Построение упругопластических моделей для анизотропных сред
На правах рукописи
ЕФИМЕНКО Лариса Леонидовна
ПОСТРОЕНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
01.02.04 – механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Новосибирск – 2007
Работа выполнена в
Институте горного дела СО РАН
и Новосибирском Технологическом Институте
Московского Государственного Университета
Дизайна и Технологии (филиал)
Научный руководитель: доктор физико-математических наук
Чанышев Анвар Исмагилович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук
Шваб Альберт Александрович
доктор физико-математических наук, профессор
Зуев Лев Борисович
Ведущая организация: Горный институт УрО РАН, г. Пермь
Защита состоится «29» октября 2007 г. в 13 часов на
заседании диссертационного совета Д 003.054.02
в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр-т академика Лаврентьева, 15.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке
Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
Автореферат разослан « » сентября 2007 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
д.т.н. Леган М.А.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Массивы горных пород являются объектами, сложенными из контактирующих друг с другом блоков (частиц). Деформация таких объектов происходит за счет сдвигов с преодолением сил трения между блоками, и за счет изменения межблокового пространства при простых удлинениях.
Блочные структуры изучались в работах академиков С.А. Христиановича и Е.И. Шемякина. Они относились к первоначально изотропным средам и возникали в пластическом состоянии (полная и неполная пластичность). Иерархия структурных уровней блочной структуры определена академиком М.А. Садовским и его учениками. Вместе с тем проблема описания поведения блочных материалов остается актуальной до сих пор. Не ясны уравнения деформирования имеющейся блочной структуры (первоначально заданной) в упругости, в пластичности и при разрушении. Открытыми остаются вопросы о критериях пластичности и разрушения, о влиянии параметров слоистой структуры на напряженное состояние массива пород, например, вокруг выработки, и о влиянии этих параметров на значения предельных нагрузок при разрушении массива пород штампом. Эти проблемы исследовались ранее, но требуют дальнейшего углубленного изучения.
Для описания первоначально анизотропных сред на самом деле имеются феноменологические уравнения упругости и пластичности. В упругости – это обобщенный закон Гука, но в нем нет структурных параметров; в пластичности – это деформационная теория пластичности и теория пластического течения, основанные на условии пластичности для анизотропных сред Мизеса или Хилла:
=1, 
где 
- это константы, характеризующие начало пластических деформаций при том или ином виде нагружения и образующие тензор 4-го ранга. Здесь также нет связи со структурой, поскольку параметры пластичности определяются экспериментально при различных видах нагружений. Вместе с тем большинство горных пород являются первоначально анизотропными по природе. Требуется построить для такой среды соотношения упругости и пластичности, отражающие ее основные структурные особенности.
Целью работы является построение математических моделей упругого и неупругого деформирования блочных массивов горных пород и исследование влияния структурных параметров этих моделей на предельные нагрузки с целью определения безопасного ведения горных работ и более эффективного извлечения полезных ископаемых.
Идея работы заключается в определении блочной структуры горных пород и формулировке уравнений, характеризующих поведение этой структуры: предполагается, что при нагружении по нормалям к контактным площадкам блоков происходят деформации простых удлинений (причем упруго), а вдоль контактов – простые сдвиги, которые могут быть и упругими, и необратимыми. Зависимость касательных усилий на площадке от простых сдвигов есть не что иное, как изменение предельной силы трения с ростом этих сдвигов. В данном виде указанное определение нашло отражение в работах Чанышева А.И.
Задачи исследований:
Построение уравнений упругости и пластичности, параметры которых определяются структурой среды, условиями на контактах блоков, анизотропией шероховатости на контактных площадках.
Исследование устойчивости слоистых бортов карьеров.
Исследование упруго – пластического состояния слоистого материала (крепи) вокруг цилиндрической выработки.
Решение задач о вдавливании жесткого штампа в слоистый массив горных пород. Определение влияния структурных параметров на значения предельных нагрузок.
Методы исследований: аналитические, численные, экспериментальные методы механики сплошной среды, пакеты прикладных программ.
Основные научные положения, защищаемые автором:
1. Существует зависимость между поведением материалов в упругости и поведением материалов в неупругости, исходящая из независимости структуры материала от вида нагружения.
2. Существует условие пластичности первоначально анизотропной среды в виде параллелепипеда, уравнения граней которого характеризуют достижение либо нормальным к контактным площадкам блоков – частиц напряжением, либо касательным своего критического значения, причем смещение центра параллелепипеда относительно начала координат соответствует введению анизотропии шероховатости контактных площадок.
3. Существует решение задачи о потере устойчивости слоистого откоса, отражающее два механизма его разрушения – за счет сдвига одних слоев относительно других и за счет необратимого сжатия самих слоев и определяющее зависимость максимальной глубины карьера от угла наклона откоса.
4. Существует решение задачи о крепи (цилиндрическая выработка), в котором напряжения зависят от структурных параметров крепи так, что за счет регулирования структуры крепи возможно добиться повышения ее несущей способности.
5. Существует решение задачи о вдавливании штампа в слоистую среду, в котором предельные нагрузки зависят от характера блочной структуры, позволяющее оптимизировать процесс разрушения массива пород.
Достоверность научных результатов обеспечена применением апробированных аналитических методов механики сплошной среды, совпадением предельных случаев полученных решений с известными решениями.
Новизна научных положений:
Сформулированные научные положения обладают достаточной новизной:
1. Традиционно упругие и неупругие деформации складывались при определении полной деформации. На самом деле между ними существует более тесная связь, чем просто сложение. Эта связь обуславливается одной и той же структурой материала, не зависящей от вида деформации этой структуры.
2. Традиционно условия пластичности воспринимались в пространстве напряжений как цилиндры, конусы, пирамиды с днищами и без них. Здесь же показано на простейших примерах, что условие пластичности может иметь вид 
– мерного параллелепипеда (
), причем уравнения граней характеризуют достижения напряжениями своих критических значений.
3. Показано, что существует сечение слоистого откоса, на котором давление из-за веса вышележащих слоев максимально. Новой является также сама зависимость максимальной глубины карьера от угла наклона борта, отражающей два механизма разрушения борта карьера – за счет сдвигов и за счет сжатия.
4. При исследовании крепления отверстий (выработок) получено решение, отличающееся от ранее выполненных тем, что в нем рассмотрен полный набор возможных структур крепи и среди них определены такие, которые приводят к значительному повышению ее несущей способности.
Личный вклад автора состоит в разработке математических моделей упругости и пластичности анизотропных сред, в решении задач о напряженно – деформированном состоянии массива горных пород, в том числе о потере устойчивости слоистого откоса, в определении влияния параметров структуры на распределение напряжений в слоистом массиве.
Практическая ценность работы. Полученные модели можно использовать для определения предельных нагрузок на массив пород, выбора способа упрочнения горных пород и расчета несущей способности, размера ограждающих устройств породных массивов при последующих экспериментальных исследованиях и решениях задач геомеханики, обеспечивающих безопасность ведения горных работ.
Апробация работы. Основные научные положения и результаты работы докладывались на Международной научно-практической конференции «ТРАНСИБ – 99» / Новосибирск, 1999; «ИНПРИМ – 2000» / Новосибирск, 2000; VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике / Пермь, 2001; Всероссийской школе – семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела / Новосибирск, 2003; конференции с участием иностранных ученых «Фундаментальные проблемы формирования техногенной геосреды» / Новосибирск, 2006.; межкафедральном научно-методическом семинаре Новосибирского технологического института Московского государственного университета дизайна и технологии (филиал) / Новосибирск, 2007; научном семинаре по геомеханике Института горного дела / Новосибирск, 2007; семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН / Новосибирск, 2007.
Публикации. Основное содержание диссертации изложено в восьми печатных работах, в том числе в журналах из списка ВАК.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 разделов, выводов, списка литературы. Общий объем работы составляет 140 страниц, в том числе 33 рисунка. Список литературы содержит 114 источников.
Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации, указана цель и основные задачи исследований.
В первой главе дан краткий анализ развития теории пластичности первоначально анизотропных сред. Основные задачи теории пластичности – определение условий или критериев пластичности для тех или иных видов материалов, построение определяющих соотношений в форме связей между напряжениями и деформациями или приращениями напряжений с приращениями деформаций (теория пластического течения), разработка методов решения упругопластических задач и решение этих задач. Следует отметить, что условия пластичности необходимы для указания точек в конструкции или ее элементах, в которых в зависимости от условий нагружения впервые начнутся пластические деформации. Роль определяющих соотношений сводится к тому, что они дают общее решение задачи о произвольном однородном нагружении пластически деформируемого тела. Для отыскания однородных нагружений необходимо воспользоваться уравнениями равновесия, условиями совместности деформаций и определяющими соотношениями пластичности. Для этого в теории пластичности разрабатываются методы решения упругопластических задач, которые реализуются затем в решениях конкретных задач.
Вторая глава посвящена построению математической модели упругого и неупругого деформирования слоистой среды, составленной из параллельных слоев под углом 
к оси горизонта.
Рассмотрим тело, состоящее из параллельных слоев (рис.1).
Рис. 1. Простейшая модель массива горных пород, составленного из
параллельных слоев: -NX, -NY – нормальные сжимающие нагрузки.
Здесь x0yz – исходная прямоугольная декартова система координат, слои перпендикулярны плоскости рисунка, наклонены под некоторым углом к плоскости 0xz и имеют одну и ту же шероховатость. В естественном состоянии, когда к телу еще не приложены никакие нагрузки, оно уже находится под действием некоторых сжимающих сил, притягивающих слои друг к другу. Нагружаем блочную модель массива (рис.1) дополнительными силами. 
, 
, 
– нормальные и касательное напряжения, вызванные этими силами и приложенные к граням изображенного на рисунке 1 прямоугольника; 
, 
, 
– деформации. Если ввести в рассмотрение локальную систему координат 1,2: ось 1 направив вдоль плоскостей напластования, ось 2 – поперек, то при приложении усилий вдоль этих осей получаем следующую картину деформирования. Вдоль оси 2 есть усилие, есть жесткие блоки и есть мягкая прослойка между блоками, которая деформируется. В направлении 1 нет поперечной деформации. Имеем, таким образом, деформацию простого сдвига, которую вызывают касательные напряжения, и простого удлинения (рисунок 2).
Эти деформации выделяют блочную структуру. В системе 1, 2 уравнения упругости имеют вид:
, 
, 
(1)
а) б)
Рис. 2. Два вида деформации: а) простой сдвиг; б) простое удлинение.
Записав соотношения (1) в системе координат х, у с помощью формул тензорного проектирования, получаем соотношения закона Гука, куда входят четыре структурных параметра (угол между слоями и осью ОХ, податливости вдоль слоев и по нормали к ним, податливость вдоль плоскостей скольжения):
,
, (2)
.
Закон упругости (2) отражает поведение некоторой блочной модели массива пород.
Условие пластичности для данной модели массива пород в отличие от существующих имеет в тензорном пространстве вид трехмерного параллелепипеда, достижение граней или ребер которого соответствует пластическому деформированию по двум, четырем или шести системам контактных площадок. Представим две ситуации. Угол 
наклонен к оси ОХ под углом 45. На тело действует вертикальная нагрузка. Касательные напряжения могут быть таковы, что пойдут сдвиги по плоскостям напластования. Другая ситуация, слои расположены горизонтально или вертикально. Здесь сдвиги могут не достичь предельных значений. Необратимая деформация может развиваться за счет деформирования самих слоев, за счет растяжения или сжатия. При этом не исключается одновременное скольжение слоев и их неупругое деформирование. Эти два эффекта лежат в основе построения уравнений пластичности.
Эти представления как бы обобщают то, что было предложено академиками С.А. Христиановичем и Е.И. Шемякиным для описания состояний полной и неполной пластичности в случае первоначально изотропного тела.
Возможные варианты соотношений пластичности:
если 
и 
, 
, то 
, 
,
если 
, 
, 
, то 
, 
,
если 
и 
, 
, то 
,
если 
, 
, 
.
В качестве приложения этой модели решена задача о потере устойчивости откоса или борта карьера, имеющего слоистую структуру. Потеря устойчивости исследовалась в работах В.В. Соколовского, Г.Л. Фисенко, В.Е. Боликова, С.А. Константинова.
Исходные положения таковы: имеется откос или борт карьера, его сечение изображено на рис. 3.
Рис. 3. Сечение карьера: H – глубина; 
– угол, определяющий наклон борта карьера; 
– угол, задающий направление слоистости пород; 1, 2 – локальная система координат, связанная с плоскостями напластования пород; h – высота, на которой расположено «опасное» сечение.
Точки A и B лежат в борту карьера, D – на плоскости напластования, которая проходит через точку О, принадлежащую одновременно и основанию карьера, и его борту; C находится на дневной поверхности, образуя с D вертикальный отрезок. Требуется установить зависимость максимально допустимой глубины карьера 
от параметров материала, когда откос еще остается в устойчивом состоянии.
Чтобы решить задачу необходимо определить: за счет чего происходит потеря устойчивости откоса и что является критерием потери устойчивости.
Для ответа на первый вопрос исходили из того, что потеря устойчивости откоса происходит, прежде всего, за счет веса, лежащих выше слоев. Площадь трапеции ABCD является функцией глубины h – высоты сечения AD над основанием карьера (вес вышележащих слоев над слоем AD пропорционален площади трапеции ABCD):
.
Высота, на которой расположено «опасное» сечение AD, зависит от углов 
и 
, глубины карьера H и определяется формулой:
.
При 
наиболее нагруженное сечение расположено в основании карьера 
, давление будет максимальным внизу. Если угол 
стремится по значению к углу 
, то условия нагружения среды вдоль этого канала различны. Данный факт проявляется в том, что максимальным давление получается в верхней части канала, т.е. при 
. Что касается других значений h, то можно сказать, что все они находятся в промежутке от h до H.
Давление, оказываемое вышележащими слоями на «опасное» сечение, определяется формулой:
,
где 
, 
– плотность материала, кг/м3; g – ускорение свободного падения, м/с2.
Для ответа на второй вопрос рассматривалась жесткопластическая схема деформирования. В такой постановке потеря устойчивости связана с выходом пластических областей на обнажение карьера.
При решении задачи рассматривалось 2 случая: потеря устойчивости происходит за счет сдвига и за счет сжатия слоев. Найдена предельная нагрузка 
, при превышении которой все, что расположено под отрезком AD (или под штампом), в определенный момент начнет сдвигаться вниз по плоскостям напластования:
.
Приравнивая два давления, одно из которых соответствует опасному сечению, другое пластическому решению, находим зависимость максимальной глубины карьера от углов 
, 
и от пределов упругости материала.
Если угол 
совпадает или близок к углу естественного откоса 
, то массив будет устойчив при любой глубине.
В третьей главе развивались представления о блочном характере массива пород. Они связаны с введением эффекта поперечной деформации блоков при их растяжении и сжатии, что ранее не учитывалось. Закон Гука имеет более сложный вид. Здесь уже 5 параметров. Добавился угол 
, выраженный через коэффициент Пуассона, который отражает ромбовидную структуру. Этот момент позволил по-новому проанализировать механизм деформирования среды, определить в ней направления плоскостей скольжений. Условие пластичности опять имеет вид параллелепипеда, и все состояния, которые были ранее, сохраняются. С помощью этих уравнений пластичности рассматривалась задача о крепи цилиндрической выработки или о напряженно-деформированном состоянии массива горных пород в окрестности цилиндрической выработки. В массиве пород существует блочная структура, образованная цилиндрическими поверхностями вида
или 
,
где r – полярный радиус; 
– полярный угол, положительные значения которого отсчитываются в направлении по часовой стрелке; а – радиус выработки; 
– произвольная постоянная; 
– угол, задающий наклон слоев относительно тангенциального направления.
Для решения задачи имели уравнение равновесия и соотношения Коши, связывающие деформации с перемещениями. Решение полученных дифференциальных уравнений определялось по известным правилам. Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения. Рассматривалось два сценария: когда пластичность развивается за счет сдвигов и когда происходит необратимое сжатие слоев. Естественным образом вводят в рассмотрение ортонормированный тензорный базис 
, 
, 
с компонентами 
, 
, 
(i=1,2,3) соответственно:
и скалярным произведением симметрических тензоров второго ранга, определяемых выражением 
. С учетом этих обозначений получены напряжения и смещения в виде:
, 
,
.
где 
, 
- постоянная материала, А и В – постоянные интегрирования, вычисляемые посредством задания смещений 
, 
при 
.
На рис. 4 представлена зависимость напряжений от радиуса при различных значениях угла 
. При малых углах 
, когда наклон слоев совпадает с контуром выработки, для того, чтобы заработала пластичность, надо приложить большую нагрузку. На рис. 5 показана зависимость 
, 
от угла 
при фиксированном 
. Чем больше материал слоев отличается от изотропного в сторону возрастания 
(
), тем больше напряжения. Чтобы материал деформировался пластически надо приложить большую нагрузку.
Рис. 4. Графики изменения безразмерных напряжений 
и 
от радиуса 
: 1 – значение 
; 2 – 
;
3 – 
.
Рис. 5. Зависимости 
и 
от угла при фиксированных значениях угла 
и радиуса 
В четвертой главе при построении моделей упругого и упругопластического деформирования массива горных пород, учтено, что блоки могут быть образованы пересечением не ортогональных друг к другу плоскостей ослабления.
Для построения математической модели исследуемого объекта необходимо было ввести тензорный базис. Тензора
,
,
,
(Т2 = 
), образуют новый базис, полученный поворотом старого базиса вокруг оси на угол 
. Чтобы перейти к более общей ситуации (когда все площадки скольжения не ортогональны друг другу) преобразовали базис 
, 
,
. Оставив неизменным орт-тензор 
, повернули два других 
, 
вокруг 
на угол 
так, как показано на рис. 6.
Все тензоры стали разосными. Представив тензор напряжений 
и тензор деформаций 
в базисе 
, 
, 
, имеем:
,
где 
– координаты тензоров 
,
, определяемые посредством соотношений 
.
Рис. 6. Преобразование базиса Т1, Т2, Т3.
Обозначая модули податливости соответственно как 
, 
, 
, получаем, что должны иметь место следующие тензорные равенства:
.
Так как в эти соотношения входят шесть параметров среды – углы 
, постоянные 
, 
, 
, то это, по существу, закон Гука для плоского деформированного состояния в самом общем случае анизотропии.
Все три модели применялись к задаче связанной с внедрением в слоистый массив горных пород жесткого штампа. К дневной поверхности прикладывается разрушающий элемент в виде штампа, движущийся вниз с начальной скоростью 
. Требовалось в жестко пластической постановке определить силу сопротивления массива пород внедрению штампа, а также глубину погружения последнего. Для первой модели рассматривался случай, когда слои ориентированы параллельно дневной поверхности. Для того чтобы штамп вместе с материалом начал двигаться вниз, необходимо преодоление сопротивления материала на срез. Далее начинают деформироваться прослойки материала под штампом. Условие пластичности этих прослоек 2 = - k2. Это сжатие вызывает дальнейшее преодоление сопротивления сдвига в углах сдвигаемого слоя материалов. Процесс повторяется.
Картина плоскостей скольжений под штампом для третьей модели представлена на рисунке 7.
Рис. 7 – Картина деформирования
Под штампом блоки скользят друг по другу по системе плоскостей скольжений. Для решения задачи были выписаны уравнения характеристик и соотношения на них. В треугольнике АВЕ предполагалось
.
Кроме того, должны быть выполнены уравнения равновесия
Эта система гиперболического типа. Определяя характеристики этой системы, находим, после обозначения 
, что 
удовлетворяет уравнению: 
с дискриминантом, равным 
. Для его положительности необходимо, чтобы 
, где k – целое число. В силу того, что 
характеристики получаются не ортогональными друг к другу.
Вычисляя соотношения на характеристиках, устанавливаем, что вдоль них должны иметь место равенства:
.
Получены зависимости напряжений от углов 
(рисунок 8).
а)
б)
в)
Рис. 8. Графики изменения безразмерных напряжений 
, 
:
а) - от угла 
при фиксированных значениях 
, 
;
б) - от угла 
при фиксированных 
, 
;
в) - от угла 
при фиксированных 
,
. Кривые 1 – 3 получены при отношениях 
, равных соответственно 0.1, 1 и 3
Выявлено, что 
– особая точка, в окрестностях которой имеют место разные напряжения; при 
напряжение по абсолютной величине достигают максимального значения; существует особое значение 
0,7, при котором нагрузка неограниченно возрастает.
ВЫВОДЫ
Основные научные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:
- Построены уравнения упругости и пластичности для плоского деформированного состояния в самом общем случае анизотропии, в которых условие пластичности первоначально анизотропной среды имеет вид параллелепипеда.
- Решена задача о потере устойчивости слоистого откоса. Рассмотрено два механизма его разрушения – за счет сдвига одних слоев относительно других и за счет необратимого сжатия самих слоев. Определена зависимость максимальной глубины карьера от угла наклона откоса и других его свойств.
- Решена задача о крепи цилиндрической выработки. Показано, что регулируя структуру крепи, можно добиться повышения ее несущей способности.
- Решена задача о вдавливании штампа в слоистую среду. Показано, что предельные нагрузки зависят от характера блочной среды, что позволяет оптимизировать процесс разрешения массива пород.
Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:
- Ефименко Л.Л. Определение предельных нагрузок в задаче о внедрении штампа в жесткопластическую анизотропную полуплоскость / Л.Л. Ефименко // Региональная научно-практическая конференция «ТРАНССИБ – 99»: Тезисы докладов – Новосибирск: СГУПС, 1999. – С. 215.
- Чанышев А.И. О зависимости упругого модуля сдвига от глубины / А.И Чанышев, Л.Л. Ефименко // Международная конференция «ИНПРИМ – 2000»: Сборник докладов – Новосибирск: ИГД СО РАН, 2000. – С. 301- 302.
- Ефименко Л.Л. О внедрении штампа в жесткопластическую анизотропную среду / Л.Л. Ефименко // Международная конференция «ИНПРИМ – 2000»: Сборник докладов – Новосибирск: ИГД СО РАН, 2000. – С. 400.
- Чанышев А.И. Математические модели блочных сред в задачах геомеханики. Ч. 1 / А.И Чанышев, Л.Л. Ефименко // ФТРПИ – № 3 – 2003. – С. 73-84.
- Чанышев А.И. Математические модели блочных сред в задачах геомеханики. Ч. 2 / А.И Чанышев, Л.Л. Ефименко // ФТРПИ – № 6 – 2003. – С. 21-32.
- Чанышев А.И. О вдавливании штампа в жесткопластическую анизотропную среду / А.И Чанышев, Л.Л. Ефименко // Всероссийская школа-семинар по современным проблемам механики деформируемого твердого тела: Сборник докладов. – Новосибирск: НГТУ, 2003. – С. 86-90.
- Чанышев А.И. Математические модели блочных сред в задачах геомеханики. Ч. 3 / А.И Чанышев, Л.Л. Ефименко // ФТРПИ – № 6 – 2004. – С. 31-48.
- Чанышев А.И. Напряженно-деформированное состояние рулонированных материалов / А.И Чанышев, Л.Л. Ефименко // Международная научно-практическая конференция «Геомеханика. Геофизика земли»: Сборник докладов. – Новосибирск: ИГД СО РАН, 2005. – С. 192-194.
