Совершенствование теории судовождения на внутренних водных путях
На правах рукописи
Тихонов Вадим Иванович
СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ
ТЕОРИИ СУДОВОЖДЕНИЯ
НА ВНУТРЕННИХ ВОДНЫХ ПУТЯХ
Специальность 05.22.19 – эксплуатация водного транспорта,
судовождение
А в т о р е ф е р а т
диссертации на соискание ученой степени
доктора технических наук
Н. Новгород – 2010
Работа выполнена в Федеральном государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Волжская государственная академия водного транспорта» (ВГАВТ, г. Нижний Новгород).
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор
Ваганов Александр Борисович;
доктор технических наук, профессор
Палагушкин Борис Владимирович;
доктор технических наук, профессор
Юдин Юрий Иванович.
Ведущая организация: ФГОУ ВПО «Московская государственная академия водного транспорта».
Защита диссертации состоится 16 ноября 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д.223.001.01 при Волжской государственной академии водного транспорта по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, ул. Нестерова, д. 5А.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волжской государственной академии водного транспорта.
Автореферат разослан «_____»___________________2010 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета,
доктор технических наук, профессор А.Н. Ситнов
1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Статистика транспортных происшествий на речном флоте свидетельствует о том, что основной причиной большинства навигационных аварий являются неправильные действия судоводителей. Поэтому уровнем их профессиональной подготовки в значительной мере определяется безопасность судоходства на внутренних водных путях.
Одной из возможностей повышения квалификации судоводителей является тренажёрная подготовка, позволяющая отрабатывать приёмы эффективного управления судами в тех или иных сложных ситуациях. При этом очевидно, что цель тренажёрной подготовки будет достигнута лишь в том случае, если у судоводителя возникнет устойчивое ощущение управления именно тем судном, на котором он работает (или ему предстоит работать). Следовательно, для создания судоводительского тренажёра необходима математическая модель управляемого движения судна, адекватно имитирующая характер его реального поведения при выполнении того или иного маневра.
Считается, что универсальной для этой цели могла бы стать математическая модель, разработанная на основе уравнений неустановившегося движения судна. Однако без достаточно точного определения действующих на погруженную часть судового корпуса усилий, фигурирующих в математической модели, достижение адекватности и высокой степени имитации поведения реального судна при маневрировании становится проблематичным.
Исследованию действующих на судно гидродинамических усилий посвящены труды А.М. Басина, Я.И. Войткунского, В.В. Вьюгова, О.И. Гордеева, А.Д. Гофмана, В.Г. Павленко, Р.Я. Першица, Л.М. Рыжова, В.Г. Соболева, К.К. Федяевского и многих других отечественных и зарубежных ученых. Разработанные к настоящему времени эмпирические методы определения корпусных сил и их моментов, основанные на результатах систематических модельных испытаний, позволяют с достаточной точностью решать задачи теории корабля, связанные с установившимся движением судна (оценка поворотливости судов, проектирование движительно-рулевого комплекса, обеспечивающего нормированную управляемость судна, и т. п.). В то же время подстановка вычисленных по эмпирическим формулам коэффициентов корпусных усилий в уравнения движения судна приводит, согласно исследованиям В.Г. Павленко и В.В. Вьюгова, к расхождениям между расчётными характеристиками маневров и натурными наблюдениями.
Одной из причин указанных расхождений является тот факт, что эмпирические методы не учитывают изменения угла крена судна (и, следовательно, коэффициентов корпусных сил и их моментов) при неустановившемся криволинейном движении. Поэтому для решения задач профессиональной тренажёрной подготовки судоводителей, а также разработки способов оптимального управления судном в различных ситуациях для объективной оценки действий обучаемых необходимы аналитические методы определения корпусных усилий, основанные на анализе динамического взаимодействия судна с окружающей его жидкостью.
Таким образом, научные исследования, направленные на совершенствование гидродинамических аспектов теории судовождения для адекватного математического описания усилий, действующих на корпус маневрирующего судна, тесно связаны с решением проблемы обеспечения безопасности судоходства на внутренних водных путях и являются весьма актуальными.
Цель работы. Целью диссертации является совершенствование гидродинамических аспектов теории судовождения для повышения качества профессиональной тренажёрной подготовки судоводителей и снижения навигационной аварийности на внутренних водных путях.
Объект и предмет исследований. Объектом исследований является динамическая система судно – жидкость, а предметом – инерционные и неинерционные гидродинамические усилия, действующие на судно при его неустановившемся криволинейном движении.
Методология исследования. При решении задач, поставленных в диссертационной работе, использованы методы математического моделирования физических процессов, методы математического анализа, методы аналитической механики, а также методы теории вероятностей.
Корректность аналитических методов определения коэффициентов присоединённых масс, а также продольных и поперечных составляющих корпусных усилий проверена путём сопоставления результатов исследований с имеющимися данными модельных и натурных испытаний судов.
Научная новизна работы. Научную новизну диссертации составляют теоретические и экспериментальные исследования динамического взаимодействия судна с окружающей его жидкостью, в результате которых
предложена уточнённая модель циркуляционно-отрывного обтекания судового корпуса потоком жидкости;
обоснована общая структура гидродинамических характеристик судна;
получено уравнение, аналогичное интегралам Эйлера, Бернулли и Громеки, которое позволяет определять давления реальной жидкости на поверхность обшивки судового корпуса;
доказано, что для разработки аналитических методов определения действующих на судно гидродинамических усилий его подводная часть может быть условно заменена геометрически эквивалентным аналогом;
получена формула зависимости кинетической энергии реальной присоединённой жидкости от скоростей и геометрических характеристик погруженной части судового корпуса, позволяющая аналитически определять коэффициенты присоединённых масс;
откорректированы общие уравнения плоскопараллельного движения судна;
составлена частная система уравнений неустановившегося движения судна на повороте реки.
Перечисленные исследования для судов внутреннего и смешанного (река – море) плавания выполнены впервые.
Достоверность результатов. Закономерность распределения скоростей частиц жидкости в плоском пограничном слое, на основе которой получена формула зависимости экстраполятора трения от числа Рейнольдса, подтверждается экспериментальными исследованиями Я.И. Войткунского.
Корректность методов определения коэффициентов присоединённых масс, а также продольных составляющих корпусных гидродинамических усилий подтверждается данными модельных испытаний судов, выполненных соответственно Б.В. Палагушкиным и В.В. Вьюговым.
Достоверность метода определения поперечных составляющих корпусных гидродинамических усилий подтверждается результатами натурных циркуляционных испытаний судов.
Практическая ценность работы. Результатами исследований, обусловливающими практическую ценность диссертационной работы, являются
учитывающие индивидуальные геометрические характеристики судового корпуса аналитические методы определения
–коэффициентов присоединённых масс;
–продольных и поперечных составляющих усилий циркуляционно-отрывного характера;
–продольных и поперечных составляющих усилий, обусловленных волнообразованием;
теоретико-экспериментальные методы оценки корпусных усилий, обусловленных креном судна и вязкостным сопротивлением воды.
Полученные автором результаты исследований позволяют адекватно описывать как инерционные, так и неинерционные гидродинамические усилия, действующие на судно при его неустановившемся криволинейном движении, и представляют собой базу данных для математического моделирования управляемого движения судна на судоводительских тренажёрах.
Апробация работы. Результаты экспериментальных и теоретических исследований автора доложены, обсуждены и одобрены на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ВГАВТ (1982–2007 г.г.), на семинарах по управляемости судов и судовождению Волжско-Камского правления НТО им. акад. А.Н. Крылова (г. Горький, 1985–1987 г.г.), на курсах повышения квалификации инженерно-технических работников МРФ РСФСР при ГИИВТе (г. Горький, 1986–1989 г.г.), на научно-промышленном форуме «Великие реки 2008» (г. Н.Новгород, 2008 г.), на международной научной конференции «Гидродинамика. Механика. Энергетические установки», посвящённой 145-летию со дня рождения академика А.Н. Крылова (г. Чебоксары, 2008 г.).
Реализация выполненных исследований. Данные натурных циркуляционных испытаний судов речного флота, выполненных при участии и под руководством автора, были использованы Горьковским институтом инженеров водного транспорта (ГИИВТ) – в настоящее время Волжская государственная академия водного транспорта (ВГАВТ) – при выполнении научно-исследовательской работы «Подготовить к изданию справочник маневренных характеристик судов новых проектов» (тема № ХII – 5.16 плана НИР и ОКР МРФ РСФСР 1985 г.) по заданию Главной инспекции по безопасности судоходства и охране объектов Министерства речного флота РСФСР. «Справочник маневренных характеристик судов» был издан заказчиком в ЦБНТИ МРФ в 1989 г. и разослан в пароходства с целью распространения на судах для практического использования судоводителями.
Кроме того, методы аналитического определения действующих на корпус судна гидродинамических усилий инерционной и неинерционной природы используются специалистами комплекса судовых тренажёров Управления конвенционной подготовки и повышения квалификации ВГАВТ для математического моделирования произвольного управляемого движения судов.
Публикации. По теме диссертации автором опубликованы двадцать две работы общим объёмом более 30 п. л., семь из которых – в рецензируемых ВАК РФ изданиях.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из перечня основных условных обозначений, введения, восьми разделов, заключения, списка литературы и трёх приложений. Общий объём работы составляет 287 страниц. Основная часть рукописи содержит 264 страницы, включая 9 таблиц, 28 рисунков и библиографию (123 наименования). В приложениях представлены геометрические и скоростные характеристики тринадцати типов судов речного флота, результаты расчётов углов дрейфа этих судов на установившихся циркуляциях, а также документы, подтверждающие использование результатов исследований автора.
2. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность диссертации, её научная и практическая значимость, сформулированы основные задачи исследования, приведена краткая характеристика разделов работы.
Первый раздел содержит анализ существующих исследований динамического взаимодействия судна с окружающей жидкостью.
Рассмотрены характеристики криволинейного плоскопараллельного движения судна, а также уравнения, устанавливающие связь между действующими на судно усилиями и параметрами его движения.
Уравнения произвольного движения твёрдого тела в идеальной жидкости впервые были получены Г. Кирхгофом ещё в 1869 г., а впервые составлены и применены для анализа движения судна в 1949 г. А.М. Басиным. В случае плоского движения на спокойной воде эти уравнения представляются следующим образом:
 ; | (1) |
 ; | (2) |
  , | (3) |
где 
– масса судна; 
– присоединённые массы жидкости; 
– проекции вектора линейной скорости 
центра масс (ЦМ) судна на оси 
и 
связанной с ним системы координат; 
– время; 
– угловая скорость вращения судна относительно вертикальной оси 
, проходящей через его ЦМ; 
– присоединённый статический момент; 
– момент инерции судна относительно вертикальной оси 
; 
– момент инерции присоединённых масс жидкости; 
– проекции главного вектора приложенных к судну сил неинерционной природы на оси 
и 
подвижной системы координат; 
– проекция вектора главного момента приложенных к судну сил неинерционной природы на ось 
подвижной системы координат.
Усилия, обусловленные инерционностью присоединённой жидкости, определяются через её кинетическую энергию 
, причём
 . | (4) |
Отмечено, что полученная Г. Кирхгофом формула (4) без соответствующих пояснений или специальных оговорок не может считаться составленной корректно, поскольку движение неравных масс воды по направлениям 
и 
противоречит свойству её неразрывности.
Кроме того, известно, что присоединённые массы нельзя трактовать как «прилипшие» к судну и движущиеся вместе с ним. Следовательно, присоединённая жидкость не совершает движения по криволинейной траектории и не испытывает воздействия инерционных усилий центробежного характера. Поэтому сил 
, 
, 
и момента 
в левых частях уравнений (1)–(3) быть не должно.
Замечено, что разные способы составления уравнений движения судна, применённые В.Г. Павленко, Л.М. Витавером, В.В. Вьюговым, О.И. Гордеевым, В.В. Саленеком и др., привели в конечном итоге к тем же выражениям (1)–(3). Это позволило предположить, что причины одних и тех же ошибок, допущенных как Г. Кирхгофом и А.М. Басиным, так и многочисленными их последователями, кроются в некорректности формулы (4), а также в подходе к системе судно – жидкость как к некоей фиктивной механической системе, масса которой меняется в зависимости от направления её движения.
Проанализированы существующие методы определения величин 
, 
, 
, 
и 
. Отмечено, что для судов речного флота наиболее обстоятельные исследования присоединённых масс выполнены Б.В. Палагушкиным. По результатам модельных испытаний им получены эмпирические формулы для подсчёта коэффициентов присоединённых масс 
, 
и момента инерции 
. Однако формулы, предложенные Б.В. Палагушкиным, позволяют оценить значения 
, 
и 
лишь в зависимости от длины 
, ширины 
, осадки 
и коэффициента общей полноты 
, то есть не учитывают индивидуальных особенностей обводов судна. Кроме того, коэффициент присоединённого статического момента 
принимается равным нулю.
Усилия неинерционного происхождения 
, 
и 
, действующие на подводную часть судового корпуса, принято именовать гидродинамическими характеристиками (ГДХ) судна и представлять в следующей форме:
 ; | (5) |
 ; | (6) |
 . | (7) |
Здесь 
– безразмерные коэффициенты гидродинамических усилий; 
– плотность жидкости.
Задача оценки ГДХ является одной из труднейших, поэтому, начиная с конца 40-х годов прошлого столетия, на разработку методов определения ГДХ были направлены усилия М.Я. Алферьева, Н.И. Анисимовой, А.М. Басина, Г.И. Ваганова, А.В. Васильева, Я.И. Войткунского, В.Ф. Воронина, В.В. Вьюгова, А.Д. Гофмана, В.Г. Павленко, Р.Я. Першица, Л.М. Рыжова, Г.В. Соболева, К.К. Федяевского и целого ряда других отечественных и зарубежных исследователей.
Методы определения корпусных усилий неинерционной природы подразделяются на теоретико-экспериментальные и экспериментальные. Основой теоретико-экспериментальных методов исследования ГДХ служит циркуляционно-отрывная теория крыла, применённая к корпусу судна К.К. Федяевским и Г.В. Соболевым, но практическая значимость этой теории заключается лишь в том, что она позволяет получить общую структуру коэффициентов поперечных ГДХ в виде
 ; | (8) |
 , | (9) |
где 
, 
– безразмерные коэффициенты, зависящие от геометрических характеристик судового корпуса; 
– угол дрейфа судна по центру масс; 
– безразмерная угловая скорость вращения судна.
Таким образом, единственным до настоящего времени методом практического определения как продольных, так и поперечных ГДХ оставался модельный эксперимент. Считается, что в ходе эксперимента определяются полные гидродинамические усилия при установившемся движении модели. Поэтому инерционные усилия 
, 
, 
, 
и 
переносятся в правые части уравнений (1)–(3) и включаются в состав гидродинамических усилий неинерционной природы 
, 
и 
. При этом ни в одном из существующих эмпирических методов указанные инерционные усилия в явном виде не фигурируют.
Отмечено, что структура выражений, используемых для определения сопротивления воды продольному движению судна, не соответствует природе сил, действующих на подводную часть судового корпуса, поскольку в состав усилий вязкостной природы, обусловленных касательными напряжениями, включены и силы циркуляционно-отрывной природы, обусловленные нормальными динамическими давлениями. Показано, что эмпирические методы определения поперечных гидродинамических усилий являются в той или иной мере субъективными и не позволяют достаточно адекватно моделировать неустановившееся криволинейное движение судна.
По результатам анализа существующих методов оценки действующих на судовой корпус гидродинамических усилий сформулирована цель и определены основные задачи диссертационной работы.
Второй раздел диссертации посвящен исследованию основных закономерностей динамического взаимодействия воды с корпусом судна.
Рассмотрена природа возникновения так называемой присоединённой жидкости. Поскольку судовой корпус занимает в окружающей его воде вполне определённый объём, то по мере движения судна происходит процесс непрерывного вытеснения движущимся корпусом некоторого (необходимого для его «присутствия» в жидкой среде) объёма воды и заполнения ею того объёма, который высвобождается судном.
Показано, что лишь в случае продольного перемещения судна масса присоединённой воды будет эквивалентна суммарной её массе, заключённой в объёмах носовой и кормовой оконечностей корпуса. Во всех других случаях движения судна она будет эквивалентна массе жидкости, заключённой в объёме всей погруженной части корпуса.
Отмечено, что под термином «присоединённая жидкость» следует понимать некую условную составную часть динамической системы судно – жидкость, позволяющую выразить действующие на корпус судна усилия как инерционного, так и неинерционного происхождения.
На основе анализа обтекания крыльев малого и предельно малого размаха предложена следующая модель обтекания корпуса судна, идущего с углом дрейфа:
1) обтекание судового корпуса потоком жидкости имеет явно выраженный циркуляционно-отрывной характер;
2) циркуляция скорости потока происходит лишь в носовой и кормовой оконечностях корпуса;
3) циркуляция скорости, являясь мерой асимметрии потока, обтекающего корпус судна, проявляется в разности скоростей обтекания бортов в носовой и кормовой оконечностях корпуса.
Проанализирована природа сил, действующих со стороны жидкости на движущееся судно. Показано, что сопротивление воды движению в ней судового корпуса представляет собой систему сил, обусловленных циркуляционно-отрывным обтеканием поверхности обшивки, вязкостью жидкости, волнообразованием, а также креном судна.
В векторной форме суммарное сопротивление жидкости движению судна представлено следующим образом:
 . | (10) |
Путём проецирования главного вектора 
на оси 
и 
, а вектора главного момента 
– на ось 
связанной с судном подвижной системы координат получены общие структурные формулы для определения ГДХ судна:
 ; | (11) |
 ; | (12) |
 . | (13) |
Рассмотрен плоский пограничный слой жидкости, обтекающей борт цилиндрической вставки судна. Отмечено, что в пределах пограничного слоя каждая частица воды является участницей движения по двум противоположным направлениям: по направлению движения судна со скоростью 
как присоединённая жидкость и по направлению внешнего потока с относительной скоростью –
как жидкость, обтекающая судовой корпус. Следовательно, результирующая скорость 
движения частицы вязкой жидкости относительно поверхности корпуса будет определяться выражением:
 . | (14) |
Доказано, что в пределах пограничного слоя средняя скорость частиц присоединённой жидкости 
, а средняя скорость обтекания судна жидкостью 
. Это обстоятельство позволило сделать вывод о том, что в пределах пограничного слоя средняя удельная кинетическая энергия 
, приходящаяся на единицу массы как присоединённой жидкости, так и жидкости, обтекающей судовой корпус, определяется выражением:
 . | (15) |
Следовательно, потенциальное движение вязкой жидкости, обтекающей судно, может быть описано уравнением:
 . | (16) |
Здесь 
– средняя удельная энергия, приходящаяся на единицу массы жидкости в пределах пограничного слоя; 
– ускорение свободного падения; 
– аппликата рассматриваемой точки пограничного слоя относительно начала координат; 
– давление жидкости.
Отмечено, что в пограничном слое скорости и потенциал скоростей частиц воды функционально от времени не зависят. Следовательно, давления реальной жидкости на поверхность обшивки судового корпуса в любой момент времени будут определяться лишь мгновенными значениями скоростей относительного движения. Поэтому уравнение (16) позволяет определять корпусные ГДХ как при установившемся, так и неустановившемся движении судна. Данное обстоятельство подтверждает обоснованность выдвинутой К.К. Федяевским гипотезы квазистационарности.
Установлена объективная закономерность распределения скоростей частиц в пограничном слое жидкости, обтекающей судовой корпус, –
 , | (17) |
где 
– скорость жидкости, обтекающей судно в пределах пограничного слоя; 
– толщина пограничного слоя.
Отмечено, что зависимость (17) полностью соответствует результатам экспериментальных исследований распределения скоростей в турбулентных гидродинамических следах и спутных струях, создаваемых сходящим с корпуса судна или его модели пограничным слоем, которые получены Я.И. Войткунским.
Путем решения интегрального соотношения Т. Кармана с использованием уравнения (17) получена следующая формула зависимости экстраполятора трения 
от числа Рейнольдса:
 . | (18) |
Рассмотрена природа возникновения волн и волнового сопротивления при движении судна в продольном направлении со скоростью 
. Отмечено, что групповая скорость волн, составляющая половину их начальной скорости в момент зарождения, полностью соответствует средней скорости частиц присоединённой жидкости в пределах пограничного слоя, а сила 
воздействия волн на поверхность судового корпуса определяется выражением:
 . | (19) |
Здесь 
, 
– соответственно амплитуда и ширина фронта волны.
Показано, что формула (19) может быть преобразована к виду
  . | (20) |
Выражение (20) свидетельствует о том, что в случае плоского движения сила волнового воздействия на поверхность судового корпуса численно равна произведению скоростного напора 
волны на площадь 
её фронта. При этом скоростной напор и средняя амплитуда 
волны определяются согласно уравнению (16) движения жидкости в пограничном слое.
В третьем разделе обосновывается возможность условной замены корпуса судна его эквивалентным аналогом.
Для анализа действующих на судовой корпус гидродинамических усилий неинерционного происхождения введена система общепринятых в гидродинамике судна допущений, к которой добавлены следующие.
1. Движение обтекающей судно воды считается вихревым, но таким, при котором вихревые линии совпадают с линиями тока, то есть 
.
2. Обтекание судна, идущего с углом дрейфа, происходит таким образом, что в каждой точке его смоченной поверхности касательные к линиям тока коллинеарны векторам линейных скоростей этих точек.
Движение считается обращённым, то есть судно – как бы неподвижным, а внешний поток воды – обтекающим корпус со скоростями, равными скоростям самого судна, но противоположно направленными.
Отмечено, что для точек потока, лежащих в плоскости одной и той же ватерлинии выражение (16) примет следующий вид: 
 , | (21) |
где 
– давления жидкости в рассматриваемых точках потока; 
– скорости частиц жидкости в этих точках.
Показано, что проекции на оси координат 
и 
элементарного гидродинамического усилия 
, возникающего в какой-либо точке 
поверхности 
обшивки судового корпуса, могут быть представлены в виде
 ; | (22) |
 . | (23) |
Здесь 
– измеряемый в четвертной системе счета курсовой угол нормали к ватерлинии в рассматриваемой точке 
; 
– снижение нормали 
к поверхности корпуса в этой точке относительно нормали к ватерлинии.
Произведения 
и 
представляют собой проекции элементарной площади 
соответственно на плоскость мидельшпангоута и диаметральную плоскость (ДП) судна. Следовательно, в случае плоскопараллельного движения проекции 
и 
действующих на судовой корпус элементарных гидродинамических сил будут определяться выражениями:
 ; | (24) |
 , | (25) |
где 
– разность динамических давлений жидкости в равноотстоящих от ДП и лежащих в плоскости одной и той же ватерлинии точках обшивки носовой и кормовой оконечностей судового корпуса; 
– разность динамических давлений жидкости в симметричных относительно ДП точках обшивки внешнего и внутреннего бортов корпуса судна.
Выражения (24) и (25) позволили сделать предположение о том, что для определения действующих на судно гидродинамических усилий существует объективная возможность условной замены реального судового корпуса его эквивалентным аналогом. Для этого погруженная часть корпуса судна была разделена на три составные части:
1) цилиндрическая вставка – средняя часть корпуса, характеризующаяся постоянством значений коэффициентов полноты;
2) носовая оконечность – часть корпуса, расположенная в нос от цилиндрической вставки;
3) кормовая оконечность – часть корпуса, расположенная в корму от цилиндрической вставки.
Тогда при сохранении объёмов его составных частей значения средней длины и коэффициента полноты водоизмещения носовой оконечности будут
 ;  , | (26) |
а кормовой –
 ;  . | (27) |
Здесь 
– коэффициент полноты носовой половины диаметрального батокса; 
– средняя длина цилиндрической вставки в носовой половине корпуса судна; 
– коэффициент полноты мидельшпангоута; 
– коэффициент полноты кормовой половины диаметрального батокса; 
– средняя длина цилиндрической вставки в кормовой половине корпуса судна.
Показано, что как для реального судового корпуса, так и для его аналога средневзвешенные значения курсовых углов нормалей к ватерлиниям в носовой и кормовой оконечностях определяются следующим образом:
 ; | (28) |
 . | (29) |
Однако динамические давления жидкости на поверхность обшивки судна пропорциональны не тангенсу, а синусу или косинусу курсового угла нормали. Поэтому средние значения курсовых углов 
и 
, соответствующие удельным динамическим давлениям, приходящимся на единицу длины ватерлинии в оконечностях судового корпуса, представлены в виде
 ; | (30) |
 , | (31) |
где 
– коэффициенты компенсации погрешностей в определении динамических давлений.
Отмечено, что для определения скоростных напоров воды на погруженную часть судна необходимы значения коэффициентов 
, 
и 
, которые учитывают средние снижения нормалей к поверхности обшивки относительно нормалей к ватерлиниям соответственно в носовой и кормовой оконечностях, а также в области цилиндрической вставки корпуса.
Доказано, что усилия, действующие как на корпус реального судна, так и на его аналог, тождественны. То есть геометрически эквивалентный аналог является гидродинамически адекватным аналогом реального судового корпуса. Это позволило сделать вывод о существовании возможности для разработки аналитических методов определения гидродинамических усилий, действующих на судно. И для того чтобы воспользоваться этой возможностью, необходимо представить погруженную часть судового корпуса в виде её эквивалентного аналога, а значения 
, 
, 
, 
и 
определить численными методами с помощью теоретического чертежа судна.
В четвертом разделе излагается метод аналитического определения масс и моментов присоединённой жидкости.
Рассмотрен применённый Г. Кирхгофом и ставший классическим подход к получению выражения
 , | (32) |
где
 | |
 | |
 , |
для определения кинетической энергии идеальной жидкости, из которого, приравнивая скорости частиц жидкости к скоростям самого судна, а под присоединёнными массами понимая величины
 | (33) |
 | (34) |
Г. Кирхгоф и получил формулу (4).
Выражения (32)–(34) со всей очевидностью свидетельствуют о том, что на оси связанной с судном системы координат проецируется не скорость присоединённой жидкости, а её масса. Поэтому формула (4) явно противоречит принципу неразрывности жидкости и без сопутствующих оговорок или пояснений не может быть признана корректной и пригодной для составления уравнений движения судна.
Отмечено, что в любой точке 
смоченной поверхности судового корпуса 
(здесь 
, 
– составляющие линейной скорости присоединённой жидкости). Поэтому никакого «инерционного» момента 
(полученного Г. Кирхгофом, а называемого, почему-то, моментом М. Мунка) в природе не существует.
Показано, что формула для определения кинетической энергии присоединённой идеальной жидкости, не противоречащая принципу её неразрывности, имеет следующий вид:
 + . | (35) |
Однако теория движения идеальной жидкости не позволяет проинтегрировать уравнение (35), поскольку скорости частиц идеальной жидкости приравниваются нулю либо на бесконечном удалении от судна, либо на неподвижных твёрдых границах водоёма. Следовательно, величина 
, входящая в подынтегральную часть выражения (35) и представляющая собой не что иное, как толщину слоя присоединённой жидкости, становится неопределённой.
С использованием классического подхода к определению кинетической энергии идеальной жидкости получено уравнение, выражающее энергию плоскопараллельного движения реальной присоединённой жидкости,
  , | (36) |
где 
– объём погруженной части корпуса судна.
Интегрирование уравнения (36) по объёмам составных частей судового корпуса позволило представить кинетическую энергию присоединённой воды следующим выражением:
  . | (37) |
В формуле (37) обозначено: 
– массы соответственно носовой, кормовой оконечностей и цилиндрической вставки; 
– средние значения составляющих линейных скоростей присоединённой жидкости соответственно в носовой и кормовой оконечностях, а также в области цилиндрической вставки корпуса судна.
Коэффициенты 
и 
находятся по выражениям:
 ; | (38) |
  . | (39) |
Доказано, что формула (37) уже ни при каких условиях не позволит получить «инерционный» момент 
в левой части уравнения (3), поскольку в любой из составных частей судового корпуса
  . | (40) |
Если скорости присоединённой воды приравнять к скоростям судна, то выражение (37) преобразуется в формулу (4), в которой
 ;  ;  ;  , | (41) |
а коэффициенты 
и 
находятся следующим образом:
 | (42) |
 , | (43) |
то есть выражения (38) и (43) свидетельствуют о том, что 
=
.
Отмечено, что формула (4) должна сопровождаться следующим замечанием: данное выражение может быть использовано лишь для определения инерционных усилий, обусловленных линейными или угловыми ускорениями в движении судна.
В пятом разделе исследуются продольные составляющие гидродинамических усилий, действующих на корпус судна.
Проанализировано движение водного потока относительно внешнего и внутреннего бортов судна. В результате получены следующие выражения для определения коэффициентов продольных циркуляционных усилий:
  ; | (44) |
 . | (45) |
В формулах (44) и (45) обозначено: 
– безразмерная масса судна;
 ;  ;  ;  ;   ;  ;  ; | |
 ;  ;  . |
Анализ разности давлений, возникающей из-за разности напоров воды на носовую и кормовую оконечности корпуса судна, позволил представить коэффициенты продольных усилий отрывной природы в виде
 ; | (46) |
  . | (47) |
Здесь
 ;  ; | |
 ;  ;  ;   . |
Продольная составляющая вязкостного сопротивления воды движению судна определяется выражением:
 , | (48) |
где 
– коэффициент вязкостного сопротивления воды продольному движению судна.
Поскольку вязкостное сопротивление воды изменяется пропорционально сопротивлению трения гладкой эквивалентной пластины, то коэффициент 
представлен следующим образом:
 . | (49) |
Здесь 
– поправка на шероховатость обшивки корпуса; 
– коэффициент пропорциональности между вязкостным сопротивлением формы и сопротивлением трения; 
– площадь поверхности погруженной части судового корпуса, приближенное значение которой подсчитывается по выражению:
 , | (50) |
в котором первое слагаемое представляет собой площадь днища судна, а второе – суммарную площадь смоченной поверхности бортов.
Отмечено, что под вязкостным сопротивлением формы следует понимать разность между сопротивлением трения смоченной поверхности корпуса судна и сопротивлением трения шероховатой пластины.
Принято допущение о том, что сила 
по ширине судна не меняется, и момент этой силы относительно вертикальной оси 
.
Анализ усилий, обусловленных волнообразованием, привел к выводу о том, что при подсчёте продольных гидродинамических сил и их моментов можно положить
 ; | (51) |
 , | (52) |
где 
– число Фруда;
 . |
Исследовано влияние крена на продольные составляющие усилий, действующих на судовой корпус, Показано, что при криволинейном движении крен судна 
приводит к изменению лишь циркуляционной и отрывной составляющих продольной гидродинамической силы. При этом
 ; | (53) |
 ; | (54) |
 . | (55) |
В выражениях (53) и (54) обозначено:
 ; | |
 . |
В итоге сделан вывод о том, что для математического моделирования неустановившегося криволинейного движения судна коэффициенты продольных составляющих гидродинамических усилий, действующих на его корпус, могут быть представлены в виде:
  ; | (56) |
 . | (57) |
В шестом разделе исследуются поперечные составляющие корпусных усилий.
Проанализировано движение потока воды относительно бортов носовой и кормовой оконечностей, а также цилиндрической вставки судового корпуса. В результате суммарные значения коэффициентов поперечных циркуляционно-отрывных усилий 
и 
представлены в следующем виде:
  ; | (58) |
  , | (59) |
где
   ;  ;  ;  ;  ;   ; | |
  ; | |
  .   ;   ;   . |
Отмечено, что именно моментом 
, обусловленным парой неинерционных сил циркуляционной природы, приложенных к носовой и кормовой оконечностям корпуса, объясняется причина широко известной тенденции удлинённых тел разворачиваться наибольшей стороной против направления относительного движения потока воды.
Составляющая вязкостного сопротивления воды поперечному движению судна выражена следующим образом:
 , | (60) |
а коэффициент 
, исходя из предположения о том, что аффинная связь между сопротивлением трения и вязкостным сопротивлением формы распространяется и на случай движения судна лагом, представлен в виде
 . | (61) |
Здесь 
– коэффициент пропорциональности между вязкостным сопротивлением формы и сопротивлением трения при поперечном движении судна.
Для анализа и приближённой оценки поперечных усилий вязкостной природы были введены следующие допущения:
1) силы сопротивления воды движению судна лагом, обусловленные её вязкостью, приложены к поверхности обшивки днища судового корпуса;
2) касательные напряжения распределены по поверхности обшивки днища корпуса равномерно.
Это позволило выразить коэффициенты 
и 
следующим образом:
 ; | (62) |
 , | (63) |
где
  ;   ; | |
 ;  . | |
  . |
Коэффициенты поперечных составляющих усилий, обусловленных волнообразованием, представлены в виде
 ; | (64) |
 . | (65) |
В выражениях (64) и (65) обозначено:
 ;   ;   ;   ;  ;  . |
Показано, что крен судна приводит к изменению лишь циркуляционных составляющих поперечных корпусных усилий. При этом
 ; | (66) |
 . | (67) |
Здесь
 ;   ; | |
 ;   . |
В итоге для математического моделирования неустановившегося криволинейного движения судна коэффициенты поперечных составляющих гидродинамических усилий, действующих на его корпус, представлены следующим образом:
    ; | (68) |
    ; | (69) |
Седьмой раздел посвящен коррекции общих уравнений плоского движения судна и составлению частной системы уравнений неустановившегося движения судна на повороте реки.
Отмечено, что при составлении уравнений произвольного плоскопараллельного движения судна авторы ряда работ, полагая, что коэффициенты при обобщенных скоростях не зависят от времени явно, используют уравнения Эйлера – Лагранжа в следующем виде:
  , | (70) |
где 
– кинетическая энергия системы судно–жидкость; 
– квазискорости 
; 
– трёхиндексные символы; 
– квазикоординаты 
;
– квазисилы (
).
Показано, что применение формулы (70) для составления уравнений движения судна, строго говоря, некорректно, поскольку коэффициенты при обобщенных и квазискоростях являются функциями лишь курса судна 
, который, в свою очередь, явно зависит от времени 
.
С помощью методов аналитической механики доказано, что для математического моделирования движения системы судно – жидкость следует применять уравнения Эйлера – Лагранжа
  , | (71) |
в которых коэффициенты при скоростях явно зависят от времени 
.
Для системы, состоящей из одиночного водоизмещающего судна и присоединённой жидкости, 
. Однако у более сложных систем – плотовые, буксируемые или изгибаемые составы – кинетическая энергия может функционально зависеть от квазикоординат. Поэтому уравнения (71), по мнению автора, могут быть использованы для математического моделирования плоского движения в жидкости любых водоизмещающих плавсредств.
Отмечено, что для правильной оценки инерционных усилий, действующих на присоединённую жидкость, и корректного составления уравнений движения судна необходимо учитывать следующие обстоятельства.
1. Движение присоединённой воды вызвано лишь движением судна. Поэтому в силу несжимаемости и нерастяжимости жидкости линейные и угловые ускорения, характеризующие движение судна, непосредственно сообщаются и частицам воды, примыкающим к его корпусу.
2. Жёсткой связи между корпусом судна и частицами присоединённой воды не существует. Следовательно, присоединённая жидкость не совершает вместе с судном движения по криволинейной траектории и не испытывает воздействия инерционных усилий центробежного характера.
С учетом этих обстоятельств система уравнений плоского движения судна при любом подходе к их составлению будет иметь следующий вид:
 ; | (72) |
 ; | (73) |
 . | (74) |
Отмечено, что для решения задач управления судном с целью обеспечения его движения по заданной криволинейной траектории при наличии течения необходима частная математическая модель, которая описывает неустановившееся движение судна при прохождении поворота реки.
При составлении системы частных уравнений были сделаны следующие допущения (не противоречащие известным допущениям В.Г. Павленко):
- скорость течения
постоянна по величине на оси судового хода и направлена по касательной к ней; - в поперечном сечении русла скорость течения меняется пропорционально расстоянию до мгновенного центра кривизны оси судового хода;
- управление судном ведется так, что его ЦМ движется по криволинейной траектории, совпадающей с осью судового хода.
Введенные допущения, а также использование результатов исследований В.Г. Павленко и Л.М. Витавера позволили получить частную систему уравнений неустановившегося движения судна на повороте реки в следующем виде:
  ; | (75) |
  ; | (76) |
  . | (77) |
Содержание восьмого раздела посвящено анализу корректности разработанных автором методов определения действующих на судовой корпус усилий инерционного и неинерционного происхождения.
На основе существующих исследований, изложенных в работах В.Г. Павленко, получена формула
 , | (78) |
где 
– радиус кривизны траектории движения ЦМ судна, которая позволяет приближённо определять углы крена судов внутреннего и смешанного плавания при неустановившемся криволинейном движении. Отмечено, что результаты вычислений угла крена 
по формуле (78) для случаев установившихся циркуляций удовлетворительно соответствуют данным теоретических расчетов, выполненных В.Г. Павленко, наблюдаемым значениям угла 
при проведении натурных циркуляционных испытаний, а также экспертным оценкам опытных капитанов грузовых и пассажирских судов речного флота.
С целью общей проверки корректности результатов исследований и приближенной оценки действующих на судно гидродинамических усилий сделано допущение о том, что для речных судов 
, а для определения величин 
, 
, 
и 
предложены выражения, полученные на основе анализа теоретических чертежей девяти грузовых и четырех пассажирских судов речного флота с выпуклыми или слегка вогнутыми ватерлиниями:
для грузовых судов
 | (79) |
для пассажирских судов
 | (80) |
для грузовых и пассажирских судов
 | (81) |
где 
– коэффициенты полноты диаметрального батокса в носовой и кормовой оконечностях судового корпуса, определяемые по формулам:
  |
Для приближенного определения значений коэффициентов пропорциональности между вязкостным сопротивлением формы и сопротивлением трения при продольном 
и поперечном 
движении судна предложены следующие выражения:
 ; | (82) |
 | (83) |
Здесь 
– коэффициент полноты диаметрального батокса.
Формулы (82) и (83) получены на основе модельных и натурных испытаний девяти грузовых и четырех пассажирских судов. В качестве результатов модельных испытаний приняты подсчитанные по методу В.В. Вьюгова значения коэффициентов 
общего сопротивления воды продольному движению судна, а в качестве результатов натурных циркуляционных испытаний – данные «Справочника маневренных характеристик судов».
Отмечено, что в работах А.М. Басина и Я.И. Войткунского влияние кривизны судовой поверхности на величину сопротивления трения оценивается в 2–8% от значения 
, подсчитанного по формуле Прандтля – Шлихтинга. Кроме того, согласно экспериментальным исследованиям Я.И. Войткунского, коэффициент силы вязкостного сопротивления воды движению круглого плоского диска 
.
С целью проверки корректности формул (82) и (83) по выражениям
 ;  |
для тринадцати типов судов были найдены значения 
и 
. Результаты расчётов позволили сделать вывод о том, что значения 
и 
, определяемые формулами (82) и (83), удовлетворительно соответствуют общепринятой оценке влияния кривизны поверхности судового корпуса на величину силы трения при продольном движении судна, а также экспериментальным данным, полученным Я.И. Войткунским.
Для общей оценки корректности результатов теоретических исследований были выполнены расчёты значений коэффициентов присоединённых масс 
, 
и 
, коэффициентов сопротивления воды продольному движению 
, а также углов дрейфа 
на установившихся циркуляциях заданной кривизны для девяти грузовых и четырех пассажирских судов. Сравнительный анализ результатов вычислений и экспериментальных данных модельных и натурных испытаний судов речного флота позволил сделать следующие выводы:
1) корректность метода аналитического определения действующих на судно усилий инерционной природы подтверждается результатами исследований Б.В. Палагушкина, в основе которых лежит модельный эксперимент;
2) корректность метода аналитического определения продольных составляющих гидродинамических усилий неинерционного происхождения подтверждается результатами исследований В.В. Вьюгова, основанными на модельном эксперименте;
3) корректность метода аналитического определения поперечных составляющих гидродинамических усилий неинерционной природы подтверждается данными натурных циркуляционных испытаний судов.
3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
Наиболее важными результатами выполненных исследований гидродинамических аспектов теории судовождения автор считает следующие.
1. Установлено, что в случае продольного перемещения судна масса присоединённой жидкости эквивалентна её суммарной массе, заключённой в объёмах носовой и кормовой оконечностей корпуса, а во всех других случаях движения судна она будет эквивалентна массе воды, заключённой в объёме всей погруженной части судового корпуса.
2. Уточнена роль присоединённой жидкости в формировании действующих на судно гидродинамических усилий. Показано, что под термином «присоединённая жидкость» следует понимать некую условную составную часть динамической системы судно – жидкость, которая позволяет выразить действующие на судовой корпус усилия как инерционного, так и неинерционного происхождения.
3. Предложена уточнённая циркуляционно-отрывная модель обтекания судна, идущего с углом дрейфа. Отличие от известной модели обтекания крыла предельно малого удлинения заключается в том, что циркуляция скорости потока наблюдается не по всему контуру, а лишь в районах носовой и кормовой оконечностей погруженной части судна.
4. Обоснована общая структура действующих на судно гидродинамических усилий, обусловленных как нормальными динамическими давлениями, так и касательными напряжениями. Предложенная структура включает в себя усилия циркуляционного и отрывного характера, а также вязкостной и волновой природы. Кроме того, учитываются дополнительные усилия, возникающие при наличии крена судна.
5. Установлена объективная закономерность распределения скоростей частиц воды в плоском пограничном слое, которая не противоречит фундаментальным законам механики и подтверждается экспериментальными исследованиями Я.И. Войткунского. Данная закономерность распространяется и на турбулентное и на ламинарное движение воды в пограничном слое.
6. Выведена формула, устанавливающая зависимость экстраполятора трения гидравлически гладкого судового корпуса от числа Рейнольдса. Отмечено, что данная формула распространяется как на турбулентное, так и ламинарное движение воды в пограничном слое.
7. Получено уравнение, аналогичное интегралам Эйлера, Бернулли и Громеки, которое позволяет определять давления реальной жидкости на поверхность обшивки судового корпуса.
8. Показано, что сила волнового сопротивления численно равна произведению скоростного напора волны на площадь её фронта. Отмечено, что известная в гидродинамике формула для определения силы волнового сопротивления и выражение, полученное автором на основе упомянутого в предыдущем пункте уравнения, идентичны.
9. Установлено, что для разработки аналитических методов определения действующих на судно гидродинамических усилий его подводная часть может быть условно заменена геометрически эквивалентным аналогом. Доказано, что геометрически эквивалентный аналог погруженной части судна одновременно является гидродинамически тождественным аналогом реального судового корпуса.
10. Получена формула, устанавливающая зависимость кинетической энергии присоединённой воды от скоростей и геометрических характеристик погруженной части судна.
11. Разработаны учитывающие индивидуальные геометрические параметры судового корпуса аналитические методы определения
– масс и моментов присоединённой жидкости;
– продольных и поперечных составляющих усилий циркуляционно-отрывного характера;
– продольных и поперечных составляющих усилий, обусловленных волнообразованием.
12. Получены аналитические выражения, учитывающие дополнительные усилия, возникающие вследствие крена судна. Предложена формула, которая позволяет приближённо определять углы крена судов внутреннего и смешанного плавания при неустановившемся криволинейном движении.
13. Разработан теоретико-экспериментальный метод определения продольных и поперечных составляющих гидродинамических усилий, обусловленных вязкостью воды.
14. Откорректированы общие уравнения произвольного плоского движения системы судно – жидкость.
15. Составлены частные уравнения неустановившегося движения судна на повороте реки.
16. Установлено, что корректность выполненных автором теоретических исследований подтверждается данными модельных и натурных испытаний судов.
4. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Справочник маневренных характеристик судов / сост. В.И. Тихонов; под ред. Д.Ф. Бирюкова. – М.: ЦБНТИ МРФ РСФСР, 1989. – 319 с.
2. Тихонов, В.И. Волнообразование и волновое сопротивление / В.И. Тихонов // Судовождение и безопасность плавания, водные пути, гидротехнические сооружения и экологическая безопасность судоходства: сб. науч. тр. / ВГАВТ. – Н. Новгород: ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2006. – С. 28–33.
3. Тихонов, В.И. Исследование управления судном при переходе с прямого курса на поворот заданного радиуса / В.И. Тихонов // Труды / Горьков. ин-т инж. водн. трансп. – Горький, 1987. – Вып. 223. – С. 27–47.
4. Тихонов, В.И. Кинетическая энергия плоскопараллельного движения системы судно-жидкость / В.И. Тихонов // Труды / ВГАВТ. – Н. Новгород, 1998. – Вып. 291. – Ч. 1. – С. 29–38.
5. Тихонов, В.И. Метод аналитического определения масс и моментов присоединенной воды / В.И. Тихонов // Судовождение и безопасность плавания, водные пути, гидротехнические сооружения и экологическая безопасность судоходства: сб. науч. тр. / ВГАВТ. – Н.Новгород: ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2005. – С. 27–33.
6. Тихонов, В.И. Обоснование возможности условной замены реального судового корпуса его эквивалентным аналогом / В.И. Тихонов // Сборник трудов Х Международной научной школы «Гидродинамика больших скоростей» и Международной научной конференции «Гидродинамика. Механика. Энергетические установки» (к 145-летию со дня рождения академика А.Н. Крылова). – Чебоксары: ЧПИ МГОУ, 2008. – С. 287–294.
7. Тихонов, В.И. Общие уравнения плоского движения судна / В.И. Тихонов // Труды / ВГАВТ. – Н. Новгород, 1998.–Вып. 291. – Ч. 1. – С. 58–68.
8. Тихонов, В.И. Определение параметров пограничного слоя жидкости / В.И. Тихонов // Судовождение и безопасность плавания, водные пути, гидротехнические сооружения и экологическая безопасность судоходства: сб. науч. Тр. / ВГАВТ. – Н.Новгород: ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2005. – С.15–21.
9. Тихонов, В.И. Основы теории динамической системы судно – жидкость / В.И. Тихонов. – Н. Новгород: ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2007. – 262с. (монография).
10. Тихонов, В.И. Поперечные составляющие циркуляционно-отрывных усилий, возникающих на корпусе судна / В.И. Тихонов // Судовождение и безопасность плавания, водные пути, гидротехнические сооружения и экологическая безопасность судоходства: сб. науч. тр. / ВГАВТ. – Н.Новгород: ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2005. – С. 41–51.
11. Тихонов, В.И. Продольные составляющие циркуляционно-отрывных усилий, возникающих на корпусе судна / В.И. Тихонов // Судовождение и безопасность плавания, водные пути, гидротехнические сооружения и экологическая безопасность судоходства: сб. науч. тр. / ВГАВТ. – Н.Новгород: ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2005. – С. 51–62.
12. Тихонов, В.И. Роль присоединенной жидкости в формировании усилий, действующих на корпус судна / В.И. Тихонов // Судовождение и безопасность плавания, водные пути, гидротехнические сооружения и экологическая безопасность судоходства: сб. науч. тр. / ВГАВТ. – Н.Новгород: ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2005. – С. 11–15.
13. Тихонов В.И. Сопротивление воды движению судна и его составляющие / В.И. Тихонов, М.В. Небасов // Судовождение и безопасность плавания, водные пути, гидротехнические сооружения и экологическая безопасность судоходства: сб. науч. тр. / ВГАВТ. – Н.Новгород: ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2005. – С.38–41.
14. Тихонов, В.И. Уравнения Эйлера-Лагранжа для математического моделирования движения системы судно-жидкость / В.И. Тихонов // Труды / ВГАВТ. – Н. Новгород, 1998. – Вып. 291. – Ч. 1. – С. 43–48.
15. Тихонов, В.И. Характер обтекания корпуса судна потоком жидкости / В.И. Тихонов // Судовождение и безопасность плавания, водные пути, гидротехнические сооружения и экологическая безопасность судоходства: сб. науч. тр. /ВГАВТ. – Н.Новгород: ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2005. – С.33–38.
Публикации в рецензируемых ВАК РФ изданиях
1. Тихонов, В.И. Закономерности движения жидкости в плоском пограничном слое / В.И. Тихонов // Речной транспорт (XXI век). – 2007. – № 2. – С. 77–79.
2. Тихонов, В.И. Моделирование кинетической энергии реальной присоединенной жидкости / В.И. Тихонов // Наука и техника транспорта. – 2008. – № 4. – С. 5–8.
3. Тихонов, В.И. Общая структура гидродинамических характеристик судового корпуса / В.И. Тихонов, М.В. Небасов // Речной транспорт (XXI век). – 2006. – № 6. – С. 58–59.
4. Тихонов, В.И. Способ определения волнового сопротивления воды движению судна / В.И. Тихонов // Речной транспорт (XXI век). – 2008. – № 3. – С. 80–81.
5. Тихонов, В.И. Уточнение понятия «присоединенная жидкость» / В.И. Тихонов // Речной транспорт (XXI век). – 2006. – № 6. – С. 64–65.
6. Тихонов, В.И. Уточнение системы уравнений плоскопараллельного движения судна / В.И. Тихонов // Речной транспорт (XXI век). – 2008. – № 3. – С. 81–83.
7. Тихонов, В.И. Циркуляционно-отрывная модель обтекания корпуса судна / В.И. Тихонов // Речной транспорт (XXI век).–2006.–№ 5. – С. 70–72.
