Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния и устойчивости пластин и пологих оболочек с построением систем аппроксимирующих функций

На правах рукописи

Абросимов Алексей Анатольевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
И УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
С ПОСТРОЕНИЕМ СИСТЕМ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ

Специальности 05.13.18 – Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ;

01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Саратов 2009

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Филатов Валерий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Землянухин Александр Исаевич

доктор технических наук, профессор

Кузнецов Валентин Николаевич

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

архитектурно-строительный университет

Защита состоится «29» июня 2009 года в 13ч на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп. 1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Автореферат разослан « 29 » мая 2009 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Терентьев А.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Тонкостенные оболочечные конструкции находят широкое применение в кораблестроении, самолетостроении, приборостроении, строительстве и других областях. Нелинейная теория оболочек, когда прогиб конструкции соизмерим с толщиной, стала интенсивно развиваться с начала XX века в связи с потребностями кораблестроения. Выдающийся вклад в эту теорию внесли ученые-кораблестроители И.Г.Бубнов и П.Ф.Папкович. Толчком к дальнейшему развитию нелинейной теории оболочек послужил возросший в начале 30-х годов ХХ в. интерес инженеров, прежде всего самолетостроителей, к вопросам устойчивости оболочек под действием разного рода нагрузок. Большой вклад в развитие нелинейной теории пластин и оболочек внесли Н.А. Алумяэ, С.А.Амбарцумян, В.В.Болотин, В.З.Власов, А.С.Вольмир, И.И.Ворович, К.З.Галимов, А.Л.Гольденвейзер, Э.И.Григолюк, Т.Карман, Б.Я.Кильчевский, М.А.Колтунов, М.С.Корнишин, А.И.Лурье, Х.М.Муштари, В.В. Новожилов, П.М.Огибалов, Д.Ю.Панов, И.В.Свирский, В.И.Феодосьев, Чен Вей-Цанг и др.

Для придания большей жесткости и более оптимального распределения напряжений пластины и оболочки могут иметь переменную толщину. Конструкции подвергаются не только механическим, но и тепловым воздействиям. Поведение тонкостенных конструкций постоянной и переменной толщины, находящихся в температурном поле и допускающих прогибы, соизмеримые с толщиной, исследованы недостаточно и требуют дальнейших исследований. При расчете пластин и оболочек вариационными методами необходимо задавать вид базисных функций для искомых переменных, удовлетворяющих граничным условиям на кромках конструкции. В случаях закреплений сторон контура, отличных от шарнирного, полные системы функций, достаточно хорошо реализуемые в расчетах, отсутствуют. Разработка теории и методики решения задач и проведение исследований напряженно-деформированного состояния (НДС) и устойчивости пластин и оболочек постоянной и переменной толщины, в том числе находящихся в температурном поле, является актуальной задачей. Актуальным является создание расчетных алгоритмов, расширяющих круг решаемых задач и уточняющих решение ранее решенных задач. Изложенное определило актуальность темы данной работы и ее цели.

Целью диссертационной работы является создание математической модели НДС и устойчивости пластин и пологих оболочек переменной толщины при воздействии внешней нагрузки и температурного поля, построение систем функций, аппроксимирующих искомые составляющие перемещения, подбор и реализация на ЭВМ алгоритма, позволяющего апробировать построенные системы функций и решить на их основе новые задачи.

Научная новизна:

– На основе функционала потенциальной энергии для кинематической модели Кирхгофа-Лява построена математическая модель НДС и устойчивости пластин и пологих оболочек переменной толщины, находящихся под воздействием нагрузки и температурного поля.

– Предложена модификация статического метода В.З.Власова подбора аппроксимирующих функций, позволяющая строить полные системы аппроксимирующих функций для искомых составляющих перемещения, удовлетворяющих различным закреплениям сторон контура пластин и оболочек прямоугольного плана. С помощью этой методики осуществлено построение трех систем функций для составляющих перемещения: систем, базирующихся на синусах, базирующихся на косинусах и систем полиномиального вида.

– Разработаны алгоритм и комплекс программ для решения нелинейных задач теории пластин и пологих оболочек, базирующиеся на комплексном методе линеаризации исходных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, с последующим приведением систем линейных дифференциальных уравнений к системам алгебраических уравнений с использованием высоких приближений метода Бубнова-Галеркина при аппроксимировании составляющих перемещения построенными системами функций.

– Путем численного исследования построенные в работе системы функций апробируются на решении тестовых задач, ранее решенных другими авторами и иными методами, и на решении одних и тех же задач с использованием разных систем аппроксимирующих функций. Из сравнения показываются возможность и эффективность использования всех построенных в работе систем функций.

– С использованием предложенной математической модели показано, что при рассмотрении НДС и устойчивости весьма пологих оболочек, различным образом закрепленных по сторонам прямоугольного контура, следует вести расчет с учетом всех возможных вариантов закрепления сторон контура оболочки и выбирать наименее выгодный вариант с меньшим уровнем критической нагрузки, поскольку реальные контурные закрепления могут отличаться от идеальных закреплений расчетной схемы.

– Показано, что для оболочек постоянной толщины в случае большой кривизны на графике «нагрузка – прогиб в центре» наблюдаются петлеобразования. В случае оболочек, шарнирно-неподвижно закрепленных по контуру, эти эффекты наблюдались другими авторами; в случае оболочек, жестко заделанных по контуру такие эффекты более рельефны и они наблюдались автором впервые.

– Показано, что для оболочек с утолщением в центре петлеобразования прекращаются. При этом уровень критической нагрузки значительно возрастает, а критические внутренние усилия понижаются.

– При рассмотрении задач комбинированного нагружения (нагрузка плюс температура), ярко показывается, что для нелинейных задач принцип независимости действия сил не работает.

Достоверность и обоснованность полученных результатов определяются корректностью и строгостью применяемых математических методов, соответствием результатов и выводов, полученных в численных экспериментах, результатам других авторов, полученным иными методами; общефизическим представлениям о характере процессов НДС и устойчивости пластин и оболочек.

Практическая значимость работы заключается в том, что построенная математическая модель и программное обеспечение могут быть использованы в других областях науки и техники, в учебном процессе.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель НДС и устойчивости пологих оболочек переменной толщины от действия механических нагрузок и температуры.

2. Модификация статического метода В.З.Власова подбора систем аппроксимирующих функций; системы аппроксимирующих функций, построенные с помощью этой методики.

3. Расчетный алгоритм и программное обеспечение решения нелинейных задач теории пластин и оболочек, базирующиеся на комплексном методе линеаризации исходных нелинейных дифференциальных уравнений с последующим сведением получающихся линейных дифференциальных уравнений к системам линейных алгебраических уравнений с помощью метода Бубнова-Галеркина при аппроксимировании искомых величин системами построенных функций.

4. Результаты численных экспериментов, их сравнительный анализ с известными в литературе решениями и с решениями, выполненными с разными системами аппроксимирующих функций, который показал возможность и эффективность использования всех построенных в работе функций.

5. Результаты решения новых задач, полученные с использованием по-строенных в работе систем функций, в частности: петлеобразований на графике «нагрузка – прогиб в центре» для подъемистых оболочек постоянной толщины; исчезновение петель для оболочек с утолщением в центре и возрастание при этом уровня критической внешней нагрузки и др.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на ежегодных научно-технических конференциях Саратовского государственного технического университета (Саратов, 2004-2008 гг.); на семинаре кафедры вычислительной математики и информатики СПб ГАСУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Вагера Б.Г. (февраль 2005 г.); на XII, XIII и XV Международных симпозиумах «Динамич. и технологич. пробл. механики конструкций и сплошных сред», Москва, МАИ, 2006-2007, 2009 гг.

Полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры «Математика и моделирование» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора Крысько В.А. (октябрь 2008 г.); на научном семинаре кафедры «Механика деформированного твердого тела» СГТУ под руководством академика Российской академии архитектуры и строительных наук, профессора Петрова В.В. (ноябрь 2008 г.).

По результатам исследования опубликовано 9 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Текст диссертации изложен на 125 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 162 наименований, и содержит 58 рисунков и 6 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, положения, выносимые на защиту, практическая ценность работы, краткое содержание по главам и проведен анализ работ по теме диссертации.

В первой главе строится нелинейная математическая модель упругой пологой оболочки переменной толщины, находящейся в напряженно-деформированном состоянии под действием нагрузок и температурного поля.

Рассматривается тонкая пологая оболочка прямоугольного плана с размерами ab. Некоторая внутренняя поверхность тела оболочки принимается за координатную поверхность. Оси OX и OY направляются по линиям главных кривизн координатной поверхности оболочки, OZ – по нормали к координатной поверхности в сторону вогнутости (вниз). Оболочка находится в температурном поле и под действием заданных внешних нагрузок интенсивностью , приложенных к элементу оболочки по направлениям x, y и z соответственно. Толщина оболочки переменна и задается ограничивающими ее в вертикальном направлении поверхностями zв (x, y) и zн (x, y). Для кинематической модели прямой недеформируемой нормали Кирхгофа – Лява линейные , и угловые деформации при наличии температурного поля связаны следующими соотношениями с составляющими перемещения U, и соответственно в направлении осей OX, OY, OZ:

, ,

. (1) Здесь и – кривизны оболочки в направлении осей OX и OY соответственно. Индексы x и y при переменных означают дифференцирование по соответствующей координате.

Физические соотношения связи напряжений с деформациями имеют вид: , , , (2)

где – модуль упругости, – коэффициент Пуассона.

Потенциальная энергия деформации

. (3)

Подставляя в выражение потенциальной энергии (3) значения деформаций и напряжений через перемещения U, V и W по формулам (1), (2) и проводя интегрирование в (3) по переменной , получим выражение потенциальной энергии деформации через компоненты перемещения. Приравнивая на основании вариационного принципа Лагранжа полную вариацию потенциальной энергии элементарной работе внешних сил , получаем полное вариационное уравнение для кинематической модели Кирхгофа-Лява. Из полного вариационного уравнения, на основании произвольности вариаций , , , строятся разрешающие дифференциальные уравнения равновесия, которые в случае, если , при введении начальной поверхности имеют вид:

, ,

(4)

В (4) ,,,,

, , , , , – аппликата начальной поверхности, которая определяется из уравнения: . (5)

Система (4) – система нелинейных дифференциальных уравнений восьмого порядка в частных производных. В работе выводятся также уравнения в смешанной форме, обсуждаются граничные условия на кромках контура оболочки, следующие из контурных интегралов полного вариационного уравнения. Все результаты приводятся в безразмерных параметрах:

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; , , , .

Во второй главе производится подбор расчетного алгоритма.

Для решения задачи отыскания НДС пологой оболочки в нелинейной постановке необходимо провести линеаризацию нелинейных уравнений и свести дифференциальные зависимости к алгебраическим уравнениям.

С этой целью на предварительном этапе расчета применяется метод последовательных нагружений (МПН) с довольно крупным (порядка 0,20h) шагом решения по приращению прогиба в центре. Далее решение улучшается с использованием метода последовательных приближений (МПП). Такой подход позволяет с помощью МПН при малых затратах машинного времени получить хорошее начальное приближение для использования МПП, находящееся в достаточно малой окрестности истинного решения исходной не-линейной задачи и гарантирует сходимость МПП, значительно сокращая количество итераций до полной сходимости последовательных приближений.

На рис. 1 приводятся графики «» для оболочки постоян-ной толщины, с , шарнир-но-неподвижно закрепленной по конту-ру. Решения здесь строятся с исполь-зованием 16-го приближения метода Бубнова-Галеркина при аппроксими-ровании составляющих перемещения

системами синусов. Кривая построена с использованием МПН с шагом по прогибу в центре ; кривая – с шагом ; штриховой линией приводится наше решение, построенное с использованием МПП до полной сходимости последовательных приближений из точек кривой МПН с . Видно, что точки полной сходимости МПП лежат ниже точек лежащих на ломаной с , как это и должно быть в этой задаче. Штрихпунктирной кривой на этом рисунке показано решение Карпова В.В., построенное во втором приближении вариационного метода Власова-Канторовича при аппроксимировании составляющих перемещения подобранными им полиномами и линеаризации исходных уравнений с использованием схемы Рунге-Кутта в МПН. Приводящееся сравнение последних двух кривых вполне удовлетворительно. Имеющееся расхождение при подходе к верхней критической точке, на наш взгляд, в большей степени объясняется использованием разных вариационных методов, разных приближений.

С использованием принятой методики линеаризации в высоких приближениях метода Бубнова-Галеркина с последующим решением систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса проведено исследование сходимости высоких приближений метода Бубнова-Галеркина и показано, что для достижения приемлемых результатов достаточно расчетов в девятом приближении. При этом установлено, что на разных этапах нагружения и эпюры прогибов, и эпюры напряжений не ведут себя геометрически подобно. В большей степени изменяется качество эпюр напряжений.

В третьей главе строятся и апробируются системы функций, аппроксимирующих искомые составляющие перемещения U, V и W, для оболочек прямоугольного плана, различным образом закрепленных по сторонам прямоугольного контура.

Для решения уравнений теории пластин и оболочек методом Ритца или Бубнова-Галеркина необходимо представлять искомые составляющие перемещения в виде разложений по системам аппроксимирующих функций

; ;

.

Здесь , , , , , – системы функций аппроксимирующие составляющие перемещения в направлении соответствующих координатных осей.

Для построения систем функций, аппроксимирующих составляющие перемещения, с помощью модификации статического метода В.З.Власова, упростим разрешающую систему уравнений (4) с учетом безразмерных параметров для пластины постоянной толщины. В этом случае , , , , , и уравнения в перемещениях имеют вид:

(6)

.

Обозначая правые части системы (6) соответственно , , , перепишем ее в виде:

; ; . (7)

Вырежем, следуя статическому ме­тоду подбора аппроксимирующих функций В.З.Власова, ба­лочку с осью , тогда из третьего уравнения системы (7) при обозначениях , , получим . Назовем в последнем дифференциальном уравнении нагрузочным членом. Пусть функция такова, что допускает разложение ее в тот или иной ряд. Так, если – разложима в ряд по синусам на отрезке [0; 1], то, ограничиваясь первыми M членами ряда разложения, будем иметь . Представляя далее и, используя метод гармонического баланса (ставя в соответствие каждой гармонике синусов вид прогиба), получим обыкновенное дифференциальное уравнение четвёртого порядка относительно: .

Общее решение этого обыкновенного дифференциального уравнения

.

Следуя статическому методу В.З.Власова, при новых обозна­чениях произвольных постоянных , , , , получим для систем аппроксимирующих функций общий вид

. (8)

Значения констант , , , будут зави­сеть от способа закрепления рассматриваемой балочки на кромках и .

a) Если кромки и закреплены шарнирно, тогда

.

Реализуя эти граничные условия, получим .

Теперь функции, аппроксимирующие прогиб в направлении оси :

(9)

(9) – изученная и широко применяемая в расчетах полная система функций.

б) Кромки и жестко защемлены, тогда

. Реализуя эти граничные условия в (8), имеем

; ; ; .

Теперь . (10)

в) Кромка жестко заделана, кромка шарнирно закреплена:

. Тогда

(11)

Рассуждая формально, так же, как с третьим уравнением, с пер­выми двумя уравнениями системы (7) и реализуя граничные условия неподвижного в тангенциальных направлениях закрепления кромок пластины, получим . (12)

Таким же образом строятся функции , аппроксимирующие составляющие перемещения в направлении оси .

Аналогично в работе строятся системы функций, базирующиеся на косинусах при разложении нагрузочного члена в ряд Фурье по системе косинусов на отрезке [0; 1], системы полиномиального вида при разложении нагрузочного члена в степенной ряд в окрестности точки .

Построенные в работе системы функций являются полными в классе функций, удовлетворяющих соответствующим граничным условиям, исходя из способа их построения, который базируется на разложении нагрузочных членов в ряды по полным системам функций.

Для апробирования построенных функций с использованием предложенного алгоритма решались задачи отыскания НДС квадратного плана оболочек и пластин постоянной толщины под действием равномерно распределенной нагрузки перпендикулярной плану для конструкций, шарнирно-неподвижно закрепленных и жестко заделанных по контуру, как в линейной, так и в геометрически нелинейной постановках.

Для реализации математической модели был составлен комплекс программ на языке C# с использованием технологии.NET компании Microsoft.

В линейной постановке для оболочек с выполнялись расчеты со всеми подобранными системами аппроксимирующих функций в четвертом, девятом и шестнадцатом приближениях. Сравнение для оболочек, шарнирно неподвижно закрепленных по контуру, проводилось с эталонным решением, в качестве которого принималось 25-е приближение, выполненное с аппроксимацией по системе синусов. Установлено, что кривые эпюр напряжений, полученные в 16-м приближении для решения, выполненного с аппроксимацией по полиномам, подходят ближе к кривым эталонного решения, чем соответствующие кривые 16-го приближения по синусам, что подтверждает мысль И.К.Даугавета о том, что полиномиальные аппроксимации обеспечивают более быструю сходимость, чем тригонометрические.

Проведены расчеты гибких пластин, шарнирно неподвижно закрепленных по контуру. Расчеты проведены с использованием всех трех систем фун-кций в высоких приближениях. Построенные нами решения сравниваются с решением Корнишина М.С. и Исанбаевой М.С., полученным методом конеч-ных разностей повышенной точности. Сравнение решений, построенных с разными системами аппроксимирующих функций между собой и сравнение с решением, выполненным методом конечных разностей, говорит в пользу возможности и эффективности применения всех построенных систем функций в рассмотренных задачах.

Проведены расчеты гибких пологих оболочек, шарнирно-неподвижно закрепленных и жестко заделанных по контуру с . Расчеты проведены с использованием всех трех систем функций в 16-х приближениях. Ниже кривыми S (аппроксимирующие функции, базирующиеся на синусах), C (базирующиеся на косинусах) и P (полиномиального вида) на рис. 2 для оболочек, жестко заделанных по контуру, приводятся графики «». Разница представленных расчетов с разными системами аппроксимирующих функций трудноуловима.

На рис. 3 приводятся эпюры напряжений на верхнем волокне по сечению в верхней критической точке, когда прогиб в центре 1,0, а уровень критической нагрузки при аппроксимировании с производящими синусами равен , с производящими косинусами – , с аппроксимирующими полиномами – 179,3. Эпюры прогибов в верхней критической точке по разным расчетам совпадают.

На основе приведенных решений тестовых задач можно сделать вывод, что для достижения приемлемых результатов для таких конструкций необходимы расчеты в 9-м приближении. Показывается, что если по точности, получающихся решений трудно отдать предпочтение тем или иным системам функций, то по затратам машинного времени следует отдать предпочтение системам, базирующимся на синусах, и системам полиномиального вида. Отмечается, что для оболочек при решении задач в нелинейной постановке конфигурация эпюр напряжений существенно меняется с ростом прогибов, конфигурация эпюр прогибов изменяется в меньшей степени.

В четвертой главе с использованием подобранного алгоритма и построенных систем аппроксимирующих функций решен ряд новых задач.

Решены задачи отыскания НДС и потери устойчивости для оболочек с квадратного плана со смешанными закреплениями по контуру, когда любая из четырёх сторон может быть или шарнирно закреплена, или жёстко заделана. Возможные схемы закрепления не смещаемого в тангенциальных направлениях сторон контура квадратного плана оболочки приводятся на рис. 4. На схеме 1 – оболочка, шарнирно закрепленная по контуру, на схеме 6 – жестко заделанная по контуру, на схемах 2-5 – оболочки со смешанными закреплениями.

Рис. 4 Схемы закрепления краев контура

На рис. 5 представлены графики зависимости поперечной нагрузки , от прогиба в центре оболочки . Номера кривых соответствуют номерам расчетных схем рис. 4. По рис. 5 можно определить положение верхних критических точек (ВКТ), координаты которых приводятся ниже. Первой координатой приводится значение прогиба в центре , вторая координата – значение критической равномерно распределенной нагрузки . Схеме 1 контурных закреплений рис. 4 соответствует ВКТ – (0.9; 213); cхеме 2 – (0.8; 198); cхеме 3 – (0.8;189); cхеме 4 – (1.0; 199); cхеме 5 – (0.9; 191); cхеме 6 –(1.0; 194). Видно, что наименьшую критическую нагрузку имеет оболочка с закреплением, выполненным по схеме 3, наибольшую – по схеме 1. В диссертационной работе приводятся эпюры прогибов и эпюры напряжений по сечениям и , которые чутко реагируют на характер контурных закреплений. Обращает на себя внимание значительное изменение качества эпюр напряжений на разных стадиях нагружения во всех рассмотренных случаях. В реальных конструкциях закрепление сторон контура может отличаться от идеального закрепления расчетной схемы. Поэтому следует вести расчет на всевозможные закрепления сторон контура и выбирать наименее выгодное с точки зрения момента потери устойчивости закрепление сторон. В нашем случае таким наименее выгодным вариантом закрепления сторон контура является вариант схемы 3 на рис. 4. Этот невыгодный вариант отличается от наиболее выгодного случая, когда оболочка закреплена шарнирно по всем сторонам, на по величине верхней критической нагрузки. Такая подстраховка даст оправданный коэффициент запаса при расчете оболочечных конструкций.

С использованием подобранных систем аппроксимирующих функций в работе решаются задачи отыскания НДС квадратных в плане подъемистых оболочек с и , шарнирно-неподвижно закрепленных и жестко заделанных по всему контуру, от действия равномерно распределенной нагрузки, перпендикулярной плану оболочки. Решения строятся в 16-м приближении метода Бубнова-Галеркина при аппроксимировании составляющих перемещения подобранными функциями полиномиального вида с использованием КМЛ на каждом шаге нагружения. На приводимых в диссертационной работе графиках для шарнирно-неподвижно закрепленных по контуру оболочек видно, сколь значительно отличается конфигурация кривых «-» для оболочек с от класссической конфигурации такой кривой для весьма пологой оболочки с . На кривых с имеют место петлеобразования. Такого типа петлеобразования отмечались в работах других авторов, в частности в работах В.В. Карпова. Значительно разнится качество эпюр напряжений для оболочек с и для оболочек с . Еще больший контраст в расчетных параметрах для подъемистых и весьма пологих оболочек наблюдается у жестко заделанных по контуру оболочек. На рис. 6 приводятся графики «» для жестко заделанных по контуру оболочек с кривизнами . Штриховой кривой показан график решения для оболочки с , построенный при аппроксимации составляющих перемещения системами, базирующимися на синусах. Как видим, это решение практически повторяет сплошную кривую для , построенную с полиномами. Для выяснения характера распределения прогибов по плану оболочки на разных фазах нагружения на рис. 7 построены эпюры прогибов по сечению соответственно в точках A, B, C и D сплошной кривой с на рис. 6. Из приводимых на рис. 7 кривых видно, что на начальных фазах нагружения наибольший прогиб был в центре оболочки и при последующем деформировании максимум прогибов сместился в четверти, а прогиб в центре стал уменьшаться, приняв в точке C отрицательное значение. Таким образом, за счет провала оболочки в четвертях центр оболочки не опустился, а вспучился.

В работе также приводятся эпюры безразмерных напряжений , на верхней поверхности оболочки () в ВКТ для оболочек с кривизнами соответственно . Для оболочки с это точка , для оболочки с точка – () на рис. 6, для оболочки с – (). Из сравнения качества эпюр при разных кривизнах видно, что к моменту потери устойчивости (в ВКТ) оболочка с в рассматриваемом сечении на опорах растянута, напряжение изменяется по сечению по закону, близкому к параболическому, максимум усилий сжатия находится в центре оболочки. В случае оболочек с напряжения у опор близки к нулю, максимум сжимающих напряжений сдвинулся в четверти, а в центре оболочка растянута. Таким образом, качество и эпюр прогибов, и эпюр напряжений у оболочки с и у оболочек с различное.

При обходе петель вместо МПН использовался расширенный «метод продолжения решения по параметру», когда программа автоматически меняет параметр продолжения решения (либо нагрузка, либо прогиб в центре).

Были рассмотрены НДС оболочек переменной толщины как в линейной, так и в геометрически нелинейной постановке, когда толщина оболочки менялась только вдоль одной оси OX по параболическому закону симметрично относительно центра плана оболочки, достигая максимума в центре оболочки. При этом показано, что и в том, и в другом случаях напряжения вдоль оси OX распределяются более рационально, чем вдоль оси OY. Напряженное состояние вдоль оси OX более близко к равнонапряженному, чем вдоль оси OY. Кроме того, в геометрически нелинейной постановке оболочки с не имеют петель на графике «(ц)», что ведет к значительному увеличению критической нагрузки на оболочку.

Далее приводятся расчеты оболочек переменной толщины, когда толщина изменяется по синусоидальному закону и в направлении оси OX, и в направлении оси OY : ,. (13)

При этом параметры распределения толщины ( и H ) таковы, что объем материала, затрачиваемый на изготовление оболочки переменной толщины, равен объему материала оболочки постоянной толщины. Тогда , (14)

где . Полагая коэффициент (толщина в центре в два раза больше, чем на опорах), имеем . При , . В случаеимеем оболочку постоянной толщины с .

На рис. 8 приводятся графики «(ц)» для квадратных в плане, жестко заделанных по контуру оболочек кривизны , находящихся под действием равномерно распределенной нагрузки , перпендикулярной плану оболочки. Линия с соответствует оболочке постоянной толщины. Линии с и соответствуют оболочкам переменной толщины с соответствующим значением в формуле (14). Расчеты здесь проводились в 16 приближении метода Бубнова-Галеркина с аппроксимацией составляющих перемещения системами, базирующимися на синусах. Видно, что кривые оболочек переменной толщины идут без петлеобразования. Верхняя критическая нагрузка у кривой с стала больше таковой для оболочки постоянной толщины почти в полтора раза (1200 против 840). У оболочки с верхняя критическая нагрузка более чем в два раза превосходит верхнюю критическую нагрузку аналогичной оболочки постоянной толщины (1900 против 840). В работе приводятся эпюры прогибов по сечению для оболочки с . Показывается, что на разных этапах нагружения оболочка в центре под действием приложенной нагрузки прогибается, а не вспучивается, как оболочка постоянной толщины под действием той же нагрузки.

На рис. 9 приводятся эпюры суммарных напряжений на верхней поверхности оболочек () по сечению в верхних критических точках. Видно, что, хотя критическая нагрузка для оболочки переменной толщины с более чем в два раза выше, чем для оболочки постоянной толщины, напряжения в верхней критической точке меньше у оболочки переменной толщины. Здесь меньше и напряжения сжатия, и напряжения растяжения. Характер распределения напряжений у оболочки переменной толщины с подобен характеру распределения напряжений у оболочки постоянной толщины. Совсем другой характер распределения напряжений у оболочки переменной толщины с .

Штриховая линия на рис. 8 соответствует расчету для оболочки переменной толщины по (13) с в (14), выполненному с системами полиномиального вида. Видно, что это решение практически повторяет решение сплошной линии с на этом рисунке, выполненное с аппроксимирующими функциями, образующими которых являются синусы. Это еще раз подтверждает мысль о том, что разные функции, подобранные в работе, одинаково хорошо работают в решаемых задачах.

В работе приводится аналогичное решение для оболочек с . Здесь также демонстрируется, что утолщение оболочки в центре дает график «(ц)» без петлеобразования и приводит к большим значениям верхней критической нагрузки по сравнению с оболочкой постоянной толщины, причем разница в верхних критических нагрузках еще более значительна, чем у оболочек с .

Исследовалось НДС пластин и оболочек в температурном поле. Рассмотрены потеря устойчивости и закритическое поведение пластины постоянной толщины, квадратного плана, шарнирно неподвижно закрепленной по контуру и находящейся под действием равномерного все возрастающего температурного поля. Результаты решения этой задачи, выполненные в 16-м приближении с аппроксимирующими функциями полиномиального вида, сравниваются с известным решением В.Н.Филатова, полученным в первом приближении вариационного метода В.З.Власова с улучшением аппроксимирующих функций методом вариационных итераций. Показывается, что кривые графиков «температура () – прогиб в центре ((ц))» по этим двум расчетам практически совпадают. Приводимые эпюры напряжений также хорошо согласуются в количественном плане, однако конфигурация эпюр изгибных напряжений различна, что демонстрирует достоинства расчетов в высоких приближениях перед «хорошим» решением, но выполненным в первом приближении.

Решаются две задачи комбинированного воздействия на квадратного плана оболочки постоянной толщины, жестко заделанные по контуру с . В первой задаче оболочка сначала грузится равномерно распределенной нагрузкой, перпендикулярной плану оболочки, до уровня , когда прогиб в центре оболочки достигает (ц)=0,6, далее оболочка нагревается равномерной температурой до уровня . Во второй задаче оболочка сначала нагревается до , чему соответствует (ц), а затем нагружается равномерно распределенной нагрузкой, перпендикулярной плану оболочки, до уровня . Таким образом, на финише имеем одинаковое суммарное внешнее воздействие на оболочку. В первой задаче оболочка под действием нагрузки прогибается, и прогибы продолжают далее возрастать при последующем нагревании оболочки, достигая на финише прогиба в центре (ц); во второй задаче при первоначальном на

гревании оболочка вспучивается и при последующем нагружении прогибается вниз, достигая на финише прогиба в центре (ц). Таким образом, от одинакового суммарного внешнего воздействия, деформированное состояние в обеих задачах различное. На рис. 10 приводятся эпюры прогибов по сечению в конечной точке; по первой решаемой задаче (()+())– кривая 1; по второй решаемой задаче (()+()) – кривая 2. Таким образом, от одинакового суммарного внешнего воздействия деформированное состояние в обеих задачах различное. Значительно разнятся и напряженные состояния в этих двух задачах.

Таким образом, решенные задачи ярко показывают, что в случае решения нелинейных задач принцип суперпозиции не работает.

Основные результаты и выводы

1. Построена математическая модель напряженно-деформированного состояния и устойчивости пологих оболочек переменной толщины, находящихся под действием нагрузки, перпендикулярной плану оболочки, и температурного поля, для кинематической модели Кирхгофа-Лява.

2. Построены три типа полных систем функций, аппроксимирующих искомые и , служащие для расчета различным образом закрепленных по сторонам контура оболочек прямоугольного плана. Построенные функции удобны для реализации в расчетах, поскольку при изменении граничных условий меняются не сами функции, а лишь четыре константы внутри них.

3. Разработан и реализован на ЭВМ расчетный алгоритм с использованием подобранных систем аппроксимирующих функций, на базе которого решен ряд тестовых задач и несколько новых задач.

4. При решении тестовых задач из сравнения полученных нами результатов с решениями других авторов, выполненных иными методами, и из сравнения наших результатов, выполненных с разными системами аппроксимирующих функций, делается вывод о возможности и эффективности применения всех построенных систем функций.

5. Из новых задач решены задачи напряженно-деформированного состояния и устойчивости от действия внешней нагрузки, перпендикулярной плану оболочки: для весьма пологих оболочек постоянной толщины различным образом закрепленных по контуру; для оболочек большой кривизны (подъемистых оболочек) постоянной и переменной толщины, шарнирно-неподвижно закрепленных и жестко заделанных по контуру; задачи о комбинированном воздействии на оболочку нагрузки и температурного поля. При рассмотрении подъемистых оболочек, жестко заделанных по контуру, нами впервые наблюдались эффекты петлеобразования на графике «», которые пропадают при рассмотрении оболочек переменной толщины. При этом в случае оболочек переменной толщины уровень критической нагрузки значительно возрастает, а уровень критических внутренних усилий понижается. При рассмотрении комбинированного нагружения ярко показывается, что принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции) в нелинейных задачах не работает.

Основное содержание диссертации отражено в публикациях:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Абросимов А.А. Потеря устойчивости и закритическое поведение пологих оболочек, различным образом закрепленных на прямоугольном контуре / А.А. Абросимов, Г.А. Айрапетьянц, В.Н. Филатов // Вестник Саратовского государственного технического университета. – 2007. – № 3 (26). – Вып. 1. – С. 7-12.

2. Абросимов А.А. Расчеты подъемистых оболочек с разными системами

аппроксимирующих функций / А.А. Абросимов, В.Н. Филатов // Вестник Саратовского государственного технического университета. – 2009. – № 2 (38). – Вып. 1. – С. 49-57.

Другие публикации

3. Абросимов А.А. Расчеты оболочек переменной толщины с разными системами аппроксимирующих функций / А.А. Абросимов, К.В. Молодчиков, В.Н. Филатов / СГТУ. Саратов, 2004. 22 c. Деп. в ВИНИТИ, №2064-В.

4. Абросимов А.А. Граничная задача для уравнений термоупругости гибких пологих оболочек переменной толщины при зависимости механических характеристик материала от температуры / А.А. Абросимов, К.В. Молодчиков, Е.А. Попов, В.Н. Филатов // Мат. моделир., числен. методы и комплексы программ : сб. науч. тр. / СПбГАСУ. – Вып.11. – СПб., 2005. – С. 78-89.

5. Абросимов А.А. Исследование НДС оболочек переменной толщины с использованием разных систем аппроксимирующих функций / А.А. Абросимов, К.В. Молодчиков, В.Н. Филатов // Мат. моделир., числен. методы и комплексы программ : сб. науч. тр. / СПбГАСУ. – Вып.11. – СПб., 2005. – С. 89-103.

6. Абросимов А.А. Применение различных методов линеаризации уравнений при исследовании НДС гибких пологих оболочек / А.А. Абросимов, Г.А. Айрапетьянц // Молодые ученые – науке и производству : материалы конференции молодых ученых. – Саратов: СГТУ, 2007. – С. 5-7.

7. Абросимов А.А. Исследование НДС гибких пологих оболочек с разными системами аппроксимирующих функций / А.А. Абросимов, Г.А. Айрапетьянц, Н.А. Добрюха // Молодые ученые – науке и производству : материалы конференции молодых ученых. – Саратов: СГТУ, 2007. – С. 51-53.

8. Абросимов А.А. Исследование НДС пластин переменной толщины в геометрически нелинейной постановке с разными системами аппроксимирующих функций / А.А. Абросимов, В.Н. Филатов // Прикладная математика и механика: сб. науч. тр. – Ульяновск: УлГТУ, 2007. – С. 3-8.

9. Абросимов А.А. Исследование возможности применения аппроксимирующих функций разного вида к расчетам оболочек защемленных по контуру / А.А. Абросимов // Молодые ученые – науке и производству : материалы конференции молодых ученых. – Саратов: СГТУ, 2008. – С. 5-8.

Подписано в печать 25.05.09 Формат 6084 1/16

Бум. офсет. Усл. печ. л.1,0 Уч.-изд. л.1,0

Тираж 100 экз. Заказ 258 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77