Оптимизация изменений масс при ограничениях на величину частоты собственных колебаний
Томский государственный
архитектурно-строительный университет
На правах рукописи
Фурсова Наталия Александровна
ОПТИМИЗАЦИЯ ИЗМЕНЕНИЙ МАСС
ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ВЕЛИЧИНУ ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Специальность 05.23.17 – Строительная механика
АВТОРЕФЕРАТ
на соискание ученой степени кандидата технических наук
Томск – 2005
Работа выполнена на кафедре строительной механики Томского государственного архитектурно-строительного университета.
Научный руководитель: доктор технических наук, профессор, академик РААСН
Ляхович Леонид Семёнович
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Гребенюк Григорий Иванович
кандидат технических наук, доцент
Подшивалов Иван Иванович
Ведущая организация: Проектно-научно-технический центр “Вогтехпроект”
Защита состоится 23 декабря 2005г. В 1400 на заседании диссертационного совета Д 212.265.01 при Томском государственном архитектурно-строительном университете.
г. Томск, пл. Соляная, 2, ауд.317/5.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного архитектурно-строительного университета.
Автореферат разослан ноября 2005г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Скрипникова Н.К.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В процессе эксплуатации сооружения возникает необходимость догружения или разгрузки сооружения, что приводит к изменению частотных характеристик. Как правило, необходимо проводить оба процесса таким образом, чтобы собственные частоты находились в заданных пределах. При этом в случае догружения сумма дополнительных масс должна быть максимальной, а в случае разгружения минимальной.
В настоящее время надежных критериев обеспечивающих решение данной задачи не выявлено. Таким образом, оптимизация процесса нагружения или разгрузки при условии изменения частотных характеристик в заданных пределах не теряет своей актуальности.
Очевидно, что одним из путей решения данной проблемы является использование теории оптимального проектирования конструкций (ОПК). Свое развитие теория оптимального проектирования получила в середине прошлого века.
Большой вклад в становление и развитие теории ОПК внесли отечественные ученные Н.В.Баничук, А.И.Виноградов, Л.Н.Воробьев, Ю.Б.Гольдштейн, Г.И.Гребенюк, В.А.Киселев, В.А.Комаров, И.Б.Лазарев, Л.С.Ляхович, В.П.Малков, Д.А.Мацюлявичус, Ю.В.Немировский, Е.Л.Николаи, И.М.Рабинович, Ю.А.Радциг, А.Р.Ржаницин, А.П.Сейранян, Н.Н.Складнев, А.Ф.Смирнов, В.А.Троицкий, А.П.Филин, А.П.Филиппов, К.М.Хуберян, Н.Г.Ченцов, А.П.Чижас, А.А.Чирас и другие. Среди зарубежных ученых наибольший вклад внесли Я.Арора, З.Васютынский, Б.Карихало, Д.Келлер, М.Леви, З.Мруз, А.Мичелл, Ф.Ниордсон, Н.Олльхофф, В.Прагер, Д.Рожваны и другие.
В рамках теории ОПК создан ряд методов по ее реализации. Значительный вклад в создание методов теории ОПК внесли Б.В.Гринев, Ю.М.Почтман, Н.Д.Сергеев, Малеткин О.Ю., Малиновский А.П., Д.Тейлор, М.Тернер, Э.Хог, Р.Шилд, а также многие другие ученые. В трудах перечисленных ученых получено решение целого ряда задач.
Целью работы является выявление особых свойств форм собственных колебаний при нагружении или разгрузке при условии изменения собственной частоты в заданных пределах, а также использование выявленных свойств для оптимизации изменения масс.
Научная новизна работы: выявлены особые свойства формы собственных колебаний при решении задачи о максимальном догружении и минимальном разгружении и ограничениях на величину частоты собственных колебаний.
Практическое значение работы заключается в следующем:
-выявленные свойства служат основой для разработки методов определения мест и величин дополнительных или снимаемых масс с учетом ограничений по частоте собственных колебаний.
- предложенные методы положены в основу алгоритмов, которые позволяют решать поставленные задачи и при этом гарантируют оптимальность полученного решения.
Апробация работы. Материалы диссертации были доложены и обсуждены на научно-технических конференциях Томского государственного архитектурно-строительного университета (2000-2005 гг.) Работа докладывалась на научных семинарах кафедры строительной механики ТГАСУ под руководством академика РААСН, профессора Л.С. Ляховича (2000 - 2004 гг.)
Публикации. По теме диссертации опубликовано три работы.
На защиту выносятся:
- выявленные особые свойства форм первых собственных колебаний.
- алгоритм реализации особых свойств форм собственных колебаний при максимальном нагружении или минимальном разгружении при ограничении на величину частоты собственных колебаний.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Содержит 113 страниц, список использованной литературы включает 120 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования.
В первой главе приведен обзор и анализ работ, посвященных методам оптимального изменения нагрузок, их месту и роли в динамике сооружений.
На основе проведенного анализа сформулированы цели и задачи диссертационной работы.
Также приведен выбор и обоснование расчетной схемы, используемой в дальнейшем расчете.
Во второй главе приведена постановка задачи для случаев догружения и разгружения.
Постановка задачи при оптимизации величин и мест расположения дополнительных нагрузок.
Пусть заданы места возможного расположения дополнительных масс (1,2,…,i,…n1). Требуется из возможных выбрать места расположения дополнительных масс и подобрать их величины М1d[i] (i =1,2,…n1) таким образом, чтобы
М1s=
М1d[i]
max (1).
При этом возможности увеличения масс ограничены условием, что величина первой собственной частоты 1 не должны оказаться меньше заданной величины 01.
1
01 (2).
Кроме ограничения (2) очевидно требование неотрицательности дополнительных масс:
М1d[i] 
0 (i =1,2,…n1) (3).
Также вводятся ограничения на величину каждой из них. Эти ограничения записываются в виде:
М1d[i]
dM1[i] (i =1,2,…n1) (4).
Таким образом, при нагружении сооружения допустимым является такой набор дополнительных масс, при котором выполняются ограничения (2),(3),(4).
Оптимальным при нагружении будет такой набор дополнительных масс, при котором выполняются условия (2),(3),(4), а сумма (1) достигает максимального значения.
Постановка задачи при оптимизации величин и мест расположения снимаемых нагрузок.
Пусть заданы места возможного расположения снимаемых масс (1,2,…,i,…n2). Требуется из возможных выбрать места расположения снимаемых масс и подобрать их величины М2d[i] (i =1,2,…n2)таким образом, чтобы
М2s=
М2d[i]
min. (5).
При этом возможности снятия масс ограничены условием, что величина первой собственной частоты 1 не должны оказаться больше заданной величины 02.
1
02 (6).
Кроме ограничения (6), здесь, как и при нагружении, вводится требование неотрицательности снимаемых масс:
М2d[i] 
0 (i =1,2,…n2) (7).
А также ограничения на величину каждой из них. Эти ограничения записываются в виде:
М2d[i]
dM2[i] (i =1,2,…n2) (8).
Таким образом, при разгрузке сооружения допустимым является такой набор снимаемых масс, при котором выполняются ограничения (6),(7),(8).
Оптимальным при разгрузке будет такой набор снимаемых масс, при котором выполняются условия (6),(7),(8), а сумма (5) достигает минимального значения.
Во второй главе выявлены особые свойства форм собственных колебаний при оптимальном изменении нагрузки.
Рассмотрим задачу о поиске оптимального набора дополнительных масс при нагружении системы для случая, когда ограничение (2) активное, а (3) и (4) остаются пассивными.
Поскольку рассматриваются только сосредоточенные массы, то задача сводится к конечномерной с размерностью n1, а при разгрузке n2.
Процесс собственных колебаний при выполнении (2) в виде равенства может быть описан уравнением доставляющем минимум функции:
F1=U-T-
M1d[i]*(1)2*(y1[i])2 (9).
Здесь U-потенциальная энергия системы, T- кинетическая энергия системы без дополнительных масс,
M1d[i]*(1)2*(y1[i])2-кинетическая энергия дополнительных масс при собственных колебаниях сооружения, 1=01-первая частота собственных колебаний, y1[i]- ординаты формы собственных колебаний в точках приложения дополнительных масс.
Очевидно, что рассматриваемая задача может быть сформулирована как задача об условном экстремуме функции F01=M1s-*F1.
Здесь - множитель Лагранжа. Решением задачи об условном экстремуме функции F01 будет форма собственных колебаний при 1=01 и набор масс M1d[i] (i=1,2,…,n1), придающих функции цели M1s=
M1d[i] максимальное значение.
В развернутой форме функция F01 запишется в виде: F01=
M1d[i]-*( U-T-
M1d[i]*( 1)2*(y1[i])2) (10).
Среди условий экстремума функции (10) будут уравнения:
F01/ M1d[i]=0 (i=1,2,…,n1) (11)
В развернутой форме уравнения (11) принимают вид:
1-*(1)2*(y1[i])2=0 (i=1,2,…,n1), что приводит к условиям *(1)2*(y1[i])2=1 или
(y1[i])2=const (i=1,2,…,n1) (12).
Условия (12) определяют особые свойства формы собственных колебаний при выполнении ограничения (2) на соответствующую собственную частоту в виде равенства, а ограничений (3) и (4) в виде неравенств.
Таким образом, при оптимальном наборе дополнительных масс, когда условие (2) выполняется в виде равенства, а условия (3) и (4), как неравенства, квадраты ординат формы собственных колебаний под дополнительными массами равны между собой.
Свойства представляют равенство абсолютных величин, но проблема знаков остается. Если количество варьируемых масс не большое, то возможен простой перебор. Если же количество большое, то можно использовать методы направленного перебора. При полном переборе количество вариантов составляет 2n-1, где n- количество узлов с дополнительными массами. Обычно удобнее использовать знаки соответствующие начальной форме колебаний. Как правило, это быстро приводит искомому результату.
Аналогичные результаты получаются и для задачи о поиске оптимального набора снимаемых масс при разгрузке системы для случая, когда ограничение (6) активное, а (7) и (8) остаются пассивными:
(y2[i])2=const (i=1,2,…,n1) (13).
В третьей главе выведены уравнения оптимальных величин дополнительных и снимаемых масс на основе метода перемещений. Приводится метод последовательных приближений в оптимизации величин и мест расположения дополнительных и снимаемых грузов на основе реализации особых свойств форм собственных колебаний.
В работе рассматривается континуальная и дискретная модели стержня.
Для реализации особых свойств форм собственных колебаний используется метод перемещений. Основная система образуется из заданной путем постановки связей по возможным направлениям движения дополнительных или снимаемых масс. Переход от заданной системы к основной системе связан с необходимостью решения промежуточной задачи, вычисления коэффициентов метода перемещений выбранной системы. Эта задача решается традиционными методами.
Случай догружения. На рисунке 1-а показана заданная система метода перемещений. Дополнительные массы могут быть расположены в узлах (1,2,…,i,…n1). Основная система метода перемещений показана на рисунке 1-в.
Уравнения метода перемещений записываются в виде (14).
[r11-(01)2*(My[1]+M1d[1])]*y1[1]+r12*y1[2]+…+r1n1*y1[n1]=0
r21*y1[1]+[r22-(01)2*(My[2]+M1d[2])]*y1[2]+…+r2n1*y1[n1] =0
…………………………………………………… (14)
rn11*y1[1]+rn12*y1[2]+…+[rn1n1-(01)2*(My[n1]+M1d[n1])]*y1[n1]=0
Где, r[i,k] – реакция в i-ой связи от единичного перемещения k- той связи, y1[k]- перемещение k-ой массы, Mу[i]- i-ая масса системы, а M1d[i] является искомой дополнительной массой.
Найдем искомые величины дополнительных масс с учетом ограничения на величину частоты собственных колебаний.
При отыскании оптимального набора дополнительных масс используем особые свойства форм собственных колебаний. Абсолютные значения амплитуд под дополнительными массами, не достигшими предельного значения равны между собой (12). Используя данные свойства, подставляем y1[i] в (15) и находим искомые дополнительные массы. Так как они определены до постоянного множителя, то и значение может быть любым. Удобнее принимать единицу. В главе 2 даются рекомендации по выбору сочетания знаков y1[i].
M1d[1]={(r11*(01)2*My[1])*y1[1]+r12*y1[2]+…+r1n*y1[n]}/{(01)2*y1[1]}
M1d[2]={r21*y1[1]+(r22*(01)2*My[2])*y1[2]+…
+r2n1*y1[n1]}/{(01)2*y1[2]} ……………………………………………………………………… (15)
M1d[n1]={rn11*y1[1]+…+(rn1n1-(01)2*My[n1])*y1[n1]}/{(01)2*y1[n1]}
Случай разгружения. Расчет реализуется аналогично случаю догружения, за исключением системы выражений (16) для нахождения величин снимаемых масс на основе метода перемещений.
M2d[1]={(r11(02)2*My[1])*y2[1]+r12*y2[2]+…
+r1n2*y2[n2]}/{(02)2*y2[1]}
…………………………………………………………………… (16)
M2d[n2]=-{rn21*y2[1]+…+(rn2n2-(02)2*My[n2])*y2[n2]}/{(02)2*y2[n2]}
Случай догружения. Расчет разбивается на этапы. На каждом этапе выполняется несколько итераций. На первой итерации первого этапа используем условие (y1[i])2=const (i=1,2,…,n1) соответственно по отношению ко всем узлам, где могут размещаться дополнительные массы. Принимаем величины y1[i] соответственно равными: 1 или -1, затем подставляем в уравнения движения (15) метода перемещений. Знак выбирается, как правило, соответствующий форме колебаний, что приводит к более быстрому получению результата. Из этих уравнений находим величины дополнительных масс. Найденные массы могут нарушать ограничения. Часть из них может быть отрицательна, а часть больше допустимых значений. При переходе к следующей итерации положительные массы, величины которых больше предельных полагаются равными им и переводятся в заданные. Соответствующие узлы в дальнейших итерациях и этапах в качестве точек размещения дополнительных масс не рассматриваются. Отрицательные массы полагаются нулевыми. Этап продолжается пока все массы итерации не окажутся положительными. Если найденные дополнительные приводят к выполнению условия 1
01 в виде равенства, то оптимальное решение получено. Если же оказывается, что 1
01, то переходим к следующему этапу. Аналогично предыдущему этапу все предельные дополнительные массы переводятся в заданные, а отрицательные полагаются нулевыми и соответствующие узлы на следующих итерациях этапа не рассматриваются. В качестве точек размещения дополнительных масс рассматриваются оставшиеся узлы. Расчет продолжается пока условие 1
01 выполнится в виде равенства.
Подобным образом реализуется случай разгружения.
Так же как и в случае догружения может рассматриваться как континуальная, так и дискретная модели. Затем расчет осуществляется на основе уравнений движения (15) метода перемещений.
Далее расчет разбивается на этапы аналогичные случаю догружения, процесс продолжается до тех пор, пока условие 1
02 не выполнится в виде равенства.
Основная идея данного метода реализована в виде программного продукта, составленного на языке Pascal. Просчитан ряд примеров и получены результаты, которые приведены ниже.
В четвертой главе показаны некоторые возможности метода на ряде примеров, а также его использование для оценки решения полученного другими методами.
Пример 1
Случай догружения. Требуется разместить дополнительные массы в узлах 7, 10, 16 и 19 с максимально возможной их суммой при условии уменьшения первой собственной частоты не более чем на 5 %. Таким образом, для данного примера 01=0.95*1=0.95*26.3298 =25.0133. Заданная масса в седьмом узле составляет My[7]=700 единиц, в десятом My[10]=600 единиц, в шестнадцатом My[16]=800 единиц и в девятнадцатом My[19]=900 единиц. Принято, что величина дополнительной массы в каждом из узлов не должна превышать 0.95 от первоначально приложенной массы. Таким образом, величины дополнительных масс ограничены dM1[7]= 0.95*700=665, dM1[10]= 0.95*600=570, dM1[16]= 0.95*800=760 и dM1[19]= 0.95*900=855. Для получения уравнений движения дополнительных масс при собственных колебаниях с уменьшенной частотой 01= 25.0133 образуем из заданной системы (рис. 2) основную систему метода перемещений.
Далее подставив в (15), в соответствии с условиями (12) и знаками ординат начальной формы собственных колебаний- y1[7]=-1, y1[10]=-1, y1[16]=-1 и y1[19]=-1, находим искомые массы.
Исходные данные и результаты расчета приведены в таблице 1.
Сумма дополнительных масс Ms1=914.4958, уменьшенная собственная частота 01=25.0133, что соответствует выполнению ограничения (2) в виде равенства. Как видно из таблицы 1 ограничения (3) и (4) пассивные. Ординаты собственной формы при найденных дополнительных массах (узлы 7 и 19) равны по абсолютной величине, что соответствует условиям (12).
Случай разгружения. Пусть снимаемые массы расположены в узлах 7,10, 16 и 19 с минимально возможной их суммой, при условии увеличения первой собственной частоты не более чем на 5 %. Таким образом, для данного примера 02=1.05*1=1.05*26.3298=27.6463. Заданная масса в седьмом узле составляет My[7]=700 единиц, в десятом My[10]=600 единиц, в шестнадцатом My[16]=800 единиц и в девятнадцатом My[19]=900 единиц.
Таблица 1
| № | My [i] | Y | Догружение | Разгружение | ||||
| dM1 | M1d | Y01 | dM2 | M2d | Y02 | |||
| 1 | 100 | -0.0176 | 0 | 0 | -0.0178 | 0 | 0 | -0.0178 |
| 2 | 100 | -0.0526 | 0 | 0 | -0.0531 | 0 | 0 | -0.0530 |
| 3 | 100 | -0.0868 | 0 | 0 | -0.0876 | 0 | 0 | -0.0875 |
| 4 | 100 | -0.1196 | 0 | 0 | -0.1207 | 0 | 0 | -0.1205 |
| 5 | 100 | -0.1506 | 0 | 0 | -0.1519 | 0 | 0 | -0.1517 |
| 6 | 100 | -0.1796 | 0 | 0 | -0.1807 | 0 | 0 | -0.1805 |
| 7 | 700 | -0.2052 | 665 | 642.7 | -0.
2066 | 630 | 0 | -0.2064 |
| 8 | 100 | -0.2279 | 0 | 0 | -0.2291 | 0 | 0 | -0.2290 |
| 9 | 100 | -0.2469 | 0 | 0 | -0.2479 | 0 | 0 | -0.2479 |
| 10 | 600 | -0.2621 | 570 | 0 | -0.2628 | 540 | 42.4 | -0.2629 |
| 11 | 100 | -0.2732 | 0 | 0 | -0.2735 | 0 | 0 | -0.2737 |
| 12 | 100 | -0.2800 | 0 | 0 | -0.2800 | 0 | 0 | -0.0178 |
| 13 | 100 | -0.2825 | 0 | 0 | -0.2822 | 0 | 0 | -0.2824 |
| 14 | 100 | -0.2807 | 0 | 0 | -0.2801 | 0 | 0 | -0.2802 |
| 15 | 100 | -0.2744 | 0 | 0 | -0.2736 | 0 | 0 | -0.2737 |
| 16 | 800 | -0.2638 | 760 | 0 | -0.2629 | 720 | 440.7 | -0.2629 |
| 17 | 100 | -0.2490 | 0 | 0 | -0.2480 | 0 | 0 | -0.2480 |
| 18 | 100 | -0.2301 | 0 | 0 | -0.2292 | 0 | 0 | -0.2291 |
| 19 | 900 | -0.2076 | 855 | 271.7 | -0.2066 | 810 | 0 | -0.2066 |
| 20 | 100 | -0.1816 | 0 | 0 | -0.1807 | 0 | 0 | -0.1807 |
| 21 | 100 | -0.1527 | 0 | 0 | -0.1519 | 0 | 0 | -0.1520 |
| 22 | 100 | -0.1213 | 0 | 0 | -0.1207 | 0 | 0 | -0.1207 |
| 23 | 100 | -0.0880 | 0 | 0 | -0.0876 | 0 | 0 | -0.0876 |
| 24 | 100 | -0.0534 | 0 | 0 | -0.0531 | 0 | 0 | -0.0531 |
| 25 | 100 | -0.0179 | 0 | 0 | -0.0178 | 0 | 0 | -0.0178 |
Принято, что величина снимаемой массы в каждом из узлов не должна превышать половины первоначально приложенной массы. Таким образом, величины снимаемых масс ограничены dM2[7]=0.9*700=630, dM2[10]=0.9*600=540, dM2[16]= 0.9*800=720, dM2[19]= 0.9*900=810.
Для получения уравнений движения снимаемых масс при собственных колебаниях с увеличенной частотой 02= 27.6463 образуем из заданной системы (рис. 2) основную систему метода перемещений. Используем ту же основную систему, что и в случае догружения.
Далее подставив в (16) и условиями (13) и знаками ординат начальной формы собственных колебаний- y2[7]=-1, y2[10]=-1, y2[16]=-1, y2[19]=-1, находим искомые массы. Исходные данные и результаты расчета приведены в таблице 1.
Сумма снимаемых масс Ms2=483.0422. Увеличенная собственная частота 02=27.6463, что соответствует выполнению ограничения (6) в виде равенства. Как видно из таблицы 2 ограничения (7) и (8) пассивные. Ординаты собственной формы при найденных снимаемых массах (узлы 7 и 16) равны по абсолютной величине.
Пример 2
Случай догружения. Требуется разместить дополнительные массы во всех узлах с максимально возможной их суммой при условии уменьшения первой собственной частоты не более чем на 10 %. Таким образом, для данного примера 01=0.9*1=0.9*6.2851 =5.6566. Заданные массы в узлах первого пролета составляют 200 единиц, а второго 600. Принято, что величина дополнительной массы в каждом из узлов не должна превышать 0.75 первоначально приложенной массы. Таким образом, величины дополнительных масс ограничены от dM1[1] до dM1[10]=0.75*200=150, а от dM1[12] до dM1[20]= 0.75*600=450.
Для получения уравнений движения дополнительных масс при собственных колебаниях с уменьшенной частотой 01=5.6566 образуем из заданной системы (рис. 3) основную систему метода перемещений.
Далее подставив в (15), в соответствии с условиями (12) и знаками ординат начальной формы собственных колебаний - от y1[1] до y1[10]=-1, а от y1[12] до y1[20]= 1, находим искомые массы.
Сумма дополнительных масс на первом этапе Ms1=1200, на втором Ms1=2400, на третьем Ms1=3000, на четвертом Ms1=3150 и на пятом этапе Ms1=3306.71. Уменьшенная собственная частота на первом этапе 01=6.2168, на втором 01=5.9593, на третьем 01=5.7870, на четвертом 01=5.7178, и на пятом 01=5.6566, что соответствует выполнению ограничения (2) на последнем этапе в виде равенства. Как видно из таблицы 2 ограничения (3) и (4) на первых пяти этапах активные, а на последнем шестом этапе пассивные. Ординаты собственной формы при найденных дополнительных массах равны по абсолютной величине: y1[4] = y1[17], что соответствует условиям (12).
Случай разгружения. Массы могут сниматься во всех узлах, кроме опорных. Требуется определить величины снимаемых масс с минимально возможной их суммой при условии увеличения первой собственной частоты не более чем на 10 %. Таким образом, для данного примера 02=1.1*1=1.1*6.2851=6.9136. Заданные массы в узлах первого пролета составляют 200 единиц, а второго 600. Принято, что величина снимаемой массы в каждом из узлов не должна превышать 0.75 первоначально приложенной массы. Таким образом, величины снимаемых масс ограничены от dM2[1] до dM2[10]=0.75*200=150, а от dM2[12] до dM2[20]=0.75*600=450.
Таблица 2
| № | My [i] | dM1 | M1d по этапам | Y1 | Y01 | ||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |||||
| 0 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -0.0000 | 0.0000 |
| 1 | 200 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | -0.0464 | -0.0470 |
| 2 | 200 | 150 | 0 | 150 | 150 | 150 | 150 | -0.1353 | -0.1369 |
| 3 | 200 | 150 | 0 | 0 | 150 | 150 | 150 | -0.2126 | -0.2145 |
| 4 | 200 | 150 | 0 | 0 | 0 | 0 | 20.8 | -0.2718 | -0.2733 |
| 5 | 200 | 150 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.3076 | -0.3087 |
| 6 | 200 | 150 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -0.3167 | -0.3178 |
| 7 | 200 | 150 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -0.2981 | -0.2996 |
| 8 | 200 | 150 | 0 | 0 | 0 | 150 | 150 | -0.2526 | -0.2546 |
| 9 | 200 | 150 | 0 | 150 | 150 | 150 | 150 | -0.1834 | -0.1852 |
| 10 | 200 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | -0.0952 | -0.0963 |
| 11 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.0057 | 0.0056 |
| 12 | 600 | 450 | 450 | 450 | 450 | 450 | 450 | 0.1128 | 0.1129 |
| 13 | 600 | 450 | 0 | 450 | 450 | 450 | 450 | 0.2092 | 0.2081 |
| 14 | 600 | 450 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.2806 | 0.2773 |
| 15 | 600 | 450 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.3169 | 0.3126 |
| 16 | 600 | 450 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.3141 | 0.3106 |
| 17 | 600 | 450 | 0 | 0 | 0 | 0 | 135.9 | 0.2743 | 0.2733 |
| 18 | 600 | 450 | 0 | 0 | 450 | 450 | 450 | 0.2065 | 0.2080 |
| 19 | 600 | 450 | 0 | 450 | 450 | 450 | 450 | 0.1252 | 0.1274 |
| 20 | 600 | 450 | 450 | 450 | 450 | 450 | 450 | 0.0492 | 0.0505 |
| 21 | 600 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.0000 | 0.0000 |
| 22 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.0000 | 0.0000 |
Для получения уравнений движения снимаемых масс при собственных колебаниях с увеличенной частотой 02= 6.9136 образуем из заданной системы основную систему метода перемещений, как и в случае догружения (рис. 3). Решение в целом реализуется аналогично предыдущему. Результаты приведены в таблице 3.
Сумма снимаемых масс на первом этапе Ms2=600, на втором Ms2=684.53. Увеличенная собственная частота на первом этапе 02=6.8255, на втором 02=6.9136, что соответствует выполнению ограничения (6) виде равенства. Как видно из таблицы 3 ограничения (7) и (8) на первом этапе активные, а на втором этапе пассивные. Ординаты собственной формы при найденных на втором этапе дополнительных массах равны по абсолютной величине.
Таблица 3
| № | My[i] | dM2 | Md2 | Y1 | Y01 | |
| 1 | 2 | |||||
| 0 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.0000 | 0.0000 |
| 1 | 200 | 150 | 0 | 0 | -0. 0464 | 0.0475 |
| 2 | 200 | 150 | 0 | 0 | -0.1353 | 0.1383 |
| 3 | 200 | 150 | 0 | 0 | -0.2126 | 0.2168 |
| 4 | 200 | 150 | 0 | 0 | -0.2718 | 0.2763 |
| 5 | 200 | 150 | 0 | 20.50 | -0.3076 | 0.3116 |
| 6 | 200 | 150 | 150 | 150 | -0.3167 | 0.3201 |
| 7 | 200 | 150 | 0 | 0 | -0.2981 | 0.3013 |
| 8 | 200 | 150 | 0 | 0 | -0.2526 | 0.2555 |
| 9 | 200 | 150 | 0 | 0 | -0.1834 | 0.1855 |
| 10 | 200 | 150 | 0 | 0 | -0.0952 | 0.0962 |
| 11 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.0057 | -0.0058 |
| 12 | 600 | 450 | 0 | 0 | 0.1128 | -0.1134 |
| 13 | 600 | 450 | 0 | 0 | 0.2092 | -0.2091 |
| 14 | 600 | 450 | 0 | 0 | 0.2806 | -0.2783 |
| 15 | 600 | 450 | 0 | 64.03 | 0.3169 | -0.3116 |
| 16 | 600 | 450 | 450 | 450 | 0.3141 | -0.3067 |
| 17 | 600 | 450 | 0 | 0 | 0.2743 | -0.2683 |
| 18 | 600 | 450 | 0 | 0 | 0.2065 | -0.2027 |
| 19 | 600 | 450 | 0 | 0 | 0.1252 | -0.1234 |
| 20 | 600 | 450 | 0 | 0 | 0.0492 | -0.0487 |
| 21 | 600 | 0 | 0 | 0 | 0.0000 | 0.0000 |
| 22 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.0000 | 0.0000 |
Пример 3
Дана шарнирно опертая пластина с размерами сторон 6 м и толщиной 0.1 м и опорой в 17 узле (рис. 4).
Случай догружения. Требуется разместить дополнительные массы в узлах: 1, 5,21 и 25 с максимально возможной их суммой при условии уменьшения первой собственной частоты не более чем на 5 %. Таким образом, для данного примера 01=0.9*1=2.3196. Заданные массы в узлах составляют 500 единиц. Величины дополнительных масс ограничены dM1[1]= 2*500=1000, а dM1[5]= 2*500=1000, dM1[21]= 2*500=1000 и dM1[25]= 2*500=1000.
Для получения уравнений движения дополнительных масс при собственных колебаниях с уменьшенной частотой 01=2.3196 образуем из заданной системы (рис. 4) основную систему метода перемещений.
Далее подставив в (15), в соответствии с условиями (12) и знаками ординат начальной формы собственных колебаний- y1[1]=1 и y1[5]=1, y1[21]=-1 и y1[21]=1 находим искомые массы.
Исходные данные и результаты расчета приведены в таблице 4.
Сумма дополнительных масс Ms1=2578.2005. Уменьшенная собственная частота 01=2.3196, что соответствует выполнению ограничения (2) в виде равенства. Как видно из таблицы 1 ограничения (3) и (4) пассивные. Ординаты собственной формы при найденных дополнительных массах равны по абсолютной величине, что соответствует условиям (12).
Случай разгружения. Дана шарнирно опертая пластина с размерами сторон 6 м и толщиной 0.1 м и опорой в 17 узле (рис. 4).
Пусть снимаемые массы расположены в узлах 1, 5, 21 и 25 с минимально возможной их суммой при условии увеличения первой собственной частоты не более чем на 5 %.
Исходные данные и результаты расчета приведены в таблице 4.
Таким образом, для данного примера 02=1.05*1= 2.5637. Заданные массы в узлах составляют 500 единиц. Величины снимаемых масс ограничены dM2[1]=0.75*500=375, а dM2[5]= 0.75*500=375, dM2[21]= 0.75*500=375 и dM2[25]= 0.75*500=375.
Для получения уравнений движения снимаемых масс при собственных колебаниях с увеличенной частотой 02=2.5637образуем из заданной системы (рис. 4) основную систему метода перемещений. Используем ту же основную систему, что и в случае догружения.
Далее подставив в (16), в соответствии с условиями (13) и знаками ординат начальной формы собственных колебаний- y1[1]=1 и y1[5]=1, y1[21]=-1 и y1[21]=1, находим искомые массы.
Сумма снимаемых масс Ms2=642.0712. Увеличенная собственная частота 02=2.5637, что соответствует выполнению ограничения (6) в виде равенства. Как видно из таблицы 4 ограничения (7) и (8) пассивные. Ординаты собственной формы при найденных дополнительных массах равны по абсолютной величине, что соответствует условиям (13).
Таблица 4
| № | My [i] | Y | Догружение | Разгружение | ||||
| dM1 | M1d | Y01 | dM2 | M2d | Y02 | |||
| 1 | 700 | 0.1018 | 1000 | 789.1 | -0.1253 | 375 | 133.5 | -0.1013 |
| 2 | 200 | 0.1817 | 0 | 0 | -0.1937 | 0 | 0 | -0.1829 |
| 3 | 200 | 0.2364 | 0 | 0 | -0.2329 | 0 | 0 | -0.2361 |
| 4 | 200 | 0.2375 | 0 | 0 | -0.2259 | 0 | 0 | -0.2304 |
| 5 | 700 | 0.1599 | 1000 | 0 | -0.1494 | 375 | 375 | -0.1463 |
| 6 | 200 | 0.1235 | 0 | 0 | -0.1385 | 0 | 0 | -0.1249 |
| 7 | 200 | 0.2449 | 0 | 0 | -0.2533 | 0 | 0 | -0.2483 |
| 8 | 200 | 0.3459 | 0 | 0 | -0.3393 | 0 | 0 | -0.3484 |
| 9 | 200 | 0.3611 | 0 | 0 | -0.3464 | 0 | 0 | -0.3579 |
| 10 | 200 | 0.2375 | 0 | 0 | -0.2259 | 0 | 0 | -0.2304 |
| 11 | 200 | 0.0616 | 0 | 0 | -0.0662 | 0 | 0 | -0.0629 |
| 12 | 200 | 0.1560 | 0 | 0 | -0.1582 | 0 | 0 | -0.1592 |
| 13 | 200 | 0.2912 | 0 | 0 | -0.2868 | 0 | 0 | 0.2957 |
| 14 | 200 | 0.3459 | 0 | 0 | -0.3393 | 0 | 0 | -0.3484 |
| 15 | 200 | 0.2364 | 0 | 0 | -0.2329 | 0 | 0 | -0.2361 |
| 16 | 200 | -0.0201 | 0 | 0 | 0.0226 | 0 | 0 | 0.0206 |
| 17 | 200 | 0.0000 | 0 | 0 | -0.0000 | 0 | 0 | -0.0000 |
| 18 | 200 | 0.1560 | 0 | 0 | -0.1582 | 0 | 0 | -0.1592 |
| 19 | 200 | 0.2449 | 0 | 0 | -0.2533 | 0 | 0 | -0.2483 |
| 20 | 200 | 0.1817 | 0 | 0 | -0.1937 | 0 | 0 | -0.1829 |
| 21 | 700 | -0.0331 | 1000 | 1000 | 0.0408 | 375 | 0 | 0.0341 |
| 22 | 200 | -0.0201 | 0 | 0 | 0.0226 | 0 | 0 | 0.0206 |
| 23 | 200 | 0.0616 | 0 | 0 | -0.0662 | 0 | 0 | -0.0629 |
| 24 | 200 | 0.1235 | 0 | 0 | -0.1385 | 0 | 0 | -0.1249 |
| 25 | 700 | 0.1018 | 1000 | 789.1 | -0.1253 | 375 | 133.5 | -0.1013 |
Пример 4
Пусть дана шарнирно опертая пластина с размерами сторон 6 м и толщиной 0.1 м. (рис. 5). Величины первоначальных масс в узлах 7, 9, 17 и 19 приведены в таблице 6. Первая частота при заданных массах 1=1.2146. Исходные данные и результаты расчета по этапам приведены в таблице 5.
Случай догружения. Узлы 7, 9, 17 и 19, рассматриваются в качестве возможных для размещения дополнительных масс с максимально возможной их суммой, при условии уменьшения первой собственной частоты не более чем на 15 %. Таким образом, для данного примера 01=0.85*1=1.0324. Заданные массы без учета собственного веса в узлах составляют My[7]=500 единиц, My[9]=900 единиц, My[17]=600 единиц и My[19]=700 единиц. Величины дополнительных масс ограничены dM1[7]=1*500=500, dM1[9]=1*900=900, dM1[17]=1*600=600 и dM1[19]=1*700=700. Для получения уравнений движения дополнительных масс при собственных колебаниях с уменьшенной частотой 1=1.0324 образуем из заданной системы (рис. 5) основную систему метода перемещений.
Таблица 5
| № | My[i] | dM1 | M1d по этапам | Y1 | Y01 | |
| 1 | 2 | |||||
| 1 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.0805 | -0.0802 |
| 2 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1416 | -0.1409 |
| 3 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1666 | -0.1646 |
| 4 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1481 | -0.1458 |
| 5 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.0861 | -0.0844 |
| 6 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1399 | -0.1400 |
| 7 | 700 | 500 | 500 | 500 | 0.2473 | -0.2476 |
| 8 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.2892 | -0.2871 |
| 9 | 1100 | 900 | 0 | 510.06 | 0.2594 | -0.2569 |
| 10 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1492 | -0.1471 |
| 11 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1614 | -0.1620 |
| 12 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.2832 | -0.2841 |
| 13 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.3313 | -0.3307 |
| 14 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.2930 | -0.2918 |
| 15 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1699 | -0.1687 |
| 16 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1405 | -0.1419 |
| 17 | 800 | 600 | 600 | 600 | 0.2478 | -0.2510 |
| 18 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.2871 | -0.2888 |
| 19 | 900 | 700 | 0 | 635.97 | 0.2548 | -0.2569 |
| 20 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1466 | -0.1469 |
| 21 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.0809 | -0.0818 |
| 22 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1416 | -0.1432 |
| 23 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1647 | -0.1661 |
| 24 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1449 | -0.1461 |
| 25 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.0839 | -0.0843 |
Сумма дополнительных масс на первом этапе Ms1=1100, уменьшенная собственная частота 01=1.0504,на втором этапе Ms1=2246.0324, уменьшенная собственная частота 01=1.0324, что соответствует выполнению ограничения (2) на последнем этапе в виде равенства. Как видно из таблицы 5 ограничения (3) и (4) на первом этапе активные, а на последнем втором этапе пассивные. Ординаты собственной формы колебаний при найденных дополнительных массах равны по абсолютной величине (y1[9])2=(y1[19])2=(-0.2569)2, что соответствует условиям (12).
Рассмотрим случай разгружения на примере этой же пластины (рис. 5). Величины первоначальных масс в узлах 7, 9, 17 и 19 приведены в таблице 6. Первая частота при заданных массах 1= 1.2146. Узлы 7, 9, 17 и 19, рассматриваются в качестве возможных для размещения снимаемых масс с минимально возможной их суммой, при условии увеличения первой собственной частоты не более чем на 7 %. Таким образом, для данного примера 02=1.07*[1]=1.2997. Заданные массы без учета собственного веса в узлах составляют My[7]=500 единиц, My[9]=900 единиц, My[17]=600 единиц и My[19]=700 единиц. Величины снимаемых масс ограничены dM2[7]=0.45*500=225, dM2[9]=0.45*900=405, dM2[17]=0.45*600=270 и dM2[19]=0.45*700=315. Для получения уравнений движения снимаемых масс при собственных колебаниях с увеличенной частотой 02=1.2997 образуем из заданной системы основную систему метода перемещений как в случае догружения.
Решение в целом реализуется аналогично предыдущему. Исходные данные и результаты расчета приведены в таблице 6.
Сумма снимаемых масс на первом этапе Ms2=727.40, увеличенная собственная частота 02=1.2993,на втором этапе Ms2=729.8696, увеличенная собственная частота 02=1.2997, что соответствует выполнению ограничения (6) на последнем этапе в виде равенства.
Как видно из таблицы 6 ограничения (7) и (8) на первом этапе активные, а на последнем втором этапе пассивные. Ординаты собственной формы колебаний при найденных дополнительных массах равны по абсолютной величине (y2[7])2=(y2[17])2=(y2[19])2 =(-0.2519)2, что соответствует условиям (13).
Таблица 6
| № | My[i] | dM2 | Md2 по этапам | Y2 | Y02 | |
| 1 | 2 | |||||
| 1 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.0805 | -0.0829 |
| 2 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1416 | -0.1441 |
| 3 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1666 | -0.1659 |
| 4 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1481 | -0.1442 |
| 5 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.0861 | -0.0830 |
| 6 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1399 | -0.1441 |
| 7 | 700 | 225 | 7.47 | 8.78 | 0.2473 | -0.2519 |
| 8 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.2892 | -0.2883 |
| 9 | 1100 | 405 | 405 | 405 | 0.2594 | -0.2883 |
| 10 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1492 | -0.1442 |
| 11 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1614 | -0.1658 |
| 12 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.2832 | -0.2882 |
| 13 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.3313 | -0.3317 |
| 14 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.2930 | -0.2883 |
| 15 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1699 | -0.1659 |
| 16 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1405 | -0.1441 |
| 17 | 800 | 270 | 107.47 | 107.32 | 0.2478 | -0.2519 |
| 18 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.2871 | -0.2882 |
| 19 | 900 | 315 | 207.47 | 208.77 | 0.2548 | -0.2519 |
| 20 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1466 | -0.1441 |
| 21 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.0809 | -0.0829 |
| 22 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1416 | -0.1441 |
| 23 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1647 | -0.1658 |
| 24 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.1449 | -0.1441 |
| 25 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0.0839 | -0.0829 |
В заключении приводятся основные выводы по результатам проведенной работы:
1 Выведены аналитические уравнения, выражающие особые свойства форм первых собственных колебаний для случаев оптимального догружения и разгрузки.
2 Обоснованы алгоритмы и программы, позволяющие проводить реализацию полученных свойств при учете ограничений на величину частоты собственных колебаний для случаев догружения и разгрузки.
3 Предложенный метод может быть использован для оценки решений, полученных другими методами.
4 На численных примерах исследована сходимость и эффективность предложенных алгоритмов.
5 На примерах показана возможность применения полученного метода, в частности для пластинок с промежуточными опорами и без них.
Основные положения диссертации опубликованы в статьях:
1 Ляхович Л.С., Круль (Фурсова) Н.А. Оптимизация изменений нагрузки при ограничениях на величину частоты собственных колебаний/Л.С.Ляхович, Н.А.Круль (Фурсова)//Вестник Томского Государственного Архитектурно-строительного Университета.-2001.- №1(4).- C.70-81.
2 Ляхович Л.С., Фурсова (Круль) Н.А. Оптимизация изменений нагрузки при заданном значении частоты собственных колебаний для случаев реализации в виде равенств ограничений на некоторые величины дополнительных или снимаемых масс/ Л.С.Ляхович, Н.А.Фурсова (Круль) //Вестник Томского Государственного Архитектурно-строительного Университета.-2005.- №1.- С.84-95.
3 Фурсова (Круль) Н.А. Оптимизация изменений нагрузки при ограничениях по величине частоты собственных колебаний на примере балок и пластин/ Н.А.Фурсова (Круль) //Томский государственный архитектурно-строительный университет- Томск, 2005.-11С.: ил 2.-Библ. 6 назв.- Рус.- Деп. в ВИНИТИ, 19.08.2005, №1168-В2005.
