Нелинейная рефракция относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах
На правах рукописи
Матутин Александр Александрович
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕФРАКЦИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО СЛАБЫХ УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ И ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СРЕДАХ
01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Саратов – 2007
Работа выполнена на кафедре вычислительного эксперимента в механике механико-математического факультета Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского
Научный руководитель Доктор физико-математических наук,
профессор
Шиндяпин Георгий Петрович
Официальные оппоненты Доктор технических наук, профессор
Есин Александр Иванович
Кандидат физико-математических наук, доцент
Шевырев Сергей Павлович
Ведущая организания Балтийский государственный технический университет им. Д.Ф. Устинова
(БГТУ – «Военмех») (г. Санкт-Петербург)
Защита состоится 12 ноября 2007 года в 17 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета К.212.243.02 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, д. 83, Саратовский государственный университет, механико-математический факультет.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета.
Автореферат разослан 11 октября 2007 года.
Ученый секретарь
диссертационного совета В.В. Корнев
к. ф.-м. н., доцент
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Теоретическое исследование процессов нелинейной рефракции ударных волн (УВ) в газах и газожидкостных средах (ГЖС) представляет одну из фундаментальных проблем современной механики жидкости и газа. Решение этой проблемы важно для понимания многих физических процессов, развития сверхзвуковой авиации, проектирования трубопроводов для транспортировки топливных смесей, движения тел в газожидкостных средах, в которых скорость звука мала и др. Теоретическая важность проблемы обусловлена нелинейным характером основных уравнений и сложным разрывным характером решений, в силу чего методы и их применение при исследовании задач имеют универсальный характер и связаны с решением общих проблем выявления структуры обобщенных решений задач математической физики.
В работе исследуются процессы нелинейной рефракции ударной волны (УВ), возникающие при взаимодействии ударной волны, относительно малой интенсивности (абсолютная интенсивность волн может быть велика), со свободной поверхностью, разделяющей различные газожидкостные среды, когда за фронтами УВ возникают области резких изменений параметров – области коротких волн, и ударные нагрузки многократно возрастают. В этих областях процесс существенно нелинеен, что вызывает значительные трудности при анализе поставленной задачи. Особое внимание уделяется нахождению и исследованию различных режимов существования нелинейной рефракции УВ, а также численному анализу поставленной задачи.
Пристальное внимание к проблеме отечественных (С.А. Христианович, А.А. Гриб, Б.И. Заславский, Г.П. Шиндяпин, В.К. Кедринский и др.) и зарубежных исследователей (L.F. Henderson, A. Sakurai, K. Takayama, G. Ben-Dor и др.) на протяжении более 50 лет привело к появлению разнообразных альтернативных точек зрения на природу явления. Однако в настоящее время все отчетливее вырисовывается необходимость исследования процессов рефракции в целом, для построения полной картины исследуемого явления.
Настоящая работа развивает и дополняет положения асимптотической теории коротких волн, опирающейся на решение внутренних краевых задач для областей нелинейных взаимодействий (коротких волн), которые позволяют учесть влияние потока в целом на образующиеся ударно-волновые структуры, изучить характерные особенности и закономерности процессов нелинейной рефракции УВ.
Цель и задачи исследования. Целью работы является аналитическое и численное исследование различных режимов нелинейной рефракции относительно слабых УВ в газах и газожидкостных (пузырьковых) средах.
Исходя из этого, в работе решались следующие задачи:
- разработка аналитических моделей нелинейной рефракции относительно слабых УВ;
- классификация режимов нелинейной рефракции УВ; анализ областей существования различных режимов нелинейной рефракции УВ;
- получение явных аналитических зависимостей для основных параметров, характеризующих возникающие ударно-волновые структуры;
- аналитическое описание границ областей существования различных режимов нелинейной рефракции УВ;
- численное решение краевых задач рефракции УВ, на основе построенных аналитических моделей;
- анализ полей давлений и скоростей при различных режимах нелинейной рефракции УВ.
Методика исследований основана на использовании асимптотической теории коротких волн при постановке краевых задач для областей нелинейных взаимодействий (коротких волн), разработке и формировании аналитических моделей рефракции, соответствующих краевым задачам.
Основное внимание уделяется аналитическим методам анализа, основанным на выделении структурных особенностей течений.
Научная новизна работы заключается в следующем:
- развит новый аналитический метод исследования ударно-волновых структур и потоков при нелинейной рефракции относительно слабых УВ в газах и газожидкостных средах;
- исследованы различные режимы нелинейной рефракции УВ, найдены аналитические выражения для границ областей существования различных режимов нелинейной рефракции УВ;
- найдены области существования неклассических режимов рефракции УВ, которые расширяют физическое представление о процессах нелинейной рефракции УВ, позволяя исследовать случаи рефракции с невырожденным фронтом преломленной УВ;
- получил развитие численный метод решения краевых задач нелинейной рефракции УВ, позволяющий рассчитать поля давлений и скоростей, а также, ударно-волновые структуры, характерные для различных режимов нелинейной рефракции УВ;
- исследованы ударно-волновые структуры и течения в областях нелинейных взаимодействий. Выявлены качественные закономерности и особенности процессов нелинейной рефракции УВ, показавшие физическую адекватность разработанных аналитических и численных подходов к решению поставленной задачи.
Достоверность результатов подтверждается непротиворечивостью полученных аналитических результатов с имеющимися физическими представлениями и экспериментальными данными; согласованностью результатов для рассчитанных ударно-волновых структур, полей давления и скоростей с известными результатами численного решения соответствующих краевых задач; обоснованностью используемых методов исследований.
Практическая ценность работы. Результаты исследований расширяют представления о физических процессах нелинейной рефракции УВ в газах и газожидкостных средах, развивают аналитические методы и методы численного расчета течений с относительно слабыми УВ.
Результаты исследований могут быть использованы в учебном процессе при подготовке учебных пособий и чтении специальных курсов по динамике ударных волн в газах и газожидкостных средах.
Апробация результатов. Результаты исследований докладывались и обсуждались на международных, всероссийских и вузовских конференциях и семинарах. Среди них:
- XX, XXI Международный семинар по струйным, отрывным и нестационарным течениям. Санкт-Петербург, 2004 г.; Новосибирск, 2007 г.;
- XXXIV Уральский семинар по механике и процессам управления. Миасс, 2004 г.;
- XXIV, XXVII Российская школа по проблемам науки и технологий. Миасс, 2004; 2007 гг.;
- XLII Международная научная конференция «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2005 г.;
- IV, V Молодежные научные школы-конференции «Лобачевские чтения». Казань, 2005; 2006 гг.;
- Международная конференция «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике». Ульяновск, 2005; 2006 гг.;
- Ежегодные научные конференции Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики и механики». Саратов, СГУ: 2003; 2004; 2005; 2006; 2007 гг.;
- Специальные семинары кафедры вычислительного эксперимента в механике Саратовского государственного университета. 2003-2007 гг.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов по главам, заключения и списка использованной литературы, изложена с учетом рисунков на 111 страницах. Работа содержит 18 рисунков. Список использованной литературы включает 104 наименования.
Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна, практическая значимость работы, кратко излагается содержание работы и основные результаты, выносимые на защиту.
В главе 1 изложены общие основы математического моделирования процессов рефракции относительно слабых ударных волн (УВ) в газах и газожидкостных пузырьковых средах, обоснована методика исследований.
В п. 1.1 рассмотрен класс задач нелинейной рефракции УВ. Приведены схемы регулярной (RR), нерегулярной (NR) рефракций с волной разрежение; рефракции с УВ, замыкающей волну разрежение (RRV); рефракции с отраженной УВ, возникающей при падении плоской инициирующей УВ относительно малой интенсивности 
под углом 
к вертикали на свободную поверхность, разделяющую покоящиеся газожидкостные среды с газосодержаниями 
. Отмечено, что указанные режимы наблюдаются физически при падении УВ на свободную поверхность со стороны более плотной среды. Сформулированный класс задач допускает все основные режимы рефракции, наблюдаемые при экспериментальных исследованиях.
В п. 1.2 приведен анализ применимости модели равновесной двухфазной газожидкостной среды для описания процессов рефракции относительно слабых УВ. Исследована зависимость параметров покоящейся газожидкостной среды (плотности 
, скорости звука 
), скорости УВ 
, числа Маха 
, термодинамических параметров 
от газосодержания среды. Отмечено, в частности, что значения параметра 
, характеризующего влияние газосодержания на интенсивность УВ, для практически важного случая рефракции на поверхности, разделяющей газовую и газожидкостную среду, в основном диапазоне газосодержания 
близко к значениям этого параметра для чистого газа. Поэтому в целом режимы рефракции и конфигурации УВ, возникающие при взаимодействиях газожидкостных пузырьковых средах, оказываются сходными с режимами рефракции волн на поверхности, разделяющей чистые газы – газоподобны.
В п. 1.3 приведен анализ современного состояния исследований проблем нелинейной рефракции и общей теории взаимодействий относительно слабых УВ в газах и газожидкостных средах. Особое внимание уделено развитию аналитических и численных методов исследований, рассмотрено развитие асимптотической теории коротких волн в работах Гриба А.А., Рыжова О.С., Христиановича С.А. (1955-1960), позволяющей исследовать течение в областях резких изменений параметров за фронтами взаимодействующих УВ. Развитая в трудах Христиановича С.А., Гриба А.А., Заславского Б.И., Рыжова О.С., Рябинина А.Г. теория коротких волн охватывает неустановившиеся пространственные течения и позволяет изучить картину нелинейного взаимодействия УВ с различными препятствиями. Для нелинейной системы уравнений коротких волн в работах Заславского Б.И., Шиндяпина Г.П. (1962-1971) построены достаточно широкие классы точных решений, расширяющие возможности анализа. Развитие теории коротких волн связано с постановкой и анализом краевых задач нелинейных взаимодействий УВ, разработанной в работах Шиндяпина Г.П., Ковалева А.Д. и др. (1984-1987) аналитических и численных методов решений. Результаты исследований легли в основу асимптотической теории взаимодействий УВ (1984-1990), результаты которой в случае относительно слабых УВ в отличие от результатов, например, теории Уизема (1957) значительно лучше согласуются с экспериментальными данными. Успехи теории коротких волн в разработке математических моделей взаимодействия и отражения УВ (Шиндяпин Г.П., 1990-1997), анализе проблемы взаимодействий УВ в условиях возникновения парадокса Неймана (Шиндяпин Г.П., Гамаюнова Е.Н., 2001-2004) позволяют использовать математический аппарат теории для анализа процессов нелинейной рефракции УВ.
Значительную роль в развитии общей теории УВ сыграли идеи методы анализа ударно-волновых структур, предложенные в работах исследователей отечественной школы Баженовой Т.В., Гвоздевой Л.Г., Дулова В.Г., Ускова В.Н., Фонарева Л.С., Жигалко Е.Ф. и их учеников, а также экспериментальные исследования Заславского Б.И., Сафарова Р.А., Семенова А.Н., Сыщиковой М.П. и др.
Современное состояние теории взаимодействий УВ и теории рефракции УВ характеризуется бурным развитием. В этом направлении успешно работает ряд научных школ: Австралия, Япония, США и др. Ведутся интенсивные экспериментальные и численные исследования. Следует, однако, отметить, что для исследуемого класса задач рефракции (падение УВ на свободную поверхность со стороны более плотной среды) экспериментальных результатов явно недостает. В п. 1.3 обсуждаются наиболее интересные результаты исследований.
В работах автора (2003-2007) на базе теории коротких волн разработан аналитический подход, позволяющий сформулировать математические модели для различных режимов нелинейной рефракции (RR, NR, RRV, RV). Приведены исследования характерных ударно-волновых структур и параметров в пространстве параметров подобия задачи, найдены аналитические выражения для границ областей существования различных режимов рефракции УВ. Приведены численные и аналитические исследования полей давления и скоростей, включающие анализ течений в областях больших градиентов в окрестности точки взаимодействия падающей волны со свободной поверхностью. Сравнение полученных результатов с известными экспериментальными, аналитическими и численными результатами показало физическую достоверность развитых моделей.
Проведенный обзор обосновывает общую методику исследований процессов нелинейной рефракции относительно слабых УВ в газах и газожидкостных средах с помощью развитого аналитического метода исследований, основанного на выделении структуры течений (схем) при различных режимах взаимодействий.
В п. 1.4 рассмотрены проблемы математического моделирования процессов нелинейной рефракции УВ. Среди этих проблем нелинейность и нестационарность процессов рефракции, влияние газосодержания сред на структуру течения – режимы взаимодействия. Особая сложность характерна для постановки и решения краевых задач для областей возмущений возникающих за фронтами преломленных, отраженных УВ или волнами разрежения, когда фронты УВ заранее неизвестны и находятся вместе с решениями краевых задач.
В п. 1.5 дан анализ применимости модели равновесной двухфазной газожидкостной среды для описания ударно-волновых процессов. Исследования взаимодействий УВ в газожидкостных пузырьковых средах (1974-1985) показывают, что эти процессы можно описать аналогично процессам взаимодействий в газах. Для относительно слабых УВ используя модель равновесной газожидкостной среды, удается свести задачу к решению нелинейного уравнения для потенциала скорости с параметром, выражающим зависимость решения от газосодержания среды. В предельном случае это уравнение переходит в известное уравнение для адиабатического движения газа Лайтхилла.
В п. 1.6 проведен анализ общей постановки краевых задач для описания процессов рефракции УВ в идеальных газовых или газожидкостных средах, а также краевых задач для потенциальных адиабатических течений газовых и газожидкостных сред, характерных для УВ относительно малой интенсивности 
. Общие уравнения динамики при автомодельных движениях в переменных 
приводятся к уравнению для потенциала скоростей, которое вместе с уравнение состояния и интегралом Лагранжа составляют систему уравнений потенциальных адиабатических движений газовых и газожидкостных сред
; 
; 
;
(1)
; 
; 
.
Здесь 
- компоненты скорости; 
- скорость звука; 
- давление; 
- плотность среды. Зависимость решения от относительного массового газосодержания проявляется через параметры 
определяемые термодинамическими формулами (
- постоянные). В предельном случае чистого газа (
) уравнения (1) переходят в известные уравнения Лайтхилла для потенциальных адиабатических течений газа.
При постановке краевых задач для уравнений (1) в качестве граничных условий выступают: условия динамической совместности на фронтах УВ (индекс 1 – соответствует параметрам перед фронтом) при 
; 
; (2)
условия на линиях слабого разрыва, где параметры потока непрерывны (
), и условия на твердых стенках (
). Основной сложностью решения краевых задач является нахождение фронтов УВ, положение которых заранее неизвестно.
Кроме условий на фронтах УВ для задач рефракции УВ характерным является формулировка условий на границе области возмущений с волной разрежения. Решение уравнения (1) для центрированных волн разрежения, возникающих, например, при рефракции на свободной поверхности в т. А (
) имеет вид
(3)
Постоянные 
, 
в решении (3) находятся обычно при задании условий на переднем фронте центрированной волны разрежения. На границе области возмущения решение (3) записывается на звуковой линии
Решение (3) через параметр 
зависит от газосодержания смеси.
На свободной поверхности 
, разделяющей среды с различным газосодержаниями 
имеют место условия (значки 
соответствуют различным областям)
. (4)
Условия (2)-(4) позволяют сформулировать краевые задачи для уравнения (1) для областей неоднородных потоков (областей возмущений) в задачах рефракции УВ.
В п. 1.7 для решения задачи рефракции УВ в идеальных средах рассмотрено применение метода сращиваемых асимптотических разложений по малому параметру 
интенсивность УВ. (За параметры 
берутся их значения при 
). Этот метод позволяет редуцировать исходную задачу – свести решение задачи для области возмущений в целом к решению ряда задач: для области (I) малых градиентов, где течение описывается с помощью линейной теории и находится аналитически; решениям задач для областей (III) значительных градиентов, примыкающих к фронтам УВ и линии слабого разрыва, где течение описывается системой нелинейных квазиодномерных уравнений, которая интегрируется аналитически; решениям в области (II) двумерных нелинейных течений со значительными градиентами параметров в окрестности точек взаимодействия УВ, где соответствующая краевая задача решается численно или аналитически приближенно.
Метод позволяет существенно сузить область исследований до малой окрестности точек взаимодействия УВ – областей коротких волн. Анализ общей постановки задач рефракции приводит (п. 1.8) для областей (II) нелинейных взаимодействий во внутренних переменных 
(5)
к постановке краевой задачи, состоящей в нахождении решения 
системы уравнений коротких волн
(6)
удовлетворяющих на границах области нелинейных взаимодействий условиям:
на фронтах УВ 
, (7)
, (8)
асимптотическим условиям сращивания на границе с областью (I) линейного решения (
)
(9)
асимптотическим условиям сращивания на границах, с областями (III) нелинейных квазиодномерных решений (
) за фронтами УВ 
и линией слабого разрыва 
(10)
Здесь в общем случае рефракции УВ 
при 
при 
; знак «+» соответствует общему случаю, когда отраженные волны ударные; знак «-» соответствует вырождению волн в линию слабого разрыва.
Кроме условий на фронтах УВ для задач рефракции характерны условия на границах области (II) с центрированной волной разрежения, описываемой решением (6)
(11)
Условие на границе области возмущения с центрированной волной разрежения получаются при записи решения (11) вдоль звуковой линии (
)
На свободной поверхности, разделяющей среды с различными газосодержаниями 
имеют место условия
. (12)
При решении краевых задач (5)-(12) основными трудностями являются нелинейность системы уравнений (6) и неизвестное положение ударных фронтов, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям (7). Сложность проблемы усугубляется тем, что в условиях дозвукового характера течения (
) параметры течения за образующимися ударно-волновыми структурами и сами структуры зависят от характеристик течения во всей области возмущения. Это обстоятельство побуждает при разработке схем расчета использовать решения, характеризующие поток за фронтами волн в целом. Так, например, численный метод решения (см. гл. 3) позволяет построить итерационный процесс, состоящий в последовательном уточнении решения задачи и положения ударных фронтов. Результаты численного решения, как показывает анализ, адекватно описывают процессы нелинейных взаимодействий УВ.
Приведенные исследования показывают, что для разработки теории нелинейных взаимодействий УВ, решения задач рефракции, необходимо развитие аналитических методов анализа краевых задач, развитие аналитических моделей рефракции УВ. Эти исследования должны выявить основные ударно-волновые структуры (режимы рефракции) и области их существования, позволить получить простые аналитические выражения для основных параметров, приближенно рассчитать поля течений в областях, прилегающих к ударно-волновым фронтам, при различных режимах нелинейной рефракции УВ.
В главе 2 проведен асимптотический анализ режимов нелинейной рефракции УВ, опирающийся на рассмотренные аналитические модели RR, NR, RRV, RV. Эти модели отражают структуру течения в окрестности точки взаимодействия A – точки пересечения падающей волны со свободной поверхностью. Методика разработки аналитических моделей рефракции УВ включает: разработку общего подхода для относительно слабых УВ на базе общих уравнений описывающих потенциальные адиабатические течения газа; асимптотический анализ основных уравнений динамики характеризующих соответствие, как продольных, так и поперечных вдоль свободной поверхности движений, позволяющих описать конкретные режимы рефракции; получение аналитических выражений для основных параметров, характеризующих течение и возникающие ударно-волновые структура; анализ областей существования различных режимов нелинейной рефракции УВ; общий анализ физической адекватности модели.
В п. 2.1 развит общий подход для относительно слабых ударных волн (
) к анализу режимов с волной разрежения (RR, NR), опирающейся на использование общих аналитических выражений для фронтов УВ, волн разрежения и свободной поверхности (п. 1.6.3) для потенциальных адиабатических течений для расчета параметров RR, т.е. определим при известных 
, а также 
покоящейся среды, интенсивности разрежения 
положения фронта преломленной УВ, переднего и заднего фронта волны разрежения, положения свободной поверхности, характеризуемых углами 
решается совместная система алгебраических уравнений. Определены границы области существования RR: типа A – перехода к режиму NR; типа B – обращения 
в 0; типа C – соответствующей минимально возможному разрежению 
(при максимальных 
). Исследования показали, что в случае раздела сред газ/ГЖС в широком диапазоне интенсивностей 
и газосодержаний 
интенсивность преломленной УВ (
) и изменение давления за ней (в верхней области D) оказываются незначительными по сравнению с интенсивностью 
и изменением давления в нижней области D. Это обстоятельство позволяет сводить решение задач рефракции в этом случае к решению задач отражения УВ от свободной поверхности и не рассматривать течение в верхней области.
В п. 2.2 проведен асимптотический анализ постановки задач рефракции. Для относительно слабых ударных волн 
уравнение выражающее равенство скоростей распространения падающей и преломленной УВ вдоль свободной поверхности 
(
- скорости распространения УВ) в первом приближении может быть представлено в виде
,
, 
, 
, 
, 
, (13)
, 
, 
.
Уравнение, выражающее соответствие поперечных к свободной поверхности движений в т. Взаимодействия A за фронтом преломленной волны и за волной разрежения, в первом приближении может быть представлено в виде при 
(14)
Исключая 
из (13) и (14) можно записать уравнение для определения величины 
, характеризующей интенсивность преломленной УВ, а также степень разрежения в случае рефракции с волной разрежения (
)
. (15)
В общем случае параметры рефракции УВ согласно (15), (14) определяются в пространстве параметров подобия
, 
, 
, 
. (16)
В случае относительно малых углов 
~
в переменных теории коротких волн (5) выражение (13), (15) имеют вид
(17)
При анализе различных режимов рефракции с помощью (13)-(15) и (17) определяются конкретные значения 
.
В п. 2.3 – п. 2.6 рассмотрены различные режимы нелинейной рефракции УВ: регулярной (RR); нерегулярной (NR); регулярный с ударной волной, замыкающей область разрежения (RRV) и регулярный с отраженной ударной волной (RV). Определены соответствующие значения величин 
, входящих в выражения (13)-(15), (17) позволяющие рассчитать основные параметры рефракции.
Определены границы областей существования различных режимов в случае 
~
В п. 2.7 исследован переход от режима регулярной рефракции с волной разрежения к режиму рефракции с отраженной ударной волной. В общем случае, граница перехода в пространстве параметров подобия (16) имеет вид
. (18)
Граница (18) переход, как для случаев 
(для раздела сред типа slow-fast), так и для случаев 
(для раздела сред типа fast-slow).
В п. 2.8 проведен анализ поведения характерной интенсивности 
, характеризующей интенсивность преломленной ударной волны, в пространстве параметров подобия 
(при 
) для различных режимов в случае рефракции на поверхности разделяющей газ/ГЖС.
На рис. 1 поверхность 
(
) соответствует границе перехода от режима NR к режиму RR. Поверхность 
(
) соответствует границе перехода от режима RR к режиму RRV. Поверхность 
соответствует режиму рефракции с отраженной ударной волной для взаимодействия типа slow-fast (
). Кривая 
, построенная согласно (18), есть граница перехода от режима с волной разрежения к режиму с отраженной ударной волной. Границы 
соответствуют предельно допустимым значениям 
для рассматриваемых сред газ/ГЖС.
В п. 2.9 рассмотрены приложения результатов теории подобия к анализу физических параметров рефракции. Для случая газ/ГЖС (
) исследовано поведение относительной интенсивности 
и угла преломленной УВ 
от угла падения инициирующей УВ 
и газосодержания среды 
при фиксированном 
. Отмечено, что границы областей существования режимов регулярной и нерегулярной рефракции (
) построенной по формулам (17) при 
~
согласуется с соответствующей границей построенной с использованием общей теории п. 2.1.
В п. 2.10 для анализа физической адекватности регулярной рефракции произведены расчеты для случая двух газовых сред (
).
Результаты проведенных теоретических исследований для модели RV (с отраженной УВ), (рис. 2), достаточно хорошо согласуются во всем диапазоне изменений углов 
с известными экспериментальными результатами Abd-El-Fattah (1978). Приведенные на рис. 2 результаты подтверждают наличие границы B (
), которая возникает в случае газ/газ, аналогично случаю газ/ГЖС отмеченному в п. 2.1.
В целом, приведенные в п. 2.8 – 2.10 результаты анализа аналитических исследований позволяют считать, что развитые аналитические модели физически адекватно описывают процессы нелинейной рефракции для относительно слабых УВ (
), объясняют закономерности и особенности явления.
В главе 3 развита методика численного решения краевых задач нелинейных взаимодействий относительно слабых УВ в применении к классу задач рефракции УВ для областей II.
В п. 3.1 рассмотрен метод последовательных приближений для построения решений краевых задач нелинейной рефракции УВ. Для решения краевых задач в области II, сведенных в п. 1.9 к первой краевой задаче с неизвестными положениями ударных фронтов, метод последовательных приближений состоит в задании начальных фронтов УВ и начального поля давления и последовательного уточнения положения ударных фронтов при решении соответствующей серии краевых задач.
В п. 3.2.1 рассмотрено применение метода прямых для построения начального приближения поля давления в различных задачах рефракции.
В п. 3.2.2 построены начальные приближения положения фронтов УВ для различных задач рефракции.
В п. 3.3 для решения краевой задачи в области (II) использован неявный численный метод второго порядка точности, позволяющий при задании приближенного положения фронтов УВ п. 3.2.2 и начального поля давления п. 3.2.1. обеспечить достаточно быструю сходимость итераций для получения высокой точности.
В п. 3.4 приведены результаты расчета полей давления для различных режимов рефракции УВ.
В п. 3.4.1 приведены результаты расчета полей давления для различных режимов рефракции: регулярного (
), нерегулярного (
) на поверхности разделяющей газожидкостные среды с близкими значениями газосодержания (
) и близкими плотностями 
(
).
Результаты расчета показывают, что в области II происходят резкие изменения давления, как вдоль свободной поверхности, так и в направлении ортогональном ей. Сравнение приведенных результатов численного расчета при относительно малых углах 
~
, для относительно слабых УВ, с результатами численных исследований Henderson, Collela (1991) при конечных углах 
~
, для относительно слабых УВ (
), для случая газ/газ (
), для аналогичных режимов, показывает их качественное соответствие.
В п. 3.4.2 приведены результаты расчетов полей давления для случая нерегулярного отражения от свободной поверхности соответствующих случаю газ/ГЖС (
). Для сравнения приведены результаты расчета поля давления для соответствующего случая при тех же значениях с помощью точных частных решений уравнений коротких волн.
Сравнение показывает, что результаты расчета достаточно хорошо согласуются с аналитическими результатами вблизи фронта Маха и границы с волной разрежения. Это обстоятельство позволяет считать, что результаты численного исследования получены с достаточной точностью.
В п. 3.4.3 приведены результаты расчета поля давления для случая регулярного отражения с возникновением УВ, замыкающей область разрежения, для случая газ/ГЖС (
). Результаты расчета показывают, что в области II происходят, аналогично случаю нерегулярного отражения, резкие изменения параметров.
В целом, следует отметить, что развитый численный метод построения полей давления физически адекватно описывает процессы нелинейной рефракции для относительно слабых ударных волн ; иллюстрирует возникновение различных режимов рефракции УВ; объясняет закономерности и особенности явления.
В заключении диссертации перечислены основные результаты и общие выводы полученные в работе.
В работе получены новые научные данные об ударно-волновых процессах нелинейной рефракции относительно слабых УВ в газах и газожидкостных средах.
Развит аналитический подход, позволяющий получить количественные и качественные характеристики исследуемых нелинейных процессов; определить области существования параметров для различных режимов рефракции, когда интенсивность преломленной УВ сравнима с интенсивностью падающей УВ.
Часть работ по теме диссертации написана совместно с руководителем Шиндяпиным Г.П., участие которого в проведенных исследованиях состояло в постановке задач. Основные результаты в совместных работах принадлежат лично автору.
Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю – профессору Г.П. Шиндяпину за поставленные задачи и большое внимание к работе.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
- Дан анализ современного состояния исследования по проблеме нелинейной рефракции ударных волн. Развита аналитическая теория нелинейной рефракции ударных волн, использующая асимптотическую теорию коротких волн и модель равновесной газожидкостной среды.
- Разработаны аналитические модели: нерегулярной; регулярной рефракции с волной разрежения; регулярной рефракции с ударной волной, замыкающей волну разрежения; с отраженной ударной волной, позволяющие исследовать ударно-волновые структуры течений различных режимов рефракции.
- Исследованы основные параметры и границы областей существования решений в пространстве безразмерных параметров подобия для различных режимов нелинейной рефракции ударных волн.
- Развита методика численного решения краевых задач нелинейной рефракции относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах. Построены картины течений для различных режимов рефракции: нерегулярного; регулярного с волной разрежения; регулярного с ударной волной, замыкающей волну разрежения.
- Показана математическая и физическая адекватность аналитических и численных результатов путем их анализа и сравнения с известными экспериментальными данными, позволяющая рекомендовать полученные результаты для практического использования при решении проблем современного естествознания и техники.
В целом приведенные результаты представляют совокупность завершенных исследований, развивающих перспективное направление – нелинейную теорию взаимодействий ударных волн в газах и газожидкостных средах.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
- Матутин А.А. Анализ режимов рефракции ударной волны с образованием волны разрежения или отраженной ударной волны / Г.П. Шиндяпин, А.А. Матутин // Известия СГУ: Сб. научных трудов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Том 7. Вып. 1. С. 74-77 (данный журнал входит в перечень изданий ВАК рекомендованный для защит кандидатских диссертаций). (Матутин А.А. исследовал различные режимы рефракции в пространстве параметров подобия).
- Матутин А.А. Особенности нелинейной рефракции ударной волны / Г.П. Шиндяпин, А.А. Матутин // Вестник Сарат. гос. технич. ун-та: Науч.-технич. журнал. Саратов: Изд-во Сарат. гос. технич. ун-та, 2006. Вып. 1. № 3(14). С. 44-48 (Матутин А.А. исследовал зависимость интенсивности преломленной ударной волны от интенсивности падающей ударной волны для случая газ/ГЖС).
- Матутин А.А. Численное исследование нелинейной рефракции ударной волны на поверхности, разделяющей газовую и газожидкостную среды / Г.П. Шиндяпин, А.А. Матутин // Известия СГУ: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Том 6. Вып. 1/2. С. 67-74 (Матутин А.А. построил поля давления для режима рефракции с ударной волной, замыкающей область разрежения).
- Матутин А.А. Исследование нелинейной рефракции ударной волны на поверхности, разделяющей газовую и газожидкостную среды численным методом / Г.П. Шиндяпин, А.А. Матутин // Математические методы и модели в прикладных задачах науки. Сб. науч. тр. Ульяновск: Изд-во Ульяновского гос. технич. ун-та, 2005. Том. 7. С. 112-117 (Матутин А.А. построил поля давления для случая рефракции газ/ГЖС).
- Матутин А.А Аналитическое исследование класса задач рефракции с невырожденным фронтом преломленной ударной волны на поверхности газ/газожидкостная среда / Г.П. Шиндяпин, А.А. Матутин // Сб. науч. тр. «Прикладная математика и механика». Ульяновск: Изд-во Ульяновского гос. технич. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 56-60 (Матутин А.А. рассчитал поведение основных параметров рефракции для случая с невырожденным фронтом преломленной ударной волны).
- Матутин А.А. Анализ ударно-волновых структур и потоков при нелинейной рефракции ударных волн / Г.П. Шиндяпин, А.А. Матутин // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 162-165 (Матутин А.А. построил с использованием точных решений поля давления для нерегулярной рефракции).
- Матутин А.А. Аналитическое исследование нелинейной рефракции ударной волны на поверхности, разделяющей газовую и газожидкостную среды / Г.П. Шиндяпин, А.А. Матутин // Механика и процессы управления: Труды XXXIV Уральского семинара. Екатеринбург: УРО РАН, 2004. Том. 1. С. 190-198 (Матутин А.А. рассчитал параметры рефракции на поверхности газ/ГЖС в соответствии с общей теорией постановки задач регулярной рефракции).
- Матутин А.А. Аналитическое исследование ударно-волновых структур при нелинейной рефракции ударной волны на поверхности, разделяющей газовую и газожидкостную среды / Г.П. Шиндяпин, А.А. Матутин // Тр. ХХ Юбилейного Междунар. семинара по струйным, отрывным и нестационарным течениям. Санкт-Петербург, 1-4 июля 2004 г. Санкт-Петербург: ИПЦ СПб ГУТД, 2004. С. 251-252 (Матутин А.А. описал основные результаты расчетов параметров рефракции в соответствии с общей теорией постановки задач рефракции).
- Матутин А.А. О математических моделях и режимах рефракции ударных волн в газожидкостных пузырьковых средах / Г.П. Шиндяпин, А.А. Матутин // Тр. XXI Всероссийского семинара по струйным, отрывным и нестационарным течениям. Новосибирск, 15-18 августа 2007 г. Новосибирск: Параллель, 2007. С. 199-201 (Матутин А.А. исследовал области существования и границы различных режимов рефракции в пространстве параметров подобия).
- Матутин А.А. К теории нелинейной рефракции ударной волны / Г.П. Шиндяпин, А.А. Матутин // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 199-203 (Матутин А.А. рассчитал поведение параметров регулярной рефракции в соответствии с развитой асимптотической теорией).
- Матутин А.А О математических моделях и асимптотических законах подобия рефракции ударных волн в газожидкостных пузырьковых средах / Г.П. Шиндяпин, А.А. Матутин // Математические методы и модели в прикладных задачах науки. Сб. науч. тр. Ульяновск: Изд-во Ульяновского гос. технич. ун-та, 2006. Том. 8. С. 106-110 (Матутин А.А. провел расчеты параметров рефракции иллюстрирующих законы подобия процессов рефракции ударных волн).
- Матутин А.А. Аналитический и численный анализ нелинейной рефракции ударной волны / А.А. Матутин // Труды математического центра Н.И. Лобачевского Т. 31 Казанское математическое общество «Лобачевские чтения – 2005». Материалы IV молодежной научной школы – конференции. Казань: Изд-во Казанского мат. общ. 2005. С. 99-100.
- Матутин А.А. Аналитический и численный анализ нелинейной рефракции ударной волны / А.А. Матутин // Труды математического центра Н.И. Лобачевского Т. 34 Казанское математическое общество «Лобачевские чтения – 2006». Материалы V молодежной научной школы – конференции. Казань: Изд-во Казанского мат. общ. 2006. С. 162-163.
- Матутин А.А. Аналитическое и численное исследование процессов рефракции ударных волн / А.А. Матутин // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 183-186.
- Матутин А.А. Нелинейная рефракция ударной волны с образование ударной волны, замыкающей зону разрежения / А.А. Матутин // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 198-202.
