Метод расчёта разномодульных прямоугольных тонкостенных элементов конструкций с разрывными параметрами с учетом нелинейностей

На правах рукописи

Моисеенко Маргарита Олеговна

МЕТОД РАСЧЁТА РАЗНОМОДУЛЬНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ С РАЗРЫВНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ

05.23.17 – Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Томск - 2004

Работа выполнена в Томском государственном архитектурно-строительном

университете

Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент,

Малиновский Анатолий Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Белов Николай Николаевич кандидат технических наук, доцент

Эм Валентин Владимирович

Ведущая организация: Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет

Защита состоится “____”____________2004 г. в 1400 часов на

заседании диссертационного совета Д 212.265.01 в Томском

государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 634003 г. Томск, пл. Соляная, 2, ауд. 307/5.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Томского государственного архитектурно-строительного университета

Автореферат разослан ___ _____________2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

д.т.н., профессор Скрипникова Н.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Тонкостенные оболочки и пластины переменной толщины с отверстиями и утолщениями находят широкое применение в строительстве, различных областях техники. Для придания большей жёсткости пластины и оболочки подкрепляются рёбрами. Конструкции могут подвергаться не только механическим, но и тепловым воздействиям. В ряде случаев в сложных условиях эксплуатации конструкций возникает необходимость оценки напряженно-деформированного состояния (НДС), прочности и жесткости конструкции работающих за пределом упругости при значительных перемещениях. НДС нелинейно-упругих гладких тонкостенных конструкций ступенчато переменной толщины с отверстиями и ребрами, находящихся под воздействием температуры, силовой нагрузки, и допускающих прогибы, соизмеримые с толщиной, исследовано недостаточно и требует дальнейших исследований.

Данная работа посвящена совершенствованию теории и методов расчёта однопольных и системы разномодульных неоднородных пластин и оболочек с разрывными параметрами, находящихся под воздействием температурной, силовой нагрузки с учётом физической и геометрической нелинейностей.

Целью работы является: обоснование и разработка метода и алгоритмов расчёта однопольных и системы разномодульных неоднородных гибких пластин и пологих оболочек с разрывными параметрами, находящихся под действием температурной, силовой нагрузки с учётом физической и геометрической нелинейностей, позволяющих получить решение в аналитической форме.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• Записан в аналитическом виде функционал полной энергии из которого, как частные случаи, следуют функционалы для решения задач с учетом только одной из нелинейностей либо в линейной постановке.

• Доказана целесообразность применения энергетического метода в аналитической форме, с использованием основной расчётной схемы метода перемещений, которая получается путём разделения конструкции на прямоугольные тонкостенные элементы и введения функциональных неизвестных по линиям контакта элементов.

• Обоснован и разработан метод расчёта системы гибких пластин и пологих оболочек переменной толщины с отверстиями, накладками и рёбрами, находящихся под действием силовой нагрузки и температуры. Учитывается разномодульность, неоднородность, изменение физических характеристик материала под воздействием температуры.
• Проведен анализ сходимости и точности метода и даны рекомендации по выбору оптимального числа членов ряда в функциях перемещений и густоты сетки для численного интегрирования.

• Исследованы возможности разработанного метода для решения широкого круга задач расчета разномодульных тонкостенных пластин и оболочек с учетом разрывных параметров и нелинейностей различного вида. На основании вычислительных экспериментов определены задачи, для которых необходим учет физической или геометрической нелинейности, либо совместный учёт физической и геометрической нелинейностей.

Практическое значение работы. Применение разработанного метода, алгоритмов позволяет провести анализ НДС и оценить запасы прочности и жёсткости гибких пластин, пологих оболочек и систем из них, как гладких, так и с разрывными параметрами, находящихся под действием силовой нагрузки и температуры. Учитывается разномодульность, неоднородность, изменение физических характеристик материала под воздействием температуры. Предложен алгоритм расчёта с применением способа выделения главной части решения по Х.М. Муштари.

Разработанный в диссертации метод и алгоритмы могут быть рекомендованы для проектных и научно-исследовательских организаций.

Реализация результатов работы. Результаты, полученные в диссертационной работе, используются в проектном Институте ОАО “Томсктеплоэлектропроект” и в учебном процессе, а также в научно-исследовательской работе студентов, магистров и аспирантов ТГАСУ.

Достоверность результатов следует из корректного применения энергетического метода и общепринятых допущений нелинейной строительной механики, а также из сравнения результатов расчетов с имеющимися аналитическими и численными решениями отдельных тестовых задач.

Апробация работы. Материалы диссертации были доложены и обсуждены на научно-технических конференциях Томского государственного архитектурно-строительного университета (2001-2003 гг.); на региональных и Всероссийской научно практической конференции Томского политехнического университета (2002-2004гг.); на XXIII Российской школе по проблемам науки и технологии (Миасс 2003 г.) на 8 – ом Корейско - Российском международном симпозиуме по производству и технологии (Томск, 2004 г.). Работа докладывалась на научных семинарах кафедры строительной механики ТГАСУ под руководством академика РААСН, профессора Л.С. Ляховича (2002 - 2004 гг.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 4 статьи.

На защиту выносятся:

- Сформулированный в работе функционал полной энергии, записанный в аналитическом виде для основной расчётной схемы метода перемещений. Расчетная схема получена путём разделения конструкции на прямоугольные тонкостенные элементы на линиях сочленения, которых ведены обобщенные функциональные неизвестные.

- Аналитический метод, алгоритмы и программа по расчёту физически и геометрически нелинейных пластин, пологих оболочек переменной толщины с отверстиями, накладками и рёбрами, находящихся под действием температуры и силовой нагрузки. Алгоритм учитывает разномодульность и неоднородность материала, а также изменение модуля упругости (Е) и коэффициента теплового расширения материала () в зависимости от температуры.

- Разработанные в работе алгоритмы и рекомендации по улучшению сходимости решения, основанные на применении метода последовательных нагружений и способа выделения главной части решения в форме Х.М. Муштари.

- Результаты исследований точности и сходимости алгоритма расчёта; рекомендации по выбору необходимого числа членов ряда в функциях перемещений и густоты сетки для численного интегрирования.

- Результаты расчётов, их анализ, практические рекомендации по оценке степени влияния термочувствительности, разномодульности, неоднородности слоёв, физической и геометрической нелинейности на НДС пластин и пологих оболочек с разрывными параметрами.

Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы и приложения. Она содержит 180 страниц, в том числе 134 страниц основного текста, 35 рисунков, 5 таблиц. Список используемой литературы включает 159 наименований (из них 29 на иностранном языке). В приложении приведено описание и сама программа на алгоритмическом языке Pascal.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность научных исследований, изложенных в диссертации, сформулированы: цель исследования; научная новизна; практическая и теоретическая ценность работы. Во введении также изложено краткое содержание работы.

Отмечается большой вклад в развитие теории и практики расчёта физически нелинейных пластин и оболочек, который внесли известные отечественные ученые Н.П. Абовский, И.А. Биргер, А.А. Ильюшин, Б.Я. Кантор, Л.М. Качанов, М.С. Корнишин, В.А. Крысько, Ю.Р. Лепик, П.А. Лукаш, В.А. Мяченков, Ю.В. Немировский, И.Г. Овчинников, В.В. Петров, Ю.Н. Работнов, Р.С. Санджаровский Н.Н. Столяров, А.И. Стрельбицкая, А.Г. Угодчиков, И.С. Цурков, а также зарубежные авторы: L.H. Donnell, Ph. G. Hodge, H. G. Hopkins, W. Olszak, E. Reissner, A. Sawczuk и другие.

Разработкой способов расчёта подкреплённых пластин и оболочек с учётом физической и геометрической нелинейностей занимались Э.В. Годзевич, Л.В. Енджиевский, В.Н. Завьялов, В.И. Климанов, О.Н. Попов, И.Н. Слезингер, М.В. Стрельбицкий, А.А. Яковлев, H. Muller и другие.

Способы и методы расчёта прямоугольных пластин и оболочек с отверстиями с учётом физической и геометрической нелинейностей изложены в работах Л.В. Енджиевского, А.И. Демидова, Г.О. Кипиани, Б.К. Михайлова, В.Г. Спиридонова, В.Г. Якунчихина, Fan Yinhe, Hu Chao, Huang Wenhu, J. Minster, Ohtaki Seiichi, Tanaka Atsushi, Ma Xingrui и других ученых.

Анализ работ показал, что ряд вопросов требует дополнительных исследований, в том числе создания новых аналитических методов исследований тонкостенных конструкций, имеющих разрывные параметры, с учётом физической и геометрической нелинейностей, разномодульности, неоднородности и находящихся под действием силовой нагрузки и температурного воздействия.

В первой главе приведён обзор работ и анализ методов, используемых для расчёта разномодульных гибких прямоугольных пластин и пологих оболочек переменной толщины с разрывными параметрами с учётом физической нелинейности. Сформулированы критерии и требования выполнения, которых необходимы для решения, поставленных в работе задач.

Вопросам деформирования нелинейно-упругих материалов, имеющих разные характеристики на растяжение и сжатие, посвящены исследования Д.Л. Быкова, Д.А. Гаврилова, А.Ф. Макеева, И.Г. Овчинникова, В.В. Петрова, Б.В. Пономарёва A.F. Jones D. A. R. Nelson Jr. и других. Рассмотрены существующие подходы к описанию поведения разномодульных нелинейно-упругих материалов. На основе анализа предложено использовать модель, описанную в работах А.Ф. Макеева, И.Г. Овчинникова, В.В. Петрова, которая позволяет достаточно полно отразить реальные свойства материала.

Рассматриваются и анализируются методы решения задач нелинейной теории упругости: последовательных приближений, упругих решений, переменных параметров упругости, Ньютона-Канторовича, последовательных нагружений. Учитывая, что в работе рассматривается разномодульность и неоднородность материала, обосновано применение для решения задач использование метода переменных параметров упругости (МППУ).

В работе рассматриваются преимущества и недостатки известных методов расчёта прямоугольных пластин и пологих оболочек и систем из них, анализируются: аналитические и вариационные методы, метод конечных разностей, вариационно-разностный метод, метод конечных элементов. В работе предложено применять энергетический вариационно-сегментный метод для решения поставленных нелинейных задач. Он приводит к системе уравнений, его сходимость теоретически обоснована, а координатные функции могут удовлетворять только кинематическим граничным условиям. Поиск варьируемых параметров производится одним из методов прямого поиска, минимизируя построенную многопараметрическую функцию.

Во второй главе сформулирована постановка задачи по расчету разномодульных прямоугольных тонкостенных элементов конструкций с разрывными параметрами с учетом нелинейностей. Рассматриваются возможные варианты решений, в том числе, с помощью дифференциальных уравнений и функционала Лагранжа.

Объект исследования: гибкие пластины и пологие оболочки переменной толщины, с прямоугольными отверстиями, подкреплёнными рёбрами, с начальной погибью и нагруженные поперечной нагрузкой и усилиями в срединной плоскости. Температурное воздействие изменяется по толщине элементов.

В местах соединения панелей и рёбер учитываются сдвигающие усилия, направленные вдоль ребра, вертикальные усилия, направленные перпендикулярно оси ребра и моменты, стремящиеся скрутить ребро и вызывающие поворот сечений пластины.

Ослабления, вносимые отверстием, учитываются через приведенные характеристики жесткости и массы, описываемые с помощью дельта функций. За расчетную модель тонкостенных конструкций с вырезами принята сплошная деформируемая система, у которой параметры жесткости и массы претерпевают разрывы в районе вырезов.

Граничные условия в продольном и поперечном направлениях постоянны. Края отверстий имеют закругления.

Исходные уравнения для панелей и балок с учётом физической и геометрической нелинейности записываются на основе деформационной теории пластичности и теории гибких пластин и оболочек в предположении, малости сдвигов в нормальных сечениях. Применяется гипотеза прямых нормалей Кирхгофа – Лява с учётом деформаций по толщине.

Компоненты деформаций срединной поверхности панелей и кривизны выражаются нелинейно через перемещения соответственно вдоль координатных осей соотношениями по теории Т. Кармана.

Перемещения и относительные деформации рёбер определяются с учетом их эксцентриситета - е относительно срединной поверхности.

Напряжения в панелях и рёбрах выражаются через деформации с учётом температурного воздействия. Зависимость модуля упругости и коэффициента теплового расширения принята в квадратичном приближении в зависимости от температуры, которая линейно изменяется по толщине конструкции согласно модели принятой в работах И.И. Гольденблатта и Н.А. Николаенко.

Секущие модули упругости, функции сжимаемости материала, модуль сдвига, коэффициенты линейного расширения существенно зависят от знаков напряжений и их значений для разномодульного материала. В работе применяется модель, предложенная в работах И.Г Овчинникова, В.В. Петрова.

Записанные в данной главе соотношения между напряжениями, деформациями и перемещениями для панелей и ребер, позволяют определить НДС в панелях и рёбрах при известных перемещениях конструкции и физических свойствах материала.

В данной главе строится функционал полной энергии в форме Лагранжа.

Поскольку интегрирование с переменными параметрами упругости затруднительно, то применяется итерационный путь так, что на каждом последующем этапе приближения функция параметры упругости принимается по предыдущему приближению.

Для всей конструкции функционал в форме Лагранжа, учитывающий физическую, геометрическую нелинейности и разномодульность материала записывается в виде суммы энергий отдельных панелей с учётом отверстий и рёбер. В случае работы материала по линейному закону функционал приводится к виду, известному в литературе, что указывает на адекватность функционала, построенного в работе.

Третья глава посвящена построению алгоритма расчёта разномодульных прямоугольных пластин и пологих оболочек переменной толщины с прямоугольными отверстиями с учётом нелинейностей.

При приближённом решении энергетическим методом решение отыскивается в виде ряда с варьируемыми коэффициентами и координатными функциями, которые должны обладать полнотой и удовлетворять геометрическим граничным условиям. В качестве координатных функций используются функции собственных колебаний.

Подставив принятые функции перемещений, их производные и деформации, выраженные через них, в выражение для функционала, получим многопараметрическую функцию, зависящую от варьируемых параметров.

Полученная многопараметрическая функция в связи с нелинейностью задачи не является квадратичной. В этом случае условие стационарности функционала приводит к системе нелинейных уравнений, что значительно усложняет решение.

Рассмотрена возможность применения метода последовательных нагружений. Записано выражение приращения полной энергии системы на - ом этапе нагружения, зависящей от варьируемых параметров . Дифференцируя выражение энергии по этим параметрам и приравнивая нулю производные, получаем систему линейных алгебраических уравнений. Решение данной системы и дает величины искомых варьируемых параметров. Повторяя итерации на всех остальных этапах нагружения, находятся полные перемещения, путем суммирования приращений перемещений. Зная значения перемещений, можем определить напряженно - деформируемое состояние. Недостатком метода шагового нагружения является наличие “дрейфа” приближенного решения от точного. Поэтому через каждые несколько шагов нагружения накопленную величину невязки рекомендуется ликвидировать с помощью итерационного процесса. В работе предлагается использовать комплексный алгоритм. Физическая нелинейность учитывается по методу переменных параметров упругости, а геометрически нелинейные задачи решаются методом прямого поиска. В работе выполнен анализ и дано обоснование применения метода сопряженных градиентов для решения рассматриваемого класса задач.

В четвертой главе описан общий алгоритм расчёта разномодульных пластин и пологих оболочек и систем из них переменной толщины с прямоугольными отверстиями с учётом физической и геометрической нелинейностей. Приведены основная расчётная схема, построенная по методу перемещений, и координатные функции. Рассмотрены вопросы численного интегрирования при вычислении функционала. Проведено построение алгоритма с учетом выделения главной части решения. Показана возможность применения способа вариационных итераций и обобщённого метода Власова – Канторовича.

Точность результатов в вариационных методах зависит от удачного выбора аппроксимирующих функций. В работе дается обоснование выбора функций - принимаются построенные координатные функции метода перемещений для пластин по вариационному методу Власова – Канторовича, приведённые в работах А.В. Александрова, В.Н. Завьялова, А.М. Черняка.

Основная расчётная схема выбирается путём декомпозиции конструкции на отдельные конструктивно - ортотропные панели и рёбра и введения по линиям сочленения непрерывных распределённых связей четырёх типов, устраняющих продольные смещения, поперечные горизонтальные смещения, вертикальные перемещения, повороты вокруг продольной оси.

Панели нумеруются слева направо. Система координат местная для каждого элемента. Левая линия сочленения, ограничивающая левую кромку -ой панели будет иметь функциональные перемещения: ,,, , а правая линия сочленения соответственно: ,,,. Индексы при функциональных перемещениях подобраны так, чтобы они остались одними и теми же при переходе от одной панели к другой. Если панели расположены под углом друг к другу, то перемещения панели выражаются через перемещения панели по линии их сопряжения с учётом углов сопряжения.

Координатные функции для каждой отдельной панели задаём в виде суммы двух рядов. Функции, составляющие первый ряд, удовлетворяют однородным граничным условиям, дают нулевые значения по линиям сочленения элементов и удачно аппроксимируют перемещения во внутренней области панели. Составляющие второго ряда удовлетворяют неоднородным граничным условиям по линиям контакта отдельных панелей и подкрепляющих рёбер. Данные функции получены от принудительного смещения кромок отдельной панели по линейной теории. Принятые функции перемещений позволили лучше учитывать скачкообразное изменение жёсткостей, а также позволили рассматривать систему панелей.

Функционал полной энергии, выраженный через перемещения, на каждом этапе приближения зависит от механических характеристик , , которые переменны как по толщине, так и по поверхности конструкции и изменяются в процессе деформирования в виде сложных зависимостей.

Интегрирование внутри области проводится численными методами. При этом вся конструкция, как по поверхности, так и по толщине разбивается сеткой на узлы, в которых вычисляется удельная энергия – , суммирование которой с помощью квадратурных формул Симпсона даёт возможность вычислить функционал. Поверхность панели разбивается сеткой, при этом в каждом узле сетки просчитываем удельную энергию, учитывающую интегрально механические характеристики. Интегралы берутся по толщине панели численно. Далее интегрируем по продольной оси х. По формуле Симпсона вычисляем энергию, приходящуюся на единицу длины панели вдоль каждой полосы, а затем вычисляется энергия на каждой полосе. Суммируя по квадратурной формуле в поперечном направлении, получаем общую энергию. Потенциальная энергия панели, приходящаяся на единицу поверхности, записывается в виде:

,

где интегральные жесткостные параметры оболочки:

j=1,2,3.

Потенциальные энергии деформаций продольного и поперечного рёбер, приходящиеся на единицу длины, записываются в виде:

где интегральные жесткостные параметры ребра:

; ; ; j=1,2,3.

Общая энергия, выраженная через варьируемые параметры, примет вид: . Где А(n), В(n), С(n) – варьируемые параметры;

В данной работе применяется МППУ. Отметим, что если изменение секущего модуля упругости – Ес в работах, применяющих МППУ, учитывается всегда, то изменение функции сжимаемости - с нет, обычно берется с=const. Чтобы обойти этот момент на каждом этапе приближения, в работе предложено применять дополнительный итерационный процесс для уточнения с. Итерации следуют до тех пор, пока значения с в двух соседних приближений не будут отличаться друг от друга в пределах заранее заданной точности. По найденным, в последней итерации, варьируемым параметрам определяются перемещения, деформации и напряжения в любой точке конструкции, определяются зоны растяжения и сжатия, а также, если задача упругопластическая, строятся зоны пластичности.

В данной главе дано обоснование применения метода предложенного Х.М. Муштари. Нелинейность учитывается по одной из главных гармоник, а по остальным берется линейное решение, применительно к расчету подкрепленных пластин и пологих оболочек переменной толщины с отверстием с учетом физической и геометрической нелинейностей, и разномодульности материала при силовой нагрузке и температурном воздействии. Для выделения главной гармоники действующая нагрузка раскладывается в ряд. Для нагрузки, разложенной по главной гармонике, ведется расчет с учетом нелинейности, а с остальными членами ряда по нагрузке расчет проводим в линейной постановке.

В четвертой главе также дается обоснование и описание алгоритма применения обобщённого метода Власова – Канторовича для расчёта панелей с разрывными параметрами, который улучшает сходимость по координатам х, у и позволяет удовлетворять как геометрическим, так и статическим граничным условиям. Это расширяет круг решаемых задач и возможности метода.

Пятая глава посвящена вопросам исследования возможностей применения построенного алгоритма для расчета разномодульных прямоугольных пластин и пологих оболочек переменной толщины с прямоугольными отверстиями с учетом физической и геометрической нелинейностей. Для оценки эффективности предложенного алгоритма, точности и достоверности результатов, полученных на его основе, решен ряд тестовых примеров. Исследовано влияние густоты сетки для численного интегрирования и числа членов ряда функций перемещений на точность решения и определены параметры, при которых получается решение с достаточной для практики точностью. Даны соответствующие рекомендации.

Гладкие пластины и оболочки из линейно-упругого материала с учетом геометрической нелинейности наиболее изучены. Результаты имеются в работах Д.В. Вайнберга. Рассматривалась шарнирно закрепленная квадратная пластинка при равномерно распределенной нагрузке. Из анализа результатов расчётов следует, что по прогибам получаем результаты достаточно близкие к точным при взятии трех гармоник и сетки одна восьмая протяженности, а по напряжениям при пяти гармониках и сетке одна шестнадцатая протяженности.

Проводилось исследование поведения шарнирно закреплённой пологой оболочки в виде эллиптического параболоида с учетом пластических деформаций при поперечной равномерно распределенной нагрузке. Материал Ст3. В диссертации выполнено сравнение зависимостей прогиб - нагрузка, приведенных в работах А.И. Стрельбицкой и полученных по предложенному в данной работе способу. Из анализа результатов расчетов следует, что предлагаемый алгоритм позволяет учесть физическую нелинейность и дает достоверный результат. Для рассматриваемой оболочки, также проведены вычислительные эксперименты с учетом двойной нелинейности. При учете двойной нелинейности прогиб увеличился. Аналогичные выводы получены при расчёте пологой оболочки из материала из материала Д16Т. Из приведенных примеров следует, что алгоритм позволяет учесть двойную нелинейность. Неучёт которой ведет к большим погрешностям, особенно для оболочки из более мягкого материала.

В данной главе приведено сравнение результатов расчета прямоугольных, жестких пластин при изгибе, выполненных из материала с переменным, по толщине пластины, модулем упругости и пределом текучести (неоднородность является функцией поперечной координаты), с приведенными результатами, полученными в работах А.И. Стрельбицкой, где решение задачи проводилось методом конечных разностей на основе деформационной теории пластичности, с применением метода дополнительных нагружений.

Результаты исследований, полученные по разработанному в диссертационной работе методу и алгоритму, практически совпали. Особенно высокие совпадения по прогибам. Из анализа полученных результатов и сравнения их с известными ранее следует, что предлагаемый алгоритм позволяет учесть в расчетах поперечную неоднородность тонкостенных элементов конструкции.

В работе рассматривалась тонкая прямоугольная пластинка из несжимаемого нелинейно-упругого материала, находящаяся под действием поперечной распределенной нагрузки q(x,y) и взаимодействующая с температурным полем. Температура в любой точке пластинки представлялась с учётом градиента температуры по толщине. Считается, что свойства материала, а именно, нелинейная диаграмма деформирования и коэффициент линейного расширения зависит от . Учёт этих обстоятельств осуществляется путем построения аппроксимирующих зависимостей предложенных в работах И.И. Гольденблата и Н.А. Николаенко:

Рассматривалась прямоугольная , шарнирно опертая по контуру пластинка из сплава Д16АТ: .

Результаты, полученные по предложенному алгоритму сравнивались с полученными П.К. Семёновым методом последовательных возмущений параметров. Анализ проведенных исследований показал, что разработанный в работе метод и алгоритм, позволяют учесть физическую нелинейность и температурное воздействие, в том числе и в тех случаях, когда физические характеристики зависят от температуры.

В главе также приведёны результаты расчета на изгиб пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости. Рассматривались задачи изгиба прямоугольных пластинок и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости под действием поперечной нагрузки.

Выполнялся расчет пластины и пологой оболочки ступенчато-переменной жесткости с размерами в плане , шарнирно закрепленные по контуру, находящиеся под равномерно распределенным внешним давлением постоянной интенсивности. В центральной утолщенной части, размерами , соотношение цилиндрических жесткостей принималось равным восьми. Результаты расчетов, полученные по предложенному методу и алгоритму сравнивались с полученными М.С. Корнишиным и А.П Грибовым в линейной постановке энергетическим методом. Анализ результатов показывает, что разработанный алгоритм позволяет учесть ступенчатые изменения жесткости и дает результаты расчетов с высокой степенью точности.

Расчет пластин с отверстиями на прочность рассматривался в сравнении с результатами, полученными в работе В.И. Липкина. Рассчитывалась на изгиб квадратная шарнирно опертая по всему внешнему контуру пластина, загруженная равномерно распределенной нагрузкой. В центре пластины имелось квадратное отверстие, сторона которого равна . Результаты расчетов их анализ получены на различных приближениях и представлены в диссертации. Эпюры прогибов, изгибающих моментов построены с шагом и при 3, 5 и 7 гармониках

Эпюры прогибов, построенные при 5 гармониках, практически совпадают с эпюрами, построенными при 7 гармониках. Эпюры, построенные при 3 гармониках ряда , имеют наибольшее отклонение от эпюры, построенной при 7 гармониках, в точке на - 8%. В этой же точке прогиб, определенный при 5 гармониках, отличается от значения прогиба, вычисленного при 7 гармониках, всего лишь на 1%. Анализ результатов показывает, что при определении прогибов достаточно взять для решения задачи 5 гармоник аппроксимирующего ряда .

В работе представлены эпюры моментов в направлении оси . По результатам расчета видно, что моменты, определенные при 5 и 7 гармониках ряда функций перемещений по линиям, не пересекающим отверстие, практически совпадают. Несколько хуже совпадение результатов по линиям, пересекающим отверстие. Поэтому для построения эпюр моментов в аппроксимирующем ряде необходимо удержать до 7 гармоник в функциях перемещений. Выводы о недостаточной сходимости решения на контуре отверстия и вблизи его хорошо иллюстрируются на приведенных эпюрах. Анализ результатов исследований показывает, что при 7 гармониках область больших погрешностей в значениях моментов распространена всего лишь на . Однако, определить моменты на этих участках, экстраполируя на них моменты, полученные в области отстоящей от контура отверстия, очевидно не трудно. Исключение составляют области концентрации напряжений (углы отверстий), которые считаются закругленными. Таким образом, результаты расчетов показывают, что разработанный в работе метод и алгоритмы позволяет определять НДС оболочек с отверстиями.

В работе приведены примеры расчёта гибких пластинок, толщина которых изменялась в поперечном направлении по синусоидальному закону и по линейному закону ; величина r варьировалась от 0 до 2.

Приведены кривые зависимости нагрузка-прогиб и нагрузка-интенсивность напряжений для точек на верхних, средних и нижних поверхностях при разном изменении толщины Наиболее жесткой оказались пластинки с профилем и менее жесткой при . Наиболее напряженной являются пластины с поперечным профилем -, а менее напряженной с поперечным профилем -. Кривые нагрузка-интенсивность напряжений в срединной поверхности близки к линейным. Для верхних волокон эти зависимости нелинейны и имеют большой радиус кривизны для профиля -. При определенной нагрузке интенсивность напряжений уменьшается, что указывает на значительно влияние мембранных растягивающих усилий. Полученные результаты совпали достаточно точно с приведёнными в работах В.А. Крысько. Анализ проведенных вычислительных экспериментов показывает, что предложенный метод и алгоритм позволяют учитывать плавное изменение толщины тонкостенных элементов и могут быть применены при их оптимальном проектировании.

В работе рассматривается прямоугольная в плане пластина ступенчато переменной толщины , , с размерами сторон шарнирно - неподвижно опертая по внешнему контуру и нагруженная равномерно распределенной нагрузкой - . Материал СЧ 12-28, разномодульный.

Расчеты велись для двух типов пластин с утонченной и утолщенной средней частью. Для первой пластины толщины: 1,5см, 1.0см, 1,5см, для второй пластины толщины: 1см, 1,5см, 1.0см, при этом . НДС характеризовалось по прогибам и интенсивности напряжений. Эпюры для разных типов пластин отличаются количественно и качественно. Так наибольший прогиб возникает в пластине с утонченной средней частью. Однако большая интенсивность напряжений возникает в месте изменения толщин в пластине с утолщенной средней частью. Отметим резкое изменение интенсивности напряжений в местах изменения толщин. При этом независимо от изменения толщины напряжения уменьшаются в месте изменения толщин к центру. На приведенных в диссертации зависимостях видно влияние геометрической нелинейности. Большие величины интенсивности напряжений возникают в верхних волокнах из-за разномодульности материала, так как модуль упругости на сжатие выше модуля упругости на растяжение. Анализ результатов расчета указывает на существенное влияние на НДС ступенчатых пластин геометрической нелинейности и разномодульности материала. Отметим, что более жесткой и напряженной является пластина с утолщенной средней частью. Результаты полностью совпали с приведенными в работах В.Н. Завьялова и О.Н. Попова.

В диссертации приведен пример расчета реальной конструкции. Рассчитана конструктивно ортотропная плита с главными ребрами жесткости на действие колесной нагрузки. Геометрические и физические параметры: стальной лист ; главные ребра ; утолщения ; второстепенные ребра . Плита разбита на четыре панели главными ребрами жесткости и колесной нагрузкой. Построены графики зависимости “нагрузка-прогиб”, “нагрузка-интенсивность напряжений” для центральной точки нижней поверхности второстепенного ребра. Текучесть в нижних волокнах возникает при , после возникновения которой происходит отклонение от линейного решения.

а) d)

e)

b)

c)

Рис. Ортотропная плита под действием колесной нагрузки.

a) Геометрические и физические параметры; b) Эпюра прогибов по оси симметрии; c) Эпюра интенсивности напряжений по оси симметрии;

d) График нагрузка-прогиб в центре плиты; e) График нагрузка-интенсивность напряжений в центре плиты.

Приведены эпюры прогибов и интенсивности напряжений вдоль оси симметрии плиты при трех нагрузках , , .

Анализ результатов расчетов показывает, что построенный алгоритм позволяет учитывать дискретное подкрепление ребрами и учитывать поперечную нагрузку в виде полосовой.

Исследовано НДС квадратных шарнирно закреплённых пластин из материала Ст3. Из рассмотрения изменения основных характеристик следует, что для квадратной пластины с шарнирным закреплением по контуру из материала с диаграммой деформирования по Прандтлю находящейся под действием равномерно распределённой нагрузки расчёт можно производить: с учётом только физической нелинейности при отношении толщины к длине 10 (); с учётом только геометрической нелинейности при (); в остальных случаях необходим учёт геометрической и физической нелинейностей. При ограничениях на прогибы (меньше 1/150 длины) расчёты можно проводить в линейной постановке при гибкости .и с учётом только геометрической нелинейности при . При граничных условиях с защемлением необходим учёт физической нелинейности, так как текучесть возникает возле защемления при нагрузке примерно в два раза меньшей чем при ограниченном прогибе.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Получен функционал полной энергии системы в аналитической форме. Из которого, как частные случаи, следуют функционалы без учёта физической и геометрической нелинейностей. Для физической линеаризации функционала применен метод переменных параметров упругости. Для поиска варьируемых параметров на каждом этапе приближения задачи применяются методы прямого поиска, минимизирующие многопараметрическую функцию.
2. Доказана целесообразность применения энергетического метода с использованием основной расчётной схемы метода перемещений для расчета неоднородных прямоугольных пластин и пологих оболочек переменной толщины с рёбрами жёсткости, отверстиями и накладками с учетом физической и геометрической нелинейностей, разномодульности под действием температурной и силовой нагрузок.
3. Разработаны аналитический метод и алгоритмы расчета неоднородных прямоугольных пластин и пологих оболочек переменной толщины с рёбрами жёсткости, отверстиями и накладками с учетом физической и геометрической нелинейностей, разномодульности под действием температурной и силовой нагрузок.
4. В предложенном алгоритме заложен способ выделения главной части решения по Х.М. Муштари, позволяющий учитывать нелинейность задачи только по главным гармоникам.
5. Проведены вычислительные эксперименты по исследованию точности и сходимости результатов расчёта. Показано, что НДС рассматриваемых тонкостенных конструкций с достаточной для практики точностью получается при сравнительно небольшом числе членов ряда в функциях перемещений и не очень густой сетке для численного интегрирования. Даны практические рекомендации по их выбору.
6. Исследованы возможности предложенного метода и алгоритмов расчёта для широкого круга задач с учётом разрывных параметров и нелинейностей различного вида. Ряд задач решён впервые. Исследовано НДС квадратных шарнирно-закреплённых пластин и с защемлением из материала Ст3. Установлены границы применения нелинейного и линейного расчётов.

Основное содержание диссертации отражено в публикациях:

1. Малиновский А.П., Моисеенко М.О. Алгоритм расчета железобетонных плит и пологих оболочек переменной толщины с прямоугольными отверстиями с применением обобщенных функций // Архитектура и строительство. Наука, образование, технологии, рынок: тезисы докладов НТК. Секция “Проблемы развития теории сооружений и совершенствования строительных конструкций” 11-12 сентября 2002г., г.Томск. 2002.- С. 114.
2. Малиновский А.П., Моисеенко М.О., Попов О.Н. Обзор по исследованиям тонкостенных элементов конструкций переменной толщины (1990 – 2002гг) // Томск. гос. архит.-строит. ун-т Томск, 2003.- 26 с.: библиогр. 163 назв.-Рус.- Деп. в ВИНИТИ 22.01.2003, №145-В2003.
3. Moiseenko M.O. Calculation of reinforced concrete slabs, folds and sloping covers with breaking parameters, taking into account crack-forming // 8th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology. Vol. 2. June 26 – Jule 3, 2004 At Tomsk Polytechnic University, RUSSIA. – P. 329- 331.
4. Malinovsky A.P., Moiseenko M.O., Popov O.N., Possible Approaches to Description of Unlinear Elastic Materials Behavior of Different Modules // 8th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology. Vol. 3. June 26 – Jule 3, 2004 At Tomsk Polytechnic University, RUSSIA. – P. 45- 48.

Изд. Лиц. №021253 от 31.10.1977. Подписано в печать 04.11.2004.

Формат 60х84 1/16. Усл.-печ. Л. 1,0.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Заказ №

ООП ТГАСУ:

634003, Томск, ул. Партизанская, 15.