Математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода

На правах рукописи

Фирстов Виктор Егорович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ДИДАКТИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ

ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

НА ОСНОВЕ КИБЕРНЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА

13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора педагогических наук

Ярославль 2010

Работа выполнена на кафедре

компьютерной алгебры и теории чисел ГОУ ВПО

«Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского».

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, профессор,

член-корреспондент РАО

Монахов Вадим Макариевич

доктор педагогических наук, профессор

Нижников Александр Иванович

доктор педагогических наук, профессор

Назиев Асламбек Хамидович

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Московский городской педагогический университет»

Защита состоится 26 января 2011 года в 14 часов на заседании совета
Д 212.307.03 по защите докторских и кандидатских диссертаций при
ГОУ ВПО «Ярославский государственный педагогический университет
им. К.Д. Ушинского» по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Республиканская, д. 108, ауд. 210.

Отзывы на автореферат присылать по адресу: 150000, г. Ярославль,
ул. Республиканская, д. 108, ауд. 210.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского».

Автореферат разослан «____» декабря 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Т.Л. Трошина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Кибернетическая концепция в процессе обучения прослеживается с периода зарождения педагогической науки. Это связано с тем, что в области дидактики педагогика опирается на теорию когнитивных процессов, реализующих преобразование и передачу информации (знаний и опыта) от поколения к поколению. Поскольку информационная сущность процессов управления была осознана только в середине XX в., то длительное время продвижение кибернетической концепции в педагогике происходило на основе эмпирико-эвристических соображений, без должной систематизации.

Уровень общественного развития рубежа ХХ-ХХI вв. характеризуется необходимостью реализации возрастающих массивов информации, которой следует распорядиться рационально и в ограниченное время. Наметившаяся тенденция отражает главные проблемы современного образования, которые сводятся к интенсификации учебных процессов, реализующих усвоение больших массивов знаний, приобретение опыта и выработку необходимых компетенций в течение ограниченного периода обучения. Необходимость эффективного управления учебными процессами определяет актуальность кибернетической концепции в дидактике, поскольку определение оптимальных параметров управления такими процессами в натурных условиях часто бывает затруднительным, и их оценка происходит в рамках математических моделей на основе дидактических закономерностей рассматриваемого процесса. Таким образом, концепция кибернетики реализует теоретический метод исследования дидактических процессов, проводимый в категории морфизма.

Целенаправленность и информационная сущность дидактических процессов определяют объективную связь между кибернетикой и педагогикой. Эта связь реализуется на основе теории информации и кибернетики (К.Шеннон, Н.Винер; 1948), опираясь на универсальные информационные принципы управления процессами любой природы, включая процессы обучения. В союзе с кибернетикой педагогическая наука, помимо экспериментального метода исследования, приобретает основательный теоретический метод, переводящий педагогическое знание с уровня феноменологической (описательной) теории на логико-математический уровень развитой теории (в терминологии В.К.Лукашевича). У педагогики на уровне развитой теории, кроме функции фиксации знаний, за счет логического вывода появляются функции приращения, объяснения и предсказания знаний об исследуемом объекте. Объективность этого процесса обусловлена тем, что педагогическая наука все больше нуждается в формализованном языке, причем, не столько для реализации собственных концепций, сколько для анализа непростой логики дидактических процессов. Пока педагогика представлена, больше, на уровне феноменологической теории, однако содержит весомый кибернетический контент, который при нарастающей информатизации образовательного пространства объективно увеличивается, и вопросы моделирования, толкования и прогнозирования дидактических процессов приобретают существенное значение.

Актуальность кибернетической концепции в дидактике обусловлена также тем, что в настоящее время ИКТ, фактически, стали неотъемлемой частью учебных процессов. В то же время, вопросы теории обучения в информационно-образовательной среде до конца не урегулированы. Остается проблематика рациональной интеграции ИКТ и оптимизации факторов компьютерного интерфейса в учебных процессах, разрешить которую без привлечения кибернетических принципов затруднительно (Н.Д.Никандров, В.Л.Матросов, А.А.Кузнецов, Я.А.Ваграменко, И.В.Роберт и др.). Современные интеллектуальные обучающие системы (ИОС) строятся на основе данных когнитивной и гештальт-психологии, моделируя отдельные нейросетевые алгоритмы обучения нейронных ансамблей в человеческом мозге, которые реализуют параллельную обработку информации и представляют большой интерес для дидактики.. В этом аспекте актуальность кибернетического подхода обусловлена возможностью моделирования мыслительных процессов человека, проводя на уровне искусственного интеллекта или нейродинамики эффективные алгоритмы обучения (F.Rosenblatt, М.М. Бонгард, Я.З.Цыпкин, М.Минский, R.J.Anderson, J.J.Hopfild и др.).

Проведение кибернетической концепции в сфере образования призвано обеспечить качественное улучшение показателей обучения и при своем разрешении выводит на инновационные пути развития педагогической науки, реализуя положения «Национальной доктрины развития образования в РФ (на период 2000-2025 гг.)», и приоритетные направления национальных проектов в области образования. Решение данного комплекса проблем требует соответствующей кадровой подготовки, включающей перечисленные компоненты педагогической деятельности. Актуальность данного вопроса обусловлена тем, что стратегическая линия, проводимая при подготовке учителей математики по специальности 032100.00 (050201) «Математика с дополнительной специальностью» в рамках ГОС ВПО-2 (2005), а также в проектах ФГОС ВПО-3 (под ред. Г.А. Бордовского, В.Л. Матросова и В.В. Рубцова), предусматривая профессионально направленное обучение математике, содержание такого обучения не конкретизирует. При этом, на уровне общего образования в проектах ФГОС 2-го поколения (под ред. А.М. Кондакова и А.А.Кузнецова), предусматривается «включение содержания обучения в контекст решения значимых жизненных задач», что означает обучение математическому моделированию. Поскольку вопросы дидактики математического моделирования пока, в полной мере, не разрешены, то вузам, кафедрам и преподавателям предложено самим сформировать это содержание, используя опыт отечественной дидактики 60-70 гг., который опирался на кибернетические представления.

Указанный вектор управления современным российским образованием обусловлен реалиями XXI в. при переходе к постиндустриальному обществу, который ускорил процессы глобализации, и профессиональная деятельность протекает в постоянно изменяющихся условиях, требуя умения мобильно решать возникающие нестандартные проблемы. В условиях, когда принятие обоснованного решения по оптимизации образовательной траектории системы происходит в ограниченное время, естественно, прибегнуть к математическому моделированию дидактических процессов. Моделирование является теоретической основой кибернетики и, таким образом, представленная аргументация говорит о том, что, разрешение широкого круга вопросов дидактической проблематики в рамках кибернетической концепции, проведенное в данном диссертационном исследовании, является актуальным, способствующим развитию и совершенствованию школьного математического образования.

Опыт кибернетики в дидактике. В отечественной дидактике кибернетические традиции разрабатываются около полувека, однако до недавнего времени не представляли магистрального направления. Смысл и сущность кибернетической трактовки дидактических процессов, а также анализ структуры и содержания обучения с позиций кибернетики, одним из первых, рассмотрел Л.Б.Ительсон (1964). На 2-м пленуме Научно-методического совета по педагогике высшей школы (1967) был заслушан доклад С.И. Архангельского «Научная организация учебного процесса», в котором принципы кибернетики и теории информации распространялись в область высшего образования.

В рамках кибернетики управление дидактическими процессами может проводиться, как по линии совершенствования их системной организации, так и путем воздействия на их содержательный компонент. В первом случае, по В.И. Арнольду, речь идет о «жестких», а, во втором, о «мягких» моделях управления дидактическими процессами. По линии организации процессов обучения Ю.К.Бабанский построил классификацию методов обучения по трем признакам – организации, стимулированию и контролю учебного процесса. Управление учебным процессом путем воздействия на содержание обучения, как показал Л.Б. Ительсон (1973), зависит от психологической модели, лежащей в основе процесса обучения. В целом, вопросы формирования содержания образования в педагогике остаются дискуссионными и выделяются три концепции (В.А. Тестов, 2006), трактующие содержание как: педагогически адаптированные основы наук, изучаемых в школе или вузе (М.Н.Скаткин,1980); совокупность ЗУН, которые должны быть усвоены обучаемым контингентом (В.П. Беспалько, 1989); педагогически адаптированный социальный опыт человечества, изоморфный сложившимся культурным ценностям во всей их структурной полноте (В.В. Краевский, 2003). В последнем случае в основу положена тринитарная методология и в содержании образования выделяются три равноправных компонента: фундаментальность (передача знаний), гуманистическая ориентация (воспитание) и профессиональная направленность (развитие умения).

Формирование содержания образования отвечает за его качество в силу того, что абстрактное количество информации, связанное с образовательным контентом, в учебном процессе приобретает качества, обусловленные дидактическими принципами. Вопросы качества образования обозначены в приоритетных направлениях развития системы образования РФ до 2010 г. в части разработки Общероссийской системы оценки качества образования (ОСОКО) как системы, прежде всего, внешней оценки результатов образования в интересах личности, общества и государства (В.А. Болотов, 2007). Система показателей ОСОКО должна оценивать качество как меру отклонения образовательной траектории системы от поставленных директив (целей образования), и попытки построения такой теории предпринимались в 60-х гг. ХХ в. (Н.М.Амосов, Р.Карнап, Й.Бар-Хиллел, Ю.А. Шрейдер, А.А. Харкевич и др.). В последнее время для этих целей задействованы концепции синергетики (Г. Хакен), т.к. самоорганизация на микроуровне системы приводит к проявлению определенных качеств на ее макроуровне. Однако, пока разработка общей теории меры качественной информации конкретных результатов не дала, и, таким образом, при создании эффективной ОСОКО формирование системы оценочных показателей представляет проблемный фактор. Один из подходов к управлению качеством содержания образования опирается на исследования, проводимые в Ярославском педуниверситете им. К.Д. Ушинского при подготовке учителей естественнонаучного профиля на основе инновационной концепции фундирования содержания предметных курсов и наглядного моделирования в процессе обучения математике в школе и вузе (В.Д. Шадриков, Ю.П.Поваренков, В.В. Афанасьев, Е.И. Смирнов и др.).

Проведение кибернетической концепции в отечественном образовании отличалось нерегулярностью и период ее интенсивного развития в 60-70 гг. на рубеже 70-80 гг. сменился спадом. Причина спада связана с тем, что при обосновании кибернетической концепции в педагогике у Л.Б.Ительсона (1964) и С.И.Архангельского (1976) вопросы теории математического моделирования дидактических процессов, в основном, рассмотрены частным образом и основной приоритет кибернетики – оптимизация управления дидактическими процессами посредством математического моделирования не получает полного обоснования. В развитых странах (США, Англия, Франция, Япония и др.) такой спад не наблюдался, т.к. «компьютерная волна» 80-х гг. в этих странах привела к формированию образовательного киберпространства, что в педагогической психологии наметило переход от концепции бихевиоризма к концепции когнитивной психологии (Дж. Андерсон, 1983). В этот период в образовании реализуются многочисленные ИКТ-версии систем тестирования, создаются обучающие экспертные системы (ЭС), а также автоматизированные обучающие системы (АОС) в виде локальных компьютерных сетей (компьютерных классов). Дальнейшее развитие АОС представляют так называемые адаптивные обучающие системы (АдОС), позволяющие в широком формате реализацию технологий личностно-ориентированной педагогики. Появление Интернета дало развитие новым формам открытого образования посредством дистанционного обучения. В России аналогичные процессы инициировались в 1996 г., когда в Москве состоялся Конгресс ЮНЕСКО, который ясно показал, что многие страны связывают дальнейшее развитие национальных систем образования с широкоформатным использованием дистанционных технологий обучения. Это направление получило широкую поддержку вузовской общественности России в рамках Всероссийского эксперимента в области использования ИКТ в дистанционном обучении, который проводился в 1997-2002 гг., и его результаты в июне 2002 г. коллегией Минобразования РФ оценены положительно. Фактор отставания России в этой области не следует расценивать негативно, поскольку проблематика электронной педагогики далека от полного разрешения, что показывает опыт реализации открытого образования в СГУ им. Н.Г. Чернышевского (Л.Ю. Коссович, Н.А. Иванова, И.Г. Малинский, В.Е. Фирстов).

Приведенные аргументы показывают возможности кибернетики при разрешении дидактической проблематики и свидетельствуют об усилении тенденций в этом направлении. Дело в том, что кибернетика способствует развитию теории обучения, разрешая возникающие противоречия между ее содержанием и формой не только посредством опыта, но и в рамках категории морфизма, путем моделирования и оптимизации дидактических процессов. Естественно, кибернетическая модель процесса обучения представляет его некий аналог, однако такие модели имеют количественную интерпретацию, что дает возможность получения такой информации о закономерностях учебного процесса, какую не дают собственные понятия дидактики, т.е. кибернетическую концепцию в обучении следует рассматривать в логике принципа дополнительности. Поскольку управление в кибернетике – это преобразование информации в абстрактном смысле, то, следуя логике принципа дополнительности, в дидактике, таким образом, могут разрешаться противоречия самой различной природы и, в этой связи, в современном образовательном пространстве имеют место следующие противоречия:

между сложившейся практикой интерпретации опыта обучения математике в средней школе на уровне феноменологической теории и необходимостью адекватного отражения проблемности и теоретического анализа ситуаций при выборе учителем стратегии управления процессом обучения математике в средней школе;

между объективным процессом возрастания массивов информации, осваиваемых и передаваемых обучаемому контингенту, и директивными требованиями по качеству ее усвоения за ограниченный период времени в процессе обучения математике;

между практикой реализации кибернетического и личностно-ориентированного подходов при обучении математике в школе и недостаточным уровнем математического моделирования проблем управления креативными процессами при обучении математике;

между особенностями реализации логических методов в математике и гуманитарных науках и необходимостью обоснования средств эффективного обучения математике в гуманитарной области образования.

Необходимость разрешения данных противоречий определяет проблему настоящего диссертационного исследования, которую можно сформулировать в следующем виде: «Каким образом и насколько эффективно кибернетическая концепция может использоваться для управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе, обеспечивая современные требования по уровню формирования математических знаний и компетенций школьников?»

Актуальность, высокая практическая значимость и недостаточная разработанность данной проблемы обусловили выбор темы настоящего диссертационного исследования: «Математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода».

Объект исследования – процесс обучения математике в полной средней школе.

Предмет исследования методы управления когнитивными процессами учащихся при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода.

Цель исследования – на основе кибернетической концепции разработать теоретические основы и обосновать математические модели управления когнитивными процессами учащихся при обучении математике в средней школе.

Концепция исследования представляет разработку научных основ решения поставленной проблемы путем построения теории математических моделей управления когнитивными процессами при обучении математике учащихся средней школы, исходя из информационной сущности дидактических процессов:

1). В этом случае управление проводится путем целевого воздействия на количественный или качественный аспекты информации, реализуемой в процессе обучения математике в средней школе.

2). Модели управления когнитивными процессами учащихся путем воздействия на количественный аспект информации, реализуемой в учебном процессе, формируются на основе метрических функций. Процедура оптимизации в этом случае носит универсальный характер и названа оптимизацией 1-го рода. В ее основе лежат абстрактные количественные меры информации и управление данными процессами проводится по критерию минимума информационной энтропии.

3). Модели управления когнитивными процессами учащихся путем воздействия на качественный (семантический) аспект информации данного образовательного контента, строятся в рамках принятой когнитологической модели, представляющей систему знаний посредством неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети и процедура оптимизации в таких моделях названа оптимизацией 2-го рода: данная сеть метризуется и характеризуется системой покрытий, что позволяет ввести сетевые параметры, управляющие качественными аспектами данной системы знаний. Таким образом, выделяются классы задач сетевого управления, моделирующие формирование и освоение образовательного контента в учебном процессе:

управление путем совершенствования аксиоматики теории;

оптимизация дедуктивного вывода на семантических сетях;

ранжировка значимости элементов семантической сети.

4). Оптимизация в рамках первых двух классов задач наблюдается в развитии отечественного школьного обучения геометрии, начиная со 2-ой половины XVIII в. При этом оптимизация дедуктивного вывода опирается на алгоритмический информационный подход А.Н. Колмогорова (1965), что позволяет реализовать управление качеством содержания обучения.

5). Ранжировка значимости элементов семантической сети формирует управление креативными процессами учащихся, опираясь на закономерности генезиса математики. Формально, творческий поиск представляется случайным процессом в информационном пространстве данной аксиоматической теории и его оптимизация по критерию значимости реализует одну из стратегий оптимального управления ветвящимся марковским процессом.

6). Построение теории математических моделей для эффективного управления когнитивными процессами в школьном обучении математике предусматривает разработку базисного комплекса математических моделей. В класс базисных моделей оптимизации 1-го рода входят: «сократовский» диалог, тестирование, классно-урочная система обучения, организация группового сотрудничества учащихся при выполнении учебной работы и процедура тематического планирования учебного процесса. В класс базисных моделей оптимизации 2-го рода, отнесены модели формирования содержания обучения, креативной педагогики и интегрированного обучения математике.

Гипотеза исследования – разработка математических моделей управления когнитивными процессами на основе кибернетической концепции представляет важный компонент повышения эффективности и качества школьного обучения математике, если:

алгебраические модели управления процессом обучения (тестирование, ЭС, АОС, АдОС и т.п.), разработаны в рамках системных дидактических принципов (целостности, развивающего обучения, наглядности моделирования и др.);

для базисных моделей организации группового сотрудничества на занятии (коллективно-распределенной учебной деятельности на уроке, проблемного обучения и т.п.), а также процедуры календарно-тематического планирования предметного материала в учебном процессе механизм оптимизации математического моделирования происходит по принципу минимизации информационной энтропии в данных процессах;

повышение эффективности обучения математике в средней школе путем организации группового сотрудничества на занятиях на основе кибернетического подхода определяется онтогенетическими параметрами обучаемого контингента;

управление качеством школьного обучения математике строится на основе контент-анализа его содержания, представленного неформальной аксиоматической теорией в виде семантической сети, топологические характеристики которой являются параметрами оптимизации качества данного математического контента (за счет выбора совершенной аксиоматики и путем минимизации длины или емкости дедуктивного вывода). При этом процесс управления адекватно коррелирует с системой дидактических принципов обучения математике;

управление креативными процессами при обучении математике в школе строится как оптимальное управление ветвящимся марковским процессом на основе стратегии «больших узловых точек (great main points)» или GMP-стратегии, проводимой по критерию значимости между вершинами предметной области соответствующей семантической сети, и эффективный творческий поиск исходит из достаточно значимых теоретических посылок;

при интегрированном обучении математике в средней школе реализация GMP-стратегии для управления креативными процессами проводится в рамках некоторой общей методологии (канона, центризма или морфизма), способствуя развитию познавательных мотиваций и математическому самообразованию учащихся.

Задачи исследования – ставятся в соответствии с целью, концепцией и гипотезой исследования и сводятся к следующим:

1). Исходя из психологической концепции развивающего обучения Л.С. Выготского построить дидактическую модель обучающей экспертной системы (ЭС) общего назначения, реализующей управление показателями академической успешности (успеваемости) учащихся на основе актуализации образовательного контента и оптимизации зон ближайшего развития по критерию минимума энтропии информации.

2). Разработать программу спецкурса «Обучающие ЭС» для старших классов профильного уровня средней школы, включающего практические задания на построение и реализацию простейших программных продуктов для изучения элементов школьной программы по математике.

3). Построить базисные теоретико-информационные модели для управления эффективностью когнитивных процессов учащихся при обучении путем воздействия на количественный аспект информации соответствующего образовательного контента в рамках оптимизации 1-го рода:

модель учебного процесса, которая определяет оптимальное распределение образовательного контента по шагам траектории обучения посредством минимизации информационной энтропии, связанной с усвоением структурированного массива знаний;

модель организации эффективного группового сотрудничества в процессе обучения, в которой оптимизация разбиения обучаемого контингента на группы проводится по принципу минимума информационной энтропии при оптимальном варианте разбиения;

4). Выявить закономерности оптимизации управления учебным процессом при организации группового сотрудничества или модульного обучения путем минимизации информационной энтропии процесса разбиения (обучаемого контингента на группы или содержания курса на модули).

5). Разработать ИКТ для организации эффективного обучения математике в средней школе путем разбиения класса на малые группы, проводимого поэтапно, следуя критерию минимума энтропии информации для оптимальной конфигурации разбиения, которая интегрируется в версиях проблемного или эвристического обучения.

6). Разработать и обосновать концепцию и модель представления содержания обучения в рамках неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети, а также определить классы задач и параметры сетевой оптимизации 2-го рода, позволяющие воздействовать на качество образовательного контента:

показать, что при управлении качеством содержания школьной геометрии, ее аксиоматика представляет один из параметров оптимизации;

показать, что минимизация длины (или емкости) дедуктивного вывода является параметром оптимизации качества содержания школьной геометрии при условии, что эта процедура вписана в систему дидактических принципов процесса обучения.

7). На основе генетического подхода разработать математическую модель управления креативными процессами учащихся при обучении математике в средней школе, для чего необходимо:

показать, что управление процессом математического творчества формируется как управление случайным процессом марковского типа. Стратегия такого управления вытекает из характерной закономерности генезиса математики, по которой роль ее отдельных положений в процессе развития неодинакова и управление таким процессом реализуется по критерию значимости элементов семантической сети, представляющей ту область математики, в которой перед обучаемым поставлена проблема;

дать обоснование критерия значимости как параметра управления креативными процессами при обучении математике в средней школе, заданного в виде отношения доминирования между вершинами предметной области соответствующей семантической сети. Выводы формируются на основе концепции GMP-стратегии, по которой творческий поиск оказывается результативным, если он исходит из значимых теоретические посылок;

показать, что при междисциплинарном обучении реализация GMP-стратегии управления креативным процессом проводится в рамках некоторой общей методологии (канона, центризма, морфизма и т.п.).

Теоретико-методологическими основами исследования являются:

концепция структурализма в методологии науки (Ф. де Соссюр, К. Леви-Строс, М.Фуко и др.);

концепции педагогической психологии в «классическом» варианте (К.Д.Ушинский, П.П.Блонский, М.Я.Басов, С.Л.Рубинштейн, Ж.Пиаже, Л.С.Выготский, П.Я.Гальперин, А.Н.Леонтьев и др.);

положения психофизиологии (И.М.Сеченов, В.М.Бехтерев, И.П. Павлов: теория рефлекса), гештальт-психологии (М.Вертгеймер, В.Келер и др.) и нейрофизиологии (Д.Хебб: механизмы памяти);

функциональная концепция психологии (W.James), теория функциональных систем и метод функциональных аналогий (Э.Л.Пост, П.К.Анохин, В.Д.Шадриков и др.);

концепции кибернетики (Н.Винер), теории информации (К.Шеннон, Н. Рашевский, А.Н. Коломогоров) и синергетики (И.Р.Пригожин, Г.Хакен);

принципы образования и дидактики в Законе РФ «Об образовании» (В.П.Беспалько, В.В.Краевский, Г.Л.Луканкин, В.Л.Матросов и др.);

личностно-ориентированная концепция образования (Б.М.Теплов, В.В.Краевский, В.В.Давыдов, В.Д.Шадриков, И.Я.Лернер и др.);

концепции интегрированного (междисциплинарного) образования и педагогических технологий (Ю.А.Самарин, Г.И.Беленький, В.М.Монахов);

работы ведущих отечественных специалистов в области дидактики школьной математики (В.М.Брадис, Н.Я.Виленкин, Г.В.Дорофеев, Н.Х.Розов, В.Г.Болтянский, В.М.Монахов, А.Г.Мордкович, В.А.Гусев, Г.Л.Луканкин, Г.И.Саранцев, В.В.Афанасьев, В.А.Тестов, В.И. Игошин и др.);

опыт применения кибернетики в педагогике (Л.Б.Ительсон, С.И.Архангельский, В.П.Беспалько, А.В. Брушлинский, Ю.К.Бабанский );

педагогические концепции развивающего (Л.С.Выготский, Л.В. Занков, Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов), проблемного (С.Л.Рубинштейн, М.Н. Скаткин, М.И.Махмутов, И.Я.Лернер) и эвристического (Д. Пойа, А.В. Хуторской) обучения;

концепции педагогики группового сотрудничества в учебном процессе (Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов, А.В.Петровский, Д.Б.Богоявленская и др.);

исследования, отражающие генезис современной электронной педагогики: классические работы по программированному обучения и АОС (В.П.Беспалько, А.Н.Леонтьев, П.Я.Гальперин, С.Осуга, В.С.Аванесов, В.А. Хлебников), системы личностно-ориентированного адаптивного обучения и Web-технологии в системах открытого образования (J.R.Anderson, Н.Д.Никандров В.Л.Матросов, Я.А.Ваграменко, И.В. Роберт, А.А. Андреев, П.Л.Брусиловский, D.Suthers, K.Nakabayashi, В.И.Солдаткин,С.А.Щенников);

концепции фундирования и наглядного моделирования Ярославской педагогической школы в проектировании содержания и технологий обучения математике (В.Д.Шадриков, Ю.П.Поваренков, В.В. Афанасьев, Е.И.Смирнов и др.);

исследования в области психологии математического творчества (Аристотель, Р.Декарт, Г.Лейбниц, И.Кант, А.Пуанкаре, Ж.Адамар, Д.Пойа, Г.Биркгофф, А.Реньи, Г.И.Рузавин и др.);

концепции и принципы креативной педагогики (Д.Б. Богоявленская, А.В. Брушлинский, М.А. Холодная, В.Д. Шадриков, В.А. Гусев, Е.И. Смирнов, А.В. Ястребов, В.С. Секованов и др.);

современные концепции интеллекта: гештальт-психологические и когнитологические теории (R.Glaser, J.R.Anderson, Б.М.Величковский, Б.Г. Ананьев, В.М.Сергеев), процессуально-деятельностный подход (Л.А.Венгер, А.В.Брушлинский), информационный подход (Э.Хант, Р.Стернберг), интеллект как форма организации ментального опыта (М.А.Холодная);

концепция «искусственного интеллекта» (А.М.Тьюринг, Э.Пост, Н.Винер, К.Шеннон, Дж. фон Нейман, А.Н. Колмогоров, В.Л.Матросов, С.К.Клини, М.Минский, Я.З.Цыпкин, В.М.Глушков, Д.А.Поспелов и др.);

нейронаука и эволюционная биокибернетика как концепции междисциплинарного исследования когнитивных процессов (F.Rosenblatt, М.М.Бонгард, J.J.Hopfild, В.Г.Редько, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий и др.).

Методы педагогического исследования, используемые для решения поставленной проблемы, представляют комплекс взаимодополняющих методов, проводимых адекватно цели и задачам диссертационного исследования в рамках общелогических методов познания (сравнения, анализа, синтеза, абстракции, обобщения, индукции, дедукции, аналогии и моделирования). Комплекс теоретических методов исследования составляют: метод единства исторического и логического, аксиоматический метод, формализация (математическое моделирование), гипотетико-дедуктивный метод, а также метод восхождения от абстрактного к конкретному, за которым следует апробация теоретических результатов в предметной области исследования традиционными методами педагогической диагностики: наблюдение, экспертные оценки, тестирование и опрос. Для апробации теоретических моделей управления когнитивными процессами школьников при их обучении математике проводились прямые эксперименты в учебном процессе, достоверность результатов которых устанавливалась стандартными средствами проверки статистических гипотез (программа Statistica for Windows, V.6).

Экспериментальная база и этапы исследования. Исследования по теме диссертации проводились в 1997-2010 гг. и затронули период, когда в России проходила интеграция региональной высшей школы. Поэтому начинались исследования на базе физико-математического факультета Саратовского государственного педагогического института им. К.А.Федина, а после интеграции продолжились на механико-математическом факультете Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

На уровне школьного образования исследования проводились в школах №65 Волжского, №18 Фрунзенского, №93 Кировского и на базе МОУ «Гимназия №5» Заводского районов г. Саратова, а также по линиям ГОУ ДПО «Саратовский институт повышения квалификации и переподготовки работников образования (СарИПКиПРО)» Министерства образования Саратовской области, ИДПО СГУ, филиала Федерального центра тестирования при СГУ и Центра открытого образования СГУ.

На 1-ом этапе (1997-2002гг.) формировалась парадигма исследования, направленного на повышение эффективности школьного математического образования. В основу был положен генетический принцип обучения математике в оригинальной трактовке, суть которой сводилась к тому, что пути совершенствования данного предмета следует искать среди закономерностей генезиса математики. Для этого проводился широкий историко-математический анализ, позволивший выявить характерную закономерность, по которой в процессе развития математики роль отдельных математических положений явно неодинакова и остается востребованной в современной математике. Поэтому потенциал идей, связанных с такого рода значимыми положениями (универсумами), далеко не исчерпан и его реализация ведет к обнаружению оригинальных математических результатов. Таким образом, формируется оригинальная GMP-стратегия управления процессами математического творчества, которая способствует развитию познавательных мотиваций учащихся в процессе школьного обучения, т.к. результативность творческого поиска в математике оказывается выше, если этот поиск проводится путем последовательных обобщений некоторого универсума (или их комбинации). Поначалу, для апробации GMP-стратегии и выяснения особенностей методики ее реализации строилась цепочка обобщений, исходя из универсума, каковым выступила теорема о делении с остатком. Это исследование подтвердило концептуальные предпосылки GMP-стратегии и составило содержание элективного курса «Реологические числа и их свойства» для старших классов средней школы и в расширенной версии для студентов – будущих учителей математики.

На 2-м этапе (2002-2006гг.) GMP-стратегия проводилась в области геометрии и творческий поиск формировался путем обобщений универсума в виде теоремы Пифагора. Результаты этих исследований систематизированы в двух авторских монографиях, представляющих содержание элективных курсов, как для школьников профильного уровня обучения, так и студентов математических специальностей университетов и педвузов. При этом, используемый математический аппарат только в отдельных случаях выходит за уровень школьного углубленного изучения математики и, хотя в процессе обобщений уровень абстракции постепенно нарастает, тем не менее, понимание и усвоение нового математического материала, привлекаемого в процессе исследования, в этом случае облегчено тем, что его применение органично вписано в разрешение конкретной ситуации, следуя постулатам концепции наглядного моделирования.

Эти данные свидетельствовали о том, что в рамках GMP-стратегии, посредством определенной педагогической деятельности, реализуется эффективное математическое образование и самообразование школьников. Причину такой эффективности можно установить, исследуя структуру математического знания, что было сделано в третьей авторской монографии, где содержание предметной области математики представлено в рамках неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети. Эта сеть метризуется и характеризуется определенной системой покрытий, что позволяет определить параметры оптимизации, управляющие качественными аспектами рассматриваемой системы знаний. Установлено, что качеством системы знаний в области математики управляют два фактора: рациональный выбор системы аксиом и параметры (длина или емкость) дедуктивного вывода для элементов семантической сети, моделирующей данную систему знаний. Как показывает анализ исторического опыта, именно эти факторы управляют развитием школьной геометрии в отечественной дидактике на протяжении последних 250 лет, причем, закономерность такова, что в школьном обучении геометрии принципы наглядности и доступности, как правило, доминировали над принципом математической абстракции.

На 3-м этапе (2006-2010гг.) дается толкование закономерностей креативных процессов на основе GMP-стратегии при обучении математике в школе. Для этого между элементами семантической сети, представляющей данную систему знаний, на основе сетевых параметров вводится отношение доминирования и элементы сети ранжируются по значимости. Креативный поиск трактуется как случайный процесс освоения данной семантической сети и представляет неоднородный ветвящийся марковский процесс. Его особенность такова, что у элементов с бльшей значимостью в процессе поиска вероятность перехода к новому состоянию (решение проблемы) оказывается выше, что объясняет эффективность GMP-стратегии при построении математического исследования от универсума.

Обобщение GMP-стратегии на междисциплинарный уровень обучения математике строится на основе общих методологических концепций: канона, центризма или морфизма. В частности, канон демократии исходит из идеала справедливости путем принятия решения большинством голосов граждан. В рамках GMP-стратегии этот идеал аксиоматизируется и на этой основе строится формальная теория государства, которая составляет предмет современной теории кооперативных игр, элементы которой составляют основу школьного факультатива по обществознанию. Концепция центризма в рамках GMP-стратегии реализуется на основе архимедовой концепции барицентра по трем направлениям. Во-первых, на этой основе проводится лабораторный практикум «Определение формул для объемов выпуклых многогранников и круглых тел методом взвешивания» для учащихся 11-х классов средней школы. Во-вторых, концепция барицентра по А.Мебиусу представляет оригинальную трактовку законов генетики и на этой основе проводятся интегрированные занятия на уровне профильного обучения биологии. В-третьих, концепция барицентра распространяется в цветовое пространство произведений живописи и с помощью современных ИКТ позволяет установить закономерности психологии творчества и восприятия живописного искусства и, таким образом, реализуется один из подходов к обучению математике в гуманитарной области знаний. Концепция морфизма в рамках GMP-стратегии проводилась в виде универсального подхода к решению текстовых задач в рамках школьного факультатива по алгебре в 9-х классах; на основе операторной версии комплексных чисел при решении задач планиметрии в 10-11 классах профильного уровня обучения математике; в виде элективного курса «Задачи линейного программирования в экономике и физике» для 10-11 классов соответствующего профиля.

Таким образом, на основе кибернетической концепции формируется общий подход к построению теории математических моделей управления процессами, обучения математике в школе, изложенный в итоговой авторской монографии. В частности, психологическая концепция развивающего обучения Л.С. Выготского в диалоге моделируется системой алгебраических автоматов, реализующей алгоритм дидактической (обучающей) экспертной системы (ЭС) общего назначения. На этой основе построено содержание спецкурса «Обучающие ЭС» для старших классов профильного уровня средней школы, включая реализацию простейших программных продуктов для изучения элементов школьного курса математики. Управление учебным процессом на основе количественных мер информации, происходит по принципу минимизации информационной энтропии в данном процессе. Эта закономерность подтверждается опытом оптимизации процесса обучения математике путем эффективного разбиения класса на группы для выполнения заданной коллективно-распределенной учебной деятельности, которые показали повышение показателей эффективности обучения на 27,5% в 4-м классе; на 25% в 9-м классе и на 20-25% в 10-11-х классах, на фоне слабого уменьшения показателей в онтогенезе. Методика проведения таких измерений составила основу ииновационной ИКТ для организации эффективного группового сотрудничества в процессе обучения математике в школе. Принцип минимизации информационной энтропии лежит в основе управления модульным обучением и формированием календарно-тематического планирования содержания обучения математике, хотя в случае модульного обучения имеют место онтогенетические эффекты и оно распространено в высшей школе, однако на школьном уровне его применение ограничено.

Управление учебным процессом при воздействии на качественный (семантический) аспект информации системы математических знаний, представленной в виде семантической сети, происходит путем минимизации длины или емкости дедуктивного вывода для элементов этой сети. Этот критерий является необходимым; достаточность обеспечивается, если его реализация вписывается в систему дидактических принципов процесса обучения математике. Управление креативными процессами по критерию значимости при обучении математике в рамках GMP-стратегии опирается на психофункциональные закономерности творческого поиска в процессе математического исследования. Таким образом, в процессе этапов исследования на основе принципов кибернетики, в соответствии с целью, концепцией, гипотезой и задачами диссертационного исследования, построен и апробирован базисный комплекс математических моделей, реализующий эффективное управление дидактическими процессами при обучении математике в средней школе.

Прошло более 30 лет с момента появления монографий «первой волны» по кибернетическим методам в педагогике. Сегодня ситуация в этой области стала качественно иной и, фактически, в данном диссертационном исследовании, впервые, предпринята попытка осмыслить новое положение и новые соотношения между кибернетикой и педагогикой. Качественной закономерностью «кибернетизации» образовательного пространства является иерархический характер этого процесса: 1-й уровень «кибернетизации» связан с насыщением образовательного пространства средствами ИКТ; на 2-м уровне происходит формализация понятийно-категориального аппарата и закономерностей учебных процессов до состояния развитой теории, способной предсказывать и прогнозировать результаты этих процессов; на 3-м уровне, в перспективе, обучающие нейросетевые алгоритмы мозга воплощаются в сфере педагогики. Таким образом, «кибернетизация» образовательного пространства, фактически, представляет форму принципа рефлексии, который реализует познание человеческой сути через психологию.

Научная новизна исследования состоит в следующем:

впервые, исходя из информационной сущности дидактических процессов, на основе кибернетической концепции разработан общий подход к управлению учебными процессами путем математического моделирования, позволяющий выявить, обосновать и эффективно реализовать дидактические закономерности для управления когнитивными процессами при обучении математике в средней школе, обеспечивая современные требования по уровню математических знаний и компетенций школьников;

построена классификация моделей управления учебным процессом по информационному признаку: модели 1-го рода, если параметр управления в учебном процессе представляет количественная мера информации и критерий управления сводится к минимизации информационной энтропии данного процесса; модели 2-го рода, если параметр управления представляет качественный аспект информации, связанной с образовательным контентом, когда критерий качества обусловлен топологией семантической сети, представляющей данную систему знаний, и зависит от исходной системы постулатов и параметров логического вывода (длины и емкости);

построена дидактическая модель обучающей ЭС общего назначения путем алгебраической интерпретации динамики прохождения образовательного контента и выделения образовательной траектории с минимальной энтропией информации, что позволяет выявить закономерность управления динамикой академической успешности учащихся на основе актуализации и оптимизации зон ближайшего развития при обучении математике в средней школе;

построена информационная модель распределения образовательного контента по шагам траектории учебного процесса на основе концепции развивающего обучения Л.С. Выготского, оптимизация которой происходит по принципу минимизации информационной энтропии в процессе усвоения структурированного массива знаний;

разработана инновационная ИКТ для организации эффективного обучения математике в средней школе путем разбиения класса на малые группы, проводимого поэтапно по критерию минимума информационной энтропии для оптимальной конфигурации разбиения, которая затем интегрируется в версиях проблемного или эвристического обучения;

для проведения оптимизации 2-го рода разработана и обоснована концепция и модель представления содержания обучения школьной математике в рамках неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети, метрические и топологические характеристики которой управляют качеством образовательного контента;

впервые, на основе кибернетической концепции разработан общий подход к управлению креативными процессами при обучении математике в школе, по которому творческий поиск моделируется случайным процессом и происходит в рамках семантической сети, представляющей рассматриваемую систему знаний;

установлено, что стратегии управления креативными процессами при обучении математике в школе опираются на универсальную закономерность математического поиска, который представляет ветвящийся марковский процесс и его оптимизация происходит по критерию значимости исходных посылок на основе GMP-стратегии;

дано определение критерия значимости в системе математического знания как отношения доминирования между элементами соответствующей семантической сети, которое строится по двум параметрам – логической дистанции от источников (системы постулатов) и информационной емкости области доминирования элемента сети;

на примерах реализации математических моделей в экономике, обществоведении, искусствознании, биологии и физике показано, что в случае междисциплинарного обучения GMP-стратегия проводится на основе некоторой общей методологии (канона, центризма, морфизма и т.п.).

Теоретическая значимость исследования определяется его вкладом в педагогическую науку, который представляют следующие результаты:

разработана теория обучающих экспертных систем, алгоритм которой построен на основе концепции развивающего обучения Л.С. Выготского и реализует режимы консультации, приобретения и контроля знаний в рамках ИКТ в процессе обучения математике в средней школе;

установлен и построен базисный набор дидактических моделей для управления когнитивными процессами при обучении математике в школе;

установлено, что при организации модульного обучения или группового сотрудничества в учебном процессе, закономерность, управляющая повышением эффективности процесса обучения, обусловлена минимизацей информационной энтропии процесса разбиения (обучаемого контингента на группы или содержания курса на модули);

данная закономерность оптимизации группового сотрудничества имеет онтогенетический аспект: показатели академической успешности оказываются выше в младших классах и снижаются в старших классах;

разработана концепция представления предметного содержания школьного обучения математике в виде неформальной аксиоматической теории, интерпретируемой семантической сетью;

разработана и обоснована система критериев, управляющих повышением эффективности учебного процесса путем воздействия на содержание школьного математического образования;

установлено, что критерии оптимизации по длине и емкости дедуктивного вывода в системе математических знаний являются компонентами, реализующими принцип наглядности, следуя формуле В.Г. Болтянского: наглядность = изоморфизм + простота;

в рамках теории марковских процессов дано обоснование GMP-стратегии, которое опирается на представление о значимости элементов в системе математического знания и позволяет оптимизировать управление когнитивными процессами креативного поиска решения проблемы школьником в процессе обучения и самообучения;

показано, что GMP-стратегия отражает психофункциональные закономерности креативного поиска в процессе решения математической задачи, поскольку значимость элемента сети растет с уменьшением логической дистанции (за счет увеличения вероятности интуитивного вывода) и с увеличением емкости его области доминирования (растет вероятность дискурсивного вывода), откуда следует дидактическая закономерность, по которой креативный поиск школьника в процессе решения математической задачи оказывается результативным, если формируется на достаточно значимом математическом основании;

Практическая значимость исследования оценивается показателями внедрения полученных результатов в школьное обучение математике, среди которых следующие практически значимые направления:

1.Апробацию и реализацию разработанной ЭС на основе концепции развивающего обучения Л.С. Выготского, в которой управление академической успешностью учащихся происходит путем оптимизации зон ближайшего развития по критерию минимума энтропии информации, демонстрируют следующие результаты:

1.1.Принцип управления академической успешностью учащихся на основе актуализации и оптимизации зон ближайшего развития по критерию минимума энтропии информации реализуется в ходе специальной процедуры тестирования с помощью гомогенных тестов, при которой в рамках фиксированного временного регламента выполнения тестов целенаправленно изменяются промежутки времени, связанные с выполнением отдельных тестовых заданий. Измерения проводились в 2004-2008 гг. в 4,9 и 10-х классах МОУ «Гимназия №5» Заводского р-на г. Саратова, а также на 1-м курсе механико-математического ф-та СГУ им. Н.Г. Чернышевского со студентами специальности 032100.00(050201) в ходе курса алгебры при изучении темы «Теория множеств» и непосредственно показали факт улучшения показателей академической успешности учащихся за счет минимизации информационной энтропии при оптимизации зон ближайшего развития в динамике прохождения образовательного контента;

1.2. На основе данной обучающей ЭС реализован контроль знаний школьников, для чего созданы мощные тестовые батареи и апробированы специальные алгоритмы тестирования уровня знаний по математике: в 2002г. по заказу Минобразования Саратовской области проводился мониторинг уровня математической подготовки выпускников начальной школы (охвачено 2262 школьника); в 2003-2006 гг. данная технология использовалась в рамках рубежного тестирования уровня математических знаний школьников 5-8 и 10-х классов в г. Саратове, проводимого Центром тестирования СГУ имени Н.Г.Чернышевского;

1.3. Положения, реализованные в данной обучающей ЭС, и общие принципы построения ЭС, составили основу элективного курса «Обучающие ЭС» для старших классов профильного уровня средней школы, включающего практические задания на построение простейших программных продуктов для изучения элементов школьной программы по математике.

2. Апробирована инновационная ИКТ для организации группового сотрудничества в учебном процессе, реализующая проведение эффективной коллективно-распределенной учебной деятельности на уроке путем создания оптимальных конфигураций творческих групп, в которых более полно реализуется творческий потенциал учащихся в рамках проблемного или эвристического обучения математике в средней школе. Проведенные измерения показали повышение показателей академической успешности на 27,5% в 4-м классе; на 25% в 9-м классе и на 20-25% в 10-11-х классах, на фоне слабого уменьшения показателей в онтогенезе.

3. На основе авторских монографий [1;2], отражающих этап творческого развития «новейшей истории теоремы Пифагора» на основе GMP-стратегии, проецируется определенная учебная деятельность в виде школьных элективных курсов по математике профильного уровня или в рамках личностно-ориентированного подхода (семинарские занятия или индивидуальная исследовательская работа с учащимися);

4. Проведение GMP-стратегии в рамках интегрированного обучении математике, где получены следующие практически значимые результаты:

4.1. В обществоведении, когда GMP-стратегия проводилась путем аксиоматизации канона демократии в русле формальной теории государства, на основе которой разработано содержание школьного факультатива, реализующего обучение математике в гуманитарной области знаний;

4.2. В рамках концепции изоморфизма: в процессе обучения решению текстовых задач школьной алгебры (9 класс), в виде операторной версии комплексных чисел в планиметрии, а также при моделировании и решении задач линейного программирования экономического и физико-технического содержания в соответствующих профильных классах;

4.3. На основе концепции центризма: в рамках лабораторного практикума по определению формул объемов многогранников и круглых тел путем взвешивания (11-й класс); при интерпретации законов генетики при профильном обучении биологии и в психологии восприятия живописи, где показаны возможности математики в искусствознании и культурологии.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются методологической аргументированностью исходных теоретических положений; внутренней непротиворечивостью логической структуры исследования; адекватностью применяемых методов исследования целям и задачам данного исследования; продолжительностью опытно-экспериментальной фазы исследования и статистической устойчивостью данных, полученных в независимых измерениях и опытах; широким эффективным внедрением результатов исследования в учебный процесс начальных, средних и высших учебных заведений России.

Личный вклад автора заключается в разработке общей теории математического моделирования дидактических процессов при обучении математике в полной средней школе на основе кибернетической концепции и комплекса моделей, реализующих эффективное управление количественными и качественными аспектами образовательного контента в учебном процессе, включая интегрированное обучение.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные положения и результаты исследования представлены на: Международной электронной научной конференции «Новые технологии в образовании» (Воронеж, 2000); ежегодных научно-практических конференциях механико-математического факультета СГУ имени Н.Г.Чернышевского (2001,2002); Всероссийской научной конференции «54-е Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2001); IV Международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001); весенней математической школе «Понтрягинские чтения-XIII» (Воронеж, 2002); Всероссийской научно-методической конференции «Развитие тестовых технологий в России» (Москва, 2002), II,IV-VII Колмогоровских чтениях (Ярославль,2004,2006-2009); VI Международной конференции по алгебре и теории чисел (Саратов, 2004); семинаре в Институте истории естествознания и техники РАН (секция проф. С.С. Демидова; Москва, 2005); Поволжской региональной научно-практической конференции «Актуальные проблемы модернизации непрерывного образования» (Саратов, 2005); Международном конгрессе по креативности и психологии искусства (Пермь, 2005); XXIV Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педвузов «Современные проблемы школьного и вузовского математического образования» (Саратов, 2005); Всероссийской научной конференции «Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: состояние, перспективы» (Саранск, 2005); XIX Конгрессе Международной ассоциации эмпирической эстетики (Авиньон, Франция, 2006); XX Конгрессе Международной ассоциации эмпирической эстетики (Чикаго, США, 2008); Всероссийской научной конференции «Проблемы управления в социально-экономических и технических системах» (Саратов, 2008).

Апробация результатов исследования на уровнях высшего, среднего и начального образования проводилась автором в ходе учебного процесса:

на механико-математическом факультете СГУ им. Н.Г.Чернышевского при подготовке студентов по специальности 032100.00 (050201) «Математика с дополнительной специальностью», где за период 1997-2010 гг. реализовано 10 авторских учебных программ элективных курсов, в рамках которых защищено около 100 курсовых и 60 дипломных работ;

в ГОУ ДПО «СарИПКиПРО» Министерства образования Саратовской области, где на основе авторских монографий [1-4] проводится цикл элективных курсов для учителей школ области;

в 1998-2003 гг. на базе СШ №65 Волжского р-на г.Саратова при апробации методики решения текстовых задач с применением элементов понятия изоморфизма на факультативных занятиях по алгебре в 9-х классах ; на базе школы №93 Кировского р-на на уроках геометрии в 11-х классах проведен цикл лабораторных работ по определению формул объемов призмы, пирамиды, конуса и шара путем взвешивания, а также практикуется элективный курс «Операторная версия комплексных чисел в планиметрии»;

в 2001-2003 гг. на базе СШ №18 Фрунзенского р-на при апробации тестовых батарей и отработке технологий тестирования знаний школьников по математике в 5-6-х классах;

в 2004-2008 гг. на базе МОУ «Гимназия №5» Заводского р-на при апробации инновационной ИКТ при организации и оптимизации группового сотрудничества в учебном процессе, которая показала увеличение показателей успеваемости по математике на 20-27,5% в 10-11 и 4-х классах;

Результаты диссертационной работы в различных вариантах используются в образовательном процессе в Воронежском государственном педагогическом университете, в Борисоглебском государственном педагогическом институте, во Владикавказском Центре непрерывного математического образования при Институте прикладной математики и информатики ВНЦ РАН и РСО-А (г. Владикавказ, Республика Северная Осетия-Алания), в Костромском госуниверситете им. Н.А.Некрасова, которые подтверждают эффективность проведения исследовательской работы студентов в рамках GMP-стратегии и повышение оценочных показателей успеваемости обучаемого контингента на 20% за счет оптимальной организации педагогики сотрудничества в учебном процессе.

Всего по теме диссертации опубликовано 58 работ.

Основные положения, выносимые на защиту:

1). Реализация инновационной дидактической (обучающей) экспертной системы общего назначения, разработанной на основе психологической концепции развивающего обучения Л.С.Выготского, путем актуализации и оптимизации зон ближайшего развития по критерию минимума информации приводит к повышению академической успешности учащихся при обучении математике в средней школе.

2). Информационная модель организации группового сотрудничества в учебном процессе на основе управления процессом разбиения обучаемого контингента на группы по принципу минимума энтропии информации для оптимального варианта кластеризации реализует эффективное построение коллективно-распределенной учебной деятельности учащихся. Интеграция этой модели в структуру проблемного или эвристического контекста, приводит к повышению академической успешности школьников и их творческой активности в обучении математике в полной средней школе.

3). Инновационная ИКТ, созданная на основе информационной модели оптимизации группового сотрудничества в процессе обучения математике в средней школе, по измерениям времени выполнения тестовых заданий учащимися, формирует интеллектуальный портрет данного контингента, устанавливает оптимальную групповую конфигурацию и реализует повышение академической успешности этого контингента.

4). Концепция и модель интерпретации системы знаний в школьном обучении математике на основе неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети позволяет выделить классы задач оптимизации при управлении качественными аспектами содержания обучения в целях повышения эффективности учебного процесса.

5). Критерии качества содержания системы знаний, реализуемых при обучении математике в средней школе, сводятся к оптимальному выбору системы аксиом и минимизации параметров дедуктивного вывода (длины или емкости) для элементов семантической сети, представляющей данную систему знаний.

6). Управление креативными процессами при обучении математике в школе опирается на закономерности генезиса математики и сводится к управлению ветвящимся марковским процессом по критерию значимости элементов семантической сети, представляющей данную систему знаний. Процедура управления творческим поиском в процессе обучения проводится в рамках GMP-стратегии, которая проецируется посредством определенной учебной деятельности, как по линии школьных элективных курсов, так и в рамках личностно-ориентированного подхода (семинарская или индивидуальная работа с учащимися).

7). Методика проведения GMP-стратегии при управлении креативными процессами школьников профильного уровня обучения математике на основе авторских монографий [1-4], исследований по теории реологических чисел [4;23] и теории магических квадратов из домино [4;26].

8). Методика проведения GMP-стратегии в рамках интегрированного обучения математике в средней школе, опирается на общие методологические концепции (канона, морфизма и центризма) и реализуется посредством математического моделирования:

в рамках школьного факультатива по обществознанию (профильный уровень), исходя из канона демократии, который аксиоматизируется и на этой основе строится формальная модель государства, которая реализует канал эффективного обучения математике в гуманитарной области знаний;

в рамках концепции изоморфизма: при решении текстовых задач (9 класс); операторной версии комплексных чисел в планиметрии, а также на примерах задач линейного программирования экономического и физико-технического содержания в соответствующих профильных классах;

в рамках концепции центризма, позволяющей: реализовать лабораторный практикум по определению объемов многогранников и круглых тел путем взвешивания (11 класс); дать интерпретацию законов генетики при профильном обучении биологии и результатам в области психологии живописи, демонстрируя возможности математики в сфере искусствознания и культурологии.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 385 наименований источников, и 8 приложений. Содержание работы изложено на 460 страницах машинописного текста (включая библиографию и приложения), в котором имеются 55 рисунка и 26 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности исследования; приводится аналитический обзор современного состояния реализации кибернетической концепции в обучении и образовании (степень разработанности темы) и в данном контексте установлены противоречия в современном школьном математическом образовании, разрешимые кибернетическим методом. Далее, выделены предметные элементы исследования: установлена его проблематика; обозначены объект и предмет исследования; сформулирована концепция исследования и выдвинута исследовательская гипотеза, на основе которой определены цели и задачи данного исследования. Затем, представлены теоретико-методологические основы, на которые опиралось исследование, и комплекс исследовательских методов, используемых при этом; описаны опытно-экспериментальная база и этапы исследования; раскрыта научная новизна, а также теоретическая и практическая значимость исследования; представлена аргументация, подтверждающая достоверность и обоснованность полученных результатов и определен личный вклад автора. Исходя из этого, сформулированы положения исследования, выносимые на защиту, и представлена структура и объем работы.

В первой главе «Кибернетическая концепция в теории обучения: основания, проблематика, математические модели, классы задач и реализации» вводится понятийно-категориальный аппарат кибернетики, который сформировался в 50-60 гг. XX в., а также дается аналитический обзор и современное соотношение между кибернетикой и педагогикой.

Основным понятием кибернетики является информация, свойства которой описываются аксиомами объективности, полноты, достоверности, адекватности, актуальности и доступности. Основным объектом кибернетики выступают кибернетические системы, выполняющие целевое преобразование информации, реализуя управление киберсистемой, которое представляет основное отношение в кибернетике. Целесообразность кибернетического подхода в дидактике обусловлена тем, что информация является измеряемой величиной (К.Шеннон, 1948). Это позволяет целенаправленно управлять дидактическими процессами на основе математического моделирования изменения количества или качества информации в процессе обучения.

Элемент киберсистемы представляет алгебраический автомат А=(А;S;Z;f;g), где A;Z – соответственно, массивы входной и выходной информации, S – множество внутренних состояний автомата; отображения (бинарные операции): f: SAS; g: SAZ, (1)

задают функции переходов f и выходов g данного автомата: если автомат А находится в состоянии sS и получает на входе сигнал аА, то он переходит в состояние f(s;a) и выдает сигнал g(s;a). Киберсистема представляет композицию автоматов и позволяет моделировать различные аспекты учебного процесса, проводя управление закономерностями данного процесса.

Абстрактное количество информации при переносе на учебный процесс приобретает качества, обусловленные дидактическими принципами. Построение научно-обоснованной системы оценки качества обучения связано с рассмотрением системы знаний в виде семантической сети, на которой задаются количественные меры информации на языке теории алгоритмов (А.Н. Колмогоров, 1965) и с помощью системы покрытий (Н. Рашевский, 1955). Таким образом, качество системы знаний связано с топологией соответствующей семантической сети, на что указывает анализ опыта отечественной школьной геометрии за период 1768-2000гг.

Главным практическим результатом развития кибернетики явилась компьютеризация человеческого бытия, что в педагогической психологии способствовало переходу от концепции бихевиоризма к когнитивной психологии (Дж. Андерсон, 1983), провозгласившей решающую роль знаний в поведении субъекта, и центральной становится проблема обучения и приобретения знаний. Киберобраз когнитивной психологии появился в середине 50-х гг. ХХ в. в виде искусственного интеллекта (ИИ) как киберсистемы, способной моделировать мыслительную деятельность человека путем абстракции. В ИИ-области знания представляют основное понятие и рассматриваются как особая форма информации, сочетающая в себе как процедурный, так и декларативный компоненты, и, отвечающая аксиомам внутренней интерпретируемости, структурированности, связности, семантической метрики и активности. В рамках данной аксиоматики формируются модели представления знаний (логические, сетевые, продукционные и фреймовые) и определяются манипуляции со знаниями (приобретение, формализация, пополнение, обобщение и классификация).

Генезис ИИ-области на современном этапе привел к формированию междисциплинарного направления, известного как нейродинамика (или нейронаука), включающего нейрофизиологию, биохимию, когнитивную и гештальт-психологию, нелинейную динамику, фрактальную геометрию, компьютерные науки и др. Исследования по нейродинамике установили класс макромоделей, которые в рамках так называемых толерантных пространств (Э.Зиман, О.Бьюнеман; 1970) реализуют распознавание образов по неполной информации, что наблюдается при естественной деятельности мозга. На микроуровне образы толерантных пространств представляют нейронные ансамбли (гештальты), которые обеспечивают параллельную обработку больших массивов информации нейросетью мозга. Реализовать такие алгоритмы в рамках компьютерной программы, пока не удается. Тем не менее, параллельные алгоритмы обработки информации для традиционной педагогики не являются экзотикой и, например, метод укрупнения дидактических единиц в обучении математике, разработанный в 60-х гг. ХХ в. П.М.Эрдниевым, основан именно на этом принципе. В то же время, М.М. Бонгардом построены простейшие нейросетевые алгоритмы для распознавания числовых и геометрических образов. Следующее поколение алгоритмов распознавания образов формализуются в рамках синергетических принципов, интерпретируя процесс обучения в виде траектории, обладающей особенностью в виде аттрактора цели, и по такой схеме реализуется нейросетевая модель Хопфилда, представляющая обучение системы с ассоциативной памятью (J.J.Hopfild, 1982).

Во второй главе «Теория информационных технологий и оптимальная организация учебного процесса» проводится кибернетическая концепция информационных технологий (ИТ) в образовании, трактуемая как совокупность методов и средств получения, преобразования, передачи, хранения и использования информации в учебно-воспитательном процессе. Управление учебным процессом на основе ИТ происходит путем воздействия на количественный или качественный аспекты информации, реализуемой в этом процессе.

Управление количественными мерами информации в рамках ИТ сводится к поиску эффективной конфигурации информационных потоков в учебном процессе, которой отвечает минимум информационной энтропии данного процесса, и эта процедура условно названа оптимизацией 1-го рода. Семантический (качественный) аспект информации в дидактике определяет содержание обучения и управление этим аспектом проводится в рамках принятой модели представления знаний; сама процедура управления в этом случае названа оптимизацией 2-го рода.

Построение теории ИТ на основе принятой концепции предполагает разработку комплекса математических моделей, рассматриваемых как базисные в обучении, В случае моделей оптимизации 1-го рода – это диалог, тестирование, классно-урочная система обучения, организация группового сотрудничества на занятии, модели тематического планирования учебного процесса (глава 2); в случае оптимизации 2-го рода – это формирование содержания обучения, модели креативной педагогики и междисциплинарные модели обучения (глава 3).

Алгебраическая теория диалоговых обучающих экспертных систем общего назначения. Алгоритм обучения представляет сократовский диалог, проводимый в рамках психологической концепции Л.С.Выготского об актуальном уровне развития обучаемого, который с помощью наводящих вопросов постепенно наращивается в пределах зоны ближайшего развития этого обучаемого. Если уровень знаний обучаемого следует поднять до уровня S, то процесс обучения описывается следующей последовательностью итераций: , (2)

т.е. на каждом шаге обучения актуальный уровень знаний обучаемого наращивается путем усвоения знаний зоны ближайшего развития , где i = номер шага обучения в последовательности (2).

Формализация процесса обучения в диалоге учитель-ученик дается моделью в виде композиции двух конечных автоматов А и А', связанных обратной связью, где автомат А = (A;S;Z;f;g) представляет управляющую систему, моделирующую действия учителя, а автомат А' = (A';S';Z';f';g') представляет управляемую систему, моделирующую поведение ученика в процессе диалога с учителем (рис.1); «штрихованные» обозначения имеют смысл, аналогичный (1), причем S'S.

Процесс обучения в данной модели происходит следующим образом. Пусть перед А' поставлен вопрос z0 Z, ответ на который требует от ученика с уровнем знаний в процессе обдумывания привлечения знаний зоны и формирования ответа , поступающего на вход автомата А (рис.1). Ответ анализируется учителем, принимающим резолюцию s1, которая переводит А в состояние s2= и формулирует следующий вопрос z1=. Далее описанный процесс аналогичным образом приводит к вопросу z2 и, таким образом, происходит «освоение» зоны потенциального развития , затем и т.д., т.е. автомат А реализует «обучение» А' с уровня до уровня S по схеме (2).

Для реализации обучающей экспертной системы (ЭС) на основе алгоритма (2) по экспертным данным формируется реляционная база знаний S=A(Z)Z(A), где ; бинарные отношения, между вопросами базы Z и ответами базы А, и между ответом базы А и следующим вопросом базы Z. Тогда процедура обучения по алгоритму (2) строится в виде композиции: (z0; a0) (a0; z1) (z1; a1) … (ae-1; ze) (ze; ae), (3)

где z0Z0, z1; … ; zeZ, a1; … ; aeA, e - натуральный параметр, указывающий количество вопросов-ответов в некоторой траектории учебного процесса. Т.к. количество композиций конечной длины вида (3) над конечным алфавитом S также конечно, то для каждой композиции можно определить рейтинг и сравнивать эффективности стратегий обучения, что позволяет проводить оптимизацию учебного процесса в рамках рассматриваемой ЭС. В структуре данной ЭС предусмотрены специальные алгоритмы тестирования и в рамках этой ИТ в 2002 г. проводился мониторинг уровня подготовки выпускников начальных школ Саратовской области по математике и русскому языку,

Информационная модель при оптимизации календарно-тематического планирования учебного процесса. Итерационный процесс (2) в рамках теории информации выражается уравнением: , , (4)

где количество информации на актуальном уровне знаний обучаемого на i-ом шаге обучения; знания, активируемые целевым воздействием на зону ближайшего развития уровня . В процессе обучения (4) уровень знаний планомерно поднимается до уровня , следуя классическим исследованиям (С.Л. Рубинштейна, Л.С. Выготского и др.), по которым знания области развиваются на основе имеющегося опыта путем создания и разрешения проблемных ситуаций в учебном процессе.

Определим информационную энтропию Н в процессе развивающего обучения (4): , (5)

где вероятность усвоения массива знаний области . Информационная модель (4) представляет траекторию обучения, которая оптимизируется путем минимизации информационной энтропии (4) целевым воздействием на вероятности при ограничениях: , (6)

где Т – продолжительность обучения время изучения предметной области знаний . Вероятности определяются по кривым научения по методике И.И.Нурминского и Н.К.Гладышевой, что дает ограничения снизу из-за наличия временных порогов по восприятию. Соотношения (4)-(6) представляют информационную модель развивающего обучения, в которой минимизируется энтропия (5) при ограничениях (6) путем целевого воздействия на вероятности , что равносильно эффективному распределению и благоприятной подаче учебной информации программы по шагам обучения . Таким образом, происходит оптимизация зон ближайшего развития в итерационном процессе (2).

Информационная технология оптимизации группового сотрудничества в учебном процессе. При организации группового сотрудничества в учебном процессе наиболее важным моментом является формирование разбиения обучаемого контингента на коалиции, при котором обеспечивается оптимальный учебный эффект. Процедура оптимизации в данном случае исходит из следующей информационной модели. Пусть A={a1;a2;…;am} – конечное множество, представляющее обучаемый контингент, которому предлагается выполнить некоторое задание (тест) и контролируется время его выполнения отдельными учащимися. В результате такого измерения устанавливается цепочка неравенств 0<t1t2…tm<T, где ti общее время выполнения задания i-м учащимся, в котором, определенным образом, учтено качество проделанной работы; ; T – временной регламент, определяемый параметрами теста. Пусть данная цепочка неравенств – есть некоторое устойчивое статистическое среднее, на основе которого определяются вероятности =1ti/T, характеризующие уровень обученности i-го учащегося, и задающие распределение нормированных вероятностей:

p(ai)== , . (7)

Пусть для улучшения показателей обучения контингента A задействована технология группового сотрудничества, что, формально, выражается в виде разбиения множества A=A1A2…An, AjAk=, , , (8)

где параметры разбиения, связанные с формированием классов AjA, представляют параметры оптимизации данной технологии обучения, и мощности классов разбиения (8) связаны соотношением:

++…+== m (9)

Для проведения процедуры оптимизации в рамках излагаемой модели определяются групповые вероятности: ,, (10) где pj есть вероятность того, что некоторый элемент из А входит в класс Aj. С вероятностями pj связывается информационная энтропия

H(p)=. (11)

и оптимум в рассматриваемой информационной модели достигается, если минимальна энтропия H(р). Поэтому при оптимизации группового сотрудничества в учебном процессе разбиение (8) должно формироваться с учетом распределения (7) так, чтобы при определении групповых вероятностей (10) обеспечивался минимум энтропии H(p) в (11), т.е. критерий оптимизации имеет вид: . (12)

Из (7)-(11) видно, что разность между энтропией H(A) при обучении контингента А и энтропией H(p) при обучении того же контингента разбитого на группы положительна:

>0, (13)

т.е реализация технологии сотрудничества в учебном процессе приводит к снижению информационной энтропии H(A) до значения H(p). Это связано с тем, что при разбиении на группы появляются дополнительные каналы общения, обеспечивающие режим усиления целевой информации...

В рамках модели (7)-(12) построена ИКТ, реализация которой проводилась в 2007-2009 гг. на механико-математическом факультете СГУ им. Н.Г.Чернышевского при обучении студентов 1-го курса специальности 032100.00 по дисциплине «Алгебра» при изучении темы «Теория множеств». По просьбе автора, аналогичные эксперименты были поставлены в Воронежском государственном педуниверситете (проф. Потапов А.С., проф. Беляева Э.С.), в Костромском госуниверситете (проф. Секованов В.С.), а также в Борисоглебском государственном пединституте (проф. Тараканов А.Ф.). Проведенные эксперименты показали, что после проведения оптимизации группового сотрудничества количество студентов, выполнивших тесты с хорошими результатами, получается на 20% выше, чем при исходном тестировании.

Аналогичные эксперименты на школьном уровне проводились в 2005-2008 гг. на базе МОУ «Гимназия №5» Заводского района г.Саратова в 4 «А» классе на уроках математики (совместно с Леонтьевой Н.Г.) и в 10-11-х классах в ходе авторского элективного курса «Элементы комбинаторики и теории вероятностей с приложениями». Измерения показали, что в этом случае показатели успеваемости по математике улучшились на 27,5% в 4»А» классе и на 20-25% в 10-11-х классах. Улучшение показателей успеваемости (до 25%) также наблюдалось в аналогичных экспериментах, проведенных Абатуровой В.С. на уроках математики (9 класс) в Центре непрерывного математического образования при Институте прикладной математики и информатики Владикавказского научного центра РАН. Опытные данные, полученные на уровне начального обучения Е.В.Карповой (ЯГПУ им. К.Д.Ушинского) и О.Н.Шевко (средняя школа №74, г.Ярославль), демонстрируют увеличение показателей успеваемости примерно на 30%. Поэтому имеются достаточные основания констатировать, что в рамках информационной модели (7)-(12) разработан метод эффективной организации группового сотрудничества при обучении путем оптимизации процесса разбиения обучаемого контингента на коалиции по минимуму информационной энтропии при оптимальном разбиении. В рамках модели (7-12) получает объяснение известный факт повышения успеваемости в классе за счет оптимальной рассадки учеников на уроке. Оптимизация группового сотрудничества на занятии также является предварительным этапом при организации проблемного или эвристического обучения (см. ниже, рис.3).

В третьей главе «Теория семантических сетей при управлении качеством содержания образования и креативными процессами в обучении» показано, что эффективное управление учебным процессом путем воздействия на содержание школьной математики сводится к оптимизации структуры семантической сети, представляющей передаваемые знания. Для этого разработана концепция представления содержания обучения в рамках неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети.

Интерпретация содержания дисциплины в виде неформальной аксиоматической теории проводится следующим образом. Пусть S=(M;) математическая структура, заданная системой основных множеств M={M1;…;Mk}, основные отношения между которыми описываются системой аксиом {}. Теория Th(S) структуры S является счетным множеством, элементы которого упорядочены определенными правилами вывода, Ее формирование мыслится как некая потенциально бесконечная рекурсивная процедура, реализующая аналог универсума Ж. Эрбрана в виде информационного пространства теории Th(S). Элементы Th(S) определяют вершины предметной области орграфа (S), интерпретирующего структуру S в виде семантической сети, дуги которой задаются с помощью коммутатора I – набора функций fm:, где m;i1;…;in, , символ есть неформальное логическое следствие утверждения T из посылок . В итоге, сеть(S) является парой (V;E), где множество вершин V и множество дуг E определяются выражениями: V= Th(S)I; E(Th(S)I) (I); дополнение системы аксиом до Th(S), и, не ограничивая общность, систему можно считать независимой.

Исследование топологии семантической сети (S) реализуется по двум направлениям. Во-первых, определяются маршруты, расстояния и связность между предметными вершинами семантической сети (S). Пусть в (S) вершины образуют: последовательность дуг

(14)

где . Тогда задан ориентированный маршрут, между вершинами v0 с vn, причем, вершины vi, i= называют в этом случае промежуточными, выражая это в виде: . Длина маршрута (14) и расстояние от вершины v0 до вершины vn определяются соотношениями: || = n; || = inf ||, (15) где || множество длин маршрутов от вершины v0 до vn. Во-вторых, в сети (S) задается специальная система покрытий следующим образом. Для произвольной вершины T Th(S) определяется множество:

U(T)={Ti|TiT Ti=T,Ti;T Th(S),iN} Th(S), (16)

элементами которого являются вершины, из которых вершина T достижима на орграфе (S). Множество U(T) называется областью доминирования вершины T в пространстве Th(S), а ее мощность |U(T)| определяет емкость области доминирования U(T). Пусть множество маршрутов от аксиом к вершине T. С помощью (15) определяются расстояние от до T и диаметр области U(T): |(;T)| = inf ||; d(U(T))=sup ||. (17)

В рамках концепции емкости и расстояния (17) определяется рекурсивная процедура формирования системы вложенных покрытий, реализующих принцип «матрешки» в структуре теории Th(S). Именно, выделяется счетное семейство подмножеств в цепи (18)

так, что порождается цепочка вложенных покрытий пространства Th(S) вида:

Fh(S) F F…, (19)

где , Fh(S)= F = = . Цепь (19) задает алгоритм обобщения знаний в семантической сети (S): если в цепи (19) выбрано некоторое «звено» F, то предметная область знаний Th(S) покрывается системой областей F и в каждой такой области доминантная вершина представляет обобщение остальных элементов области . В результате области классифицируются системой признаков, формирующих соответствующие понятия. В силу (19) в процессе обобщений реализуется принцип «матрешки» и уровень абстракции вводимых понятий постепенно нарастает, т.е. постижение знаний связано с развитием интеллекта.

Приведенные топологические соображения в пространстве Th(S) позволяют выделить классы задач оптимизации управления качеством системы знаний в процессе обучения математике в средней школе.

1. Оптимизация путем совершенствования аксиоматики теории Th(S).

Ярким примером в этом классе является геометрия, аксиоматика которой восходит к «Началам» Евклида. Критика евклидовой аксиоматики последовала практически сразу, но наиболее отчетливо прозвучала в XVII-XVIII вв. во Франции в учебниках геометрии А.Арно (1667) и А.М.Лежандра (1794); окончательную «ревизию» подвела аксиоматика Д.Гильберта (1899). Во 2-ой половине XIX в. взгляды на геометрию смещаются в область алгебраических форм: появляется аксиоматика, опирающаяся на инварианты группы движения (Ф.Клейн, Ф.Шур и др.), а также векторно-точечная аксиоматика Г.Вейля (1918). Однако, в школьной геометрии выдерживается евклидова линия и дидактические принципы наглядности и доступности превалируют над математическим принципом абстракции. Абстрактные представления в духе Ф.Клейна и Г.Вейля в школьной программе выражены в меньшей степени и появились сравнительно недавно в контексте известной образовательной концепции А.Н. Колмогорова (1967). Тем не менее, оценка В.Г. Болтянского различных систем аксиом геометрии определяет векторно-точечную аксиоматику Вейля «как направленную в будущее». Пример евклидовой геометрии показывает, как путем оптимизации аксиоматики происходит эффективное дидактическое воздействие на содержание предмета в целом.

2.Оптимизация дедуктивного вывода на семантических сетях. Пусть в сети (S) имеет место неформальный логический вывод:T. Процедура доказательства утверждения T Th(S) является упорядоченным множеством B(T)U(T) так, что область U(T) – есть объединение всех доказательств утверждения T. Пусть множество маршрутов от аксиом к вершине T в доказательстве B(T). Длина || доказательства B(T) представляет критический путь на B(T) и определяется рекурсивно:

||= max(||;…;||)+1= d(B(T)), (20)

где d(B(T)) – диаметр B(T), определяемый аналогично (17). Доказательство B(T) также характеризуется емкостью |B(T)| и, управляя этими параметрами вывода, в сети (S) рассматриваются задачи оптимизации качества знаний. Пусть B1(T);…;Bl(T) – доказательства утверждения T Th(S), имеющие длины ||;…;|| и емкости |B1(T)|;…;|Bl(T)|. Тогда в сети (S) определяются следующие задачи оптимизации:

B0(T)= opt(B1(T);…;Bl(T))|| = min(||;…;||), (21)

B0(T)= opt(B1(T);…;Bl(T)) | |= min(|B1(T)|;…;|Bl(T)|). (22)

Оптимизация (21);(22) проводилась на примере теоремы Пифагора путем анализа существующих в школьной геометрии вариантов доказательств Евклида, Бхаскара и векторного способа. Параметры доказательств теоремы Пифагора Т в аксиоматиках Евклида, Гильберта и Вейля представлены в табл. 1, откуда видно, что оптимизация доказательств по критериям (21);(22)

отдает предпочтение векторно-точечному доказательству в аксиоматике Вейля. Однако это приводит к повышению уровня абстракции в преподавании, что находится в обратной зависимости с принципами доступности и наглядности. Это обстоятельство нашло отражение в

Таблица 1. Метрические характеристики основных вариантов доказательств теоремы Пифагора в различных системах аксиом.

Доказательство	Аксиоматика	i
Евклид	Евклид (IV в. до н.э.)	0	10	36
Бхаскар-I		1	9	23
Бхаскар-II	Д. Гильберт (1899)	2	12	35
Векторно-точечное	Г. Вейль (1918)	3	2	12

отечественной учебно-методической литературе по геометрии, анализ которой за период 1768-2000 гг. показывает, что во 2-ой половине XIX в.

доказательство Евклида практически не встречается в школьных учебниках и используются, в основном, доказательства Бхаскара, которые более наглядны и доступны. Доказательства в духе Вейля в учебниках встречаются реже и появились в контексте образовательной концепции А.Н. Колмогорова (1967).

3. Ранжировка значимости элементов семантической сети и управление

креативными процессами. Креативные процессы в обучении представляют обобщение имеющихся знаний на метауровень посредством эвристики. Связь между знаниями метауровня и посылками известной предметной области знаний выражается разбиением: Th(S), где T(S) текущее состояние теории ; дополнение T(S) до Th(S), определяющее метауровень знаний, для которого отношение инцидентности в сети устанавливается эвристически.

Процедура оптимизации данного процесса исходит из представления о значимости вершин семантической сети, для чего вводится логическая дистанция от аксиом до вершины Т :(||;…;||), (23)

где ||;…;|| длины доказательств утверждения T. Значимость в пространстве Th(S) задается в виде отношения доминирования по Парето:

, (24) где хотя бы одно из неравенств выполняется строго. По определению (24), утверждение Т более значимо, чем , и его смысл в том, что Т представляет более крупный узел сети (S) (первое неравенство в (24)), расположенный ближе к ее источникам (второе неравенство в (24)).

Обоснование критерия значимости (24) проводится на языке теории случайных процессов. Установлено, что креативный поиск в пространстве Th(S) представляет неоднородный ветвящийся марковский процесс Th(S;t) с непрерывным временем t0 и счетным множеством состояний, моменты переходов между которыми случайным образом распределены на интервале t>0, причем, более значимые положения теории Th(S) имеют более высокие вероятности переходов между состояниями процесса Th(S;t). Таким образом, реализуется оптимальное управление процессом креативного поиска в процессе обучения на основе стратегии «больших узловых точек» в сети (S) или GMP-стратегии (great main points), которая предполагает исследование, исходящее из достаточно значимых положений T01;…;T0k Th(S), выбранных по критерию (24). Индуктивная гипотеза Н, выдвинутая на основе этих положений, имеет больше шансов «материализоваться» как логическое обобщение исходных посылок. Существование «узловых точек» созвучно современным психологическим концепциям в области теории интеллекта (Холодная М.А.; Glaser R., 1984), по которым «узловые точки», обладая повышенной чувствительностью к семантическим воздействиям, могут качественно изменять характер понимания проблемной ситуации.

GMP-стратегия и проблемы Гильберта. Наглядной иллюстрацией оптимизации креативного поиска в рамках GMP-стратегии является решение известных проблем теории чисел, а также проблем Гильберта (1900), о которых точно известна хронология их постановки и решения. Анализ показывает, что, если период разрешения проблем Гольдбаха, Варинга и Ферма в теории чисел составляет сотни лет, то проблематика Д.Гильберта при своем разрешении показывает уникальный результат, который оказывается на 1-2 порядка меньше. Важно отметить, что выбор 23 проблем из широкого многообразия математической проблематики рубежа XIX-XX вв. подразумевал вполне определенные «правила селекции», смысл которых, по сути, сводится к реализации GMP-стратегии.

GMP-стратегия – как выражение концепции канона. Канон понимают как формирующее начало, генезис которого сводится к последовательному созданию устойчивых семантических образований и представляет некий алгоритм обучения, проводимый в рамках GMP-стратегии. Для примера рассматривается теория государства, генезис которой исходит из канонов демократии, и GMP-стратегия связана с аксиоматизацией принципа социальной справедливости в государстве, который определяется принятием решения большинством голосов. Развитие канона демократии в русле аксиоматической теории привело к созданию теории кооперативных игр, элементы которой представляют содержание школьного факультатива по обществознанию (профильный уровень), реализующего канал эффективного обучения математике в гуманитарной области знаний

GMP-стратегия – как выражение идеи изоморфизма. В.Г.Болтянский при рассмотрении принципа наглядности пришел к формуле: наглядность = изоморфизм + простота. Сценарий GMP-стратегии в рамках концепции изоморфизма в процессе обучения демонстрируют следующие примеры:

концепция изоморфизма при решении текстовых задач школьной алгебры: из множества текстовых задач выделяются три класса задач – о заполнении резервуаров, на движение и на совместно произведенную работу, определяющие параметры и отношения которых связаны взаимно однозначным соответствием, позволяющим унифицировать методы решения текстовых задач в 9-м классе средней школы.

операторная версия комплексных чисел в планиметрии: в данном случае при решении планиметрических задач в рамках элективного курса (10-11классы) используется изоморфизм между группой операторов поворота векторов плоскости и унимодулярной группой комплексных чисел , где С – поле комплексных чисел; {z: zC, |z|=1}.

концепция изоморфизма и задачи линейного программирования(ЛП): проводится на междисциплинарном уровне обучения в рамках дисциплины по выбору специальности 032100.00 и, в усеченной версии элективного курса для 10-11 классов профильного экономического и физического обучения в школе, на примере задач ЛП; этот класс традиционно включает задачи экономического характера (транспортная задача, задача о планировании производства и др.), пополняется задачами физико-технического содержания (оптимизация освещенности, процесса электролиза и др.) и обобщается задачами нелинейной оптимизации, которые сводятся к линейным моделям.

GMP-стратегия при реализации интегрированного обучении на основе концепции центризма проводится, исходя из архимедовой концепции барицентра (центра тяжести).

Концепция барицентра при определении объемов многогранников и круглых тел на уроках геометрии. Речь идет о проведении лабораторных работ на уроках геометрии, в рамках которых с помощью взвешивания определяются формулы для объемов призмы, пирамиды, конуса и шара. В частности, для определения объема шара, путем взвешивания (рис.2) убеждаемся, что два цилиндра уравновешиваются тремя шарами. Тогда, если mц; mш – массы цилиндра и шара, то 2mц=3mш, т.е.2Vц=3Vш, т.к. тела выполнены из одинакового материала. По формуле объема цилиндра имеем Vц=Sh=R22R=2R3=1,5Vш и , где R – радиус шара, т.е. путём взвешиваний устанавливается формула для вычисления объёма шара.

Концепция барицентра в популяционной генетике. Концепция барицентра в этом случае проводится в виде барицентрических координат, которые позволяют описывать передачу наследственных признаков от поколения к поколению в рамках законов Г.Менделя, что позволяет определить равновесные состояния популяции, характеризуемые законом Харди-Вайнберга. Данный вариант GMP-стратегии междисциплинарного обучения сводит сразу три дисциплины; механику, геометрию и биологию.

Концепция колориметрического барицентра (КБЦ) и феномены психологии творчества и восприятия живописных произведений. Реализация GMP-стратегии в этом случае сводится к формализации живописного образа в виде поверхности изображения Im, с каждой точкой которой связан оттенок цветового пространства F, так, что образуется некоторое подмножество декартова произведения ImF, представляющее смысловое пространство рассматриваемого живописного образа, являющееся объектом восприятия. Концепция КБЦ предусматривает построение отображения: ImF W, которое каждой точке живописного образа, в зависимости от ее цвета, ставит в соответствие неотрицательное число из множества W, рассматриваемое в качестве «колориметрической» массы данной точки. Данное отображение определяет структурно-колориметрический спектр живописного образа, по которому, на основе формул механики, находится его КБЦ, с его положением связаны особенности композиции данного произведения. Исследования проведены с помощью специальной ИКТ (Фирстов В.В., 2006), реализующей прямую загрузку больших массивов анализируемого живописного материала с порталов ведущих картинных галерей мира. Как показал компьютерный анализ 1174 картин различных жанров, школ и эпох, концепция КБЦ отражает цветовой баланс живописного произведения и выражает каноны эстетики в живописном творчестве. Материалы этого исследования внедрены на кафедре культурологии Саратовского государственного технического университета профессором А.В.Волошиновым в виде лекций и практических занятий, а также в процессе руководства курсовыми и дипломными работами студентов. Цели такого обучения в области эстетики ясно обозначил Платон, который в IV в. до н.э. отмечал, «как легко отыскать примеры прекрасного и как трудно объяснить, почему они прекрасны». Тем не менее, в античные времена зародилась идея о том, что у колыбели гуманитарного знания все-таки стояли рациональные принципы.

В четвертой главе «Опыт управления креативными процессами при формировании умений и навыков математического исследования в учебном процессе» демонстрируется методика проведения GMP-стратегии – как одной из концепций в дидактике математического творчества, которая схематично представлена на рис.3.

В учебном процессе этот аспект отрабатывался на основе авторских монографий [1-4], материал которых составил содержание элективных курсов профильного уровня обучения математике и, в расширенной версии, тематику спецкурсов, а также курсовых и дипломных работ для студентов специальности 032100.00. Ниже даны контуры методики построения спецкурсов на основе GMP-стратегии, исходя из теоремы Пифагора.

Задача Пифагора: новые интерпретации и генеалогия пифагоровых троек.

Исходный пункт. Задача Пифагора о нахождении натуральных решений

уравнения x2+y2=z2, называемых пифагоровыми тройками.

Этап 1. Общее решение задачи Пифагора дано Евклидом и имеет вид:

x=2ab; y=(); z=(, (25)

где a;bN, b>a и пара (b;a) образует так называемую примитивную пару взаимно простых чисел разной четности.

Этап 2. Дается изящное решение задачи Пифагора, опирающееся на свойства поля комплексных чисел. Пусть (b;a) – примитивная пара, с которой в комплексной плоскости проводятся следующие преобразования:

(26)

где x;y;z совпадают с решением (25) и представляют пифагорову тройку.

Этап 3. Имеет место взаимно однозначное соответствие (x;y;z) (b;a), которое в рамках (25);(26) при геометрическом толковании операций с комплексными числами приводит к оригинальному решению задачи Пифагора путем построения с помощью циркуля и линейки.

Этап 4. Обобщение решения (25) получается, если его представить в виде: z – y = 2; z + y = 2. (27) Система (27) определяет два семейства парабол на конусе, которые образуют сеть, узлы которой определяют пифагоровы тройки с координатами (x;y;z).

Далее, в расширенной версии для студентов специальности 032100.00, дается полугрупповое обобщение задачи Пифагора, которое приводит к изящной интерпретации решения в виде трихотомического дерева, определяющего генеалогию пифагоровых троек.

Обобщенные пифогоровы построения (ОПП).

Исходный пункт. Конфигурация квадратов в виде «пифагоровых штанов» используемая Евклидом при доказательстве теоремы Пифагора.

Этап 1.От этой конфигурации строится неограниченная сеть квадратов, ,
представляющая ОПП, топологию которых определяет бесконечный граф, являющийся одновременно эйлеровым и гамильтоновым (рис.4).

Этап 2. В сети ОПП выделяются 6 неограниченных серий квадратов, в каждой из которых соответствующие стороны квадратов связаны линейным рекуррентным уравнением 2-го порядка вида: un+2=5un+1 – un. (28)

Этап 3. Одноимённые вершины квадратов соответствующих серий ОПП (например, A1; A3; A5; …; A2n-1,B1; B3; …; B2n-1, B2; B4; …; B2n и т.п., располагаются на гиперболе и всего, таким образом, получается 12 гипербол, имеющих общий центр в точке пересечения медиан A1B1C1.

Далее, в расширенной версии для студентов специальности 032100.00:

Этап 4. Решение уравнения (28) представляется в виде дерева с переменной ветвистостью, которое описывается в виде ультраметрического

пространства (С.Л.Гинзбург, 1989), фрактальная размерность которого равна (1/ln5)ln(0,5(+5))0,9735, при топологической размерности 0.

Этап 5. Устанавливается наличие общей связи между рекуррентными уравнениями 2-го порядка Un+2=pUn+1+qUn и коническими сечениями, включая вырожденные случаи. В частности, при p+q-10 тип конического сечения зависит от дискриминанта D характеристического уравнения: гипербола при D>0, парабола при D=0, эллипс – при D<0.

Таким образом, данные процедуры обобщений теоремы Пифагора довольно быстро приводят к результатам довольно высокого уровня, что свидетельствует об эффективном обучении математике в рамках GMP-стратегии. Помимо этого, реализованы варианты GMP-стратегий на основе иных математических предпосылок. Исходя из теоремы о делении с остатком, в рамках школьного факультатива или спецкурса для студентов, продемонстрированы феномены теории чисел реологические числа, отражающие неординарные свойства арифметических идемпотентов. В другом случае происходит обобщение канона классических магических квадратов, которое приводит к построению теории магических квадратов из домино (МКД), в рамках которой определен общий алгоритм эффективного перечисления таких объектов, реализуемый в рамках ИКТ. В частности, определены все 957078 МКД размера 44, которые реализуются в 9 вариантах укладки; для 66 таких укладок оказывается 930, а их количество в реальное время определить пока не удается.

В заключении констатируется, что результаты диссертационного исследования, проведенного в русле принятой концепции, позволяют обосновать правомерность принятой гипотезы, и тем самым, реализовать поставленные цели и задачи данного исследования. Поэтому можно утверждать, что разработка теории математических моделей управления когнитивными процессами на основе кибернетической концепции представляет важный компонент совершенствования школьного обучения математике. Наиболее важными представляются следующие общие моменты:

1). Разработка теории математических моделей в дидактике обеспечивает ей переход с уровня феноменологической теории на логико-математический уровень развитой теории, на котором, кроме функций фиксации и систематизации знаний, появляются также функции приращения, объяснения и предсказания результатов процесса обучения. Последний фактор имеет высокую значимость, т.к. на современном этапе школьная математическая подготовка подразумевает не только высокий уровень знаний предмета, но также приобретение компетенций, позволяющих реализовать эти знания в виде математической модели в рамках ИКТ.

2). Теория математических моделей для управления когнитивными процессами при обучении математике в школе исходит из информационной сущности учебных процессов, воздействие на которую реализует управление этими процессами в соответствии с поставленными целями. Целевое воздействие может проводиться на количественный или качественный аспекты информации, реализуемой в данном учебном процессе, на основе которых формируются модели управления этими процессами.

3). Управление учебным процессом воздействием на количественный аспект информации образовательного контента проводится по критерию минимума информационной энтропии данного процесса (оптимизация 1-го рода). Разработана следующая система базисных моделей, управление которыми сводится к оптимизации 1-го рода:

«Сократовский» диалог, алгоритм которого формируется на основе концепции развивающего обучения Л.С.Выготского и на этой основе построена модель обучающей ЭС общего назначения, реализующая управление показателями успеваемости учащихся в процессе обучения в рамках ИКТ;

Организация эффективного группового сотрудничества на занятии путем оптимального разбиения обучаемого контингента на группы по критерию минимума групповой энтропии;

Процедура оптимизации тематического планирования учебного процесса путем эффективного разбиения образовательного контента на дидактически законченные фрагменты, благоприятные для усвоения.

4). Управление учебным процессом воздействием на качественный (семантический) аспект информации образовательного контента сводится к оптимизации его «топологического портрета» в рамках когнитологической модели (оптимизация 2-го рода), реализованной в моделях формирования образовательного контента, креативной педагогики и междисциплинарного обучения.

5). Модели формирования образовательного контента строятся в рамках неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети, которая надлежащим образом метризуется и характеризуется определенной системой покрытий, что позволяет ввести сетевые параметры оптимизации для управления качественными аспектами данной системы знаний, что позволяет выделить следующие классы задач сетевого управления:

Оптимизация предметного содержания путем совершенствования аксиоматики теории, показанная на примере школьного курса геометрии;

Оптимизация дедуктивного вывода на семантических сетях путем минимизации его длины или емкости, которая способствует эффективной реализации дидактических принципов при обучении математике в школе;

Ранжировка значимости элементов семантической сети при формировании креативного поиска в школьном обучении математике.

6). Создана общая теория управления креативными процессами при обучении математике как оптимальное управление ветвящимся марковским процессом по критерию значимости, который задается в виде отношения доминирования между элементами семантической сети, представляющей предметное содержание, что приводит к «концепции больших узловых точек» или GMP-стратегии (great main points) для реализации эффективного поиска при обучении математике.

8). Опыт управления креативными процессами в учебном процессе на основе GMP-стратегии, апробирован в следующих формах:

Путем анализа методики постановки и разрешения известных математических проблем Д.Гильберта (1900);

В различных сценариях обучения на основе авторских монографий [1-4], в которых математическое исследование формируется в русле GMP-стратегии, исходящей из теоремы Пифагора;

В различных сценариях обучения на основе оригинальных авторских исследований в области реологических чисел [4;23] и магических квадратов из домино [4;26], где GMP-стратегия проводится, соответственно, из теоремы о делении с остатком и канона классических магических квадратов.

9). Проведение GMP-стратегии при реализации межпредметных связей математики в процессе обучения осуществляется в рамках некоторой общей методологии, представленной в следующих вариантах:

GMP-стратегия, исходящая из канона демократии путем аксиоматизации идеала справедливости на основе принятия решения большинством голосов, который формирует модель государства, составляя содержание школьного факультатива при обучении обществознанию.

GMP-стратегия, проводимая в категории морфизма на основе управления дидактическим принципом наглядности, и демонстрируемая с помощью текстовых задач школьной алгебры, операторной версии комплексных чисел в планиметрии и задач линейного программирования.

GMP-стратегия, проводимая на основе концепции центризма, исходя из архимедовой концепции барицентра (центра тяжести). На этой основе реализован лабораторный практикум по определению объемов школьных многогранников и круглых тел путем взвешивания; барицентрические координаты описывают законы наследственности Г.Менделя, реализуя приложения математики в генетике; концепция колориметрического барицентра, как выяснилось, отражает цветовой баланс живописного произведения и выражает каноны эстетики в живописном творчестве.

Естественно, выполненное исследование не исчерпывает всех аспектов проблемы, сформулированной в данной диссертационной работе, однако можно говорить о том, что область приложений кибернетики в педагогике довольно широкая и вряд ли будет уменьшаться. По-прежнему, остаются проблемы эффективной интеграции ИКТ в образовательное пространство, т.к. прогресс в области ИКТ сильно опережает темпы их внедрения в учебные процессы. Далека от разрешения проблематика параллельных алгоритмов в обучении, начатая в свое время П.М.Эрдниевым путем укрупнения дидактических единиц в математике. Наконец, не исчерпан арсенал идей в области междисциплинарного проведения GMP-стратегии.

В приложениях к диссертации приведены: программа спецкурса «Обучающие экспертные системы» для будущих учителей математики и, в усеченной версии, для школьников профильного уровня обучения; технологические компоненты (тесты) для реализации оптимального группового сотрудничества в учебном процессе; конспект факультативных занятий в 9-м классе по теме «Нестандартное решение задач на совместно произведенную работу (СПР)»; пакет задач для проведения элективного курса «Операторная версия комплексных чисел в планиметрии» (10-11 классы) и рабочая программа дисциплины по выбору «Избранные вопросы алгебры: линейное, дробно-линейное и квадратичное программирование в контексте школьного образования».

Основное содержание диссертации изложено в следующих публикациях автора:

Монографии.

1. Фирстов, В.Е. Нетрадиционные геометрические интерпретации, полугрупповая теория и генеалогия пифагоровых троек [Текст] / В.Е.Фирстов // Монография.Саратов: ООО Изд-во«Научная книга»,2004. – 91 с. (5,7 п.л.).

2. Фирстов, В.Е. Рекуррентные последовательности, фрактальные иерархические структуры и конические сечения при конструктивных обобщениях теоремы Пифагора [Текст] / В.Е.Фирстов // Монография. – Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2005. – 136 с.(8,5 п.л.).

3. Фирстов, В.Е. Информационно-стохастическая модель и оптимизация при построении и распространении математического знания [Текст] / В.Е. Фирстов // Монография. – Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2006. – 55 с. (3,44 п.л.).

4. Фирстов, В.Е. Кибернетическая концепция и математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в школе и вузе [Текст] / В.Е. Фирстов // Монография. – Саратов: Издательский Центр «Наука», 2010. – 511 с. (32 п.л.).

Публикации в изданиях, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ.

5. Фирстов, В.Е. Механические приемы подсчета объемов [Текст] / В.Е. Фирстов, И.В. Серебрякова // Математика в школе, 2001, №5. – С.40-42 (0,18 / 0,1 п.л.).

6. Фирстов, В.Е. Теорема Пифагора как источник замечательных математических открытий, идей и обобщений [Текст] / В.Е.Фирстов // Математика в школе, 2001, № 9. – С.59-63 (0,31 п.л.).

7. Фирстов, В.Е. Семантическая модель и оптимизация при построении и распространении математического знания [Текст] / В.Е. Фирстов // Вестник Саратовского госуд. техн. ун-та, 2006, №3 (14), вып. 1. – С. 34-43 (0,63 п.л.).

8. Фирстов, В.Е. Стохастическая модель построения информационного пространства дедуктивной теории и оптимизация исследовательской работы в области математики [Текст] / В.Е. Фирстов // Вестник Саратовского госуд. техн. ун-та, 2006, №4 (17), вып. 2. – С. 13-21 (0,56 п.л.).

9. Фирстов, В.Е. Концепция развивающего обучения Л.С.Выготского, педагогика сотрудничества и кибернетика [Текст] / В.Е. Фирстов // Ярославский педагогический вестник, 2008, Выпуск №4(57). – С.98-104 (0,44 п.л.).

10. Фирстов, В.Е. Экспертные системы и информационная концепция развивающего обучения [Текст] / В.Е. Фирстов // Ярославский педагогический вестник, 2009, №1(58). – С. 69-73 (0,31 п.л.).

11. Фирстов, В.Е. О преподавании математики на гуманитарных направлениях и специальностях вузов [Текст] / В.Е. Фирстов // Высшее образование сегодня, 2009, №2. – С.82-84 (0,18 п.л.).

12.Фирстов, В.Е. Кибернетическая концепция в современном учебном процессе [Текст] / В.Е. Фирстов // Высшее образование сегодня, 2009, №3. – С.66-68 (0,18 п.л.).

Публикации в реферируемых изданиях.

13. Фирстов, В.Е. Обучение в диалоге: кибернетический аспект [Текст] / В.Е. Фирстов // Вестник Саратовского госуд. техн. ун-та, 2007, №4 (28), вып. 1. – С 135-145 (0,69 п.л.).

14. Фирстов, В.Е. Количественные меры информации и оптимизация группового сотрудничества при обучении [Текст] / В.Е. Фирстов // Вестник Саратовского госуд.техн. ун-та, 2008, №3 (34), вып. 1. – С. 105-109 (0,31 п.л.).

15. Фирстов, В.Е. Информационная технология организации группового сотрудничества при обучении [Текст] / В.Е. Фирстов // Вестник Саратовского госуд. техн. ун-та, 2009, №2 (39), вып.2 – С. 101-103 (0,18 п.л.).

16. Фирстов, В.Е. Специальная матричная полугруппа преобразований примитивных пар и генеалогия пифагоровых троек [Текст] / В.Е. Фирстов // Математические заметки, 2008, т. 84, вып. 2. – С. 281-299 (1,13 п.л.).

17. Firstov, V.E. Conception of colorimetric barycenter in painting analysis [Text] / V.V. Firstov, V.E. Firstov, A.V. Voloshinov // Proc. Intern. Congress on Aesthetics, Creativity and Psychology of the Arts (Perm, 2005). – Moscow: Smysl, 2005. P. 258–260 (0,18 / 0,06 п.л.).

18. Firstov, V.E.The concept of colorimetric barycenter in group analysis of painting [Text] / V.V. Firstov, V.E. Firstov, A.V. Voloshinov // Culture and Communication: Proc. XIX Congress of the Intern. Assoc. of Empirical Aesthetics.Avignon (France): IAEA, 2006. P. 439-443 (0,31 / 0,1 п.л.).

19. Firstov, V.E. The Concept of Colorimetric Barycenter and Visual Perception of the Color Balance Center in Painting [Text] / V.V. Firstov, V.E. Firstov, A.V. Voloshinov // Proc.XX Biennial Congress of the Intern. Assoc. of Empirical Aesthetics.Chicago (Il.,USA): IAEA, 2008. P.273-277 (0,31 / 0,1 п.л.).

20. Firstov, V.E. The Colorimetric Barycenter of Paintings [Text] / V.V. Firstov, V.E. Firstov, A.V. Voloshinov, P. Locher // Empirical Studies of the Arts, 2007, V. 25, № 2. P. 209-217 (0,56 / 0,14 п.л.).

21. Firstov, V.E. A Special Matrix Trasformation Semigroup of Primitive Pairs and the Genealogy of Pythagorean Triples [Text] / V.E. Firstov // Mathematical Notes, 2008, v.84, № 2. – Р.263-279 (1 п.л.).

22. Firstov, V.E. Semantic Model and Optimization of Creative Processes at Mathematical Knowledge Formation [Text] / V.E. Firstov // Natural Science, 2010, Vol.2, No.8. – P. 915-922 (0,5 п.л.).

23. Фирстов, В.Е. Реологические числа и их связь с полурешетками колец классов вычетов [Текст] / В.Е.Фирстов // 54-е Герценовские чтения: Проблемы теории и практики обучения математике. – С.-Пб: изд-во РГПУ им. Герцена, 2001. – С. 136-138 (0,18 п.л.).

24. Фирстов, В.Е. Рекурретные последовательности и семейство гипербол при обобщениях теоремы Пифагора [Текст] / В.Е. Фирстов. – Там же. – С. 139-141 (0,18 п.л.).

25. Фирстов, В.Е. Рекурретные уравнения и их связь с алгебраическими кривыми [Текст] / В.Е. Фирстов. – Там же. – С. 141-142 (0,13 п.л.).

26. Фирстов, В.Е. Алгебраические интерпретации домино и их приложения [Текст] / В.Е. Фирстов // Труды 4-й международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов. – Ульяновск: УлГУ, 2001. – С.149-151 (0,18 п.л.).

27. Фирстов, В.Е. Линейное программирование при решении некоторых физико-технических задач [Текст] / В.Е.Фирстов, И.В.Серебрякова // Новые технологии в образовании. Сб.науч. трудов международной электронной конференции. – Воронеж: изд-во ВГПУ, 2001. – С.70-71 (0,13 / 0,07п.л.).

28. Фирстов, В.Е. Раннее тестирование в средней школе [Текст] / В.Е.Фирстов, В.А.Иванов. – Там же. – С.75-77 (0,18 / 0,09п.л.).

29. Фирстов В.Е. Мониторинг достижений учащихся начальной школы [Текст] / В.Е. Фирстов, В.А.Иванов, С.А.Ворошилов, Г.Ю.Науменко [и др.] // Развитие тестовых технологий в России. Материалы Всерос. научно-практ.конф. – М.: Минобр. РФ, 2002. – С.87-88 (0,13 / 0,02 п.л.).

30. Фирстов, В.Е. Нетрадиционные геометрические интерпретации пифагоровых троек [Текст] / В.Е. Фирстов // Труды II-х Колмогоровских чтений. – Ярославль: изд-во ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 2004..– С.368-375 ( 0,5 п.л.).

31.Фирстов, В.Е. Специальная матричная полугруппа преобразований примитивных пар и генеалогия пифагоровых троек [Текст] / В.Е. Фирстов // Чебышевский сборник, 2005, т.6, вып. 1(15). – С. 163-183 (1,31 п.л.).

32. Фирстов, В.Е. Информационно-стохастическая модель и оптимизация при формировании математического знания [Текст] / В.Е. Фирстов // Труды IV-х Колмогоровских чтений. – Ярославль: изд-во ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 2006. – С. 240-252 (0,81 п.л.).

33. Фирстов, В.Е. Семантические сети и эффективное формирование математического знания [Текст] / В.Е. Фирстов // Труды V-х Колмогоровских чтений. – Ярославль: изд-во ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 2007. – С. 172-182 (0,69 п.л.).

34. Фирстов, В.Е. Из опыта организации открытого образования в Саратовском госуниверситете им. Н.Г.Чернышевского [Текст] / Н.А.Иванова, Л.Ю.Коссович, И.Г. Малинский, В.Е. Фирстов // Труды VI-х международных Колмогоровских чтений. – Ярославль: изд-во ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 2008. – С. 317-320 (0,25 / 0,06 п.л.).

35. Фирстов, В.Е. О преподавании математики в гуманитарной области высшего образования [Текст] / И.К.Погорелов, В.В. Фирстов, В.Е. Фирстов. – Там же. – С.287-298 (0,75 / 0,25п.л.).

36. Фирстов, В.Е. Линейное программирование при решении некоторых физико-технических задач [Текст] / В.Е.Фирстов, И.В.Серебрякова // Преподавание естественного цикла в вузе и школе. Сб. науч. трудов. – Саратов: ООО «Исток С», 2001. – С. 62-67 (0,31 / 0,16 п.л.).

37. Фирстов, В.Е. Идея изоморфизма и ее интерпретация при решении текстовых задач в школьном курсе алгебры: теоретический аспект [Текст] / В.Е. Фирстов, И.В. Серебрякова, В.И.Игошин // Актуальные вопросы региональной педагогики. Сб. науч. трудов. Вып.7. – Саратов: изд-во СГУ, 2005. – С. 32-38 (0,44 / 0,15 п.л.).

38. Фирстов, В.Е. Идея изоморфизма и ее интерпретация при решении текстовых задач в школьном курсе алгебры (примеры решения задач) [Текст] / В.Е. Фирстов, И.В. Серебрякова, В.И.Игошин.–Там же. – С. 38-43 (0,38 / 0,13 п.л.).

39. Фирстов, В.Е. Некоторые аспекты преподавания математики в гуманитарной области высшего образования [Текст] / И.К.Погорелов, В.В. Фирстов, В.Е. Фирстов // Учитель – ученик: проблемы, поиски, находки. Сб. науч. трудов. Вып.6. – Саратов: ИЦ «Наука», 2008. – С. 18-32 (0,94 / 0,31 п.л.).

Учебно-методические пособия.

40. Фирстов, В.Е. Тесты по математике для учащихся 6-х классов общеобразовательных учреждений [Текст] / В.Е. Фирстов, В.А. Иванов, Т.В.Калмыкова // Первый уровень профессионального тестирования. Под ред. Л.Ю.Коссовича и А.И.Самыловского.– Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. – С. 86-112 (1,68 / 0,56 п.л.).

41. Фирстов, В.Е. Тесты по математике для учащихся 4-7 классов [Текст] / В.Е. Фирстов, В.А.Иванов. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. – 40 с.(2,5 /1,25 п.л.).

42. Фирстов, В.Е. Комплексные числа в виде линейных операторов при решении планиметрических задач [Текст] / В.Е. Фирстов, И.В. Серебрякова, Н.А.Гордиенко, Э.С.Беляева // Комплексные числа и их приложения. Учебное пособие. – Воронеж: изд-во ВГПУ, 2004. – 160 с. (10 / 2,0 п.л.).

43. Фирстов, В.Е. Теория множеств. Книга для 5-7 классов ЗМШ при СГУ им. Н.Г. Чернышевского [Текст] / В.Е. Фирстов. – Саратов: ЦОО СГУ, 2004. – 62 с. (3,88 п.л.).

44. Фирстов, В.Е. Сборник тем курсовых работ по математике (алгебра, математическая логика, дискретная математика) [Текст] / В.А.Молчанов, В.Е.Новиков, Т.М. Отрыванкина, В.Е. Фирстов.Оренбург: ГОУ ОГУ.2004.– 68 с.(4,3 / 0,8 п.л.).

Формат 60х92/16.

Объём 2,5 п. л. Тираж 100 экз.

Заказ № ___

Типография

ГОУ ВПО «Ярославский государственный

педагогический университет им. К.Д. Ушинского»

150000 г. Ярославль, Которосльная наб., 44