Некоммутативная геометрия галилеевых одулярных пространств в аксиоматике г. вейля
На правах рукописи
УДК 514
ДОЛГАРЕВ Артур Иванович
НЕКОММУТАТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ГАЛИЛЕЕВЫХ ОДУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВ
В АКСИОМАТИКЕ Г. ВЕЙЛЯ
01.01.04 – геометрия и топология
А в т о р е ф е р а т
диссертации на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук
Казань – 2010
Работа выполнена на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенского государственного университета
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Фоменко Валентин Трофимович
доктор физико-математических наук,
профессор Мантуров Олег Васильевич
доктор физико-математических наук,
профессор Игнатьев Юрий Геннадьевич
Ведущая организация: Южный федеральный университет,
г. Ростов-на-Дону
Защита диссертации состоится 28 октября 2010 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 18, Казанский (Приволжский) федеральный университет.
Автореферат разослан ____ _______________ и размещен на сайте Казанского (Приволжского) федерального университета: www.ksu.ru
Ученый секретарь
Диссертационного совета Д212.081.10 при КФУ
кандидат физико-математических наук,
доцент
Е.К. Липачев
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы.
В построении многих геометрий удобной оказалась векторная аксиоматика Г. Вейля. Эта система аксиом была предложена в начале прошлого века[1]
, легла в основу аффинной геометрии, евклидовых геометрий и римановой геометрии[2]. Линейное и векторные пространства, на которые опирается аксиоматика Г. Вейля, являются коммутативными структурами. Получаемые на них геометрии также коммутативны.
В конце прошлого века, в 1977 году, Л.В. Сабинин обобщил понятие модуля (в частности, линейного пространства) на произвольную алгебраическую структуру с внутренней бинарной операцией, определив одули над кольцом 
[3], введя внешнюю операцию на структуре – операцию умножения элементов структуры на скаляры из кольца 
. Одули на квазигруппах и лупах нашли применение в геометрических исследованиях[4]
. В одулярной тематике работает большое число математиков. Имеется несколько сотен публикаций, где исследуются свойства и приложения одулей на гладких квазигруппах и лупах.
Автор впервые определил одули Ли, задав внешние операции на группах Ли – умножение элементов групп Ли на действительные числа. Линейное пространство является коммутативным одулем Ли. Первым из некоммутативных одулей Ли определен растран в работе соискателя за 1986 год. Растран есть одуль на основной аффинной группе – группе параллельных переносов и гомотетий. При замене линейного пространства одулем Ли в векторной аксиоматике Г. Вейля аффинного пространства, получены вейлевские одулярные пространства – ВО-пространства.
Большой интерес представляет геометрия некоммутативных ВО-пространств, т.е. некоммутативный аналог аффинной геометрии.
Вводя норму на одуле Ли, получаем некоммутативную геометрию ВО-пространств с метрикой – аналог евклидовых геометрий и дифференциальную геометрию ВО-пространств. Соискатель ввел на одуле Ли галилееву норму и в основном построил некоммутативную галилееву геометрию 3-мерных одулярных пространств.
Интересны следующие ключевые вопросы научного и методологического характера.
Проблема 1. Аффинные свойства некоммутативных ВО-пространств. Связи одулярной геометрии с классическими аффинной и евклидовыми геометриями.
Проблема 2. Какими свойствами обладают кривые и поверхности ВО-пространств? Насколько далеко простирается аналогия с дифференциальной геометрией евклидова пространства? Определяется ли кривая 3-мерного ВО-пространства функциями кривизны и кручения, каковы кривые постоянных кривизн? Насколько существенна для поверхности нормальная кривизна, какую можно дать классификацию обыкновенных точек поверхности? Какова роль символов Кристоффеля, какими свойствами обладают геодезические линии на поверхности, что представляет собой внутренняя геометрия поверхности? Существуют ли аналоги формул Гаусса-Петерсона-Кодацци?
Поставленные проблемы решены в диссертации.
Имеется пять видов 3-мерных действительных разрешимых одулей Ли: линейное пространство, растран, сибсон, диссон и осцилляторный одуль. Одули Ли определены операциями на многообразиях 
. Внутренние операции на всех указанных одулях определены в работах С.П. Гаврилова и использованы в хроногеометрии А.В. Левичевым [5]. Внешние операции определены соискателем, см. монографию за 2005 год.
Аффинные преобразования аффинной плоскости составляют аффинный одуль Ли. Все перечисленные одули Ли представляются пододулями аффинного одуля Ли. Линейное пространство есть коммутативный одуль Ли параллельных переносов, однородный растран – одуль Ли на основной аффинной группе, другой вид растрана – одуль Ли движений псевдоевклидовой плоскости; сибсон есть одуль Ли движений галилеевой плоскости, осцилляторный одуль Ли – одуль движений евклидовой плоскости. Диссон и сибсон являются различными расширениями мультипликативного линейного пространства дуальных чисел.
Оказалось, что в некоммутативных ВО-пространствах существует два вида параллельности прямых. Всякие две точки определяют единственную прямую. Имеется только два вида одулярных плоскостей: аффинные плоскости и ЛМ-плоскости – это 2-мерные пространства с растраном. Только в аффинном пространстве и ЛМ-пространстве всякие три неколлинеарные точки определяют плоскость; в остальных ВО-пространствах существуют неколлинеарные точки, которые не определяют плоскость.
В одулях Ли естественно определяется галилеева норма. Свойства ее отличны от свойств евклидовой нормы. Например, не выполняется неравенство треугольника. Норма одуляров (элементов одулей) определяет расстояние между точками ВО-пространств и каждое ВО-пространство является одулярным галилеевым пространством-временем. Каждое событие ВО-пространства имеет времениподобную и пространственноподобную составляющие.
Выделены кривые и поверхности с изменяющейся времениподобной составляющей. Они могут быть заданы в естественной параметризации; естественный параметр кривой и один из естественных параметров поверхности имеет смысл времени.
Галилеевы ВО-пространства содержат только следующие плоскости: евклидовы, галилеевы и ЕМ-плоскости. В пространстве с сибсоном существуют только евклидовы и галилеевы плоскости.
Для одулярных функций установлены формулы дифференцирования, превращающиеся в коммутативном случае в формулы дифференцирования векторных функций. Функции со значениями в осцилляторном одуле Ли не обладают производными. В ВО-пространствах с дифференцируемыми одулями Ли определено касательное отображение в одуль Ли. В пространстве с диссоном положение касательной к кривой зависит от параметризации кривой, в остальных ВО-пространствах – не зависит.
Так как осцилляторные функции недифференцируемы, то не существует дифференциальной геометрии ВО-пространства с осцилляторным одулем.
Из всех одулярных галилеевых пространств выделяется классическое пространство с коммутативной геометрией. Мы его выделяем и названием, используя известный термин: пространство Галилея.
Поверхности в пространстве Галилея и в ЕМ-пространстве обладают касательными плоскостями, в остальных ВО-пространствах не существует касательных плоскостей к поверхностям.
Полная кривизна поверхности в пространстве Галилея и ЕМ-пространстве относится к внутренней геометрии поверхности, в остальных ВО-пространствах – не относится.
В ВО-пространствах, обладающих дифференциальной геометрией, введены аналоги основных понятий евклидовой геометрии, изучены их свойства. Какие-то из них совпадают с соответствующими свойствами евклидовых понятий, какие-то не совпадают.
Книга Б.А. Розенфельда по геометрии групп Ли [6] за 2003 год посвящена построению геометрии в аксиоматике Г. Вейля: рассмотрены геометрии на коммутативных алгебрах, кватернионах и октавах. По некоммутативной геометрии в указанной книге результатов не содержится. Это придает работе соискателя актуальность в развитии геометрии некоммутативных групп Ли в концепции Б.А. Розенфельда, отличающейся от классической, Картановской.
Геометрия ВО-пространств принципиально отличается от геометрии групп Ли объектами исследования и методами исследования. В геометрии групп Ли существенно используется касательное отображение группового пространства в алгебру Ли – векторное пространство с дополнительными свойствами. Производится дифференцирование векторных функций. Специфика каждой группы Ли учитывается на основе свойств векторных полей соответствующей алгебры Ли. На одулях Ли производится дифференцирование одулярных функций на основе внутренней и внешней операций на одуле Ли, как, в частности, в коммутативном случае, происходит дифференцирование векторных функций. Специфика каждого одуля учитывается непосредственно при дифференцировании одулярных функций. Используется одулярный, а не векторный анализ. Для каждого одуля Ли получаются свои формулы дифференцирования. При дифференцировании функций, задающих кривые одулярных пространств, осуществляется касательное отображение в соответствующий одуль Ли. Таким образом, для изучения геометрии одулярных пространств созданы новые методы.
Одно из принципиальных отличий одулярной геометрии от геометрии групп Ли состоит в том, что дифференциальными одулярными методами изучаются не все одулярные пространства на группах Ли. Пространство с осцилляторным одулем не обладает дифференциальной геометрией. В геометрии групп Ли строится общая теория для всех групп Ли без исключений, при этом в качестве касательных пространств используются алгебры Ли групп Ли. Но теряется и индивидуальность геометрий отдельных групп Ли.
Поверхности многих известных пространств, в том числе аффинного и евклидовых, являются поверхностями траекторий преобразований этих пространств, составляющих одуль Ли. Методы исследования таких поверхностей являются одулярными. Поэтому одулярную геометрию, обобщающую классическую, можно рассматривать и как часть классической.
Цель работы – построение дифференциальной геометрии галилеевых разрешимых одулярных пространств; выявить свойства основных понятий классической геометрии в некоммутативном случае.
Основные задачи исследования.
- Изучение аффинных свойств 3-мерных одулярных пространств.
- Построение одулярной теории кривых, установление связей с евклидовой теорией. Получение кривых с постоянными кривизной и кручением.
- Нахождение траекторий движений по векторному полю ускорений движения (задача Ньютона).
- Построение одулярной теории поверхностей, установление зависимостей с евклидовой теорией поверхностей. Развитие альтернативных методов (одулярных) в исследовании поверхностей известных пространств.
- Построение одулярной теории геодезических линий.
Методы исследования.
Геометрия одулярных галилеевых пространств является новой, она создана в работах соискателя. Методы исследований также созданы соискателем. Это одулярные методы, радикально связанные со спецификой изучаемых пространств и галилеевой метрики в этих пространствах. Применяемые методы позволяют использовать некоторые свойства евклидовых подпространств одулярных пространств.
Научная новизна. Теоретическая и практическая ценность.
Новой является идея построения одулярной некоммутативной геометрии в аксиоматике Г. Вейля. В процессе осуществления идеи зародился новый раздел геометрии. Все полученные в диссертации являются новыми. Одулярные галилеевы пространства изучает только соискатель. Применен новый, одулярный метод исследований. Получено новое направление в геометрии, изучающее пространства с некоммутативными одулями Ли, соединяющее в себе новые методы и аналоги классических результатов. Используется одулярный анализ, превращающийся в векторный в коммутативном случае. В новой геометрии исследованы основные свойства кривых и поверхностей, изучены те же вопросы, что и в классической геометрии, хотя результаты не всегда совпадают с классическими.
Работа носит теоретический характер. В ней построена нелинейная и некоммутативная 3-мерная одулярная галилеева геометрия; заложены основы для изучения геометрии ВО-пространств размерности больше 3 и основы для построения одулярной римановой геометрии.
Одним из приложений является использование галилеевых методов в евклидовой геометрии. Имеются и практические приложения. Построены арифметическая и физическая модели гиперболической галилеевой гиперболической плоскости. Последнее означает, что геометрия окружающего нас пространства является гиперболической галилеевой.
Решена задача И. Ньютона для движений с двумя степенями свободы, в которой требуется отыскать траекторию движения, если задано поле ускорений движения. По поводу этой задачи В.И. Арнольд в [7], с. 26, написал, что современная математика бессильна в решении настоящей проблемы. Решение найдено в галилеевых геометриях, развиваемых соискателем, а ранее его искали методами других геометрий.
Основные положения, выносимые на защиту.
- Изучение свойств одулей Ли с галилеевой нормой. Порождаемость одулей Ли. Введение дифференцирования одулярных функций. Изучение элементов одулярного анализа.
- Определение вейлевских одулярных пространств – ВО-пространств – пространств с одулями Ли в аксиоматике Г. Вейля. Определение одулярного 3-мерного галилеева пространства-времени. Прямые и плоскости одулярных пространств, их определяемость, свойства, взаимное расположение. Некоммутативность и нелинейность геометрии ВО-пространств.
- Изучение регулярных кривых ВО-пространств. Касательное отображение в одуль Ли, касательное расслоение. Кривые с галилеевыми касательными одулярами и евклидовы проекции кривых. Времениподобные и пространственноподобные составляющие кривых. Евклидова проекция кривой. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе. Кривые, имеющие постоянную кривизну и постоянное кручение.
- Изучение регулярных поверхностей ВО-пространств. Поверхности с галилеевыми касательными одулярами и евклидовы проекции поверхностей. Существование касательных плоскостей. Времениподобные и пространственноподобные составляющие поверхности. Евклидова проекция поверхности как векторное поле евклидовой плоскости. Нормальная кривизна поверхности. Полная и средняя кривизна. Классификация точек. Поверхности с постоянной нормальной кривизной.
- Символы Кристоффеля. Деривационные формулы поверхности. Основные уравнения теории поверхностей. Геодезическая кривизна поверхности. Геодезические линии. Геодезические координаты. Связь с внутренней геометрией поверхности.
- Одули Ли преобразований, траектории точек в преобразованиях, поверхности траекторий. Одулярная определяемость траекторий. Траектории и геодезические. Собственная геометрия поверхности. Одулярная геометрия как обобщение обычной геометрии и как ее часть.
- Построение гиперболических галилеевых плоскостей. Геометрия гиперболического галилеева пространства как геометрия окружающего пространства. Методы галилеевой геометрии в решении задачи И. Ньютона о получении уравнений траекторий механических движений по полям ускорений.
Апробация работы.
Результаты работы сообщались на Международных, Всесоюзных, Всероссийских и других конференциях и семинарах, в семинарах различных университетов и известных ученых. Опубликованы тезисы сообщений, см. в списке публикаций соискателя, позиции 12 – 30.
1984 – 1990 гг. ежегодные Герценовские чтения в Российском педагогическом университете, Ленинград, С-Петербург. Геометрический семинар в Красноярском государственном педагогическом университете.
1988 г. IX Всесоюзная геометрическая конференция, Кишинев.
Семинар по геометрии профессора Б.А. Розенфельда.
1991 г. Международная конференция по алгебре памяти А.И. Ширшова, Новосибирск.
1992 г. Международная научная конференция «Лобачевский и современная геометрия», Казань.
1993 г. Третья Международная конференция по алгебре памяти М.И. Каргаполова, Красноярск.
Международная математическая конференция, посвященная 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского, Минск.
1996 г. Международная геометрическая школа-семинар памяти Н.В. Ефимова, Ростов-на-Дону.
1997 г. Международный геометрический семинар им. Н.И. Лобачевского «Современная геометрия и теория физических полей», Казань.
1998г. Третья Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», Саранск.
Мiжнародная наукова конференция, Чернiвцi.
Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Ростов-на Дону.
1999. Научно-практическая конференция, посвященная 60-летию Пензенского педагогического университета, Пенза.
Школа-конференция, посвященная 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова, Казань.
2000. Международная конференция «Актуальные проблемы математики и механики», Казань.
Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В. Ефимову, Ростов-на-Дону.
2001. Второй Всероссийский геометрический семинар, Псков.
Научный семинар математических кафедр Красноярского государственного университета.
2004. Всероссийская научно-методическая конференция «Геометрия «в целом». Преподавание геометрии в вузе и школе.» Великий Новгород.
2005. XIV Международная конференция «Проблемы теоретической кибернетики», Пенза.
Научный семинар кафедры геометрии Казанского государственного университета.
2006, 2008. Международная школа-семинар по геометрии и анализу, Южный Федеральный Университет, Лиманчик.
2009. Семинар А.С. Мищенко по некоммутативной геометрии, МГУ.
Семинар И.Х. Сабитова по геометрии, МГУ.
Структура и объем.
Работа состоит из предисловия, 10 глав, заключения и приложения; содержит 360 страниц; библиография содержит 68 наименований. По теме диссертации соискателем опубликовано 73 работы.
Содержание работы.
Первая глава содержит краткий обзор необходимых понятий аффинной и евклидовой геометрий; их аналоги затем вводятся и изучаются в одулярных пространствах. Определено галилеево скалярное произведение векторов и галилеево многообразие (обычно рассматриваются евклидовы многообразия и близкие к ним).
Во второй главе изложена геометрия пространства-времени Галилея. Это классическое галилеево пространство.
Скалярное произведение векторов на действительном линейном пространстве вводится следующим образом. Линейное пространство 
представляется в виде прямой суммы 
= 
+ 
. На каждом из подпространств 
, 
определено собственноевклидово скалярное произведение векторов. И далее, скалярное произведение векторов 
= 
и 
= 
из 
равно
= 
, если 
или 
;
= 
, если 
.
Таким образом, галилеево скалярное произведение векторов на 
есть пара евклидовых скалярных произведений векторов на подпространствах 
и 
пространства 
(или пара матриц Грамма). Галилеева норма вектора 
есть
= 
, если 
; 
= 
, если 
.
Галилеево векторное пространство обозначается через 
. Всякий вектор из 
есть сумма двух составляющих 
= 
, 
времениподобная составляющая, 
= 
пространственноподобная составляющая. Вектор 
называется евклидовым, вектор 
, 
, называется галилеевым. Всякий галилеев вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору. Эта специфика галилеева скалярного произведения векторов существенно используется в исследовании галилеевых одулярных пространств. Такой подход к изучению пространства Галилея впервые применен соискателем, см. препринт №63 за 2002 год, где изучается 3-мерное пространство Галилея.
Пространство Галилея есть аффинное пространство, в линейном пространстве которого определено галилеево скалярное произведение векторов.
Регулярная кривая задается векторной функцией класса 
= 
, 
. Изучаются кривые, имеющие галилеев касательный вектор в окрестности некоторой своей точки. Такие кривые задаются в естественной параметризации 
= 
, 
. Для них 
. Кривые другого вида могут быть изучены в евклидовой геометрии. Кривизна кривой равна 
, кручение: 
. Имеется зависимость кривизны и кручения галилеевой кривой с кривизной 
проекции галилеевой кривой на евклидову плоскость пространства Галилея: 
.
Получены формулы Френе. Найдены кривые, имеющие постоянные кривизну и кручение.
Регулярная поверхность задается векторной функцией класса 
= 
, 
. Поверхность, имеющая галилеевы касательные векторы, может быть задана в естественной параметризации 
= 
, 
, 
естественный параметр 
линий, или в виде 
= 
+ 
, здесь 
время, 
= 
векторное поле евклидовой плоскости пространства Галилея. Рассматриваются только такие поверхности. Поверхности, все касательные векторы которых евклидовы, могут быть изучены средствами евклидовой геометрии. Для поверхностей определены и вычислены нормальная, полная, средняя и геодезическая кривизна. Найдены поверхности постоянной нормальной кривизны и поверхности постоянной полной кривизны. Вычислены символы Кристоффеля, получены уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци. Выписаны дифференциальные уравнения геодезических, имеющих заданную кривизну. Символы Кристоффеля и полная кривизна поверхности относятся к внутренней геометрии поверхности. На поверхности введены геодезические координаты.
В указанном виде геометрия пространства Галилея изучается только соискателем.
Третья глава посвящена одулям Ли и вейлевским одулярным пространствам – ВО-пространствам. Пусть 
алгебраическая структура с внутренней бинарной операцией, называемой сложением, элементы структуры обозначаются 
; и пусть 
кольцо. Задано отображение 
, называемое операцией умножения элементов структуры 
на скаляры из кольца 
: 
. Выполняются аксиомы:
, 
.
Алгебраическая структура 
называется одулем над кольцом 
, 
-одулем, [8]. 
-одули определены Л.И. Сабининым в 1977 году. Л.В. Сабинин, его школа и многие математики мира изучают одули на гладких квазигруппах и лупах и их приложения.
-одуль на группе Ли называется одулем Ли. Элементы одуля Ли называются одулярами. Одули Ли определяются посредством задания внешней операции на группе Ли – операции умножения элементов группы Ли на действительные числа. Рассматриваются 3-мерные разрешимые одули Ли на многообразиях 
. Операции сложения троек можно найти в [9]. Внешние операции на всех одулях Ли определены соискателем. Существует пять видов 3-мерных разрешимых одулей Ли.
1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. Обозначение L
, операции:
+
=
; 
= 
, 
.
Элементы линейного пространства называются векторами. Нулевой вектор: 
, вектор, противоположный вектору 
=
, равен 
= 
=
.
2. РАСТРАН общего вида. Обозначение: P
q. Операции:
+
=
;
= 
, 
; 
= 
, 
;
где 
и 
для 
. Элементы растрана называются растами. Нулевой раст: 
; раст, противоположный расту 
=
, равен 
= 
= 
.
При 
имеем многообразие Sol, [10], c. 127. Операции:
=
;
=
; 
, 
.
Здесь 
, 
= 
.
РАСТРАН однородный (все 
). Обозначение 
, операции:
+
=
;
= 
, 
; 
= 
, 
;
3. СИБСОН (в 10 многообразие Nil). Обозначение 
, операции:
+
=
;
=
, 
.
Элементы сибсона называются сибсами; 
; 
= 
= 
.
4. ДИССОН. Обозначение 
. Операции:
+
=
;
=
; 
=
, 
.
; 
=
= 
. Элементы диссона называются диссами.
5. ОСЦИЛЛЯТОРНЫЙ ОДУЛЬ. Обозначение 
, операции
+
= 
,
= 
, 
;
, 
, 
.
; 
=
= 
.
Обозначим: 
, 
, 
. Во всех одулях Ли имеется разложение 
= 
= 
, поэтому множество 
= 
является базисом каждого из одулей Ли. Одуляры представляются, соответственно перечислению одулей Ли, матрицами:
, 
, 
,
, 
, 
.
Все 3-мерные разрешимые одули Ли являются пододулями одуля Ли аффинных преобразований (описанного соискателем в 1997 году). Каждый одуль Ли есть полупрямая сумма линейных пространств 
= 
, подпространство 
состоит из одуляров 
, 
состоит из одуляров 
. В диссертации содержатся некоторые свойства одулей Ли.
Как группы Ли, 3-мерные разрешимые одули Ли порождаются: тремя одулярами – линейное пространство и растран; двумя одулярами – сибсон, диссон и осцилляторный одуль.
Для одуляров, как и для векторов галилеева пространства, определяется галилеево скалярное произведение и галилеева норма. Нормой 
одуляра 
= 
называется
= 
, если 
; 
= 
, если 
.
Одулярная функция одного параметра есть тройка действительных функций действительного аргумента 
= 
, 
. Считаем, что 
функции класса 
. Производная функция одулярной функции 
определяется с использованием внутренней и внешней операций на одуле Ли:
= 
= 
.
Найдены формулы дифференцирования одулярных функций 
= 
, 
, 
:
в векторном пространстве 
,
в растране 
,
в сибсоне 
,
в диссоне 
.
Рассмотренный предел отношения приращения функции к приращению аргумента для функции 
со значениями в осцилляторном одуле 
не существует. Поэтому осцилляторные функции недифференцируемы.
Для отыскания производных второго порядка одулярных функций, дифференцируем производные первого порядка и т.д. Правила дифференцирования векторных функций на одулярные функции не распространяются; например, производная суммы одулярных функций не равна сумме производных этих функций.
Одулярная функция двух параметров есть тройка 
= 
, 
. Рассматривается случай, в котором 
функции класса 
. Частные производные 
функции 
двух параметров находятся по правилам дифференцирования функций одного параметра для каждого из одулей Ли. Смешанные производные второго порядка зависят от порядка дифференцирования: 
.
ВО-пространство есть множество точек W = 
, для пар точек которого определено отображение в одуль Ли 
: 
, т.е. всякой паре 
точек соответствует единственный одуляр 
, пишем: 
; и выполняются аксиомы Г.Вейля
1. для всякой точки А и всякого одуляра 
существует единственная точка В, что 
;
2. для любых трех точек А, В, С, если 
, 
, то 
.
Одуль Ли 
называется одулем ВО-пространства W. Одуляры из 
называются одулярами ВО-пространства W. Для любых трех точек 
: 
; если 
, то 
; 
.
ВО-пространство является частным случаем одулярных пространств Л.В. Сабинина, 8. Если 
= 
, то 
аффинное пространство. Размерность одуля Ли 
называется размерностью ВО-пространства 
. Далее рассматриваются 3-мерные ВО-пространства.
Прямая определяется двумя точками, точкой и ненулевым одуляром: множество точек прямой есть 
= 
. Прямая 
не имеет с прямой 
общих точек или совпадают с ней. Если одуляры 
и 
не перестановочны, 
и 
, то прямая 
не имеет с прямой 
общих точек. Прямые 
и 
называются параллельными для прямой 
. Имеется два вида параллельности прямых.
Три неколлинеарные точки 
определяют плоскость, если и только если одуляры 
порождают 2-мерное линейное пространство или 2-мерный растран. Таким образом, не через всякие три неколлинеарные точки в ВО-пространстве проходит плоскость. В ВО-пространствах с сибсоном, диссоном и осцилляторным одулем Ли имеются тройки неколлинеарных точек, через которые плоскости не проходят (это пространства с одулями Ли, порождаемыми двумя одулярами). Плоскость, порождаемая точкой 
и одулярами 
, есть множество точек 
= 
.
Точка и базис одуля Ли составляют репер ВО-пространства W, обозначение репера 
. Координатами точки 
в репере В называются координаты одуляра 
в базисе Б. Если 
, то и 
. Прямые 
, 
и 
являются координатными осями. Во всяком ВО-пространстве координатная плоскость 
является аффинной плоскостью.
Считаем, что в одуль Ли ВО-пространства введена галилеева норма, тем самым, каждое из них есть одулярное галилеево пространство-время. Координатная плоскость 
= Е2 евклидова. ВО-пространство с нормированным растраном называется ЕМ-пространством, с сибсоном – ЕС-пространством, с диссоном – ЕД-пространством, с осцилляторным одулем Ли – ЕО-пространством. В ЕМ-пространстве плоскости 
и 
являются ЕМ-плоскостями. В ЕС-пространстве плоскость 
галилеева. В ЕД-пространстве 
есть ЕМ-плоскость. В ЕС- и ЕД-пространствах не существует плоскостей с одулярами 
и 
. В ЕО-пространстве нет плоскостей с одулярами 
и одулярами 
.
В главах 4, 5, 6 построены дифференциальные геометрии ЕМ-, ЕС- и ЕД-пространств. Итоги исследований в геометрии этих пространств подведены в главе 7 и содержатся в теоремах этой главы.
51.1.2. ТЕОРЕМА. Во всех рассматриваемых ВО-пространствах
= 
, если 
,
= 
, если 
.
Точка 
и ненулевой одуляр 
определяют прямую, как множество точек 
, по аналогии с прямой аффинного пространства. Параметрические уравнения прямых:
, 
, 
в пространстве Галилея;
, 
, 
в ЕМ-пространстве;
, 
, 
в ЕС-пространстве;
, 
+
,
в ЕД-пространстве.
Уравнения прямых линейны только в пространстве Галилея.
Плоскостью, определяемой точкой 
и независимыми одулярами 
, в случае, если оболочка 
2-мерна, называется множество точек
.
2-мерные одули Ли это векторные пространства или растраны. Поэтому всякая плоскость любого из одулярных галилеевых пространств есть либо евклидова плоскость, либо галилеева плоскость, либо ЕМ-плоскость. Через три неколлинеарные точки 
в ВО-пространстве проходит плоскость и притом единственная, если и только если одуляры 
и 
порождают 2-мерный пододуль в одуле Ли ВО-пространства.
Во всяком из рассматриваемых ВО-пространств через всякую точку 
проходит единственная евклидова плоскость 
. Все плоскости пространства Галилея евклидовы или галилеевы. Через всякие три неколлинеарные точки проходит плоскость. Координатные плоскости 
и 
галилеевы, 
евклидова. Каждая из плоскостей ЕМ-пространства либо евклидова, либо ЕМ-плоскость. Через всякие три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость. Плоскость 
евклидова, плоскости 
и 
являются ЕМ-плоскостями. Все плоскости ЕС-пространства также либо евклидовы, либо галилеевы, но по сравнению с пространством Галилея, в ЕС-пространстве существуют неколлинеарные точки, через которые не проходит плоскость, например, не существует плоскости, имеющей сибсы 
и 
, т. к. 
. Координатная плоскость 
евклидова, 
галилеева, точка 
и сибсы 
,
не определяют никакой плоскости. Каждая из плоскостей ЕД-пространства также либо евклидова, либо ЕМ-плоскость, но не через всякие три неколлинеарные точки проходит плоскость. Плоскость 
евклидова, 
есть ЕМ-плоскость, не существует плоскости с диссами 
,
.
В одулярных галилеевых пространствах плоскости описываются следующими параметрическими уравнениями.
в пространстве Галилея;
в ЕМ-пространстве;
галилеева плоскость в ЕС-пространстве;
ЕМ-плоскость в ЕД-пространстве.
Только в пространстве Галилея уравнения плоскости линейны.
Уравнение евклидовой плоскости во всяком ВО-пространстве: 
.
Регулярная кривая класса 
одулярного галилеева пространства задается одулярной функцией 
= 
, 
. Если в окрестности некоторой точки 
кривой 
функция 
постоянная величина, то производная одулярной функции для всех одулей Ли равна 
= 
, в этом случае одулярная функция дифференцируется как векторная. производный одуляр является евклидовым. Касательная прямая 
кривой 
лежит в евклидовой плоскости ВО-пространства; такие кривые могут быть изучены средствами евклидовой геометрии. Если в окрестности некоторой точки 
кривой: 
, то одуляр касательной является галилеевым. Такие кривые изучает одулярная некоммутативная геометрия. В этом случае кривая задается в естественной параметризации
= 
, 
.
Одулярная функция 
представляется в виде двух составляющих
= 
+ 
, где 
= 
.
Составляющая 
времениподобна, параметр 
есть время; составляющая 
пространственноподобна, это кривая евклидовой плоскости, проекция одулярной кривой 
на евклидову плоскость. Между кривыми каждого из галилеевых ВО-пространств и кривыми евклидовой плоскости имеется взаимно однозначное соответствие
3 
Е2.
Для задания регулярной одулярной кривой 
достаточно задать евклидову кривую 
. В разных ВО-пространствах одной кривой 
соответствуют различные по своим свойствам одулярные кривые. Выполняются
52.1.1. ТЕОРЕМА. В пространстве Галилея, в ЕМ- и ЕС-пространстве положение касательной прямой к кривой не зависит от параметризации кривой; в ЕД-пространстве положение касательной зависит от параметризации кривой.
52.1.2. ТЕОРЕМА. В пространстве Галилея и ЕМ-пространстве положение соприкасающейся плоскости не зависит от параметризации кривой; в ЕС- и ЕД-пространстве кривая в общем случае не имеет соприкасающейся плоскости.
Вдоль кривой определено касательное отображение в одуль Ли соответствующего ВО-пространства. Касательное расслоение для каждого ВО-пространства состоит из одулей Ли этого пространства.
Кривизной 
кривой 
= 
+ 
называется величина 
= 
; в пространстве Галилея и ЕС-пространстве 
, в ЕМ- и ЕД-пространствах 
. Кручение 
определяется из равенства 
, где 
единичный одуляр главной нормали, 
единичный одуляр бинормали кривой.
52.2.1. ТЕОРЕМА. Вычислительные формулы кривизны и кручения кривой 
= 
+ 
таковы
= 
, 
= 
в ЕМ-пространстве;
= 
, 
= 
в ЕС-пространстве;
= 
,
= 
в ЕД-пространстве.
Сопровождающий репер кривой есть В = 
, состоит из единичных одуляров касательной, главной нормали и бинормали кривой.
52.2.2. ТЕОРЕМА. Формулы Френе кривых одулярных галилеевых пространств
, 
, 
;
в ЕМ- и ЕД-пространствах 
, в ЕС-пространстве 
.
52.2.3. ТЕОРЕМА. Кривые 
= 
, имеющие постоянную кривизну 
и постоянное кручение 
, определяются функциями:
= 
,
= 
в ЕМ-пространстве;
= 
,
= 
в ЕС-пространстве;
= 
,
= 
в ЕД-пространстве.
52.3.1. ТЕОРЕМА. Кривизна 
, кручение 
кривой пространства Галилея и кривизна 
ее проекции на евклидову плоскость связаны соотношением
,
кривой ЕМ-пространства – соотношением
.
В пространстве Галилея и в ЕМ-пространстве кривые, имеющие постоянную кривизну и постоянное кручение, являются винтовыми линиями.
Для кривых ЕС- и ЕД-пространств не установлено зависимости между кривизной, кручением и кривизной ее евклидовой проекции.
Регулярная поверхность ВО-пространтва описывается одулярной функцией класса 
двух параметров 
= 
, 
. Считаем, что касательные одуляры 
в некоторой точке 
поверхности неколлинеарны, точка 
называется обыкновенной. Если 
евклидовы одуляры, то поверхность имеет евклидову касательную плоскость. Такие поверхности могут быть исследованы средствами евклидовой геометрии.
Пусть одуляр 
галилеев. Поверхность может быть задана в параметризации 
= 
, 
, 
есть естественный параметр 
линий. Такую параметризацию поверхности называем естественной (особой). Поверхности в естественной параметризации изучает одулярная галилеева геометрия – геометрия ВО-пространств. Функцию 
представляем в виде двух составляющих 
= 
+ 
, 
= 
. Составляющая 
времениподобна, 
есть время, составляющая 
пространственноподобна – это проекция одулярной поверхности 
на евклидову плоскость ВО-пространства, векторное поле евклидовой плоскости.
Между одулярными поверхностями, имеющими галилеевы касательные одуляры, и векторными полями евклидовой плоскости в каждом из ВО-пространств имеется взаимно однозначное соответствие
3 
Е2.
Для задания регулярной одулярной поверхности 
в 
3 достаточно задать векторное поле 
евклидовой плоскости. В разных ВО-пространствах одному векторному полю 
евклидовой плоскости соответствуют различные по своим свойствам одулярные поверхности.
53.1.1. ТЕОРЕМА. В пространстве Галилея и ЕМ-пространстве поверхность 
= 
в естественной параметризации обладает касательной плоскостью, это галилеева плоскость, соответственно, ЕМ-плоскость. В ЕС- и ЕД-пространствах поверхность в естественной параметризации не обладает касательной плоскостью.
53.1.2. ТЕОРЕМА. В ЕС- и ЕД-пространствах существуют квазиплоскости – поверхности, определяемые двумя независимыми одулярами, порождающие весь одуль Ли соответствующего ВО-пространства.
Квазиплоскость, порожденная касательными одулярами поверхности, называется касательной поверхностью. Касательная поверхность поверхности ЕС-пространства описана в п. 42.2.
53.2.2. ТЕОРЕМА. Единичный одуляр нормали поверхности во всех ВО-пространствах равен 
, 
.
Нормальная кривизна поверхности в точке 
определяется равенством
, в пространстве Галилея и ЕС-пространстве 
, в ЕМ- и ЕД-пространстве 
.
53.3.1. ТЕОРЕМА. Нормальная кривизна поверхности всякого ВО-пространства равна 
, где 
направление на поверхности (и направление в поле 
), 
, 
, коэффициент 
определяется равенством
= 
в пространстве Галилея;
= 
в ЕМ-пространстве с однородным растраном;
= 
в ЕС-пространстве, 
;
= 
в ЕД-пространстве, 
.
Найдены поверхности постоянной нормальной кривизны.
53.3.3. ТЕОРЕМА. Полная (Гауссова) кривизна регулярной поверхности всех галилеевых одулярных пространств равна
.
Найдены поверхности постоянной полной кривизны в пространстве Галилея, в ЕМ- и ЕС-пространстве.
Первая квадратичная форма поверхности 
= 
ВО-пространства такова
, или 
, 
.
Эта квадратичная форма определяет галилееву метрику на поверхности и имеет то же выражение, что галилеева метрика ВО-пространства, п. 25.3. Вторая квадратичная форма поверхности есть
.
Во всех одулярных галилеевых пространствах вычислены вычислены символы Кристоффеля. С каждой точкой 
регулярной поверхности связан репер 
. Пусть
разложения одуляров производных второго порядка функции, задающей поверхность в естественной параметризации.
53.5.1. ТЕОРЕМА. Символы Кристоффеля поверхностей таковы: во всех ВО-пространствах
, 
, 
;
символы 
имеют значения
в пространстве Галилея,
в ЕМ-пространстве,
в ЕС-пространстве,
в ЕД-пространстве.
53.5.2. ТЕОРЕМА. Символы Кристоффеля относятся к внутренней геометрии поверхности в пространстве Галилея и ЕМ-пространства, т.е. в этих ВО-пространствах символы Кристоффеля выражаются через коэффициент 
первой квадратичной формы и его производной 
.
53.5.3. ТЕОРАМА. Для производных 
и 
выполняются равенства
= 
, 
= 
,
т.е. производные единичного одуляра нормали поверхности коллинеарен главному направлению 
на поверхности (аналог теоремы Родрига).
Имеются зависимости между коэффициентами первой и второй квадратичных форм поверхностей одулярных галилеевых пространств и их производными.
53.6.1. ТЕОРЕМА. Формула Гаусса для полной кривизны поверхности такова:
в пространстве Галилея,
в ЕМ-пространстве,
и
в ЕС-пространстве,
,
в ЕД-пространстве.
53.6.2. ТЕОРЕМА. Полная кривизна 
поверхности выражается через коэффициент 
первой квадратичной формы поверхности и его производные 
только в пространстве Галилея и в ЕМ-пространстве; в остальных одулярных галилеевых пространствах функция 
выражается и через другие функции. Таким образом, в пространстве Галилея и в ЕМ-пространстве полная кривизна поверхности относится к внутренней геометрии поверхности; в ЕС- и ЕД-пространствах полная кривизна поверхности не относится к внутренней геометрии поверхности.
53.6.3. ТЕОРЕМА. Во всех одулярных галилеевых пространствах выполняется общая формула Петерсона-Кодацци:
;
вторая формула Петерсона-Кодацци имеет вид
в пространстве Галилея,
в ЕМ-пространстве,
в ЕС-пространстве,
в ЕД-пространстве.
В ВО-пространствах введена геодезическая кривизна линий на поверхности, получены дифференциальные уравнения геодезических и уравнения линий, имеющих заданную геодезическую кривизну.
Свойства геодезических в пространстве Галилея и в ЕМ-пространстве близки к свойствам геодезических в евклидовом пространстве.
В главе 7 получены кривые одулярных пространств по их кривым скоростей, т.е. по кривым евклидовой плоскости, которые являются пространственноподобными составляющими скорости движения по траекториям в ВО-пространствах. На этой основе установлены натуральные уравнения одулярных кривых. Евклидовы поля скоростей определяют поверхности ВО-пространств.
В главе 8 получены сетевые уравнения 3-мерных разрешимых действительных одулей Ли – это уравнения 1-мерных пододулей и смежных классов по ним. Рассмотрен пример получения одуля Ли по сетевым уравнениям.
В главе 9 геодезические рассматриваются как траектории точек в преобразованиях. Формулы преобразования 
, являются параметрическими уравнениями траекторий точек в преобразовании 
. Установлена
61.2.4. ТЕОРЕМА. Траектории движения многообразия являются кривыми постоянных кривизн.
Рассмотрены поверхности траекторий. Свойства таких поверхностей могут изучаться одулярными методами. Многие поверхности обычных пространств – аффинного, евклидовых и других являются поверхностями траекторий. Тем самым, одулярная геометрия может рассматриваться как часть обычной геометрии.
Основной результат работы. Построена 3-мерная некоммутативная и нелинейная галилеева одулярная геометрия в аксиоматике Г. Вейля. Она включает в себя те же положения, что и евклидова дифференциальная геометрия с необходимыми поправками на некоммутативность одулей Ли. Евклидова геометрия является частным случаем одулярной геометрии.
В главе 10 описаны одули движений и подобий пространства Галилея.
В приложении построены аналитическая и физическая модели гиперболической галилеевой плоскости. Последняя модель говорит о том, что локально геометрия окружающего нас пространства является гиперболической галилеевой.
Решена задача Ньютона об описании траектории движения с двумя степенями свободы по полю ускорений движения. Подходы к решению задачи обсуждаются в книге В.И. Арнольда [11]. Решение задачи получено автором с использованием средств галилеевой геометрии.
Работы автора по теме диссертации
Публикации в журналах списка ВАК.
- Долгарев А.И. Кривые в одулярной дифференциальной геометрии пространства на дисоне – Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Сер. Естественные науки, 2003, № 6(9), С. 43 – 49.
- Долгарев А.И. Геодезическая кривизна линий в геометрии пространства с касательным отображением в одуль параллельных переносов и гомотетий. – Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Сер. Естественные науки, 2004, № 5(14), С. 20 – 38.
- Dolgarew A.I. Surfaces of rotation with defined verage curvature in 3D Galilean space-time. Minimal spaces of rotation. – Transactions of the Volga Region Universities. Natural Sciences, 2004, № 6(15), P. 47 – 51.
- Долгарев А.И. и Долгарев И.А. Поверхности в ВО-пространстве с диссоном. – Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Сер. Естественные науки, 2005, № 6(19), С. 34 – 48.
- Долгарев А.И. Гравитационная галилеева плоскость. – Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Сер. Естественные науки, 2005, № 6(19), С. 49 – 59.
- Долгарев А.И. Группы простой экспоненты ступени 2 с восемью образующими и латинские квадраты. – Изв. вузов. Математика. – 2005. № 9. – С. 8 -18.
- Долгарев А.И. Качественные критерии для кривых и поверхностей 3-мерных одулярных галилеевых пространств. 1. Кривых для кривых – Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Сер. Естественные науки, 2006, № 5(26), С. 27 – 41.
- Долгарев А.И. Описание конечных нильпотентых групп ступени 2 простого нечетного периода. – Изв. вузов. Математика. – 2008. № 12. – С. 17 -27.
Монографии.
- Долгарев А.И. Растраны на различных структурах.- Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1996.- 106 с.
- Долгарев А.И. Элементы дифференциальной галилеевой геометрии и одуль галилеевых преобразований. – Саранск: Средневолжское математическое общество, 2003, препринт 63. – 116с.
- Долгарев А.И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств. Монография. – Пенза: ИИЦ ПГУ, 2005.- 306с.
Участие в конференциях.
- Долгарев А.И. Кривые ЕМ-пространства// IX Всесоюзная геометрическая конф., труды. участн. – Кишинев, 1988. – С. 100.
- Долгарев А.И. Конечные одулярные плоскости и модулярные решетки// Международная конф. по алгебре памяти А.И. Ширшова, труды участ. по логике и универсалным алгебрам, прикл. алгебре. – Новосибирск, 1991. – С. 38.
- Долгарев А.И. Пространство-время на растране// Лобачевский и современная геометрия. Международная научн. конф., труды участн. – Казань, 1992. – С. 25.
- Долгарев А.И. Аффинные подплоскости одулярных гиперболических плоскостей// Третья Междунар. конф. по алгебре памяти М.И. Каргаполова. Труды учатн. – Красноярск: «Интерпроф», 1993. – С. 111 – 112.
- Долгарев А.И. Прямые и плоскости вейлевских одулярных пространств// Междунар. мат. конф., посв. 200-летию со дня рожд. Н.И. Лобачевского. Труды участн. Ч.1. – Минск, 1993. – С. 47.
- Долгарев А.И. Одули и траектории // Труды Междунар. геом. школа.-семинар памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 27 – 4 окт. – Ростов-на-Дону, 1996. – С. 14-15.
- Долгарев А.И. Одулярные поверхности аффинных пространств// Медунар. геом. Семинар им. Н. И. Лобачевского «Современная геометрия и теория физических полей», труды участн., Казань: КГУ, 1997. – С. 41.
- Долгарев А.И. Дифференциальные уравнения на растране// Труды третьей междунар. конф. «Дифф. уравнения и их прилож.» – Саранск: «Красн. Окт.», 1998. – С. 125 – 126.
- Долгарев А.И. Одулярная геометрия некоторых трехмерных групповых пространств// Сучаснi проблеми матем.: Тр. Мiжнар. наук. конф. Ч.4 – Чернiвцi: Рута, 1998. – С. 34 – 36.
- Долгарев А.И. Поверхности постоянной полной кривизны пространства с касательным растраном// Междунар. шк.-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, труды участн. – Ростов-на-Дону, 1998. – С. 24 – 26.
- Долгарев А.И. О гиперболических плоскостях// Труды участн. научно-практ. конф., посв. 60-летию университета (физико-математические науки), - Пенза, ПГПУ, 1999. - С.19.
- Долгарев А.И. Одули и одулярные пространства на группах Ли// Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Труды шк.-конф., посвящ. 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова. – Казань, Казанское МО, 1999. – С. 82 – 83.
- Долгарев А.И. Кривые одулярного пространства на нильпотентной группе Ли// Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского, т.5. Актуальные проблемы математики и механики. Труды Международной конф. - Казань: УНИПРЕСС, 2000. - С. 75 -76.
- Долгарев А.И. Поверхности одулярного пространства на нильпотентной группе Ли// Международная шк.-семин. по геометрии и анализу, посв. 90-летию Н.В. Ефимова. Труды участн.- Ростов-на-Дону, 2000. - С. 32 - 33.
- Долгарев А.И. Поверхности постоянной гауссовой кривизны 3-мерного галилеева пространства// Проблемы геометрического образования на современном этапе. Труды II Всеросс. геом. семин. - Псков: ПГПИ, 2001.- С. 136-139.
- Долгарев А.И. Основные уравнения теории поверхностей в одулярной геометрии с одулем галилеевых движений// Геметрия «в целом». Преподавание геометрии в вузе и школе. Труды Всероссийской научн.-метод. конф. – Великий Новгород, 2004. – С. 34 – 38.
- Долгарев А.И. Таблицы связей групп простой экспоненты ступени 2 и регулярные гиперболические (3,4)-плоскости// Проблемы теоретической кибернетики. Труды. XIV междунар. конф. – М.: Изд. МГУ, 2005. – С. 43.
- Долгарев А.И. Нелинейные и некоммутативные геометрии с 3-мерными разрешимыми одулями Ли в аксоиматике Г. Вейля // Труды участн. Междунар. геом. школа.-семинар памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5 – 11 сент. – Ростов-на-Дону, 2006. – С. 36-37.
- Долгарев А.И. Решение задачи И. Ньютона методами галилеевой геометрии // Труды участн. Междунар. геом. школа.-семинар памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 9 – 15 сент. – Ростов-на-Дону, 2008. – С. 28-29.
Статьи
- Долгарев А.И. ЛМ-пространства //Римановы пространства и методы эллиптических дифференциальных уравнений. Межвуз. сб. научн. тр. Л.: ЛГПИ, 1986.- С.8-25.
- Долгарев А.И. ЕМ-пространства.// Исследования по теории поверхностей в многообразиях знакопостоянной кривизны. Межвуз. сб. научн. тр. Л.: ЛГПИ, 1987.- С.17-27.
- Долгарев А.И. Коллинеации ЛМ-плоскости.// Задачи геометрии в целом для погруженных многообразий. Межвуз. сб. научн. тр., С.- П., 1991. С. 31-43
- Долгарев А.И. ЕМ-пространства. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М.: УДН, 1991. – 9с.
- Долгарев А.И. Матричный растран// Разбиения и гомоморфные отображения полугрупп. Межвуз. сб. научн. тр., С.- П., 1992. С. 30 – 39.
- Долгарев А.И. Растраны на группах Ли// Iнтегральнi перетворення та x застосування до крайових задач, Зб. наук. пр., - Кив: Iн-т математики НАН Украни, 1995, вип. 11. – С. 98 – 105.
- Долгарев А.И. Дифференцирование одулярных функций // Iнтегральнi перетворення та їx застосування до крайових задач, Зб. наук. пр., - Київ: Iн-т математики НАН України, 1995, вип. 12. - С. 57-79.
- Долгарев А.И. Плоскость группы простой экспоненты// Математика и информатика: Межвуз. сб. – Пенза: ПГПУ им. В.Г. Белинского, 1996. – С. 3 – 12.
- Долгарев А.И., Анисимова О.И., Кирсанов Р.В., Сергеечев М.В. Конечная ЛМ-плоскость// Математика и информатика: Межвуз.сб. – Пенза: ПГПУ им. В.Г. Белинского, 1996. – С. 12 – 17.
- Долгарев А.И. Растран в алгебре, геометрии, физике. Одулярная геометрия. // Iнтегральнi перетворення та їx застосування до крайових задач, Зб. наук. пр., - Київ: Iн-т математики НАН України, 1997, вип. 16. - С. 96-108.
- Долгарев А.И. Полная кривизна поверхности в ЕМ-пространстве.// Движения в обобщенных пространствах. Межвуз. сб. научн. тр. – Пенза: ПГПУ, 1999. – С. 13-19
- Долгарев А.И. Сетевые уравнения двумерных линейных пространств над R// Движения в обобщенных пространствах. Межвуз.сб.научн.тр. - Пенза: ПГПУ, 2000.- С.117-124.
- Долгарев А.И. Недифференцируемый одуль. // Дифференциальная геометрия многообразий фигур, Межвуз. тем. сб. научн. тр., Калиниград, КГУ, 2001, вып. 32. - С. 34-37.
- Долгарев А.И. Одули преобразований и геодезические// Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания. Межвуз. сб. научн. тр. – Пенза: ПГПУ, 2001, - С. 5-10.
- Долгарев А.И. Дифференциальная геометрия пространства с касательным отображением в одуль галилеевых движений. – Саранск: Средневолжское математическое общество, 2002. Препринт № 51. – 50с.
- Долгарев А.И. Кривые 3-мерных вейлевских одулярных пространств и кривые евклидо-вой плоскости.// Дифференциальная геометрия многообразий фигур, Межвуз. тем. сб. научн. тр., Калиниград, КГУ, 2002, вып. 33. - С. 25-28.
- Долгарев А.И. Модели гиперболических плоскостей с псевдоевклидовым и галилеевым расстояниями между точками// Труды Средневолжского математического общества, Саранск, СВМО, Т. 5, № 1, 2003. – С. 262-266.
- Долгарев А.И. Поверхности, аналогичные плоскостям в нильпотентном одулярном пространстве// Дифференциальная геометрия многообразий фигур, Межвуз. тем. сб. научн. тр., Калиниград, КГУ, 2003, вып. 34. - С. 37-42.
- Долгарев А.И. Поверхности в дифференциальной геометрии пространства с касательным отображением в одуль галилеевых движений. – Саранск: Средневолжское математическое общество, 2003, препринт 62. – 40с.
- Долгарев А.И. Дифференциальные уравнения поверхностей одулярных пространств. Нормальная кривизна поверхности.// Труды Средневолжского математического общества, Саранск, СВМО, Т. 6, № 1, 2004. – С. 132 – 144.
- Долгарев А.И. Кривые постоянных кривизн 3-мерных разрешимых одулярных пространств// Труды Средневолжского математического общества, Саранск, СВМО, Т. 6, № 1, 2004. – С. 350 – 351.
- Долгарев А.И. Сетевые уравнения 3-мерных разрешимых одулей Ли// Дифференциальная геометрия многообразий фигур, Межвуз. тем. сб. научн. тр., Калиниград, КГУ, 2004, вып. 35. - С. 42-48.
- Долгарев А.И. Натуральные уравнения кривых 3-мерных одулярных галилеевых пространств.// Дифференциальная геометрия многообразий фигур, Межвуз. тем. сб. научн. тр., Калиниград, КГУ, 2005, вып. 36. - С. 31-36.
- Долгарев А.И. Основные уравнения теории поверхностей одулярного пространства. С диссоном.// Долгарев А.И., Долгарев И.А. – Дифференциальная геометрия многообразий фигур, Межвуз. тем. сб. научн. тр., Калиниград, КГУ, 2005, вып. 38. - С. 38-44.
- Долгарев А.И. Преобразования одулярного пространства с растраном.// Дифференциальная геометрия многообразий фигур, Межвуз. тем. сб. научн. тр., Калиниград, КГУ, 2005, вып. 39. - С. 32-37.
- Долгарев А.И. Качественные критерии для кривых и поверхностей 3-мерных одулярных галилеевых пространств. 2. Критерии для поверхностей.// Долгарев А.И., Долгарев И.А. – Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математически науки, Пенза, 2007, № 1, С. 3 – 17.
- Долгарев А.И. Кривые 4-мерного пространства-времени Галилея. // Долгарев А.И., Долгарев И.А. – Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математически науки, Пенза, 2007, № 3, С. 2 – 11.
- Долгарев А.И. Методы одулярной галилеевой геометрии в описании механических движений. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математически науки, Пенза, 2007, № 3, С. 12 – 24.
- Долгарев А.И. Альтернативная аффинная плоскость// Долгарев А.И., Долгарев И.А. – Владикавказский математический журнал, т. 9. вып. 4 (октябрь-декабрь), Владикавказ, 2007, С. 4 – 14.
- Долгарев А.И. 2-параметрические кривизна и кручение 3-мерных галилеевых одулярных разрешимых пространств. – Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математически науки, Пенза, 2007, № 4, С. 3 – 17.
- Долгарев А.И. Прямые и плоскости в 4-мерном пространстве-времени с W-сибсоном. // Долгарев А.И., Синицина О.В., Королева Ю.А., Липикина Е.А. – Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математически науки, 2007, № 4, С. 18 – 34.
- Долгарев А.И. Альтернативное 2-мерное действительное линейное пространство. Группа Ли замен базисов пространства.// Долгарев А.И., Долгарев И.А. – Владикавказский математический журнал, т. 10. вып. 2 (апрель-июль), Владикавказ, 2008, С. 9 – 20.
- Долгарев А.И. Специальные вопросы теории кривых 4-мерного пространства-времени Галилея. // Долгарев А.И., Долгарев И.А. – Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математически науки, Пенза, 2008, № 1(5), С. 2 – 11.
- Долгарев А.И. Одули Ли преобразований. Траектории и поверхности траекторий. Собственная геометрия поверхностей. – Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математически науки, Пенза, 2008, № 2(6), С. 21 – 38.
- Долгарев А.И. Растран с 2-мерным временем. // Долгарев А.И., Зелева Е.В. – Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математически науки, Пенза, 2008, № 3(7), С. 20 - 28.
- Долгарев А.И. 3-мерное галилеево одулярное нильпотентное пространство с 2-мерным временем. // Долгарев А.И. и Долгарев И.А. – Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 1(9), том 5, М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008 - С. 140 - 152.
- Долгарев А.И. Кривые 3-мерного галилеева пространства с растраном с 2-мерным временем. // Долгарев А.И., Зелева Е.В. – Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математически науки, Пенза, 2009, № 1(9), С. 55 - 68.
- Долгарев А.И. Некоторые приложения галилеевых методов/ А.И. Долгарев, И.А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математически науки, - Пенза, 2009, № 2(10), С. 39 - 59.
- Долгарев А.И. Траектории движений как линии постоянной кривизны. - www.sinaps. ru/free-ip/adpgpi
Задепонировано редакцией журнала Известия вузов. Математика.
- Долгарев А.И. Одулярное описание аффинных преобразований плоскости. Деп. в ВИНИТИ 02.07.97, № 369 -В97 – 59с.
- Долгарев А.И. Пространства Эйнштейна на растране. Деп. в ВИНИТИ 03.08.98, № 2472 – В98. – 8с.
- Долгарев А.И. Одулярное описание траекторий аффинных преобразований плоскости. Деп. в ВИНИТИ 03.08.98, № 2473 - В98. - 19 с.
Задепонировано редакцией Сибирского математического журнала.
- Долгарев А.И. Нормальная кривизна поверхности в ЕМ-пространстве. Деп.в ВИНИТИ 03.02.03 № 208 – В2003. – 21с.
Авторская справка
НЕКОММУТАТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ГАЛИЛЕЕВЫХ ОДУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВ
В АКСИОМАТИКЕ Г. ВЕЙЛЯ
А в т о р е ф е р а т
диссертации на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук
ДОЛГАРЕВ Артур Иванович
К.ф.-м.н., доцент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования
Пензенского государственного университета.
Сл. Т. 36 80 96, д.т. 52 40 78
440052, Пенза, Куйбышева 11-11. E-mail: [email protected]
[1] Вейль Г. Пространство. Время. Материя. Лекции по общей теории относительности. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 456 с.
[2] Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. – М.: Наука, 1967. – 664 с.
[3] Сабинин Л.В. Одули как новый подход к геометрии со связностью // ДАН СССР. 1977. N5. C.800-803.
[4] Сабинин Л.В., Михеев П.О. Гладкие квазигруппы и геометрия// Проблемы геометрии, т. 20. ВИНИТИ, М., 1988. - С. 75 - 110.
Sabinin L.V., Miheev P.O. Quasigroups and Differennial Geometri. In Quasigroups and Loops: Theory and Applications. (O.Chein, H. Pflugfelder and J.D.H. Smith, eds.), Heldermann Verlag. Berlin, 1990, Ch XII, pp. 357 - 430. MR 93g: 20133 (English)
Sabinin L.V. Smooth Quasigroups and Loops.- Kluwer Academie Publishers. Dordrecht. Nttherland, 1999, xvi + 250 (English)
[5] Левичев А.В. Однородная хроногеометрия. I. - Новосибирск: НГУ, 1991. - 52 с.
[6] Розенфельд Б.А., Замаховский М.П. Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства. – М.: МЦНМО, 2003.- 560с.
[7] Арнольд В.И. Математические методы классической механики. – М.: Наука, 1989. – 472с.
[8] Сабинин Л.В. Одули как новый подход к геометрии со связностью // ДАН СССР. 1977. N5. C.800-803.
[9] Левичев А.В. Однородная хроногеометрия. I. - Новосибирск: НГУ, 1991. - 52 с.
[10] Скотт П. Геометрии на трёхмерных многообразиях. - М.: Мир, 1986.- 168с.
[11] Арнольд В.И. Математические методы классической механики. – М.: Наука, 1989. – 472с.
