Внутренняя геометрия поверхностей и распределений проективно-метрического простра н ства
КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
Абруков Денис Александрович
Внутренняя геометрия поверхностей
и распределений проективно-метрического пространства
01.01.04 – геометрия и топология
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Казань – 2002
Работа выполнена в Чувашском государственном педагогическом
университете имени И.Я. Яковлева
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор Столяров А.В.
Официальные оппоненты:
Ведущая организация:
Защита состоится «___» ___________ 2002 г. в ____ час. ____ мин. на заседании диссертационного совета Д. 212.081.10 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлёвская, 18, конференц-зал научной библиотеки КГУ.
С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Казанского государственного университета.
Автореферат разослан «___» _____________ 2002 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
кандидат физико- М.А. Малахальцев
математических наук, доцент
- Общая характеристика диссертации
Актуальность темы. Теория различных дифференцируемых подмногообразий (в том числе и оснащенных) в однородных и обобщённых пространствах составляет одно из основных направлений исследований современной дифференциальной геометрии. Обзор большого числа работ по геометрии многомерной поверхности как в пространствах с фундаментальными группами, так и в обобщённых пространства приведен в работах Г.Ф. Лаптева[1] ) и Ю.Г. Лумисте[2] ).
Г.Ф. Лаптев[3] ), [4] ) при помощи разработанного им метода продолжений и охватов в инвариантной аналитической форме построил дифференциальную геометрию гиперповерхности в проективном пространстве и пространстве проективной связности.
Н.М. Остиану[5] ) изучала геометрию m-мерной поверхности n-мерного проективного пространства 
.
Существенные результаты по проективно-дифференциальной геометрии многомерной поверхности принадлежат А.П. Нордену[6] ) и его школе и получены методом нормализации.
М.А. Акивис[7] ) методом Г.Ф. Лаптева осуществил инвариантное построение геометрии поверхностей конформного пространства.
В 60-х-70-х годах прошлого века обобщённая теория распределений m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности 
(в частности, в проективном пространстве 
) получила значительное развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г.Ф. Лаптева[8] ), Н.М. Остиану[9] ), Ю.Г. Лумисте[10] ).
В работах А.В. Столярова[11] ) и Ю.И. Попова[12] ) изучаются соответственно двух- и трехсоставные распределения проективного пространства 
. Распределениями гиперплоскостных элементов (m=n-1), погружёнными в проективное пространство 
и пространство проективной связности 
занимались Н.М. Остиану[13] ), А.В. Столяров[14] ) и др.
Представляет интерес теория подмногообразий, погружённых в пространства, фундаментальная группа которых есть подгруппа проективной (евклидовой, аффинной) группы, преобразования которой оставляют неподвижным некоторое подмногообразие (абсолют), вложенное в данное пространство. Проблемой изучения пространств с абсолютом (а также подмногообразий, погруженных в эти пространства) в разное время занимались такие исследователи как А.П. Норден[15] ), А.Э. Хатипов[16] ), А.П. Широков[17] ) и другие отечественные и зарубежные геометры.
В настоящем диссертационном исследовании предметом изучения являются подмногообразия, погружённые в n-мерное проективно-метрическое пространство 
6); под пространством 
понимается n-мерное проективное пространство 
, в котором задана неподвижная гиперквадрика 
(абсолют); фундаментальной группой пространства 
является подгруппа группы проективных преобразований пространства 
, а именно, стационарная подгруппа абсолюта 
.
А.В. Столяров[18] ) изучает внутреннюю геометрию нормализованного в смысле А.П. Нордена проективно-метрического пространства 
.
Задача изучения геометрии подмногообразий проективно-метрического пространства 
, а именно, m-мерной поверхности 
была поставлена А.П. Норденом6).
Объектом изучения настоящей работы являются как голономные (поверхности 
), так и неголономные (распределения m-мерных линейных элементов) подмногообразия пространства 
. Эти исследования являются актуальными, представляют большой научный интерес, ибо:
1) геометрия поверхности 
в 
изучена далеко не полно;
2) геометрия распределений m-мерных линейных элементов в 
(даже в случае m=n-1) до настоящего времени не изучалась;
3) изучение геометрии указанных подмногообразий (как голономных, так и неголономных) в диссертации осуществляется, как правило, с привлечением теории двойственности, что до настоящего времени исследователями не проводилось.
Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является изучение геометрии многомерных поверхностей и распределений, погружённых в проективно-метрическое пространство 
; решаются следующие ключевые задачи:
1) осуществить подход к изучению геометрии поверхности 
(m<n-1), не принадлежащей абсолюту 
, с общих позиций, а именно, от геометрии неголономной поверхности (распределения m-мерных линейных элементов) с использованием подобъектов её фундаментальных объектов порядка 
перейти к геометрии голономной поверхности 
; доказать основную теорему теории поверхности 
, не принадлежащей абсолюту 
, то есть найти её полный внутренний фундаментальный объект (глава I);
2) внутренним инвариантным образом изучить двойственную геометрию поверхности 
(m<n-1), принадлежащей абсолюту 
проективно-метрического пространства 
(глава I);
3) построить основы двойственной геометрии как неголономной, так и голономной гиперповерхности, погруженной в проективно-метрическое пространство 
(главы II и III);
Методика исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, метод внешних дифференциальных форм Э. Картана[19] ) и метод продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева3). Использование указанных методов позволило:
1) исследование геометрии подмногообразий пространства 
провести инвариантным образом путём построения и изучения полей геометрических объектов, охваченных полями фундаментальных объектов;
2) изучить дифференциально-геометрические факты подмногообразий, связанные с дифференциальными окрестностями по возможности высоких (до четвертого) порядков.
Геометрия аффинных связностей, индуцируемых нормализацией различных подмногообразий проективно-метрического пространства 
, исследуется с привлечением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.Ф. Лаптевым.
Все рассмотрения в диссертации приводятся с локальной точки зрения; функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми, то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие.
Все результаты получены в минимально специализированных системах отнесения.
Научная новизна полученных результатов обусловлена тем, что, с одной стороны, изучение дифференциальной геометрии подмногообразий происходит посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцируемых полями его фундаментальных объектов, а с другой стороны, с использованием аналитического метода продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева, позволяющего получить результаты в инвариантной форме. Результаты, полученные в диссертационном исследовании, являются новыми.
В работе приведены доказательства всех основных предложений, которые сформулированы в виде теорем.
Теоретическая и практическая значимость. Исследование имеет теоретическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении различных подмногообразий, погружённых в проективно-метрическое пространство 
. Основными направлениями подобных исследований являются:
• изучение внутренней геометрии гиперполос, гиперполосного распределения и распределения m-мерных линейных элементов пространства 
;
• исследование пространств с линейной связностью, индуцируемых внутренними инвариантными оснащениями данных подмногообразий.
Теория, разработанная в диссертации, может служить в качестве материала специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а именно:
а) по теории подмногообразий в пространствах с фундаментальными группами;
б) по теории двойственных линейных связностей на оснащённых подмногообразиях пространств с фундаментальными группами.
Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на научных конференциях студентов, аспирантов и докторантов Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 2000-2002 г. г.), на итоговых научных конференциях преподавателей ЧГПУ (Чебоксары 2001-2002 г. г.), на заседаниях молодых исследователей по геометрии (ЧГПУ, Чебоксары, 2001-2002 г. г.), на IX Международной конференции «Математика. Образование. Экономика. Экология» (Чебоксары, 2001 г.), на Международной молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2001), на X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (Ростов-на-Дону, 2002), на заседаниях научно-исследовательского геометрического семинара Казанского госуниверситета (2002 г.).
Публикации. Основные научные результаты, включённые в диссертацию, опубликованы в десяти печатных работах [1]-[10] автора.
Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы по теме диссертации выполнены без соавторов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (общая характеристика работы), краткого изложения её содержания, трех глав и списка использованной литературы, включающего 120 наименований. Полный объем работы составляет 130 страниц машинописного текста.
II. Краткое содержание диссертации
Глава I диссертации посвящена изучению внутренней геометрии поверхности 
(m<n-1) проективно-метрического пространства 
.
В § 1 приводится материал, носящий реферативный характер; он необходим в дальнейшем изложении.
Центральным результатом § 2 является теорема I.1: распределение m-мерных линейных элементов 
(m<n-1), центр которого не принадлежит абсолюту 
проективно-метрического пространства 
, в дифференциальной окрестности первого порядка порождает инвариантно присоединённое к нему гиперполосное распределение m-мерных линейных элементов 
, для которого данное распределение 
является базисным; найдено условие регулярности распределения 
.
В § 3, п. 1 с использованием подобъектов 
, 
,....,
соответственно фундаментальных объектов 
, 
,…,
распределения 
в 
доказана теорема I.2, которая является аналогом теоремы I.1 применительно к поверхности 
(m<n-1), не принадлежащей абсолюту 
пространства 
: поверхность 
(m<n-1), не принадлежащая абсолюту 
, в дифференциальной окрестности второго порядка внутренним образом порождает инвариантно присоединённую к ней гиперполосу 
, для которой данная поверхность является базисной; найдено условие регулярности гиперполосы 
.
Теорема I.2 позволяет свести изучение геометрии поверхности 
(m<n-1), не принадлежащей абсолюту 
, к изучению геометрии ассоциированной с ней гиперполосы 
; последний факт заметно упрощает задачу изучения внутренней геометрии подмногообразия 
. Сказанное подтверждается результатами, полученными в § 3, п. 2, 3, а именно, доказаны следующие центральные теоремы I.3 (п. 2), I.4 (п. 2), I.7 (п. 3) соответственно:
- внутренним образом определённая инвариантная нормализация гиперполосы
, а значит, и внутренняя инвариантная нормализация её базисной поверхности 
(m<n-1), не принадлежащей абсолюту 
, возможна лишь в третьей дифференциальной окрестности текущей точки 
поверхности 
и определяется полями квазитензоров 
третьего порядка; - внутреннее инвариантное оснащение в смысле Э. Картана гиперполосы
в 
, а значит, и её базисной поверхности 
(m<n-1), не принадлежащей абсолюту 
, возможно лишь в четвертой дифференциальной окрестности текущей точки 
поверхности 
и определяется полями квазитензоров соответственно второго и четвертого порядков 
, 
и полем геометрического объекта четвертого порядка 
; - порядок полного внутреннего фундаментального объекта поверхности
, не принадлежащей абсолюту проективно-метрического пространства 
(m<n-1), равен пяти, то есть при задании этого объекта поверхность 
определяется с точностью до преобразования фундаментальной группы пространства 
.
Последний результат (теорема I.7) является фундаментальным в теории поверхности 
(m<n-1), ибо он представляет собой аналог теоремы Петерсона-Кодацци для поверхности 
трехмерного евклидова пространства 
.
В § 4 исследуется геометрия m-мерной поверхности, принадлежащей абсолюту 
проективно-метрического пространства 
.
Центральным результатом § 4, п. 1 является теорема I.8: m-мерная поверхность 
, текущая точка которой принадлежит абсолюту 
пространства 
(m<n-1), порождает инвариантно присоединённую к ней гиперполосу 
, для которой данная поверхность 
будет базисной и касательная гиперплоскость 
к абсолюту в текущей точке 
является главной касательной гиперплоскостью гиперполосы 
; в случае невырожденности абсолюта гиперполоса 
является регулярной.
Таким образом, изучение геометрии поверхности, принадлежащей невырожденному абсолюту 
пространства 
, сводится к изучению геометрии регулярной квадратичной гиперполосы 
, ассоциированной с этой поверхностью; эта гиперполоса в дальнейшем обозначается 
(
).
Доказано (теорема I.9), что в случае невырожденности абсолюта 
пространства 
квадратичная гиперполоса 
(
) является конической[20] ) тогда и только тогда, когда она плоская20). Ниже предполагается, что гиперполоса 
(
) не является конической (а, следовательно, плоской).
Два пространства с линейной связностью называются двойственными14), если структурные формы этих пространств преобразуются друг в друга по иволютивному закону.
Основным результатом § 4, п. 2 является теорема I.10: m-мерная поверхность 
, лежащая на абсолюте 
пространства 
, индуцирует:
- тангенциальное проективно-метрическое пространство
(
) с абсолютом 
– тангенциальной гиперквадрикой, двойственное пространству
(
); образующими элементами этой гиперквадрики являются касательные гиперплоскости 
абсолюта 
пространства 
. - во второй дифференциальной окрестности подмногообразие
(
), двойственное гиперполосе 
(
).
В § 4, п. 3 найдены внутренние инвариантные оснащения в смысле Нордена-Чакмазяна гиперполосы 
(
). Приводятся примеры построения в третьей дифференциальной окрестности внутренних инвариантных двойственных и полярных6) (относительно абсолюта 
) нормализаций регулярной квадратичной гиперполосы 
(
), а следовательно, её базисной поверхности 
.
В § 4, п. 4 показано, что нормализация в смысле Нордена-Чакмазаяна гиперполосы 
(
) в 
индуцирует две двойственные аффинные связности 
и 
без кручения; приведены геометрические характеристики аналитических условий параллельного перенесения допустимых направлений в связностях 
и 
вдоль кривой l, принадлежащей базисной поверхности 
гиперполосы 
(
).
Изучается внутренняя геометрия двойственных аффинных связностей 
и 
. Доказана справедливость утверждений (теоремы I.11-I.14):
1) Связность 
(
), индуцируемая некоторой нормализацией регулярной квадратичной гиперполосы 
(
), будет вейлевой с полем метрического тензора 
тогда и только тогда, когда данная нормализация полярна (относительно абсолюта 
).
2) Внутренняя геометрия любой из двойственных аффинных связностей 
и 
, индуцируемых полярной нормализацией 
гиперполосы 
(
) пространства 
(m<n-1), является римановой тогда и только тогда, когда нормализация вполне гармонична6) подмногообразию 
.
3) Полярная нормализация 
гиперполосы 
(
) пространства 
вполне гармонична подмногообразию 
тогда и только тогда, когда поле нормалей первого (второго) рода сопряжено6), то есть 
=0 (гармонично6), то есть 
=0) гиперполосе 
.
4) Двойственные аффинные связности 
и 
, индуцируемые нормализацией гиперполосы 
(
) проективно-метрического пространства 
, совпадают тогда и только тогда, когда нормализация гиперполосы 
(
) полярна относительно абсолюта 
; при этом связность 
риманова с полем метрического тензора 
.
В § 4, п. 5 найдена связь между геометриями поверхности 
пространства 
и m-мерной поверхности конформного пространства 
. Справедлива теорема I.15: геометрия m-мерной поверхности 
, принадлежащей абсолюту 
овального типа n-мерного пространства 
(m<n-1), изоморфна геометрии m-мерной поверхности 
собственно конформного пространства 
; при этом метрическим тензором 
пространства 
является тензор 
.
В главе II диссертации изучается двойственная геометрия распределения первого рода 
гиперплоскостных элементов, центр которого – точка 
– не принадлежит абсолюту 
пространства 
.
Центральным результатом § 1, п. 2 является теорема II.1: регулярное распределение гиперплоскостных элементов, погружённое в пространство 
, индуцирует:
- в третьей дифференциальной окрестности тангенциальное проективно-метрическое пространство
с абсолютом 
– тангенциальной гиперквадрикой, двойственное 
. - в первой дифференциальной окрестности – многообразие
, двойственное исходному распределению 
.
Следует заметить, что тангенциальный абсолют 
, вообще говоря, не совпадает с тангенциальным абсолютом 
, образующими элементами которого являются касательные гиперплоскости к абсолюту 
.
В § 2, п. 1 в третьей дифференциальной окрестности текущего элемента распределения получены определяемые внутренним инвариантным образом поля инвариантных соприкасающихся гиперквадрик 
и 
распределения в 
и двойственного подмногообразия 
в 
соответственно.
В случае голономного распределения обращение в нуль тензора Дарбу 
есть условие касания третьего порядка соприкасающихся гиперквадрик поля 
(
) с распределением 
(подмногообразием 
в 
).
В § 2, п. 2 приведены примеры построения двойственных внутренним образом определяемых инвариантных оснащений в смысле А.П. Нордена регулярного распределения 
в 
.
В § 2, п. 3 показано, что нормализация в смысле А.П. Нордена регулярного распределения гиперплоскостных элементов 
в 
индуцирует две двойственные аффинные связности 
и 
без кручения. Доказано, что двойственные аффинные связности 
и 
обобщённо сопряжены6) относительно поля тензора 
вдоль любой кривой l, принадлежащей распределению 
в 
. В случае голономности распределения 
найдено условие совпадения связностей 
и 
(теорема II.2): на нормализованном голономном распределении гиперплоскостных элементов 
в 
двойственные аффинные связности 
и 
совпадают тогда и только тогда, когда нормализация подмногообразия 
есть нормализация Михэйлеску и соприкасающиеся гиперквадрики 
с распределением 
имеют касание третьего порядка.
В § 3 найдена квадратичная форма, определяющая метрику тангенциального проективно-метрического пространства 
. Доказано, что данная метрика является невырожденной тогда и только тогда, когда абсолют 
пространства 
невырожден: 
.
В § 4 исследуется внутренняя геометрия нормализованного тангенциального проективно-метрического пространства 
. Суть нормализации пространства 
состоит в задании некоторого однозначного, непрерывного и дифференцируемого соответствия «гиперплоскость 
связка гиперплоскостей с центром в точке 
», 
. Нормализация пространства 
будет полярной относительно тангенциального абсолюта 
, если центр 
нормализующей связки гиперплоскостей является полюсом нормализуемой гиперплоскости 
относительно абсолюта 
.
Доказано, что нормализация пространства 
индуцирует пространство аффинной связности 
без кручения. Имеют место следующие предложения (теоремы II.3-II.5):
1) внутренняя геометрия симметрического пространства аффинной связности 
, индуцируемого полярной нормализацией тангенциального проективно-метрического пространства 
, является метрической с полем метрического тензора 
и эквиаффинной;
2) для того, чтобы связность пространства 
, индуцируемого некоторой нормализацией тангенциального проективно-метрического пространства 
с невырожденной метрикой, являлась вейлевой, необходимо и достаточно, чтобы данная нормализация была полярной;
3) пространство аффинной связности, индуцируемое полярной нормализацией тангенциального пространства 
с невырожденной метрикой, является римановым 
постоянной кривизны 
; при этом если пространство 
является собственно римановым, то при 
> 0 абсолют пространства 
есть тангенциальная гиперквадрика овального типа, а при 
< 0 – тангенциальная мнимая гиперквадрика.
Справедлива теорема II.6: регулярное распределение гиперплоскостных элементов 
, погружённое в пространство 
, при полярной нормализации точечного и тангенциального пространств 
и 
соответственно в случае невырожденности их абсолютов 
и 
индуцирует два римановых пространства 
и 
одинаковой постоянной кривизны 
, причем эти пространства являются изоморфными относительно инволютивного преобразования структурных форм пространств 
и 
.
В главе III работы изучается геометрия регулярной гиперповерхности 
, текущая точка которой не принадлежит абсолюту 
пространства 
.
В § 1 доказана теорема III.1: регулярная гиперповерхность 
в проективно-метрическом пространстве 
индуцирует:
а) в третьей дифференциальной окрестности проективное пространство 
, двойственное пространству 
;
б) во второй дифференциальной окрестности – многообразие 
, двойственное исходной гиперповерхности 
.
В § 2 изучается гиперповерхность 
, полярная по отношению к исходной гиперповерхности 
пространства 
.
В § 2, п. 1 показано, что регулярная гиперповерхность 
в 
внутренним образом индуцирует регулярную гиперповерхность 
, полярную данной 
относительно абсолюта 
с невырожденным тензором 
; при этом касательной гиперплоскостью 
(
) в текущей точке 
(
) будет поляра точки 
(
).
Справедлива теорема III.3: регулярная гиперповерхность 
в 
вырождается в гиперквадрику 
тогда и только тогда, когда полярная ей (относительно абсолюта 
) гиперповерхность 
вырождается в гиперквадрику 
.
В § 2, п. 2 доказана теорема III.4: полярная гиперповерхность 
, погружённая в пространство 
, индуцирует:
а) в третьей дифференциальной окрестности проективное пространство 
, двойственное 
(
);
б) во второй дифференциальной окрестности – подмногообразие 
, двойственное исходному 
.
В § 3 в четвертой дифференциальной окрестности текущей точки гиперповерхности 
построено поле канонического пучка нормалей первого рода 
, определяемое полями квазитензоров 
(поле нормалей Фубини) и 
(поле директрис Вильчинского), а также поле однопараметрического пучка нормалей второго рода 
с 
-мерной вершиной в касательной плоскости 
гиперповерхности 
. Гиперповерхность, в каждой точке 
(
) которой канонический пучок нормалей первого рода 
(
) вырождается в одну нормаль, по аналогии с поверхностью 
назовём коинцидентной[21] ).
Центральным результатом § 3 является теорема III.6: нормализация в смысле А.П. Нордена одной из регулярных гиперповерхностей 
или 
в 
равносильна нормализации другой; при этом нормаль первого (второго) рода 
гиперповерхности 
полярна (относительно абсолюта 
) нормали второго (первого) рода 
гиперповерхности 
, причем оснащающие объекты 
и связаны соотношениями
, 
(*)
Определение. Нормализации полярных гиперповерхностей 
и 
в 
полями объектов 
и 
соответственно, связанных между собой соотношениями (*), назовем полярными по отношению друг к другу.
Доказаны следующие основные утверждения, касающиеся канонических пучков нормалей первого и второго родов гиперповерхностей 
и 
в 
:
- В каждой точке
(
) пучок нормалей первого рода 
(
) гиперповерхности 
(
) вырождается в одну нормаль тогда и только тогда, когда в этой точке пучок нормалей второго рода 
(
) вырождается в одну нормаль (теоремы III.5, III.10). - В точке
пучок нормалей первого рода 
(второго рода 
) вырождается в одну нормаль тогда и только тогда, когда в соответствующей точке 
полярный пучок нормалей второго рода 
(первого рода 
) полярной гиперповерхности 
вырождается в одну нормаль; следовательно, полярные гиперповерхности 
и 
в 
могут быть коинцидентными лишь одновременно (теорема III.11).
В § 4 изучается внутренняя геометрия двойственных аффинных связностей, индуцируемых полярными нормализациями гиперповерхностей 
и 
пространства 
.
Нормализация в смысле А.П. Нордена регулярной гиперповерхности 
(
) в 
индуцирует две двойственные аффинные связности 
и 
(
и 
) без кручения. Аффинные связности 
и 
(
и 
) сопряжены относительно поля тензора 
(
). Аффинная связность 
(
), средняя по отношению к 
и 
(
и 
), является вейлевой с полем невырожденного метрического тензора 
(
). Заметим, что 
.
Найдены аналитические условия эквиаффинности связностей 
и 
(
и 
), а также условие римановости средней связности 
(
); в частности, геометрии двойственных пространств аффинной связности 
и 
(
и 
), индуцируемых нормализацией Фубини гиперповерхности 
(
) в 
, являются эквиаффинными, а их средняя связность – риманова.
Справедливо следующее условие совпадения связностей 
и 
(
и 
) (теоремы III.12, III.13): двойственные аффинные связности 
и 
(
и 
), индуцируемые на нормализованной гиперповерхности 
(
) проективно-метрического пространства 
, совпадают тогда и только тогда, когда рассматриваемая гиперповерхность есть гиперквадрика и её нормализация является автополярной; при этом связность 
(
) риманова с метрическим тензором 
(
).
III. Основные результаты диссертации,
выносимые на защиту
1) Доказано, что распределение m-мерных линейных элементов пространства 
(m<n-1) порождает присоединённое к нему внутренним инвариантным образом гиперполосное распределение m-мерных линейных элементов.
2) Доказано основное предложение теории m-мерной поверхности 
(m<n-1), не принадлежащей абсолюту 
пространства 
: порядок полного внутреннего фундаментального объекта поверхности 
равен пяти; при задании этого объекта поверхность 
определяется с точностью до преобразования фундаментальной группы пространства 
(заметим, что для общей m-мерной поверхности 
, m<n-1 проективного пространства 
вопрос о порядке полного внутреннего фундаментального объекта, вообще говоря, остается открытым).
3) Показано, что с m-мерной поверхностью 
, m<n-1, принадлежащей абсолюту 
пространства 
, внутренним инвариантным образом ассоциируется квадратичная гиперполоса 
(
), что позволило построить двойственную геометрию данной поверхности.
4) Показано, что регулярное распределение гиперплоскостных элементов 
(неголономная гиперповерхность) с центром, не принадлежащим абсолюту 
пространства 
, внутренним инвариантным образом в третьей дифференциальной окрестности элемента подмногообразия 
индуцирует тангенциальное проективно-метрическое пространство 
с абсолютом 
– тангенциальной гиперквадрикой; изучаются некоторые вопросы метрики тангенциального пространства 
и внутренней геометрии нормализованного пространства 
. В разных дифференциальных окрестностях получен ряд результатов, определяющих двойственную геометрию нормализованного подмногообразия 
.
5) Исследуется двойственная геометрия гиперповерхности 
, текущая точка которой не принадлежит абсолюту 
пространства 
: построена полярная (относительно абсолюта 
) гиперповерхность 
, найдены двойственные образы 
и 
гиперповерхностей 
и 
соответственно, рассмотрены примеры построения внутренним образом двойственных и полярных нормализаций гиперповерхностей 
и 
, найдена связь между ними; исследуется внутренняя геометрия двойственных аффинных связностей, индуцируемых этими нормализациями.
IV. Работы автора, опубликованные по теме диссертации
- Абруков Д.А. Распределения гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве // ВИНИТИ РАН. – 2001. – 21 с. – № 872-В2001 Деп.
- Абруков Д.А. Геометрия гиперповерхности проективно-метрического пространства // ВИНИТИ РАН. – 2001. – 34 с. – № 2420-В2001 Деп.
- Абруков Д.А. Распределения гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве // Тезисы докл. IX международной конференции «Математика. Образование. Экономика. Экология», Чебоксары. – 2001. – С. 29.
- Абруков Д.А. О взаимном распределении гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов. – Чебоксары: ЧГПУ, 2001. – В. 9. – С. 9-15.
- Абруков Д.А. Внутренняя геометрия тангенциального проективно-метрического пространства // Вестник ЧГПУ. Физико-математические науки. – Чебоксары: ЧГПУ, 2001. – № 2(21). – С. 9-15.
- Абруков Д.А. Гиперповерхность в проективно-метрическом пространстве // Материалы межд. науч. молодежной школы-конференции. Казань: Изд-во ДАС, 2001. – С. 73.
- Абруков Д.А. Взаимная гиперповерхность проективно-метрического пространства // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов. – Чебоксары: ЧГПУ, 2001. – В. 10. – С. 173-179.
- Абруков Д.А. Геометрия поверхности, принадлежащей абсолюту проективно-метрического пространства // ВИНИТИ РАН. – 2002. – 24 с. – № 493-В2002 Деп.
- Абруков Д.А. О геометрии поверхности, не принадлежащей абсолюту проективно-метрического пространства // ВИНИТИ РАН. – 2002. – 14 с. – № 1009-В2002 Деп.
- Абруков Д.А. m-мерная поверхность, принадлежащая абсолюту проективно-метрического пространства // Тезисы докл. X международной конференции «Математика. Экономика. Образование», Ростов-на-Дону. – 2002. – С. 54.
Подписано в печать 15.10.02 Формат 60х84/16. Усл. печ. л. 1.
Тираж 100 экз. Заказ № _________. Бесплатно
Отпечатано на участке оперативной полиграфии
Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева
428000, Чебоксары, К. Маркса, 38
[1]. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей // Геометрия (1963) / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. – 1965. – С. 5-64.
[2]. Лумисте Ю.Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. –Т. 13. – ВИНИТИ АН СССР – М., 1977. – С. 273-380.
[3]. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погружённых многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. об-ва, 1953. – Т. 2. – С. 275-382.
[4]. Лаптев Г.Ф. Гиперповерхность в пространстве проективной связности // ДАН СССР. – 1958. – Т. 121. – № 1. – С. 41-44.
[5]. Остиану Н.М. О геометрии многомерной поверхности проективного пространства // Тр. Геом. семинара / Ин-т. научн. информ. АН СССР. – 1966. – Т. 1. – С. 239-263.
[6]. Норден А.П. Пространства аффинной связности. – М.: Наука, 1976. – 432 с.
[7]. Акивис М.А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей // Матем. сб. – 1961. – Т. 53. – №1. – С. 53-72.
[8]. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. Геом. семинара / Ин-т. научн. информ. АН СССР. – 1971. – Т.3. – С. 49-94.
[9]. Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II // Тр. Геом. семинара / Ин-т. научн. информ. АН СССР. – 1971. – Т. 3. – С. 95-114.
[10]. Лумисте Ю.Г. Распределения на однородных пространствах // Проблемы геометрии / Итоги науки техники ВИНИТИ АН СССР. – 1977. – Т. 8. – С. 5-24.
[11]. Столяров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / Итоги науки техники ВИНИТИ АН СССР. – 1975. – Т. 7. – С. 117-151.
[12]. Попов Ю.И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства. – С.-Петребург: С.-Петребургский ун-т, 1992. – 172 с.
[13]. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. Геом. семинара / Ин-т. научн. инф. АН СССР. – 1973. – Т. 4. – С. 71-120.
[14]. Столяров А.В. Двойственная теория оснащённых многообразий: Монография. – Чебоксары, 1994. – 290 с.
[15]. Норден А.П. О полярной нормализации в пространстве с вырожденным абсолютом // Тр. сем. по вект. и тенз. анализу / МГУ. М., 1952. – Вып. 9. – С. 198-212
[16]. Хатипов А.Э. Теория поверхностей в пространстве с абсолютом, распавшимся на пару комплексно-сопряжённых плоскостей // Тр. Узбек. ун-та. – 1955. – 59. – С. 105-132.
[17]. Широков А.П. Геометрия обобщённых биаксиальных пространств // Уч. зап. Казанского гос. ун-та, 1954. – Т. 114. – кн. 2. – С. 123-166.
[18]. Столяров А.В. Внутренняя геометрия проективно-метрического пространства // Диф. геометрия многообразий фигур. – Калининград: Калининградский ун-т, 2001. – Вып. 32. – С. 94-101.
[19]. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. – М. – Л.: ГИТТЛ, 1948. – 432 с.
[20]. Василян М.А. Проективная теория многомерных гиперполос // Изв. АН Арм. ССР. Матем. – 1971. – Т. 6. – №6. – С. 477-481.
[21]. Mihailescu T. Geometrie differentiala projectiva. – Bucureti Acad. RPR. – 1958. – 494 p.
