Организация деятельности студентов по р аскрыти ю содержательных связей в курсе алгебры педагогического вуза
На правах рукописи
УДК: 512.8
Сотникова Ольга Александровна
Организация деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в курсе алгебры педагогического вуза
13.00.02 – Теория и методика обучения и воспитания
(математика, уровень высшего образования)
А в т о р е ф е р а т
диссертации на соискание ученой степени
доктора педагогических наук
Москва – 2009
Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Поморский государственный университет имени М.В. Ломоносова»
| Официальные оппоненты: | доктор физико-математических наук, профессор Пихтильков Сергей Алексеевич; доктор педагогических наук, профессор Сафуанов Ильдар Суфиянович; доктор педагогических наук, профессор Хамов Геннадий Григорьевич |
| Ведущая организация: | ГОУ ВПО «Вологодский государственный педагогический университет» |
Защита диссертации состоится «18» марта 2009 г. в __ часов на заседании объединенного диссертационного совета ДМ 850.007.03 при Московском городском педагогическом университете и Тульском государственном педагогическом университете имени Л.Н. Толстого по адресу: 127512, г. Москва, ул. Шереметьевская, д. 29, ауд. 404.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского городского педагогического университета
Автореферат разослан « » ___________ 2009 г.
| Ученый секретарь диссертационного совета д-р пед. наук, профессор | В.В. Гриншкун |
общая характеристика работы
Актуальность исследования. В настоящее время образование выступает как важнейший компонент культурного развития человека и общества в целом. Традиционная модель образования, концентрирующаяся на формировании знаний, умений и навыков, стала непродуктивной в условиях современного общества, поэтому в системе образования наметился поворот к выработке новой парадигмы, постулирующей единство культуры и образования: твердо наметилась тенденция к реализации культуротворческой модели обучения, акцентирующей внимание на развитие учащихся, усиление когнитивной функции знания, формирование личности креативного типа, способной к созидающей деятельности. В этой связи в современном школьном образовании наблюдается индустриализация обучения, связанная с внедрением компьютерных технологий, переход к активным формам обучения, изменение способов учебного процесса, реализуется профильное обучение в старшей школе, вводятся элективные курсы и др.
Названные обстоятельства требуют внесения корректив в процесс подготовки учителя математики в вузе: невозможно сохранить традиционный подход к обучению, если взгляд на образование меняет свой характер. Его необходимо направить на «культурное» измерение дисциплин, освободив его от догматичности, предоставив личности разумную свободу, собственный выбор пути познания, восприятие целостного мира и своего места в нем. В этой связи в системе высшего образования наметилась герменевтическая тенденция, состоящая в том, что обучение нацелено на глубинное понимание материала студентами, при котором предметные знания учителя становятся готовыми не только к воспроизведению, но и воспроизводству («построению заново»), конструированию.
Изучение предметных дисциплин при подготовке учителя математики в педагогическом вузе имеет назначение как в плане профессионального становления учителя, так и в плане общего развития студента, отвечающего его интересам и потребностям. Учитель должен хорошо понимать содержание своего предмета. Только в этом случае можно надеяться, что он справится с задачей обучения этому предмету учеников. Обеспечение фундаментальными математическими знаниями будущего учителя составляет базисную функцию предметных дисциплин в педагогическом вузе. Другая их функция связана с тем, что интерес к математике является неотъемлемой чертой студентов математических факультетов, а потому предметные дисциплины выполняют познавательную функцию, т.е. изучение математики служит удовлетворению и развитию познавательных потребностей студентов.
На первый взгляд, студенты должны изучать то, что хотят изучать. В этой согласованности требований к студентам и их желаний прогнозируем резонанс знаний. Вместе с тем, практика и проводимые исследования показывают, что уровень математической подготовки учителя математики не очень высок и в последние годы даже снижается. Отмечаются такие недостатки, как формальность и фрагментарность знаний студентов. Без устранения причин, порождающих эти недостатки в математических знаниях студентов, невозможно функционирование предметных дисциплин. Следовательно, методика изучения предметных курсов нуждается в существенном изменении.
Необходимо отметить, что математическое содержание дисциплин в педвузе, как правило, представлено однозначно в форме определений, теорем, доказательств и т.д. Набор иллюстративных примеров математических понятий и идей не столь уж велик. Такая специфика часто подвигает студента лишь на запоминание (фактов, примеров, способов решения задач и т.д.) без привлечения механизмов понимания (сущности изучаемых абстракций, способов, математических методов и т.д.). Это проявляется в формальном «усвоении» математики, что недопустимо для будущего учителя. Иначе говоря, в реальном учебном процессе базисная функция предметных дисциплин при подготовке учителя математики не реализуется. Можно сказать, что первое противоречие, неразрешимость которого ведет к формальным знаниям студентов, состоит в «формальности» предметного содержания математических дисциплин и необходимости его глубокого понимания студентами.
Попытки изменения учебных планов и программ в педагогических вузах, введение государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования, проявление тенденции гуманитаризации обучения не изменили подход к обучению вузовской математике. Он по-прежнему носит когнитивно-информационный характер (причем больше информационный). В преподавании математики превалирует догматичность изложения материала, трансляция фактологических сведений. В некоторых случаях для математики данный подход вполне уместен, а потому дает положительные результаты, но он не решает проблему фрагментарности знаний студентов. Подлинное знание, которое может выполнять познавательную функцию, связано с целостностью предмета, поэтому второе противоречие в изучении математики заключено в его реальной фрагментарности и необходимости целостности.
Указанные противоречия присущи, пожалуй, многим математическим дисциплинам, но при изучении вузовской алгебры они проявляются особенно. Ее материал часто не позволяет апеллировать к «житейским» и наглядно-образным представлениям. Предметное содержание курса алгебры представляет собой совокупность отдельных математических теорий. Изложение алгебраических теорий строго подчиняется принципам дедуктивного построения, обоснования выводов опираются на законы формальной логики. Ярко выраженная формализованность алгебраического материала и его фрагментарность обнажают противоречия при его изучении. Для их преодоления требуется отыскать основу, на которой возможно построение курса алгебры в нацеленности на понимание материала. Если курс алгебры изучается вне подлинного понимания, то он не оказывает пользы в профессиональном аспекте, не способствует развитию студента, не отвечает требованиям герменевтического подхода к обучению.
Герменевтический подход к обучению учитывает многие виды деятельности: моторные, языковые, психологические и др. С психолого-методологических позиций целесообразно вести речь о понимании, характеризующемся владением смыслом изучаемой предметной области, т.е. о «культурном понимании» (термин В.П. Зинченко).
Анализ психолого-педагогической и методической литературы (А.А. Вербицкий, Л.П. Доблаев, О.Б. Епишева, В.И. Загвязинский, В.П. Зинченко, Т.А. Иванова, И.С. Сафуанов и др.) показывает, что проблема понимания в обучении с позиции деятельности только поставлена, причем в общепедагогическом аспекте, ее методические составляющие мало исследованы.
Способы достижения продуктивной предметной подготовки будущих учителей математики в вузе разрабатывались Л.Д. Кудрявцевым, А.Г. Мордковичем, В.Т. Петровой, М.В. Потоцким, Е.И. Смирновым, В.А. Тестовым, Г.Г. Хамовым, Л.В Шкериной, А.В. Ястребовым и др. В психолого-педагогических исследованиях понимание математического материала чаще всего рассматривается с позиции логико-математических принципов (О.Б. Епишева, Т.А. Иванова, А.М. Сохор, А.А. Столяр и др.).
Как показывает анализ психологической и философской литературы (Н.С. Автономова, Л.С. Выготский, А.А. Брудный, Л.П. Доблаев, В.П. Зинченко, В.В. Знаков, М.С. Роговин, В.В. Розанов, Г.И. Рузавин, Ст. Тулмин, В.Д. Шадриков и др.), для понимания студенту необходимо самому устанавливать связи в материале. С методологических позиций установление связей в процессе изучения студентами математического материала целесообразно рассматривать в фундаменталистской модели математического познания: «объективный смысл» заложен в учебном тексте, и процесс его обретения есть раскрытие связей в материале. С этой точки зрения фактологические знания предметных курсов важны будущему учителю математики постольку, поскольку с их помощью осуществляется овладение смыслом тех математических методов, идей и т.д., которые дают возможность учителю решать задачи методики современного школьного обучения. Такое понимание учебного математического материала мы называем профессионально-педагогическим.
Связи в математическом материале могут быть различными. Одни связи имеют формальный характер, другие имеют процедурную природу. Содержательные связи являются связями, вскрывающими сущность знания, его основания, истоки и перспективы развития. Они определяют, почему знания связаны. В методических исследованиях в основном осуществляется поиск путей установления формальных и процессуальных связей, т.е. рассматривается логико-математический аспект математического материала. Понятие содержательных связей раскрыто в работах В.А. Далингера, В.В. Крылова, Е.И. Лященко, В.М. Туркиной, но применительно к школьной математике, содержательной по своей сущности. Для вузовских курсов понятие содержательных связей в математическом материале в научной и методической литературе явно не определено, не выделен и методический аспект их раскрытия субъектом познания.
Содержательные связи наполняют содержанием формальные и процессуальные связи, позволяют материалу образовать единство. Поэтому содержательные связи характеризуют целостность материала, причастность к общему в его конкретной разновидности. Методология познания акцентирует внимание на неразрывной связи понимания и целостности: понять можно только то, что наделено свойством целостности, и понимание достигнуто, если знания обладают этим свойством. Поэтому раскрытие студентами содержательных связей в математическом материале играет фундаментальную роль в процессе понимания. Вследствие этого понимание математического материала в процессе изучения предметных курсов можно трактовать как раскрытие содержательных связей самим студентом.
Для определения того, какие содержательные связи наиболее важны для понимания, необходимо обратиться к понятию целостности. Принципу целостности в исследованиях понимания в обучении математике пока не уделено должного внимания. Однако без поиска путей организации обучения, выделяющих целостность материала, т.е. организации деятельности студентов по раскрытию содержательных связей, проблему понимания в обучении вузовской математике не решить.
Наибольшую трудность в раскрытии содержательных связей представляет курс алгебры. Его материал высоко абстрактен, внешне оторван от материала школьной математики, особенно раздел «Алгебраические системы». Оперирование понятиями в математических теориях порой сводимо к оперированию символами, что часто ведет к формальности знаний. Приоритет логических связей внутри каждой отдельной математической теории часто порождает фрагментарность знаний: студенты порой оперируют понятиями одной теории, но затрудняются выделить общность различных теорий в устройстве, идеях и методах, способах образования понятий и т.д.
Результаты анализа знаний студентов и собственный опыт работы в вузе позволили прийти к выводу, что содержательные связи в курсе алгебры не раскрываются студентами. Ими часто выделяются лишь связи локального характера, и выполняется это поверхностно. Связи, вскрывающие суть отношений изучаемых понятий, в курсе алгебры глубоко скрыты абстракциями и оказываются не задействованными студентом в учебном познании. Такой процесс современному учителю математики не обеспечивает предметную подготовленность необходимого уровня.
Сказанное позволяет заключить, что в системе обучения курсу алгебры педагогического вуза имеются противоречия между необходимостью реализации подхода к обучению, направленного на глубокое профессионально-педагогическое понимание математического материала, в процессе которого осуществляется деятельность студентов по установлению содержательных связей в математическом материале, и ограниченными возможностями научно обоснованных методических систем и средств по организации деятельности студентов, в рамках которой раскрывается целостность содержания курса алгебры, образованная содержательными связями.
Требования современной системы образования свидетельствуют об актуальности темы «Организация деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в курсе алгебры педагогического вуза», выбранной для исследования.
Вышеуказанные обстоятельства и отмеченное противоречие определяют научную проблему настоящего диссертационного исследования. Она состоит в неполноте научно-теоретических положений по организации такой деятельности студентов в процессе обучения алгебре педагогического вуза, которая направлена на раскрытие студентами содержательных связей в математическом материале, составляющих целостность предметных знаний будущего учителя математики, определяющих процессуальность методической подготовки средствами предметных дисциплин.
Научная проблема исследования определяет следующие методологические характеристики исследования.
Цель исследования состояла в разработке теоретических положений по организации деятельности студентов, направленной на раскрытие содержательных связей при обучении курсу алгебры педагогического вуза и условий их реализации в нацеленности обучения на профессионально-педагогическое понимание математического материала.
Поскольку понимание есть раскрытие объективных содержательных связей, то достижение цели исследования можно осуществить, определив специфику содержательных связей в курсе алгебры, составляющие учебно-познавательной деятельности по их раскрытию.
Объект исследования: процесс обучения алгебре при подготовке учителя математики в педагогическом вузе.
Предмет исследования: методология содержательных связей в курсе алгебры педагогического вуза и способы деятельности по их раскрытию.
Гипотеза исследования состоит в предположении о том, что обучение алгебре в педагогическом вузе, реализуемое в рамках организации деятельности студентов по раскрытию содержательных связей, будет направлено на достижение такого уровня профессионально-педагогической подготовки учителя математики, который характеризуется:
1) владением алгебраических понятий на обобщенном уровне, которое будет проявляться в:
- использовании конструктивного и формального смысла алгебраических понятий, проявляющемся в вариативности трактовок в теоретическом материале курса алгебры, установлении морфизмов алгебраических структур, построении интерпретаций,
- выделении компонентов обобщенного понятия алгебраической структуры в математическом материале (в том числе и школьном);
2) развитыми умениями решать математические задачи теоретического уровня, которые будут проявляться в:
- получении аргументированных математических утверждений, обладающих свойством общности, на предметном материале как уровня интуитивных теорий, так при работе с аксиоматическими теориями;
- построении интерпретационных задач, конкретизирующих как условие, так и решение теоретических задач;
систематизации задач и их решений, построенной на принципах обобщения и абстрагирования.
Цель исследования, его предмет и гипотеза определили необходимость решения следующих задач.
1. Выделить основные тенденции современного образования и определить ключевые проблемы на данном этапе развития образования.
2. Изучить основные направления решения проблемы организации обучения студентов, ориентированного на профессионально-педагогическое понимание математики, в философской, психолого-педагогической, методической литературе и вузовской практике.
3. Выявить основные идеи и сформулировать исходные положения в решении проблемы организации обучения студентов, ориентированного на профессионально-педагогическое понимание математики, в современном вузовском преподавании на основе теоретического анализа проблемы.
4. Разработать теоретические положения концепции раскрытия содержательных связей в курсе алгебры при подготовке учителя математики в педагогическом вузе.
5. Разработать теоретические положения по организации обучения курсу алгебры в рамках реализации концепции раскрытия содержательных связей студентами.
6. Разработать методические положения реализации курса алгебры, построенного на концепции раскрытия содержательных связей.
7. Экспериментально проверить эффективность курса алгебры, построенного на концепции раскрытия содержательных связей, и методической системы его реализации в вузовской практике.
При выполнении исследования использовались следующие методы:
– анализ философской, психолого-педагогической, математической (истории математики), методической и учебной литературы с целью обращения к первичным основаниям и обоснованиям темы исследования (метаанализ);
– анализ нормативных документов: концепции модернизации системы образования до 2010 года, федеральной программы развития образования, государственных образовательных стандартов, учебных программ по курсу алгебры для педагогических специальностей;
– теоретическое осмысление результатов исследований в теории и методике обучения вузовской математике;
– анализ опыта обучения вузовской алгебре, в том числе собственного опыта работы в вузе;
– психолого-педагогические наблюдения за учебной деятельностью студентов;
– моделирование педагогических ситуаций;
– анкетирование студентов, учителей, преподавателей вузовской математики;
– беседы со студентами, учителями, преподавателями вуза;
– проведение педагогического эксперимента и анализ его результатов.
Теоретическую и методологическую основу исследования составили:
положения теории познания и герменевтики (Н.С. Автономова, А.А. Брудный, Ю.П. Ведин, Х.Г. Гадамер, Д.П. Горский, В.А. Карпунин, Ю.А. Петров, В.А. Лекторский, Г.И. Рузавин, Г. Фреге, А. Черч, С.А. Шапоринский и др.);
концепции современной философии образования (В.С. Библер, М.Е. Бершадский, Б.М. Бим-Бад, А.П. Валицкая, Б.С. Гершунский, О.В. Долженко, А.С. Запесоцкий, А.А. Нестеров, С.Ю. Трапицын и др.);
системно-структурный подход и его применение в теории и методике обучения и воспитания математике (И.В. Блауберг, Н.В. Кузьмина, Е.И. Лященко, Ю.А. Петров, Г.И. Саранцев, В.А. Тестов, А.И. Уёмов, Э.Г. Юдин и др.);
теоретические положения: культурно-исторической психологии и психологической теории деятельности (А.Г. Асмолов, Г.А. Балл, Дж. Брунер, Л.М. Веккер, М. Вертгеймер, Л.С. Выготский, В.В. Давыдов, И.А. Зимняя, В.П. Зинченко, Л.В. Знаков, М. Коул, И.С. Якиманская и др.), дидактики высшей школы (А.А. Вербицкий, В.И. Загвязинский, И.И. Ильясов, Н.В. Кузьмина, Н.Д. Никандров и др.), теории и методики обучения математике (А.Я. Блох, Н.Я. Виленкин, Я.И. Грудёнов, О.Б. Епишева, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.Л. Луканкин, Е.И. Лященко, Н.В. Метельский, А.Г. Мордкович, Н.С. Подходова, М.В. Потоцкий, Н.Л. Стефанова, А.А. Столяр, В.А. Тестов, Г.Г. Хамов и др.);
методология математики и методология обучения математике (Г. Вейль, Е.М. Вечтомов, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, В.В. Мадер, Г.И. Рузавин, Г.И. Саранцев, А. Черч и др.).
Базой научного исследования и опытно-экспериментальной работы явились кафедра методики преподавания математики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова; кафедра высшей математики Коряжемского филиала Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова; кафедра алгебры и геометрии Вятского государственного гуманитарного университета; кафедра высшей математики Ленинградского государственного университета им. А.С. Пушкина; кафедра алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике Коми государственного педагогического института.
Научная новизна исследования заключается в том, что:
1. Предложена научно обоснованная целостная концепция раскрытия содержательных связей в курсе алгебры педагогического вуза, воплощающая продуктивную идею единства методологии математического познания и организации процесса изучения математического материала путем структурирования предметного содержания дисциплины с целью придания ему свойства целостности и соответствующей организации самостоятельной деятельности студента по раскрытию этой целостности. Научные идеи, составляющие содержание концепции раскрытия содержательных связей в курсе алгебры педагогического вуза, обогащают дидактическую концепцию личностно-деятельностного подхода к обучению в разработке составляющих процесса учения: субъектный опыт представляется как процесс выделения формализованного и конструктивного смысла математических понятий и вариативных отношений между ними.
2. Раскрыта внутренняя связь между понятием целостности математического материала и аспектами процесса его понимания при изучении вузовской математики не только по линии освоения знания, но и на основе выделения идейной общности математических теорий, которой овладевает студент, в силу чего он становится профессионально мотивированным к изучению вузовской математики и подготовленным к восприятию методических дисциплин в своих умениях выполнять содержательный анализ математического материала. На основе этой выделенной методологической связи целостности и психолого-педагогического понимания математического материала предложена научная методическая идея организации деятельности студентов по изучению курса алгебры, состоящая в том, что направленность организации учебной деятельности определяется составом содержательных связей, определяемых обобщенным понятием алгебраической структуры, в их органическом единстве: координатизацией, формализацией и аксиоматизацией математических идей и понятий.
3. Выделены признаки понятия содержательной связи, базирующиеся на идее целостности, основу которых составляет двунаправленное движение между абстрактным и конкретным, формальным и конструктивным: подчиненность единству (идеи, понятию), многоаспектность фактологии составляющих содержательных связей, объективность результата установления содержательных связей, концептуальность связующих отношений в математическом материале. Дана классификация содержательных связей курса алгебры педагогического вуза по герменевтическим принципам, в основание которой положены типы концептов математических понятий.
4. Обогащена трактовка процесса понимания материала курса алгебры в педагогическом вузе: выделены составляющие, отвечающие структуре учебного материала, и компоненты учебной деятельности студентов, адекватные профессионально-педагогическому пониманию. Обосновано, что предметную основу в профессионально-педагогическом понимании учебного материала курса алгебры составляет обобщенное понятие алгебраической структуры, включающее в себя взаимосвязанную триаду: понятие алгебраической структуры, его конкретизации и формализации. Процесс профессионально-педагогического понимания алгебраического материала составляют действия, направленные на выявление компонентов обобщенного понятия алгебраической структуры в их двуединстве: учебное действие формализации, состоящее в выделении формального смысла изучаемых понятий, и учебное действие интерпретации, состоящее в установлении конструктивного смысла изучаемых понятий.
5. Уточнены составляющие педагогической науки в структуре методической системы обучения математике, касающиеся целеполагания изучения математического содержания, состоящие в том, что направленность обучения на понимание математического материала определяется спецификой процесса и результата раскрытия содержательных связей, осуществляемых самим студентом в процессе организации адекватной их деятельности на постановку учебной задачи, ориентированной на раскрытие содержательных связей, и конструированием собственной деятельности по ее решению.
6. Выявлена система педагогических условий, создание которых определяет направленность деятельности студента на раскрытие содержательных связей посредством создания учебных ситуаций и организацию выполнения студентами специально подобранных учебных заданий. Выделена основа разработанной системы педагогических условий: деятельность преподавателя на придание учебному материалу свойства целостности и методическая система действий по организации учебной деятельности студентов по выявлению этой целостности. Разработаны принципы структурирования содержания курса алгебры, направленного на придание учебному материалу свойства целостности, основным из которых является принцип содержательной параллельности, предусматривающий проектирование блоков учебного материала в смысловом единстве конструктивного и формального, и учет процессуальных составляющих по их изучению, генетически соотносимых с методологическими компонентами когнитивной деятельности, адекватных математическому познанию.
7. Создана модель организации обучения, направленного на выявление студентами содержательных связей, состоящая в описании сущности основных форм учебного процесса, реализующего герменевтический подход к обучению математике. Основные формы обучения в этой модели предусматривают самостоятельную деятельность студентов по раскрытию целостности предметного содержания математических курсов педвузов: лекционное обучение ориентировано на создание «ситуаций непонимания», выражающихся в возникновении вопросов на соотнесение математических понятий с обобщенным понятием алгебраической структуры, осознание неполноты знаний и мотивировку к его устранению; практические занятия имеют лабораторный характер, что обеспечивается предоставлением математического материала, подлежащего интерпретации и формализации, вскрытию основной линии в изучаемом материале; организация самостоятельной работы студентов конструируется сериями математических задач интерпретационного и формализованного характера, вложенных в системы теоретических задач.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что дано теоретическое обоснование выделения целостности как основы для построения курсов предметной подготовки высшей педагогической школы, в процессе которого использованы методы научного мышления: анализ, синтез, сопоставление, обобщение и конкретизация; описаны теоретические аспекты методической теории обучения курсу алгебры в педагогическом вузе: исходные положения психолого-педагогической и математической науки, а также гносеологические основания, сформулированы вытекающие выводы применительно к теории раскрытия содержательных связей в математическом материале, выделены образовательные тенденции в реализации герменевтического подхода к обучению, сформулированы принципы разработанной теории организации деятельности студентов, направленной на раскрытие содержательных связей; дополнен понятийный аппарат методики обучения математике, составляющий основу понятий «содержательные связи», «содержательные параллели»; выделен операционный состав учебных действий формализации и интерпретации, применяемый при организации деятельности студентов по выявлению содержательных связей; выделена система методических положений, которую следует иметь в виду, организуя обучение, направленное на раскрытие содержательных связей; изучены отношения процесса раскрытия содержательных связей в математическом материале с процессом понимания предметного содержания, с формированием методических умений будущих учителей математики.
Практическая значимость работы состоит в том, что:
даны научно обоснованные методические рекомендации для более продуктивного уровня освоения математического материала студентами педагогического вуза;
– разработано учебно-методическое обеспечение для изучения алгебры при подготовке учителя математики в вузе:
а) практико-ориентированная монография, предназначенная для преподавателей вузовской математики;
б) учебно-методические пособия и разработки по изучению курса алгебры, адресованные студентам и преподавателям;
в) программы алгебраических спецкурсов и учебно-методические разработки по их изучению и др.;
– выявлены специфические особенности форм вузовского обучения в организации деятельности студентов по раскрытию содержательных связей: лекций, практических занятий, самостоятельной работы студентов.
Материал исследования может быть использован при реализации различных математических курсов, а также при создании учебных пособий для студентов педагогических вузов.
Достоверность и обоснованность теоретических выводов обеспечивается основными положениями методологии математического познания,; психологической и философской герменевтики, философии образования; опорой на фундаментальные историко-математические результаты; теоретическими основами обучения математике и их корректными использованиями; непротиворечивостью логических выводов в ходе теоретического анализа проблемы исследования и их адекватностью концепциям психолого-педагогической науки, культурно-исторической концепцией в психологии; основными положениями дидактики высшей школы; учетом научно-методического опыта коллег и собственным 18-летним опытом работы в вузе; апробацией концепции и методики в экспериментальном обучении; обработкой и анализом результатов, полученных в ходе экспериментальной работы и внедрением в опыт преподавания различных вузов.
Деятельность по данному исследованию осуществлялась с 1991 по 2008 годы. Условно можно выделить три основных этапа исследования.
На первом этапе исследования (1991-1997) проводился анализ психолого-педагогической и методической литературы с целью определения степени разработанности проблемы понимания вузовской алгебры при подготовке учителя математики. Была выдвинута идея целостности как методологическая основа обучения, нацеленного на понимание. Осуществлялось накопление фактов о возможности реализации данной идеи при построении курса алгебры. На этом этапе завершенный вид обрело решение проблемы создания модели организации деятельности студентов при изучении теоретического материала на начальных этапах изучения курса алгебры и ее реализации на основе методологического подхода. Автором была защищена кандидатская диссертация (1996).
На втором этапе (1998-2002) осуществлялся теоретический анализ литературы по методологии математики, методике ее преподавания, психологической и философской герменевтике, философии и психологии познания с целью выявления содержательных связей в курсе алгебры, определения специфики учебных действий по раскрытию содержательных связей. Теоретический анализ исследования проблемы, практика работы в вузе позволили сформулировать собственную позицию на построение курса алгебры и его изучение студентами.
На этом этапе была сформулирована концепция раскрытия содержательных связей в курсе алгебры. Осуществлялся педагогический эксперимент в соответствии с выдвигаемыми положениями концепции. Важное место в таком подходе занимала организация обучения, обеспечивающего раскрытие студентами содержательных связей в материале, корректировалась методика реализации курса, построенного в указанной концепции. Экспериментальная работа в основном велась на математическом факультете Коряжемского филиала Поморского государственного университета им. М.В. Ломоносова (ПГУ) как самим автором, так и другими преподавателями (под руководством автора исследования). В 1998 году начал функционировать научно-методический семинар кафедры высшей математики Коряжемского филиала ПГУ, руководимый автором исследования.
Апробация разработанного курса показала его эффективность и необходимость незначительной корректировки положений концепции.
На третьем этапе исследования (2003-2008) осуществлялось окончательное уточнение разработанной концепции раскрытия содержательных связей в курсе алгебры, апробирование и внедрение разработанной методики в различные вузы, ведущие подготовку учителей математики. В эксперименте были задействованы Вятский государственный гуманитарный университет (бывший педагогический институт, г. Киров), Ленинградский государственный университет им. А.С. Пушкина (бывший Ленинградский областной педагогический институт, г. Пушкин), Коми педагогический институт (г. Сыктывкар). Экспериментальная работа продолжалась и в Коряжемском филиале ПГУ другими преподавателями.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Содержательные связи в учебном математическом материале, составляющие сущность знания в его целостности, выполняющие порождающую и проекционную функцию в развитии абстрактных понятий, составляют основу понимания математического материала педагогического вуза и в предметном материале алгебры подразделяются на три основных рода в соответствии с устройством алгебраических структур: а) координатизационные, которые отражают опредмеченную сущность алгебраических понятий, характеризуют конструктивизм алгебраических операций и отношений; б) синтаксические, которые характеризуют выражение свойств алгебраических понятий на языке алгебры; в) структурно-абстрактные, которые характеризуют свойства алгебраических понятий в их совокупности, обуславливают специфику алгебраической структуры и определяют ее морфизмы.
2. Раскрытие содержательных связей в предметном материале курса алгебры осуществляется выполнением парных учебных действий формализации и интерпретации, состоящих в выделении формального и конструктивного смысла, которые характеризуют причастность изучаемых понятий к понятию алгебраической структуры, рассматриваемому на обобщенном методическом уровне. В операционный состав учебных действий формализации и интерпретации входит истолкование понятий с языка интуитивных математических теорий на язык алгебраических структур и обратно. Обучение курсу алгебры будет направлено на раскрытие студентом содержательных связей в учебном математическом материале, если учебный материал обладает свойством целостности, т.е. связан единым понятием (идеей, методом и т.д.), а организация изучения материала ориентирована на самостоятельную деятельность студентов по раскрытию содержательных связей в математическом материале.
3. Свойство целостности учебного материала обеспечивается его структурированием в виде содержательных параллелей, имеющих существенные признаки: сопоставимости, проявляющейся в общности свойств понятий различных математических теорий; генетичности учебного материала, выражающейся в возможности выявления конструктивного и формального смысла изучаемых положений; адекватности учебного материала одному из компонентов алгебраической структуры: множество и алгебраические операции, структурные свойства алгебраических операций, природно-специфические свойства алгебраических операций и отношений.
4. Система действий в организации самостоятельной деятельности студентов по раскрытию содержательных связей состоит в создании педагогических ситуаций, в которых обеспечиваются условия для соотнесения студентом изучаемого материала с понятием алгебраической структуры; создании условий для постановки учебных задач студентами, что реализуется специальными учебными заданиями, нацеливающими на выполнение учебных действий формализации и интерпретации, дающих возможность построения различных математических интерпретаций изучаемых положений и приобретения опыта формализованной записи рассуждений (обоснований и др.) и их результатов; организации самостоятельной деятельности студентов по решению учебных задач средствами математических задач со специально подобранными учебными заданиями, направляющими действия студентов на содержательный анализ и содержательное обобщение понятий, определенных условием задач.
5. Организация деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в математическом материале отвечает современным образовательным тенденциям реализации модели образования культуротворческого типа и осуществления герменевтического подхода к обучению, способствует повышению эффективности профессионально-педагогической подготовки учителя математики в вузе, что обусловлено спецификой операционного состава действий, выполняемых студентами по раскрытию содержательных связей. Соответствующая деятельность позволяет студенту углубить понимание математического материала, развить познавательную самостоятельность применительно к предметному содержанию курса алгебры, сформировать узкопрофессиональные умения по выполнению содержательного анализа и содержательного обобщения математического материала, подбору математических задач по изучению понятий и теорем, приведению примеров и контрпримеров.
6. Организация деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в курсе алгебры педагогического вуза позволяет:
реализовать личностно-деятельностный подход к вузовскому обучению в его составе организационно-действенном, стимулирующем и контрольно-оценочном компонентах;
осуществить профессионально-педагогическую направленность обучения при организации изучения студентами предметного содержания курса алгебры;
учитывать многие виды деятельности, что отвечает овладению смыслами изучаемой предметной области математики.
Результаты исследования внедрены в учебный процесс Коряжемского филиала Поморского государственного университета (г. Коряжма Архангельской области), Вятского государственного гуманитарного университета (г. Киров), Ленинградского государственного университета им. А.С. Пушкина (г. Пушкин), Коми государственного педагогического института (г. Сыктывкар).
Апробация результатов исследования осуществлялась через публикации и выступления на международной конференции «Проблемы теории и практики обучения математике» (С-Петербург, 2003), Международных Ломоносовских чтениях (Архангельск, 2001, 2004), международной научно-практической конференции «Математика в высшем образовании» (Чебоксары, 2004), Международных научных конференциях «Teaching Mathematics and Physics in Secondary and Higher Education» (Петрозаводск, 1998) и «Mathematics and Science Education in the North-East of Europe: History, Traditions & Contemporary Issues» (Петрозаводск, 2003), Российско-Американской научно-практической конференции «Актуальные вопросы современного университетского образования» (С-Петербург, 2002), Международной научно-практической конференции «Современные образовательные технологии в системе математического образования» (Коряжма, 2008), Всероссийского методологического семинара «Фундаментальные и прикладные проблемы образования» (С-Петербург, 2003), Всероссийской научно-практической конференции «Модернизация педагогического образования и проблемы педагогики высшей школы» (Сыктывкар, 2007), Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов: «Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики» (С-Петербург, 2002), «Математическая и методическая подготовка студентов педвузов и университетов в условиях модернизации системы образования» (Тверь, 2003), «Актуальные проблемы преподавания математики в педагогических вузах и средней школе» (Челябинск, 2004), «Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных классах» (Киров, 2006), «Новые средства и технологии обучения математике в школе и вузе» (Самара, 2007), «Проблемы многоуровневой подготовки учителей математики для современной школы» (Пермь, 2008), Всероссийской научной конференции «Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России» (Киров, 2004), Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные проблемы обучения математике» (Орел, 2002), Всероссийской научно-практической конференции «Методология и методика преподавания основ наук в современных условиях» (Бирск, 2002), Межрегиональной научно-методической конференции «Проблемы математического образования в вузах и школах России в условиях его модернизации» (Сыктывкар, 2008), региональных научно-практических конференциях «Роль педуниверситетов Северо-Запада России в развитии сельской школы региона в условиях модернизации образования» (Петрозаводск, 2005), «Актуальные проблемы профилизации математического образования в школе и вузе» (Арзамас, 2004), «Актуальные проблемы научно-исследовательской работы в средней и высшей школе» (Мурманск, 2002), научно-методическом семинаре кафедры высшей математики Коряжемского филиала ГОУ ВПО «Поморский государственный университет имени М.В. Ломоносова» (г. Коряжма), заседаниях кафедры методики преподавания математики ГОУ ВПО ПГУ им. М.В. Ломоносова (г. Архангельск); методологическом семинаре кафедры методики обучения математике ГОУ ВПО РГПУ им. А.И. Герцена (С-Петербург, 2005), заседаниях учебно-методического объединения Волго-Вятского региона (2005, 2008) и др.
Результаты исследования опубликованы в 84 научных работах общим объемом более 80 печатных листов, в том числе в 3 монографиях и 7 публикациях в журналах, рекомендованных ВАК РФ.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений. Основное содержание диссертации изложено на 342 страницах и содержит 9 таблиц, 17 рисунков и схем. Список используемой литературы и цитируемой литературы 259 наименований, из них на иностранном языке – 4.
основное содержание работы
Во введении обосновывается актуальность исследования, формулируется его проблема, объект и предмет, высказывается гипотеза, определяются задачи и методы исследования, раскрываются новизна, теоретическая и практическая значимость работы, излагаются основные положения, выносимые на защиту.
Познание математических дисциплин в вузе приближено к методам изучаемой науки. Познать метод сложнее, чем усвоить отдельный факт. Важно осознать не только основания изучаемых методов, но и их обоснованность, т.е. понимание того, что ведет к возникновению того или иного метода науки и его применению. Современная математическая подготовка студентов педвузов показывает, что студенты порой способны сформулировать определение, теорему и т.д., но затрудняются указать связь понятий между собой, выделить основу происхождения понятия, не усматривают направления его развития. Следовательно, методы науки познаются на низком уровне, особенно при изучении вузовской алгебры.
Теоретический анализ литературы (по философии образования, методологии, психологии, методике обучения и др.), причин возникновения недостатков в алгебраических знаниях студентов, опыта работы преподавателей-алгебраистов и собственный опыт убедили нас в том, что в современных образовательных тенденциях необходима нацеленность обучения на понимание. В такой парадигме понимание является основным результатом обучения, а он не всегда измеряется набором фактов, который студент запомнил и применил в определенных условиях. Понимающий студент способен подвергнуть содержательному анализу математический материал, выделив в нем основную идею, и отыскать средства для ее реализации в школьном математическом образовании. Таким образом, одной из основных проблем обучения вузовской алгебре в педагогическом вузе, требующей выделения методической составляющей на современном этапе развития системы образования, является проблема понимания в обучении математике.
Проблема понимания является проблемой анализа в нескольких областях научного знания. При этом речь идет о понимании, ориентированном на язык смыслов изучаемой предметной области. Для определения путей решения проблемы понимания алгебры при подготовке учителя математики в вузе необходимо определить исходные положения. Этому посвящена первая глава «Теоретические основы понимания алгебры студентами педагогического вуза». В этой главе выделяются методологические и психолого-педагогические составляющие проблемы понимания при обучении математике.
Понятие «понимание» с методологических позиций означает: (1) выделение смысла, который содержится во взаимосвязях существенных сторон понятий (А.В. Ахутин, В.А. Лекторский и др.); (2) выделение составляющих знания, их причинно-следственных связей, согласования структуры науки и структуры культуры (Р. Карнап, П. Рикер, А. Уайтхед и др.); (3) интерпретацию как отношение субъекта к знанию, установление соответствия между знанием и реальной действительностью (Х.Г. Гадамер, К.В. Малиновская, Г.И. Рузавин и др.). В каждой трактовке понятия понимания процессуальная составляющая требует выделения связей.
С психологических позиций работа понимания при усвоении знаний есть двунаправленное движение: осмысление значений и означение смысла (В.П. Зинченко), характеризующееся установлением связей, их значимости и построением концепта (А.А. Брудный, М. Вертгеймер, В.В. Знаков и др.). При этом подчеркивается личностность акта понимания (В.В. Знаков, М.К. Мамардашвили и др.). Следовательно, в нацеленности на понимание существенное значение имеет установления связей самим субъектом познания.
Таким образом, с психолого-методологических позиций понимание есть установление связей в материале самим студентом. Отношение к «установлению» может быть различным. С позиции понимания как «реконструкции данного смысла», которой мы придерживаемся в обучении вузовской алгебре, установление означает «расшифровку», «выделение». Иначе говоря, «установить связь» означает не «изобрести», а «раскрыть». Поэтому применительно к обучению за основу мы примем трактовку понимания математики при изучении как раскрытие содержательных связей самим студентом. Придерживаясь фундаменталистских взглядов в философии математики (Г. Фреге, А. Черч и др.), объективно имеющиеся содержательные связи в материале можно трактовать как связи смысла (концепта) понятия и его предметного значения (денотата). А потому содержательные связи являются теми связями, которые способствуют соединению знаний в единое целое.
Смысл алгебраических понятий связан с многоступенчатыми абстракциями, возникающими в процессе познания (рис. 1). В литературе указывается, что математическое познание осуществляется в триаде «исходный объекттеорияновый объект», поэтому «развитие» абстрактных понятий в курсе алгебры можно характеризовать схемой: Rк Mк Rк+1 (рис. 1). Отношение математических понятий из Mк к понятиям Rк мы называем их конструктивным смыслом, а их отношение к понятиям Rк+1 – формальным (или формализованным) смыслом. Содержательные связи характеризуют смысл понятий (конструктивный и формальный).
Сколько и какие содержательные связи необходимо раскрыть в процессе учебного познания алгебры для достижения понимания? Теоретический анализ понятия понимания с психолого-методологических позиций позволяет выделить идею целостности как исходную в отыскании ответа на поставленный вопрос.
Целостность включает в себя «части» и отношения между ними, обеспечивающие внутреннее единство. Единение не может быть механическим (тогда нет «внутреннего» единства), оно имеет некую основу, которая «сцепляет» части в целостное образование. Методология познания свидетельствует, что понимание достигнуто, если в результате получена некоторая целостность (целостное знание). Герменевтика определяет, что понять можно только целостный объект. И процесс понимания характеризуется движением от целого к частям и обратно. Следовательно, в герменевтическом подходе к обучению текст должен быть специальным образом структурирован с целью придания ему свойства целостности, а студент специальным образом сориентирован на обнаружение свойства целостности изучаемого материала. Поэтому в процессе изучения математического материала важно выделять те связи, которые характеризуют целостность материала, его принадлежность к некому общему.
Таким образом, методологические и психологические составляющие понятия понимания ориентируют на отыскание основы целостности. Ею может быть объект, качества которого носят обобщающий характер для всего курса. Анализу целостности курса алгебры и выделению специфики содержательных связей в нем посвящена вторая глава диссертации «Содержательные связи в курсе алгебры как связи целостного объекта».
Анализируя содержание курса алгебры с позиции философии математики, мы определили, что содержательные связи в курсе алгебры имеют два противоположных направления. Первое направление, соответствующее возникновению «абстрактной алгебры», связано с формализацией интуитивных теорий. Второе направление, обратное формализации, связано с интерпретацией аксиоматических теорий. Интерпретация как сопоставление понятиям аксиоматических теорий значений из области интуитивных теорий обнаруживает действенность методов абстрактной алгебры (термин Г. Вейля), которую Р. Столл называет побочным результатом, Н. Бурбаки – орудийностью. При этом ясно, что эти методы абстрактной алгебры «работают» только в том случае, когда есть формализованный материал (понятия, теории и т.д.).
Основную трудность в развитии алгебраических знаний представляет переход от интуитивных теорий к аксиоматическим. В истории математики она предстала как барьерная ситуация для задач, решение которых потребовало других методов и уровней абстракций: алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел, разрешимость уравнений в радикалах и др. Преодоление барьера и породило два основных метода алгебры: формализацию как способ получения алгебраических структур и интерпретацию как способ получения знаний «интуитивного» уровня.
Таким образом, понятия алгебры можно рассматривать на различных уровнях абстрактности. Первый уровень мы назовем интуитивным, второй – абстрактно-логическим, третий – формализованным. Данные уровни соответствуют этапам становления алгебры. Например, понятие группы на интуитивном уровне выступает многообразием, представленным подстановками, аддитивной системой матриц фиксированной размерности, мультипликативной системой невырожденных квадратных матриц фиксированной размерности, аддитивной системой арифметических векторов и т.д. На абстрактно-логическом уровне понятие группы представлено групповой конструкцией. На формализованном – формальной теорией групп как алгебраической системы заданной сигнатуры. Первые два уровня соответствуют интуитивным и аксиоматическим неформальным теориям (алгебраическим структурам) соответственно, третий – формальным алгебраическим системам (рис. 2). Третий уровень не рассматривается в курсе алгебры, поэтому мы не уделяем ему особого внимания.
В работе показано, что алгебраическая структура выступает основой целостности курса. Она рассматривается на различных уровнях строгости и абстрактности, поэтому в методическом плане имеет смысл говорить об обобщенном понятии алгебраической структуры. Оно будет включать в себя основные компоненты алгебраической системы, т.е. следующие три компоненты:
1. Понятия: множество; отношение равенства элементов множества; алгебраическая операция на множестве; отношение на множестве. В интуитивных теориях указанные понятия допускают житейское толкование, наглядно-образное представление (свойство «предметности» элементов множества).
2. Структурные свойства алгебраических операций. К ним мы относим те свойства алгебраических операций на множестве, которые выступают как основные свойства алгебраической структуры. В аксиоматических теориях эти свойства задаются аксиоматикой. В интуитивных теориях они непосредственно вытекают из правил, определяющих эти операции, мы их называем базисными.
3. Природно-специфические свойства алгебраических операций. В интуитивных теориях к данным свойствам мы относим те свойства алгебраических операций, которые при построении теории являются неким суррогатом логических следствий базисных свойств и правил, определяющих алгебраические операции.
Таким образом, содержательные связи курса алгебры трактуются нами как связи с обобщенным понятием алгебраической структуры. В работе они условно подразделяются на три рода в зависимости от принадлежности компоненту алгебраической структуры: координатизационные, синтаксические и структурно-абстрактные. Они пронизывают все теории курса алгебры, но имеют свою специфику в зависимости от их конструктивного и формального смысла.
На основе специфики содержательных связей и методов математического познания, используемых в алгебре, мы выделили два основных учебных действия, выполнение которых способствует раскрытию целостности курса.
Действие формализации состоит в том, что в понятиях выделяется их формальный смысл, т.е. отношение к более абстрактным понятиям. Выделение конструктивного смысла в изучаемых понятиях соответствует действию интерпретации. В работе дана их развернутая характеристика.
Анализ содержательных связей, отвечающих исследовательскому методу формализации, позволяет выделить следующие наиболее существенные операции по формализации интуитивных теорий.
1. Выделение и запись с помощью математической символики свойств алгебраических операций на множествах и их подмножествах – формализация свойств алгебраических операций.
2. Рассмотрение и конструирование подмножеств, на которых выполняются заранее заданные свойства в формальном выражении – формализация примеров алгебраических структур.
3. Структурирование свойств алгебраических операций в подмножествах – формализация видов алгебраических структур.
4. Выделение общих характеристик алгебраических операций – формализация алгебраических операций. Выполнение данных операций нацелено на выделение формального смысла алгебраических операций, как отображения декартова произведения.
5. Формальное описание структуры доказательств – (формализация доказательств).
В формализации нами выделяются две достижимые цели. Первая конструктивная, состоящая в «получении» алгебраических структур. Так, групповая структура может быть получена путем формализации аддитивной системы целых чисел, системы подстановок, мультипликативной системы невырожденных квадратных матриц фиксированной размерности и т.д. Вторая цель формализации – познавательная. Она состоит в том, что аппарат формализации позволяет высказывать гипотезы, что ведет к новым знаниям.
В действии интерпретации можно выделить следующие основные операции.
1. Приведение примеров алгебраических структур – построение моделей теории.
2. Осуществление проекции свойств структур – интерпретация внутренних связей.
3. Задание алгебраических операций на изучаемых множествах с определенными свойствами в формальном выражении – интерпретация алгебраических операций.
4. Перевод доказательств на «менее строгий язык» – интерпретация доказательств.
В действии интерпретации достигается структурирующая цель, позволяющая систематизировать знания, рассматривать их с точки зрения общности в конкретной разновидности. Познавательная цель интерпретации достигается за счет действенности соответствующего метода, что ведет к новым обоснованиям фактов.
На основе анализа операционного состава учебных действий формализации и интерпретации в работе сформулирован вывод о том, что учебные задания должны ориентировать студентов на выполнение действий формализации и интерпретации. Выполнение заданий должно предполагать возможность различных интерпретаций изучаемых положений и приобретение студентами опыта формализованной записи рассуждений и их результатов.
Выделенные содержательные связи и учебные действия по их раскрытию позволили определить условия, создание которых способствует реализации герменевтического подхода к обучению алгебре. Этому посвящается третья глава диссертации «Создание условий раскрытия содержательных связей в курсе алгебры педвуза», в которой определена система действий, способствующих раскрытию содержательных связей при изучении алгебры.
В работе с психолого-педагогических позиций определено, что для начального этапа понимания необходимы специальные учебные ситуации, вырабатывающие «потребность понять». Мы их называем ситуациями непонимания. Анализ психологического аспекта процесса понимания позволил выявить три основные ситуации, порождающие непонимание: состояние дефицита информации (знаний) и знание студента об этом дефиците; неспособность и неумение студента выявить существенные свойства изучаемого объекта (факта); отсутствие у студента желания и потребностей в раскрытии содержательных связей, «желания понимать». Такое непонимание, которое влечет потребность в его устранении, мы называем правомерным непониманием. Необходимо было выделить условия возникновения такого непонимания. В работе показано, что в качестве условий выступают: конструктивное предъявление структуры математических теорий в их сопоставлении между собой; выделение понятий в изучаемом материале, относящихся к компонентам понятия алгебраической структуры (ключевых понятий), кусочная подача материала в виде фактов математических теорий, связанных между собой содержательно. Продуктивность создания ситуации непонимания проявляется в возникновении вопросов на соотнесение изучаемого материала с алгебраической структурой.
При создании ситуации непонимания необходимо иметь в виду, что непонимание правомерно лишь постольку, поскольку возникающая потребность «понять» будет выступать движущей силой учебной деятельности. С позиции педагога это означает ориентацию процесса управления учебной деятельностью студентов на постановку и решение ими самими конкретных учебных задач (личностно-деятельностный подход к обучению).
Анализ психолого-педагогической литературы (Н.А. Алексеев, И.А. Зимняя, В.В. Сериков, И.С. Якиманская и др.), мотивации учебной деятельности (М.В. Вовчик-Блакидная, А.К. Маркова, А.А. Реан и др.), особенностей студенческого возраста (Б.Г. Ананьев, Ю.Н. Кулюткин, Л.Н. Фоменко, М.А. Холодная и др.), ценностного подхода в образовании взрослых (Г.С. Сухобская и др.), анализа соотношений учебных и математических задач (Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Е.И. Лященко и др.) позволил установить, что постановка учебных задач возможна самим студентом. И решение данной методической проблемы разбивается на две подзадачи: 1) структурирование предметного материала; 2) подбор задачного материала.
Структурирование предметного материала курса алгебры нами осуществляется с позиции системно-структурного подхода и его применения к обучению математике (Е.И. Лященко, Г.И. Саранцев, В.А. Тестов и др.). С этой точки зрения в вузовском курсе алгебры можно проследить несколько содержательных линий, которые получают в нем свое развитие: линия групп, линия колец, линия полей, линия векторных пространств и др. Именно эти алгебраические структуры объединяют разнородные элементы предметного содержания блока интуитивных теорий, превращаясь на завершающем этапе обучения в стройные математические теории.
Структурно содержательные линии можно выдержать в аналогиях. Это обусловлено алгебраической структуризацией, основанной на теоретико-множественном подходе, понятием алгебраической операции, идеями изоморфизма и факторизации. Одна из таких аналогий на примере линий групп и колец приведена в первых двух столбцах таблицы 1. Третий столбец таблицы приведен для сопоставления теорий, изучаемых в курсе алгебры, с универсальными алгебрами.
При структурировании учебного материала содержательных линий важно не только учитывать логико-математические принципы математических теорий, но и структурные составляющие процесса понимания алгебры, которые, как указывалось выше, являются действиями по раскрытию содержательных связей.
Таблица 1
| ТЕОРИЯ ГРУПП | ТЕОРИЯ КОЛЕЦ | Универсальные алгебры |
| Группа (определение) | Кольцо (определение) | Алгебра (определение) |
| Простейшие свойства группы | Простейшие свойства кольца | Свойства алгебраических операций |
| Подгруппа | Подкольцо | Подалгебры |
| Нормальный делитель | Идеал | Классы, порожденные конгруэнцией |
| Фактор-группа | Фактор-кольцо | Фактор-алгебра |
| Гомоморфизм и изоморфизм групп | Гомоморфизм и изоморфизм колец | Гомоморфизмы и изоморфизмы алгебр |
| Образ и ядро гомоморфизма групп | Образ и ядро гомоморфизма колец | Образ и ядро гомоморфизма Т-алгебр |
| Теорема о гомоморфизмах групп | Теорема о гомоморфизмах колец | Теорема о гомоморфизмах Т-алгебр |
Материал каждой содержательной линии пронизывают содержательные связи, которые в зависимости от рассматриваемой теории имеют специфику, но по своей идее образования являются связями одного рода. Причем каждый вид связей выступает в порождающей роли для следующего вида связей и проекционной роли для предыдущего. Следовательно, если предметный материал курса алгебры рассматривать в целостности, то получаются три горизонтальных «слоя» в содержательных линиях курса алгебры (рис. 3): I – слой материализации координатизационных связей, II – слой материализации синтаксических связей, III – слой материализации структурно-абстрактных связей. Данное представление позволяет структурировать материал в трех содержательных параллелях: параллель множеств и алгебраических операций (слой I); параллель структурных свойств алгебраических операций (слой II); параллель природно-специфических свойств алгебраических операций (слой III).
Структурно- природно-специфические свойства
абстрактные связи алгебраических операций на множествах III
Синтаксические структурные свойства
связи алгебраических операций II
Координатизационные свойства «предметности» элементов,
связи операционности алгебраических операций I
Рис. 3
Из отмеченных совокупностей предметного материала, мы выделяем существенные признаки содержательных параллелей алгебраического материала: сопоставимость учебного материала, проявляющаяся в общности свойств понятий различных математических теорий; генетичность учебного материала, выражающаяся в возможности выделения конструктивного и формального смысла изучаемых понятий и положений; адекватность учебного материала одному из компонентов алгебраической структуры: множество и алгебраические действия на нем, структурные и природно-специфические свойства алгебраических операций.
В работе показано, что если предметный материал курса алгебры структурирован в содержательных параллелях, то тем самым ему придается свойство целостности. Тогда принцип структурирования материала курса алгебры в герменевтическом подходе к обучению определяется нацеленностью на придание учебному материалу существенных признаков содержательных параллелей.
Для того чтобы структурированный учебный материал заработал на постановку учебной задачи, необходим специально подобранный задачный материал. В работе подробно рассматривается сущность традиционно используемого задачного материала в курсе алгебры и определяются возможности его использования для раскрытия содержательных связей. Выделяются два типа задач.
1. Тренировочные (вычислительные) задачи, ориентирующие на решение «по образцу» (алгоритму). Такие задачи в основном формируют умения раскрывать коодинатизационные содержательные связи.
2. Теоретические задачи (задачи на доказательство). Результат решения таких задач дает теоретический факт (теорему). Общего алгоритма их решения нет, образца – тоже. Поэтому теоретические задачи вполне обоснованно считаются трудными.
В работе предложены способы использования теоретических задач для раскрытия содержательных связей. Теоретические задачи необходимо преобразовать в такой задачный материал, который бы направлял на раскрытие содержательных связей. Проанализируем возможность таких преобразований на конкретном примере. Рассмотрим теоретическую задачу по теории групп.
Пусть (G,) – группа и Н – непустое конечное подмножество G, замкнутое относительно умножения. Докажите, что Н – подгруппа группы G.
Идея доказательства состоит в исследовании свойств степеней некоторого элемента аН. В последовательности элементов из Н вида а, а2, а3, … не все элементы различные, т.е. существуют два различных натуральных числа k, s, такие, что ak=as. Отсюда и получается (при допущении k>s), что ak-s=e, т.е. еН, а затем и обратимость элементов множества Н.
Для того чтобы «уловить» идею доказательства, следуя содержательным связям, можно обратиться к предметным значениям понятий, фигурирующим в условии задачи (в данном случае – к какой-либо конкретной группе), и на нем «сконструировать» выполнение условий. Другими словами, построить интерпретацию условий теоремы. В данном случае это может быть следующая интерпретация. Выбираем мультипликативную группу рациональных чисел Q* и «отыскиваем» во множестве Q* конечное замкнутое относительно умножения подмножество Н. В процессе такого выделения и устанавливается, что, например, число 2Н, ибо в противном случае в Н входят 2, 4, 8, 16 … Тогда Н бесконечно. Отсюда формализацией и получается, что если аН, то среди элементов а, а2, а3, … есть равные.
Итак, идея доказательства может быть получена с помощью интерпретации условий теоретической задачи. Такую «сопутствующую» задачу мы называем интерпретационной задачей. Для этого необходимы учебные задания, направляющие на раскрытие нужных содержательных связей и «выводящие» на решение задачи (в частности, построение интерпретационной задачи).
На основе специфики учебных действий по раскрытию содержательных связей, определенных нами ранее, в работе предложена система учебных заданий, выполнение которых нацеливает на выполнение действий формализации и интерпретации. В частности, в нее включаются задания на анализ выполненных действий, общую характеристику выполняемых действий, задания на «расшифровку» текста, составление текста.
В четвертой главе диссертационной работы «Организация обучения, направленного на раскрытие студентами содержательных связей в курсе алгебры» формулируются основные положения концепции раскрытия содержательных связей и определяются методические возможности ее реализации. Основные положении концепции состоят в следующем.
1. С точки зрения методологии учебного познания математики процесс раскрытия содержательных связей, составляющих сущность знания в его целостности, является основой процесса понимания математического материала при его изучении.
2. В обучении алгебре целостность выступает как цель и средство раскрытия содержательных связей. Изучение студентом курса алгебры будет направлено на раскрытие содержательных связей, если:
а) учебный материал обладает свойством целостности, что обеспечивается его структурированием в совокупностях однородных содержательных связей;
б) организация изучения материала ориентирована на самостоятельную деятельность студентов по раскрытию содержательных связей в математическом материале.
3. Содержательные связи в материале курса алгебры обусловлены понятием алгебраической структуры и подразделяются на три основных рода:
– координатизационные, которые отражают «предметную» сущность элементов множеств, рассматриваемых в алгебре, характеризуют «выполнимость» алгебраических операций и отношений на множествах;
– синтаксические, характеризующие выражение свойств алгебраических операций и отношений на множествах на алгебраическом языке;
– структурно-абстрактные, которые характеризуют свойства алгебраических операций и отношений в их совокупности, обуславливают специфику алгебраической структуры.
4. Содержательные связи в материале курса алгебры выполняют порождающую и проекционную функции в развитии абстрактных понятий. Порождение алгебраических понятий базируется на математическом методе формализации, а их проекционная функция связана с математической интерпретацией.
5. Средством структурирования учебного материала в совокупностях с однородными содержательными связями выступают следующие содержательные параллели:
– параллель понятий множества и алгебраических операций;
– параллель структурных свойств алгебраических операций;
– параллель природно-специфических свойств алгебраических операций.
Раскрытие содержательных связей в структурированном материале возможно в ходе выполнения парных учебных действий формализации и интерпретации, состоящих в выявлении формального и конструктивного смысла в двух встречных направлениях.
6. Организация самостоятельной деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в курсе алгебры основывается на системе действий
(1)(2)(3),
где (1) – создание педагогических ситуаций, нацеливающих на соотнесение изучаемых понятий и положений с понятием алгебраической структуры;
(2) – организация постановки студентами учебных задач по раскрытию содержательных связей средствами специальных учебных заданий, ориентирующих на выполнение действий формализации и интерпретации;
(3) – организация самостоятельной деятельности студента по решению учебных задач на раскрытие содержательных связей.
Одним из фундаментальных положений, на базе которых организуется обучение, направленное на раскрытие содержательных связей, является положение о приоритете самостоятельной деятельности студентов в процессе изучения ими алгебраического материала. На основе анализа психологических особенностей студенческого возраста, понятия самостоятельности (А.К. Осницкий, П.К. Анохин, О.А. Конопкин, В.И. Моросанова и др.) установлено, что аспекты раскрытия содержательных связей соотносятся с развитием самостоятельности (табл. 2).
Таблица 2
Соотношение самостоятельности и раскрытия содержательных связей
| Аспект самостоятельности | Аспект раскрытия содержательных связей |
| Осознаваемость задачи (цели) | Сосредоточение на целом |
| Организованность действий | Постановка учебных задач студентами |
| Направленность действий | Раскрытие тех связей, которые составляют основу целостности |
В работе представлен анализ самостоятельной деятельности студента как его учебной деятельности. Показано, что организация самостоятельной деятельности студентов по раскрытию содержательных связей возможна средствами математических задач со специально подобранными учебными заданиями, направляющими действия студентов на содержательный анализ и содержательное обобщение понятий, определенных условием задач. Такие учебные задания должны быть ориентированы на развитие теоретического мышления. Модель такой организации мы называем лабораторией самостоятельной работы студентов.
В диссертации выделены особенности организации форм учебной деятельности студентов: лекций, практических занятий, самостоятельной работы.
При анализе функций лекции в обучении, направленном на раскрытие содержательных связей, устанавливаются возможности их реализации в герменевтическом подходе к обучению.
Основным принципом лекционного преподавания выступает принцип вопросной системы, состоящий в том, что устный текст лекции должен быть ориентирован на выработку вопросов по соотнесению изучаемых понятий с алгебраической структурой, а письменный представлен как совокупность текстовых ситуаций к отысканию ответа на них. В работе приведены примеры соблюдения данного принципа. В организации обучения, направленного на раскрытие содержательных связей нами выделяются следующие виды лекций: установочная, лекция-объяснение, лекция-задача, лекция-консультация, обобщающая лекция. В работе дана их развернутая характеристика.
На практических занятиях, как и в традиционном обучении, рассматриваются тренировочные и теоретические задачи. Однако их использование должно быть таким, чтобы осуществлялась постановка студентами учебных задач. Поэтому существенное значение в организации практических занятий занимает организация самостоятельной деятельности студентов по постановке учебных задач. С этой целью на практическом занятии студенту конструктивно предоставляется список задач тренировочного характера. Например, при изучении темы «Векторные пространства» на занятии, посвященном линейной зависимости системы векторов, необходимо обратить внимание студентов на теоретические факты, способствующие установлению указанного свойства системы векторов, и способ установления линейной зависимости по определению, раскрытому на лекции. Далее, обратившись к опыту студентов, следует предложить применить указанный способ к каждому названному примеру. Таким образом, студенты «получают» формулировку серии тренировочных задач с фабулой «Установить, является ли система векторов … векторного пространства … линейно зависимой». После чего уже можно «выдать» список, указывающий векторы, подлежащие исследованию на линейную зависимость. При такой организации студенту предоставляются учебные задания, выполнение которых ведет к постановке учебных задач «на математическом языке».
Иначе говоря, основной задачей организации практических занятий является создание таких педагогических ситуаций, при которых учебная задача ставится студентом вначале в терминах «научиться … (применять, находить и т.д.)», а затем в формулировке математической задачи («вычислить…», «доказать…» и т.д.). При соблюдении данной особенности постановки учебных задач на практических занятиях студенту предъявляются фрагменты материала, содержательно связанные между собой (в данном примере координатизационными связями), но эту связь студент устанавливает сам, выполняя отбор задачного материала, составляя аналогичные задачи и формулируя задачу на математическом языке. Экспериментальная работа показывает, что указанные действия организующего характера усваиваются студентами и переносятся в другие ситуации, возникающие при изучении материала в последующем.
В работе предлагаются и другие приемы организации практических занятий, которые позволяют осуществить постановку учебных задач.
Решение поставленных учебных задач осуществляется с помощью специальных материалов, нацеливающих студентов на самостоятельную деятельность. Таким материалом, в частности, является:
1. Справочный материал по изучаемой теме.
2. Образцы решения тренировочных задач.
3. Системы математических задач.
Математические задачи снабжены учебными заданиями, нацеливающими на раскрытие содержательных связей. Совокупность таких заданий мы называем сопровождающим материалом. К нему, в частности, относятся: а) ответы (если они возможны); б) рекомендации первого приближения, в которых даются руководства о том, каким образом можно отыскать идею решения; в) рекомендации второго приближения, в которых формулируется идея решения; г) рекомендации третьего приближения, в которых выделены этапы решения задачи; д) одно из возможных решений. При организации лаборатории самостоятельной деятельности студент получает сопровождающие материалы поэтапно в зависимости от собственных затруднений.
Мы считаем, что в герменевтическом подходе к обучению алгебре контроль процесса понимания и его результата, следует рассматривать в отдельности, хотя они и тесно взаимосвязаны. В работе выделены направления в контроле учебной деятельности, дана им развернутая характеристика. Обосновывается, что основными контролируемыми характеристиками результативной составляющей понимания являются оперирование понятием алгебраической структуры и умения решать теоретические задачи.
В оперировании понятием алгебраической структуры мы выделяем следующие уровни. Первый уровень – операционный. Он определяется раскрытием коодинатизационных связей и выделением первичных понятий алгебраической структуры в изучаемом материале. Второй уровень – формализованный. Он, включая в себя характеристики операционного уровня, определяется раскрытием синтаксических связей в изучаемом материале. Третий уровень – концептуальный. Он характеризуется раскрытием всех родов содержательных связей в изучаемом материале – построение концепта.
Трактовка умения решать теоретические задачи в курсе алгебры определяется понятием «доказательство». В работе показано, что специфика курса алгебры такова, что понятие «доказательство», используемое в нем, достаточно близко к формальному. Обратившись к формально-логической трактовке понятия «доказательство», мы установили, что операционный состав по проведению доказательств утверждений, используемых в курсе алгебры, требует:
- принятия «микромира» алгебраической структуры;
- знакового предъявления проведенных рассуждений;
- использования конструктивного и/или аксиоматического подхода;
- видения абстрактного и конкретного.
Умение решать теоретические задачи, как отмечается в методических исследованиях, связано с такими понятиями, как «рассуждение» и «объяснение», которые в теории и методике обучения школьной математике трактуются определенным образом (Ж.Д. Ахметов, В.М. Туркина и др.). В работе дано уточнение имеющихся трактовок применительно к вузовской алгебре. Рассуждения в алгебре могут идти по двум основным направлениям раскрытия содержательных связей: формализованному и интерпретационному. В последнем случае для завершения поиска доказательства иногда требуется реализовать этап формализации. Следовательно, можно выделить три основных уровня владения умением решать теоретические задачи.
Уровень А. Уровень решения интерпретационных задач. Он характеризуется тем, что доказательство ограничивается случаями задач в интерпретациях алгебраической структуры. Данный уровень, как правило, соответствует операционному уровню оперирования понятием алгебраической структуры.
Уровень В – уровень формализованного, но часто успешно не завершающегося, направления в решении теоретических задач. Он соответствует формализованному уровню оперирования понятием алгебраической структуры.
Уровень С характеризует формализованный уровень решения теоретических задач с обоснованиями. Рассуждения, соответствующие этому уровню, могут быть интерпретационного направления, но на завершающих этапах наблюдается обращение к формализации. Данный уровень соотносится с концептуальным уровнем оперирования понятием алгебраической структуры.
Если в качестве контрольных заданий используются теоретические задачи, то они должны удовлетворять определенным требованиям. В работе дается их развернутая характеристика и приводятся примеры.
В пятой главе описывается одна из возможных реализаций методики раскрытия содержательных связей на примере материала интуитивных теорий и результаты ее экспериментальной апробации.
В исследовании мы не вносили изменения в содержание вузовского курса алгебры, но изменили его организацию. В материале блока интуитивных теорий эти изменения проявились в выделении содержательных параллелей, являющихся материализацией соответствующих содержательных связей материала интуитивных теорий. Рамки автореферата не позволяют полностью описать структурирование предметного материала курса. Охарактеризуем фрагменты этапа структурирования материала темы «Матрицы и определители», сопровождая схемой (рис. 4).
Начало изучения данной темы по принципу сосредоточения на целом совпадает с вводными замечаниями о структуре раздела и математических теориях, рассматриваемых в нем (предмет, методология вопроса и т.п.). Данный этап изучения на рисунке 4 представлен верхним блоком.
Сущность первой содержательной параллели (параллели множества и алгебраических действий на нем) требует введения соответствующих понятий: понятия подстановки и умножения подстановок, понятия матриц и действий над ними и т.д. Эта параллель на рисунке 4 отмечена линией I. Переход к данной параллели осуществляется выполнением действия интерпретации.
Вторую содержательную параллель (линия II на рисунке 4) составляет материал базисных свойств интуитивных теорий. Переход к ней осуществляется формализацией. В процессе установления синтаксических связей, конструируются алгебраические структуры, составляющие суть третьей содержательной параллели (линия III на рисунке 4). Интерпретацией «добытых» свойств в интуитивные теории осуществляется дальнейший переход к изучению матриц и определителей.
Предлагаемое структурирование материала построено на концепции раскрытия содержательных связей в курсе алгебры: движение в процессе изучения материала осуществляется в направлениях от алгебраической структуры и обратно; парно используются интерпретация и формализация; каждая параллель отвечает существенным признакам содержательных параллелей и т.д.
Выделив организационные моменты предметного материала интуитивных теорий, мы установили, какой материал будет изучен лекционно, какой – на практических занятиях и какой целесообразно предложить для самостоятельной проработки. При этом мы руководствовались положениями, изложенными выше. В работе приводится план лекционных занятий, блоки заданий для практических занятий, задания для самостоятельной и индивидуальной работы.
Анализ результатов экспериментального обучения проводился по разным направлениям. В работе представлены направления, реализация которых давала возможность установить оперируют ли студенты алгебраической структурой: ее компонентами, видами, процедурой образования и т.п., т.е. владеют ли процедурой формирования целостностных знаний; могут ли предложить решения теоретических задач, характеризующихся собственным подходом к выбору направления доказательства и пути его проведения; освоены ли студентами математические знания фактологического характера, определенные учебной программой курса. Были введены показатели, которые характеризуют определенные уровни сформированности умений оперировать алгебраической структурой, решать теоретические задачи, уровни освоенности знаний фактологического характера.
В работе дано описание курса алгебры в экспериментальном обучении.
Чтобы установить, оперируют ли студенты алгебраической структурой, мы использовали задания, не рассматриваемые в курсе алгебры, но представляющие материал, легко обозримый с позиции алгебраической структуры. Задание чаще всего имело вид (математического) текста, который требовалось «исследовать». Например, было предложено следующее задание.
Опишите особенности множества матриц вида 
, где a,bR.
Данное множество матриц с известными алгебраическими операциями сложения и умножения образует поле, изоморфное полю комплексных чисел. Причем определитель матрицы заданного вида дает квадрат модуля комплексного числа a+bi. В зависимости от того, какие особенности данного множества выделяет студент, можно судить о том, какими компонентами алгебраической структуры он оперирует. В данном случае мы выделили следующие четыре разряда в использовании алгебраической структуры: кольцо, поле, векторное пространство, система комплексных чисел.
Для выявления уровня оперирования алгебраической структурой использовался U критерий Манна-Уитни. Выбор данного критерия обосновывается тем, что он является достаточно сильным в выявлении различий между небольшими выборками (не превышающими 60). Учитывая, что решение одного задания объективно может быть оценено только в однократном применении, а реальная численность групп незначительна (16-25 чел.), то именно применение критерия Манна-Уитни позволяет дать объективную оценку. Сформулировав статистические гипотезы и вычислив эмпирические значения критерия, мы пришли к выводу, что студенты экспериментальной группы превосходят по уровню оперирования понятием алгебраической структуры студентов в контрольной группе (Uэмп = 95,5, Uкр = 83, р 0,05).
Чтобы характеризовать уровень оперирования студентами алгебраической структурой в экспериментальном исследовании также использовались дополнительные главы алгебры на спецкурсах. В работе описаны организационные моменты проведения спецкурсов, этапы их изучения и анализ качественных показателей (в том числе свидетельствующих о переносе студентами сформированных умений на материал школьной математики).
Для выявления уровня сформированности умения решать теоретические задачи в курсе алгебры, мы предлагали контрольные задания трех видов. Задания первого вида имели вид традиционной теоретической задачи («Доказать, что …»). Выполнение таких заданий требовало раскрыть содержательную связь в определенном направлении. В заданиях второго вида требовалось сформулировать то, что нужно доказать, и построить соответствующее доказательство («Существует ли связь понятий…Какая? Ответ обоснуйте»). Задания третьего вида предусматривали самостоятельное раскрытие содержательных связей. Такие задания мы формулировали следующим образом: «Список свойств какого понятия Вы можете расширить? Дайте обоснования». Каждый из перечисленных видов заданий соответствовал определенному уровню сформированности умения решать теоретические задачи.
Анализ результатов выполнения заданий, предложенных студентам, позволил сделать вывод о том, что положительная динамика уровней развития умений решать теоретические задачи у студентов экспериментальных групп выше, чем у студентов контрольных. Следует заметить, что в процессе работы количество используемых теоретических задач в экспериментальной группе не превосходило число таких задач в контрольной, т.е. не было «натаскивания» на решение подобных задач.
Нам необходимо было убедиться также и в том, что построенный курс алгебры формирует фактологические знания студентов. К фактологическим знаниям курса мы отнесли знания формулировок основных положений изучаемых теорий, методов решения алгоритмических задач по алгебре и др. Поэтому описание фактологических знаний можно определить списком основных фактов и методов решений задач «по образцу», традиционно включающихся в данный курс. В качестве показателей сформированности фактологических знаний мы приняли: а) изменение экзаменационных оценок по предмету по семестрам (количественные характеристики фактологических знаний); б) уровни оперирования фактологическим материалом алгебры в пределах программы курса. Анализ результатов показал, что доля положительных сдвигов в экспериментальной группе больше, чем в контрольной. Отмечены факты повышенного познавательного интереса студентов к изучению алгебры.
Таким образом, результаты экспериментального исследования подтверждают справедливость выдвинутой нами гипотезы и свидетельствуют о правомерности нашей концепции раскрытия содержательных связей.
Основные результаты и выводы
Проблема достижения глубокого понимания математического материала студентами педагогических вузов была и остается актуальной, требует осмысления в зависимости от специфики изучаемого математического раздела. Поиск методической составляющей проблемы понимания в обучении алгебре показал, что необходимо искать средства, позволяющие самому студенту раскрывать содержательные связи в материале. В результате проведенного исследования по отысканию путей и средств организации деятельности студентов, направленной на раскрытие содержательных связей в курсе алгебры, были получены следующие основные выводы и результаты.
1. Основные тенденции современного образования, проявляющиеся в реализации культуротворческой модели образования, применительно к обучению курсу алгебры в педагогическом вузе ориентируют на отыскание путей и средств для осуществления герменевтического подхода к обучению, при котором учитываются многие виды деятельности (языковые, моторные, психологические и др.) и который позволяет направить деятельность студентов на глубокое профессионально-педагогическое понимание математического материала на уровне осознания смыслов математических понятий. Выявлено, что основным из направлений по решению проблемы организации обучения студентам, отвечающей современным требованиям образовательной парадигмы, является нацеленность обучения на понимание. Анализ философской, психолого-педагогической, математической и методической литературы позволил прийти к выводу о том, что в теории и методике обучения математике для разработки теоретических положений нацеленности обучения на понимание необходимо избрать идею герменевтики, в которой целостность является целью и средством понимания: в процессе познания понимание достигнуто, если знания образуют целостность и процесс понимания состоит из выполнения действий по раскрытию целостности. Определено, что системообразующим компонентом методологической целостности являются содержательные связи в учебном математическим материале.
2. Установлено, что в решении проблемы отыскания теоретических положений по организации деятельности студентов по раскрытию содержательных связей необходимо исходить из положений методологии учебного познания алгебраического материала: целостность и понимание – два взаимозависимых понятия, учитывающие двунаправленное движение познавательной деятельности; курс алгебры пронизан двумя взаимопроникающими математическими идеями конструктивизма и аксиоматизации, на основе которых возникает понимание алгебраических понятий с помощью основных методов формализации и интерпретации, имеющих противоположные направления; единство содержания курса алгебры определяется понятием алгебраической структуры, воплощающее в себе характерные черты целостности.
3. Определены составляющие понятия содержательной связи в учебном математическом материале применительно к курсу алгебры педагогического вуза, включающие:
1) трактовку содержательных связей как связей, вскрывающих сущность знания, его основания и истоки, характеризующих отношение изучаемого материала к целостности курса, выполняющих проекционную и порождающую функцию развития абстрактных математических понятий; основополагающее положение в данной трактовке занимает методологический принцип единства целостности курса и его и понимания студентами как в процессуальном, так и в результативном аспекте; основой целостности курса алгебры в методическом плане является обобщенное понятие алгебраической структуры;
2) идею однородности содержательных связей в компонентах обобщенного понятия алгебраической структуры, подразделяющихся на: (а) координатизационные связи, отражающие «предметную» сущность элементов множества и «выполнимость» алгебраических операций на множестве; (б) синтаксические связи, характеризующие свойства алгебраических операций и отношений на множестве; (в) структурно-абстрактные, характеризующие совокупность свойств алгебраических операций и отношений на множестве, обуславливающих специфику алгебраической структуры.
4. Определен принцип построения курса алгебры, реализующего концепцию раскрытия студентами содержательных связей, как принцип единения цели и средства раскрытия содержательных связей в курсе алгебры педагогического вуза. Исходя из данного принципа, герменевтический подход к обучению реализуется: (а) приданием учебному материалу свойства целостности; (б) организацией выполнения студентами действий по раскрытию целостности курса.
5. Структурирование учебного материала курса алгебры при организации деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в нем с методических позиций обеспечивается подходом, который осуществляется средствами содержательных параллелей, наделенных признаками: сопоставимости, проявляющейся в общности свойств понятий различных математических теорий курса; генетичности, выражающейся в возможности выявления конструктивного и формального смысла изучаемых понятий; адекватности учебного материала одному компоненту алгебраической структуры.
6. Методический подход к организации учебной деятельности студентов по изучению курса алгебры базируется на методических идеях, состоящих в том, что смысловая дискретность в единстве с конструктивным предъявлением целостности учебного материала обеспечивает продуктивность в преодолении непонимания студентами, а парность учебных действий формализации и интерпретации по раскрытию содержательных связей в курсе алгебры составляет сущность раскрытия содержательных связей в курсе алгебры.
Для возможности постановки студентом учебных задач по раскрытию содержательных связей в материале были разработаны следующие методические положения по организации учебной деятельности студента.
Для ситуации соотнесения материала с понятием алгебраической структуры необходимо создать следующие педагогические условия: определение ключевых понятий в изучаемом материале, относящихся к компонентам понятия алгебраической структуры; выделение устройства математических теорий курса в виде графов, схем, иллюстраций и т.п., в сопоставлении между собой; кусочная подача материала, в которой предъявление обоснований и доказательств осуществляется в отрыве от теоретических фактов.
Учебные задания по постановке учебных задач должны ориентировать студентов на выполнение учебных действий формализации и интерпретации. Выполнение заданий должно предполагать: возможность различных интерпретаций изучаемых положений; приобретение студентами опыта формализованной записи рассуждений, обоснований, выводов и т.д., и их результатов.
Организация самостоятельной деятельности студентов по раскрытию содержательных связей возможна средствами математических задач со специально подобранными учебными заданиями, направляющими действия студентов на содержательный анализ и содержательное обобщение понятий, определенных условиями задач.
7. Методическое решение организации форм учебной деятельности студентов (лекций, практических занятий и самостоятельной работы студентов), состоит в том, что они должны обеспечивать возникновение учебных ситуаций типа «ситуаций непонимания», приводящими к постановке студентами учебных задач по раскрытию содержательных связей и самостоятельное их решение. Организация самостоятельной деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в курсе алгебры основывается на системе действий от создания педагогических ситуаций, нацеливающих на соотнесение изучаемых понятий и положений с понятием алгебраической структуры, к постановке студентами учебных задач по раскрытию содержательных связей средствами специальных учебных заданий, ориентирующих на выполнение действий формализации и интерпретации, а затем к самостоятельной деятельности по решению учебных задач на раскрытие содержательных связей.
8. Организация деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в курсе алгебры позволяет:
1) сформировать понятие алгебраической структуры на обобщенном уровне, проявляющемся в оперировании алгебраической структурой на материале интуитивных и аксиоматических теорий;
2) развивать теоретическое мышление студентов, необходимое не только для математической деятельности, но и для узкопрофессиональной деятельности современного учителя математики, которое проявляется в умениях решать теоретические задачи;
3) создать условия для самостоятельной деятельности студента, в результате которой достигается понимание материала (о чем свидетельствуют результаты экспериментального обучения);
4) воспитывать потребность в учении, профессиональном становлении средствами курса алгебры;
5) подготовить студентов к восприятию дисциплин методического цикла с точки зрения готовности к выполнению содержательного анализа учебного материала.
9. Анализ результатов экспериментального обучения и внедрения материалов исследования в практику различных вузов показал, что студенты экспериментальных групп превосходят студентов контрольных по уровню сформированности умений в оперировании понятием алгебраической структуры, решении теоретических задач, усвоении фактологических знаний. Это свидетельствует об эффективности разработанной методики, доказывает справедливость выдвинутой гипотезы, правильности разработанной концепции.
Таким образом, результаты теоретической и опытно-экспериментальной работы, проведенной в рамках данного исследования, подтверждают эффективность подготовки будущего учителя математики на основе организации деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в курсе алгебры педагогического вуза не только по линии освоения знаний и умений, но и в плане осуществления профессионально-педагогической направленности курса, реализации личностно-деятельностного подхода к обучению.
Представляется целесообразным наметить пути дальнейшего исследования проблемы, решаемой в рамках данной диссертационной работы. Теоретический аспект перспектив заключается в исследовании возможностей переноса методических идей на другие разделы математики и на подготовку специалистов непедагогического профиля, в разработке соответствующих технологий и методик обучения. Особый интерес представляет исследования преемственности при изучении курса алгебры в рамках данной концепции. В экспериментальном аспекте имеет смысл детально исследовать различные способы использования технологий по постановке учебных задач и организацией их лабораторного решения.
Основное содержание работы и результаты исследования отражены в следующих публикациях
Монографии
- Изучение высшей алгебры: начальный этап. Практико-ориентированная монография. – Архангельск: Поморский государственный университет, 2002. – 143 с.
- Целостность курса алгебры как методологическая основа его понимания. Монография. – Архангельск: Поморский университет, 2004. – 356 с.
- Герменевтический подход к обучению математике (теоретический аспект). Коллективная монография. – Сыктывкар: КРАГСиУ, 2008. – 260 с. (в соавт.: Н.И. Гоза, Е.Ф. Фефилова. – 33%).
Публикации в изданиях, включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий
- Алгебра: Логика и интуиция // Высшее образование в России. – М., 2003, № 2. – С.155-156.
- Целостность курса высшей алгебры как основа его понимания // Вестник высшей школы. – М., 2003, № 11. – С.22-24.
- Об одной модели организации обучения предметным дисциплинам при подготовке учителя математики (на примере курса алгебры) // Вестник Оренбургского государственного университета. – Оренбург: ОГУ, 2003, № 3(21). – С.54-58.
- Фундаментальность алгебраических знаний в предметной подготовке учителя математики // Вестник Поморского университета. Физиологические и психолого-педагогические науки. – Архангельск: ПГУ, 2004, № 1(5). – С.95-99.
- Целостность как ведущий принцип построения (реализации) курса алгебры в педагогическом вузе (в рамках герменевтического подхода) // Известия Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена: Психолого-педагогические науки (педагогика, психология, теория и методика обучения): Научный журнал.– СПб.: РГПУ, 2005, № 5(12). – С.311-319.
- Концепция раскрытия содержательных связей в курсе алгебры студентами педагогического вуза // Сибирский педагогический журнал. – Новосибирск, 2008, № 9. – С.51-58.
- Содержательные связи курса алгебры педагогического вуза // Высшее образование сегодня. – М., 2008, № 8. С.69-72.
Учебные и учебно-методические пособия, разработки, программы
- Элементы теории алгебраических систем. Методические рекомендации к спецкурсу. – Архангельск: Изд-во Поморского государственного университета, 1997. 23 с. (в соавт. Н.Л. Бобрышова. – 50%)
- Введение в теорию групп. Учебно-методическая разработка. Архангельск: Изд-во Поморского гос. университета, 1999. – 41 с.
- Алгебра. Часть 2. Учебно-методическая разработка. – Архангельск: Изд-во Поморского государственного университета, 1999. – 31 с. (в соавт. И.В. Кузнецова, С.В. Мясникова. – 33%).
- Математическая логика и теория алгоритмов. Учебно-методическая разработка. Архангельск: ПГУ им. М.В. Ломоносова, 2002. – 92 с. (в соавт. Е.А. Дементьева. – 80%)
- Начала теории игр. Учебно-методическая разработка – Архангельск: ПГУ им. М.В. Ломоносова, 2002. – 38 с.
- Курсовые работы по математике. Учебно-методическая разработка. - Архангельск: ПГУ им. М.В. Ломоносова, 2002. – 16 с.
- Программы по дисциплинам. Алгебра. Математическая логика. Теория алгоритмов. – Архангельск: Поморский университет, 2004. – 52 с. (в соавт. И.В. Кузнецова, С.В. Мясникова. – 33%)
- Математика 10-11: Дополнительные главы: Учебно-методическое пособие. – Архангельск: Поморский университет, 2004. 96 с (в соавт. Е.А. Дементьева, В.В. Сушков, Л.М. Харева. – 25%)
- Программы по дисциплинам. Курсы по выбору. Дисциплины специализации «Абстрактная алгебра». – Архангельск: Поморский университет, 2004. – 32 с. (в соавт. Н.М. Карелин, С.С. Лебедев. – 33%)
- Лабораторные работы по теории определителей. Учебно-методическое пособие. Архангельск: Поморский университет, 2005. – 101 с.
- Методические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Математика». Сыктывкар: КРАГСиУ, 2006. – 36 с.
- Математика для гуманитариев. Часть 1: Учебное пособие в 2ч. Сыктывкар: КРАГСиУ, 2007. – 229 с. [Гриф УМО по математике педвузов Волго-Вятского региона]. (в соавт.: В.А. Попов, М.В. Поспелов, Г.В. Канева. – 25%)
- Математика для гуманитариев. Часть 2: Учебное пособие в 2ч. Сыктывкар: КРАГСиУ, 2008. – 156 с. [Гриф УМО по математике педвузов Волго-Вятского региона]. (в соавт. В.А. Попов, М.В. Поспелов, Г.В. Канева. – 25%)
- Учебно-методический комплекс дисциплины (УМК): Методические указания для составителя. Сыктывкар: КРАГСиУ, 2008. – 17 с. (в соавт. О.Н. Кушнир, Н.А. Михальченкова. – 33%)
- Математика. Учебное пособие. Сыктывкар: КРАГСиУ, 2008. – 162 с. [Гриф УМО по математике педвузов Волго-Вятского региона]. (в соавт. Е.Ю. Яшина. – 50%)
Статьи и тезисы
- Методологический подход к изучению теоретического материала курса алгебры и теории чисел при подготовке учителя математики // Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. – Архангельск: Изд-во Поморского гос. университета им. М.В. Ломоносова, 1997. – С.75-80.
- Решение математических задач в процессе реализации методологического подхода к изучению курса алгебры и теории чисел в педвузе / Сочетание общекультурной и предметной составляющих в общем математическом образовании учащихся и в профессиональной подготовке будущих учителей математики: Тезисы докладов на Герценовских чтениях. – СПб.: Образование, 1997. – С.29.
- Реализация методологического подхода к изучению вузовской математики – начало методической подготовки учителя математики / Х Ломоносовские чтения. Доклады и тезисы. Архангельск, 1998. – С.265-266.
- Методологический подход к изучению теоретического материала курса алгебры и теории чисел в педвузе / Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России. Тезисы докладов межрегиональной научной конференции. Киров, 1998. – С.142-143.
- To the Question of Methodologization of Studying the Course of Algebra and Theory of Numbers at a Higher Education Teachers` Training Institution. / Teaching Mathematics and Physics in Secondary and Hifher Education. Proceedings of the Third Inter-Karelian Conferense Petrozavodsk, Rassia, 1998. – P.161-163.
- Один из способов профессионально-педагогической направленности специальной подготовки учителя математики / Подготовка и повышение квалификации педагогических кадров: проблемы, опыт, перспективы. Сборник научных трудов. Вып. IV. Москва: Международная педагогическая академия, 1999. – С.50-53.
- Об одном из путей реализации принципа изучения математических дисциплин как средства подготовки учителя математики / Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. – Архангельск: Изд-во Поморского гос. университета им. М.В. Ломоносова, 1999. – С.51-53.
- Сущность и основы реализации методологического подхода к изучению вузовского курса алгебры и теории чисел / Актуальные проблемы подготовки и повышения квалификации педагогических кадров: Сборник научных трудов. Выпуск второй. / Под ред. В.П. Симонова. – М.: Международная педагогическая академия, 2000. – С.50-53.
- К вопросу о подготовке учителя математики / XIII Ломоносовские чтения. Сборник научных трудов. – Архангельск: Поморский гос.университет, 2001. – С.513-517. (в соавт. С.А. Самсонова. – 50%)
- Построение изучения вузовского курса алгебры в культурно-исторической концепции // Человек и вселенная. – М., 2001, №10. – С.21-25.
- К вопросу о построении курса алгебры в педагогическом вузе с позиции культурно-исторической педагогики / Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания. Межвузовский сборник научных трудов. – Пенза: Изд-во Пензенского гос.пед.ун-та, 2001. – С.371-372.
- К вопросу об организации самостоятельной работы школьников на уроках математики / XIII Ломоносовские чтения. Сборник научных трудов. – Архангельск: Поморский госуниверситет, 2001. – С.517-519. (в соавт. Ю.П. Шиловская. – 50%)
- Новые подходы в изучении математических дисциплин при подготовке учителя математики / XIV Международные Ломоносовские чтения: Сборник научных трудов. – Архангельск: Поморский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 2002. – С.391-395. (в соавт. С.А. Самсонова. – 50%)
- О построении обучения алгебре в педагогическом вузе / Актуальные проблемы научно-исследовательской работы в средней и высшей школе: Сборник материалов научно-практической конференции. – Мурманск: МГПИ, 2002. – С.16-20.
- Об осмыслении математического содержания в подготовке учителя математики / VI Царкосельские чтения: Материалы конференции. Том XII / Под ред. В.Н. Скворцова. – СПб.: ЛГОУ им. А.С. Пушкина, 2002. С.29-30.
- О стратегии в обучении математике в педагогических вузах / Телекоммуникации, математика и информатика – исследования и инновации Выпуск 6. Межвузовский сборник научных трудов. – СПб.: ЛГОУ им А.С. Пушкина, 2002. – С.156-158.
- Роль и место курсов по выбору в общей математической подготовке учителя математики // Аспирант и соискатель. – М., 2002, №3. – С.230-232.(в соавт. С.А. Самсонова. – 50%)
- Подходы к изучению предметных дисциплин в процессе подготовки учителя математики / Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. Вып.5. – Архангельск: Поморский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 2002. – С.137-140.
- Курсы по выбору как средство повышения профессиональной подготовки будущих учителей математики / Актуальные проблемы обучения математике (К 150-летию со дня рождения А.П. Киселева). Т.1: Материалы Всероссийской научно-практической конференции. – Орел: Изд-во ОГУ, 2002. – С.320-324. (в соавт. С.А. Самсонова. 50%)
- Изучение высшей математики в контексте культуротворческой парадигмы образования / Актуальные проблемы современной науки: Сборник тезисов региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов, преподавателей (г. Коряжма, 3-4 декабря 2002) Архангельск: Поморский гос.университет им.М.В.Ломоносова,2002.–С.85-94.
- К вопросу о реализации концепции профессионально-педагогической направленности при подготовке учителей математики / Актуальные проблемы обучения математике (К 150-летию со дня рождения А.П. Киселева). Т.1: Материалы Всероссийской научно-практической конференции. – Орел: Изд-во ОГУ, 2002. – С.325-330. (в соавт. С.А. Самсонова. – 50%)
- Обучение математике в вузе с позиции культурно-исторической теории // Методология и методика преподавания основ наук в современных условиях: Материалы Всероссийской научно-практической конференции 14-15 июня 2002 г. В 2-х частях. – Часть II / Под общ. ред. С.М. Усманова. – Бирск: БирГПИ, 2002. – С.140-143.
- Уровни раскрытия целостного понимания математики при изучении курса алгебры в подготовке учителя // Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики: Труды ХХI Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов / Под ред. В.В. Орлова. - СПб.: Изд-во РГПУ им А.И. Герцена, 2002. – С.102-103.
- Об изучении алгебры в вузе // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию «55-е Герценовские чтения» / Под ред. В.В. Орлова. – СПб.: Изд-во РГПУ им А.И. Герцена, 2002. – С.161-162.
- Вузовское изучение алгебры в культуротворческой парадигме образования / Актуальные вопросы современного университетского образования: Материалы V Российско-Американской научно-практической конференции, 13-16 мая 2002 г. – СПб.: Изд-во РГПУ им А.И. Герцена, 2003. – С.234-235.
- Содержательные и идейные связи в алгебраическом курсе при подготовке учителя математики / Математическая и методическая подготовка студентов педвузов и университетов в условиях модернизации системы образования: Материалы XXII Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов и университетов. – Тверь: Твер. гос. ун-т, 2003. – С. 59.
- Формализация содержательного знания в подготовке учителя математики / Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию «56 Герценовские чтения». – СПб: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2003. – С.23-25.
- Основы математической подготовки специалистов в педагогическом вузе / Актуальные проблемы обучения в школах и вузах малых городов России: Материалы региональной научно-практической конференции 3-4 декабря 2002 года, г. Коряжма. – Архангельск: Поморский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 2003. – С.55-59.
- Формализация и интерпретация при изучении алгебры в педагогическом вузе // Инновации в образовании. М., 2003, № 6. – С.30-35.
- The contours of integral approach for studying algebra in training a mathematics teacher / Mathematics and Science Education in the North-East of Europe: History, Traditions & Contemporary Issues. Proceedings of the Sixth Inter-Karelian Conference Sortavala, Russia 11-14 September, 2003. – Joensuu University Press, 2003. P.147-150.
- Профессиональный аспект качества предметных знаний будущих учителей математики / XV международные Ломоносовские чтения. Сборник научных трудов. – Архангельск: Поморский государственный университет, 2003. – С.367-370.
- Приемы организации изучения алгебры при подготовке учителя математики / Тенденции развития гуманистической педагогики: Материалы межрегиональной научно- практической конференции (23 октября 2003 г.) / Отв. ред. В.И. Новикова. – Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 2003. – С.97-100.
- Реализация идейного содержания алгебры в подготовке учителя математики / Методология и история математики: Сборник научных трудов / Под ред. Н.М. Матвеева, Э.К. Гроскрейца, С.В. Базанова. М.: Изд.дом "Руда и металлы", 2003. Том 4. – С.252-255.
- К вопросу о контроле в изучении вузовской математики / 16-е международные Ломоносовские чтения. Сборник научных трудов. – Архангельск: Поморский университет, 2004. – С.391-395. (в соавт. В.В. Сушков. – 50%)
- Содержательные взаимосвязи в алгебраическом материале как основа его целостности // Проблемы теории и практики обучения математике. Труды международной конференции «57 Герценовские чтения» / Под ред. В.В. Орлова. - С.-Пб.: Изд-во РГПУ им. Герцена, 2004. С.262-265.
- Функции предметных дисциплин при подготовке учителя математики и их реализация (на примере курса алгебры) / Академические чтения. Выпуск 4: Ценности современного образования: региональный аспект. – Архангельск: Поморский университет, 2004. – С.82-85.
- К проблеме понимания математики в современном вузовском обучении / Фундаментальные и прикладные проблемы образования: Материалы Всероссийского методологического семинара: В 2 т. / Под науч.ред. Н.В. Бордовской. Том II. – СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И Герцена, 2004. – С.167-171.
- Особенности задачного материала курса вузовской алгебры при подготовке учителя математики / Задачи при обучении математике: Сборник научных работ. Выпуск I. – Архангельск: Поморский университет, 2004. – С.47-56.
- Подготовка учителя математики в условиях профилизации старшеклассников / Актуальные проблемы профилизации математического образования в школе и вузе: сборник научных трудов и методических работ, представленных на региональную научно-практическую конференцию / Под ред. М.И. Зайкина. – Арзамас, АГПИ, 2004. – С.10-15.
- Содержательные параллели при изучении алгебры в педагогическом вузе / Роль педуниверситетов Северо-Запада России в развитии сельской школы региона в условиях модернизации образования: сборник научных и методических работ, предоставленных на региональную научно-практическую конференцию/ Под ред. С.И. Смирновой. Петрозаводск, ГОУ ВПО «КГПУ», 2004. – С.183-187.
- К проблеме учебных задач на основе личностно-деятельностного подхода / Повышение качества образования на основе личностно-ориентированного подхода: Межвузовский сборник научных статей. – Череповец: ГОУ ВПО ЧГУ, 2004. – С.202-205.
- Целостность при изучении алгебры в педвузе // Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России: Тезисы докладов III Всероссийской научной конференции. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. – С.54-55.
- Основные действия по пониманию высшей алгебры // Математика в высшем образовании: Тезисы докладов 12-й международной конференции. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2004. – С.20.
- Содержательный анализ вузовской алгебры / Актуальные проблемы преподавания математики в педагогических вузах и средней школе. Тезисы докладов XXIII Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов, 13-15 октября 2004 г. / Гл.ред. Е.В. Яковлев. – Челябинск; Москва, 2004. – С.113-114.
- Содержательные связи вузовского курса алгебры педагогического вуза / Проблемы математического образования в вузах и школах России в условиях его модернизации: Сборник трудов межрегиональной научно-методической конференции. - Сыктывкар: Коми педагогический институт, 2005. – С.35-36.
- Понимание математики в учебном познании // Вестник Коми республиканской академии государственной службы и управления при Главе Республики Коми. Теория и практика управления. – Сыктывкар, 2005, № 1(6). – С.84-91.
- Основные направления в построении целостного курса алгебры при подготовке учителя математики в вузе / Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на Международную научную конференцию «58 Герценовские чтения». – СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2005. – С.265-266.
- Проблемы предметной подготовки учителя математики в современных условиях / Наука, образование, культура: проблемы и перспективы развития: Материалы научно-практической конференции (Коряжма, 24-25 января 2005 г). – Архангельск: Поморский университет, 2005. – С.114-118.
- Составляющие процесса понимания математического материала в учебной деятельности студентов // Вестник Коми республиканской академии государственной службы и управления при Главе Республики Коми. Теория и практика управления. – Сыктывкар.: КРАГСиУ, 2006, № 2-3(7-8). – С.132-149.
- Два основных подхода к выбору методики обучения математике в вузе / Политические, экономические и социокультурные аспекты регионального управления на Европейском Севере: материалы V Всероссийской науч.-теорет. конф (19 апреля 2006 г., Сыктывкар) в 4ч. – Сыктывкар: КРАГСиУ, 2006. – Ч.IV. – С.172-176.
- Содержательные связи курса алгебры педагогического вуза и раскрытие их студентами // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Выпуск 8: Периодический межвузовский сборник научно-методических работ. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006. – С.199-207.
- Один из приемов содержательного обобщения в курсе алгебры педагогического вуза / Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных классах: Материалы XXV Всероссийского семинара преподавателей математики ун-тов и педвузов. – Киров; М.: ВятГГУ, МПГУ, 2006. – С.159-160.
- Сущность герменевтического подхода к обучению математике / Новые средства и технологии обучения математике в школе и вузе: материалы XXVI Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов. Самара; М.: Самарский филиал МГПУ, МГПУ, 2007. – С.109-110.
- Роль лабораторных работ по математике в реализации герменевтического подхода к обучению / Политические, экономические и социокультурные аспекты регионального управления на европейском севере. Материалы VI Всероссийской научно-практической конференции (18 апреля 2007г., Сыктывкар). В 2 ч. – Сыктывкар: КРАГСиУ, 2007. – Ч. II. – С.96-102.
- Некоторые вопросы герменевтического подхода к обучению математике в вузе / Модернизация педагогического образования и проблемы педагогики высшей школы: методология, практика, инновации: Сборник научных статей по материалам всероссийской научно-практической конференции (19-20 февраля 2007 года, г. Сыктывкар). – Сыктывкар: Изд-во Коми пед.института, 2007. – С.288-291.
- Основания герменевтического подхода к обучению математике / Проблемы и тенденции формирования и развития деятельности региона: Материалы I межвузовской научно-практической конференции молодых ученых и студентов. – Сыктывкар: СФ СПбГУСЭ, 2007. – С.81-95.
- Специфика учебных действий, направленных на раскрытие содержательных связей в математическом материале (на примере курса алгебры педагогического вуза) / Современные образовательные технологии в системе математического образования. Часть II. Материалы Международной научно-практической конференции (г. Коряжма, 2008 г.) – Архангельск: Поморский гос. ун-т, 2008. – C. 294-302.
- Типология учебных задач при изучении математики в вузе / Проблемы математического образования в вузах и школах России в условиях его модернизации: Материалы II межрегиональной научно-методической конференции / Под ред. В.А. Попова. – Сыктывкар: Изд-во КГПИ, 2008. – С.64-65.
- Структурирование предметного содержания курса алгебры / Проблемы многоуровневой подготовки учителей математики для современной школы: Материалы XXVII Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов, посвященного 70-летию со дня рождения И.Д. Пехлецкого (24-26 сентября 2008 г.) – Пермь: Перм.гос.пед.ун-т, 2008. – С.144.
