« ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Клюев, Сергей Васильевич Оптимальное проектирование конструкций башенного типа ...»
Рис. 4.2. Основной алгоритм многочленной эволюционной стратегии: Р - популяции, г - оператор рекомбинации, т - оператор мутации, s - оператор селекции
87
Основные части этих форм многочленных стратегий - эволюционные операторы рекомбинации г, мутации т, и селекции s.
Оператор рекомбинации осуществляет комбинацию информации, имеющихся у двух родителей, при производстве потомства. Этот прием ориентируется на существование двуполого размножения в биологической эволюции. Типы функций некоторых рекомбинационных форм, которые могут быть использованы в эволюционной стратегии, отражены на рис. 4.3 и в уравнениях:
*;=<
X., ИЛИ XbJ
-(Ха,і+ХЬ,і) Ха(і),і ИЛИ Xb(i).i
~ \Xa(i).i +Xb(i),i)
(A)
(В) (С)
(D)
(4.6)
| *1 | \\ | * * | • » | *u | • • | • • | VI |
| xa | xa,\ | • • | * • | xa,i | • • 1 • • | xa,n | | |
| *b | xb\ | .- | • • Lfy_ | • • | • • | xb/i 1 | |
| *u | \\ | • • | • • | \i | • • | #, | X 1 •4"! |
/[ZITTfYTIZI
4, i
Рис. 4.З. Пример рекомбинации
При дискретной рекомбинации какая-либо величина берется от одного из причастных родителей (формы А и С в ур. 4.6).
При промежуточной (нейтральной) рекомбинации какая-либо величина берется как среднее значение от причастных родителей (формы В и D в ур. 4.6).
88 При локальной рекомбинации для образования всех величин (^...хЧ
общего потомка применяется одна комбинация родителей (ха,хь) (формы
А и В в ур. 4.6).
При глобальной рекомбинации для образования каждой отдельной
величины х' потомка применяется новая комбинация родителей (*в(л>*4/л)
(формы С и D в ур. 4.6).
Выбор участвующих в рекомбинации родителей ха и хь происходит
чаще всего с равномерно распределенной вероятностью из общего пула \і родителей. Альтернативно можно, например, также задать качественно полноценного родителя как одного из партнеров рекомбинации.
Оператор мутации т функционирует при многочленных эволюционных стратегиях так же, как и при двучленных стратегических формах (см. ур. 4.1, 4.2).
Селекционным оператором s устанавливается количество индивидов родителей, которые служат производству последующей популяции. В прикладной метод селекции положено различие между (ц + А,)- и (цД)-стратегиями (рис. 4.4.).
(ц + А,) -стратегия - выбор новых родителей из общего числа действующих популяций родителей и потомков. В результате этого получается теоретически неограниченная длительность жизни отдельных индивидов.
(дД) -стратегия - выбор новых родителей только из популяции потомков. Длительность жизни отдельных индивидов ограничивается лишь одной генерацией.
89
(ц. + X) -стратегия (иЛ) -стратегия
Рис. 4.4. Селекционные схемы
Выбор из А, соответственно (ц + А) элементов обширного селекционного пула при эволюционных стратегиях происходит обыкновенно чисто детерминистически, т.е. \i полноценных проектов образуют новую установленную популяцию родителей.
Как при двучленной эволюционной стратегии, при описанных основных формах многочленной эволюционной стратегии происходит адаптация размера шага мутации путем применения 1/5-правила успеха.
Важнейшие свойства представленной многочленной эволюционной стратегии состоят в следующем. Для генерирования потомков можно использовать информацию многих родителей. В (ц + X) -стратегии каждый
проект имеет принципиальную возможность существовать как угодно долго в рамках заданного числа генераций. Из этого следует, что качество лучшего проекта через многие генерации никогда не ухудшится. В (цД)-
стратегии продолжительность жизни ограничена лишь одной генерацией. Следовательно, качество лучшего проекта через многие генерации может ухудшиться. Адаптация размера шага мутации ведется на основе 1/5-правила успеха.
90
В связи с дальнейшей независимостью индивидов популяции друг от друга многочленная эволюционная стратегия достаточно хорошо приспособлена к использованию разнообразных вычислительных ресурсов.
Детальную информацию об этих многочленных эволюционных стратегиях, исследовании свойств сходимости, дополнительных указаниях и др. можно найти, например, в работах [118, 135, 136, 141, 142]. Формулировки и применения многочленной эволюционной стратегии в области оптимизации конструкций даны в работах [96, 100, 101, 116].
4.2. Совершенствование форм эволюционной стратегии
4.2.1. Саморегулирующаяся шаговая адаптация
В п. 4.1.1. был представлен тип функции оператора мутации для генерирования потомков (см. ур. 4.1, 4.2). При этом по мере надобности случайный вектор добавлялся к существующему вектору родителей. Предполагалось, что подобно природе, малые изменения проявляются с большей вероятностью, чем большие, и все направления изменений равноправны. Это следует из применения распределенных по Гауссу случайных чисел со средним значением 0 и нормальным отклонением а. Это нормальное отклонение, интерпретируемое как длина шага в пространстве поиска, имеет большое влияние на успех или неудачу поиска. Если длина шага мала, получается малая скорость процесса, так как широкий поток концентрируется на малом подпространстве. При большом размере шага, напротив, существует опасность, что может быть много непредвиденных скачков, что скажется на процессе сходимости. Для решения этой проблемы Рехенберг предложил 1/5-правило успеха. Это правило предусматривает заданную эвристику, которую можно рассматривать лишь как грубую исходную величину. Так как это правило введено для двух простых моделей, не исключается появление специфических приспособлений длины шага мутации
91 при широком спектре задач. В связи с этим Швефель предложил расширение правила. Расширяется и вектор проекта (индивид). Он охватывает дополнительно к п переменным проекта xj дальнейшие п нормальных отклонений а,, которые смотря по обстоятельствам присоединяются к соответствующим переменным проекта:
х = {(х1,а1),(х2,с2),...,(х„,ап)} = {х,о}. (4.7)
Согласно этому оптимизационный процесс связан не только с собственными переменными проекта (объекта), но и со стратегическими переменными а,. Посредством этой связи достижение качества (путем выгодного регулирования переменных объекта) и благоприятных размеров шагов осуществляется селекцией исходя из выгодного регулирования важных стратегических параметров. Этот процесс саморегулирующейся шаговой адаптации допускает автоматическое приспособление оптимизации к топологическим условиям поставленной задачи.
Реализация этой саморегулирующейся стратегической формы происходит на основе руководства, представленного для основных форм многочленной эволюционной стратегии в п. 4.1.2 (см. рис. 4.2.). Обобщения, относящиеся к операторам рекомбинации и мутации для генерирования проектов потомков хп из существующих родительских проектов хе, описаны ниже.
Различные виды рекомбинации (дискретная, нейтральная, локальная, глобальная, см. ур. 4.6) одинаково отражаются на стратегических параметрах. На рис. 4.6 представлен пример с 5 родителями (д) и 3 переменными проекта (п), причем производится глобальная, нейтральная рекомбинация переменных объекта и глобальная, дискретная рекомбинация стратегических переменных.
Оператор мутации в саморегулирующейся стратегической форме содержит два шага: сначала имеет место вариация стратегических переменных т^, а затем непосредственно вариация переменных проекта mev:
92
х"=т(хе) = т„(хе) + теу(хе). (4.8)
Во избежание отрицательных длин шагов с одновременным предпочтением малых изменений в мутации стратегических переменных проводится мультипликативный логарифмически нормально распределенный вариационный шаг
а;=а;-еЛ'(0'т). (4.9)
Параметр т выбирается в зависимости от размерности задачи. Шве-
фель предлагает базовое значение т —. [142].
V2V^
Варьируемый шаг переменных проекта определяется с использованием установленных стратегических параметров согласно формуле
<=*;+лг(о,а;). (4.Ю)
Таким образом, саморегулирующаяся форма эволюционной стратегии развивает обучающую способность в различных областях:
- приспособление ориентированных на качество переменных проекта, обозначаемое как эволюция 1-го рода, или как «объектно - уровневое обучающее» приспособление;
- приспособление ориентированных на качество стратегических параметров, обозначаемое как эволюция 2-го рода, или как «мета - уровневое обучающее» приспособление.
4.2.2. Эволюционные стратегии с переменной длительностью существования
В п. 4.1.2 представлены (ц + ^)- и (цД)-стратегии как основные
формы многочленной эволюционной стратегии. Обе стратегии смотря по обстоятельствам представляют экстремальную форму.
93
(цЛ) -стратегия реализует минимальную длительность существования индивидов, ограниченную одной генерацией. Это может привести к большим колебаниям в изменении целевой функции и нарушению качества сходимости, так как благоприятная информация из родительской популяции не будет переходить в последующую родительскую популяцию.
(|! + X) -стратегия, напротив делает возможной неограниченную длительность существования отдельных индивидов. Из этого вытекает в общем гораздо более гладкое изменение целевой функции. Правда, неограниченной длительности существования индивидов препятствует описанная в п. 4.2.1 способность к саморегулирующейся адаптации длины шага. Краткосрочные качественные потери, которые могут быть вполне выгодными для достижения глобального оптимума, здесь также исключены.
По этим причинам предлагается реализация не только (ц,А,)- и
(ц + А,)-форм как экстремальных стратегических проявлений с минимальной (максимальной) продолжительностью существования, но и промежуточных форм с переменной длительностью существования, так называемых (ц,кД)-стратегий, использующих преимущества обеих экстремальных форм. В записи (ц,кД) величина к отражает максимально допустимую длительность существования отдельных индивидов, кроме проходящего цикла «рекомбинация - мутация». Схема селекции этой стратегической формы представлена на рис.4.5.
94
ПО
P\t)
временный селекционный пул
селекция
П+\) (• °) Рис. 4.5. Расширенная схема селекции (ц, к Д)-стратегии
Таким образом, в ходе этой стратегической формы получается на основе предыдущих генераций временная величина р промежуточного селекционного пула, из которого выбирается родительская популяция предков последующей генерации. При этом А, < р < ц + X.
4.3. Модификации с учетом требований дискретности
В предыдущих разделах был использован вид функций различных эволюционных стратегий без учета требований дискретности к переменным проекта. Введение этих требований вызывает необходимость модификации оператора рекомбинации г и оператора мутации т.
Определение области допустимых значений Dc,. континуальной переменной xci ведется путем задания нижней хп и верхней хи1 границы области значений:
95
Dci = {xc,ER\xu<xCJ<xui}. (4.11)
Количество допустимых значений Dd,. дискретных переменных проекта xdJ определяется путем соответствующего введения элементов сіп,...,сіі;., которые автоматически распределяются в возрастающей последовательности:
D^^.d^-Aj) (4-12)
Появление допустимых дискретных значений следует косвенно через индекс на отобранных величинах, прежде чем может последовать после округления индекса соответствующая реализация операторов рекомбинации г и операторов мутации т, как описано в п. 4.1.2. (рис. 4.6).
\
-г——г—-г*
\7
t I
djd,
К
ІІІЇЙ
t i
Рис. 4.6. Рекомбинация для дискретных и континуальных переменных проекта
96 4.4. Выбор стратегических форм
В предыдущих разделах этой главы рассматривались различные выражения эволюционной стратегии. В п. 4.1.1. в качестве простейшей стратегической формы рассмотрена (1+1)-стратегия, а в п. 4.1.2. - многочленные (ц + А,)- и (дД) -стратегии. Наконец, в п. 4.2.1 представлена возможность саморегулирующегося стратегического приема, а в п. 4.2.2 - эволюционные стратегии с переменной продолжительностью жизни индивидов. Чтобы достичь возможно более благоприятного поведения оптимизируемых систем, необходимо выбрать конкретную постановку задачи, целевые установки и, в особенности, приемлемые стратегические формы.
В качестве преимущественных критериев следует отметить их пригодность для широкого спектра сильно нелинейных прерывных постановок задач с многосторонними топологическими свойствами пространства поиска, а также возможность рационального использования различных вычислительных ресурсов для достижения приемлемого решения в приемлемый срок.
В связи с этим описанные в п. 4.1 двухчленные и многочленные стратегии не применяются в сочетании с 1/5-правилом успеха. Многочленные стратегические формы используются с их способностью к стратегической адаптации.
Применяемые в дальнейшем стратегические варианты охватывают формы (\i + \), (цД) и (|и,кД). Подытожим их важные свойства: 1) использование коллективных обучающих возможностей популяций; 2) применение стохастических эволюционных операторов (рекомбинация, мутация) к генерированию вариантов; 3) саморегулирующееся приспособление стратегических параметров; 4) введение различных селекционных схем; 5)благоприятные предпосылки для использования различных вычислительных ресурсов.
97 4.5. Связь оптимизации конструкции и эволюционной стратегии
Формулировка задачи оптимизации конструкции охватывает:
1) целевую функцию исходя из минимизации веса проектируемой
конструкции;
- различные виды ограничений на поведение конструкции;
- назначение континуальных и дискретных переменных проекта. Изложение материала ориентировано на стержневую систему.
4.5.1. Целевая функция
В рамках настоящей работы целью оптимального проектирования является конструкция минимального веса. При этом предполагается, что существует ее конечно-элементное представление. При принятии в пределах объема элемента Vi однородного материала с объемным весом р,. выражение для веса конструкции имеет вид
W(x) = iPiVr (4.13)
/=1
Целевая функция, базирующаяся на методе штрафных функций, получает вид
f(x) = W(x) + r-P(x). (4.14)
Параметр штрафа Р(х) содержит ограничения постановки задачи,
причем учитываются исключительно ограничения в виде неравенств. Ограничения в виде равенств применяются при оптимизации конструкций ограниченного использования и в дальнейшем не будут рассматриваться.
Так как числовые значения W(x) и Р{х) в зависимости от постановки задачи могут сильно отличаться друг от друга, ограничения должны вводиться в целевую функцию в стандартизированной форме. Тем самым применяемая целевая функция приводится к виду
98
f(x) = W(x)(l + rP(x)). (4.15)
Чтобы можно было достичь сходимости /(Зс) при решении связанной ограничениями исходной задачи в процессе генерации на основе эволюционной стратегии, параметр штрафа г, исходящий из начальной вели-чины г' = 1, на каждом генерационном шаге повышается, например, удваивается. Этот метод алгоритмически прост и в различных применениях к оптимизации конструкций отмечен как приемлемый [106, 126, 134, 140].
4.5.2. Ограничения
В задаче оптимизации конструкции в качестве ограничений принимаются во внимание преимущественно ограничения важных механических характеристик. Чаще всего это касается допускаемых напряжений, узловых перемещений и показателей устойчивости.
В динамических задачах оптимизации конструкций для формирования ограничений до сих пор чаще всего используются инвариантные во времени величины собственных частот. Благоприятным оказывается шаговый процесс решения задачи в заданном анализируемом временном пространстве. При этом, как и при статической постановке задачи, на каждом временном шаге вычисляются искомые величины и производится оценка возможных нарушений ограничений.
Наряду с возможностью детального описания желаемого поведения конструкции с точки зрения напряжений, перемещений и т.д., этот образ действий содержит возможность при сохранении всевозможных вычислительных концепций, принять во внимание также нелинейное поведение конструкции.
Ограничения на напряжения. При ограничениях на напряжения речь идет о величинах, ориентированных на элемент. Допускаемые величины берутся чаще всего из существующих проектных директив. Для стержне-
99
вых систем определяются обычно для элемента или для группы элементов
допускаемые величины нормального напряжения как в растянутой (а„), так и в сжатой (а;) области:
<*,*°и, (4.16)
Ъ<*и,г
(4.17)
Для континуальных конструкций часто привлекается приведенное напряжение Мизеса аш:
0mj^°uj-
(4.18)
В общем стандартная форма нормализованных ограничений по напряжениям имеет вид
,,=—*—1*0.
'«(/),!
(4.19)
Ограничения на перемещения. Речь идет о величинах, ориентированных на узлы. Этот вид ограничений предполагает единичный вектор d и максимальную величину wmax допускаемого перемещения в этом направлении (рис. 4.7).
со d
max
Рис. 4.7. Ограничения на перемещения
Таким образом, при w, = и, • dt как величине перемещения и,. в направлении di получается условие
W. < W
I max,;'
(4.20)
100 а в нормализированной форме
*„,=^—1*0. (4.21)
w
max,i
Ограничения на устойчивость. Этот вид ограничений вводится, чтобы избежать такого случая отклонения, как продольный изгиб или выпучивание. Ограничение вводится здесь в виде так называемых местных ограничений на устойчивость, которые определяются в плоскости элемента. В рамках этой главы данные ограничения реализуются для стержневых элементов с различной формой профиля. Процедура основывается на вычислении для каждого элемента критического эилерового напряжения для формирования ограничений на устойчивость [113, 114].
Критическое напряжение вычисляется по формуле
аи = -Щ, (4-22)
h
где kt - коэффициент, зависящий от профиля сечения стержня и условий его закрепления.
При этом для сжимающего напряжения а, в элементе i вводится ограничение
Gis,.<G,., (4.23)
а в нормализованной форме
^=-^-1<0. (4.24)
Для представленных ограничений в динамических задачах реализуются шаговые процедуры в заданном анализируемом временном пространстве. При этом последнее делится на п, равных промежутков времени At, и уравнения движения системы выводятся посредством прямого метода интегрирования. При этом величина ограничения gi получается как сумма
по nt промежутков времени:
101
g, = tgv(j-to). (4.25)
Как говорилось выше, динамическое поведение системы можно описать также на основе ее модальных свойств. Это касается, например, резонансных частот и преобладающих форм колебаний. В связи с этим реализуются также ограничения на собственные частоты, хотя упомянутая выше шаговая процедура выполнения ограничений намного производительнее.
Ограничения на свободные колебания. В противоположность рассмотренным выше ограничениям ограничения на собственные частоты относятся к цельной системе. Для избежания явления резонанса могут иметь смысл как верхняя, так и нижняя границы для собственной частоты X.:
М^а*,,, (4-26)
MW (4-27)
а в нормализованной форме:
„=7^—1*0, (4.28)
max,/
^=^-^0- (4'29)
К1
В итоге для Р{х) в формуле (4.15) при учете всехр ограничений в виде неравенств получается выражение
;=1
где g*(x) = max(0,g,(jc)). Целевая функция (4.15) принимает вид
Дх) = Ж(х)(\ + г^;(х)). (4.31)
102 4.5.3. Переменные проекта
В оптимизационной задаче переменные проекта представляют собой свободные величины, которые описывают конфигурацию конструкции или такие параметры элементов, как площадь поперечного сечения, толщина стенки элемента профиля сечения и т.п.
В настоящей главе рассматриваются геометрические переменные проекта (геометрическая оптимизация) и ориентированные на элемент переменные (оптимизация параметров).
Эта смешанная постановка задачи, в общем, значительно сложнее, чем чисто параметрическая оптимизационная задача. В последнем случае для стержневых систем получается линейная связь между весом конструкции и площадями поперечных сечений элементов. Если принять переменной также геометрию конструкции, то, в общем, получится нелинейная зависимость веса конструкции от переменных проекта. По качеству смешанная (геометрическая и параметрическая) задача оптимизации явно отличается от чисто параметрической задачи оптимизации и требует соответственно более дееспособных методов решения.
Для определения допустимых вариаций целесообразно собирать в группы элементы или узлы. Эта концепция обозначается как переменный массив. Тем самым поддерживается близкое к действительности описание конструкции и одновременно уменьшается число переменных проекта.
Для выяснения этой связи на рис. 4.8. представлена модель конструкции с геометрическими переменными (у4,х6,у6) и тремя группами переменных поперечных сечений (Д,Л2,Л3)> а на рис. 4.9 - возможный вариант конфигурации.
103
Рис. 4.8. Модель конструкции с переменными проекта
х 2
Рис. 4.9. Вариант конструкции
Независимо от исходных величин в модели конструкции переменные проекта разделяются также по их соответствию области величин на дискретные и континуальные переменные. Чтобы установить близкую к реальной оптимизационную модель, часто целесообразно такие параметры, как площади поперечных сечений или толщины стенок, определять через дискретные переменные проекта. В таком случае можно ввести в модель находящиеся в распоряжении ряды профилей, нормированные толщины стальных листов или другие стандартные серии строительных элементов. Для представления таких геометрических величин, как, например, длины стержней, координаты элементов, чаще пользуются внутри заданной области величин континуально меняющимися переменными проекта.
4.5.4. Начальная популяция
Для производства начальной популяции P(t) (см. рис. 4.2.) в распоряжении имеются два способа:
104
1. При учете верхней и нижней границ в соответствии с требования
ми к дискретности величины п переменных проекта хп всех ji родителей
принимаются случайно равномерно распределенными.
2. Исходя из заданной начальной конфигурации
*г-{С"*г} (4-32)
генерируются дальнейшие ц -1 родителей путем введения шага мутации с
повышенным размером с • а(0), например, с с = 10:
xf = Зс,(0) + N(0,c • о(0)), к = 2,...,ц. (4.33)
Преимущество 2-го метода состоит в том, что он позволяет информацию об известной конфигурации включать в оптимизационный расчет.
4.5.5. Критерии сходимости
Чтобы обеспечить нормальное функционирование оптимизационного расчета, необходимо установить приемлемые критерии его окончания. Практические методы, осуществляющие поиск решения в виде точки с исчезающими первыми производными, часто используют это условие существования точки экстремума также и как критерий сходимости. Для эволюционных стратегий это вид критерия неприемлем. Здесь чаще применяются критерии, которые непосредственно ориентируются на величины целевой функции. Исходной точкой для определения условия прекращения расчета является, например, принятие положения, что при приближении к оптимуму все ц родителей фактической генерации расположены абсолютно или относительно плотно [100,115, 142].
Критерий сходимости 1. В генерации g из популяции д. родителей устанавливаются:
а) лучшая величина целевой функции
/^min {/(*?>)}, k = \,...,ii; (4.34)
б) худшая величина целевой функции
105
/^= max {/$*>)}, k = l,...,\i. (4.35)
Расчет заканчивается, если выполняется абсолютный критерий
№-№*** (4-36)
или относительный критерий
—(/?>" /Г)^Е| /&% (4-37)
Grel к=\
Величины zabs > 0 и 1 + zrd > 1 устанавливаются по желаемой точности решения при учете точности вычислительной машины.
Этот критерий находится в зависимости от типа задачи, так как при дискретных переменных проекта величины целевой функции различных проектов не могут как угодно плотно располагаться друг к другу.
Альтернативная возможность для определения критерия окончания расчета появляется, если процесс оптимизации рассматривается во временном пространстве от нескольких генераций.
Критерий сходимости 2. Учитывается средняя величина целевой функции [і родителей генерации g
/І—ІН/Х^). (4.38)
Расчет заканчивается, если выполняется абсолютный критерий
fys)-№^abs (4-39)
или относительный критерий
—(/2r*)-./?,)/J?), (4.40)
Grel
где Ag - учитываемое число генераций. Величина zabs > 0 и 1 + гге1 > 1 устанавливаются по желаемой точности решения при учете точности вычислительной машины.
Критерий сходимости 3. Пусть /^ - лучшая величина целевой функции родительской популяции в генерации g:
106
>JB)=min{/(i?))}, * = 1,...,ц.
(4.41)
Расчет заканчивается, если выполняется критерий
1
є-AgtT
(4.42)
где Ag - снова означает учитываемое число генераций. Величина 1 + є > 1
устанавливаются по желаемой точности решения при учете точности вычислительной машины.
4.6. Пример
В качестве примера избрана часто обсуждаемая задача проектирования 25-стержневой фермы [113, 114,140].
4.6.1. Описание задачи
Рис. 4.10. 25-стержневая ферма
Проектирование пространственной 25-стержневой фермы (рис. 4.10) рассматривается при статическом нагружении. Принимаются во внимание ограничения в отношении прочности и устойчивости. Детальная информация о геометрии и топологии конструкции и о нагрузке приведена в табл. 4.1-4.3 [25].
107
Таблица. 4.1
25-стержневая ферма: координаты узлов, см
| узлы | X | У | z | узлы | X | У | z | узлы | л: | У | Z |
| 1 | -37,5 | 0,0 | 200,0 | 5 | 37,5 | 37,5 | 100,0 | 9 | 100,0 | -100,0 | 0,0 |
| 2 | -37,5 | 0,0 | 200,0 | 6 | -37,5 | -37,5 | 100,0 | 10 | -100,0 | -100,0 | 0,0 |
| 3 | -37,5 | 37,5 | 100,0 | 7 | -100,0 | 100,0 | 0,0 | ||||
| 4 | 37,5 | 37,5 | 100,0 | 8 | 100,0 | 100,0 | 0,0 |
Таблица. 4.2
25-стержневая ферма: топология элементов
| Род. | 1 уз. | 2 уз. | Род. | 1уз. | 2 уз. | Род. | 1 уз. | 2 уз. | 'од. | 1 уз. | 2 уз. | Род. | 1 уз. | 2 уз. |
| 1 | 1 | 2 | 6 | 2 | 4 | 11 | 4 | 5 | 16 | 4 | 9 | 21 | 6 | 9 |
| 2 | 1 | 4 | 7 | 2 | 5 | 12 | 3 | 4 | 17 | 5 | 8 | 22 | 6 | 10 |
| 3 | 2 | 3 | 8 | 1 | 3 | 13 | 5 | 6 | 18 | 4 | 7 | 23 | 3 | 7 |
| 4 | 1 | 5 | 9 | 1 | 6 | 14 | 3 | 10 | 19 | 3 | 8 | 24 | 4 | 8 |
| 5 | 2 | 6 | 10 | 3 | 6 | 15 | 6 | 7 | 20 | 5 | 10 | 25 | 5 | 9 |
Таблица. 4.3
25-стержневая ферма: проекции нагрузок
| нагрузка 1, Н | нагрузка 2, Я | |||||
| узлы | F, | Fy | F: | ^ | F, | к |
| 1 2 3 6 | 0 0 0 0 | 20000 -20000 0 0 | -5000 -5000 0 0 | 1000 0 500 500 | 10000 -10000 0 0 | -5000 -5000 0 0 |
Объемный вес конструкции /7 = 10 кН I м, модуль продольной упругости Е = 1 • 105 МПа, расчетное сопротивление R = 400МПа.
При формировании оптимизационной модели используется план объединения переменных. В части поперечных сечений получаются неза-
108 висимые переменные оптимизации: Ах, А2 = А} = А4 = А5, А6 = А7 = А& = Ад,
До ~ А\' Аг - Аг' А*= Аь= Аь - Ai» А% - Ач ~ Ао= ^и >
Аг ~ Ai = Аа - Аь •
Параметризация геометрии конструкции производится так, что позволяет обнаружить симметрию системы относительно плоскостей xz и
yz. Три переменных х4,у4 и z4 получаются из вариационных возможностей узлов 3, 4, 5 и 6 в направлении осей х,у и z. Переменные jc8 и ys получаются из вариационных возможностей узлов 7, 8, 9 и 10 в направлении осей х и у. Тем самым задача охватывает 8 параметров поперечного сечения Ах, А2, А6, Ахо, Ап, А14, Ап, Ап и пять геометрических параметров х4, y4, z4, xz и уъ. Затем устанавливаются для
всех элементов ограничения по напряжениям и по устойчивости (всего 15).
Осуществлены три постановки задачи, которые различаются характеристиками переменных проекта.
Задача 1 (континуальная) - непрерывные переменные поперечных сечений и геометрические переменные:
0,01<4<2; / = 2,6,10,12,14,18,22; 5<j4<70; 5<^4<70;
50<z4<150; 50<x8<120; 50<^8<120.
Задача 2 (дискретно-континуальная) - дискретные переменные поперечных сечений и непрерывные геометрические переменные:
ДєД; / = 2,6,10,12,14,18,22; Dx = {0,1; 0,2;...; 2}; 5<х4<70;
5<^4<70; 50<z4<150; 50<x8<120; 50<^8<120.
Задача 3 (дискретная) - дискретные переменные поперечных сечений и геометрические переменные:
AeDx; / = 2,6,10,12,14,18,22; x4eD2; y4eD2; z4eD2\ xseD2;
yzeD2; Dx = {0,1; 0,2;...; 2};.D2 = {l;2;3;...; 100}.
109 4.6.2. Решение с использованием эволюционных стратегий
Используются следующие эволюционные стратегии: Задача 1:
- (ц=20, к = 20,X = 200) -стратегия;
- глобальная дискретная рекомбинация переменных проекта;
- глобальная дискретная рекомбинация стратегических переменных;
- случайный выбор обеих рекомбинаций;
- критерий сходимости 3 с є = 0,00001 и Ag = 50;
- максимум 400 генераций. Задача 2:
- (ц=25, к = 20Д = 200) -стратегия;
- глобальная дискретная рекомбинация переменных проекта;
- глобальная дискретная рекомбинация стратегических переменных;
- случайный выбор обеих рекомбинаций;
- критерий сходимости 3 с є = 0,00001 и Ag = 50;
- максимум 400 генераций. Задача 3:
- (ц=25,к = 20Д = 300) -стратегия;
- глобальная дискретная рекомбинация переменных проекта;
- глобальная дискретная рекомбинация стратегических переменных;
- случайный выбор обеих рекомбинаций;
- критерий сходимости 3 с є = 0,00001 и Ag = 50;
- максимум 400 генераций.
На рис. 4.11. представлена исходная конфигурация для случая непрерывных переменных (задача 1).
по
Рис. 4.11. 25-стержневая ферма, начальная конфигурация: а - плоскость xz\ б - плоскость yz
В табл. 4.4 представлены результаты оптимизационных расчетов с использованием указанных эволюционных стратегий, включая окончательные величины переменных проекта и необходимое число генераций.
Таблица 4.4 25-стержневая ферма: результаты {см2, см)
| № | переменная | начальные величины | окончательные величины | ||||
| задача 1 | задача 2 | задача 3 | задача 1 | задача 2 | задача 3 | ||
| 1 | А | 0,01 | 0,1 | 0,1 | 0,015 | 0,1 | 0,1 |
| 2 | А | 0,782 | 0,8 | 0,8 | 0,537 | 0,7 | 0,7 |
| 3 | А | 0,754 | 0,8 | 0,8 | 0,7362 | 0,7 | 0,8 |
| 4 | Ао | 0,01 | 0,1 | 0,1 | 0,01 | 0,1 | 0,1 |
| 5 | Аг | 0,13 | 0,2 | 0,2 | 0,0136 | 0,1 | 0,1 |
| 6 | А* | 0,558 | 0,6 | 0,6 | 0,0952 | 0,3 | 0,3 |
| 7 | А& | 0,982 | 1,0 | 1,0 | 0,7994 | 0,6 | 0,6 |
| 8 | А22 | 0,801 | 0,9 | 0,9 | 0,3144 | 0,4 | 0,4 |
| 9 | *4 | 37,5 | 37,5 | 38,0 | 25,565 | 11,581 | 9,0 |
| 10 | Л | 37,5 | 37,5 | 38,0 | 44,981 | 56,076 | 48,0 |
| 11 | *4 | 100,0 | 100,0 | 100,0 | 106,32 | 99,193 | 93,0 |
| 12 | xg | 100,0 | 100,0 | 100,0 | 50 | 51,651 | 47,0 |
| 13 | У& | 100,0 | 100,0 | 100,0 | 95,1 | 50,0 | 52,0 |
| Вес, кН | 2,29 | 2,45 | 2,45 | 1,24 | 1,35 | 1,36 | |
| Число генераций | 256 | 145 | 91 | ||||
Ill
В табл. 4.5 и 4.6 сопоставлены результаты для задачи 1 и задач 2 и 3 с результатами из литературы. Для задач с 1 и 3 с использованием эволюционной стратегии достигнуты лучшие результаты. Для задачи 2 в литературе нет результатов для сравнения.
Таблица 4.5 25-стержневая ферма: сравнение результатов для задачи 1
| ЭС | [113] | [140] | [114] | |
| Вес, кН | 1,24 | 1,28 | 1,31 | 1,26 |
Таблица 4.6 25-стержневая ферма: сравнение результатов для задач 2 и 3
| Задача 2 | Задача 3 | ||||
| ЭС | Зад. 1, 4 округл. | ЭС | [140] | Зад. 1, Д. округл. | |
| Вес, кН | 1,35 | 1,37 | 1,36 | 1,40 | 1,38 |
Чтобы пояснить, что решение дискретно-континуальной и дискретной оптимизационной задач ни в коем случае не может соответствовать решению, которое получается путем округления результирующих величин континуальной задачи, в табл. 4.6 даны соответствующие сравнительные числа. Конечные конфигурации даны на рис. 4. 12.
112
Д
Рис. 4.12. Конечные конфигурации:
а, б - задача 1; в, г - задача 2; д, е - задача 3;
а, в, д - плоскостьxz; б, 2, е- плоскостьyz
На основании достигнутых результатов становится ясным, что представленная эволюционная стратегия является дееспособным инструментом для оптимизации конструкций. Применяемые высокоразвитые формы многочленной эволюционной стратегии показывают приемлемую сходимость. Способность к самостоятельной адаптации стратегических параметров способствует приспособлению поиска, в котором сокращение размера шага мутации приводит к локализации поиска при приближении к решению.
113 4.6.3. Сравнение результатов по различным
стратегическим формам
На основе задачи 1 приведено сопоставление основных форм многочленных эволюционных стратегий (м-Д) и (ц + Х) с многочленной эволюционной стратегией с переменной продолжительностью существования индивидов. Сравнивались результаты решения задачи по (20,20,200)-стратегии с результатами по (20,200)- и (20+200)-стратегиям.
Лучший конечный результат был достигнут по (ц, кД) -стратегии.
Эта методика позволяет комбинировать стабильные свойства (д. + А,)-стратегии с хорошим функционированием саморегулирующейся адаптации размера шага (ц.Д) -стратегии.
Выводы
- В связи с относительной независимостью индивидов популяции многочленная эволюционная стратегия оптимизации хорошо приспособлена к разнообразным вычислительным ресурсам.
- Процесс саморегулирующейся шаговой адаптации допускает автоматическое приспособление оптимизации к топологическим условиям поставленной задачи.
- Введенная в работе эволюционная стратегия с переменной длительностью существования индивидов оправдала себя в оптимизационных расчетах с дискретными переменными проекта, каковыми являются проектные расчеты стержневых конструкций башенного типа.
114 5. ОПТИМИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИ НАГРУЖЕННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ 5.1. Аналитический обзор
Динамические нагрузки возникают за счет влияния окружающей среды (например, землетрясение или ветер). Поэтому учет динамического поведения несущих конструкций при анализе напряженно-деформированного оптимизации имеет большое значение.
Оптимизация динамически нагруженных конструкций является темой многих публикаций. В ранних исследованиях динамически нагруженные несущие конструкции оптимизировались в основном с дополнительными условиями по частоте собственных колебаний. Так как частоты собственных колебаний несущей конструкции не изменяются во времени, то тем самым оптимизация динамически нагруженных несущих конструкций упрощается. К такого рода исследованиям относятся работы М. Тернера [148], Дж. Тейлора [146], С. Шоу [143], Б. Маккарта и др. [131], С. Рубина [138] и де Сильва [104].
Одну из первых работ, в которой рассматриваются изменяющиеся во времени нагружения несущих конструкций посредством динамических нагрузок, опубликовал Кассис в 70-е годы 20-го века. Он описывает проблему как оптимизационную задачу с ограничениями. За счет применения штрафной функции он преобразовал ее в последовательность оптимизационных задач без ограничений. Эти оптимизационные задачи решаются методом Дэвидона-Флетчера-Пауэлла [108]. М. Лаво рассматривает несущие конструкции со стохастической нагрузкой [125]. Он выбирает внешнюю штрафную функцию для преобразования оптимизационных задач без ограничений, которую решает с помощью двухчленной эволюционной стратегии. Преимущество последовательного квадратичного программирования при решении оптимизационных задач показывает Бооц [97].
115 Кроме того, Г. Бооц предложил метод декомпозиции для расчета
подсистем. Оптимизацию он делит на две ступени. На первой ступени он оптимизирует подсистемы. Вторая ступень учитывает влияние подсистем друг на друга и на систему в целом. Г. Бооц переносит принцип декомпозиции, предложенный Киршем [123] для статически нагруженных конструкций, на динамически нагруженные конструкции.
В дальнейших публикациях Лиу [129], Садека [139], Лима и др. [128], Крамера и др. [124] и Грина и др. [110] также рассматривают оптимизацию несущих конструкций под воздействием динамической нагрузки. Так же, как Кассис, Лаво и Бооц, эти авторы учитывали однако только линейный характер колебания конструкций.
Однако гипотеза о линейном характере колебаний несущих конструкций во многих случаях неприемлема. Большинство конструкций предъявляют повышенные требования к используемым методам расчета и требуют учета нелинейного характера колебаний.
Нелинейный характер колебаний оптимизируемой системы излагается лишь в немногих публикациях. Рао и др. [149] оптимизировали динамически нагруженные несущие конструкции с ограничениями частоты. Деформации и напряжения, которые возникают при динамическом нагруже-нии, не входят в дополнительные условия оптимизационной задачи. В работах Спиреса и Арора [145] и Пезешка и Хельмстада [133] рассматривается оптимизация несущих конструкций при статических и динамических дополнительных условиях. Авторы концентрируют внимание главным образом на нелинейном статическом поведении и пренебрегают нелинейностью динамического поведения.
В работе Кардосо и Арора [102] предлагается аналитический метод для анализа чувствительности в условиях нелинейных динамических задач с двумя элементами. Внедрение этого метода связано с большими затратами и необходимостью большой мощности ЭВМ. Поэтому этот метод практически неприменим при большом количестве переменных оптимизации.
116
Необходимо выполнить важное практическое требование структурной оптимизации: реальное моделирование несущих конструкций должно охватить во многих случаях дискретные переменные (например, стандартные прокатные профили стальных и комбинированных конструкций). Это приводит к дискретным оптимизационным задачам, которые решаются значительно труднее, чем оптимизационные задачи с непрерывными переменными [150].
Для дискретных оптимизационных задач был предложен ряд методов решения. Благодаря штрафным функциям дискретная оптимизационная задача с ограничениями трансформируется в задачу без ограничений и решается итеративно методом целочисленных градиентов (интегральное градиентное направление, ИГД). Аналогично этому Амир и Хасегава предложили смешанный метод из ИГД и модифицированного метода орто-гонализации Розенброка. Хагер и Баллинг сначала решают дискретную проблему на основании гипотезы непрерывных переменных, а затем пытаются найти дискретное решение, используя метод граничных элементов (МГЭ). Бремикер, Папаламброс и Ло предлагают решение дискретной оптимизированной задачи методом последовательных приближений, вследствие чего линеаризованная оптимизационная задача решается с помощью МГЭ. Фу и др. учитывают дискретные переменные через штрафные функции и трансформируют дискретную задачу в континуальную оптимизационную задачу. Этот метод штрафных функций модифицируется и применяется в задачах структурной оптимизации.
Вышеупомянутые методы базируются на решении континуальных оптимизационных задач. Однако следует учесть и тот факт, что целевые функции и условия ограничения дискретной оптимизационной задачи образуют не гиперповерхности, а большое число точек в пространстве переменных. Эти массивы точек не обладают непрерывностью. Из этого следует, что дискретную оптимизационную задачу следует решать непосредственно, соответствующим оптимизационным способом.
117 В настоящей работе применяемые методы оптимизации динамически
нагруженных несущих конструкций развиваются и обосновываются с учетом их нелинейного колебательного поведения при наличии дискретных оптимизирующих переменных.
Основательное различие между обычными методами оптимизации и многочленной эволюционной стратегией заключается в том, что последняя позволяет параллельные действия с популяцией установленных точек в пространстве переменных. Это свойство дает возможность реализовать эволюционную стратегию для параллельных ЭВМ.
5.2. Решение нелинейных задач, связанных с колебаниями
5.2.1. Общие соображения
Динамический анализ деформируемых тел имеет перед собой цель представить для структурного анализа существенные параметры состояния в зависимости от места и времени. Например, местная дискретизация области с помощью метода конечных элементов (МКЭ) сводит задачу к узловым параметрам r(t), которые должны с течением времени удовлетворить уравнению движения
Mr {t) + Cr{t) + Kr{t) = R(t). (5.1)
Принятые обозначения соответствуют обычной номенклатуре: М є Rmn - матрица массы, С е Rmn - матрица затухания, KeR"*" - матрица жесткости, r{t) e R" - вектор перемещения, r{t) є R" - вектор скорости, г it) є R" - вектор ускорения, R(t) є R" - вектор нагрузки,
118 п - количество степеней свободы системы.
При этом
•/ ч dr(t)... ч d2r(t)
обозначают производные вектора г по времени.
В линейном случае матрицы М, С и К являются константами и решения г можно найти с помощью модального анализа или непосредственно методом интегрирования по времени. Последний метод намного предпочтительнее, так как он обладает определенной универсальностью и соответственно может использоваться также для решения нелинейных задач. В линейности есть три группы временной дискретизации: первые две вытекают из однородной системы z(t) = Az:
- Интегрирование дифференциального уравнения, причем функция z(f) представлена нормированным выражением.
- Представление решения z(t) = exp(At)z0 в виде разложения в ряд экспоненциальной функции. Используются ряды Тейлора.
- Смешанная вариационная формулировка, которая содержит функцию Гамильтона и определенные временные граничные величины.
Заслуживает внимания известный метод Ньюмарка. Так как выполняются такие важные требования, как стабильность, точность и универсальность, то его можно использовать здесь в качестве приемлемого метода.
5.2.2. Метод Ньюмарка
Ниже коротко представлена реализация метода Ньюмарка для линейного и нелинейного анализа систем с его существенными отличительными чертами.
119 5.2.2.1. Линейное уравнение движения
По методу Ньюмарка предполагается линейное изменение ускорения от времени t до времени t + At:
г'ш =f' + [(l-5)f' + br,+A,]At, (5.2)
rl+A'=r'+r'At +
r'+ar'+A'
At1
(5.3)
Yi Y
— a i \2 )
Параметры a и 5 можно представить так, чтобы итерация была достаточно точна и стабильна. Если уравнение (5.3) для г'+А1 решать в зависимости от r'+At и потом г'+ы подставить в уравнение (5.2), то получаются уравнения для г'+А1 и г'+А1, которые содержат в качестве неизвестного
только перемещения г
t+At
1
aAt2 5
г1Ш =
(5.4)
г',
«ї ґ, О*»/
•t+At
AtF
(5.5)
1 —
2a
aAt
Для расчета перемещений, скоростей и ускорений для времени t + At рассмотрим уравнение движения (5.1) для времени t + At:
Мг,ш + Crt+Al + Kr,+Al = Rt+Al. (5.6)
При подстановке соотношений (5.4) и (5.5) в уравнение (5.6) получаем:
J+At nt+At
aAt
—Ц-М+—С + К aAr aAt
r'+a'=R'+a' + M
1,1.,
-г + г +
aAt
v2a.
+
Л
1
2a
Atr'
(5.7)
-r' +
r +
rs Л,
+С
aAt
—1
Va ;
Определяем перемещения r'+At, а затем скорости и ускорения для момента t + At из уравнений (5.4) и (5.5).
120 Интегральные параметры 8 и а находятся в пределах: 0<8<1 и
0<а< —, причем метод является безусловно стабильным при 8> — и
а>1.
4
5.2.2.2. Нелинейные уравнения движения
В нелинейных динамических задачах матрицы М, К, С и вектор R в уравнении движения могут зависеть от г, г и г.
Mr + Cr +Kr =R. (5.8)
В данной работе предполагается, что только матрица жесткости К зависит от перемещений, матрица же массы М и матрица затухания С остаются постоянными. Система уравнений (5.7) решается итеративно методом Ньютона - Рафсона по следующему итеративному предписанию:
[a0M + af + K'f]Ari=Rl+A'-Fi'_\A,+M[a/+a/+a/] +
+С[а/ + а/ + а/] - (а0М + щС)^1, (5.9)
г;+&' = г!_Т+Аг„ (5.10)
г"+Л' = а0 (г'+А1 -г1)- а/ - а/, (5.11)
г'+л' = г' + а6г'+а/+4', (5.12)
где К*А' - тангенциальная матрица жесткости; F.'*f - вектор зависящих
от r'*f узловых сил (F'^At -K^A'r^A'); i -указатель итераций; а0,..., а7
- сокращенные обозначения:
1 8 1 1,8,
аАг аА/ аАґ 2а а
а,= 1, аЛ=(і-8)Аґ, а7=8Аг.
2а ь v /
Параметры а и 8 должны быть установлены соответственно в пределах:
1 1
1. 1Л. 1
\2
8> —;а>— 8 + —.В случае, когда 8 =—, а = —, для введения малого
2 4
2 41 2
121 искусственного затухания эти параметры видоизменяются: 8 = 0,5 + 0,05,
а=0,25(1+0,05)\
На каждом временном шаге проводится несколько последовательных приближений с уравнениями (5.9), (5.10) до |ArJ < с.
5.2.3. Ускорение сходимости
В качестве благоприятного начального значения г0'+Л' для первой
итерации с уравнениями (5.9) и (5.10), принимаем г0'+Л'=/. Принимая
также из прежнего момента времени получаем:
tfA'=r' + Atr'. (5.13)
Число итераций за шаг времени уменьшается приблизительно на
30%,что ускоряет сходимость.
5.2.4. Нахождение внутренних усилий и напряжений
С помощью обобщенной матрицы Ск узловые перемещения, скорости и ускорения преобразуются в перемещения Uj(t), скорости uj(t) и ускорения и-(/) для j-гоэлемента:
uj{t) = CTkrJ{l), (5.14)
й/(0=с*%)-
С помощью перемещений, скоростей и ускорений элементов можно определить внутренние усилия S-(t) у-го элемента:
sj (0=j (0+СА (0+Vj (0 > <5-15)
122 где kj - матрица жесткости, с. - матрица затухания, wy - матрица массы
для у-го элемента. В случае идеализации, при концентрированной массе,
последний член mjtij(t) в уравнении (5.15) выпадает.
Учитывая размеры сечения, рассчитывают нормальное напряжения. Касательные напряжения не учитываются. Индексы групп элементов и поперечных сечений опускаются.
Так как нормальная сила в стержне фермы предполагается постоянной, то для проверки напряжений достаточно определить напряжение в элементе по формуле:
°(0 = ^Г> (5.16)
где N(t) -нормальная сила, а А -площадь поперечного сечения.
5.2.5. Управление итеративным решением
Ход нелинейного расчета определяется блок-схемой (рис. 5.1) Здесь Кг0 - известное значение для начального условия. Для Кг0 > 0 определяются начальные условия путем двух статических расчетов, в противном случае начальные значения для г°,г° устанавливается равным нулю. Число KN ограничивает максимальное количество итераций в течение временного шага. Если фактическое число итераций i> KN, то или делится пополам величину шага времени, или преобразуется модифицированная итерация Ныотона-Рафсона в обычную итерацию Ныотона-Рафсона. Ктп - параметр
итерации. При Ктп = О тангенциальную матрицу жесткости К'^' составляют только один раз на каждый шаг времени; это соответствует модифицированной итерации Ныотона-Рафсона. Итерация заканчивается в случае,
ІАг.І если '.' меньше, чем заданная величина є.
г'+Л/
123
Задание Kn,e,Krb,KmnWend Предварительное вычисление
| Вычисление г, и r_ | из Кг | ?=&м | и | |
| Кг}=В(Щ+М), І° | V- | -L°)/A,, | °- | = 0 |
| вычисление aQ...a-j |
±
R = Rl+A< + U (а0а' + ajt! +03^] + +С(аіг' +адг' л-а^г')
I
M = At/2,i = i
К-тп =1
Вычисление OQ...CTJ
хтп -/ = 1
4+Л, = г' + г'д/(2-13)
^=eoM+fliC+^,A'
* = -+*-fajM + qC)^
Вычисление Дд из ^Дг] = Л, А'+Д'=^'+да
i = i + l
fZ+Д/
= а^Ш-г!уагг!-аЪ-г!
r'+A/ = r'+fl^W+A'
I
Определение перемещений, усилий и напряжений по (514-519)
STOP
K'end
rl _ rt+At Lt=t«At
yt _ yt+At
t = t + At t = \
Рис. 5.1. Блок-схема нелинейного расчета
124 5.3. Пример
В качестве примера рассмотрим динамически нагруженную решетчатую башню из горячекатаной равнобокой уголковой стали (рис. 5.2). 154 элемента системы разделены на 10 групп в зависимости от зоны расположения и назначения.
19150 15205 КЗБ5 13<65 12565
11055 10275
6725 +7100 5350 3500 1750
(mm]
Рис. 5.2. Решетчатая башня
- Уголковые элементы на высоте от 0 до 5,35 м;
- Уголковые элементы на высоте от 5,35 до 10,275 м;
- Уголковые элементы на высоте от 10,275 до 13,465 м;
- Уголковые элементы на высоте от 13,465 до 16,150 м;
- Диагональные элементы на высоте от 0 до 10,275 м;
- Диагональные элементы на высоте от 10,275 до 13,465 м;
- Горизонтальные элементы на высоте от 10,275 до 13,465 м;
- Диагональные элементы на высоте от 13,465 до 16,150 м;
- Горизонтальные элементы на высоте от 13,465 до 16,150 м;
10. Элементы трех кронштейнов А, В и С.
125 Определим минимальный вес системы под действием нагрузок, показанных в таблице 5.1.
Таблица 5.1
| Нагрузки | на башню | ||
| Узлы | Rx(t),KH | Ry,KH | Rz,kH |
| А | -10,702 T{t) | 0 | -5,356 |
| В | -10,702 Tit) | 0 | -5,356 |
| С | -9,771 T(t) | 0 | -5,356 |
| D | -8,515 T(t) | 0 | -4,817 |
В табл. 5.1 T(t) есть зависящая от времени функция с максимальным первым значением:
25* 0</<0,04
Г(0 = ] 25(0,08-/) 0,04</<0,08.
0 t > 0,08
Площади поперечных сечений 10 групп элементов являются оптимизационными переменными задачами. В качестве предпочтительных дискретных значений переменных рассматривались уголковые профили по ГОСТ 8509-93 (табл. 5.2). Дополнительные условия связанны с напряжениями в элементах и перемещениями в направлении оси х узлов А,В,С и D. Расчетное сопротивление ±240МПа, допускаемое перемещение - 10 см.
Данные о материале: р = 7,85 • 10~2МПа, Е = 2,1 • \05МПа.
126
Таблица 5.2 Предпочтительные профили уголков по ГОСТ 8509-93
| № | L | Л(см2) | /,(cV) | І2 = І3(см4) |
| 1 | 20x3 | 1,119 | 0,036 | 0,388 |
| 2 | 25x3 | 1,419 | 0,045 | 0,796 |
| 3 | 30x3 | 1,737 | 0,054 | 1,405 |
| 4 | 35x4 | 2,667 | 0,149 | 2,954 |
| 5 | 40x4 | 3,079 | 0,171 | 4,473 |
| 6 | 45x5 | 4,303 | 0,375 | 7,841 |
| 7 | 50x5 | 4,803 | 0,417 | 10,960 |
| 8 | 60x6 | 6,909 | 0,864 | 22,790 |
| 9 | 70x7 | 3,397 | 1,601 | 42,300 |
| 10 | 80x8 | 12,270 | 2,731 | 72,250 |
| 11 | 90x9 | 15,520 | 4,374 | 115,800 |
| 12 | 100x10 | 19,160 | 6,667 | 176,700 |
| 13 | 110x10 | 21,160 | 7,333 | 238,700 |
| 14 | 120x12 | 27,540 | 13,820 | 367,700 |
| 15 | 150x15 | 43,030 | 33750 | 898,100 |
| 16 | 180x18 | 61,910 | 69,980 | 1866,000 |
| 17 | 200x20 | 76,350 | 106,700 | 2851,000 |
