межфакторная корреляция . Поэтому в данном случае в уравнение множественной регрессии включаются факторы и .

По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается лишь явная коллинеарность факторов. Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью, т.е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности.

Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежелательно в силу следующих последствий:

1. Затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия факторов в «чистом» виде, ибо факторы коррелированы; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл.
2. Оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений (не только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.

Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

Если бы факторы не коррелированы между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей, поскольку все недиагональные элементы были бы равны нулю. Так, для уравнения, включающего три объясняющих переменных

матрица коэффициентов корреляции между факторами имела бы определитель, равный единице:

.

Если же, наоборот, между факторами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты корреляции равны единице, то определитель такой матрицы равен нулю:

.

Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единице определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

Существует ряд подходов преодоления сильной межфакторной корреляции. Самый простой путь устранения мультиколлинеарности состоит в исключении из модели одного или нескольких факторов. Другой подход связан с преобразованием факторов, при котором уменьшается корреляция между ними.

Одним из путей учета внутренней корреляции факторов является переход к совмещенным уравнениям регрессии, т.е. к уравнениям, которые отражают не только влияние факторов, но и их взаимодействие. Так, если , то возможно построение следующего совмещенного уравнения:

.

Рассматриваемое уравнение включает взаимодействие первого порядка (взаимодействие двух факторов). Возможно включение в модель и взаимодействий более высокого порядка, если будет доказана их статистическая значимость по F-критерию Фишера, но, как правило, взаимодействия третьего и более высоких порядков оказываются статистически незначимыми.

Отбор факторов, включаемых в регрессию, является одним из важнейших этапов практического использования методов регрессии. Подходы к отбору факторов на основе показателей корреляции могут быть разные. Они приводят построение уравнения множественной регрессии соответственно к разным методикам. В зависимости от того, какая методика построения уравнения регрессии принята, меняется алгоритм ее решения.

Наиболее широкое применение получили следующие методы построения уравнения множественной регрессии:

1. Метод исключения – отсев факторов из полного его набора.
2. Метод включения – дополнительное введение фактора.
3. Шаговый регрессионный анализ – исключение ранее введенного фактора.

При отборе факторов также рекомендуется пользоваться следующим правилом: число включаемых факторов обычно в 6–7 раз меньше объема совокупности, по которой строится регрессия. Если это соотношение нарушено, то число степеней свободы остаточной дисперсии очень мало. Это приводит к тому, что параметры уравнения регрессии оказываются статистически незначимыми, а -критерий меньше табличного значения.

2.2. Метод наименьших квадратов (МНК). Свойства оценок на основе МНК

Возможны разные виды уравнений множественной регрессии: линейные и нелинейные.

Ввиду четкой интерпретации параметров наиболее широко используется линейная функция. В линейной множественной регрессии параметры при x называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Рассмотрим линейную модель множественной регрессии

. (2.1)

Классический подход к оцениванию параметров линейной модели множественной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от расчетных минимальна:

. (2.2)

Как известно из курса математического анализа, для того чтобы найти экстремум функции нескольких переменных, надо вычислить частные производные первого порядка по каждому из параметров и приравнять их к нулю.

Итак, имеем функцию аргумента:

.

Находим частные производные первого порядка:

После элементарных преобразований приходим к системе линейных нормальных уравнений для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии (2.1):

(2.3)

Для двухфакторной модели данная система будет иметь вид:

Метод наименьших квадратов применим и к уравнению множественной регрессии в стандартизированном масштабе:

(2.4)

где – стандартизированные переменные: , , для которых среднее значение равно нулю: , а среднее квадратическое отклонение равно единице: ; – стандартизированные коэффициенты регрессии.

Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько единиц изменится в среднем результат, если соответствующий фактор изменится на одну единицу при неизменном среднем уровне других факторов. В силу того, что все переменные заданы как центрированные и нормированные, стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, ранжируя факторы по силе их воздействия на результат. В этом основное достоинство стандартизованных коэффициентов регрессии в отличие от коэффициентов «чистой» регрессии, которые несравнимы между собой.

Применяя МНК к уравнению множественной регрессии в стандартизированном масштабе, получим систему нормальных уравнений вида

(2.5)

где и – коэффициенты парной и межфакторной корреляции.

Коэффициенты «чистой» регрессии связаны со стандартизованными коэффициентами регрессии следующим образом:

. (2.6)

Поэтому можно переходить от уравнения регрессии в стандартизованном масштабе (2.4) к уравнению регрессии в натуральном масштабе переменных (2.1), при этом параметр a определяется как .

Рассмотренный смысл стандартизованных коэффициентов регрессии позволяет их использовать при отсеве факторов – из модели исключаются факторы с наименьшим значением .

На основе линейного уравнения множественной регрессии

(2.7)

могут быть найдены частные уравнения регрессии:

(2.8)

т.е. уравнения регрессии, которые связывают результирующий показатель с соответствующим фактором при закреплении остальных факторов на среднем уровне. В развернутом виде систему (2.8) можно переписать в виде:

При подстановке в эти уравнения средних значений соответствующих факторов они принимают вид парных уравнений линейной регрессии, т.е. имеем

(2.9)

где

В отличие от парной регрессии частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние фактора на результат, ибо другие факторы закреплены на неизменном уровне. Эффекты влияния других факторов присоединены в них к свободному члену уравнения множественной регрессии. Это позволяет на основе частных уравнений регрессии определять частные коэффициенты эластичности:

, (2.10)

где – коэффициент регрессии для фактора в уравнении множественной регрессии, – частное уравнение регрессии.

Наряду с частными коэффициентами эластичности могут быть найдены средние по совокупности показатели эластичности:

, (2.11)

которые показывают, на сколько процентов в среднем изменится результат, при изменении соответствующего фактора на 1%. Средние показатели эластичности можно сравнивать друг с другом и соответственно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.

Рассмотрим пример. Пусть имеются следующие данные (условные) о сменной добыче угля на одного рабочего y (т), мощности пласта (м) и уровне механизации работ (%), характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах.

Таблица 2.2

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	8	11	12	9	8	8	9	9	8	12
	5	8	8	5	7	8	6	4	5	7
	5	10	10	7	5	6	6	5	6	8

Предполагая, что между переменными y, , существует линейная корреляционная зависимость, найдем уравнение регрессии y по и .

Для дальнейших вычислений составляем таблицу ():

Таблица 2.3

№			y
1	8	5	5	64	25	25	40	40	25	5,13	0,016
2	11	8	10	121	64	100	88	110	80	8,79	1,464
3	12	8	10	144	64	100	96	120	80	9,64	0,127
4	9	5	7	81	25	49	45	63	35	5,98	1,038
5	8	7	5	64	49	25	56	40	35	5,86	0,741
6	8	8	6	64	64	36	64	48	48	6,23	0,052
7	9	6	6	81	36	36	54	54	36	6,35	0,121
8	9	4	5	81	16	25	36	45	20	5,61	0,377
9	8	5	6	64	25	36	40	48	30	5,13	0,762
10	12	7	8	144	49	64	84	96	56	9,28	1,631
Сумма	94	63	68	908	417	496	603	664	445	68	6,329
Среднее значение	9,4	6,3	6,8	90,8	41,7	49,6	60,3	66,4	44,5	–	–
	2,44	2,01	3,36	–	–	–	–	–	–	–	–
	1,56	1,42	1,83	–	–	–	–	–	–	–	–