Двойственные пространства аффинно-метрической связности
На правах рукописи
Аленина Татьяна Геннадьевна
ДВОЙСТВЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
АФФИННО-МЕТРИЧЕСКОЙ СВЯЗНОСТИ
01.01.04 – геометрия и топология
Автореферат
диссертации на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
Казань – 2010
Работа выполнена на кафедре геометрии ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор
Столяров Алексей Васильевич
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор
Игошин Владимир Александрович
кандидат физико-математических наук,
профессор
Султанов Адгам Яхиевич
Ведущая организация: Московский педагогический государственный университет
Защита состоится 7 октября 2010 года в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д. 212. 081. 10 при Казанском государственном университете им. В. И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).
Автореферат разослан «__» 2010 г.
Учёный секретарь
диссертационного совета
канд. физ.-мат. наук, доцент Липачёв Е. К.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ
Постановка вопроса и актуальность темы.
В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связностей в различных расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в однородные и обобщенные пространства.
История теории связностей начинается с 1917 года с работы Т. Леви-Чивита [20] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Г. Вейль [21] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности.
Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [4] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В середине ХХ века В. В. Вагнер [1], [2] и Ш. Эресман [19] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.
А. П. Норден [9] разработал метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Г. Ф. Лаптев [5], следуя идеям Э. Картана, линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия.
В 50-х годах XX века Г. Ф. Лаптевым [5] был развит новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и пространства с фундаментально-групповой связностью. С использованием этого метода задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия.
В 70-х годах ХХ века обобщенная теория распределения 
-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности 
(в частности, в проективном пространстве 
) получила развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану (см. [7], [8], [11], [12]). А. В. Столяров [14] строит инвариантную двойственную теорию регулярного гиперполосного распределения 
-мерных линейных элементов, а также регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности 
.
Согласно А. П. Нордену [9], пространством 
измерений с проективной метрикой или пространством 
называется такое пространство, образом точки которого является точка проективного пространства, а фундаментальной группой – подгруппа проективных преобразований, сохраняющих некоторый поляритет (абсолют). Этот поляритет называется абсолютным поляритетом пространства 
. В монографии А. П. Нордена изучаются некоторые вопросы геометрии пространства 
с невырожденным абсолютом 
. В случае, когда абсолют 
овального типа, поляритет называется гиперболическим.
В работе Г. Ф. Лаптева [5] вводится понятие пространства проективно-метрической связности 
: пространство 
есть пространство проективной связности 
, обладающее инвариантным полем локальных гиперквадрик 
(локальных абсолютов). А. В. Столяровым [17] найдено инвариантное аналитическое условие, при выполнении которого пространство 
становится пространством проективно-метрической связности 
.
А. В. Столяров показал [15], что с пространством аффинной связности 
ассоциируется расширенное пространство аффинной связности 
. Ввел понятие пространства аффинно-метрической связности 
: пространство аффинной связности 
, называется пространством аффинно-метрической связности 
, если расширенное пространство 
является пространством проективно-метрической связности 
.
Объектом исследования настоящей работы являются: пространство аффинно-метрической связности 
; гиперполосное распределение 
-мерных линейных элементов 
, погруженное в пространство аффинно-метрической связности 
; гиперповерхность в пространстве аффинно-метрической связности 
.
Эти исследования являются актуальными и представляют большой научный интерес, ибо:
1) изучение геометрии нормализованного пространства аффинно-метрической связности 
до настоящего времени находилась в начальной стадии;
2) исследования по разработке двойственной теории как голономных, так и неголономных подмногообразий, вложенных в пространство аффинно-метрической связности 
, ранее геометрами не проводились;
3) представляет научный интерес изучение геометрии гиперповерхности в пространстве аффинно-метрической связности.
Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является инвариантное построение двойственной геометрии некоторых оснащенных многообразий, погруженных в пространство аффинно-метрической связности 
, на основе широкого привлечения их двойственных образов. Достижение поставленной цели включают в себя решение следующих ключевых задач:
1) инвариантным образом построить основы двойственной теории аффинных связностей, индуцируемых нормализацией пространства аффинно-метрической связности 
;
2) исследовать дифференциально-геометрические структуры, внутренним образом определяемые нормализацией гиперполосного распределения 
-мерных линейных элементов 
в 
;
3) проводить изучения двойственной геометрии оснащенной в смысле А. П. Нордена регулярной гиперповерхности, погруженной в пространство аффинно-метрической связности Mn,n.
Методы исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [5], метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [18] и метод нормализации А. П. Нордена [9]. Использование указанных методов позволило:
1) исследование геометрии оснащенных подмногообразий пространства 
провести инвариантным образом путем построения и изучения полей геометрических объектов, охваченных полями фундаментальных и оснащающих объектов;
2) изучать дифференциально-геометрические факты исследуемых подмногообразий, связанные с дифференциальными окрестностями до третьего порядка включительно.
Все исследования проведены в минимально специализированных системах отнесения, что позволило получить результаты в инвариантной форме.
Результаты по геометрии связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [3], [5], [6], [10].
Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения поставленных задач, являются новыми. Научная новизна обусловлена тем, что до настоящего времени в математической литературе геометрия оснащенных подмногообразий, погруженных в пространство аффинно-метрической связности 
, оставалась практически не разработанной.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты дополняют исследования по изучению оснащенных подмногообразий, погруженных в пространства аффинной и проективной связностей 
и 
, и могут быть использованы при дальнейшем изучении различных подмногообразий (как голономных, так и неголономных), погруженных в пространство аффинно-метрической связности 
.
Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а также при выполнении ими курсовых, дипломных и научных работ.
Апробация. Основные результаты диссертации доказывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях по современным проблемам геометрии:
– на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева (г. Чебоксары, 2007 – 2009 гг.);
– на научных конференциях аспирантов, докторантов и научных сотрудников Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева (г. Чебоксары, 2007 – 2009 гг.);
– на 6-ой, 7-ой, 8-ой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (г. Казань, 2007-2009 гг.);
– на XLVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2009 г.);
– на Международной научной конференции «Лаптевские чтения – 2009» (г. Москва – г. Тверь, 2009 г.).
Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертационную работу, опубликованы в 16 печатных работах автора (см. [1]-[16]).
Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика и содержание диссертации), трех глав и списка литературы, включающего 94 наименования. Полный объем диссертации составляет 103 страницы машинописного текста.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
В первой главе изучается двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности 
и пространства аффинно-метрической связности 
.
В начале главы (§ 1, пп. 1, 2) приводится материал, носящий реферативный характер и необходимый для дальнейшего изложения. Здесь отражены пути подхода геометров к определению понятия связности в присоединенном расслоенном многообразии, приведены: 1) формулировка теоремы Картана-Лаптева; 2) определение понятия пространства аффинно-метрической связности; 3) критерий того, что пространство аффинной связности 
является пространством аффинно-метрической связности 
.
В п. 2 § 1 вводится понятие расширенного пространства аффинной связности 
.
Определены понятия развертки пространства аффинно-метрической связности 
на аффинно-метрическое пространство 
вдоль некоторой кривой на базе и развертки этой кривой; найдена квадратичная форма 
, определяющая метрику пространства аффинно-метрической связности 
.
Пространство аффинной связности по аналогии с определением, введенным А. П. Норденом [9] для проективного пространства 
, называется нормализованным (оснащенным по А. П. Нордену), если в расширенном пространстве 
задано поле ковектора 
. Методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [5] в первых трех дифференциальных окрестностях нормализованного пространства аффинной связности построены поля тензоров 
; при этом тензор 
предполагается невырожденным, то есть рассматривается невырожденная [14] нормализация пространства 
. По аналогии с нормализованным проективным пространством 
[9] нормализация пространства 
с полем симметрического тензора 
называется гармонической.
С использованием теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [5], [6], получен (§ 2, п. 3) один из центральных результатов первой главы: с пространством аффинной связности 
, нормализованным полем ковектора 
невырожденным образом, ассоциируются четыре пространства проективной связности 
, 
нормализованные невырожденным образом полем ковектора 
, причем эти пространства попарно двойственны относительно соответствующих инволютивных преобразований 
форм связности; при этом гармоничность нормализации одного из пространств 
влечет гармоничность нормализации других (теорема I.1).
Доказано (§ 3, п. 1), что при невырожденной нормализации пространства аффинной связности 
индуцируются четыре двойственные между собой (относительно инволютивных преобразований 
) пространства аффинной связности 
(теорема I.2).
В § 3, п. 1доказано, что:
1) аффинные связности 
и 
пространств 
и 
, индуцируемые невырожденной нормализацией пространства аффинной связности 
, являются обобщенно сопряженными [9] относительно поля тензора 
(теорема I.3);
2) пространства 
и 
, индуцируемые невырожденной нормализацией пространства аффинной связности 
, могут быть пространствами с абсолютным параллелизмом [9], [13] лишь одновременно (теорема I.4);
3) если из четырех пространств аффинной связности 
, индуцируемых невырожденной нормализацией пространства аффинной связности 
, любые три – без кручения, то четвертое пространство также имеет нулевое кручение (теорема I.5).
Пункт 2 § 3 первой главы посвящен нахождению критерия того, что каждое из двойственных пространств аффинной связности 
, индуцируемых невырожденной гармонической нормализацией пространства аффинно-метрической связности 
, является пространством аффинно-метрической связности (теоремы I.6, I.7).
Доказано (§ 3, п. 2), что если каждое из двойственных пространств 
, индуцируемых невырожденной гармонической нормализацией пространства аффинно-метрической связности 
, имеет нулевое кручение, то любое из них есть пространство аффинно-метрической связности тогда и только тогда, когда нормализация пространства 
является полярной [9] относительно поля локальных абсолютов 
; при этом пространства 
вырождаются в одно пространство 
(теорема I.8).
В главе II диссертации изучается двойственная геометрия регулярного гиперполосного распределения 
-мерных линейных элементов 
, погруженного в пространство аффинно-метрической связности 
.
В § 1, п. 1 записаны дифференциальные уравнения подмногообразия 
, приведены поля его фундаментальных и некоторых охваченных геометрических объектов.
Центральным результатом п. 2 § 1 является теорема II.1: регулярное гиперполосное распределение 
-мерных линейных элементов 
, заданное в расширенном пространстве аффинной связности 
, во 2-й дифференциальной окрестности его образующего элемента индуцирует: 1) пространство проективной связности 
, двойственное расширенному пространству аффинной связности 
, причем пространства 
и 
могут быть плоскими лишь одновременно; 2) многообразие 
в 
, двойственное исходному распределению 
.
В п. 3 § 1 главы II найдено (при задании регулярного гиерполосного распределения 
в 
) условие существования пространства аффинной связности, двойственного исходному пространству 
.
Основной результат п. 3 § 1 содержится в теореме II.2: для того чтобы при задании регулярного гиперполосного распределения 
-мерных линейных элементов 
в 
индуцировалось пространство аффинной связности 
, двойственное исходному, необходимо и достаточно, чтобы слоевые формы 
пространства 
обращались в нуль.
Найдены соотношения, связывающие компоненты тензоров кривизны и кручения двойственных пространств аффинной связности 
и 
.
Геометрическое истолкование условия существования пространства 
заключается в следующем: для того чтобы при задании регулярного гиперполосного распределения 
-мерных линейных элементов 
в 
индуцировалось пространство аффинной связности 
, двойственное исходному, достаточно, чтобы направление 
в связности пространства 
переносилось параллельно вдоль любой кривой пространства 
; в случае аффинного пространства 
справедливо и обратное утверждение.
Пункт 4 § 1 посвящен нахождению критерия того, что пространство 
является пространством проективно-метрической связности 
без кручения, двойственное пространству 
без кручения (теорема II.4). Найдено условие (§ 1, п. 4), при котором пространство 
является ассоциированным с некоторым пространством аффинно-метрической связности 
без кручения; при выполнении последнего пространства 
и 
являются двойственными пространствами аффинно-метрической связности.
Доказано (§ 3, пп. 1, 2), что регулярное гиперполосное распределение 
-мерных линейных элементов 
в 
внутренним образом порождает два поля инвариантных соприкасающихся гиперквадрик [5], [8], [14] 
и 
, определенных во второй и третьей дифференциальных окрестностях текущего элемента распределения соответственно. Поле соприкасающихся гиперквадрик 
имеет место как на гиперполосном распределении 
-мерных линейных элементов 
в 
, так и на регулярной гиперполосе 
в 
, если вместо тензора 
взять тензор 
, полученный в работах А. В. Столярова [13], [16], а поле 
имеет место лишь на взаимном гиперполосном распределении 
. В случае распределения 
с полем симметричного тензора 
найдены условия касания третьего порядка [14] гиперквадрик полей 
и 
с подмногообразием 
в 
(теоремы II.5, II.6).
В § 4 второй главы изучается двойственная геометрия нормализованного гиперполосного распределения 
-мерных линейных элементов 
в пространстве аффинно-метрической связности 
.
Доказано (п. 2 § 4), что нормализация 
регулярного гиперполосного распределения 
-мерных линейных элементов 
, вложенного в пространство аффинно-метрической связности 
с полем локальных абсолютов с невырожденным тензором 
и допускающего обращение в нуль тензора 
, является взаимной [9] (теорема II.7). Система форм 
на распределении 
, вложенного в пространство аффинно-метрической связности 
с полем локальных абсолютов с невырожденным тензором 
и допускающего обращение в нуль тензора 
, определяет пространство аффинной связности 
, причем распределение нормалей первого рода 
голономно [8] тогда и только тогда, когда пространство 
имеет нулевое кручение (теоремы II.8).
В § 4, п. 2 доказано, что нормализация 
регулярного гиперполосного распределения 
-мерных линейных элементов 
, погруженного в пространство аффинно-метрической связности 
, индуцирует два двойственных пространства аффинной связности 
и 
; аффинные связности 
и 
пространств 
и 
обобщенно сопряжены [9] относительно поля основного тензора 
вдоль любой кривой, принадлежащей базисному распределению многообразия 
в 
(теорема II.9).
Доказано (п. 3 § 4), что:
1) нормализация 
регулярного гиперполосного распределения 
-мерных линейных элементов 
, вложенного в пространство аффинно-метрической связности 
с полем соприкасающихся гиперквадрик 
, является взаимной [9] относительно поля соприкасающихся гиперквадрик 
(теорема II.10);
2) в условиях теоремы II.10 нормализация 
регулярного гиперполосного распределения 
-мерных линейных элементов 
индуцирует два двойственных пространства аффинной связности 
и 
;
3) аффинные связности 
и 
обобщенно сопряжены [9] относительно поля основного тензора 
вдоль любой кривой, принадлежащей базисному распределению многообразия 
в 
(теорема II.11).
Глава III диссертации посвящена исследованию пространства аффинной связности 
, индуцируемого на нормализованной гиперповерхности 
, на предмет вырождения его в пространство аффинно-метрической связности 
.
В § 1 найдено дифференциальное уравнение гиперповерхности 
в пространстве аффинной связности 
; в разных дифференциальных окрестностях получены поля ее фундаментальных и некоторых охваченных геометрических объектов.
В § 2 третьей главы показано, что на нормализованной регулярной гиперповерхности 
в 
индуцируются две двойственные аффинные связности 
и 
пространств 
и 
; найдены условия, при которых первое пространство аффинной связности 
является 
-мерным пространством аффинно-метрической связности 
(теоремы III.1, III.2). Эти условия приведены также в случае: 1) нормализации гиперповерхности 
, вложенной в пространство аффинно-метрической связности 
без кручения; 2) аффинной нормализации регулярной гиперповерхности 
, вложенной в плоское пространство 
; при этом как в случае 1), так и в случае 2), пространство 
. Есть пространство эквиаффинной связности.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ,
ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ
1. Доказано, что: 1) что при невырожденной нормализации пространства аффинной связности 
индуцируются четыре двойственные между собой пространства аффинной связности 
; 2) аффинные связности 
и 
являются обобщенно сопряженными [9] относительно поля тензора 
; 3) пространства 
и 
могут быть пространствами с абсолютным параллелизмом лишь одновременно; 4) если из четырех пространств аффинной связности 
, любые три – без кручения, то четвертое пространство также имеет нулевое кручение. Найдены условия, при которых каждое из двойственных пространств аффинной связности 
, индуцируемых невырожденной гармонической нормализацией пространства аффинно-метрической связности 
, является пространством аффинно-метрической связности. Показано, что если каждое из двойственных пространств 
, индуцируемых невырожденной гармонической нормализацией пространства аффинно-метрической связности 
, имеет нулевое кручение, то любое из них есть пространство аффинно-метрической связности тогда и только тогда, когда нормализация пространства 
является полярной; при этом пространства 
вырождаются в одно пространство 
.
2. Доказано, что регулярное гиперполосное распределение 
-мерных линейных элементов 
в расширенном пространстве аффинной связности 
индуцирует: 1) пространство проективной связности 
, двойственное пространству 
, причем пространства 
и 
могут быть плоскими лишь одновременно; 2) многообразие 
в 
, двойственное исходному распределению. При задании регулярного гиперполосного распределения 
в 
найдено условие, при выполнении которого существует пространство аффинной связности 
, двойственное исходному пространству 
.
3. Найден критерий того, что пространство 
является пространством проективно-метрической связности 
без кручения, двойственное пространству 
без кручения. Найдено условие, при котором пространство 
является ассоциированным с некоторым пространством аффинно-метрической связности 
без кручения; при выполнении последнего пространства 
и 
являются двойственными пространствами аффинно-метрической связности.
4. Доказано, что регулярное гиперполосное распределение 
-мерных линейных элементов 
в 
внутренним образом порождает два поля инвариантных соприкасающихся гиперквадрик 
и 
, определенных во второй и третьей дифференциальных окрестностях текущего элемента распределения соответственно; при этом поле соприкасающихся гиперквадрик 
имеет место лишь на взаимном гиперполосном распределении 
. В случае распределения 
с полем симметричного тензора 
найдены условия касания третьего порядка гиперквадрик полей 
и 
с подмногообразием 
в 
.
5. Известно, что на нормализованной регулярной гиперповерхности 
индуцируются два двойственных пространства аффинной связности 
, 
. Найдены условия, при которых первое пространство аффинной связности 
, индуцируемое нормализацией регулярной гиперповерхности 
, вложенной в пространство аффинно-метрической связности 
, является пространством аффинно-метрической связности 
. Эти условия приведены также в случае: 1) нормализации гиперповерхности 
, вложенной в пространство аффинно-метрической связности 
без кручения; 2) аффинной нормализации регулярной гиперповерхности 
, вложенной в плоское пространство 
; при этом как в случае 1), так и в случае 2) пространство 
, есть пространство эквиаффинной связности.
Список литературы
[1] Вагнер В. В. Обобщение тождества Риччи и Бианки для связности в составном многообразии / В. В. Вагнер // ДАН СССР. – 1945, 46. –№8. – С. 335-338.
[2] Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. – 1950. – Вып. 8. – С. 11-72.
[3] Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик [и др.] // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. – М., 1979. – Т. 9. – 246 с.
[4] Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. – Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1962. – 210 с.
[5] Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погружённых многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Тр. Моск. матем. об-ва. – М., 1953. – Т. 2. – С. 275-382.
[6] Лаптев Г. Ф. Многообразия, погружённые в обобщённые пространства / Г. Ф. Лаптев // Тр. 4-го Всес. матем. съезда (1961). – Ленинград, 1964. – Т. 2. – С. 226-233.
[7] Лаптев Г. Ф. Распределения касательных элементов / Г. Ф. Лаптев // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. – М., 1971. – Т. 3. – С. 29-48.
[8] Лаптев Г. Ф. Распределения 
-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I / Г. Ф. Лаптев, Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. – М., 1971. – Т. 3. – С. 49-94.
[9] Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. – М.: Наука, 1976. – 432 с.
[10] Остиану Н. М. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева / Н. М. Остиану, В. В. Рыжков, П. И. Швейкин // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. – М., 1973. – Т. 4. – С. 7-70.
[11] Остиану Н. М. Распределения 
-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II / Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. – М., 1971. – Т. 3. – С. 96-114.
[12] Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. – М., 1973. – Т. 4. – С. 71-120.
[13] Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. – М.: Наука, 1967. – 664 с.
[14] Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. – 2-е изд., доп. – Чебоксары : Изд-во Чуваш. гос. пед. ин-та, 1994. – 290 с.
[15] Столяров А. В. Пространство аффинно-метрической связности / А. В. Столяров.// Известия вузов. Математика. – 2007. – №9. – С. 71-82.
[16] Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения 
-мерных линейных элементов / А. В. Столяров // Проблемы геометрии / Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. 1975. Т.7. С. 117-151.
[17] Столяров А. В. Пространство проективно-метрической связности / А. В. Столяров.// Известия вузов. Математика. – 2003. – №11. – С. 70-76.
[18] Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. – М.-Л. : ГИТТЛ, 1948. – 432 с.
[19] Ehresmann C. Les connexions infinitesimals dans un space fibr diffrentiable / C. Ehresmann // Collque de Topologie (Bruxelles, 1950). – Paris, 1951. – P. 29-55.
[20] Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. matem. – Palermo, 1917, 42. – P. 173-205.
[21] Weyl H. Raum. Zeit, Materie / H. Weyl. – Berlin, 1918.
РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
[1] Аленина Т. Г. К геометрии нормализованного пространства аффинной связности / Т. Г. Аленина // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского : Материалы Шестой молодежной науч. школы-конф. – Казань : Изд-во Казанского мат. об-ва, 2007. – Т. 36. – С. 10–13.
[2] Аленина Т. Г. Геометрия невырожденной нормализации пространства аффинной связности / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. – М., 2008. – № 236. – В2008. – 17 с.
[3] Аленина Т. Г. О двойственных пространствах аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. – Чебоксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2008. – № 1 (11). – Т. 1. – С. 5–10.
[4] Аленина Т. Г. Пространство аффинно-метрической связности на нормализованной гиперповерхности / Т. Г. Аленина // Дифференциальная геометрия многообразий фигур : Межвуз. темат. сб. науч. тр. – Калининград : Изд-во РГУ им. И. Канта, 2008. – Вып. 39. – С. 5–12.
[5] Аленина Т. Г. К двойственной геометрии регулярного гиперполосного распределения в пространстве аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского : Материалы Седьмой молодежной науч. школы-конф. – Казань : Изд-во Казанского мат. об-ва, 2008. – Т. 37. – С. 14–17.
[6] Аленина Т. Г. Регулярное гиперполосное распределение и двойственные пространства аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. – М., 2008. – № 909. – В2008. – 19 с.
[7] Аленина Т. Г. Двойственные пространства аффинно-метрической связности, индуцируемые гиперполосным распределением / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. – М., 2009. – № 140. – В2009. – 19 с.
[8] Аленина Т. Г. Двойственные пространства аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // Известия вузов. Матем. – Казань, 2009. – № 7. – С. 65–70.
[9] Аленина Т. Г. Регулярное гиперполосное распределение в пространстве аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // Дифференциальная геометрия многообразий фигур : Межвуз. темат. сб. науч. тр. – Калининград : Изд-во РГУ им. И. Канта, 2009. – Вып. 40. – С. 11–18.
[10] Аленина Т. Г. Двойственные пространства аффинной связности, индуцируемые нормализацией пространства аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина //Материалы LVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. – Новосибирск, 2009. – С. 94–95.
[11] Аленина Т. Г. Распределение 
-мерных линейных элементов в пространстве аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // Математика в образовании: сб. статей. – Чебоксары : Изд. Чуваш. гос. ун-та, 2009. – Вып. 5 – С. 312-314.
[12] Аленина Т. Г. Пространство аффинной связности на гиперполосном распределении в пространстве аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. – Чебоксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2009. – № 2 (14). – С. 3–7.
[13] Аленина Т. Г. Линейные связности на гиперполосном распределении в пространстве аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. – М., 2009. – № 697. – В2009. – 15 с.
[14] Аленина Т. Г. Геометрия двойственных пространств аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина //Лаптевские чтения – 2009 : Тезисы докладов Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Г. Ф. Лаптева. – Тверь : Твер. гос. ун-т, 2009. – С. 5.
[15] Аленина Т. Г. Аффинные связности на гиперполосном распределении в пространстве аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. – М., 2009. – № 797. – В2009. – 22 с.
[16] Аленина Т. Г. Нормализованное гиперполосное распределение в пространстве аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского : Материалы Восьмой молодежной науч. школы-конф. – Казань : Изд-во Казанского мат. об-ва, 2009. – Т. 39. – С. 123–125.
Подписано к печати. Формат 
.
Бумага писчая. Печать оперативная.
Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ.
Отдел полиграфии
Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева
428000, Чебоксары, ул. К. Маркса, 38.
