Решение задач прочности и разрушения анизотропных материалов и горных пород
На правах рукописи
Байбурова Минсария Мазитовна
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРОЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ
АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ И ГОРНЫХ ПОРОД
01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Саратов 2008
Работа выполнена в ГОУ ВПО «Альметьевский государственный
нефтяной институт»
Научный руководитель: доктор технических наук, профессор
Алиев Мехрали Мирзали оглы
Официальные оппоненты Доктор технических наук, профессор
Калашников Сергей Юрьевич
Доктор физико-математических наук,
профессор Каюмов Рашит Абдулхакович
Ведущая организация: ГОУ ВПО «Казанский государственный
технический университет
им. А.М. Туполева»
Защита состоится «__ » ________ 2008 года в __ часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.06 при ГОУ ВПО “Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, корп. 1, ауд. 319.
С диссертацией можно ознакомиться в научно – технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»
Автореферат разослан «___»_______________ 2008 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Попов В.С.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Прочность анизотропных материалов, к которым относятся стеклопластики, углепластики, армированные материалы и другие, является одной из актуальных тем исследования последних лет. На сегодняшний день предложены различные критерии прочности, условия текучести для таких материалов, решены многие практически важные задачи и получены ценные результаты.
Несмотря на то, что вопросы прочности и разрушения горных пород исследуются отдельно от вопросов прочности анизотропных материалов, существуют точки соприкосновения этих исследований. В основном это касается разработанных для различных видов материалов критериев прочности, которые после некоторой оговорки используются как условие текучести или условие предельного равновесия. Однако большинство существующих критериев недостаточно широко применяется в практике. Причиной этого, возможно, является относительная сложность их математического выражения и необходимость проведения большого числа опытов для определения входящих в них постоянных. Наряду с общими для критериев предельного состояния изотропных и анизотропных материалов требованиями, такими как выпуклость предельной поверхности, действительность предельного напряженного состояния и других, существуют требования, относящиеся к критериям анизотропных материалов. Недостаточная изученность проблемы прочности и разрушения анизотропных материалов и горных пород, которой посвящена диссертационная работа, является актуальной и занимает многих исследователей не только у нас в стране, но и за рубежом.
Цель работы. Разработка критериев прочности для тел, механические характеристики которых обладают свойствами анизотропии. Вывод условий предельного равновесия горных пород в плоско деформированном состоянии. Расчет геоматериалов на длительную прочность и на прочность при циклически изменяющихся нагрузках.
Научная новизна работы.
- Доказано, что два известных критерия кратковременной прочности И.И. Гольденблата – В.А. Копнова и К.В. Захарова всегда совпадают не только в плоскости, но и в пространстве главных напряжений, если критерий И.И. Гольденблата – В.А. Копнова записан в квадратичной форме. Проверка обоих критериев на длительную прочность, при одинаковых функциях изменения прочностных параметров по времени, подтверждает их совпадение.
- Получен критерий для решения задач статики анизотропных тел на основе обобщения критерия Друккера - Прагера.
- На основе критерия прочности К.В. Захарова, методом линий скольжения, решена задача по определению предельного давления на анизотропную полуплоскость.
- Получен критерий длительной прочности путем введения характеристик кратковременной прочности, зависящих от времени. Разработана методика определения предела усталости горных пород при известном значении коэффициента пластичности.
- Предложена методика построения диаграмм упругопластической деформации путем применения эмпирических зависимостей, полученных из многочисленных опытов.
Практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в области бурения нефтяных скважин:
- для решения задач статики анизотропных тел;
- для решения задач по определению предельного давления на анизотропную полуплоскость;
- для оценки длительной прочности анизотропных материалов;
- для определения критерия усталостного разрушения геоматериалов.
Внедрение результатов работы. Теоретические результаты работы, представленные в диссертации, внедрены в учебный процесс на кафедре «Транспорт и хранение нефти и газа» Альметьевского государственного нефтяного института, они используются в ряде лекционных курсов, читаемых студентам специальности 130501, в частности, по дисциплине «Механика сплошной среды».
Обоснованность и достоверность научных результатов обеспечивается строгим математическим обоснование предлагаемых методик расчета, использованием фундаментальных принципов механики деформируемого твердого тела, сопоставлением полученных результатов с известными аналитическими и численными расчетными данными.
На защиту выносятся:
1. Сравнительный анализ двух известных критериев кратковременной прочности, доказывающий их совпадение не только в плоскости, но и в пространстве главных напряжений при кратковременных и длительных загружениях.
2. Численное решение уравнений характеристик по определению предельного давления на анизотропную полуплоскость.
3. Методика определения количества циклов разрушения горных пород.
4. Методика построения диаграмм упругопластической деформации для горных пород на основе геофизических исследований и путем применения эмпирических зависимостей.
Апробация работы.
Основные положения работы были доложены, обсуждены и одобрены на научной сессии по итогам 2003 года, г. Альметьевск, 2004 г.; международной научной конференции. «Актуальные проблемы математики и механики», г. Казань, 26 сентября – 1 октября 2004г.; научной сессии по итогам 2004 года, г. Альметьевск, 2005 г.; научной сессии по итогам 2005 года, г. Альметьевск, 2006 г.; всероссийской научно-практической конференции «Большая нефть XXI века», г. Альметьевск, 17-20 октября 2006г.; межвузовском семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством член-корр. А.Н. РТ Паймушина В.Н., КГТУ им. А.М. Туполева, г. Казань, 11 апреля 2007 г.
Публикации. Содержание работы отражено в 9 печатных работах, в том числе в 2-х журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации на соискание ученой степени кандидата технических наук.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка использованной литературы из 116 наименований. Работа изложена на 122 страницах. Содержит 32 рисунка, 5 таблиц.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность поставленной задачи, сформулирована цель работы, научная новизна, практическая и теоретическая необходимость, изложено краткое содержание работы.
Первая глава посвящена аналитическому обзору работ в области анизотропии различного рода материалов при статическом воздействии внешних нагрузок; рассмотрены теории кратковременной и длительной прочности, приведен обзор исследований в области научных основ разрушения горных пород. Исследованию вопросов, касающихся теории предельного состояния твердых деформируемых тел, посвящены работы Р. Хилла, Р. Мизеса, Л.М. Качанова, К.В. Захарова, И.И. Гольденблата, В.А. Копнова, Д. Друккера, В. Прагера, Г.А. Гениева, Д.Д. Ивлева, Л.А. Толоконникова, А.К. Малмейстера, И.Г Терегулова, Р.А. Каюмова, Существует ряд работ посвященных процессам в области механики горных пород. Сюда относятся работы Л.А. Шрейнера, Б.В. Байдюка, Т.Г. Фараджева, К.И.Вдовина, Б.А. Жлобинского, А.И. Спивака. В выполненных исследованиях вопросы кратковременной и длительной прочности композиционных материалов и геоматериалов к настоящему времени изучены недостаточно. Также недостаточно изучены процессы разрушения горных пород при циклических нагружениях.
Вторая глава посвящена анализу критериев кратковременной прочности анизотропных материалов. В первом параграфе сравниваются две известные теории кратковременной прочности, доказывается связь между ними и совпадение этих критериев в пространстве главных напряжений. Исследования проведены при сравнении критериев К.В. Захарова и И.И. Гольденблата – В.А. Копнова.
В случае плоского напряженного состояния критерий прочности конструкционных тел К.В. Захаровым представлен в виде
(1)
где 
и т.д. прочностные параметры материала.
Критерий И.И. Гольденблата - В.А. Копнова в простейшем виде представляет собой квадратичную форму
(2)
В работах А.К. Малмейстера показано, что критерий прочности И.И. Гольденблата – В.А. Копнова для двухмерного нагружения превращается в полином второй степени, изображающий тот же эллипс, что и у К.В. Захарова. Однако, как утверждается в работах И.И. Гольденблата, В.А. Копнова при выполнении, так называемого «условия совместности» для прочностных характеристик материала эти критерии совпадают не всегда. Проведенный в диссертации анализ путем определения пяти параметров прочности показал, что критерий прочности К.В. Захарова в условиях плоского напряженного состояния в системе координат, совпадающей с осями материала, представлен в виде
(3)
где верхний знак (+)если 
, а нижний знак (–) при 
(рис. 1).
Рис. 1. Чистый сдвиг образца в плоскости 
по схеме минимального и
максимального загружения.
В такой форме критерий всегда совпадает с критерием И.И. Гольденблата – В.А. Копнова.
Во втором параграфе рассматривается обобщенный критерий Друккера – Прагера для анизотропных тел. Для определения предельной поверхности горной породы, можно воспользоваться каким – либо обобщенным критерием для анизотропных тел. В частном случае такой критерий предложен П.А. Павловым. Обобщение критерия Мора относительно главных напряжений П.А. Павловым сделано подобно обобщению Р. Мизеса и Друккера - Прагера и имеет следующий вид
(4)
При такой записи критерия для определения параметров 
, можно обойтись без ограничительного условия, подобно условию Мизеса – Хилла о невлиянии шарового тензора на пластическую деформацию среды.
В диссертации для горной породы со сложной структурой строения критерий (4) обобщается в виде
(5)
Прочностные параметры, которые соответствуют чистому сдвигу, в диссертации предлагается получить с учетом того, что соответствующие предельные линии в условиях плоского напряженного состояния являются эллипсом. При такой методике становится возможным определение характеристик прочности, не проводя испытания на чистый сдвиг.
В произвольной координатной системе 
критерий (5) записанный в виде
(6)
представляет собой частный случай критерия И.И. Гольденблата – В.А. Копнова. Полученный критерий может быть использован для решения задач статики анизотропных тел.
Совпадение критериев длительной прочности И.И. Гольденблата - В.А. Копнова с критерием К.В. Захарова доказано на примере прочностного расчета стеклопластиковой конструкции при длительном силовом воздействии. Таким образом, критерий К.В. Захарова может быть принят как обобщение классических критериев Друккера – Прагера и П.П. Баландина. Так как критерии П.П. Баландина, Друккера-Прагера анизотропию не учитывают, а критерий К.В. Захарова учитывает, то последний можно использовать как условие текучести анизотропных горных пород и применять для решения задач предельного равновесия в следующей главе.
Третья глава освещает плоскую деформацию анизотропных геоматериалов. В первом параграфе рассматриваются критерии кратковременной прочности анизотропных горных пород на основе теории энергии формоизменения, выведено условие предельного равновесия пластичной горной породы для плоскодеформированного ее состояния. Во втором параграфе рассматривается возможность применения критерия прочности К.В. Захарова как условие предельного равновесия для анизотропных горных пород, которые в условиях сложного напряженного состояния ведут себя как пластические тела.
Условие текучести однородного анизотропного тела в виде полинома К.В. Захарова представлено в виде
(7)
где 
;
;
; 
; 
.
и т. д. являются пределами текучести.
Согласно ассоциированному закону течения для деформаций получено
(8)
; 
; 
.
Отсюда
(9)
здесь 
- множитель Лагранжа, имеющий размерность 
.
В условиях плоской деформации тела, при совпадении оси 
с одним из главных направлений анизотропии будет иметь место равенство
, 
.
Тогда, учитывая, что 
из (9) получено
. (10)
Внося (10) в (7) определим
(11)
В таком виде (11) представляет собой условие предельного равновесия пластичной анизотропной горной породы для плоско деформированного ее состояния.
В третьем параграфе проведено подробное исследование разрешающих уравнений пластического состояния. Показано, что эти уравнения в зависимости от характера напряженного состояния могут быть не только гиперболическими. Было использовано два различных подхода к решению задач по определению уравнений характеристик и соотношений на них. Представляя полученные разрешающие уравнения в конечно – разностной форме, осуществлено численное решение классической задачи о действии распределенной нагрузки на анизотропную полуплоскость. Для уточнения достоверности полученных решений рассмотрены частные случаи перехода к изотропной среде. При этом решение поставленной задачи не всегда удается получить. Причиной тому является весьма незначительное изменение параметра 
во всей области предельного равновесия для изотропной среды. Учитывая вышеизложенное, разрешающие уравнения для плоской деформации получены путем введения параметров 
и угла
- как неизвестные. Выражая компоненты напряжений 
в некоторой точке через главные нормальные напряжения 
и тригонометрическую функцию угла 
вводятся следующие параметры:
; 
Зависимости компонентов напряжений в площадках, проходящих через ось 
, от параметров 
и 
записываются в виде
(12)
тогда 
(13)
где обозначено
(14)
Подстановкой компонентов тензора напряжений (12) в уравнения равновесия получена система квазилинейных уравнений.
Дифференциальные уравнения характеристик и соотношения на этих характеристиках определены виде
; (I семейство) (15)
, (II семейство) (16)
где обозначено:
Соотношения на характеристиках между 
и 
определены в виде. 
; (I семейство) (17)
, (II семейство)
где 
;
;
;
зависимости, являющиеся функциями параметров 
и 
.
определяется по (15); 
определяется по (16).
При таком подходе основные разрешающие уравнения для плоской деформации приводят к однозначным решениям.
В четвертом параграфе на основе произведенных расчетов было осуществлено численное решение уравнений характеристик в конечно – разностной форме. На основе полученных разрешающих уравнений характеристик простроены графики изменения предельного давления 
от 
на анизотропную полуплоскость (рис 2).
Рис. 2. График зависимости предельного давления от 
на анизотропную полуплоскость.
В четвертой главе рассматривается прочность деформируемых тел и геоматериалов при длительном воздействии внешних сил.
В первом параграфе рассмотрена возможность обобщения полиномиального критерия прочности П.П. Баландина на длительную прочность геоматериалов путем введения прочностных параметров, зависящих от времени.
Критерий длительной прочности имеет вид
(18)
Кривая длительной прочности принимается в виде
, (19)
где 
параметр аппроксимации, 
- предел прочности на сжатие при кратковременном действии сжимающей нагрузки, 
- то же самое при 
. Далее принимая 
уравнение (19) приводится к виду 
, (20)
На основе полученных данных построен график зависимости напряжения сжатия от времени при различных параметрах 
(рис. 3).
Рис.3. График зависимости напряжения сжатия от времени
при различных параметрах 
.
Критерий (18) записывается в виде:
. (21)
где 
- интенсивность напряжений.
; 
; 
; 
; 
.
Отсюда определяется время длительной прочности
(22)
где 
;
Данные расчеты были применены для определения зависимости времени длительной прочности от давления
Во втором параграфе рассматривается метод определения числа циклов переменных напряжений в зависимости от величины уровня действующего напряжения, приводящих горные породы к разрушению при малоцикловом нагружении.
Рис. 4.
Согласно (рис.4) можно найти величину разрушающей силы при одноразовом воздействии, например, принимая, что при этом площадь 
равна площади треугольника 
.
В третьем параграфе приводится методика определения количества циклов разрушения горных пород и построения диаграмм упруго-пластической деформации на основе геофизических данных и путем применения эмпирических зависимостей. А также вывод формулы, позволяющей определить предел усталости горных пород при известном значении коэффициента пластичности. Число циклов, согласно 
соответствующих пределу усталости определится по формуле
(23)
По графику зависимости 
горной породы (рис.6) при одноосном сжатии можно определить коэффициент пластичности
. (24)
Число циклов переменных напряжения может быть определено как соотношение полной удельной потенциальной энергии 
на удельную потенциальную энергию, затрачиваемую при одном цикле 
(рис.6).
(25)
где 
площадь диаграммы, соответствующая заданному напряжению.
Рис. 5 Диаграмма сжатия изотропной горной породы.
Таким образом, предложенная формула позволяет определить предел усталости горных пород при известном конечном значении коэффициента пластичности, и параметров прочности горной породы.
Диаграммы упруго – пластической деформации горных пород могут быть построены также с помощью эмпирических зависимостей, предложенных различными авторами. Тем самым появляется возможность уменьшения количества экспериментов. Сравнение предложенной теории с экспериментом, проведенным ранее для мрамора в работах Т.Г. Фараджева, М.Д.Фаталиева, М.К.Сеид – Рза, доказывает ее достоверность.
Для базальта Дарьяльского был построен график 
путем применения эмпирических зависимостей. По формуле (25) определены пределы усталости горных пород при известном значении коэффициента пластичности, найдены значения циклов напряжения.
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ
- Доказано, что известные теории кратковременной и длительной прочности К.В. Захарова и И.И. Гольденблата – В.А. Копнова (при записи в квадратичном инварианте) несмотря на внешнее отличие их математической записи в плоскости и пространстве главных напряжений всегда совпадают. Совпадение критериев длительной прочности для случая плоского напряженного состояния доказано на примере одного из этапов прочностного расчета стеклопластиковой конструкции, испытывающей длительное силовое воздействие.
- Предложен критерий прочности анизотропных горных пород в виде обобщения критерия Друккера – Прагера, который может быть использован для решения задач статики анизотропных тел. Разработана методика определения характеристик прочности при чистом сдвиге, путем использования результатов испытаний на одноосное сжатие и растяжение.
- Получены основные разрешающие уравнения предельного состояния среды в условиях плоской деформации, позволяющие решать задачи предельного напряженного состояния анизотропной среды. Осуществлено численное решение определяющих уравнений в напряжениях при помощи приближенного интегрирования уравнений методом конечных разностей. Построены графики изменений предельного давления анизотропной полуплоскости для различных сочетаний пределов текучести.
- Доказано, что критерий длительной прочности можно получить путем ведения в критерий кратковременной прочности прочностных параметров, зависящих от времени. Построены кривые длительной прочности, показывающие зависимость напряжения сжатия от времени.
- Получена формула, позволяющая определить предел усталости горных пород при известном значении коэффициента пластичности. Предложена методика построения диаграмм упругопластической деформации путем применения эмпирических зависимостей.
Публикации:
- Байбурова М.М. Критерии кратковременной прочности анизотропных материалов и применение их для решения задач предельного равновесия / М.М. Алиев, М.М. Байбурова // Вестник Самарского Государственного университета. Естественнонаучная серия. 2007. №6 (56) -С. 22-29.
- Байбурова М.М. Критерии кратковременной прочности для анизотропных конструкционных материалов и горных пород / М.М. Алиев, М.М. Байбурова // Известия вузов «Нефть и газ», №1, 2007.- С.64-69.
- Байбурова М.М. Обобщение условия Друккера – Прагера для композитных материалов и других видов слоистых тел / М.М. Алиев, М.М. Байбурова // материалы научной сессии ученых по итогам 2003 года. - Альметьевск: АГНИ, 2004.- С.24.
- Байбурова М.М. Построение поверхностей прочности для расширенного класса неизотропных материалов / М.М. Алиев, М.М. Байбурова // «Актуальные проблемы математики и механики»: материалы международной научной конференции (Казань, 26 сентября–1 октября 2004 года), Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского – 2004, Т.25.-С.17.
- Байбурова М.М. Прогнозирование механических свойств горных пород по данным об их плотности, пористости и глубине залегания / М.М. Байбурова // материалы научной сессии ученых по итогам 2004 года. – Альметьевск: АГНИ, 2005. -С.59 –60.
- Байбурова М.М. Определение параметров длительной прочности исходя из теории Л.М. Качанова / М.М. Алиев, М.М. Байбурова // материалы научной сессии ученых по итогам 2004 года. - Альметьевск: АГНИ, 2005.-С. 53-55.
- Байбурова М.М. Плоская деформация пластически однородного, анизотропного тела / М.М. Алиев, М.М. Байбурова, Н.Г. Марусина // Ученые записки: сб. науч. тр. – Альметьевск: АГНИ, 2005, Т.3.- С.145-148.
- Байбурова М.М. Численное решение уравнений характеристик при плоской деформации анизотропной среды / М.М. Алиев, М.М. Байбурова // материалы научной сессии ученых по итогам 2005 года. - Альметьевск: АГНИ, 2006. - С.176-177.
- Байбурова М.М. Плоская деформация структурно - неоднородного тела / М.М. Алиев, М.М. Байбурова // «Большая нефть XXI века»: материалы всероссийской научно-практической конференции – Альметьевск: АГНИ, 2006.- Ч.1.- С.242.
