Математическое моделирование системы судно – жидкость для судоводительских тренажеров
На правах рукописи
Тихонов Вадим Иванович
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
СИСТЕМЫ СУДНО–ЖИДКОСТЬ
ДЛЯ СУДОВОДИТЕЛЬСКИХ ТРЕНАЖЕРОВ
Специальность 05.22.19 – эксплуатация водного транспорта,
судовождение
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
доктора технических наук
Н. Новгород – 2009
Работа выполнена в Федеральном государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Волжская государственная академия водного транспорта» (г. Нижний Новгород).
Официальные оппоненты: доктор технических наук,
профессор
Ваганов Александр Борисович;
доктор технических наук,
профессор
Коротков Сергей Николаевич;
доктор технических наук,
профессор
Юдин Юрий Иванович.
Ведущая организация: ФГОУ ВПО «Московская государственная академия водного транспорта».
Защита диссертации состоится 2009 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д.223.001.01 при Волжской государственной академии водного транспорта по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, ул. Нестерова, д. 5А.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волжской государственной академии водного транспорта.
Автореферат разослан _____________2009 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета,
доктор технических наук, профессор А.Н. Ситнов
1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Особенности судоходства на внутренних водных путях предъявляют весьма жёсткие требования не только к управляемости судов, но и к уровню подготовки, опыту самих судоводителей.
Для профессиональной подготовки судоводителей (приобретения ими начальных навыков в управлении судном) и периодического повышения их квалификации в настоящее время используются различного типа судоводительские тренажёры. Суть любого судоводительского тренажёра заключается в имитации управляемого движения судна. Очевидно, что от степени имитации поведения судна в реальных условиях плавания зависит и качество обучения на тренажёре.
В условиях реальной эксплуатации судам речного флота приходится совершать маневры, имеющие в той или иной мере неустановившийся характер. Поэтому для решения задач управления судном и качественной подготовки судоводителей на специализированных тренажерах необходимы математические модели, основанные на уравнениях движения судна. Кроме того, они должны адекватно отражать процесс движения реального судна при выполнении того или иного маневра. Без достаточно точного определения действующих на погруженную часть судового корпуса усилий, фигурирующих в математической модели, достижение адекватности и высокой степени имитации поведения судна становится проблематичным.
Исследованию действующих на судно гидродинамических усилий посвящены труды А.М. Басина, Я.И. Войткунского, В.В. Вьюгова, О.И. Гордеева, А.Д. Гофмана, В.Г. Павленко, Р.Я. Першица, Л.М. Рыжова, В.Г. Соболева, К.К. Федяевского и многих других отечественных и зарубежных ученых. Разработанные к настоящему времени методы определения корпусных сил и их моментов, основанные на результатах систематических модельных испытаний, позволяют с достаточной для обеспечения безопасности судоходства точностью решать задачи теории управляемости, связанные с установившимся движением судна (оценка поворотливости судов, проектирование движительно-рулевого комплекса, обеспечивающего нормированную управляемость судна, и т. п.). При этом погрешности того или иного метода, обусловленные недостаточным учётом особенностей обводов носовой и кормовой оконечностей судового корпуса, практически не влияют на результаты расчётов характеристик управляемости судов.
Однако подстановка вычисленных по эмпирическим формулам коэффициентов корпусных усилий в уравнения движения судна приводит, согласно исследованиям В.Г. Павленко и В.В. Вьюгова, к расхождениям между расчётными характеристиками маневров и натурными наблюдениями. Следовательно, для решения задач управления судном при маневрировании необходимы специальные методы оценки корпусных усилий, которые, не вступая в противоречие с эмпирическими методами и базируясь на основных положениях теории управляемости, позволяли бы с учётом индивидуальных геометрических особенностей судового корпуса адекватно описывать произвольное управляемое движение судна. Очевидно, что разработка математических моделей для судоводительских тренажёров требует аналитических методов определения действующих на судно усилий, основанных на анализе динамического взаимодействия судового корпуса с пограничным слоем окружающей его воды и с движительно-рулевым комплексом.
Та или иная теория представляет собой совокупность научных положений, отражающих закономерности каких-либо процессов, происходящих в природе. Исследование и научное обоснование таких закономерностей является для любой теории задачей первостепенной важности. Целью же всякой теории является разработка методов адекватного моделирования тех процессов или явлений, изучением которых она занимается. В этой связи можно предположить, что отсутствие в настоящее время аналитических методов определения действующих на судно усилий объясняется тем обстоятельством, что до сих пор недостаточно исследованы основные закономерности динамического взаимодействия корпуса судна с пограничным слоем воды.
Таким образом, исследования, направленные на установление закономерностей процессов, происходящих в динамической системе судно–жидкость, и математическое моделирование этих процессов для имитации поведения реального судна при маневрировании, тесно связаны с решением проблемы обеспечения безопасности судоходства на внутренних водных путях и являются весьма актуальными.
Цель работы. Целью исследований является математическое моделирование системы судно–жидкость, основанное на закономерностях динамического взаимодействия судового корпуса с окружающей его водой.
Объект и предмет исследований. Объектом исследований является динамическая система судно–жидкость, а предметом – закономерности взаимодействия судового корпуса с пограничным слоем воды и методы адекватного моделирования инерционных и неинерционных гидродинамических усилий, действующих на судно при его произвольном плоском движении.
Методология исследования. При решении задач, поставленных в диссертационной работе, использованы методы математического моделирования физических процессов, методы математического анализа, методы аналитической механики, а также методы теории вероятностей.
Оценка корректности аналитических методов определения масс и моментов присоединенной жидкости, а также продольных и поперечных составляющих корпусных гидродинамических усилий выполнена путем сопоставления результатов исследований с имеющимися данными модельных и натурных испытаний судов.
Научная новизна работы. Научную новизну диссертации составляют теоретические и экспериментальные исследования динамического взаимодействия судна с окружающей его жидкостью, в результате которых
установлены причина возникновения присоединённой жидкости и ее роль в формировании гидродинамических усилий, действующих на судно;
предложена уточнённая модель циркуляционно-отрывного обтекания корпуса судна потоком жидкости;
обоснована общая структура гидродинамических характеристик судна;
установлена объективная закономерность распределения скоростей частиц жидкости в плоском пограничном слое;
выведена формула, устанавливающая зависимость экстраполятора трения гидравлически гладкого судового корпуса от числа Рейнольдса;
получено уравнение, аналогичное интегралам Эйлера, Бернулли и Громеки, которое отражает закон сохранения и превращения энергии применительно к движению воды в пограничном слое;
доказано, что для определения действующих на судно гидродинамических усилий его подводная часть может быть условно заменена эквивалентным аналогом;
получена формула зависимости кинетической энергии реальной присоединённой жидкости от скоростей и геометрических характеристик погруженной части судна;
откорректированы общие уравнения плоскопараллельного движения судна;
составлена частная система уравнений неустановившегося движения судна на повороте реки.
Перечисленные исследования для судов речного флота выполнены впервые.
Достоверность результатов. Установленная автором закономерность распределения скоростей частиц жидкости в плоском пограничном слое подтверждается экспериментальными исследованиями Я.И. Войткунского. Корректность методов определения масс и моментов присоединенной жидкости, а также продольных составляющих корпусных гидродинамических усилий подтверждается данными модельных испытаний судов, выполненных соответственно Б.В. Палагушкиным и В.В. Вьюговым. Достоверность метода математического моделирования поперечных составляющих корпусных гидродинамических усилий подтверждается результатами натурных циркуляционных испытаний судов.
Практическая ценность работы. Результатами исследований, обусловливающими практическую ценность диссертационной работы, являются
учитывающие индивидуальные геометрические характеристики судового корпуса аналитические методы определения
–масс и моментов присоединенной жидкости;
–продольных и поперечных составляющих усилий циркуляционно-отрывного характера;
–продольных и поперечных составляющих усилий, обусловленных волнообразованием;
теоретико-экспериментальные методы оценки корпусных усилий, обусловленных креном судна и вязкостным сопротивлением воды.
Полученные автором результаты исследований позволяют адекватно моделировать как инерционные, так и неинерционные усилия, действующие на подводную часть корпуса при произвольном плоском движении судна.
Апробация работы. Результаты экспериментальных и теоретических исследований автора доложены, обсуждены и одобрены на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ВГАВТ (1982–2007 г.г.), на семинарах по управляемости судов и судовождению Волжско-Камского правления НТО им. акад. А.Н. Крылова (г. Горький, 1985–1987 г.г.), на курсах повышения квалификации инженерно-технических работников МРФ РСФСР при ГИИВТе (г. Горький, 1986–1989 г.г.), на научно-промышленном форуме «Великие реки 2008» (г. Н.Новгород, 2008 г.), на международной научной конференции «Гидродинамика. Механика. Энергетические установки», посвящённой 145-летию со дня рождения академика А.Н. Крылова (г. Чебоксары, 2008 г.).
Реализация выполненных исследований. Данные натурных циркуляционных испытаний судов речного флота, выполненных при участии и под руководством автора, были использованы Горьковским институтом инженеров водного транспорта (ГИИВТ) – в настоящее время Волжская государственная академия водного транспорта (ВГАВТ) – при выполнении научно-исследовательской работы «Подготовить к изданию справочник маневренных характеристик судов новых проектов» (тема № ХII – 5.16 плана НИР и ОКР МРФ РСФСР 1985 г.) по заданию Главной инспекции по безопасности судоходства и охране объектов Министерства речного флота РСФСР. «Справочник маневренных характеристик судов» был издан заказчиком в ЦБНТИ МРФ в 1989 г. и разослан в пароходства с целью распространения на судах для практического использования судоводителями.
Кроме того, методы аналитического определения действующих на корпус судна гидродинамических усилий инерционной и неинерционной природы используются специалистами комплекса судовых тренажёров Управления конвенционной подготовки и повышения квалификации ВГАВТ для математического моделирования произвольного управляемого движения судов.
Публикации. По теме диссертации автором опубликованы двадцать две работы, семь из которых – в рецензируемых ВАК изданиях.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из перечня основных условных обозначений, введения, восьми разделов, заключения, списка литературы и трёх приложений. Общий объем работы составляет 287 страниц. Основная часть рукописи содержит 264 страницы, включая 9 таблиц, 28 рисунков и библиографию (123 наименования).
2. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и основные задачи исследования, приведена краткая характеристика работы.
Первый раздел содержит анализ существующих исследований динамического взаимодействия судна с окружающей жидкостью.
Рассмотрены характеристики криволинейного плоскопараллельного движения судна, а также уравнения, устанавливающие связь между действующими на судно усилиями и параметрами его движения. В общем виде уравнения криволинейного движения судна впервые были составлены А.М. Басиным в 1949 году и до сих пор используются как отечественными, так и зарубежными исследователями. В случае плоского движения на спокойной воде эти уравнения представляются следующим образом:
 ; | (1) |
 ; | (2) |
  , | (3) |
где 
– масса судна; 
– присоединённые массы жидкости; 
– проекции вектора линейной скорости 
центра масс (ЦМ) судна на оси 
и 
связанной с ним системы координат; 
– время; 
– угловая скорость вращения судна относительно вертикальной оси 
, проходящей через его ЦМ; 
– присоединённый статический момент; 
– момент инерции судна относительно вертикальной оси 
; 
– момент инерции присоединённых масс жидкости; 
– проекции главного вектора приложенных к судну сил неинерционной природы на оси 
и 
подвижной системы координат; 
– проекция главного момента приложенных к судну сил неинерционной природы на ось 
подвижной системы координат.
Входящие в левые части уравнений (1) – (3) усилия, обусловленные инерционностью присоединенной жидкости, определяются через её кинетическую энергию 
, причем
 . | (4) |
Отмечено, что формула (4), в которой скорости частиц жидкости приравнены к скоростям судна, без соответствующих пояснений или специальных оговорок не может считаться составленной корректно, поскольку движение неравных масс воды по направлениям 
и 
противоречит свойству ее неразрывности, ибо
 . |
Показано, что некорректность формулы (4) «приводит к появлению» инерционного момента 
в левой части выражения (3).
Более строгие по сравнению с использованным А.М. Басиным подходы к составлению уравнений движения судна, применённые В.Г. Павленко, Л.М. Витавером, В.В. Вьюговым, О.И. Гордеевым, В.В. Саленеком и др., привели в конечном итоге к тем же выражениям (1)–(3). Это обстоятельство позволило предположить, что главная причина одних и тех же ошибок, допущенных как А.М. Басиным, так и многочисленными его последователями, кроется в бытующем до сих пор неверном подходе к понятию «присоединенные массы» и, как следствие, в некорректном учете усилий, обусловленных инерционностью жидкости, при составлении уравнений криволинейного движения судна.
Проанализированы существующие методы определения величин 
и 
. Отмечено, что наиболее обстоятельные исследования масс и моментов присоединенной жидкости выполнены Б.В. Палагушкиным. По результатам модельных испытаний им получены эмпирические формулы для подсчета коэффициентов присоединенных масс 
и момента 
. Однако формулы, предложенные Б.В. Палагушкиным, позволяют оценить значения 
лишь в зависимости от длины 
, ширины 
, осадки 
и коэффициента общей полноты 
, то есть не учитывают индивидуальных особенностей обводов судна. Кроме того, коэффициент присоединённого статического момента 
принимается равным нулю.
В теории управляемости усилия неинерционного происхождения 
и 
, действующие на подводную часть судового корпуса, принято именовать гидродинамическими характеристиками (ГДХ) судна и представлять в следующей форме:
 ; | (5) |
 ; | (6) |
 . | (7) |
Здесь 
– безразмерные коэффициенты гидродинамических усилий; 
– плотность жидкости.
Задача оценки ГДХ является одной из труднейших во всей теории управляемости судов, поэтому, начиная с конца 40-х годов прошлого столетия, на разработку методов определения ГДХ были направлены усилия большого числа как отечественных, так и зарубежных учёных: М.Я. Алферьева, Н.И. Анисимовой, А.М. Басина, Г.И. Ваганова, А.В. Васильева, Я.И. Войткунского, В.Ф. Воронина, В.В. Вьюгова, А.Д. Гофмана, В.Г. Павленко, Р.Я. Першица, Л.М. Рыжова, Г.В. Соболева, К.К. Федяевского и целого ряда других исследователей.
Методы определения корпусных усилий неинерционной природы можно подразделить на теоретико-экспериментальные и экспериментальные. Основой теоретико-экспериментальных методов исследования ГДХ служит циркуляционно-отрывная теория крыла, примененная к корпусу судна К.К. Федяевским и Г.В. Соболевым, но практическая значимость этой теории заключается лишь в том, что она позволяет получить общую структуру коэффициентов поперечных ГДХ в виде
 ; | (8) |
 , | (9) |
где 
, 
– безразмерные коэффициенты, зависящие от геометрических характеристик судового корпуса; 
– угол дрейфа судна по центру масс; 
– безразмерная угловая скорость вращения судна.
Таким образом, единственным до настоящего времени методом практического определения как продольных, так и поперечных ГДХ оставался модельный эксперимент.
Однако анализ структуры выражений, используемых для определения сопротивления воды продольному движению судна, позволил сделать вывод о том, что она не соответствует природе сил, действующих на подводную часть судового корпуса, поскольку в состав усилий вязкостной природы, обусловленных касательными напряжениями, включены и силы циркуляционно-отрывной природы, обусловленные нормальными динамическими давлениями. Кроме того, отмечено, что эмпирические методы определения поперечных неинерционных усилий являются в той или иной мере субъективными и не позволяют достаточно адекватно описать неустановившееся динамическое взаимодействие судового корпуса с пограничным слоем воды в процессе выполнения судном того или иного маневра.
По результатам анализа существующих методов оценки действующих на судовой корпус усилий сформулирована цель и определены основные задачи диссертационной работы.
Второй раздел диссертации посвящен исследованию основных закономерностей динамического взаимодействия воды с корпусом судна.
Проанализированы причины возникновения так называемой присоединенной жидкости. Поскольку судовой корпус занимает в окружающей его воде вполне определенный объем, то по мере движения судна происходит процесс непрерывного вытеснения движущимся корпусом некоторого (необходимого для его «присутствия» в жидкой среде) объема воды и заполнения ею объема, высвобождаемого судном.
Показано, что лишь в случае продольного перемещения судна масса присоединенной воды эквивалентна суммарной ее массе, заключенной в объемах носовой и кормовой оконечностей корпуса. Во всех других случаях движения судна она будет эквивалентна массе жидкости, заключенной в объеме всей погруженной части корпуса. Это, однако, не означает, что при произвольном движении кинетическая энергия присоединенной воды равна кинетической энергии самого судна, ибо движение частиц жидкости происходит со скоростями, существенно меньшими, чем скорости судна.
Отмечено, что под термином «присоединенная жидкость» следует понимать некую составную часть динамической системы судно–жидкость, позволяющую выразить действующие на корпус судна усилия как инерционного, так и неинерционного происхождения.
Сравнительный анализ характера обтекания крыльев и судна потоком жидкости позволил сделать вывод о том, что несоответствие формы обводов судового корпуса крыловидному профилю и, самое главное, слишком малое значение относительного удлинения влечет за собой невыполнение условия Жуковского – Чаплыгина, а потому и недопустимость возможности применения основных положений теории крыла для определения гидродинамических усилий, возникающих на погруженной части корпуса судна.
На основе анализа обтекания крыльев малого и предельно малого размаха предложена следующая модель обтекания корпуса судна, идущего с углом дрейфа:
1) обтекание судового корпуса потоком жидкости имеет явно выраженный циркуляционно-отрывной характер;
2) циркуляция скорости потока происходит лишь в носовой и кормовой оконечностях корпуса;
3) циркуляция скорости, являясь мерой асимметрии потока, обтекающего корпус судна, проявляется в разности скоростей обтекания бортов в носовой и кормовой оконечностях корпуса.
Проанализирована природа сил, действующих со стороны жидкости на судно. Показано, что сопротивление воды движению в ней судового корпуса представляет собой систему сил, обусловленных циркуляционно-отрывным обтеканием поверхности обшивки, вязкостью жидкости, волнообразованием, а также креном судна.
В векторной форме суммарное сопротивление жидкости движению судна представлено следующим образом:
 . | (10) |
Путем проецирования главного вектора 
на оси 
и 
, а вектора главного момента 
– на ось 
связанной с судном подвижной системы координат получены общие структурные формулы для определения ГДХ судна:
 ; | (11) |
 ; | (12) |
 . | (13) |
Исследован характер движения жидкости в плоском пограничном слое. Отмечено, что в пределах пограничного слоя каждая частица воды является участницей движения по двум противоположным направлениям: по направлению движения судна со скоростью 
как присоединенная жидкость и по направлению внешнего потока с относительной скоростью –
как жидкость, обтекающая судовой корпус. Следовательно, результирующая скорость 
движения частицы вязкой жидкости относительно поверхности корпуса будет определяться выражением:
 . | (14) |
Доказано, что в пределах пограничного слоя средняя скорость частиц присоединенной жидкости 
, а средняя скорость обтекания судна жидкостью 
. Это обстоятельство позволило сделать вывод о том, что в пределах пограничного слоя средняя удельная кинетическая энергия 
, приходящаяся на единицу массы как присоединённой жидкости, так и жидкости, обтекающей твёрдое тело, определяется выражением:
 . | (15) |
Следовательно, потенциальное движение вязкой жидкости, обтекающей твёрдое тело, может быть описано уравнением:
 . | (16) |
Здесь 
– средняя удельная энергия, приходящаяся на единицу массы жидкости в пределах пограничного слоя; 
– ускорение свободного падения; 
– аппликата рассматриваемой точки пограничного слоя относительно начала координат; 
– давление жидкости.
Отмечено, что в пограничном слое скорости и потенциал скоростей частиц воды функционально от времени не зависят. Следовательно, гидродинамические усилия, действующие на судовой корпус, в любой момент времени будут определяться лишь мгновенными значениями скоростей относительного движения. Поэтому уравнение (16) позволяет определять корпусные ГДХ как при установившемся, так и неустановившемся движении судна. Данное обстоятельство подтверждает обоснованность выдвинутой К.К. Федяевским гипотезы квазистационарности.
Установлена объективная закономерность распределения скоростей частиц в пограничном слое жидкости, обтекающей твердое тело, –
 , | (17) |
где 
– скорость жидкости, обтекающей тело в пределах пограничного слоя; 
– толщина пограничного слоя.
Отмечено, что зависимость (17) полностью соответствует результатам экспериментальных исследований распределения скоростей в турбулентных гидродинамических следах и спутных струях, создаваемых сходящим с корпуса судна или его модели пограничным слоем, которые получены Я.И. Войткунским.
Путем решения интегрального соотношения Т. Кармана с использованием уравнения (17) получена следующая формула зависимости экстраполятора трения 
от числа Рейнольдса
 . | (18) |
С использованием имеющихся в научной и учебной литературе данных рассмотрена природа возникновения волн и волнового сопротивления при движении судна в продольном направлении с установившейся скоростью 
.
Отмечено, что групповая скорость волн, составляющая половину их начальной скорости в момент зарождения, полностью соответствует средней скорости движения частиц присоединенной жидкости в пределах пограничного слоя, а сила 
воздействия волн на поверхность судового корпуса определяется выражением:
 . | (19) |
Здесь 
, 
– соответственно амплитуда и ширина фронта волны.
Показано, что с помощью уравнения Бернулли формула (19) может быть преобразована к виду
  . | (20) |
Последнее выражение позволило сделать вывод о том, что в случае плоскопараллельного движения сила волнового воздействия на поверхность судового корпуса численно равна произведению скоростного напора 
волны на площадь 
ее фронта. При этом скоростной напор и средняя амплитуда 
волны определяются согласно уравнению (16) движения жидкости в пограничном слое.
В третьем разделе обосновывается возможность условной замены корпуса судна его эквивалентным аналогом.
Для анализа действующих на судно гидродинамических усилий неинерционного происхождения вводится система общепринятых в теории управляемости допущений, к которой добавлены следующие.
1. Движение жидкости, обтекающей корпус судна, считается вихревым, но таким, при котором вихревые линии совпадают с линиями тока, то есть 
.
2. Обтекание судна, идущего с углом дрейфа, происходит таким образом, что в каждой точке его смоченной поверхности касательные к линиям тока коллинеарны векторам линейных скоростей этих точек.
Движение считается обращенным, то есть судно – как бы неподвижным, а внешний поток воды – обтекающим корпус со скоростями, равными скоростям самого судна, но противоположно направленными.
Отмечено, что для точек потока, лежащих в плоскости одной и той же ватерлинии выражение (16) примет следующий вид:
 , | (21) |
где 
– давления жидкости в рассматриваемых точках потока; 
– скорости частиц жидкости в этих точках.
Показано, что проекции на оси координат 
и 
элементарного гидродинамического усилия 
, возникающего в какой-либо точке 
поверхности обшивки погруженной части судового корпуса, могут быть представлены в виде
 ; | (22) |
 . | (23) |
Здесь 
– измеряемый в четвертной системе счета курсовой угол нормали к ватерлинии в рассматриваемой точке 
; 
– снижение нормали к поверхности корпуса в этой точке относительно нормали к ватерлинии.
Произведения 
и 
представляют собой проекции элементарной площади 
соответственно на плоскость мидельшпангоута и диаметральную плоскость (ДП) судна. Следовательно, в случае плоскопараллельного движения проекции 
и 
действующих на судовой корпус элементарных гидродинамических сил будут определяться выражениями:
 ; | (24) |
 , | (25) |
где 
– разность динамических давлений жидкости в равноотстоящих от ДП и лежащих в плоскости одной и той же ватерлинии точках обшивки носовой и кормовой оконечностей судового корпуса; 
– разность динамических давлений жидкости в симметричных относительно ДП точках обшивки внешнего и внутреннего бортов корпуса судна.
Выражения (24) и (25) позволили сделать предположение о том, что для определения действующих на судно гидродинамических усилий существует объективная возможность условной замены реального судового корпуса его эквивалентным аналогом. Для этого погруженная часть корпуса судна была разделена на три составные части:
1) цилиндрическая вставка – средняя часть корпуса, характеризующаяся постоянством значений коэффициентов полноты;
2) носовая оконечность – часть корпуса, расположенная в нос от цилиндрической вставки;
3) кормовая оконечность – часть корпуса, расположенная в корму от цилиндрической вставки.
Кроме того, реальный корпус судна представлен в виде некоего условного корпуса с вертикальными штевнями. Тогда при сохранении объёмов его составных частей значения средней длины и коэффициента полноты водоизмещения носовой оконечности будут
 ;  , | (26) |
а кормовой –
 ;  . | (27) |
Здесь 
– коэффициент полноты носовой половины диаметрального батокса; 
– средняя длина цилиндрической вставки в носовой половине корпуса судна; 
– коэффициент полноты мидельшпангоута; 
– коэффициент полноты кормовой половины диаметрального батокса; 
– средняя длина цилиндрической вставки в кормовой половине корпуса судна.
Показано, что от аналога с вертикальными штевнями легко можно перейти к условному корпусу с вертикальными бортами, причем общий объем погруженной части судна сохраняется неизменным.
С использованием теоремы о среднем значении интеграла доказано, что как для реального судового корпуса, так и для его аналога средневзвешенные значения курсовых углов нормалей к ватерлиниям в носовой и кормовой оконечностях определяются следующим образом:
 ; | (28) |
 . | (29) |
Однако динамические давления жидкости на поверхность обшивки судна пропорциональны не тангенсу, а синусу или косинусу курсового угла нормали. Поэтому средние значения курсовых углов 
и 
, соответствующие удельным динамическим давлениям, приходящимся на единицу длины ватерлинии в оконечностях судового корпуса, представлены в виде
 ; | (30) |
 ; | (31) |
где 
– коэффициенты компенсации погрешностей в определении динамических давлений.
Отмечено, что для определения скоростных напоров воды на погруженную часть судна необходимы значения коэффициентов 
, 
, и 
, учитывающих средние снижения нормалей к поверхности обшивки относительно нормалей к ватерлиниям соответственно в носовой и кормовой оконечностях, а также в области цилиндрической вставки корпуса.
С использованием теоремы о среднем значении интеграла доказано, что усилия, действующие как на корпус реального судна, так и на его аналог, тождественны, то есть геометрически эквивалентный аналог является гидродинамически адекватным аналогом реального судового корпуса. Это позволило считать установленным существование объективной возможности для разработки аналитических методов адекватного моделирования физических процессов, происходящих в динамической системе судно–жидкость. И для того чтобы воспользоваться этой возможностью, необходимо представить погруженную часть судового корпуса в виде её эквивалентного аналога, а значения 
определить методами вычислительной гидродинамики с использованием теоретического чертежа судна еще на стадии его проектирования.
В четвертом разделе излагается метод аналитического определения масс и моментов присоединенной жидкости.
Рассмотрен существующий подход к получению классического выражения для определения кинетической энергии идеальной жидкости, возмущенной движением судна,
 , | (32) |
из которого, если скорости жидкости принять равными скоростям самого судна, а под присоединёнными массами понимать величины
 , | (33) |
вытекает формула (4). Однако выражение (32) получено, исходя из граничного условия, согласно которому на поверхности 
обшивки корпуса скорости 
прилегающих к ней частиц жидкости равны проекциям на нормаль 
к обшивке скоростей точек самого корпуса. Кроме того, в случае плоскопараллельного движения судна
 | (34) |
Следовательно, формулы (32) и (33) свидетельствуют о том, что на оси связанной с судном системы координат проецируется не скорость присоединенной жидкости, а ее масса. Поэтому выражение (4) явно противоречит принципу неразрывности жидкости и без сопутствующих оговорок или пояснений не может быть признано корректным и пригодным для составления уравнений движения судна.
Показано, что формула для определения кинетической энергии присоединенной идеальной жидкости, не противоречащая принципу ее неразрывности, имеет следующий вид:
 + . | (35) |
Однако теория движения идеальной жидкости не позволяет проинтегрировать уравнение (35), поскольку скорости частиц идеальной жидкости приравниваются нулю либо на бесконечном удалении от судна, либо на неподвижных твёрдых границах водоёма. Следовательно, величина 
, входящая в подынтегральную часть выражения (35) и представляющая собой не что иное, как толщину слоя присоединённой жидкости, становится неопределённой.
С использованием классического подхода к определению кинетической энергии идеальной жидкости получено уравнение, выражающее энергию плоскопараллельного движения реальной присоединенной жидкости,
  . | (36) |
Здесь 
– объем погруженной части корпуса судна.
Интегрирование уравнения (36) по объемам составных частей судового корпуса позволило представить кинетическую энергию присоединенной воды следующим выражением:
  . | (37) |
В формуле (37) обозначено: 
– массы соответственно носовой, кормовой оконечностей и цилиндрической вставки; 
– составляющие линейных скоростей присоединённой жидкости соответственно в носовой и кормовой оконечностях, а также в области цилиндрической вставки корпуса судна.
Коэффициенты 
и момент инерции 
находятся по выражениям:
 ; | (38) |
  ; | (39) |
 , | (40) |
где
 | (41) |
Доказано, что формула (37) уже ни при каких условиях не позволит получить «инерционный» момент 
в левой части уравнения (3), поскольку в любой из составных частей судового корпуса
  . |
При условии приравнивания скоростей присоединенной воды к скоростям судна выражение (37) преобразуется в формулу (4), в которой
 ;  ;  ;  . |
а коэффициенты 
и 
находятся следующим образом:
 | (42) |
 , | (43) |
то есть выражения (38) и (43) свидетельствуют о том, что 
=
.
Отмечено, что формула (4) должна сопровождаться следующим замечанием: данное выражение может быть использовано лишь для определения инерционных усилий, обусловленных линейными или угловыми ускорениями в движении судна.
В пятом разделе исследуются продольные составляющие гидродинамических усилий, действующих на корпус судна.
Проанализировано движение водного потока относительно внешнего и внутреннего бортов судна. В результате получены следующие выражения для определения коэффициентов продольных циркуляционных усилий:
  ; | (44) |
 . | (45) |
В формулах (44) и (45) обозначено: 
– безразмерная масса судна;
 ;  ;  ;  ;   ;  ;  ; | |
 ;  ;  . |
Анализ разности давлений, возникающей из-за разности напоров воды на носовую и кормовую оконечности корпуса судна, позволил представить коэффициенты продольных усилий отрывной природы в виде
 ; | (46) |
  . | (47) |
Здесь
 ;  ; | |
 ;  ;  ;   . |
Продольная составляющая вязкостного сопротивления воды движению судна определяется выражением:
 , | (48) |
где 
– коэффициент вязкостного сопротивления воды продольному движению судна.
Поскольку вязкостное сопротивление воды изменяется пропорционально сопротивлению трения гладкой эквивалентной пластины, то коэффициент 
представлен следующим образом:
 . | (49) |
Здесь 
– поправка на шероховатость обшивки корпуса; 
– коэффициент пропорциональности между вязкостным сопротивлением формы и сопротивлением трения; 
– площадь поверхности погруженности части судового корпуса, приближенное значение которой подсчитывается по выражению
 , | (50) |
в котором первое слагаемое представляет собой площадь днища судна, а второе – суммарную площадь смоченной поверхности бортов.
Отмечено, что под вязкостным сопротивлением формы следует понимать разность между сопротивлением трения смоченной поверхности корпуса судна и сопротивлением трения шероховатой пластины. Принято допущение о том, что сила 
по ширине судна не меняется, и момент этой силы относительно вертикальной оси 
.
Анализ усилий, обусловленных волнообразованием, привел к выводу о том, что при подсчете продольных гидродинамических сил и их моментов можно положить
 ; | (51) |
 , | (52) |
где 
– число Фруда;
 . |
Исследовано влияние крена на продольные составляющие усилий, действующих на судовой корпус, Показано, что при криволинейном движении крен судна 
приводит к изменению лишь циркуляционной и отрывной составляющих продольной гидродинамической силы. При этом
 ; | (53) |
 ; | (54) |
 . | (55) |
В выражениях (53) и (54) обозначено:
 ; | |
 . |
В итоге сделан вывод о том, что для математического моделирования управляемого движения судна коэффициенты продольных составляющих гидродинамических усилий, действующих на его корпус, могут быть представлены в виде:
  ; | (56) |
 . | (57) |
В шестом разделе исследуются поперечные составляющие корпусных усилий.
Проанализировано движение потока воды относительно бортов носовой и кормовой оконечностей, а также цилиндрической вставки судового корпуса. В результате суммарные значения коэффициентов поперечных циркуляционно-отрывных усилий 
и 
представлены в следующем виде:
  ; | (58) |
  , | (59) |
где
   ;  ;  ;  ;  ;   ; | |
  ; | |
  .   ;   ;   . |
Поперечная составляющая вязкостного сопротивления воды движению судна выражена следующим образом:
 , | (60) |
а коэффициент 
, исходя из предположения о том, что аффинная связь между сопротивлением трения и вязкостным сопротивлением формы распространяется и на случай движения судна лагом, представлен в виде
 . | (61) |
Здесь 
– коэффициент пропорциональности между вязкостным сопротивлением формы и сопротивлением трения при поперечном движении судна.
Для анализа и приближённой оценки поперечных усилий вязкостной природы были введены следующие допущения:
1) силы сопротивления воды движению судна лагом, обусловленные её вязкостью, приложены к поверхности обшивки днища судового корпуса;
2) касательные напряжения распределены по поверхности обшивки днища корпуса равномерно.
Это позволило выразить коэффициенты 
и 
следующим образом:
 ; | (62) |
 , | (63) |
где
  ;   ; | |
 ;  . | |
  . |
Замечено, что у судов внутреннего и смешанного (река – море) плавания при установившемся циркуляционном движении 
. Это обстоятельство дало возможность представить коэффициенты поперечных составляющих усилий, обусловленных волнообразованием, в виде
 ; | (64) |
 . | (65) |
В выражениях (64) и (65) обозначено:
 ;  ;  ;  ; | |
 ;  , |
где 
– число Фруда при установившемся продольном движении судна со скоростью 
.
Показано, что крен судна приводит к изменению лишь циркуляционных составляющих поперечных корпусных усилий. При этом
 ; | (66) |
 . | (67) |
Здесь
 ;   ; | |
 ;   . |
В итоге для математического моделирования управляемого движения судна коэффициенты поперечных составляющих гидродинамических усилий, действующих на его корпус, представлены следующим образом:
    ; | (68) |
    . | (69) |
Отмечено, что при пологих циркуляциях, когда 
и 
, выражения (68) и (69) будут аналогичны формулам (8) и (9).
Седьмой раздел посвящен коррекции общих уравнений плоского движения судна и составлению частной системы уравнений неустановившегося движения судна на повороте реки.
Отмечено, что при составлении уравнений произвольного плоскопараллельного движения судна авторы ряда работ, полагая, что коэффициенты при обобщенных скоростях не зависят от времени явно, используют уравнения Эйлера – Лагранжа в следующем виде:
  , | (70) |
где 
– кинетическая энергия системы судно–жидкость; 
– квазискорости 
; 
– трёхиндексные символы; 
– квазикоординаты 
;
– квазисилы (
).
Показано, что использование формулы (70) для составления уравнений движения судна, строго говоря, некорректно, поскольку коэффициенты при обобщенных и квазискоростях являются функциями лишь курса судна 
, который, в свою очередь, явно зависит от времени 
. С использованием методов аналитической механики получено выражение
  , | (71) |
представляющее собой уравнения Эйлера – Лагранжа, в которых коэффициенты при обобщенных скоростях явно зависят от времени 
.
Замечено, что для системы, состоящей из одиночного водоизмещающего судна и присоединенной жидкости, 
. Однако у более сложных систем – плотовые, буксируемые или изгибаемые составы – кинетическая энергия может функционально зависеть от квазикоординат. Поэтому уравнения (71), по мнению автора, могут быть использованы для математического моделирования плоского движения в жидкости любых водоизмещающих плавсредств.
Рассмотрены два подхода к составлению уравнений движения той или иной системы, основанные на принципе Д’Аламбера и более общем принципе Д’Аламбера – Лагранжа. Отмечено, что для правильной оценки инерционных усилий, действующих на присоединенную жидкость, и корректного составления уравнений движения системы судно–жидкость необходимо учитывать следующие обстоятельства.
1. Движение присоединенной воды вызвано лишь движением судна. Поэтому в силу несжимаемости и нерастяжимости жидкости линейные и угловые ускорения, характеризующие движение судна, непосредственно сообщаются и частицам воды, примыкающим к его корпусу.
2. По отношению к жидкости судно является свободным телом, поэтому в процессе его движения частицы обтекающей судовой корпус воды непрерывно сменяют друг друга. Следовательно, жесткой (геометрической) связи, определяющей положение частиц присоединенной жидкости относительно инерциальной системы отсчета (неподвижной системы координат), между корпусом судна и частицами присоединенной воды не существует. Таким образом, присоединенная жидкость не совершает вместе с судном движения по криволинейной траектории и не испытывает воздействия инерционных усилий центробежного характера.
3. Действующие на судно гидродинамические усилия, аналогичные центробежным, возникают вследствие разностей скоростей обтекания водой поверхностей обшивки отдельных частей корпуса. Эти усилия, однако, не являются инерционными и должны быть отнесены к разряду внешних.
С учетом этих обстоятельств система уравнений плоского движения судна при любом подходе к их составлению будет иметь следующий вид:
 ; | (72) |
 ; | (73) |
 . | (74) |
Отмечено, что уравнения стационарного движения судна на повороте речного русла, представленные в работах В.Г. Павленко, Р.Я. Першица и Л.М. Витавера, не могут быть использованы для решения задач управления судном с целью обеспечения его движения по заданной криволинейной траектории при наличии течения. Следовательно, для получения возможности решения таких задач на судоводительских тренажёрах имеется необходимость в разработке частной математической модели, описывающей неустановившееся движение судна при прохождении поворота реки.
При составлении системы частных уравнений были сделаны следующие допущения (не противоречащие известным допущениям В.Г. Павленко):
- скорость течения
постоянна по величине на оси судового хода и направлена по касательной к ней; - в поперечном сечении русла реки скорость течения меняется пропорционально расстоянию до мгновенного центра кривизны оси судового хода;
- управление судном ведется так, что его ЦМ движется по криволинейной траектории, совпадающей с осью судового хода.
Введенные допущения, а также использование результатов исследований В.Г. Павленко и Л.М. Витавера позволили получить частную систему уравнений неустановившегося движения судна на повороте реки в следующем виде:
  ; | (75) |
  ; | (76) |
  . | (77) |
Содержание восьмого раздела посвящено анализу корректности разработанных автором методов определения действующих на судовой корпус усилий инерционного и неинерционного происхождения.
На основе существующих исследований, изложенных в работах В.Г. Павленко, и при использовании предложенных А.Д. Гофманом и В.И. Коганом зависимостей между относительной скоростью 
установившегося циркуляционного движения и безразмерной угловой скоростью 
получена формула
 , | (78) |
позволяющая приближенно оценить углы крена судов внутреннего плавания на установившихся циркуляциях. Отмечено, что результаты вычислений угла крена 
по формуле (78), удовлетворительно соответствуют данным теоретических расчетов, выполненных В.Г. Павленко, наблюдаемым значениям угла 
при проведении натурных циркуляционных испытаний, а также экспертным оценкам опытных капитанов грузовых и пассажирских судов речного флота.
С целью общей проверки корректности результатов исследований и приближенной оценки действующих на судно гидродинамических усилий сделано допущение о том, что для речных судов 
, а для определения величин 
и 
предложены следующие выражения, полученные на основе анализа теоретических чертежей девяти грузовых и четырех пассажирских судов речного флота с выпуклыми или слегка вогнутыми ватерлиниями:
для грузовых судов
 | (79) |
для пассажирских судов
 | (80) |
для грузовых и пассажирских судов
 | (81) |
где 
– коэффициенты полноты диаметрального батокса в носовой и кормовой оконечностях судового корпуса, определяемые по формулам:
  |
Для приближенного определения коэффициентов пропорциональности между вязкостным сопротивлением формы и сопротивлением трения при продольном 
и поперечном 
движении судна предложены следующие выражения:
 ; | (82) |
 | (83) |
Здесь 
– коэффициент полноты диаметрального батокса.
Формулы (82) и (83) получены на основе модельных и натурных испытаний девяти грузовых и четырех пассажирских судов. В качестве результатов модельных испытаний приняты подсчитанные по методу В.В. Вьюгова значения коэффициентов 
общего сопротивления воды продольному движению судна, а в качестве результатов натурных циркуляционных испытаний – данные «Справочника маневренных характеристик судов».
Отмечено, что в работах А.М. Басина и Я.И. Войткунского влияние кривизны судовой поверхности на величину сопротивления трения оценивается в 2 – 8% от значения 
, подсчитанного по формуле Прандтля – Шлихтинга. Кроме того, согласно экспериментальным исследованиям Я.И. Войткунского, коэффициент силы вязкостного сопротивления воды движению круглого плоского диска 
.
С целью проверки корректности формул (82) и (83) по выражениям
 ;  |
для тринадцати судов были найдены значения 
и 
. Результаты расчётов позволили сделать вывод о том, что значения 
и 
, определяемые формулами (82) и (83), удовлетворительно соответствуют общепринятой оценке влияния кривизны поверхности судового корпуса на величину силы трения при продольном движении судна, а также экспериментальным данным, полученным Я.И. Войткунским.
Для общей оценки корректности результатов теоретических исследований были выполнены расчёты значений коэффициентов присоединенных масс 
и 
, моментов инерции 
, коэффициентов сопротивления воды продольному движению 
, а также углов дрейфа 
на установившихся циркуляциях заданной кривизны для девяти грузовых и четырех пассажирских судов. Сравнительный анализ результатов вычислений и экспериментальных данных модельных и натурных испытаний судов речного флота позволил сделать следующие выводы:
1) корректность метода аналитического определения действующих на судно усилий инерционной природы подтверждается результатами исследований Б.В. Палагушкина, в основе которых лежит модельный эксперимент;
2) корректность метода аналитического определения продольных составляющих гидродинамических усилий неинерционного происхождения подтверждается результатами исследований В.В. Вьюгова, основанными на модельном эксперименте;
3) корректность метода аналитического определения поперечных составляющих гидродинамических усилий неинерционной природы подтверждается данными натурных циркуляционных испытаний судов.
3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
Наиболее важными результатами выполненных исследований, в совокупности составляющими основы теории динамической системы судно–жидкость, автор считает следующие.
1. Установлена причина возникновения присоединенной жидкости. Показано, что в случае продольного перемещения судна масса присоединенной воды эквивалентна ее суммарной массе, заключенной в объемах носовой и кормовой оконечностей корпуса, а во всех других случаях движения судна она будет эквивалентна массе воды, заключенной в объеме всей погруженной части судового корпуса.
2. Установлена роль присоединенной жидкости в формировании действующих на судно гидродинамических усилий. Доказано, что под термином «присоединенная жидкость» следует понимать полноправную составную часть динамической системы судно–жидкость, позволяющую выразить действующие на судовой корпус усилия как инерционного, так и неинерционного происхождения.
3. На основе сравнительного анализа характера обтекания крыльев (судовых рулей) и судового корпуса предложена циркуляционно-отрывная модель обтекания судна, идущего с углом дрейфа. Отличие от известной модели обтекания крыла предельно малого удлинения заключается в том, что циркуляция скорости потока наблюдается не по всему контуру погруженной части судна, а лишь в районах его носовой и кормовой оконечностей. При этом циркуляция скорости, являясь мерой асимметрии потока, обтекающего судно, проявляется в разности скоростей обтекания поверхностей бортов в носовой и кормовой оконечностях корпуса.
4. Обоснована общая структура действующих на судно гидродинамических усилий, обусловленных как нормальными динамическими давлениями, так и касательными напряжениями. Предложенная структура включает в себя усилия циркуляционного и отрывного характера, а также вязкостной и волновой природы. Кроме того, учитываются дополнительные усилия, возникающие при наличии крена судна.
5. Проанализирован характер изменения скоростей частиц в пределах пограничного слоя жидкости. Установлена объективная закономерность распределения скоростей частиц жидкости в плоском пограничном слое, которая не противоречит фундаментальным законам механики и подтверждается экспериментальными исследованиями Я.И. Войткунского. Отмечено, что данная закономерность распространяется как на ламинарное, так и турбулентное движение жидкости в пограничном слое.
6. Доказано, что в пределах пограничного слоя между скоростью какой-либо точки смоченной поверхности судна относительно внешнего потока и скоростями частиц воды, находящихся на нормали к ватерлинии в этой точке, существует следующее соотношение:
– средняя скорость частиц присоединенной жидкости равна половине скорости данной точки поверхности корпуса относительно внешнего потока;
– средняя скорость обтекания частицами воды рассматриваемой точки поверхности корпуса составляет половину скорости внешнего потока относительно этой точки.
Указанное соотношение также распространяется как на ламинарное, так и турбулентное движение жидкости в пограничном слое.
7. Путем решения известного интегрального соотношения Т. Кармана выведена формула, устанавливающая зависимость экстраполятора трения гидравлически гладкого судового корпуса от числа Рейнольдса. Отмечено, что данная формула распространяется как на ламинарное, так и турбулентное движение жидкости в пограничном слое.
8. Получено уравнение, аналогичное интегралам Эйлера, Бернулли и Громеки, которое отражает закон сохранения и превращения энергии применительно к движению воды в пограничном слое. Отмечено, что данное уравнение позволяет определять гидродинамические усилия, действующие на погруженную часть судового корпуса, как при установившемся, так и неустановившемся движении судна.
9. Проанализирована природа волнообразования и волнового сопротивления, возникающего при движении судна в покоящейся жидкости. Установлено, что сила волнового сопротивления численно равна произведению скоростного напора волны на площадь ее фронта. При этом показано, что известная в гидродинамике формула для определения силы волнового сопротивления и выражение, полученное автором на основе упомянутого в предыдущем пункте уравнения, идентичны.
10. Доказано, что проекции на продольную и поперечную оси связанной с судном системы координат любой элементарной силы, обусловленной давлением воды на смоченную поверхность судна, численно равны произведениям этого давления на элементарные площади соответственно мидельшпангоута и диаметрального батокса.
11. Установлено, что для разработки аналитических методов определения действующих на судно гидродинамических усилий необходима условная замена реального судового корпуса его эквивалентным аналогом. При этом с использованием теоремы о среднем значении интеграла доказано, что геометрически эквивалентный аналог погруженной части судна одновременно является гидродинамически тождественным аналогом реального судового корпуса.
12. Получена формула, устанавливающая зависимость кинетической энергии присоединенной воды от скоростей и геометрических характеристик погруженной части судна.
13. Разработаны учитывающие индивидуальные геометрические параметры судового корпуса аналитические методы определения
– масс и моментов присоединенной жидкости;
– продольных и поперечных составляющих усилий циркуляционно-отрывного характера;
– продольных и поперечных составляющих усилий, обусловленных волнообразованием.
14. Проанализировано влияние крена на продольные и поперечные составляющие усилий, действующих на судно при установившемся циркуляционном движении последнего. Получены аналитические выражения, позволяющие учесть дополнительные усилия, возникающие вследствие крена судна на циркуляции.
15. Проанализировано влияние вязкости воды на поперечную составляющую гидродинамической силы, действующей на корпус судна. Получены аналитические выражения, позволяющие учесть поперечные усилия вязкостной природы.
16. Разработан теоретико-экспериментальный метод определения продольных и поперечных составляющих гидродинамических усилий, обусловленных вязкостью воды.
17. Откорректированы общие уравнения произвольного плоского движения системы судно–жидкость.
18. Составлены частные уравнения неустановившегося движения судна на повороте реки.
19. Установлено, что корректность выполненных автором теоретических исследований подтверждается данными модельных и натурных испытаний судов.
4. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Справочник маневренных характеристик судов / сост. В.И. Тихонов; под ред. Д.Ф. Бирюкова. – М.: ЦБНТИ МРФ РСФСР, 1989. – 319 с.
2. Тихонов, В.И. Волнообразование и волновое сопротивление / В.И. Тихонов // Судовождение и безопасность плавания, водные пути, гидротехнические сооружения и экологическая безопасность судоходства: сб. науч. тр. / ВГАВТ. – Н. Новгород: ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2006. – С. 28–33.
3. Тихонов, В.И. Закономерности движения жидкости в плоском пограничном слое / В.И. Тихонов // Речной транспорт (XXI век). – 2007. – № 2. – С. 77–79.
4. Тихонов, В.И. Исследование управления судном при переходе с прямого курса на поворот заданного радиуса / В.И. Тихонов // Труды / Горьков. ин-т инж. водн. трансп. – Горький, 1987. – Вып. 223. – С. 27–47.
5. Тихонов, В.И. Кинетическая энергия плоскопараллельного движения системы судно-жидкость / В.И. Тихонов // Труды / ВГАВТ. – Н. Новгород, 1998. – Вып. 291. – Ч. 1. – С. 29–38.
6. Тихонов, В.И. Метод аналитического определения масс и моментов присоединенной воды / В.И. Тихонов // Судовождение и безопасность плавания, водные пути, гидротехнические сооружения и экологическая безопасность судоходства: сб. науч. тр. / ВГАВТ. – Н.Новгород: ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2005. – С. 27–33.
7. Тихонов, В.И. Моделирование кинетической энергии реальной присоединенной жидкости / В.И. Тихонов // Наука и техника транспорта. – 2008. – № 4. – С. 5–8.
8. Тихонов, В.И. Обоснование возможности условной замены реального судового корпуса его эквивалентным аналогом / В.И. Тихонов // Сборник трудов Х Международной научной школы «Гидродинамика больших скоростей» и Международной научной конференции «Гидродинамика. Механика. Энергетические установки» (к 145-летию со дня рождения академика А.Н. Крылова). – Чебоксары: ЧПИ МГОУ, 2008. – С. 287–294.
9. Тихонов, В.И. Общая структура гидродинамических характеристик судового корпуса / В.И. Тихонов, М.В. Небасов // Речной транспорт (XXI век). – 2006. – № 6. – С. 58–59.
10. Тихонов, В.И. Общие уравнения плоского движения судна / В.И. Тихонов // Труды / ВГАВТ. – Н. Новгород, 1998.–Вып. 291. – Ч. 1. – С. 58–68.
11. Тихонов, В.И. Определение параметров пограничного слоя жидкости / В.И. Тихонов // Судовождение и безопасность плавания, водные пути, гидротехнические сооружения и экологическая безопасность судоходства: сб. науч. Тр. / ВГАВТ. – Н.Новгород: ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2005. – С.15–21.
12. Тихонов, В.И. Основы теории динамической системы судно – жидкость / В.И. Тихонов. – Н. Новгород: ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2007. – 262с. (монография).
13. Тихонов, В.И. Поперечные составляющие циркуляционно-отрывных усилий, возникающих на корпусе судна / В.И. Тихонов // Судовождение и безопасность плавания, водные пути, гидротехнические сооружения и экологическая безопасность судоходства: сб. науч. тр. / ВГАВТ. – Н.Новгород: ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2005. – С. 41–51.
14. Тихонов, В.И. Продольные составляющие циркуляционно-отрывных усилий, возникающих на корпусе судна / В.И. Тихонов // Судовождение и безопасность плавания, водные пути, гидротехнические сооружения и экологическая безопасность судоходства: сб. науч. тр. / ВГАВТ. – Н.Новгород: ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2005. – С. 51–62.
15. Тихонов, В.И. Роль присоединенной жидкости в формировании усилий, действующих на корпус судна / В.И. Тихонов // Судовождение и безопасность плавания, водные пути, гидротехнические сооружения и экологическая безопасность судоходства: сб. науч. тр. / ВГАВТ. – Н.Новгород: ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2005. – С. 11–15.
16. Тихонов В.И. Сопротивление воды движению судна и его составляющие / В.И. Тихонов, М.В. Небасов // Судовождение и безопасность плавания, водные пути, гидротехнические сооружения и экологическая безопасность судоходства: сб. науч. тр. / ВГАВТ. – Н.Новгород: ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2005. – С.38–41.
17. Тихонов, В.И. Способ определения волнового сопротивления воды движению судна / В.И. Тихонов // Речной транспорт (XXI век). – 2008. – № 3. – С. 80–81.
18. Тихонов, В.И. Уравнения Эйлера-Лагранжа для математического моделирования движения системы судно-жидкость / В.И. Тихонов // Труды / ВГАВТ. – Н. Новгород, 1998. – Вып. 291. – Ч. 1. – С. 43–48.
19. Тихонов, В.И. Уточнение понятия «присоединенная жидкость» / В.И. Тихонов // Речной транспорт (XXI век). – 2006. – № 6. – С. 64–65.
20. Тихонов, В.И. Уточнение системы уравнений плоскопараллельного движения судна / В.И. Тихонов // Речной транспорт (XXI век). – 2008. – № 3. – С. 81–83.
21. Тихонов, В.И. Характер обтекания корпуса судна потоком жидкости / В.И. Тихонов // Судовождение и безопасность плавания, водные пути, гидротехнические сооружения и экологическая безопасность судоходства: сб. науч. тр. /ВГАВТ. – Н.Новгород: ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2005. – С.33–38.
22. Тихонов, В.И. Циркуляционно-отрывная модель обтекания корпуса судна / В.И. Тихонов // Речной транспорт (XXI век).–2006.–№ 5. – С. 70–72.
