Структура и гидродинамическая устойчивость закрученных потоков с зонами рециркуляции
На правах рукописи
Ахметов Вадим Каюмович
СТРУКТУРА И ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
ЗАКРУЧЕННЫХ ПОТОКОВ С ЗОНАМИ РЕЦИРКУЛЯЦИИ
Специальность 05.23.16 – гидравлика и инженерная гидрология
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
доктора технических наук
Москва 2009
Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московском государственном строительном университете
Научный консультант: доктор физико-математических наук,
профессор
Шкадов Виктор Яковлевич
Официальные оппоненты: доктор технических наук
Беликов Виталий Васильевич
доктор технических наук,
профессор
Животовский Борис Анатольевич
доктор технических наук,
доцент
Ханов Нартмир Владимирович
Ведущая организация: Институт проблем механики
им. А.Ю. Ишлинского РАН
Защита диссертации состоится «___» ___________ 2009 года в __ ч. __ мин. на заседании диссертационного совета Д 212.138.03 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете по адресу: Москва, Спартаковская ул., дом 2/1, ауд. 212.
С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО МГСУ.
Автореферат разослан «___» _____________ 2009 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Г.В. Орехов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Закрученные потоки характеризуются чрезвычайным разнообразием. В природе – это смерчи, торнадо, воронки. В технических приложениях закрученные потоки используются в двигателях, турбинах, промышленных печах, топках и котлах, устройствах для распыления, струйных насосах, теплообменных аппаратах, сепараторах, химических реакторах и т.д. Вихри, сходящие с передней и задней кромок летательных аппаратов, являются примерами свободных закрученных потоков и представляют большой интерес с точки зрения аэродинамики.
Широкое применение закрученные потоки получили в гидротехническом строительстве (отсасывающие трубы гидротурбин, вихревые водосбросы, контрвихревые гасители энергии, контрвихревые аэраторы) и теплоэнергетическом строительстве (ядерные реакторы, теплообменники, парогенераторы, комбинированные высотные сооружения современных ТЭС).
На протяжении последних десятилетий активно ведутся всесторонние исследования закрученных потоков. Среди отечественных и зарубежных исследователей, внесших заметный вклад в становление, применение и развитие современных теоретических и экспериментальных методов изучения закрученных потоков, ни в коей мере не претендуя на полноту списка, следует отметить Г.Н. Абрамовича, С.В. Алексеенко, Р.Б. Ахмедова, Э.П. Волчкова, А.С. Гиневского, М.А. Гольдштика, Ф.Т. Каменьщикова, С.С Кутателадзе, П.А. Куйбина, А.П. Меркулова, В.Л. Окулова, В.И. Терехова, Б.П. Устименко, А.А. Халатова, Н.В. Ханова, В.К. Щукина, А.К. Гупту, С. Лейбовича, Д.Г. Лилли, Н. Сайреда, М.Р. Эскудье.
В Московском государственном строительном университете (МГСУ) исследования закрученных потоков активно проводятся на факультете гидротехнического и специального строительства на кафедрах использования водной энергии, гидравлики, гидротехнического строительства, в научно-исследовательской лаборатории закрученных потоков. Значительный вклад в разработку и внедрение различного рода вихревых устройств в области гидротехники и гидроэнергетики внесли В.В. Волшаник, М.Ф. Губин, Ф.Ф. Губин, Б.А. Животовский, А.Л. Зуйков, В.В. Казеннов, В.Я. Карелин, Г.И. Кривченко, А.П. Мордасов, Г.В. Орехов, С.М. Слисский.
Постановка физического эксперимента для моделирования конкретных задач часто оказывается трудоемкой и дорогостоящей. В связи с этим математическое моделирование закрученных потоков является важнейшим инструментом исследований. С его помощью во многих случаях удается воспроизвести детальную картину исследуемых течений, рассчитать основные характеристики потока и на основе этого представить рекомендации по улучшению эффективности работы соответствующего устройства, уменьшению стоимости затрат на его производство или строительство, обеспечению наиболее грамотной технической эксплуатации, в том числе, с наименьшим экологическим ущербом для окружающей среды.
Исследования устойчивости внутренних (ограниченных твердыми стенками) закрученных потоков имеют важное значение при разработке различного рода технических устройств, так как позволяют провести выбор оптимального, а часто и безопасного, режима работы. Изучение устойчивости свободных закрученных потоков (в неограниченной среде) актуально в области аэродинамики.
В современной гидравлике активно используются методы и достижения гидромеханики, которые на сегодняшний день совершенно необходимы для решения сложных практических задач. Основой для математического моделирования закрученных потоков являются фундаментальные законы движения механики сплошных сред. Построить модель сплошной среды – означает получить замкнутую систему уравнений, описывающих ее движения. Для вязкой жидкости и газа это система уравнений Навье–Стокса. При рассмотрении конкретных приложений используются более сложные модели, в частности, учитывающие двухфазность, теплообмен и турбулентность потока. Решение поставленных задач в силу их сложности в настоящей работе проводится численно.
Цель и задачи исследования.
Целью диссертационной работы является комплексное исследование закрученных потоков, направленное на совершенствование конструкций и повышение эффективности работы вихревых устройств, гидротехнических объектов и теплоэнергетических сооружений.
Для достижения указанной цели в работе поставлены и решены следующие задачи:
1. Разработаны математические модели и проведены расчеты закрученных течений в осесимметричных и кольцевых каналах, в том числе, с произвольной формой боковой поверхности, а также для течений в неограниченной среде.
2. Разработаны математические модели и проведены расчеты закрученных течений при наличии в потоке мелкодисперсной примеси и аэрированных струй.
3. Исследованы пределы существования интенсивных закрученных течений в пространстве управляющих параметров. В линейной постановке численно исследована задача устойчивости модельных и расчетных закрученных течений с зонами рециркуляции.
4. Разработан метод численного моделирования и проведены расчеты смешения закрученных турбулентных потоков в комбинированных высотных сооружениях.
Методы исследования.
Теоретические исследования закрученных потоков проводятся на основе системы уравнений Навье–Стокса, дополненными уравнениями диффузии, притока тепла и алгебраической моделью турбулентности. Поставленные начальные и начально-краевые задачи решаются численно. Соответствующие программы расчетов для ЭВМ составлены автором.
Научная новизна работы заключается в следующем:
- разработаны алгоритмы и создан эффективный комплекс программ для математического моделирования закрученных потоков на основе уравнений Навье–Стокса с применением модифицированной схемы Леонарда третьего порядка точности при аппроксимации конвективных членов;
- проведено численное исследование закрученных потоков в осесимметричном и кольцевом каналах, свободном вихре, модельной вихревой камере; в случае коаксиальной закрутки потоков впервые получена двухъячеистая структура рециркуляционной зоны и показано, что умеренная закрутка внешнего потока может приводить как к увеличению, так и к уменьшению зоны возвратного течения;
- разработана математическая модель движения аэрированной струи в массиве жидкости на основе метода интегральных соотношений и получены формулы для инженерных расчетов глубины распространения пузырьковой зоны;
- разработан эффективный метод численного исследования гидродинамической устойчивости закрученных потоков; для вихря Бэтчелора найдена новая вязкая мода неустойчивости; впервые обнаружено и исследовано свойство ветвления собственных решений, построены кривые нейтральной устойчивости для восьми мод с точками самопересечения и впервые показана неустойчивость течения при большой закрутке потока; проведено численное исследование устойчивости закрученных течений при наличии в потоке рециркуляционных зон; установлены предельные значения параметров, при которых закрученные потоки являются устойчивыми и могут быть реализованы;
- разработан метод расчета двухфазных вихревых течений, основанный на конвективно–диффузионной модели в приближении пассивной примеси; исследовано влияние рециркуляционных зон на процесс осаждения частиц в задачах распыления порошка, классификации частиц по размерам, течений в прямоточном пылеотделителе и гидротехническом отстойнике;
- разработана математическая модель и метод решения задачи о турбулентном смешении потоков в осесимметричном канале с произвольной формой боковой поверхности для экологически чистой технологии сжигания природного топлива в современных ТЭС; исследован эффект разгона струи в комбинированных высотных сооружениях за счет действия подъемной силы; рассчитаны картины линий тока, позволяющие проводить поиск оптимальных режимов течений для вытяжной трубы в комбинированных высотных сооружениях.
Практическая ценность.
Разработанные математические методы и комплекс программ позволяют проводить численное моделирование и исследовать гидродинамическую устойчивость закрученных потоков с произвольным заданием начального профиля скорости. Полученные результаты могут быть использованы для выбора оптимальных режимов течений в теплотехнических устройствах и строительных сооружениях, в которых для организации рабочего процесса используется предварительная закрутка потока. Результаты математического моделирования распространения аэрированной струи использовались ПО «Сибволокно» при создании комплекса из трех плавучих аэрационных установок на пруде-накопителе биологических очистных сооружений, Роскомводом при создании опытно-промышленного образца плавучей аэрационной установки для Белгородского водохранилища, Дирекцией Московского зоологического парка при создании системы струйно-вихревой аэрации и замкнутого водооборота Большого пруда. Результаты диссертационной работы использованы в руководстве по проектированию и конструкторской документации вихревых аэраторов на донных водовыпусках плотин и внедрены в учебный процесс кафедр использования водной энергии и информатики и прикладной математики (МГСУ) для преподавания дисциплин «Эксплуатация городских водных объектов», «Математическое моделирование» и «Вычислительная аэро-гидромеханика». Разработанные автором компьютерные программы расчетов зарегистрированы Всероссийским научно-техническим информационным центром и включены в общенациональный государственный фонд алгоритмов и программ.
Достоверность полученных результатов подтверждается применением фундаментальных законов механики сплошных сред, корректной постановкой начально-краевых задач и их численного решения, многократным тестированием программ, требуемой точностью вычислений и сравнением результатов численных решений с имеющимися результатами экспериментальных и аналитических исследований.
На защиту выносятся:
- результаты численного моделирования закрученных потоков на основе уравнений Навье–Стокса в осесимметричном канале с непроницаемыми и проницаемыми стенками, взаимодействия осевой струи с кольцевым закрученным потоком, коаксиально закрученных потоков в вихревой камере, течений с возвратными зонами в камере отстойника гидротехнических сооружений;
- методика исследования спектральной задачи устойчивости закрученных течений в рамках линейной теории;
- результаты численных исследований устойчивости модельных закрученных течений в осесимметричном канале и неограниченной среде;
- результаты численных исследований устойчивости расчетных течений при наличии в потоке рециркуляционных зон;
- результаты численного моделирования распространения аэрированной струи в массиве жидкости;
- математическая модель двухфазных закрученных течений на основе уравнения конвективной диффузии;
- результаты численного моделирования течений в вихревых устройствах при наличии в потоке мелкодисперсной примеси;
- математическая модель смешения турбулентных закрученных потоков на основе метода поверхностей равных расходов;
- результаты численного исследования течений с закруткой в комбинированных высотных сооружениях.
Личный вклад соискателя во все рассмотренные в диссертации задачи является основным. Автором осуществлялись: математические постановки всех задач, вошедших в диссертационную работу; разработка, обоснование и тестирование применяемых численных методов решения; разработка программного комплекса на языке Фортран–90/95 для моделирования вихревых течений и их устойчивости; проведение численных расчетов; анализ экспериментальных данных и их сравнение с результатами, полученными в рамках численных моделей; приложение теоретических результатов к практическим задачам гидравлики; подготовка текстов публикаций.
Апробация работы.
Результаты диссертационной работы докладывались на научных и научно-технических конгрессах, конференциях, симпозиумах, совещаниях и семинарах: школе молодых ученых «Численные методы механики сплошной среды» (Абакан, 1989); Всесоюзном научно-техническом совещании «Физическое и математическое моделирование гидравлических процессов при исследовании гидроузлов комплексного назначения» (Дивногорск, 1989); 10-й научной конференции Технического университета г. Брно (ЧССР, Брно, 1989); 2-м международном симпозиуме по межфазному массопереносу (США, Миннеаполис, 1990); 3-м международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике (Германия, Гамбург, 1995); научном семинаре «Экологическое образование в МГСУ: состояние, тенденции и координация» (Москва, 1996); семинаре по газожидкостным процессам в НИУИФ (Москва, 1999); 6-ом и 7-ом международных конгрессах по проблемам дробления и распыления жидкостей (ICLASS-6, Южная Корея, Сеул, 1997 и ICLASS-7, США, Пасадена, 2000); научном семинаре НИИ Механики МГУ по механике жидкости и газа (рук. акад. РАН Г.Г. Черный) (Москва, 2000); научной конференции МГУ им. М.В. Ломоносова «Ломоносовские чтения» (Москва, 2006); 6-ой научно-практической и учебно-методической конференции МГСУ «Фундаментальные науки в современном строительстве» (Москва, 2008); международной научно-практической конференции «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы» (Москва, 2008); 8-ой и 9-ой международных школах-семинарах «Модели и методы аэродинамики» (Евпатория, 2008, 2009); научных семинарах кафедр использования водной энергии, информатики и прикладной математики (МГСУ), аэромеханики и газовой динамики (механико-математический факультет МГУ им М.В. Ломоносова) в 1988–2008 г.г.
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 59 научных работ, из них 13 статей в журналах из перечня ВАК РФ, 1 – монография, 1 – учебное пособие.
Структура и содержание работы.
Диссертация состоит из введения, 5 глав, приложения, основных выводов и списка литературы. Общий объем диссертации 307 страниц, таблиц – 26, рисунков – 110, библиография включает 272 наименования.
Благодарности.
Автор выражает глубочайшее уважение и признательность своему единственному и бессменному в течение 30 лет научному руководителю д.ф.-м.н., проф. Виктору Яковлевичу Шкадову (мех-мат. факультет МГУ им. М.В. Ломоносова) за всестороннюю помощь, постоянное внимание и поддержку на всех этапах выполнения работы.
Автор также благодарен коллективам кафедр использования водной энергии, гидравлики, информатики и прикладной математики (МГСУ), аэромеханики и газовой динамики (мех-мат. факультет МГУ им. М.В. Ломоносова) за активное обсуждение и полезные замечания в ходе выполнения работы.
Работа выполнялась в период с 1988 по 2008 год при частичной финансовой поддержке грантов РФФИ №№ 94-01-01637, 97-01-00153, 00-01-00645, 03-01-00042, 06-01-00778 (руководитель проф. В.Я. Шкадов), а также в рамках межвузовской научно-технической программы «Архитектура и строительство» (1991-1997 г.г., руководитель проф. В.Я. Карелин).
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цель, задачи и практическая ценность диссертационной работы.
Первая глава посвящена обзору работ по исследованиям вихревых течений. Проанализированы современные направления применения закрученных потоков для различных технических приложений и задач строительства, из которых выделены следующие: создание эффективных установок по сжиганию пылевидного топлива для современных ТЭС; разработка контрвихревых гасителей энергии в гидротехническом строительстве и контрвихревых аэраторов в задачах инженерной экологии; оптимизация работы газотурбинных двигателей за счет использования закрутки потока в камерах сгорания; разработка и проектирование устройств циклонного типа для очистки газа от пыли, сепарации частиц, разделения жидких смесей, например, для очистки добываемой нефти, а также вихревых форсунок для распыления жидкостей; использование эффекта Ранка–Хилша в вихревых трубах для температурного разделения потоков.
Закрутка оказывает значительное воздействие на все основные характеристики течения и приводит к его кардинальной перестройке. При этом на оси течения или вблизи нее возможно возникновение критической точки (stagnation point – точки застоя) с нулевой скоростью, за которой формируется зона возвратного течения. Возникающая неустойчивость приводит к формированию вторичных вихревых движений, а также может быть причиной распада вихря.
Явление распада (разрушения) вихря (vortex breakdown) впервые было обнаружено в аэродинамических исследованиях при обтекании крыльев большой стреловидности. Возмущения типа распада вихря характеризуются внезапным отклонением оси вихря от первоначального направления или резким увеличением ядра вихря. На сегодняшний день зафиксировано восемь типов распада вихря. Наиболее часто встречаются два типа: пузыревидный (bubble breakdown) и спиральный (spiral breakdown). Пузыревидный распад характеризуется наличием критической точки на оси течения, за которой следует почти осесимметричная оболочка рециркуляционной зоны. В задачах, связанных с горением, такие области рециркуляции служат своеобразным держателем пламени. В других технических устройствах, например, в комбинированных высотных сооружениях для сжигания топлива, образование зон противотока нежелательно, так как может приводить к чрезмерному торможению основного течения.
Явление распада вихря тесно связано с устойчивостью закрученного течения. Существует несколько общих критериев устойчивости для закрученных течений, однако они носят преимущественно достаточный характер и не позволяют получить точных характеристик устойчивости потока. Поэтому основным инструментом исследования гидродинамической устойчивости закрученных течений является численное моделирование методом возмущений.
Для многих практических задач гидравлики закрученного потока в трубах профили осевой 
и азимутальной 
скоростей хорошо описываются следующими функциями:
(1)
где 
, 
, 
, 
– эмпирические определяемые константы, 
– безразмерное (отнесенное к радиусу трубы) расстояние от оси.
Выражения (1) путем элементарных преобразований могут быть сведены к виду:
, (2)
часто называемому 
– вихрем. Профили (2) выводятся теоретически из автомодельного решения уравнений Навье–Стокса, полученного Бэтчелором для вязкого закрученного следа, как асимптотические приближения при 
. Параметр 
характеризует закрутку потока. Исследованию временнй и пространственной устойчивости течения (2) по отношению к неосесимметричным возмущениям вида 
уделялось в последние годы большое внимание. В частности, установлено, что частота колебаний в следе после распада вихря соответствует моде 
.
Явление разрушения вихря во многом послужило поводом к изучению устойчивости и других модельных закрученных течений, к числу которых относятся вихри Рэнка, Лонга, Бюргерса, Гаусса, а также течение Пуазейля во вращающейся трубе. В течение последних лет опубликован ряд работ, посвященных изучению перехода от конвективной к абсолютной неустойчивости вышеперечисленных течений. Однако, несмотря на имеющиеся успехи в исследовании пространственно-временнй неустойчивости закрученных течений, на сегодняшний день не существует простого единого критерия, в полной мере объясняющего явление распада вихря.
Вторая глава посвящена численному исследованию закрученных течений на основе решения полной системы уравнений Навье–Стокса, которая в цилиндрической системе координат 
в предположении ламинарности и осесимметричности течения относительно функции тока 
, завихренности 
и азимутальной скорости 
имеет вид:
, (3)
, (4)
, (5)
. (6)
Система уравнений (3)–(6) записана в консервативной безразмерной форме. Продольные 
и поперечные 
скорости отнесены к характерному значению 
, азимутальная скорость 
– к характерному значению 
, координаты – к характерному размеру 
, время – к величине 
. Система уравнений (3)–(6) содержит два безразмерных параметра: число Рейнольдса 
, в котором 
– кинематическая вязкость, и параметр закрутки 
.
Течение рассматривается в цилиндрической области 
( 
, 
), ограниченной плоскостями 
0, 
и поверхностью вращения 
. В случае течения в осесимметричном канале расчетная область ограничена твердой поверхностью 
1, в случае свободного вихря – условной границей 
.
Основные входные данные, определяющие развитие потока в области 
, задаются в начальном сечении 
0:
(7)
Радиальная скорость, как правило, предполагается равной нулю. Функции 
, 
берутся либо из экспериментальных данных, либо выводятся из теоретических рассмотрений. Первая из возможностей относится к случаю, когда начальное поле формируется с помощью специальных устройств; такие течения организуются в трубах для технических приложений. Вторая возможность возникает в тех случаях, когда вихревое течение с закруткой формируется вследствие естественного развития потока. В частности, свободный концевой вихрь образуется за крылом самолета вследствие отрыва потока с концевой кромки.
Таким образом, при 
0 имеется некоторый поток с определенной начальной закруткой. Требуется определить дальнейшую структуру такого первоначального закрученного течения в области 
.
Для решения системы (3)–(6) необходимо задать условия для 
, 
и 
на всей границе рассматриваемой области. При 
0 такие условия могут быть получены, исходя из заданного распределения скоростей (7) путем простого пересчета. В выходном сечении использовались мягкие граничные условия
. (8)
На боковой поверхности расчетной области для закрученного течения в осесимметричном канале выставляются условия прилипания
, (9)
а для закрученных течений в неограниченной среде
. (10)
Условия (10) предполагают, что при 
течение является безвихревым и не допускают протекания жидкости через границу.
На оси течения имеем следующие условия симметрии потока
. (11)
В ходе вычислений ставилась задача получить стационарное течение, определяемое уравнениями (3)–(6) и граничными условиями (7)–(11). Для этого применялся метод установления по времени и находилось предельное решение, устанавливающееся при 
от заданных начальных условий
.
Решение уравнения Пуассона (3) определялось по методу неполной редукции, уравнения переноса (4)–(5) решались с помощью неявного метода блочной итерации. Аппроксимация диффузионных членов осуществлялась центральными разностями. При аппроксимации конвективных членов использовалась модифицированная схема Леонарда с квадратичными разностями против потока третьего порядка точности, в которой явным образом выделялась классическая противопоточная схема, а в источниковую часть уравнения добавлялись соответствующие корректирующие потоки. Для аппроксимации производных по времени использовалась схема Эйлера. При решении уравнения (4) относительно завихренности границы расчетной области, на которых формально не заданы условия для 
, смещались на один шаг сетки внутрь расчетной области 
, а значения на них рассчитывались исходя из разностной аппроксимации уравнения (3) с использованием односторонней четырехточечной аппроксимации для 
.
На основе данного алгоритма, детали которого представлены в приложении к диссертации, проведены расчеты закрученных течений в осесимметричном канале (в том числе, с проницаемыми стенками), неограниченной среде, в вихревой камере при коаксиальной закрутке потоков, в случае взаимодействия струи с кольцевым закрученным потоком.
Вычисления полей течений проводились при 100
1000 в диапазоне закрутки 
. Длина расчетной области составляла 
10 – 30 радиусов канала, расчетная сетка содержала от 41129 до 121513 узлов в зависимости от рассматриваемой задачи.
Расчеты закрученных течений в осесимметричном канале показали, что в зависимости от комбинации чисел 
и 
, в приосевой части канала может формироваться одна или две зоны возвратного течения. Эти рециркуляционные области имеют тороидальную структуру с замкнутыми линиями тока. Пример такого течения показан на рис. 1. Дополнительный вдув в радиальном направлении на части боковой поверхности трубы приводит к уменьшению размеров рециркуляционных зон, вплоть до полного их устранения. Данная задача актуальна для проектирования систем тепловой защиты, в которых широко используется вдув охладителя через проницаемую стенку.
Для расчетов закрученных течений в неограниченной среде применялось преобразование координат, позволяющее произвести сгущение расчетной сетки вблизи оси течения. Проведенные вычисления показали, что так же, как и в случае течения в осесимметричном канале, существует некоторое критическое значение закрутки, при котором вблизи оси течения образуется замкнутая область возвратного течения. При увеличении закрутки увеличивается диаметр этой области, минимальная скорость на оси потока уменьшается, передняя точка торможения 
смещается вниз по потоку, а задняя 
– вверх, в результате чего линии тока за областью возвратного течения образуют характерный петлеобразный изгиб.
Рассчитанные профили осевой и азимутальной компонент скорости для течений в неограниченной среде сравниваются с автомодельным решением (2). На начальном участке (
2,5) имеет место довольно значительное отличие расчетных профилей от автомодельного решения. Особенно сильно это проявляется за рециркуляционной зоной. С увеличением 
расчетные профили приближаются к автомодельным, причем соответствие быстрее устанавливается в приосевой области (
1).
Задача о взаимодействии осевой струи с кольцевым закрученным потоком актуальна в связи с проблемами моделирования течений в газовых турбинах, вихревых камерах и газовых завесах. Рассматривается случай, когда два коаксиальных потока, разделенные тонкой кольцевой перегородкой – внутренний незакрученный и внешний с закруткой – поступают в цилиндрический канал и интенсивно в нем взаимодействуют.
Наиболее важные свойства течений, обнаруженные при исследовании – возникновение приосевой зоны рециркуляции при достижении критического значения закрутки, образование вниз по потоку за этой зоной вторичной области рециркуляции, формирование кольцевой рециркуляционной зоны за счет разделения внутренним струйным потоком первой зоны. Характерный пример течения, на котором видны все перечисленные выше особенности, представлен на рис. 2.
Коаксиально закрученные потоки используются в вихревых камерах сгорания для стабилизации процесса горения. Вращение может происходить как в одинаковых, так и в противоположных направлениях. Закрутка потока приводит к образованию в приосевой части течения рециркуляционной зоны с тороидальной структурой, которая служит своеобразным держателем пламени. Проведенными численными исследованиями установлено, что внешний поток оказывает значительное влияние на форму, структуру и размеры области возвратного течения. При увеличении сильной закрутки внешнего потока в противоположном и в одинаковом направлениях по отношению к внутреннему потоку размеры рециркуляционной зоны увеличиваются. Увеличение умеренной закрутки внешнего потока может приводить как к увеличению приосевой области возвратного течения, так и к ее уменьшению вплоть до полного ее исчезновения.
На примерах задач о взаимодействии струи с кольцевым закрученным потоком и взаимодействии двух коаксиально закрученных потоков продемонстрирована возможность использования предложенной модели для расчета турбулентных закрученных течений. Для этого вводятся в рассмотрение эффективные значения коэффициентов турбулентной вязкости в продольном и азимутальном направлениях, через которые определяются эффективные значения числа Рейнольдса и параметра закрутки. Результаты расчетов краевой задачи (3)–(11) с этими эффективными параметрами достаточно хорошо соответствуют имеющимся экспериментальным данным и вычислениям по двухпараметрической 
модели турбулентности. Сравнение расчетов с экспериментами для задачи о взаимодействии двух коаксиально закрученных потоков представлено на рис. 3. В целом за счет выбора соответствующих эффективных параметров удается правильно описать крупномасштабные вихревые структуры (такие, как рециркуляционные зоны) в рамках уравнений Навье–Стокса.
Третья глава посвящена исследованию устойчивости закрученных течений. Пусть имеется однородное осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидкости с полем скоростей
. (12)
Рассмотрим малые возмущения течения (12) как решения линеаризованных уравнений Навье–Стокса типа бегущей волны (нормальные моды):
, (13)
в которых 
– давление; 
– волновое число; 
– мода возмущения 
; 
– скорость распространения волны; 
– мнимая единица. Для комплексных амплитудных функций 
, 
, 
, 
получаем систему уравнений
,
, (14)
,
, 
,
где штрих означает производную по 
. Граничные условия для системы (14) при 
выводятся из требований регулярного поведения решения вблизи оси и имеют вид:
, 
– ограничены при 
,
, 
– при 
, (15)
– при 
.
Для ограниченных течений в осесимметричном канале на стенке при 
выставляются условия
, (16)
а для течений в неограниченной среде условия затухания возмущений на бесконечности
. (17)
Можно рассматривать возмущения (13) периодические по 
, амплитуда которых меняется со временем. Тогда 
– действительное число, (
, где 
– длина волны возмущения), а 
– комплексное; 
представляет собой скорость распространения возмущения в направлении 
(фазовая скорость), 
– скорость нарастания возмущения по времени. При 
амплитуды возмущения (13) затухают (течение устойчиво), а при 
– растут с течением времени (течение неустойчиво).
В другом случае изучают поведение возмущений (13) периодических по времени с амплитудой, изменяющейся в направлении 
. Тогда следует считать частоту 
действительной, а число 
– комплексным; 
определяет скорость пространственного нарастания возмущения. При 
возмущение затухает (течение устойчиво), а при 
– растет (течение неустойчиво).
Метод расчета собственных значений для однородной краевой задачи (14) относительно неосесимметричных возмущений (13) с условиями (15)–(17) включает несколько этапов. Вблизи особых точек 
и 
(для течений в неограниченной среде) строятся асимптотические решения по методу Фробениуса, которые позволяют перенести граничные условия в точки 
и 
соответственно. Далее от 
и 
(
для течений в канале) решения продолжаются внутрь расчетной области численным интегрированием по методу Рунге–Кутта с автоматическим выбором шага и контролируемой точностью, причем на каждом шаге интегрирования проводится процедура ортогонализации по методу Грамма–Шмидта. Численные решения склеиваются в точке 
путем решения методом Ньютона соответствующего характеристического уравнения.
Исследована устойчивость течения в канале с твердыми непроницаемыми стенками с профилями скоростей, аналогичным вихрю Бюргерса. Построены зависимости коэффициентов усиления и частот колебаний от волнового числа. Определено критическое значение закрутки, при которой течение становится неустойчивым. Проведено сравнение полученных результатов с расчетами устойчивости течения Пуазейля во вращающейся трубе.
Для течения типа свободного вихря (2) рассмотрена спектральная задача (14), (15), (17) с тремя свободными параметрами 
, 
, 
. Интерес к исследованию устойчивости данного течения связан с тем, что профили скоростей закрученного потока в трубах для большого количества технических приложений могут быть сведены к распределению (2). Значение волнового числа в большинстве расчетов полагалось равным 
, так как в этом случае отмечаются наиболее опасные возмущения. Проведенные вычисления показали существование до восьми неустойчивых мод одновременно, одна из которых вязкая, а остальные – невязкие. Для всех неустойчивых мод определены критические числа Рейнольдса и максимальные коэффициенты усиления. Наибольший коэффициент усиления соответствует невязкой моде с наименьшим критическим числом Рейнольдса. Другие невязкие моды более слабые, причем чем ниже критическое число Рейнольдса, тем мода более неустойчива. Фазовые скорости, соответствующие максимальным коэффициентам усиления, положительны для наиболее неустойчивой невязкой моды и единственной вязкой моды и отрицательны для всех остальных мод.
Для каждой моды неустойчивости в плоскости свободных параметров (
,
) при 
построены нейтральные кривые 
0. Показано, что нейтральные кривые моды 
описываются отдельным замкнутым контуром только при значениях 
, близких к критическому для данной моды. По мере продвижения по 
от критической точки возникают ее бифуркации со вновь возникающими модами. При этом форма области неустойчивости качественно меняется: происходит скачкообразное изменение границ отдельных областей неустойчивости, а нейтральные кривые объединяются в единую кривую сложной формы с точками самопересечения. Характерные картины нейтральных кривых представлены на рис. 4. Обнаруженное свойство ветвления собственных решений связано с существованием кратных корней в исходной постановке задачи на собственные значения.
Проведенные численные исследования установили существование неустойчивых невязких мод течения (2) при больших значениях параметра закрутки потока 
. Анализ выполненных расчетов показывает, что для 
и умеренных чисел Рейнольдса Re~103 неустойчивость связана с основной модой, имеющей минимальное критическое число Рейнольдса, а при более высоких Re~104– 105 – с другой более слабой невязкой модой. Максимальные коэффициенты усиления для нее соответствуют значениям, ранее вычисленным по невязкой теории, а максимальное значение закрутки, при которой течение неустойчиво, более чем в три раза превышает соответствующее значение основной моды.
Устойчивость закрученных течений, полученных в главе II на основе численного решения полной системы уравнений Навье–Стокса, рассматривается в предположении локальной плоскопараллельности потока. Такой подход оправдывается тем, что максимальное значение радиальной компоненты скорости для рассчитанных течений более чем на порядок меньше соответствующих значений осевой и азимутальной компонент, а зависимость от 
в распределениях 
, 
существенно проявляется лишь в самом начальном участке у входного сечения. При этом в системе уравнений (14) в качестве 
, 
берутся рассчитанные в главе II профили течений 
, 
, в которых 
– параметр.
Для течений в неограниченной среде при увеличении начальной закрутки в потоке формируется ограниченная по 
область неустойчивости, обладающая следующими свойствами: при фиксированной закрутке увеличение числа Рейнольдса усиливает неустойчивость течения, а сама область неустойчивости увеличивается; при фиксированном 
увеличение закрутки приводит к незначительному смещению границы области неустойчивости вверх по потоку; при наличии в потоке области возвратного течения в ней наблюдается наиболее сильная неустойчивость.
Для течений в осесимметричном канале закрутка потока также приводит к неустойчивости течения. Профили осевой скорости в этом случае характеризуются большим дефектом на оси, имеют несколько точек перегиба и существенно отличаются от параболического распределения. Характерные зависимости рассчитанных коэффициентов усиления и частот колебаний при наличии в потоке рециркуляционной зоны (
) представлены на рис. 5, а. Наиболее сильная неустойчивость отмечается в области возвратного течения при 
0,31 (кривая 2). Далее вниз по потоку неустойчивость уменьшается и на выходе при 
10 (кривая 6) течение становится устойчивым (
0).
Характерные зависимости изменения коэффициентов усиления вдоль оси потока для течений с рециркуляционной зоной представлены на рис. 5, б. В распределении 
имеется два локальных максимума. Один из них при 
2,5 наблюдается во всех рассчитанных неустойчивых течениях и связан с влиянием закрутки. Другой, расположенный выше по потоку при 
0,3, обусловлен наличием в потоке зоны возвратного течения. Значения коэффициентов усиления в точках локальных максимумов близки между собой. При наличии в потоке двух зон рециркуляции наибольшая неустойчивость проявляется в области второй зоны.
Четвертая глава посвящена численному исследованию двухфазных закрученных потоков с зонами рециркуляции. Рассмотрены задачи распыления порошка и разделения частиц по размерам закрученным потоком, исследованы закрученные течения в прямоточном пылеотделителе, течения в отстойнике гидросооружений.
Одно из применений закрученного потока – использование его свойств для распыления порошка и получения мелкодисперсной смеси. Данная проблема, в частности, актуальна в связи с разработкой новых технологий в медицине при создании диспергирующих аппаратов. Устройство такого типа представляет собой цилиндрическую трубку радиуса 
, расположенную на расстоянии 
от плоскости с исходным распыляемым порошком (рис. 6). Поток в нее поступает через боковую поверхность 
с постоянной радиальной скоростью 
и через равномерно перфорированную поверхность трубки 
, которой моделируется тангенциально-щелевой завихритель, с постоянной радиальной скоростью 
и заданной азимутальной скоростью 
. Под воздействием градиента давления порошок засасывается внутрь трубки, интенсивно перемешивается с поступающим через боковую поверхность закрученным потоком, в результате на выходе из трубки образуется мелкодисперсная смесь.
Вычисление полей течения для такого устройства проводится на основе решения полной системы уравнений Навье–Стокса (3)–(6). Расчеты проводились в диапазоне параметров 
; 
; 
; 
; 
. Наиболее важные свойства течений связаны с возникновением рециркуляционных областей в приосевой и пристенной части вблизи тангенциального завихрителя. Характерная картина линий тока показана на рис. 7.
Рассмотрен процесс переноса частиц для рассчитанных течений. В вихревых камерах из всех сил, действующих на движущуюся частицу, наиболее существенна стоксова сила вязкого сопротивления. Уравнения движения частиц под действием этой силы в цилиндрической системе координат и безразмерной форме имеют вид:
, (18)
, (19)
, (20)
,
где 
– число Стокса, а индекс 
относится к частицам. При 
из уравнений (18), (20) следует, что осевая 
и азимутальная 
скорости частиц совпадают с соответствующими скоростями основного потока. Радиальная скорость частиц 
определяется уравнением (18), из которого при условиях 
, 
получаем
. (21)
В связи с тем, что рассматриваемое течение включает зону рециркуляции и существенно неоднородные поля скоростей и концентраций, были исследованы также два подхода с использованием процедур осреднения по 
при вычислении 
. В первом из них скорость осаждения определялась как функция 
осреднением (21) по 
в виде:
. (22)
Во втором подходе вводилась эффективная скорость осаждения 
следующим соотношением:
. (23)
Здесь в левой части – осредненный на отрезке 
поток 
, а в правой – эффективный поток, вычисляемый по скорости 
и суммарной концентрации частиц на отрезке 
.
Следуя методу, основанному на конвективно–диффузионной модели для смесей газа с мелкими малоинерционными частицами, можно пренебречь обратным влиянием частиц на течение жидкости (приближение пассивной примеси). Уравнение сохранения массы частиц преобразуется в уравнение диффузии для пассивного скаляра
, (24)
в котором 
– концентрация частиц, 
– число Шмидта, 
– коэффициент диффузии.
Для определения 
рассматривались три модели, в которых скорость осаждения определялась в (24) как 
из (22), либо как 
из (23), либо как 
из решения уравнения (19) с условиями 
. Проведенные вычисления при использовании всех трех способов определения 
показали, что решение качественно сохраняется, а интегральные характеристики расходов частиц через боковую поверхность и выходное сечение меняются незначительно. Сравнение результатов показывает, что достаточно применить для расчета 
формулу (22).
Численное решение задачи о распределении концентрации частиц для рассчитанных выше течений проводилось в диапазоне параметров 
, 
. Основные свойства исследованных течений заключаются в следующем. Под действием закрутки формируется область с наиболее интенсивным осаждением частиц. Этот эффект хорошо иллюстрируется распределением потока концентрации на стенке 
(рис. 8) с ярко выраженным максимумом, в особенности при большой закрутке 
5; 6. С увеличением коэффициента пористости 
или уменьшением 
область максимального отложения смещается в сторону входного сечения. При увеличении числа Стокса скорость осаждения 
в соответствии с (22) также увеличивается, что приводит к более раннему возникновению зоны отложений на стенке. Уменьшение эффекта осаждения частиц на стенке достигается при увеличении числа Шмидта.
Формирование значительных отложений частиц на стенке является нежелательным эффектом, так как назначение данного устройства заключается в получении аэрозольного потока на выходе из трубки. В этом смысле чрезмерная закрутка может оказывать неблагоприятное воздействие. Это хорошо иллюстрируется рис. 8, на котором представлена зависимость расхода 
, определяемого по формуле
,
от значения закрутки 
.
Численно исследована нестационарная задача о распылении порошка, который занимает в момент времени 
объем 
, 
. В этом случае для каждого момента времени рассчитывались следующие интегральные характеристики: расходы частиц 
и 
через выходное сечение трубки при 
и боковую поверхность при 
соответственно, а также масса порошка 
, находящаяся в рассматриваемом объеме:
, 
, 
.
Характерные распределения 
, 
и 
, отнесенные к единице массы порошка 
, при указанных выше значениях параметров представлены на рис. 9.
Проинтегрировав по времени расходы 
и 
, можно определить массу порошка 
, которая вышла через выходное сечение, и массу 
, которая осталась на боковой поверхности. Полученные результаты показывают, что для фиксированного 
существует сравнительно небольшой диапазон закрутки 
со следующими свойствами: при 
осаждение очень слабое и частицы уносятся через выходное сечение (
), а при 
практически весь порошок оседает на боковой стенке (
). Для рассмотренных значений 
, 250, 500 границы этого диапазона закрутки составляют 
3,5; 2; 1,2 и 
5; 3; 1,5.
На основе аналогичного подхода проведено исследование вихревого прямоточного пылеотделителя[1], в котором запыленный газ через тангенциальный завихритель 1 поступает в камеру предварительной сепарации 2 (рис. 11). В ней происходит отделение крупнодисперсной пыли, которая выбрасывается затем через тангенциально расположенные отверстия 3. Более мелкая пыль вместе с газом движется в радиальном направлении к оси вихревой камеры. Окончательная очистка газа осуществляется в прямоточном участке 4. Отсепарированная пыль отводится через ряд кольцевых щелей 5.
Поле течения определялось решением системы уравнений (3)–(6) при 
1000, 
3,6. Проведенные вычисления показали, что, за исключением небольшого начального участка, профили скоростей по сечениям в этом случае практически не меняются. Характерный профиль 
при 
2,5 изображен штриховой линией на рис. 10. Полученные результаты качественно правильно описывают исследуемое течение, несмотря на то, что поток в экспериментах был турбулентным. В частности, отмечается наличие приосевой рециркуляционной зоны на всей протяженности канала, диаметр которой хорошо согласуется с экспериментами. Найденное поле скоростей использовалось для исследования процесса сепарации пыли при решении уравнения (24).
Результаты решения для всех трех подходов нахождения 
представлены на рис. 10 (кривые 1–3) в виде распределения массы 
выносимых на боковую поверхность частиц в зависимости от длины 
. При 
0,3 зависимости 1–3 практически совпадают.
Рассмотрена задача о фракционном разделении полидисперсных порошков закрученным потоком (рис. 12). Устройство такого типа представляет собой длинный цилиндрический канал радиуса 
, в периферийную часть которого поступает закрученный поток газа[2]. Полидисперсный порошок вводится в поток либо через кольцевой зазор с относительно малой шириной 
(
), либо непосредственно с закрученным потоком газа. Частицы порошка под действием центробежной силы отклоняются к стенке канала и отводятся из него через ряд кольцевых щелей. Расстояние, которое проходит частица, зависит от ее диаметра, и за счет этого происходит сортировка частиц по размерам.
На основе решения полной системы уравнений Навье–Стокса (3)–(6) проведены расчеты полей течения для двух случаев. В первом случае закрученный поток поступает в периферийную часть канала (
), а кольцевая щель отсутствует (
). При этом увеличение закрутки потока приводит к уменьшению размеров пристенной области возвратного течения и формированию одной или двух приосевых рециркуляционных зон. Во втором случае поток в канал поступает в периферийную часть (
) с закруткой и через кольцевую щель (
) без закрутки. Наличие незакрученного кольцевого потока на входе в канал препятствует образованию отдельных рециркуляционных зон, а вместо этого формируется одна протяженная зона возвратного тока.
В рамках рассмотренной выше конвективно-диффузионной модели исследован процесс переноса примеси твердых частиц для полученных течений. Проведено сравнение полученных решений с экспериментами[3]. Результаты вычислений представлены на рис. 13 сплошными линиями (кривая 1 – подача частиц с закруткой в периферийную часть канала, кривая 2 – без закрутки через кольцевую щель). Штриховой линией изображена зависимость, полученная асимптотическими методами3 для случая квазитвердого вращения потока при втором способе подачи порошка.
Развитый метод расчета применяется для моделирования течений в гидротехническом отстойнике, принцип работы которого заключается в следующем. Поток воды со взвешенными частицами попадает в камеру отстойника, минуя порог, представляющий собой внезапное углубление высотой 
(рис.14). В камере отстойника формируется развитая рециркуляционная зона. Придонное течение в камере транспортирует осевшие частицы наносов к входному порогу, в нижней части которого располагается промывная щель. Через нее наносы сбрасываются в нижний бьеф сооружения.
Расчеты течений в камере отстойника проводятся на основе полной системы уравнений Навье–Стокса, которая записывается в виде:
, (25)
, (26)
. (27)
Здесь 
, 
– осевая и поперечная компоненты скорости соответственно, отнесенные к характерному значению осевой скорости 
на входе в отстойник, 
– число Рейнольдса.
Предполагается, что граница свободной поверхности является прямой 
, параллельной оси 
. Течение рассматривается в прямоугольной области 
). Величина 
характеризует глубину потока в камере отстойника (
– высота порога), а 
– размер промывного отверстия.
Граничные условия для системы (25)–(27) ставятся следующим образом. На входе в камеру отстойника при 
, 
задается равномерный осевой поток с расходом 
и скоростью 
. При 
, 
имеем сток с относительным расходом 
и параболическим распределением скорости. На твердых поверхностях при 
, 
и 
, 
задаются условия прилипания. На поверхности жидкости 
, 
ставятся условия равенства нулю касательных напряжений, а в выходном сечении 
, 
– мягкие граничные условия.
Расчеты течения в камере отстойника проводились при значениях 
; 150; 200; 250; 
, 
1,7; 1,8; 1,9; 2; 2,1. Основное внимание уделялось изучению образования зоны возвратного потока за порогом и исследованию зависимости длины этой зоны от высоты порога и интенсивности стока в промывное отверстие. Используя эффективные параметры течения, проведено сравнение расчетных данных с результатами экспериментов (рис. 15), полученными в лаборатории закрученных потоков кафедры использования водной энергии МГСУ.
В рамках рассмотренной выше конвективно-диффузионной модели изучен процесс переноса и осаждения мелких малоинерционных частиц в камере отстойника. Характерные результаты расчетов представлены на рис. 16 в виде линий равной концентрации. Штриховой линией изображен контур зоны возвратного течения. Внутри нее линии равной концентрации имеют зигзагообразный вид, причем в придонной области обратное течение способствует переносу частиц в сторону начального створа, а наличие промывного отверстия в головной части отстойника позволяет эффективно удалять из потока взвешенные наносы.
Пятая глава посвящена исследованию струйных течений неоднородных жидкостей. На основе метода интегральных соотношений решена задача о распространении аэрированной затопленной струи, содержащей равномерно распределенные пузырьки воздуха и вытекающей со скоростью 
из круглой трубы диаметра 
, в однородную неподвижную среду под углом 
(
) к поверхности водоема (рис. 17). Данная задача актуальна в связи с разработкой эффективных систем струйной аэрации для обогащения кислородом малопроточных водоемов, прудов рыбоводных хозяйств, строительством прудов-охладителей ТЭС, прудов-накопителей при химических производствах.
Уравнения баланса массы и импульса для контрольного объема аэрированной струи в соответствии с методом интегральных соотношений могут быть записаны в криволинейных координатах 
, 
, 
следующим образом:
, (28)
, (29)
, (30)
. (31)
где 
– поперечная компонента скорости; 
– диаметр струи; 
– площадь поперечного сечения струи, 
– плотность; 
– параметр, характеризующий отношение воздуха к единице объема смеси; 
– ускорение свободного падения; индексы 
и 
относятся к жидкой и пузырьковой фазам соответственно. Величина 
характеризует эжекционные свойства струи при ее распространении.
Уравнения движения пузырьков могут быть получены из рассмотрения баланса сил межфазного взаимодействия, включающих в себя силу трения (стоксову силу), архимедову, гравитационную и силу, связанную со взаимодействием присоединенных масс. Записывая эти соотношения в проекциях на осевое и поперечное направления, будем иметь:
, (32)
. (33)
Здесь 
, 
– коэффициенты сопротивления движению пузырьков в осевом и поперечном направлениях; 
– диаметр пузырьков; 
– коэффициент присоединенной массы. Дополняя эти уравнения соотношениями для определения декартовых координат 
, 
центральной линии струи
, 
, (34)
получим замкнутую систему уравнений (28)–(34) относительно неизвестных 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
В результате численного интегрирования (28)–(34) получены траектории распространения струи и определена максимальная глубина 
проработки водоема при различных значениях числа Фруда 
, начальной концентрации воздуха 
в струе и угла наклона струи 
. Некоторые примеры расчетов представлены на рис. 18, 19. При вертикальной подаче аэрированной струи (
) проведено сравнение рассчитанных значений 
с результатами экспериментальных исследований, выполненных в лаборатории закрученных потоков (МГСУ) на стенде с контрвихревым аэратором (рис. 18). Результаты расчетов использованы для оптимизации системы струйной вихревой аэрации аэротенка и в качестве начальных данных для моделирования циркуляционного течения в Большом пруду Московского зоологического парка при эксплуатации системы контрвихревых аэраторов (рис. 20).
Исследована задача смешения турбулентных потоков в осесимметричном канале с произвольной формой боковой поверхности. Данная проблема актуальна в связи с разработкой экологически чистой технологии сжигания природного топлива в современных ТЭС. Комбинированные высотные сооружения (КВС), предназначенные для этой цели, объединяют дымовую трубу и мокрую градирню. Принцип работы такого устройства состоит в следующем. Дымовой газ, предварительно очищенный в установке сероудаления, подается в нижней части вытяжной башни в поток воздуха, разогретого в теплообменнике. При движении по вытяжной трубе поток дыма смешивается с теплым воздухом и за счет естественной тяги удаляется в атмосферу. Типичные значения параметров КВС составляют: диаметр основания 90 м, высота 100 м, расход дымовых газов во внутреннем потоке 300 м3/с при температуре газов 120С, расход воздуха для внешнего потока 5000 м3/с при температуре газов 70С.
Схема рассматриваемого течения изображена на рис. 21. Закрученный поток дымового газа поступает в центральную часть 
входного сечения 
вытяжной трубы. Внешний незакрученный поток теплого воздуха подается коаксиально 
.
Постановка задачи основана на использовании параболизованных уравнений Навье–Стокса и алгебраической модели турбулентности. Решение проводится методом поверхностей равных расходов. Для этого в цилиндрической системе координат 
определяются гладкие линии
, 
,
каждая из которых представляет линию тока и удовлетворяет уравнению
при 
. (35)
Сетка линий 
заранее неизвестна и строится вместе с решением (
– ось симметрии, а 
– стенка канала). Рассматривая в качестве неизвестных функции
, 
и интегрируя каждое уравнение из системы законов сохранения массы смеси, импульса, энергии и массы примесей в приближении пограничного слоя по 
от 
до 
с учетом (35), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений на каждой линии 
:
,
, (36)
, 
, 
.
Здесь 
, 
, 
– осевая, радиальная и азимутальная составляющая скорости соответственно, 
– температура, 
– концентрация примеси, 
– плотность, 
– давление, 
– показатель адиабаты, точка означает дифференцирование по 
.
Система уравнений (36) записана в безразмерном виде. Для этого 
, 
, 
, 
, 
, 
отнесены соответственно к максимальным значениям 
, 
, 
, 
, 
, 
внутренней струи на входе 
в канал, а 
– к 
. Три безразмерных параметра системы (36) 
, 
, 
представляют собой число Фруда, параметр закрутки и аналог числа Маха 
: 
, в которых 
– ускорение силы тяжести, 
– удельная теплоемкость.
В рассматриваемом приближении давление определяется уравнением
,
которое после интегрирования может быть записано в виде:
.
Для нахождения 
вычисляется 
по формуле средних, рассчитывается 
по соответствующим рекуррентным соотношениям и определяется 
интегрированием уравнения
, (37)
.
Таким образом, задача сводится к интегрированию 
уравнений системы (36), (37), в которых 
и 
– соответствующие диссипативные члены.
Граничные условия на оси течения для неизвестных 
системы (36) следуют из условий симметрии. В пристенной части течения по мере движения газа развивается пограничный слой. В данном исследовании считалось, что пограничный слой является тонким и зона равномерного течения простирается до стенки, поэтому принималось
.
Система уравнений (36)–(37) замыкается заданием модели турбулентности. Принимается алгебраическая модель на основе представления о величине длины пути смешения 
Прандтля, которая для закрученных течений связана с турбулентной вязкостью 
следующим образом:
, (38)
где индекс 
принимает значения 
для осевого направления и 
для азимутального. Безразмерные значения эмпирических констант задавались равными: 
; 
.
Расчеты проводились при следующих распределениях в начальном сечении 
:
(39)
где 
. Область решения определялась длиной 
, боковая поверхность принималась либо цилиндрической 
, либо задавалась уравнением 
.
Основное внимание при исследовании процесса смешения двух турбулентных потоков уделялось влиянию закрутки внутренней струи на характеристики течения. Полученные результаты показывают, что закрутка внутренней струи приводит к замедлению потока и образованию минимума в распределении скорости на оси течения (рис. 22). Определено критическое значение закрутки 
, при которой возможно проведение расчетов на основе параболизованных уравнений Навье–Стокса. Другой эффект в распределении осевой скорости связан с разгоном струи за счет действия подъемной силы.
В распределении азимутальной скорости наиболее важное свойство заключается в следующем. При слабой закрутке (
0,2) за счет действия подъемной силы, обусловленной разностью температур, поток увеличивает скорость своего вращения. Умеренная закрутка 
1 полностью ликвидирует эффект усиления вращения потока, и максимум азимутальной скорости монотонно убывает вдоль оси течения.
Во всех случаях закрутка потока способствует более быстрому выравниванию температур по длине канала. Протяженность области выравнивания температур слабо зависит от значения температуры внешнего потока и определяется в основном значением закрутки внутренней струи.
Концентрация вредных примесей на выходе из канала уменьшается в 2–4 раза. С увеличением закрутки, благодаря эффективному смешению потоков, концентрация примесей снижается на более близком расстоянии от входного сечения. На выходе из вытяжной трубы значение концентрации незначительно зависит от начальной закрутки внутренней струи.
Наглядное представление, как организовано течение внутри вытяжной трубы, можно получить из рис. 23. Линии тока достаточно быстро сходятся к центру по мере увеличения расстояния 
. Эту информацию можно использовать для профилирования стенок вытяжной трубы с целью сокращения габаритов возводимого сооружения, уменьшения расходов на материалы и повышения устойчивости конструкции.
В приложении приведены вычислительные алгоритмы, которые применяются для решения полной системы уравнений Навье–Стокса и исследований устойчивости закрученных течений методом нормальных мод. Рассмотрен прямой метод неполной редукции для решения уравнения Пуассона относительно функции тока, проведено сравнение различных конечно-разностных схем для аппроксимации конвективных членов в уравнениях переноса и представлен метод решения соответствующих сеточных уравнений. Для задачи нахождения собственных значений получены асимптотические решения в окрестности особых точек в виде степенных рядов по методу Фробениуса.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
1. Проведено численное исследование закрученных течений в осесимметричном канале и неограниченной среде на основе разработанных алгоритмов и программ. Результаты расчетов представлены в виде картин линий тока и профилей скорости в различных поперечных сечениях потока. Рециркуляционные зоны во всех исследованных случаях имели тороидальную структуру. При достаточно сильной закрутке вниз по потоку за первой зоной противотока формировалась вторая область возвратного течения, более протяженная по осевой координате с меньшей скоростью рециркуляции. Для течений в осесимметричном канале посредством дополнительной радиальной подачи жидкости через боковую поверхность можно влиять на форму и размеры рециркуляционных зон вплоть до полного их устранения. В задаче о взаимодействии струи с кольцевым закрученным потоком в приосевой части потока возможно образование кольцевой зоны рециркуляции. Для коаксиально закрученных потоков в вихревых камерах наличие приосевой зоны рециркуляции зависит от значения и направления скорости вращения внешнего потока. При увеличении сильной закрутки внешнего потока в противоположном и в одинаковом направлениях по отношению к внутреннему потоку размеры рециркуляционной зоны увеличиваются. Увеличение умеренной закрутки внешнего потока может приводить как к увеличению приосевой области возвратного течения, так и к ее уменьшению вплоть до полного ее исчезновения. Впервые получены картины линий тока с двухъячеистой структурой зоны рециркуляции.
2. Разработан метод расчета двухфазных вихревых течений, основанный на конвективно–диффузионной модели в приближении пассивной примеси. Представленный метод позволяет проводить расчеты течений смесей газа с мелкими малоинерционными частицами с потерей массы частиц осаждением на стенках за счет действия центробежных (или гравитационных) сил. На основе данного метода проведено численное моделирование различных технических устройств: вихревого распылителя, классификатора частиц по размерам, пылеотделителя, гидротехнического отстойника. Получены картины распределения концентрации частиц в различные моменты времени. Используемая математическая модель позволяет описать основные свойства исследуемых течений – образование рециркуляционных областей, возникновение разряжения в приосевой части потока под действием закрутки и унос частиц из потока путем их осаждения.
3. Продемонстрирована возможность использования применяемого метода расчета ламинарных закрученных течений для моделирования турбулентных закрученных течений путем перехода к эффективным значениям определяющих параметров.
4. Разработана математическая модель распространения аэрированной струи в массиве жидкости для задачи строительства очистных и аэрационных сооружений. На основе метода интегральных соотношений получена система уравнений баланса массы и импульса, для которой сформулирована задача Коши. Методом Рунге–Кутта получены численные решения, характеризующие глубину проработки водоема в зависимости от угла наклона подаваемой струи. Представленные расчетные зависимости позволяют проводить поиск оптимальных вариантов установки аэраторов в системах струйной аэрации.
5. Разработана математическая модель смешения турбулентных потоков в осесимметричном канале с произвольной формой боковой поверхности для экологически чистой технологии сжигания природного топлива в современных ТЭС. Рассчитаны поля течений, распределения температур и концентраций в вытяжной трубе комбинированного высотного сооружения. Показано, что начальная закрутка способствует интенсификации процесса смешения. Особый интерес для течений в вытяжной трубе представляет слабая и умеренная закрутка внутренней струи дымовых газов, при которой в потоке наблюдается эффект дополнительного вращения. Сильная закрутка приводит к резкому торможению потока и возможному образованию приосевой зоны возвратного течения. Представленный метод позволяет проводить поиск оптимальных режимов течения в комбинированных высотных сооружениях и других устройствах для выброса в атмосферу дыма и газов, содержащих вредные примеси, с целью обеспечения наименьшего экологического ущерба.
6. Разработан эффективный численный метод решения спектральной задачи устойчивости закрученных течений по отношению к неосесимметричным возмущениям. Численно исследован спектр собственных значений задачи об устойчивости свободного вихря с профилями скорости, полученными из автомодельного решения Бэтчелора. На основе подробных расчетов проведен анализ собственных решений с выделением растущих возмущений восьми типов (мод неустойчивости). Рассмотрены поведение каждой моды в отдельности и свойства полного набора мод в зависимости от свободных параметров. Найдена новая вязкая мода, более неустойчивая по сравнению с другими ранее известными вязкими модами. Впервые установлено существование неустойчивых невязких мод при больших значениях параметра закрутки потока. Для всех неустойчивых мод определены критические числа Рейнольдса и максимальные коэффициенты усиления. Обнаружено и исследовано свойство ветвления собственных решений. Вычислены координаты точек ветвления, и с их помощью построены кривые нейтральной устойчивости при фиксированных значениях чисел Рейнольдса. Показано, что ветвление мод и скачкообразное изменение границ областей неустойчивости связано с существованием кратных корней в исходной задаче на собственные значения.
7. Проведены исследования устойчивости внутренних модельных течений с закруткой в осесимметричном канале. Показано, что для течения Пуазейля во вращающейся трубе при числах Рейнольдса выше критического значения даже слабая закрутка приводит к неустойчивости течения. Для течений с распределением азимутальной скорости типа вихря Бюргерса, соответствующим практическим приложениям, определено критическое значение закрутки, при котором поток теряет устойчивость.
8. Исследована задача о нормальных модах колебаний, развивающихся на фоне плоскопараллельного течения, определяемого рассчитанными профилями скорости в локальных поперечных сечениях потока. Для течений в осесимметричном канале рассчитаны коэффициенты усиления и фазовые скорости неустойчивых возмущений. Установлены пределы существования закрученных рециркуляционных течений, которые определяются их гидродинамической устойчивостью. Показано, что существуют два механизма неустойчивости. Первый связан с влиянием закрутки потока, второй – с образованием зон возвратного течения. При наличии в потоке двух зон рециркуляции бегущая волна возмущений проходит последовательно две зоны, в которых происходит наиболее быстрый рост ее амплитуды. Этот эффект способствует разрушению вихря.
Основные публикации по теме диссертации
Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых
научных журналах и изданиях, рекомендованных
Высшей аттестационной комиссией министерства
образования и науки Российской Федерации
- Ахметов В.К., Волшаник В.В. Исследование распространения аэрированной затопленной струи // Гидротехническое строительство. 1994. № 10. С. 24–26.
- Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Взаимодействие струи с кольцевым закрученным потоком // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1995. № 2. С. 39–46.
- Ахметов В.К., Волшаник В.В. Расчет течений с возвратными зонами в камере отстойника // Гидротехническое строительство. 1996. № 5. С. 29–31.
- Ахметов В.К., Шкадов В.Я. О новой вязкой моде неустойчивости свободного вихря // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1999. № 6. С. 76–80.
- Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Распыление порошка закрученным потоком с зоной рециркуляции // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2000. № 6. С. 3–15.
- Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Разделение частиц по размерам закрученным потоком // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2001. № 3. С. 56–60.
- Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Неустойчивость свободного вихря при большой закрутке потока // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2003. № 1. С. 54–58.
- Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Численное исследование рециркуляционных зон в вихревой камере // Аэромеханика и газовая динамика. 2003. № 3. С. 39–45.
- Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Ветвление собственных решений спектральной задачи об устойчивости свободного вихря // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2005. № 5. С. 54–59.
- Ахметов В.К., Шкадов В.Я., Шкадова В.П. Смешение нагретых газов в осесимметричном канале с предварительной закруткой потока // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2006. № 3. С. 19–29.
- Akhmetov V.K. Numerical simulation of vortex flows for civil engineering and environmental problems // Int. Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Begel House Inc. Publishers & ASV. 2007. V. 3. № 2. P. 61–74.
- Ахметов В.К. Численное моделирование вихревых течений в задачах инженерной экологии // Вестник МГСУ. 2008. № 1. С. 67–81.
- Akhmetov V.K. Structure of a recirculating flow and mass transfer of rigid particles in hydro technical settle construction // Int. Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Begel House Inc. Publishers & ASV. 2009. V. 5. № 1-2. P. 70–75.
Монография, учебное пособие
- Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Численное моделирование вязких вихревых течений для технических приложений. Монография. М.: Изд-во АСВ, 2009. 176 с.
- Сидоров В.Н., Ахметов В.К. Математическое моделирование в строительстве. Учебное пособие. М.: Изд-во АСВ, 2007. 336 с.
Статьи, опубликованные в других
научных журналах и изданиях
- Ахметов В.К. Исследование закрученных потоков вязкой несжимаемой жидкости численными методами // Механика деформируемых сред. М.: Изд-во МГУ. 1985. C. 24–26.
- Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Численное исследование закрученных течений в канале и неограниченной среде. М., 1986. 43 c. – Деп. в ВИНИТИ 06.08.86. № 5594–В86.
- Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Исследование структуры и устойчивости закрученных течений в канале и неограниченной среде // Современные проблемы механики жидкости и газа. Тезисы докладов Всесоюзного совещания-семинара молодых ученых. Грозный, 1986. C. 55.
- Ахметов В.К., Шкадов В.Я. К вопросу об устойчивости свободного вихря // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1987. № 2. С. 35–40.
- Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Развитие и устойчивость закрученных течений // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1988. № 4. С. 3–11.
- Ахметов В.К. Численное исследование коаксиально закрученных потоков вязкой несжимаемой жидкости // Численные методы механики сплошной среды. Часть 1. Тезисы докл. школы молодых ученых (г. Абакан, 28.05–03.06.1989). Красноярск, 1989. С. 26–27.
- Ахметов В.К., Волшаник В.В., Мордасов А.П. Экологическая эффективность применения струйно-вихревых аэраторов по результатам модельных и натурных испытаний // Физическое и математическое моделирование гидравлических процессов при исследовании гидроузлов комплексного назначения. Тез. научно-техн. совещания (г. Дивногорск, 24–26 мая 1989). Л.: ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1989. С. 62–63.
- Карелин В.Я., Кривченко Г.И., Мордасов А.П., Волшаник В.В., Зуйков А.Л., Ахметов В.К. Физическое и математическое моделирование систем гашения энергии в вихревых водосбросах // Физическое и математическое моделирование гидравлических процессов при исследовании гидроузлов комплексного назначения. Тез. научно-техн. совещания (г. Дивногорск, 24–26 мая 1989). Л.: ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1989. С. 11–12.
- Ахметов В.К., Волшаник В.В., Мордасов А.П., Конате С. Физическая и математическая модели течения в камере отстойника с головной системой промыва // Труды X конференции Высшей Технической Школы Брно. Секц. гидравлика и гидротехника (г. Брно, 25–28 авг.). Брно: ВУТ, 1989. С. 13–19.
- Карелин В.Я., Ахметов В.К., Зуйков А.Л., Мордасов А.П., Волшаник В.В. Численный метод расчета взаимодействия закрученных потоков в камере смешения контрвихревого аэратора // Труды 2-го Международного симпозиума по межфазному массопереносу. Миннеаполис: Университет штата Миннесота, 1990.
- Мордасов А.П., Орехов Г.В., Волшаник В.В., Зуйков А.Л., Ахметов В.К., Иванова Т.А., Арискин Н.Н., Лебедева О.Э., Притчин В.П., Крымов А.Н. Руководство по проектированию и конструкторская документация вихревых аэраторов на донных водовыпусках плотин. М.: Роскомвод, Росгипроводхоз, МИСИ. 1990.
- Akhmetov V.K., Shkadov V.Ya. Swirling flows and their stability // Proc. of the Third International Congress on Industrial and Applied Mathematics. Hamburg. 3–7 July. 1995. P. 217.
- Ахметов В.К., Волшаник В.В., Мордасов А.П., Рышлавы В. Распространение насыщенной растворенным кислородом струи в водном массиве // Экологическое образование в МГСУ: состояние, тенденции и координация. Тезисы докладов на семинаре 22 июня 1995 г. М.: МГСУ, 1996. С. 51–52.
- Akhmetov V.K., Shkadov V.Ya. Vortex atomizer of rigid particles // Proc. of the Seven International Conference on Liquid Atomization and Spray Systems. August 18–22. 1997. Seoul. Korea. V. II. P.765–771.
- Варапаев В.Н., Ахметов В.К. Определение области существования решения задачи взаимодействия плоской турбулентной струи со встречным потоком. М., 1998. 7 c. – Деп. в ВИНИТИ 16.07.98. № 2237-В98.
- Варапаев В.Н., Ахметов В.К. Численное моделирование комбинированного теплообмена в незамкнутых конвективных каналах. М., 1998. 6 c. – Деп. в ВИНИТИ 16.07.98. № 2238-В98.
- Ахметов В.К. Аэродинамика вихревого распылителя // Численные и аналитические методы решения прикладных задач. Сб. научн. трудов. М.: МГСУ, 1998. С. 95–102.
- Ахметов В.К. Вязкая неустойчивость вихря Бэтчелора // Численные и аналитические методы решения прикладных задач. Сб. научн. трудов. М.: МГСУ, 1998. С. 103–107.
- Ахметов В.К. Массоперенос в вихревом распылителе // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 2. М.: МГСУ, 1999. С. 77–89.
- Ахметов В.К. Фракционное разделение полидисперсных порошков закрученным потоком // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 3. М.: МГСУ, 2000. С. 26–35.
- Akhmetov V.K., Shkadov V.Ya. Particle transport and deposition in a vortex atomizer // Proc. of the 8-th International Conference on Liquid Atomization and Spray Systems. Pasadena. CA. USA. July 16–20. 2000. 7 p.
- Ахметов В.К. Топография неустойчивости вихря Бэтчелора // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 4. М.: МГСУ, 2001. С. 13–18.
- Ахметов В.К. Турбулентное смешение закрученной струи с осевым потоком // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 5. М.: МГСУ, 2002. С. 45–50.
- Ахметов В.К. Математическое моделирование коаксиально закрученных потоков с зонами рециркуляции // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 6. М.: МГСУ, 2003. С. 85–95.
- Ахметов В.К. Численное исследование спектра собственных значений задачи устойчивости свободного вихря // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 7. М.: МГСУ, 2004. С. 79–94.
- Ахметов В.К. Математическое моделирование процессов тепломассобмена в комбинированных высотных сооружениях // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 8. М.: МГСУ, 2005. С. 44–53.
- Ахметов В.К. Математическое моделирование течения в отстойнике с учетом осаждения частиц // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 9. М.: МГСУ, 2006. С. 138–150.
- Ахметов В.К., Шкадов В.Я., Шкадова В.П. Влияние закрутки на смешение нагретых газов в осесимметричном канале // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. 18–26 апреля 2006. Москва. МГУ им М.В. Ломоносова. М.: Изд-во МГУ, 2006. С. 24.
- Ахметов В.К. Численное моделирование закрученных течений в осесимметричном канале с проницаемыми и непроницаемыми стенками // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 10. М.: МГСУ, 2007. С. 60–70.
- Ахметов В.К. Влияние закрутки на устойчивость внутренних модельных течений // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 10. М.: МГСУ, 2007. С. 41–51.
- Ахметов В.К. К вопросу о роли гидродинамической неустойчивости в задаче о распаде вихря // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. научн. трудов. Вып. 10. М.: МГСУ, 2007. С. 52–59.
- Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Устойчивость закрученных течений с зонами рециркуляции в осесимметричном канале // Проблемы современной механики: к 85-летию со дня рождения академика Г.Г. Черного. Сборник. М.: МГУ, Омега-Л, 2008. С. 621–636.
- Ахметов В.К. Математическое моделирование закрученных течений в комбинированных высотных сооружениях // Фундаментальные науки в современном строительстве. Сборник докладов шестой научно-практической и учебно-методической конференции. М.: МГСУ, 2008. С. 41–46.
- Ахметов В.К., Шкадова В.П., Шкадов В.Я. Закрученные течения с зонами рециркуляции: структура и гидродинамическая устойчивость // Модели и методы аэродинамики. Материалы 8-ой международной школы-семинара (Евпатория, 4–13 июня 2008). М.: МЦМНО, 2008. С. 11–12.
- Ахметов В.К. Математическое моделирование распространения аэрированной струи в массиве жидкости // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2008. № 4. С. 29–32.
- Ахметов В.К. Математическое моделирование вихревых течений в теплоэнергетическом строительстве // Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы. Сборник трудов международной научно-практической конференции. М.: МГСУ, 2008. С. 165–173.
- Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Устойчивость свободных и ограниченных закрученных течений с зонами рециркуляции // Инженерная физика. 2008. № 6. С. 6–13.
- Ахметов В.К. Численное моделирование двухфазного вихревого течения в гидротехническом отстойнике // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2008. № 6. С. 66–70.
- Ахметов В.К. Численное исследование смешения нагретых газов в осесимметричном канале с произвольной формой боковой поверхности. М., 2009. 11 с. / ВНТИЦ. Алгоритмы и программы. Гос. рег. № 50200900430.
- Ахметов В.К. Математическая модель распространения аэрированной затопленной струи в массиве жидкости. М., 2009. 9 с. / ВНТИЦ. Алгоритмы и программы. Гос. рег. № 50200900431.
- Ахметов В.К. Конвективно-диффузионная модель для расчета массопереноса мелкодисперсных частиц закрученным потоком с зонами рециркуляции. М., 2009. 6 с. / ВНТИЦ. Алгоритмы и программы. Гос. рег. № 50200900432.
- Ахметов В.К. Расчет гидродинамической устойчивости вязких закрученных течений по отношению к неосесимметричным возмущениям. М., 2009. 8 с. / ВНТИЦ. Алгоритмы и программы. Гос. рег. № 50200900433.
- Ахметов В.К. Численное моделирование закрученных течений с зонами рециркуляции с использованием схемы Леонарда. М., 2009. 7 с. / ВНТИЦ. Алгоритмы и программы. Гос. рег. № 50200900434.
- Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Вязкая неустойчивость концевого вихря Бэтчелора // Модели и методы аэродинамики. Материалы 9-ой международной школы-семинара (Евпатория, 4–13 июня 2009). М.: МЦМНО, 2009. С. 6–7.
[1] Багрянцев В.И., Волчков Э.П., Заборовский И.И., Терехов В.И. Вихревой пылеотделитель: А.С. 975098 СССР // Б.И. 1982. № 43.
[2] Багрянцев В.И., Волчков Э.П., Заборовский И.И., Терехов В.И. Вихревой классификатор порошковых материалов: А.С. 1209319 СССР // Б.И. 1986. № 5.
[3] Кутателадзе С.С., Волчков Э.П., Терехов В.И. Аэродинамика и тепломассообмен в ограниченных вихревых потоках. Новосибирск: Ин-т теплофизики СО АН СССР. 1987.
