Изучение спектральных характеристик одной несамосопряженной задачи с гладкими коэффициентами
На правах рукописи
Гаджиева Тамила Юсуповна
Изучение спектральных характеристик одной несамосопряженной задачи с гладкими коэффициентами
01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Ростов-на-Дону
2010
Работа выполнена на кафедре математического анализа ГОУ ВПО «Дагестанский государственный университет»
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор Айгунов Гасан Абдуллаевич
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Гаврилов Валериан Иванович
доктор физико-математических наук,
профессор Жуков Михаил Юрьевич
Ведущая организация: Московский государственный областной
университет
Защита состоится «13» апреля 2010 г. в 15 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д212.208.29 по физико-математическим наукам в Южном Федеральном университете по адресу: 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8А, факультет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, ауд. 211.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного Федерального университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.
Автореферат разослан ____ марта 2010 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д212.208.29 В.Д. Кряквин
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Многочисленные проблемы теории колебаний пространственно-распределенных систем приводят к необходимости изучения собственных значений и соответствующих им собственных функций дифференциальных операторов, а также к вопросам, связанным с изучением различных функционалов от собственных чисел и собственных функций.
Особенно возрос интерес к проблеме спектрального анализа, когда выяснилось, что спектральный анализ несамосопряженных дифференциальных операторов является основным математическим аппаратом при решении задач квантовой механики.
Как известно, многие задачи математической физики, механики, теории упругости, оптимального управления приводят к задаче изучения спектра несамосопряженных дифференциальных операторов и разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям такого оператора. Классические результаты в этом направлении принадлежат Ж. Лиувиллю, Ж. Штурму, В.А. Стеклову, Г.Д. Биркгофу, Я.Д. Тамаркину, М.Г. Крейну.
Цель работы. Диссертация посвящена вопросам изучения асимптотического поведения собственных значений, оценкам ядра резольвенты и 
-кратного разложения в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям несамосопряженной задачи, которая является обобщением известной задачи Редже на уравнение 
-го порядка для случая весовой функции 
в регулярном (
) и в нерегулярном (
) случаях. Доказано единственность этих 
-кратных разложений. В случае уравнения второго порядка получены оценки нормированных собственных функций задачи Т.Редже для гладких коэффициентов. Доказано, что нормированные собственные функции в регулярном случае равномерно ограничены, а в нерегулярном случае они растут как 
.
Научная новизна. 1. В регулярном случае (когда 
) получены асимптотические формулы для собственных значений задачи 
.
- Доказано, что ядро резольвенты задачи
в регулярном случае убывает как 
. - Указан класс функций
, для которых имеет место 
-кратное разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям задачи 
в регулярном случае и доказано что эти разложения единственны. - Получена асимптотика собственных значений в общем нерегулярном случае (когда
, 
, 
). - Доказано, что ядро резольвенты задачи
в нерегулярном случае растет как 
. - Указан класс функций
и в общем нерегулярном случае, для которых имеет место 
-кратное разложение в равномерно-сходящиеся ряды по собственным функциям задачи 
,
(1), где 
определяются явно. Доказано, что разложение (1) единственно. - Для случая уравнения второго порядка получены оценки нормированных собственных функций задачи
, причем доказано, что в регулярном случае они равномерно ограничены, а в нерегулярном случае при 
, 
имеет место оценка 
, где 
- const.
Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при решении различных задач механики, теории упругости, математической физики, оптимального управления, так как, как известно, спектральные краевые задачи моделируют многие прикладные задачи. Результаты работы могут найти применение и в самой математике при обосновании метода Фурье, при изучении сходимости различных разложений и т.д.
Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием. Доказательства всех основных положений получены соискателем. В совместной работе научному руководителю принадлежат постановка задач и намеченная методика их решения.
Внедрение результатов работы. Результаты работы внедрены в учебный процесс в виде разделов в спецкурсах: а) спектральные краевые задачи, б) обобщенная проблема оценок собственных функций несамосопряженных краевых задач, используются при чтении курсов дифференциальных уравнений и уравнений математической физики, а также при разработке тем дипломных и курсовых работ.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Третьей и Четвертой международных конференциях, г. Махачкала 2007-2009, на научно-теоретических конференциях, проводимых в Дагестанском государственном университете (2005-2009г.), на межвузовских конференциях «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (2005-2009г.), на заседаниях семинара по спектральной теории кафедр дифференциальных уравнений и математического анализа (2005-2009г.) Дагестанского государственного университета, на научном семинаре, руководимом профессорами А.Г. Костюченко и А.А. Шкаликовым при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова, на кафедре вычислительной математики и математической физики южного федерального университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[10].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 52 наименований. Полный объем диссертации составляет 117 страниц машинописного текста.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Пусть на отрезке 
задан линейный дифференциальный оператор 
, порожденный обыкновенными дифференциальными уравнениями, коэффициенты которых зависят от параметра 
. Обозначим для краткости границу отрезка 
через 
и рассмотрим спектральную задачу
, 
(1)
, 
, (2)
В формуле (2) 
- некоторый линейный граничный оператор, также зависящий от параметра 
, представляет собой большой объект исследования.
Поставим задачу определения тех значений параметра 
, при которых задача (1)-(2) имеет нетривиальные решения.
Задача (1)-(2) являлась предметом исследования многих авторов. Отметим, прежде всего, классические работы Г.Д. Биркгофа и Я.Д. Тамаркина.
В этих работах была развита техника асимптотического решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, позволяющая в ряде важных случаев исследовать не только спектр, но и изучить вопросы, связанные с разложением произвольных функций в ряды по собственным функциям спектральной задачи (1)-(2).
Фундаментальную роль в изучении спектральных свойств задачи (1)-(2) сыграла работа М.В. Келдыша. В этой работе М.В.Келдыш ввел важнейшее понятие 
-кратной полноты системы собственных функций спектральной задачи.
Поскольку из полноты системы собственных и присоединенных функций не следует, вообще говоря, возможность разложения произвольной функции в ряд по этой системе, то условия регулярности Я.Д. Тамаркина являлись наиболее общими условиями, позволяющими получить разложение функций из определенного класса в ряды по фундаментальным функциям спектральной задачи.
Спектральная задача вида (1)-(2) в связи с решением смешанных краевых задач рассматривалась М.Л. Расуловым, К.В. Брушлинским и другими авторами. В этих работах налагались такие ограничения на само уравнение и краевые условия, при которых выполнялось условие регулярности Я.Д. Тамаркина.
Замечательным обстоятельством является, однако, тот факт, что многие важные для приложения задачи приводят к спектральным задачам, где условия регулярности Я.Д. Тамаркина заведомо не выполняются. Примером такой задачи является следующая спектральная задача, возникающая в квантовой теории рассеяния:
(
) (3)
, (4)
. (5)
Эта задача была рассмотрена впервые итальянским физиком Т. Редже, который в случае 
показал, что система собственных функций задачи (3)-(4) полна и изучил асимптотику собственных чисел этой задачи.
А.О. Кравицкий указал класс функций, которые допускают разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям задачи Т. Редже, когда 
.
В работах М.М. Гехтмана, И.В. Станкевича задача Т. Редже была обобщена на случай уравнения четвертого порядка.
Чтобы получить краевые условия обобщающие условия излучения (5), вначале рассматривается некоторый самосопряженный в 
оператор с непрерывным спектром, а затем изучается аналитическое продолжение резольвенты этого самосопряженного оператора на риманову поверхность («нефизические листы»).
Б.Л. Коган, Б.С. Павлов, М.В. Буслаева и А.М. Магерамов рассмотрели обобщение задачи Т. Редже на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.М. Гехтман и Г.А. Айгунов рассмотрели обобщение задачи Т. Редже для дифференциального оператора четного порядка при 
. Более общий случай уравнения n-го порядка, когда все коэффициенты 
зависят от спектрального порядка 
рассмотрен в работах Шкаликова А.А.
Укажем еще работу Е.А. Барановой, в которой изучалась обратная задача для уравнения 
-го порядка без промежуточных членов с краевыми условиями содержащими спектральный параметр 
.
Отметим также работу Г.А. Айгунова, где рассмотрен случай дифференциального оператора 
–го порядка при 
, где различаются два случая 
регулярный и 
- нерегулярный, причем в этой работе рассмотрены для нерегулярного случая два подслучая: а) 
, 
; б) 
, 
, 
.
Оставался открытым вопрос, что же будет, если 
, 
(*)
Диссертанту удалось найти в этом общем нерегулярном случае (*) условие необходимое для определения асимптотики спектра, оценки ядра резольвенты и определения класса функций, для которых имеет место 
-кратное разложение по собственным функциям заданной задачи.
Если первые две главы диссертации посвящены вопросам разложения в равномерно-сходящиеся ряды по собственным функциям рассматриваемой задачи (6)-(7), то третья глава посвящена оценкам собственных функций задачи (3)-(5) для регулярного и нерегулярного случаев.
Результаты, установленные в III главе диссертации, примыкают к кругу вопросов, относящихся к известной проблеме В.А. Стеклова об условиях ограниченности (в терминах весовой функции 
) ортонормированной системы многочленов 
на всем интервале ортогональности или ее части, где 
. В последнее время значительно возрос интерес к этой проблеме. Сравнив результаты работ Я.Л. Геронимуса, Е.А. Рахманова и М.У. Амброладзе, можно заметить аналогию в асимптотическом поведении общих ортонормированных многочленов 
и нормированных собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля на конечном отрезке. Поэтому было бы интересно выяснить, справедливы ли утверждения теорем в случае общих ортонормированных полиномов. Заметим, что и ортонормированные полиномы, и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля обладают свойством ортогональности. В диссертации доказывается, что асимптотические свойства собственных функций не связаны непосредственно с ортогональностью, а обусловлены специальным характером колеблемости решений дифференциального уравнения, величина же максимально возможного роста последовательности нормированных собственных функций определяется только нормировочным условием.
Аналогичные оценки для задачи Штурма-Лиувилля рассматривались многими авторами, начиная с Ж. Штурма и Ж. Лиувилля в 1836 г., В.Я. Якубова в 1967 г., в работах В.А. Ильина, И. Йо, И.А. Шишмарева, В.В. Жикова, М.М. Гехтмана, Г.А. Айгунова.
Перейдем к изложению содержания диссертации.
В § 1.1 рассматривается в пространстве 
краевая задача, порождаемая дифференциальным уравнением
, 
(6)
и краевыми условиями:
, 
. (7)
Считается, что функции 
, 
, причем при 
, 
, 
, а при 
.
Обозначим через 
линейно-независимые решения уравнения (6), которые при 
совпадают с функциями 
. Будем полагать, что нумерация корней 
(
- корни степени 
из 1) определяется соотношением
где 
, 
, 
, (
). Тогда при 
общее решение уравнения (5) будет определяться равенством
. (8)
Пусть 
, 
. При этих условиях
.
Поэтому при 
.
Аналогично убеждаемся, что при 
соответствующие экспоненты не принадлежат 
. Так как 
, то приходим к условиям
. (9)
Условия (9) равносильны, как легко видеть, условиям
, 
. (10)
Запись 
означает, что в определителе Вронского отсутствует функция 
.
Чтобы определить решение 
в промежутке 
нужно решить спектральную задачу 
:
, 
, (11)
, 
, (12)
, 
, (13)
где 
.
В дальнейшем будем различать два случая.
Случай, когда 
будем называть регулярным, а случай 
- нерегулярным.
Первая глава посвящена изучению спектральных характеристик задачи 
в регулярном случае.
Введем класс функций 
, удовлетворяющих условиям:
а) 
, 
, 
- некоторое натуральное число;
б) 
, 
;
в) 
, 
,
, 
.
Здесь 
есть значение в точке 
результата применения 
-ой итерации оператора 
к функции 
.
С учетом того, что собственные значения задачи 
простые, тогда основной результат первой главы дает следующая
Теорема 1.6.1. Пусть 
, 
, 
и 
, тогда при 
эти функции допускают разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям 
задачи 
вида:
, (
) (14)
Коэффициенты 
в случае простого полюса 
вычисляются явно.
Разложение (14) единственно.
Доказательство теоремы 1.6.1 основано на нескольких леммах
В § 1.2 доказывается лемма, дающая асимптотические формулы для решений уравнения 
равномерно по 
.
В § 1.3 при 
приводятся подготовительные леммы.
Определим сектора 
на плоскости 
посредством неравенств:
, 
.
Введем еще сектора 
, которые получаются из секторов 
(
) путем зеркального отображения относительно вещественной оси в плоскости 
.
Рассмотрим определитель 
, определяемый равенством
. (15)
Спектром задачи 
будем называть совокупность всех чисел 
, для которых 
. Эти числа называются собственными значениями спектральной задачи 
.
В § 1.4 изучено асимптотическое поведение функции при 
и найдена асимптотика собственных значений задачи в регулярном случае.
Пусть 
, 
, тогда асимптотика собственных значений задачи 
в регулярном случае определяется формулой:
, (16)
где 
(
- натуральное число).
При 
, 
, (17)
где 
(
- некоторое натуральное число).
В остальных секторах может быть только конечное число собственных значений задачи 
.
В § 1.5 изучается ядро 
резольвенты задачи 
в регулярном случае. Доказывается
Лемма 1.5.1. В комплексной плоскости 
существует последовательность расширяющихся замкнутых контуров 
, на которых 
-я производная по 
от ядра резольвенты 
равномерно по 
, 
допускает оценку
, 
. (18)
В § 1.6, основываясь на леммах, приводимых в предыдущих параграфах, доказывается теорема 1.6.1.
Во второй главе рассматривается задача 
в нерегулярном случае. Рассматривается случай, когда
, 
, 
, где 
,
(причем 
при 
) (19)
.
Будем считать, что все собственные значения задачи 
в нерегулярном случае, как и выше, простые. Тогда основной результат этой главы дает следующая
Теорема 2.3.1. Пусть 
, 
, 
и 
, тогда при 
эти функции допускают разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям 
задачи 
вида:
, (
), (20)
где коэффициенты 
вычисляются явно.
Разложение (20) единственно.
Доказательство данной теоремы основано на нескольких леммах.
В § 2.1 изучается асимптотическое поведение функции 
при 
. Получены асимптотические формулы для собственных значений задачи 
:
Если 
, 
, тогда имеем
,
где 
(
- натуральное число).
Если 
, 
,
где 
(
- натуральное число), 
, 
, а 
и 
определяются с помощью формул (19).
В § 2.2 дается оценка роста функции Грина 
задачи 
в нерегулярном случае.
Лемма 2.2.1. Если задача 
нерегулярна, то в комплексной плоскости 
существует последовательность расширяющихся замкнутых контуров 
, на которых 
-я производная по 
от ядра резольвенты 
равномерно по 
, 
допускает оценку
, 
.
§ 2.3 посвящен получению 
-кратных разложений в ряд по собственным функциям краевой задачи 
в нерегулярном случае, где доказывается теорема 2.3.1.
§ 2.4 посвящен вычислению вычета ядра резольвенты спектральной задачи 
в случае простого полюса 
и доказательству единственности разложения (20).
В § 2.4 доказана следующая
Теорема 2.4.1. Пусть все собственные числа 
спектральной задачи 
однократны и 
не является собственным числом.
Тогда разложение (20) единственно.
Доказательство данной теоремы основывается на леммах 2.4.1-2.4.3.
Пусть 
- различные корни степени 
из единицы, упорядоченные таким образом, что 
. Из чисел 
(
;
- комплексное число) составим матрицу Вандермонда 
. В дальнейшем будем также пользоваться разбиением матрицы 
на квадратные блоки
Линейные формы условий 
получаются заменой 
- го столбца матрицы 
столбцом 
.
Введем векторные обозначения для краевых значений
, 
, 
,
, 
,
.
Справедлива следующая
Лемма 2.4.1. Вектор строки 
и 
при 
связаны соотношением 
.
Для формулировки леммы 2.4.2 введем обозначения
- ганкелева матрица 
-го порядка, у которой элементы с суммой индексов 
равны 1, а остальные нулю. Нумерация элементов начинается с нуля. Положим:
(21)
, 
,
, 
.
Элементы матрицы 
- однородные полиномы по 
и 
степени не выше 
.
Лемма 2.4.2. Если для векторов 
, 
выполнены условия
,
то при 
.
Лемма 2.4.3. Если 
- собственные функции задачи 2.4.1, отвечающие простым собственным значениям 
, а 
- вектор-строки: 
, 
, то
,
где 
при всех 
, а 
- символ Кронекера.
Таким образом, с учетом формул (2.3.3) и (2.3.5) мы получаем явный вид 
в разложении (2.3.1) в случае простого полюса 
, а именно:
, (22)
где 
, а 
определяется формулой (21).
Третья глава посвящена оценке нормированных собственных функций спектральной задачи в случае дифференциального уравнения второго порядка. Глава состоит из двух параграфов.
§ 3.1 посвящен оценке нормированных собственных функций спектральной задачи 
при 
, 
, 
, (23)
, 
, 
, 
, 
(24)
, где 
. (25)
Очевидно, что при 
, 
задача (23)-(25) совпадает с задачей 
при 
.
Пусть 
, 
. Справедливы следующие теоремы:
Теорема 3.1.1. Нормированные собственные функции задачи 
при 
в регулярном случае (когда 
) равномерно по 
ограничены, т. е. 
, где 
и 
не зависят от 
.
Теорема 3.1.2. Для нормированных собственных функций задачи 
при 
в нерегулярном случае (когда 
) справедлива следующая оценка
,
где 
и 
не зависят от 
.
В § 3.2 доказано, что в случае гладких коэффициентов (
, 
) для задачи 
при 
(т. е. задачи (23)-(25)) имеют место следующие теоремы:
Теорема 3.2.1. Пусть 
, 
, 
, 
, тогда нормированные собственные функции задачи 
при 
в регулярном случае (
) равномерно ограничены, т. е.
, где 
и 
не зависят от 
.
Теорема 3.2.2. Пусть 
, 
, 
, 
, тогда для нормированных собственных функций задачи 
при 
в нерегулярном случае (когда 
) справедлива следующая оценка 
, где 
и 
не зависят от 
.
Пользуясь, случаем, приношу искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Г.А. Айгунову за постоянное внимание и руководство работой.
СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
- Издания, рекомендованные ВАК МО РФ для публикаций материалов кандидатских диссертаций по математике:
[1] Гаджиева, Т.Ю. Асимптотика собственных значений и оценка ядра резольвенты одной нерегулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 
-го порядка на отрезке 
/ Г.А. Айгунов, Т.Ю. Гаджиева // УМН. Москва, 2008 г. Том 63. Вып. 1 (379). -С. 157-159.
[2] Гаджиева, Т.Ю. Изучение асимптотики собственных значений одной регулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 
-го порядка на полуоси / Г.А. Айгунов, Т.Ю. Гаджиева // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. Ростов-на-Дону, 2008. № 5(147). - С.14-19.
[3] Гаджиева, Т.Ю. Оценка ядра резольвенты одной регулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 
-го порядка на отрезке 
/ Г.А. Айгунов, Т.Ю. Гаджиева // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. Ростов-на-Дону, 2008. № 6(148). - С.5-7.
[4] Гаджиева, Т.Ю. Оценка ядра резольвенты одной нерегулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 
-го порядка на отрезке 
/ Т.Ю. Гаджиева // Изв. вузов Сев. Кав. р. Естеств. науки. Ростов-на-Дону, 2008. № 6(148). - С.8-9.
II. Остальные публикации:
[5] Гаджиева, Т.Ю. Асимптотика собственных значений для одной нерегулярной краевой задачи типа Редже / Т.Ю. Гаджиева // Сб. статей ассоциации молодых ученых Дагестана, Махачкала, 2006. Вып. №34. - С. 129-136.
[6] Гаджиева, Т.Ю. Изучение асимптотики собственных значений одной нерегулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 4-го порядка на отрезке 
/ Т.Ю. Гаджиева // Материалы третьей Межд. научн. конференции, Махачкала, 2007. - С. 68 -72.
[7] Гаджиева, Т.Ю. Изучение асимптотики собственных значений и оценка ядра резольвенты одной нерегулярной краевой задачи, порождаемое дифференциальным уравнением 
-го порядка на отрезке 
в общем случае / Г.А. Айгунов, Т.Ю. Гаджиева // Вестник ДГУ, Махачкала, 2007, №4. - С. 34-38.
[8] Гаджиева, Т.Ю. Об оценке нормированных собственных функций задачи типа Редже в случае постоянных коэффициентов / Т.Ю. Гаджиева // Межвуз. н.-тем. сб. «ФДУ и их приложения». Махачкала, 2009. Вып. 5. - С. 73-84.
[9] Гаджиева, Т.Ю. Об оценке нормированных собственных функций задачи типа Т. Редже в случае гладких коэффициентов / Г.А. Айгунов, Т.Ю. Гаджиева // Межвуз. н.-тем. сб. «ФДУ и их приложения». Махачкала, 2009. Вып. 5. - С. 18-26.
[10] Гаджиева, Т.Ю. Изучение собственных значений одной нерегулярной несамосопряженной краевой задачи на отрезке 
/ Г.А. Айгунов, Т.Ю. Гаджиева // Материалы четвертой Межд. научн. конференции. Махачкала, 2009. - С. 26 - 28.
Формат 60x84/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Гарнитура «Times New Roman»
Тираж 100. Заказ № 47/10.
Издательско-полиграфический отдел ООО «ДИНЭМ»
367030, Республика Дагестан, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 94.
Тел./факс: +7 (722) 68-16-59
Тел.: +7 (928) 874-57-53
E-mail: [email protected]
