Развитие метода конечных элементов для расчета систем, включающих тонкостенные стержни открытого профиля
На правах рукописи
ОСОКИН Андрей Владимирович
РАЗВИТИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ДЛЯ РАСЧЕТА СИСТЕМ, ВКЛЮЧАЮЩИХ
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
Специальность 05.23.17 – «Строительная механика»
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Москва – 2010
Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» (МИИТ)
| Научный руководитель: | доктор технических наук, профессор Потапов Вадим Дмитриевич. |
| Официальные оппоненты: | доктор технических наук, профессор Шапошников Николай Николаевич, |
| кандидат технических наук, доцент Иванов-Дятлов Владимир Иванович. | |
| Ведущая организация: | Открытое акционерное общество «Научно-исследовательский центр «Строительство» (ОАО «НИЦ «Строительство») |
Защита состоится 10 ноября 2010 г. в 1600 – на заседании диссертационного совета ДМ 218.005.05 при Московском государственном университете путей сообщения, по адресу: 127994, ГСП-4, Москва, ул. Образцова, д.9, стр. 9,
ауд. 7501.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного университета путей сообщения. Отзывы на автореферат диссертации в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью, просим направлять по адресу совета университета.
Автореферат разослан 8 октября 2010 г.
| Ученый секретарь диссертационного совета, доцент | Шавыкина М. В. |
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы диссертации
В настоящее время все большее применение находят строительные и транспортные конструкции в виде многоэлементных систем из тонкостенных стержней с открытым и замкнутым профилем поперечного сечения. Как известно, деформирование таких стержней сопровождается появлением существенных напряжений от стесненного кручения. Попытки учесть эти эффекты с помощью пластинчатых конечно-элементных моделей приводят к задачам очень большой размерности, которые с помощью существующей вычислительной техники не во всех случаях разрешимы. Особого внимания работа этих систем требует с точки зрения обеспечения их устойчивости. Таким образом разработка алгоритмов и программного обеспечения расчета таких систем на прочность, устойчивость и колебания по теории В.З. Власова является актуальной задачей.
Работа выполнялась в рамках гранта Российской академии архитектуры и строительных наук по теме: «Исследование проблем компьютерного моделирования общей устойчивости конструкций зданий и сооружений» в 2006 и 2007 годах и в рамках гранта Российского фонда фундаментальных исследований по теме: «Устойчивость и надежность нелинейных вязко-упруго-пластических систем при параметрическом стохастическом возбуждении» в 2009 году.
Цель диссертационной работы состоит в развитии метода конечных элементов как для линейно-упругих систем, так и систем упругопластических, включающих тонкостенные стержни открытого профиля. Практически значимой является задача разработки на основе стержневой модели алгоритмов и программного обеспечения расчета многоэлементных систем тонкостенных стержней с открытым профилем поперечного сечения на прочность, устойчивость и колебания по теории В.З. Власова. Также важной проблемой является разработка методики анализа такого рода систем выполненных из упругопластического материала с целью оценки степени развития в них пластических деформаций.
Научная новизна работы:
- На основе проведенных исследований выбрана эффективная расчетно-математическая модель тонкостенного стержня открытого профиля, позволяющая решать задачи прочности стержневых систем в упругой постановке.
- С использованием предложенной модели конечного элемента тонкостенного стержня построена матрица геометрической жесткости применительно к случаю центрального и внецентренного сжатия или растяжения, а также поперечного изгиба.
- Получена матрица инерционных характеристик для решения задач собственных колебаний систем, состоящих из тонкостенных стержней открытого профиля.
- Разработаны методика и алгоритмы исследования деформированного состояния тонкостенных стержней открытого профиля в упругопластической стадии.
Практическая ценность работы.
Практическая ценность состоит в разработанных методиках и алгоритмах, которые реализованы в виде прикладных программ компьютерного моделирования работы систем, включающих тонкостенные стержни открытого профиля на прочность, устойчивость и колебания с возможностью учета упругопластического деформирования материала при статическом нагружении.
Достоверность результатов.
Достоверность результатов полученных в диссертации обосновывается использованием известных алгоритмов численного решения задач механики твердого деформируемого тела и метода конечных элементов. Также в диссертации приводится сравнительный анализ решений многочисленных задач, некоторые из которых имеют точное аналитическое решение. Решение задач упругопластического деформирования тонкостенного стержня сравнивается с результатом экспериментальных исследований.
Апробация работы была проведена на:
- Научно-технической конференции «Наука МИИТа - транспорту» (Москва, 2006 г.);
- 65 научно-методической и научно-исследовательской конференции Московского автодорожного института (Москва, 2007 г.);
- Научно-технической конференции «Наука МИИТа - транспорту» (Москва, 2007 г.);
- 66 научно-методической и научно-исследовательской конференции Московского автодорожного института (Москва, 2008 г.);
- Научно-технической конференции «Наука МИИТа - транспорту» (Москва, 2008 г.);
- Московской городской конференции молодых ученых «Современные проблемы инженерных исследований» (Москва, 2008 г.);
- 68 научно-методической и научно-исследовательской конференции Московского автодорожного института (Москва, 2010 г.);
- VII международной научно-практической конференции студентов и молодых ученых «Trans-Mech-Art-Chem» (Москва, 2010 г.).
Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в 10 печатных работах, 1 из которых опубликована в издании, рекомендованном ВАКом.
Структура и объём диссертации. Диссертационная работа включает в себя введение, четыре главы, заключение и приложение, изложена на 134 страницах машинописного текста, включая 43 рисунка, 9 таблиц и список литературы из 128 наименований.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, анализируется состояние вопроса (приводится аналитический обзор отечественных и зарубежных работ по теме диссертации) и формулируются основные направления исследования.
Основоположником теории расчета тонкостенных стержней следует считать проф. С.П.Тимошенко, который занимался вопросом изгиба и кручения тонкостенных стержней в связи со своей работой (1905 г.) по устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки.
Существенный вклад в развитие теории стесненного кручения тонкостенных стержней открытого профиля внесли немецкие ученые: Бах, Циммерман, Вебер, Вагнер, Блейх и другие. Однако, наиболее полная теория расчета тонкостенных стержней открытого профиля была разработана выдающимся советским механиком проф. В.З. Власовым в 1932 – 1937 гг.
В послевоенный период в связи с бурным развитием авиастроения, судостроения, транспортного машиностроения различные аспекты и особенности деформирования тонкостенных стержней открытого и закрытого профилей были исследованы в работах известных советских ученых: А.А. Уманского, А.Р. Ржаницына, Д.В. Бычкова, А.Л. Гольденвейзера, Г.Ю. Джанелидзе, Я.Г. Пановко, А.С. Вольмира, В.В. Болотина. Следует отметить работы проф. А.И. Стрельбицкой и ее соавторов, в которых особое внимание уделялось экспериментальным исследованиям и сравнению данных экспериментов с теоретическими результатами.
В дальнейшем рассматриваемая теория получила свое развитие в применении классических методов строительной механики (метода сил и метода перемещений) к расчету плоско-пространственных и пространственных стержневых систем и рам. Здесь следует отметить работы Д.В. Бычкова, а также ученых МИИТа: В.И. Урбана, П.Г. Проскурнева, А.В. Александрова, В.Б. Мещерякова, В.Д. Потапова, М.А. Гурковой.
В связи с появлением и развитием средств вычислительной техники сначала 50-х годов прошлого столетия стали появляться работы по расчету строительных конструкций, состоящих из стержней, пластин и оболочек с использованием матричных методов вычисления. Здесь следует отметить работы Дж. Аргириса и А.Ф. Смирнова. Позднее на основе этих работ сформировался особый метод расчета конструкций – метод конечных элементов (1960 г.). Основы МКЭ и его приложения к расчету различных конструкций обсуждаются в книгах: Дж. Аргириса, Дж. Пшеминецкого, О. Зенкевича, Л.А. Розина, Дж. Одена, В.А. Постнова, Н.Н. Шапошникова, Р. Клафа и Дж. Пензиена, Р. Галлагера, К. Бате и Е. Вилсона, Д. Сегерлинда и других авторов.
Особенности решения задач для тонкостенных стержней открытого профиля в конечно-элементной постановке рассматривались в работах П. Базента, С. Райсехарана, И.Я. Хархурима, А.Р. Туснина.
В первой главе рассматривается методика построения матрицы жесткости конечного элемента тонкостенного стержня на основе различных подходов, а также проводится тестирование полученных матриц и сравнительный анализ точности получаемых с их помощью решения.
На рис. 1 показан общий вид тонкостенного элемента открытого профиля.
 |
| Рис. 1. Конечный элемент тонкостенного стержня |
Для учета эффектов стесненного кручения стержня в качестве дополнительного неизвестного вводится величина первой производной – 
, характеризующая депланацию поперечного сечения. В качестве соответствующего силового фактора выступает бимомент – 
. Таким образом в отличие от обычного пространственного стержня количество неизвестных перемещений в узле становится равным 7.
При построении «точной» матрицы жесткости за основу берется дифференциальное уравнение В.З. Власова для углов закручивания стержня постоянного сечения
 , | (1) |
где  – изгибно-крутильная характеристика. | |
На основе решения этого уравнения для защемленного стержня от единичных смещений концевых закреплений получаются элементы матрицы жесткости. При таком подходе, хорошо известном в литературе, элементы матрицы жесткости выражаются через сложные гиперболические функции.
При построении «приближенной» матрицы жесткости модель стержня представим состоящей из двух частей – одна работает только на изгибное кручение, другая только на свободное кручение. Объединяются они в узлах конечно-элементной системы.
Используем дифференциальное уравнение углов закручивания В.З. Власова в следующей форме
 | (2) |
Первоначально рассмотрим случай, когда 
(пренебрегаем жесткостью стержня при свободном кручении), в результате чего приходим к уравнению математически полностью совпадающим с уравнением изгиба стержня
 | (3) |
Используя эту аналогию и применяя традиционную конечно-элементную методику, получим приближенные значения для элементов матрицы жесткости, при этом используем соотношения изгибного кручения (таблица 1).
| Таблица 1 «Приближенная» матрица жесткости |
 |
При построении «уточненной» матрицы жесткости можно более точно учесть работу стержня при свободном кручении, используя традиционный конечно-элементный подход. Воспользуемся выражением для потенциальной энергии деформации стержня при стесненном кручении, которое имеет вид
 | (4) |
Примем функцию для углов закручивания в виде
 , | (5) |
где  ,  ,  ,  – базисные функции, в качестве которых приняты уравнения линий прогиба защемленного по концам стержня, вызванные единичными смещениями его опорных связей. | |
Элементы «уточненной» матрицы жесткости, соответствующие свободному кручению, вычисляются по формуле
 | (6) |
В таблице 2 приводятся элементы «уточненной» матрицы жесткости.
| Таблица 2 «Уточненная» матрица жесткости |
 |
В работе проводились исследования элементов «точной», «приближенной» и «уточненной» матриц жесткости, в результате которых наиболее эффективной оказалась «уточненная» матрица жесткости.
Это подтверждается решением задачи кручения консольного тонкостенного стержня, имеющее аналитическое решение для угла закручивания торца стержня и бимомента в заделке. На рис. 2 в графической форме представлены результаты проведенных численных исследований величины бимомента в заделке в зависимости от количества конечных элементов и некоторого интегрального параметра 
, связывающего жесткостные и геометрические свойства стержня. Величина 
менялась от 1 до 10, что соответствует реальным длинам стержней и их поперечным сечениям.
  |  |
| Рис. 2. Графические результаты оценки точности решения | |
Приведенные графики показывают, что данная матрица жесткости позволяет получать малую погрешность (до 5%) даже при небольшом числе элементов (3-5 элемента).
Полученный конечный элемент применялся при расчете плоско-пространственной системы (рис. 3). Длины всех стержней были взяты равными 300 см, поперечное сечение двутавр №60. Для этой задачи известно точное решение в сложных гиперболических функций. Данная задача решалась с помощью разработанного программного комплекса по расчету плоско-пространственных систем по двум моделям (5 элементов и 18 элементов). Было установлено, что даже первая модель дает приемлемые результаты (погрешность в пределах 1 %), вторая модель дает практически точное решение.
Данная задача решалась также с использованием программного комплекса ANSYS. Сравнение полученных результатов показало достаточную эффективность предложенной методики.
Конечно-элементная модель  | Деформированный вид  |
Эпюра В  | Эпюра М  |
Рис. 3. Конечно-элементная модель плоско-пространственной рамы, деформированный вид, эпюры внутренних усилий (бимомент и изгибающий момент)
Во второй главе рассматриваются вопросы построения матрицы геометрической жесткости тонкостенного стержня. Как известно, такие стержни особо чувствительны в отношении устойчивости равновесия. Потеря устойчивости таких стержней может происходить при центральном, внецентренном сжатии или растяжении, а также при поперечном изгибе. Важно отметить, что для некоторых типов сечений изгибно-крутильная форма потери устойчивости наступает при нагрузках значительно меньше Эйлеровых. Впервые это подробно показал в своих работах проф. В.З.Власов.
При получении матрицы геометрической жесткости за основу берутся уравнения В.З. Власова внецентренного сжатия тонкостенного стержня
   | (7) |
где погонные нагрузки и погонный крутящий момент имеют вид
   | (8) |
В этих уравнениях искомыми функциями являются перемещения 
, 
и угол закручивания 
, возникающие при потере устойчивости стержня. По аналогии с изгибом эти функции представляются в следующем виде
   , | (9) |
где  ,  ,  ,  – базисные функции, в качестве которых приняты уравнения линий прогиба защемленного по концам стержня, вызванные единичными смещениями его опорных связей. | |
Вычисление элементов матрицы геометрической жесткости производилось с применением теоремы о взаимности работ. Эта матрица в полном виде (14x14) приводится в этой главе и может быть использована другими авторами.
Тестирование полученной матрицы геометрической жесткости производилось на решении ряда задач. В качестве первого примера решалась задача о центральном сжатии стержня с коробчатым поперечным сечением (рис. 4). Данная задача взята из книги В.З. Власова.
 |
| Рис. 4. Изгибно-крутильная форма потери устойчивости |
Вычисления, проведенные с использованием полученной матрицы геометрической жесткости, показали достаточно хорошее совпадение с теоретическими и экспериментальными данными (таблица 3).
| Таблица 3 Результаты сравнения теоретических данных с экспериментом | |||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||
В качестве второго примера расчета стержневой системы на устойчивость рассматривалась пространственная рама со сжатой стойкой с поперечным сечением в виде сварного швеллера (рис. 5). Проводились исследования точности решения в зависимости от степени конечно-элементной дискретизации. Форма потери устойчивости (изгибно-крутильная) показана на рис. 6.
 |  |
| Рис. 5. Рама со сжатой стойкой | Рис. 6. Форма потери устойчивости |
В третьей главе рассматриваются вопросы построения матрицы инерционных характеристик (матрицы согласованных масс).
При получении элементов матрицы инерционных характеристик за основу берутся дифференциальные уравнения свободных колебаний В.З. Власова
   | (10) |
где погонные нагрузки и погонный крутящий момент имеют вид
   | (11) |
Вычисление элементов матрицы инерционных характеристик производилось с применением теоремы о взаимности работ. Эта матрица в полном виде (14x14) приводится в этой главе и может быть использована другими авторами.
С целью тестирования полученной матрицы инерционных характеристик решалась задача о колебаниях консольного стержня с сечением в виде двутавра и швеллера. Частоты собственных колебаний, полученные с использованием стержневой модели, сравнивались с частотами пластинчатых конечно-элементных моделей.
Также решалась задача о колебаниях пространственной рамы (рис. 5). На рис. 7 и 8 показаны первые две формы собственных колебаний. При решении этой задачи исследовалось влияние величины продольной силы в сжатой стойке на спектр частот собственных колебаний.
 |  |
| Рис. 7. Первая форма колебаний | Рис. 8. Вторая форма колебаний |
В четвертой главе рассматривается методика исследования упругопластического деформирования тонкостенных стержней открытого профиля. Задача решается в постановке простого нагружения, то есть в предположении, что все нагрузки увеличиваются пропорционально одному параметру. Возникновение эффектов разгрузки в некоторых частях конструкции в процессе нагружения не допускается. В качестве основного метода решения данной упругопластической задачи в такой постановке взят хорошо известный метод упругих решений в форме метода дополнительных нагрузок. Поскольку зависимость напряжений и деформаций материала нелинейная, организован итерационный процесс последовательных приближений для определения вектора 
. На каждом шаге итерационного процесса вычисляется вектор дополнительных реакций в элементах системы 
, который затем прикладывается к узлам в качестве нагрузки.
Итерирование производится по модифицированному методу Ньютона-Рафсона с неизменной матрицей жесткости. На каждой итерации уточняется вектор 
. Процесс прекращается, когда максимальная разность дополнительных реакций на двух соседних итерациях становится меньше заданного пользователем значения
 | (12) |
Для рассматриваемого элемента (рис. 9) напряжения будут равны
 ;  ;  ;  ;  ;  . | (13) |
В качестве диаграммы напряжений - деформаций примем диаграмму Прандтля, соответствующей материалу с ясно выраженной площадкой текучести (рис. 10).
 |  |
| Рис. 9. Внутренние усилия в стержне | Рис. 10. Диаграмма Прандтля |
Исходя из зависимости между напряжениями и деформациями определим дополнительные напряжения 
, как разность упругих и реальных напряжений, взятых с диаграммы деформирования. Проинтегрировав дополнительные напряжения по площади поперечного сечения, получаем дополнительные усилия
 ;  ;  ;  . | (14) |
В пределах каждого конечного элемента производится разбиение на n участков и на границе каждого участка вычисляются дополнительные усилия, таким образом получаем эпюры дополнительных усилий.
Далее необходимо вычислить внешние реакции, уравновешивающие полученные внутренние усилия.
Внешние реакции в виде продольных сил равны площади эпюры 
, деленной на длину стержня
 | (15) |
Внешние реакции в виде изгибающих моментов и поперечных сил вычисляются следующим образом. Эпюра изгибающих моментов 
аппроксимируется полигональной кривой, для которой на каждом участке вычисляются поперечные силы 
 | (16) |
Разности этих сил на граничащих участках дают внешние силы 
(рис. 11).
Полные реакции определяются как сумма реакций от загружения стержня силами 
.
 |     |
| Рис. 11. Вычисление дополнительных усилий | |
Такой же подход используется и для вычисления внешних реакций в виде бимомента и крутящего момента. Эпюра бимомента 
аппроксимируется полигональной кривой, для которой на каждом участке вычисляются крутящие моменты 
 | (17) |
Разности этих моментов на граничащих участках дают внешние моменты 
.
Полные реакции определяются как сумма реакций от загружения стержня моментами 
    | (18) |
Полученные реакции заносятся в общий вектор дополнительных реакций 
, который в дальнейшем прикладывается к узлам системы в качестве дополнительной нагрузки.
Приведем результаты решения задачи упругопластического деформирования двутаврового стержня при кручении. В расчете стержень разбивался на десять конечных элементов. Из графиков следует хорошее качественное совпадение решений, однако имеется некоторое превышение результатов теоретического исследования над данными эксперимента (расхождение в пределах 15 %). Графики построены на отрезке оси абсцисс, начиная с упругопластической стадии.
 |  |
| Рис. 12. Расчетная схема и графики изменения угла закручивания торцевого сечения (1 – численные значения (автор) 2 – численные значения (ANSYS) 3 – экспериментальные значения) | |
Также рассматривалась задача упругопластического деформирования двутаврового стержня при изгибе и кручении. В расчете стержень разбивался на десять конечных элементов. Из графиков следует хорошее качественное совпадение решений, однако имеется некоторое превышение результатов теоретического исследования над данными эксперимента (расхождение в пределах 10 %).
 |  |
| Рис. 13. Расчетная схема и графики изменения угла закручивания торцевого сечения (1 – численные значения (автор) 2 – численные значения (ANSYS) 3 – экспериментальные значения) | |
Основные выводы и результаты
- Разработаны методика и алгоритмы построения матриц упругой жесткости конечного элемента тонкостенного стержня открытого профиля, при этом рассмотрены точная, приближенная и уточненная модели и проведен их сравнительный анализ.
- На основе предложенной модели конечного элемента тонкостенного стержня построена матрица геометрической жесткости применительно к случаю центрального и внецентренного сжатия или растяжения, а также поперечного изгиба.
- Получена матрица инерционных характеристик для решения задач собственных колебаний систем, состоящих из тонкостенных стержней открытого профиля.
- Разработаны методика и алгоритмы исследования деформированного состояния тонкостенных стержней открытого профиля в упругопластической стадии.
- Разработанные алгоритмы реализованы в виде программы по расчету плоско-пространственных систем из тонкостенных стержней открытого профиля на прочность, устойчивость и колебания.
Основные положения диссертации и результаты исследований
изложены в следующих работах:
- Александров А.В., Осокин А.В., Александров А.А. Развитие метода конечных элементов для систем тонкостенных прямолинейных и криволинейных стержней // Academia. Архитектура и строительство. Научно-технический журнал. № 4. – М.: 2006. – С. 78 – С. 82.
- Александров А.В., Осокин А.В. Разработка матриц упругой и геометрической жесткости тонкостенного стержня открытого профиля при изгибе и стесненном кручении // Вестник МИИТа. Научно-технический журнал. № 15. – М.: 2006. – С. 50 – С. 59.
- Осокин А.В. Разработка матрицы жесткости для тонкостенного стержня открытого профиля при изгибе и стесненном кручении // Труды научно-практической конференции Неделя науки – 2006 «Наука МИИТа – транспорту» – М.: МИИТ, 2006. – С. VII – 6 – VII – 7.
- Александров А.В., Осокин А.В., Александров А.А. Развитие метода конечных элементов для систем тонкостенных прямолинейных и криволинейных стержней // 65 научно-методическая и научно-исследовательская конференция МАДГТУ (МАДИ) Сборник научных трудов МАДГТУ (МАДИ) – М.: 2007.
- Осокин А.В. Колебания систем, содержащих тонкостенные стержни открытого профиля // Труды научно-практической конференции Неделя науки – 2007 «Наука МИИТа – транспорту» – М.: МИИТ, 2007. – С. II – 26 – II – 27.
- Осокин А.В. Развитие метода конечных элементов применительно к задачам динамики систем тонкостенных стержней открытого профиля // 66 научно-методическая и научно-исследовательская конференция МАДГТУ (МАДИ) Сборник научных трудов МАДГТУ (МАДИ) – М.: 2008. – С. 24.
- Осокин А.В. Конечно-элементная методика исследования упругопластического деформирования тонкостенных стержней открытого профиля // Труды научно-практической конференции Неделя науки – 2008 «Наука МИИТа – транспорту» – М.: МИИТ, 2008.
- Осокин А.В. Конечно-элементная методика исследования упругого и упругопластического деформирования тонкостенных стержней открытого профиля // Московская городская конференция молодых ученых «Современные проблемы инженерных исследований» – М.: РУДН, 2008. – С. 30.
- Осокин А.В. Методика исследования упругопластического деформирования тонкостенных стержней открытого профиля при изгибе и стесненном кручении // 68 научно-методическая и научно-исследовательская конференция МАДГТУ (МАДИ) Сборник научных трудов МАДГТУ (МАДИ) – М.: 2010. – С. 19 – С.20.
- Осокин А.В. Исследование упругопластического и предельного состояний элементов тонкостенных конструкций при сложном сопротивлении // Труды VII международной научно-практической конференции «Trans-Mech-Art-Chem» – М.: МИИТ, 2010. – С. 260 – С. 261.
ОСОКИН Андрей Владимирович
РАЗВИТИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ДЛЯ РАСЧЕТА СИСТЕМ, ВКЛЮЧАЮЩИХ
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
Специальность 05.23.17 – Строительная механика
__________________________________________________________
Подписано к печати Формат 60х80 1/16
Объем 1,5 п.л. Заказ Тираж 80 экз.
__________________________________________________________
Типография МИИТ 127994, ГСП-4, Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9
