Приближенное численно-аналитическое решение плоских задач об образовании отверстий в телах конечных размеров при больших деформациях

На правах рукописи

ЛЮДСКИЙ Владимир Анатольевич

ПРИБЛИЖЕННОЕ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ОБ ОБРАЗОВАНИИ ОТВЕРСТИЙ В ТЕЛАХ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ПРИ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЯХ

Специальность:

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Тверь – 2008

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики факультета прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Зингерман Константин Моисеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Кудинов Алексей Никифорович,

доктор физико-математических наук, профессор Левин Владимир Анатольевич.

Ведущая организация: ООО «Научно-технический центр «НИИШП», Москва

Защита состоится « 25 » декабря 2008 г. в 14 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.262.02 при Тверском государственном техническом университете по адресу: 170026, г. Тверь, наб. Аф. Никитина, 22, ауд. Ц-120.

С диссертацией и авторефератом можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного технического университета.

Объявление о защите диссертации и автореферат диссертации опубликованы «24» ноября 2008 г. на официальном сайте Тверского государственного технического университета по адресу: http://www.tstu.tver.ru/new_struct/phd

Автореферат разослан « » ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук, доцент

В.И. Гультяев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность.

Диссертация посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния в телах конечных размеров при образовании в них отверстий. При этом учитываются нелинейные эффекты, связанные как с геометрической нелинейностью, проявляющейся при больших деформациях, так и с физической нелинейностью, источником которой являются свойства материала. Используется физическая модель образования полости, разработанная Тарасьевым Г.С.

Вклад в развитие нелинейной теории упругости внесли многие отечественные и зарубежные специалисты, в частности, Бартенев Г.М., Бидерман В.Л., Бондарь В.Д., Блох И.И., Ворович И.И., Гольденблат И.И., Зволинский Н.В., Крутков Ю.А., Савин Г.Н., Толоконников Л.А., Хазанович Т.Н., Цурпал И.А., Черных К.Ф., Blats P.J., Green A.E., Moony M.A., Murnaghan F.D., Rivlin R.S., Treloar L.R.G., Truesdell C., Zerna W. и многие другие.

Многие важные общие и частные прикладные задачи рассмотрены в работах Новожилова В.В., Седова Л.И., Лурье А.И., Колосовa Г.В, Мусхелишвили Н.И., Грина А. и Адкинса Дж., Кутилина Л.И. и др.

Применение аналитических методов к решению плоских задач о концентрации напряжений в упругих и вязкоупругих телах в нелинейной постановке рассмотрено Боллом Дж., Бондарем В.Д., Громовым В.Г., Гузем А.Н., Зубовым Л.М., Койфманом Ю.И., Космодамианским А.С., Морозовым Н.Ф., Райсом Дж., Савиным Г.Н., Тарасьевым Г.С., Угодчиковым А.Г., Хорганом К.О., Цурпалом И.А., Черепановым Г.П.

Одним из направлений нелинейной теории упругости является развитие нелинейной теории наложения больших деформаций, значительный вклад в которое внесла школа механики, основанная Толоконниковым Л.А. К этой школе относятся, например, работы Тарасьева Г.С., Матченко Н.М., Маркина А.А., Левина В.А. и их учеников (Зингермана К.М и др.).

С практической точки зрения модели и методы нелинейной теории упругости и вязкоупругости в случае больших деформаций наиболее важны для прочностных расчетов изделий из резины и резиноподобных (высокоэластичных) материалов. Численные методы таких расчетов рассмотрены в работах Лавендела Э.Э., Дымникова С.И., Бухина Б.Л. и других авторов.

Большое значение в нелинейной упругости имеет выбор определяющих соотношений, корректно описывающих свойства материалов. В работе используются апробированные определяющие соотношения, предложенные различными исследователями (в том числе Мурнаганом Ф.Д., Муни М.А., Черных К.Ф. и др.). Отметим, что для описания механического поведения резин также применяется ряд более сложных упругих потенциалов. Соответствующие вопросы рассмотрены в работах Гамлицкого Ю.А.

Постановки и методы решения задач вязкоупругости рассмотрены в работах Арутюняна Н.Х., Зубчанинова В.Г., Ильюшина А.А., Матвеенко В.П., Победри Б.Е. и др. В работе при решении задач вязкоупругости используется определяющее соотношение, предложенное Адамовым А.А.

Актуальность темы работы определяется широким применением высокоэластичных материалов в современной технике, необходимостью прогнозировать напряженно-деформированное состояние (НДС) высокоэластичных элементов конструкций, в том числе и в ситуациях, связанных с образованием полостей и пустот. Примером таких конструкций являются изделия сложной формы из наполненных эластомеров, подвергающиеся нагрузкам высокой интенсивности: резиновые и резинометаллические амортизаторы, шины и др.

Для исследования напряженно-деформированного состояния тел с отверстиями можно использовать различные методы, как численные (например, МКЭ), так и аналитические. Недостатком численных методов является то, что их применение требует значительных ресурсов ЭВМ. Кроме того, в существующих «коммерческих» конечно-элементных пакетах (ANSYS, ABAQUS и др.) не предусмотрена возможность задавать граничные условия на той части границы тела, которая возникает при образовании отверстий. Возможен и другой подход, основанный на применении приближенных аналитических методов и проблемно-ориентированной системы аналитических вычислений на ЭВМ, предложенный Зингерманом К.М. Этот подход позволяет существенно сократить затраты времени на решение задач. Ранее он был применен только для бесконечно протяженных тел.

Для описания деформации тел с возникающими в них отверстиями необходимо учесть, что тела имеют конечные размеры. Однако приближенное аналитическое решение плоских задач данного класса для тел конечных размеров ранее не было получено.

В связи с этим целью диссертации является исследование напряженно-деформированного состояния в нелинейно-упругих и вязкоупругих телах конечных размеров для случая больших деформаций при образовании в этих телах отверстий.

Для достижения цели исследования в работе поставлена актуальная научная задача решения плоских задач об образовании отверстий в предварительно нагруженных нелинейно-упругих и вязкоупругих телах конечных размеров при больших деформациях.

Частными задачами исследования являются:

- развитие приближенного численно-аналитического метода, разработанного ранее для бесконечно протяженных тел, для расчета напряженно-деформированного состояния в предварительно нагруженных упругих и вязкоупругих телах конечных размеров при образовании в этих телах отверстий;

- разработка алгоритмов и программного комплекса, реализующих данный метод для тел круговой формы с одним или несколькими отверстиями произвольной формы;

- проведение тестовых расчетов для оценки погрешности результатов, полученных с помощью программного комплекса, путем сравнения их с имеющимися точными решениями;

- проведение серии вычислительных экспериментов с целью исследования зависимости напряженно-деформированного состояния в теле от параметров модели: величины приложенного давления на внешнем контуре тела и на контурах отверстий, материала тела, формы контуров отверстий, их взаимного расположения и порядка образования (для вязкоупругих тел – и от времени образования) отверстий.

Методы исследования: метод последовательных приближений, итерационный метод Шварца, метод Колосова-Мусхелишвили, метод интегралов типа Коши, преобразование Лапласа.

На защиту выносятся:

1. Приближенный численно-аналитический метод для решения плоских задач об образовании отверстий в телах конечных размеров из нелинейно-упругих и вязкоупругих материалов при больших деформациях.

2. Проблемно-ориентированный программный комплекс «Наложение», предназначенный для решения плоских задач нелинейной упругости и вязкоупругости для тел с круговой внешней границей, в которых образуется одно или несколько отверстий.

3. Результаты приближенного решения плоских задач для тел с круговой внешней границей, полученные с помощью данного программного комплекса.

Теоретическая значимость работы заключается в дальнейшем развитии приближенных аналитических методов решения плоских задач нелинейной теории упругости (в частности, задач теории многократного наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций).

Практическая значимость. Разработан программный комплекс, реализующий математический метод и алгоритм. Программный комплекс разработан с использованием проблемно-ориентированной системы численно-аналитических вычислений на ЭВМ. Этот комплекс позволяет приближенно решать задачи для тел из нелинейно-упругих сжимаемых и несжимаемых материалов (Мурнагана, Муни, Черных) и несжимаемого вязкоупругого материала в случаях плоской деформации и обобщеного плоско-напряженного состояния. Предусмотрена возможность расчета как для одновременного, так и для последовательного образования отверстий. Форма контура отверстия определяется посредством задания функции, осуществляющей конформное отображение этого контура на единичную окружность с помощью полиномов. С помощью программного комплекса можно решать практические задачи по выполнению прочностных расчетов и анализу возможности разрушения элементов конструкций.

Обоснованность и достоверность результатов. Обоснованность базируется на использовании при постановке задачи уравнений и граничных условий, корректно записанных для случая больших деформаций и использованных ранее другими авторами, и апробированных определяющих соотношений, реалистично описывающих механические свойства материалов.

Достоверность полученных результатов подтверждается:

сравнением результатов с точным решением задачи Ламе об осесимметричной плоской деформации полого цилиндра из материала Бартенева–Хазановича. Максимальная погрешность результатов, полученных приближенным методом, составила менее 4 % при внешней нагрузке 0.5, отношении внешнего и внутреннего радиусов цилиндра 1:10;

проверкой выполнения граничных условий для каждого приближения на каждом шаге итерационного процесса;

сравнением результатов для тела конечных размеров, содержащего малые по сравнению с размерами тела полости различной формы, расположенные вблизи центра тела, с результатами расчетов для бесконечно протяженных тел с полостями такой же формы, полученными ранее другими авторами [54]. Для рассмотренных в диссертации случаев результаты различаются не более чем на 1.5%.

Научная новизна полученных результатов:

1. Впервые найдены приближенные численно-аналитические решения плоских задач об образовании концентраторов напряжений в теле из нелинейно-упругого (сжимаемого и несжимаемого), а также вязкоупругого материала для тел конечных размеров с круговой внешней границей при больших деформациях.

2. Развит приближенный численно-аналитический метод для решения указанного класса задач для тел конечных размеров. Метод основан на модификации математических методов, применяемых ранее для решения плоской задачи для бесконечно протяженных тел (метода последовательных приближений и итерационного метода Шварца) в связи с необходимостью учета граничных условий на внешнем контуре. Расчетные формулы и алгоритмы для тел конечных размеров отличаются от соответствующих формул и алгоритмов для бесконечно протяженных тел. Это обусловило изменение метода решения линеаризованной задачи на тех шагах метода Шварца, на которых требуется удовлетворить граничным условиям на внешнем контуре.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на XVI и XVIII симпозиумах «Проблемы шин и резинокордных композитов» в 2005 и 2007 г. (г. Москва); на VI Международном научном симпозиуме «Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела» в 2006 г. (г. Тверь); на седьмом Всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения» в 2007 г. (г. Казань).

Результаты, полученные в диссертации, частично использованы при выполнении работ по гранту РФФИ (№ 06-01-00682).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 10 публикациях, из них 2 в изданиях, рекомендованных ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 164 страницах машинописного текста, содержит 96 рисунков, список использованных источников включает 118 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении на основе анализа состояния исследований по теме диссертации обоснована актуальность работы, сформулированы цель, решаемая научная задача и частные задачи исследования. Дана общая характеристика работы и ее краткое содержание по главам. Приведен обзор работ, посвященных вопросам деформирования тел при образовании отверстий. Для описания образования полости используется модель Г.С. Тарасьева, а для постановки краевых задач о деформации нелинейно-упругих или вязкоупругих тел при многократном образовании отверстий – теория многократного наложения больших деформаций, разработанная Г.С. Тарасьевым и В.А. Левиным.

В первой главе подробно описана модель образования отверстий в телах из нелинейно-упругого и вязкоупругого материала, приведен понятийный аппарат, включающий основные термины и обозначения теории многократного наложения больших деформаций. В этой теории принято различать N состояний тела: начальное, или естественное (ненапряженное) состояние; (N–2) промежуточных состояния, в которые поочередно переходит тело под влиянием внешних воздействий; конечное, или текущее состояние, в которое тело переходит после приложения к нему в заранее заданном порядке всех нагрузок. Вследствие приложения нагрузок в теле возникает некоторое напряженно-деформированное состояние, для описания которого используются следующие обозначения.

– вектор перемещений, характеризующий переход из предыдущего

(n –1)-го состояния в последующее n-е состояние;

–массовая сила в n-м состоянии, – градиент, – относительное изменение объема;

– аффинор деформаций, ;

– тензор деформаций, описывающий изменение деформаций при переходе тела из состояния q в состояние p и отнесенный к координатному базису m-го состояния;

– тензор истинных напряжений, описывающий накопленные в теле напряжения при переходе из начального в n-е состояние (при n = 1 – тензор Коши);

– тензор обобщенных (полных для n-го состояния) напряжений, определенный в координатном базисе n-го состояния, – тензор обобщенных (полных для n-го состояния) напряжений, определенный в координатном базисе произвольного m-го состояния: ;

– граница отверстий в теле конечных размеров в n-м состоянии в координатах k-го состояния ( – нормаль к );

– внешняя граница тела конечных размеров в n-м состоянии в координатах k-го состояния ( – нормаль к ).

Математическая постановка задачи для расчета напряжений и деформаций в n-м состоянии для тел конечных размеров записывается следующим образом (в координатах n-го состояния для случая отсутствия массовых сил и заданного давления на граничной поверхности):

уравнение равновесия

; (1)

граничные условия на контурах отверстий и на внешнем контуре

, ; (2)

геометрические соотношения

, (3)

. (4)

Определяющие соотношения для материала Мурнагана (представление в базисе начального состояния)

(5)

, (6)

(7)

Для несжимаемого вязкоупругого материала, рассматриваемого в диссертации, используются определяющие соотношения вида

, (8)

. (9)

В постановку задачи также входят определяющие соотношения для различных классов несжимаемых упругих материалов (Муни, Черных).

Таким образом, поставленная задача сводится к краевой задаче для системы нелинейных дифференциальных уравнений.

Во второй главе рассмотрены и модифицированы приближенные аналитические методы решения плоских задач теории многократного наложения больших деформаций для тел конечных размеров.

При решении плоских задач теории наложения больших деформаций для тел конечных размеров используется метод последовательных приближений.

Сущность метода описывается следующим образом. В качестве начального приближения выбирается решение линейной задачи, соответствующей исходной нелинейной задаче. – вектор перемещений, соответствующий этому решению, он будет линейно зависеть от давления на внешнем контуре и давления на контурах отверстий . Поэтому можно записать: (~ – знак пропорциональности), где – безразмерный параметр, который определяется следующим образом:

. (10)

Нулевое значение параметра соответствует отсутствию нагрузок. Решение исходной нелинейной задачи отыскивается в перемещениях в виде ряда

, (11)

где вектор - поправка от учета эффектов (i+1)-го порядка для перемещений при переходе из (n–1)-го в n-е состояние.

В виде, подобном (11), представляются уравнения, входящие в постановку задачи: аффиноры деформаций , тензоры деформаций , тензоры обобщенных напряжений и истинных напряжений .

После подстановки этих разложений в уравнения, описывающие постановку задачи, и группировки членов по степеням малого параметра, постановка задачи сводится к бесконечной последовательности линеаризованных краевых задач для расчета напряжений и деформаций в теле в n-м состоянии, при последовательном решении которых можно найти сначала и (нулевое приближение), затем и (первое приближение) и т.д.

Постановка задачи в приближениях при решении задачи в координатах n-го состояния для первых двух приближений примет вид:

уравнение равновесия:

, . (12)

граничные условия на контурах отверстий:

, . (13)

граничные условия на внешнем контуре тела

, . (14)

Определяющие соотношения в приближениях для материала Мурнагана:

, (15)

, (16)

, (17)

(18)

К этим соотношениям добавляется формула

, (19)

которая в приближениях имеет вид:

, (20)

. (21)

Также приведены определяющие соотношения в приближениях для материала Муни и материала Черных, и вязкоупругого материала.

Введены линейные операторы и :

, .

Записана постановка краевой задачи в перемещениях для нулевого приближения. Приведены соотношения для первого приближения.

В общем виде постановка задачи для i-го приближения следующая (на примере сжимаемых упругих материалов):

, (22)

, (23)

Для нулевого приближения в случае отсутствия массовых сил и заданного давления на контуре тела

где k=n–1, если задача решается в координатах (n–1)-го состояния, или k=1, если задача решается в координатах n-го состояния.

– вектор , если задача решается в координатах (n–1)-го состояния, или сумма (т.е. вектор перемещений из первого промежуточного в n-е состояние), если задача решается в координатах n-го состояния.

Представлен алгоритм для решения задачи для первого приближения.

Для решения задач вязкоупругости, как и в случае нелинейно-упругого материала, таким же образом используется метод последовательных приближений. Уравнения в приближениях для вязкоупругого материала после применения преобразования Лапласа представляют собой линеаризованную задачу для несжимаемого материала, которая имеет тот же вид, что и линеаризованная задача теории упругости.

Краевые задачи (22)–(23) для всех приближений представляют собой линеаризованные задачи теории упругости, что позволяет сформулировать линеаризованную постановку этой задачи в комплексной форме. Линеаризованные задачи решаются методом Колосова–Мусхелишвили.

Вводится тензор , соответствующий тензору напряжений линейной упругости. Для сжимаемого материала , для несжимаемого . Векторы , , , и тензор представляются в координатной форме в следующем виде:

, (24)

, (25)

, , (26)

, , (27)

. (28)

В соответствии с методом Колосова–Мусхелишвили вводятся комплексные переменные и функции этих переменных:

, (29)

, (30)

, (31)

Через обозначаются комбинации компонент некоторого тензора второго ранга (в декартовой системе координат):

, (32)

Приводятся записи линеаризованной задачи в комплексной форме для случаев сжимаемого и несжимаемого материала как при плоской деформации, так и при обобщенном плоско-напряженном состоянии:

(33)

(34)

(35)

(на примере сжимаемых материалов при плоской деформации).

Согласно методу Колосова–Мусхелишвили решение линеаризованной краевой задачи отыскивается в виде:

(36)

где – некоторое частное решение линеаризованной задачи; – решение линеаризованной задачи для однородной системы уравнений.

Приведены частные решения для всех рассмотренных случаев плоской задачи (считается, что функция является аналитической функцией аргументов и в области, занимаемой телом.):

(37)

(38)

(на примере сжимаемых материалов при плоской деформации).

Решение линеаризованной краевой задачи для однородной системы уравнений отыскивается с помощью комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили .

Выражения для напряжений:

(39)

Комплексный вектор перемещений :

(40)

(на примере сжимаемых материалов при плоской деформации).

Для нахождения функций применяется метод интегралов типа Коши.

Для многосвязных ограниченных областей используется метод последовательных приближений Шварца (итерационный процесс, на каждом шаге которого решается граничная задача для односвязной области, ограниченной одним из контуров, составляющих границу Г данной многосвязной области, причем от шага к шагу номер контура меняется).

Подход для ограниченных областей имеет следующий вид. На разных итерациях решается два типа задач, сначала рассматривается краевая задача для ограниченной односвязной области (области, занимаемой телом). Так как граница этой области представляет собой простой замкнутый контур, можно воспользоваться конформным отображением этой области на бесконечную область, ограниченную единичной окружностью.

Функция , осуществляющая конформное отображение внешности единичной окружности на конечную область S, занимаемую телом, задается в виде

(41)

Решение краевой задачи для тела конечного размера без отверстий (односвязной области) находится из граничных условий

, (42)

где .

Второй тип задач – линеаризованная краевая задача для бесконечной области с отверстием, при этом нагрузки на бесконечности считаются равными нулю.

Функция , осуществляющая конформное отображение внешности единичной окружности на контур k-го отверстия, задается в виде

(43)

Решение этой краевой задачи находятся из граничных условий.

, (44)

где .

Решение однородной задачи методом Шварца находится по следующей схеме:

1) сначала решается краевая задача для внешнего контура;

2) далее начальное приближение берется в виде

, (45)

где – решение краевой задачи для внешнего контура.

Задается функция

.

3) на i-м шаге итерационного процесса (i=1,2,..) определяется номер k очередного контура и находятся аналитические функции из граничного условия:

. (46)

Затем определяются

, (47)

(48)

и находится функция в правой части граничных условий для следующей итерации:

. (49)

Далее итерационный процесс повторяется, но уже для следующего контура.

Таким образом, алгоритм решения поставленной задачи включает в себя следующую последовательность действий:

1) для решения задачи используется метод последовательных приближений, причем для каждого приближения краевая задача представляет собой линеаризованную задачу теории упругости;

2) для каждого приближения сначала находятся функции в правых частях уравнений и граничных условий, зависящие от предшествующего приближения;

3) определяется частное решение линеаризованной задачи;

4) решается однородная система уравнений, для многосвязных ограниченных областей используется метод последовательных приближений Шварца.

В третьей главе приведены результаты решения плоских задач об образовании отверстий, полученные с помощью программного комплекса «Наложение».

Автором разработан проблемно-ориентированный программный комплекс «Наложение», который предназначен для решения плоских задач об образовании отверстий в телах конечных размеров с круговой внешней границей при больших деформациях. Программный комплекс разработан с использованием проблемно-ориентированной системы численно-аналитических вычислений на ЭВМ, ранее примененной Зингерманом К.М. при решении плоских задачи теории многократного наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций для бесконечно протяженных тел.

Процедуры, выполняющие аналитические преобразования, реализованы в виде процедур-функций и объединены в три базовых модуля (проблемно-ориентированная система аналитических вычислений на ЭВМ):

1. Модуль для выполнения аналитических операций над изображениями по Лапласу.

2. Модуль для выполнения аналитических операций над функциями комплексных переменных специального вида;

3. Модуль для выполнения операций над тензорами, компонентами которых являются вышеупомянутые функции комплексных переменных.

Программный комплекс «Наложение» реализован в среде разработки Borland Delphi на объектно–ориентированном языке программирования Pascal и представляет собой стандартное оконное приложение операционной системы Windows.

В качестве исходных данных задаются тип и упругие константы материала, геометрия тела и отверстий, нагрузки на внешнем контуре тела и контурах отверстий. Комплекс позволяет приближенно решать задачи для тел из нелинейно-упругих сжимаемых и несжимаемых материалов (Мурнагана, Муни, Черных) и несжимаемого вязкоупругого материала в случаях плоской деформации и обобщенного плоско-напряженного состояния. Предусмотрена возможность расчета как для одновременного, так и для последовательного образования отверстий. Форма внешнего контура круговая, форма контура отверстия определяется посредством задания функции, осуществляющей конформное отображение этого контура на единичную окружность с помощью полиномов.

В решенных задачах исследуется зависимость напряженно-деформированного состояния от величины нагружения как на внешнем контуре тела, так и на контурах отверстий; от материала тела, от формы контуров отверстий, от их взаимного расположения и порядка образования (для вязкоупругих тел – и от времени образования). Проанализировано влияние нелинейных эффектов.

Проведено сравнение с известным точным решением задачи об образовании кругового отверстия в центре тела круговой формы, подвергнутом всестороннему нагружению. Рассматривается случай плоской деформации, материал тела описывается потенциалом Бартенева–Хазановича (рис. 1, 2).

Представлены результаты решения серии задач при следующих условиях: радиус тела равен 1; радиус полости изменяется от 0.05 до 0.5 с шагом 0.05; центр полости совпадает с центром тела. Давление, приложенное к внешнему контуру тела: = . Можно отметить, что с увеличением радиуса отверстия до 0.5 для первого приближения максимальная погрешность относительно точного решения составляет менее 15 % для .

Рис. 1. Зависимость тангенциальных напряжений на внутреннем контуре от радиуса отверстия

Рис. 2. Зависимость главного удлинения от радиуса отверстия

Обозначения на рис. 1, 2:

1 – график точного решения; 2 – график, соответствующий линейному решению; 3 – график, соответствующий нелинейному решению, полученному с помощью метода последовательных приближений.

Решена модельная задача при следующих условиях: радиус тела равен 1; радиус полости равен 0.1; центр полости совпадает с центром тела. Давление, приложенное к внешнему контуру тела: = 0.5. Можно отметить, что для данной нагрузки для первого приближения максимальная погрешность относительно точного решения составляет для данного случая менее 4 % для и 3% .

Получены в аналитической и численной форме результаты решения ряда конкретных задач. Основными из них являются (случай плоской деформации):

А. Задачи об образовании одного отверстия:

1) Задача о круговом отверстии в центре тела, когда давление приложено к внешней и внутренней границам тела, решена для различных типов материалов (сжимаемых, описываемых потенциалом Мурнагана и несжимаемых, описанных потенциалами Муни и Черных). При давлении на внешнем контуре =0.3, на внутреннем =0.05 и соотношении радиусов 0.2 поправка от учета нелинейных эффектов составила от 12 % для тела из материала Муни и до 14 % для тела из материала Черных.

2) Серия задач для предварительно нагруженного тела из материала Муни, в центре которого образуется эллиптическое отверстие. При давлении на внешнем контуре =0.3 в теле с радиусом 1, размеры полуосей эллипса изменяются от 0.065 и 0.035 до 0.65 и 0.35, для данного случая расположения концентратора напряжений в зависимости от увеличения размера его влияние сильно сказывается на поле напряжений как на внешнем, так и на внутреннем контуре (поправка от учета нелинейных эффектов составляет 28%).

Б. Задачи об образовании нескольких отверстий:

1) Серия задач для нагруженного тела из материала Мурнагана об образовании двух отверстий [три варианта задачи: а) в теле уже имеются два круговых отверстия; б) в теле до нагружения имеется одно круговое отверстие, а после нагружения образуется второе; в) после нагружения последовательно образуется сначала первое, а затем и второе отверстие]. К внешней границе тела радиуса 1 приложено давление , к внутренней (круговое отверстие в центре) , соотношение радиусов 0.2. Центр второго отверстия круговой формы находится в точке В(0.5, 0), радиус равен 0.05. Для всех вариантов значителен учет нелинейных эффектов. Во втором случае величина поправок по напряжениям в точках с максимальной концентрацией напряжений составляет 34 %.

В. Задача для тела из вязкоупругого материала:

Задача об образовании двух круговых отверстий в предварительно нагруженном теле из вязкоупругого материала. К внешней границе тела радиуса 1 приложено давление . Центры отверстий находятся в точках В(0, 0.25) и С(0, -0.25), радиусы отверстий равны и составляют 0.15, отверстия образуются в момент времени =0.1, наибольшие изменения в напряженно-деформированном состоянии в теле произошли к моменту времени =0.101, поправка от учета нелинейных эффектов составила 18 %.

На рис. 3 приведены графики контуров отверстий, соответствующие линейному и нелинейному решению в различные моменты времени.

а) линейное б) нелинейное

Рис. 3. Форма контура первой полости в различные моменты времени

Обозначения: «0» – график исходного контура, «1» соответствует моменту времени =0.1 (время образования полостей), «2» – моменту времени =0.1001, «3» – моменту времени =0.101, «4» – моменту времени =0.11, «5» – моменту времени =0.15.

Исследована зависимость невязки граничных условий от числа итераций метода Шварца. В задачах об образовании кругового отверстия при соотношении внешнего и внутреннего радиусов 1:1.43 в теле круговой формы и давлении на внешнем контуре для четырех итераций погрешность составила 24%, для восьми – 5.76%, для шестнадцати – 0.3%, для тридцати двух и более итераций погрешность не превышает 0.1%.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

Приложение посвящено описанию специализированного (проблемно-ориентированного) программного комплекса «Наложение», который предназначен для приближенного численно-аналитического решения плоских задач об образовании отверстий в телах конечных размеров с круговой внешней границей при больших деформациях.

Выводы и Основные результаты работы

1. Получено приближенное численно-аналитическое решение плоских задач нелинейной упругости и вязкоупругости для предварительно нагруженных тел конечных размеров при образовании в этих телах отверстий для случая больших деформаций. Для решения использован метод, развитый автором на основе метода, разработанного ранее для бесконечно протяженных тел. Развитый метод основан на сочетании метода последовательных приближений, метода Колосова-Мусхелишвили и итерационного метода Шварца.

2. Разработан алгоритм и программный комплекс для решения данного класса задач. Программный комплекс основан на применении проблемно-ориентированных систем аналитических вычислений на ЭВМ и позволяет получить в численно-аналитической форме решение класса плоских задач теории многократного наложения больших деформаций для тел конечных размеров с круговой внешней границей.

3. С использованием разработанного программного комплекса проведена серия расчетов с целью исследования зависимости напряженно-деформированного состояния в теле от параметров модели: величины приложенного давления на внешнем контуре тела и на контурах отверстий, материала тела, формы контуров отверстий, их взаимного расположения и порядка образования (для вязкоупругих тел – и от времени образования).

4. Проанализировано влияние нелинейных эффектов. Поправка от учета нелинейных эффектов для тех параметров модели, которые рассмотрены в работе, составила до 34 %.

5. Исследована зависимость невязки граничных условий от числа итераций метода Шварца. Для рассмотренных в диссертации задач погрешность не превышает 0.1% для тридцати двух и более итераций.

6. Выполнено сопоставление результатов, полученных для тел конечных размеров, с известными результатами для бесконечно протяженных тел с отверстиями такой же формы. Это сравнение позволило оценить, насколько существенным является учет ограниченности тела при расчете напряженно-деформированного состояния. В задачах об образовании кругового отверстия при соотношении внутреннего и внешнего радиусов 1:2 в теле круговой формы отличие от результатов для бесконечно протяженного тела по напряжениям составило 29 %. Вместе с тем, при соотношении внутреннего и внешнего радиусов 1:10 в теле круговой формы отличие от результатов для бесконечно протяженного тела по напряжениям составило не более 1.5%, что является одним из подтверждений достоверности полученного решения.

7. Проведено сравнение результатов, полученных с применением разработанного программного комплекса, с точным решением задачи Ламе об осесимметричной плоской деформации полого цилиндра из материала Бартенева–Хазановича. Погрешность результатов составила менее 4 % для рассмотренных в работе параметров задачи.

Публикации по теме диссертации

1. Людский В.А. Исследование конечноэлементного решения задачи Ламе, полученного с помощью системы Matlab, и сравнение его с аналитическим решением // Сборник научных трудов «Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация». – 2004. – Вып.2. – Тверь: ТГУ. – С. 188–195.

2. Зингерман К.М., Людский В.А. Исследование напряженно-деформированного состояния вблизи отверстий в нагруженном теле из высокоэластичного материала при конечных деформациях // Сборник докладов шестнадцатого симпозиума «Проблемы шин и резинокордных композитов». – 2005. – Т.1. ООО «НТЦ «НИИШП», Москва. – С. 143–149.

3. Зингерман К.М., Людский В.А. О постановке и алгоритме решения задач теории наложения больших вязкоупругих деформаций для тел конечных размеров // Сборник тезисов VI всероссийского научного симпозиума «Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела». – 2006. – Тверь: ТГТУ. – С. 38.

4. Зингерман К.М., Людский В.А. Алгоритм решения линеаризованной задачи теории наложения больших деформаций // Международный журнал «Проблемы теории и практики управления». Международное научно-практическое приложение «Программные продукты и системы».– 2007.– №2. Тверь. – С.41–42.

5. Людский В.А. Об одном подходе к решению плоской задачи об образовании концентратора напряжений в предварительно нагруженном вязкоупругом теле конечных размеров при больших деформациях. // Вестник Тверского государственного университета. Серия «Прикладная математика» – № 11 (39). – 2007. – Вып.2. – Тверь: ТГУ. – С.61–67.

6. Зингерман К.М., Людский В.А. Расчет напряженно-деформированного состояния в теле конечных размеров из резиноподобного материала при образовании в нем трещиноподобных дефектов. – Сборник трудов XVIII симпозиума «Проблемы шин и резинокордных композитов». Москва, 15–19 октября 2007 г. – М: ООО «Научно-технический центр НИИШП», 2007. – T. 1. С. 153–157.

7. Людский В.А. Решение задач об образовании отверстий в теле конечных размеров с помощью программного комплекса «Наложение». // Сборник статей Всероссийской научно-практической конференции «Системы проектирования, моделирования, подготовки производства и управления проектами CAD/CAM/CAE/PDM». – 2007. – Пенза. – С. 47–48.

8. Зингерман К.М., Людский В.А. Расчет напряженно-деформированного состояния вблизи концентраторов напряжений, образуемых в нагруженном теле конечных размеров, на основе теории наложения больших деформаций. // Материалы седьмого всероссийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения». – 2007. – Казань. – С. 128–132.

9. Людский В.А. Решение плоской задачи о последовательном образовании круговых отверстий в нагруженном теле конечных размеров при больших деформациях. // Материалы седьмого всероссийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения». – 2007. – Казань. – С. 168–172.

10. Людский В.А. Математические методы численно-аналитического моделирования образования отверстий в телах конечных размеров. // Вестник Тверского государственного университета. Серия «Прикладная математика» – № 14 (74). – 2008. – Вып.9. – Тверь: ТГУ. – С.23–26.