WWW.DISUS.RU

БЕСПЛАТНАЯ НАУЧНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 

Внутренняя геометрия поверхностей и распределений проективно-метрического простра н ства

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Абруков Денис Александрович

Внутренняя геометрия поверхностей

и распределений проективно-метрического пространства


01.01.04 – геометрия и топология


А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Казань – 2002

Работа выполнена в Чувашском государственном педагогическом

университете имени И.Я. Яковлева

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Столяров А.В.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Защита состоится «___» ___________ 2002 г. в ____ час. ____ мин. на заседании диссертационного совета Д. 212.081.10 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлёвская, 18, конференц-зал научной библиотеки КГУ.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан «___» _____________ 2002 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико- М.А. Малахальцев

математических наук, доцент

  1. Общая характеристика диссертации

Актуальность темы. Теория различных дифференцируемых подмногообразий (в том числе и оснащенных) в однородных и обобщённых пространствах составляет одно из основных направлений исследований современной дифференциальной геометрии. Обзор большого числа работ по геометрии многомерной поверхности как в пространствах с фундаментальными группами, так и в обобщённых пространства приведен в работах Г.Ф. Лаптева[1] ) и Ю.Г. Лумисте[2] ).

Г.Ф. Лаптев[3] ), [4] ) при помощи разработанного им метода продолжений и охватов в инвариантной аналитической форме построил дифференциальную геометрию гиперповерхности в проективном пространстве и пространстве проективной связности.

Н.М. Остиану[5] ) изучала геометрию m-мерной поверхности n-мерного проективного пространства .

Существенные результаты по проективно-дифференциальной геометрии многомерной поверхности принадлежат А.П. Нордену[6] ) и его школе и получены методом нормализации.

М.А. Акивис[7] ) методом Г.Ф. Лаптева осуществил инвариантное построение геометрии поверхностей конформного пространства.

В 60-х-70-х годах прошлого века обобщённая теория распределений m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности (в частности, в проективном пространстве ) получила значительное развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г.Ф. Лаптева[8] ), Н.М. Остиану[9] ), Ю.Г. Лумисте[10] ).

В работах А.В. Столярова[11] ) и Ю.И. Попова[12] ) изучаются соответственно двух- и трехсоставные распределения проективного пространства . Распределениями гиперплоскостных элементов (m=n-1), погружёнными в проективное пространство и пространство проективной связности занимались Н.М. Остиану[13] ), А.В. Столяров[14] ) и др.

Представляет интерес теория подмногообразий, погружённых в пространства, фундаментальная группа которых есть подгруппа проективной (евклидовой, аффинной) группы, преобразования которой оставляют неподвижным некоторое подмногообразие (абсолют), вложенное в данное пространство. Проблемой изучения пространств с абсолютом (а также подмногообразий, погруженных в эти пространства) в разное время занимались такие исследователи как А.П. Норден[15] ), А.Э. Хатипов[16] ), А.П. Широков[17] ) и другие отечественные и зарубежные геометры.

В настоящем диссертационном исследовании предметом изучения являются подмногообразия, погружённые в n-мерное проективно-метрическое пространство 6); под пространством понимается n-мерное проективное пространство , в котором задана неподвижная гиперквадрика (абсолют); фундаментальной группой пространства является подгруппа группы проективных преобразований пространства , а именно, стационарная подгруппа абсолюта .

А.В. Столяров[18] ) изучает внутреннюю геометрию нормализованного в смысле А.П. Нордена проективно-метрического пространства .



Задача изучения геометрии подмногообразий проективно-метрического пространства , а именно, m-мерной поверхности была поставлена А.П. Норденом6).

Объектом изучения настоящей работы являются как голономные (поверхности ), так и неголономные (распределения m-мерных линейных элементов) подмногообразия пространства . Эти исследования являются актуальными, представляют большой научный интерес, ибо:

1) геометрия поверхности в изучена далеко не полно;

2) геометрия распределений m-мерных линейных элементов в (даже в случае m=n-1) до настоящего времени не изучалась;

3) изучение геометрии указанных подмногообразий (как голономных, так и неголономных) в диссертации осуществляется, как правило, с привлечением теории двойственности, что до настоящего времени исследователями не проводилось.

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является изучение геометрии многомерных поверхностей и распределений, погружённых в проективно-метрическое пространство ; решаются следующие ключевые задачи:

1) осуществить подход к изучению геометрии поверхности (m<n-1), не принадлежащей абсолюту , с общих позиций, а именно, от геометрии неголономной поверхности (распределения m-мерных линейных элементов) с использованием подобъектов её фундаментальных объектов порядка перейти к геометрии голономной поверхности ; доказать основную теорему теории поверхности , не принадлежащей абсолюту , то есть найти её полный внутренний фундаментальный объект (глава I);

2) внутренним инвариантным образом изучить двойственную геометрию поверхности (m<n-1), принадлежащей абсолюту проективно-метрического пространства (глава I);

3) построить основы двойственной геометрии как неголономной, так и голономной гиперповерхности, погруженной в проективно-метрическое пространство (главы II и III);

Методика исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, метод внешних дифференциальных форм Э. Картана[19] ) и метод продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева3). Использование указанных методов позволило:

1) исследование геометрии подмногообразий пространства провести инвариантным образом путём построения и изучения полей геометрических объектов, охваченных полями фундаментальных объектов;

2) изучить дифференциально-геометрические факты подмногообразий, связанные с дифференциальными окрестностями по возможности высоких (до четвертого) порядков.

Геометрия аффинных связностей, индуцируемых нормализацией различных подмногообразий проективно-метрического пространства , исследуется с привлечением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.Ф. Лаптевым.

Все рассмотрения в диссертации приводятся с локальной точки зрения; функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми, то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие.

Все результаты получены в минимально специализированных системах отнесения.

Научная новизна полученных результатов обусловлена тем, что, с одной стороны, изучение дифференциальной геометрии подмногообразий происходит посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцируемых полями его фундаментальных объектов, а с другой стороны, с использованием аналитического метода продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева, позволяющего получить результаты в инвариантной форме. Результаты, полученные в диссертационном исследовании, являются новыми.

В работе приведены доказательства всех основных предложений, которые сформулированы в виде теорем.

Теоретическая и практическая значимость. Исследование имеет теоретическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении различных подмногообразий, погружённых в проективно-метрическое пространство . Основными направлениями подобных исследований являются:

• изучение внутренней геометрии гиперполос, гиперполосного распределения и распределения m-мерных линейных элементов пространства ;

• исследование пространств с линейной связностью, индуцируемых внутренними инвариантными оснащениями данных подмногообразий.

Теория, разработанная в диссертации, может служить в качестве материала специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а именно:

а) по теории подмногообразий в пространствах с фундаментальными группами;

б) по теории двойственных линейных связностей на оснащённых подмногообразиях пространств с фундаментальными группами.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на научных конференциях студентов, аспирантов и докторантов Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 2000-2002 г. г.), на итоговых научных конференциях преподавателей ЧГПУ (Чебоксары 2001-2002 г. г.), на заседаниях молодых исследователей по геометрии (ЧГПУ, Чебоксары, 2001-2002 г. г.), на IX Международной конференции «Математика. Образование. Экономика. Экология» (Чебоксары, 2001 г.), на Международной молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2001), на X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (Ростов-на-Дону, 2002), на заседаниях научно-исследовательского геометрического семинара Казанского госуниверситета (2002 г.).

Публикации. Основные научные результаты, включённые в диссертацию, опубликованы в десяти печатных работах [1]-[10] автора.

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы по теме диссертации выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (общая характеристика работы), краткого изложения её содержания, трех глав и списка использованной литературы, включающего 120 наименований. Полный объем работы составляет ­­130 страниц машинописного текста.

II. Краткое содержание диссертации

Глава I диссертации посвящена изучению внутренней геометрии поверхности (m<n-1) проективно-метрического пространства .

В § 1 приводится материал, носящий реферативный характер; он необходим в дальнейшем изложении.

Центральным результатом § 2 является теорема I.1: распределение m-мерных линейных элементов (m<n-1), центр которого не принадлежит абсолюту проективно-метрического пространства , в дифференциальной окрестности первого порядка порождает инвариантно присоединённое к нему гиперполосное распределение m-мерных линейных элементов , для которого данное распределение является базисным; найдено условие регулярности распределения .

В § 3, п. 1 с использованием подобъектов , ,...., соответственно фундаментальных объектов , ,…, распределения в доказана теорема I.2, которая является аналогом теоремы I.1 применительно к поверхности (m<n-1), не принадлежащей абсолюту пространства : поверхность (m<n-1), не принадлежащая абсолюту , в дифференциальной окрестности второго порядка внутренним образом порождает инвариантно присоединённую к ней гиперполосу , для которой данная поверхность является базисной; найдено условие регулярности гиперполосы .

Теорема I.2 позволяет свести изучение геометрии поверхности (m<n-1), не принадлежащей абсолюту , к изучению геометрии ассоциированной с ней гиперполосы ; последний факт заметно упрощает задачу изучения внутренней геометрии подмногообразия . Сказанное подтверждается результатами, полученными в § 3, п. 2, 3, а именно, доказаны следующие центральные теоремы I.3 (п. 2), I.4 (п. 2), I.7 (п. 3) соответственно:





  1. внутренним образом определённая инвариантная нормализация гиперполосы , а значит, и внутренняя инвариантная нормализация её базисной поверхности (m<n-1), не принадлежащей абсолюту , возможна лишь в третьей дифференциальной окрестности текущей точки поверхности и определяется полями квазитензоров третьего порядка;
  2. внутреннее инвариантное оснащение в смысле Э. Картана гиперполосы в , а значит, и её базисной поверхности (m<n-1), не принадлежащей абсолюту , возможно лишь в четвертой дифференциальной окрестности текущей точки поверхности и определяется полями квазитензоров соответственно второго и четвертого порядков , и полем геометрического объекта четвертого порядка ;
  3. порядок полного внутреннего фундаментального объекта поверхности , не принадлежащей абсолюту проективно-метрического пространства (m<n-1), равен пяти, то есть при задании этого объекта поверхность определяется с точностью до преобразования фундаментальной группы пространства .

Последний результат (теорема I.7) является фундаментальным в теории поверхности (m<n-1), ибо он представляет собой аналог теоремы Петерсона-Кодацци для поверхности трехмерного евклидова пространства .

В § 4 исследуется геометрия m-мерной поверхности, принадлежащей абсолюту проективно-метрического пространства .

Центральным результатом § 4, п. 1 является теорема I.8: m-мерная поверхность , текущая точка которой принадлежит абсолюту пространства (m<n-1), порождает инвариантно присоединённую к ней гиперполосу , для которой данная поверхность будет базисной и касательная гиперплоскость к абсолюту в текущей точке является главной касательной гиперплоскостью гиперполосы ; в случае невырожденности абсолюта гиперполоса является регулярной.

Таким образом, изучение геометрии поверхности, принадлежащей невырожденному абсолюту пространства , сводится к изучению геометрии регулярной квадратичной гиперполосы , ассоциированной с этой поверхностью; эта гиперполоса в дальнейшем обозначается ().

Доказано (теорема I.9), что в случае невырожденности абсолюта пространства квадратичная гиперполоса () является конической[20] ) тогда и только тогда, когда она плоская20). Ниже предполагается, что гиперполоса () не является конической (а, следовательно, плоской).

Два пространства с линейной связностью называются двойственными14), если структурные формы этих пространств преобразуются друг в друга по иволютивному закону.

Основным результатом § 4, п. 2 является теорема I.10: m-мерная поверхность , лежащая на абсолюте пространства , индуцирует:

  1. тангенциальное проективно-метрическое пространство () с абсолютом – тангенциальной гиперквадрикой, двойственное пространству(); образующими элементами этой гиперквадрики являются касательные гиперплоскости абсолюта пространства .
  2. во второй дифференциальной окрестности подмногообразие (), двойственное гиперполосе ().

В § 4, п. 3 найдены внутренние инвариантные оснащения в смысле Нордена-Чакмазяна гиперполосы (). Приводятся примеры построения в третьей дифференциальной окрестности внутренних инвариантных двойственных и полярных6) (относительно абсолюта ) нормализаций регулярной квадратичной гиперполосы (), а следовательно, её базисной поверхности .

В § 4, п. 4 показано, что нормализация в смысле Нордена-Чакмазаяна гиперполосы () в индуцирует две двойственные аффинные связности и без кручения; приведены геометрические характеристики аналитических условий параллельного перенесения допустимых направлений в связностях и вдоль кривой l, принадлежащей базисной поверхности гиперполосы ().

Изучается внутренняя геометрия двойственных аффинных связностей и . Доказана справедливость утверждений (теоремы I.11-I.14):

1) Связность (), индуцируемая некоторой нормализацией регулярной квадратичной гиперполосы (), будет вейлевой с полем метрического тензора тогда и только тогда, когда данная нормализация полярна (относительно абсолюта ).

2) Внутренняя геометрия любой из двойственных аффинных связностей и , индуцируемых полярной нормализацией гиперполосы () пространства (m<n-1), является римановой тогда и только тогда, когда нормализация вполне гармонична6) подмногообразию .

3) Полярная нормализация гиперполосы () пространства вполне гармонична подмногообразию тогда и только тогда, когда поле нормалей первого (второго) рода сопряжено6), то есть =0 (гармонично6), то есть =0) гиперполосе .

4) Двойственные аффинные связности и , индуцируемые нормализацией гиперполосы () проективно-метрического пространства , совпадают тогда и только тогда, когда нормализация гиперполосы () полярна относительно абсолюта ; при этом связность риманова с полем метрического тензора .

В § 4, п. 5 найдена связь между геометриями поверхности пространства и m-мерной поверхности конформного пространства . Справедлива теорема I.15: геометрия m-мерной поверхности , принадлежащей абсолюту овального типа n-мерного пространства (m<n-1), изоморфна геометрии m-мерной поверхности собственно конформного пространства ; при этом метрическим тензором пространства является тензор .

В главе II диссертации изучается двойственная геометрия распределения первого рода гиперплоскостных элементов, центр которого – точка – не принадлежит абсолюту пространства .

Центральным результатом § 1, п. 2 является теорема II.1: регулярное распределение гиперплоскостных элементов, погружённое в пространство , индуцирует:

  1. в третьей дифференциальной окрестности тангенциальное проективно-метрическое пространство с абсолютом – тангенциальной гиперквадрикой, двойственное .
  2. в первой дифференциальной окрестности – многообразие , двойственное исходному распределению .

Следует заметить, что тангенциальный абсолют , вообще говоря, не совпадает с тангенциальным абсолютом , образующими элементами которого являются касательные гиперплоскости к абсолюту .

В § 2, п. 1 в третьей дифференциальной окрестности текущего элемента распределения получены определяемые внутренним инвариантным образом поля инвариантных соприкасающихся гиперквадрик и распределения в и двойственного подмногообразия в соответственно.

В случае голономного распределения обращение в нуль тензора Дарбу есть условие касания третьего порядка соприкасающихся гиперквадрик поля () с распределением (подмногообразием в ).

В § 2, п. 2 приведены примеры построения двойственных внутренним образом определяемых инвариантных оснащений в смысле А.П. Нордена регулярного распределения в .

В § 2, п. 3 показано, что нормализация в смысле А.П. Нордена регулярного распределения гиперплоскостных элементов в индуцирует две двойственные аффинные связности и без кручения. Доказано, что двойственные аффинные связности и обобщённо сопряжены6) относительно поля тензора вдоль любой кривой l, принадлежащей распределению в . В случае голономности распределения найдено условие совпадения связностей и (теорема II.2): на нормализованном голономном распределении гиперплоскостных элементов в двойственные аффинные связности и совпадают тогда и только тогда, когда нормализация подмногообразия есть нормализация Михэйлеску и соприкасающиеся гиперквадрики с распределением имеют касание третьего порядка.

В § 3 найдена квадратичная форма, определяющая метрику тангенциального проективно-метрического пространства . Доказано, что данная метрика является невырожденной тогда и только тогда, когда абсолют пространства невырожден: .

В § 4 исследуется внутренняя геометрия нормализованного тангенциального проективно-метрического пространства . Суть нормализации пространства состоит в задании некоторого однозначного, непрерывного и дифференцируемого соответствия «гиперплоскость связка гиперплоскостей с центром в точке », . Нормализация пространства будет полярной относительно тангенциального абсолюта , если центр нормализующей связки гиперплоскостей является полюсом нормализуемой гиперплоскости относительно абсолюта .

Доказано, что нормализация пространства индуцирует пространство аффинной связности без кручения. Имеют место следующие предложения (теоремы II.3-II.5):

1) внутренняя геометрия симметрического пространства аффинной связности , индуцируемого полярной нормализацией тангенциального проективно-метрического пространства , является метрической с полем метрического тензора и эквиаффинной;

2) для того, чтобы связность пространства , индуцируемого некоторой нормализацией тангенциального проективно-метрического пространства с невырожденной метрикой, являлась вейлевой, необходимо и достаточно, чтобы данная нормализация была полярной;

3) пространство аффинной связности, индуцируемое полярной нормализацией тангенциального пространства с невырожденной метрикой, является римановым постоянной кривизны ; при этом если пространство является собственно римановым, то при > 0 абсолют пространства есть тангенциальная гиперквадрика овального типа, а при < 0 – тангенциальная мнимая гиперквадрика.

Справедлива теорема II.6: регулярное распределение гиперплоскостных элементов , погружённое в пространство , при полярной нормализации точечного и тангенциального пространств и соответственно в случае невырожденности их абсолютов и индуцирует два римановых пространства и одинаковой постоянной кривизны , причем эти пространства являются изоморфными относительно инволютивного преобразования структурных форм пространств и .

В главе III работы изучается геометрия регулярной гиперповерхности , текущая точка которой не принадлежит абсолюту пространства .

В § 1 доказана теорема III.1: регулярная гиперповерхность в проективно-метрическом пространстве индуцирует:

а) в третьей дифференциальной окрестности проективное пространство , двойственное пространству ;

б) во второй дифференциальной окрестности – многообразие , двойственное исходной гиперповерхности .

В § 2 изучается гиперповерхность , полярная по отношению к исходной гиперповерхности пространства .

В § 2, п. 1 показано, что регулярная гиперповерхность в внутренним образом индуцирует регулярную гиперповерхность , полярную данной относительно абсолюта с невырожденным тензором ; при этом касательной гиперплоскостью () в текущей точке () будет поляра точки ().

Справедлива теорема III.3: регулярная гиперповерхность в вырождается в гиперквадрику тогда и только тогда, когда полярная ей (относительно абсолюта ) гиперповерхность вырождается в гиперквадрику .

В § 2, п. 2 доказана теорема III.4: полярная гиперповерхность , погружённая в пространство , индуцирует:

а) в третьей дифференциальной окрестности проективное пространство , двойственное ();

б) во второй дифференциальной окрестности – подмногообразие , двойственное исходному .

В § 3 в четвертой дифференциальной окрестности текущей точки гиперповерхности построено поле канонического пучка нормалей первого рода , определяемое полями квазитензоров (поле нормалей Фубини) и (поле директрис Вильчинского), а также поле однопараметрического пучка нормалей второго рода с -мерной вершиной в касательной плоскости гиперповерхности . Гиперповерхность, в каждой точке () которой канонический пучок нормалей первого рода () вырождается в одну нормаль, по аналогии с поверхностью назовём коинцидентной[21] ).

Центральным результатом § 3 является теорема III.6: нормализация в смысле А.П. Нордена одной из регулярных гиперповерхностей или в равносильна нормализации другой; при этом нормаль первого (второго) рода гиперповерхности полярна (относительно абсолюта ) нормали второго (первого) рода гиперповерхности , причем оснащающие объекты и связаны соотношениями

, (*)

Определение. Нормализации полярных гиперповерхностей и в полями объектов и соответственно, связанных между собой соотношениями (*), назовем полярными по отношению друг к другу.

Доказаны следующие основные утверждения, касающиеся канонических пучков нормалей первого и второго родов гиперповерхностей и в :

  1. В каждой точке () пучок нормалей первого рода () гиперповерхности () вырождается в одну нормаль тогда и только тогда, когда в этой точке пучок нормалей второго рода () вырождается в одну нормаль (теоремы III.5, III.10).
  2. В точке пучок нормалей первого рода (второго рода ) вырождается в одну нормаль тогда и только тогда, когда в соответствующей точке полярный пучок нормалей второго рода (первого рода ) полярной гиперповерхности вырождается в одну нормаль; следовательно, полярные гиперповерхности и в могут быть коинцидентными лишь одновременно (теорема III.11).

В § 4 изучается внутренняя геометрия двойственных аффинных связностей, индуцируемых полярными нормализациями гиперповерхностей и пространства .

Нормализация в смысле А.П. Нордена регулярной гиперповерхности () в индуцирует две двойственные аффинные связности и ( и ) без кручения. Аффинные связности и ( и ) сопряжены относительно поля тензора (). Аффинная связность (), средняя по отношению к и ( и ), является вейлевой с полем невырожденного метрического тензора (). Заметим, что .

Найдены аналитические условия эквиаффинности связностей и ( и ), а также условие римановости средней связности (); в частности, геометрии двойственных пространств аффинной связности и ( и ), индуцируемых нормализацией Фубини гиперповерхности () в , являются эквиаффинными, а их средняя связность – риманова.

Справедливо следующее условие совпадения связностей и ( и ) (теоремы III.12, III.13): двойственные аффинные связности и ( и ), индуцируемые на нормализованной гиперповерхности () проективно-метрического пространства , совпадают тогда и только тогда, когда рассматриваемая гиперповерхность есть гиперквадрика и её нормализация является автополярной; при этом связность () риманова с метрическим тензором ().

III. Основные результаты диссертации,

выносимые на защиту

1) Доказано, что распределение m-мерных линейных элементов пространства (m<n-1) порождает присоединённое к нему внутренним инвариантным образом гиперполосное распределение m-мерных линейных элементов.

2) Доказано основное предложение теории m-мерной поверхности (m<n-1), не принадлежащей абсолюту пространства : порядок полного внутреннего фундаментального объекта поверхности равен пяти; при задании этого объекта поверхность определяется с точностью до преобразования фундаментальной группы пространства (заметим, что для общей m-мерной поверхности , m<n-1 проективного пространства вопрос о порядке полного внутреннего фундаментального объекта, вообще говоря, остается открытым).

3) Показано, что с m-мерной поверхностью , m<n-1, принадлежащей абсолюту пространства , внутренним инвариантным образом ассоциируется квадратичная гиперполоса (), что позволило построить двойственную геометрию данной поверхности.

4) Показано, что регулярное распределение гиперплоскостных элементов (неголономная гиперповерхность) с центром, не принадлежащим абсолюту пространства , внутренним инвариантным образом в третьей дифференциальной окрестности элемента подмногообразия индуцирует тангенциальное проективно-метрическое пространство с абсолютом – тангенциальной гиперквадрикой; изучаются некоторые вопросы метрики тангенциального пространства и внутренней геометрии нормализованного пространства . В разных дифференциальных окрестностях получен ряд результатов, определяющих двойственную геометрию нормализованного подмногообразия .

5) Исследуется двойственная геометрия гиперповерхности , текущая точка которой не принадлежит абсолюту пространства : построена полярная (относительно абсолюта ) гиперповерхность , найдены двойственные образы и гиперповерхностей и соответственно, рассмотрены примеры построения внутренним образом двойственных и полярных нормализаций гиперповерхностей и , найдена связь между ними; исследуется внутренняя геометрия двойственных аффинных связностей, индуцируемых этими нормализациями.

IV. Работы автора, опубликованные по теме диссертации

  1. Абруков Д.А. Распределения гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве // ВИНИТИ РАН. – 2001. – 21 с. – № 872-В2001 Деп.
  2. Абруков Д.А. Геометрия гиперповерхности проективно-метрического пространства // ВИНИТИ РАН. – 2001. – 34 с. – № 2420-В2001 Деп.
  3. Абруков Д.А. Распределения гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве // Тезисы докл. IX международной конференции «Математика. Образование. Экономика. Экология», Чебоксары. – 2001. – С. 29.
  4. Абруков Д.А. О взаимном распределении гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов. – Чебоксары: ЧГПУ, 2001. – В. 9. – С. 9-15.
  5. Абруков Д.А. Внутренняя геометрия тангенциального проективно-метрического пространства // Вестник ЧГПУ. Физико-математические науки. – Чебоксары: ЧГПУ, 2001. – № 2(21). – С. 9-15.
  6. Абруков Д.А. Гиперповерхность в проективно-метрическом пространстве // Материалы межд. науч. молодежной школы-конференции. Казань: Изд-во ДАС, 2001. – С. 73.
  7. Абруков Д.А. Взаимная гиперповерхность проективно-метрического пространства // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов. – Чебоксары: ЧГПУ, 2001. – В. 10. – С. 173-179.
  8. Абруков Д.А. Геометрия поверхности, принадлежащей абсолюту проективно-метрического пространства // ВИНИТИ РАН. – 2002. – 24 с. – № 493-В2002 Деп.
  9. Абруков Д.А. О геометрии поверхности, не принадлежащей абсолюту проективно-метрического пространства // ВИНИТИ РАН. – 2002. – 14 с. – № 1009-В2002 Деп.
  10. Абруков Д.А. m-мерная поверхность, принадлежащая абсолюту проективно-метрического пространства // Тезисы докл. X международной конференции «Математика. Экономика. Образование», Ростов-на-Дону. – 2002. – С. 54.

Подписано в печать 15.10.02 Формат 60х84/16. Усл. печ. л. 1.

Тираж 100 экз. Заказ № _________. Бесплатно

Отпечатано на участке оперативной полиграфии

Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева

428000, Чебоксары, К. Маркса, 38


[1]. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей // Геометрия (1963) / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. – 1965. – С. 5-64.

[2]. Лумисте Ю.Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. –Т. 13. – ВИНИТИ АН СССР – М., 1977. – С. 273-380.

[3]. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погружённых многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. об-ва, 1953. – Т. 2. – С. 275-382.

[4]. Лаптев Г.Ф. Гиперповерхность в пространстве проективной связности // ДАН СССР. – 1958. – Т. 121. – № 1. – С. 41-44.

[5]. Остиану Н.М. О геометрии многомерной поверхности проективного пространства // Тр. Геом. семинара / Ин-т. научн. информ. АН СССР. – 1966. – Т. 1. – С. 239-263.

[6]. Норден А.П. Пространства аффинной связности. – М.: Наука, 1976. – 432 с.

[7]. Акивис М.А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей // Матем. сб. – 1961. – Т. 53. – №1. – С. 53-72.

[8]. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. Геом. семинара / Ин-т. научн. информ. АН СССР. – 1971. – Т.3. – С. 49-94.

[9]. Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II // Тр. Геом. семинара / Ин-т. научн. информ. АН СССР. – 1971. – Т. 3. – С. 95-114.

[10]. Лумисте Ю.Г. Распределения на однородных пространствах // Проблемы геометрии / Итоги науки техники ВИНИТИ АН СССР. – 1977. – Т. 8. – С. 5-24.

[11]. Столяров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / Итоги науки техники ВИНИТИ АН СССР. – 1975. – Т. 7. – С. 117-151.

[12]. Попов Ю.И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства. – С.-Петребург: С.-Петребургский ун-т, 1992. – 172 с.

[13]. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. Геом. семинара / Ин-т. научн. инф. АН СССР. – 1973. – Т. 4. – С. 71-120.

[14]. Столяров А.В. Двойственная теория оснащённых многообразий: Монография. – Чебоксары, 1994. – 290 с.

[15]. Норден А.П. О полярной нормализации в пространстве с вырожденным абсолютом // Тр. сем. по вект. и тенз. анализу / МГУ. М., 1952. – Вып. 9. – С. 198-212

[16]. Хатипов А.Э. Теория поверхностей в пространстве с абсолютом, распавшимся на пару комплексно-сопряжённых плоскостей // Тр. Узбек. ун-та. – 1955. – 59. – С. 105-132.

[17]. Широков А.П. Геометрия обобщённых биаксиальных пространств // Уч. зап. Казанского гос. ун-та, 1954. – Т. 114. – кн. 2. – С. 123-166.

[18]. Столяров А.В. Внутренняя геометрия проективно-метрического пространства // Диф. геометрия многообразий фигур. – Калининград: Калининградский ун-т, 2001. – Вып. 32. – С. 94-101.

[19]. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. – М. – Л.: ГИТТЛ, 1948. – 432 с.

[20]. Василян М.А. Проективная теория многомерных гиперполос // Изв. АН Арм. ССР. Матем. – 1971. – Т. 6. – №6. – С. 477-481.

[21]. Mihailescu T. Geometrie differentiala projectiva. – Bucureti Acad. RPR. – 1958. – 494 p.



 





<


 
2013 www.disus.ru - «Бесплатная научная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.