Метод блочного элемента в проблеме исследования предоползневых структур
На правах рукописи
Горшкова Елена Михайловна
МЕТОД БЛОЧНОГО ЭЛЕМЕНТА
В ПРОБЛЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ПРЕДОПОЛЗНЕВЫХ СТРУКТУР
Специальность 01.02.04 – Механика деформируемого
твердого тела
Автореферат диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Краснодар
2011
Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном
образовательном учреждении высшего профессионального
образования «Кубанский государственный университет»
| Научный руководитель: | академик РАН, доктор физ.-мат. наук, профессор Бабешко Владимир Андреевич |
| Официальные оппоненты: | доктор физ.-мат. наук, доцент Суворова Татьяна Виссарионовна |
| кандидат физ.-мат. наук, доцент Стоян Владимир Петрович | |
| Ведущая организация: | Южный научный центр РАН |
Защита состоится 26 декабря 2011 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 при ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет» по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», с авторефератом – на сайте http://www.kubsu.ru.
Автореферат разослан «____» ноября 2011 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
кандидат физ.-мат. наук, доцент М.С. Капустин
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования
Оползневые явления относятся к числу грозных природных событий, наносящих совершенно неожиданно серьезные материальные ущербы, зачастую сопровождающиеся человеческими жертвами. Эти события нередко происходят и на Черноморском побережье Краснодарского края (рис. 1), пока без тяжелых последствий. Моделирование этих событий остается сложной и до конца нерешенной на сегодняшний день проблемой. Это связано с большим разнообразием оползневых явлений, скоротечностью процессов в период активизации созревшего предоползневого состояния и отсутствием точных данных о глубинных процессах в оползнеопасной зоне.
В настоящей работе показана принципиальная возможность использования методов механики напряженно-деформированного состояния деформируемых сред, факторизационных методов и метода блочного элемента для моделирования некоторых типов оползневых явлений, достаточно полное исследование которых не удавалось осуществить ранее.
Если для оползней, среда которых расположена на наклонной подстилающей поверхности, вопрос их обрушения решается сравнительно просто путем изучения изменения коэффициента трения между подстилающей поверхностью и средой оползня, то в случаях расположения среды оползней на горизонтальной подстилающей поверхности этого сделать не удается.
Именно этот тип оползней является объектом исследования в данной работе и определяет ее актуальность.
Для исследования этого типа оползней, изучения способов их штатной ликвидации в настоящей работе применяются современные методы механики деформируемого твердого тела.
Важный вклад в решение различных проблем прочности и разрушения деформируемых сред внесли В.М. Александров, Б.Д. Аннин, Н.Х. Арутюнян, А.В. Белоконь, А.К. Беляев, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.М. Глинский, Е.В. Глушков, Н.В. Глуш-кова, А.Г. Горшков, Р.В. Гольдштейн, И.Г. Горячева, А.Н. Гузь, И.М. Дунаев, В.И. Ерофеев, Л.А. Игумнов, Д.А. Индейцев, В.В. Калинчук, В.И. Колесников, А.М. Кривцов, А.М. Липанов, Е.В. Ломакин, С.А. Лурье, А.В. Манжиров, Н.Ф. Морозов, А.Д. Полянин, В.П. Матвеенко, В.И. Моссаковский, Р.Р. Мулюков, С.М. Мхитарян, В.В. Панасюк, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, В.С. Саркисян, М.В. Сильников, А.В. Смирнова, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский, Ю.А. Устинов, Л.А. Фильштинский, М.И. Чебаков, И.Н. Шардаков, Ю.Г. Яновский и др.
Для данного исследования особое значение имеют фундаментальные результаты, полученные И.И. Воровичем, который установил существование дискретного спектра частот для полосы с рельефной поверхностью (Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245, № 5. С. 1076–1079; Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245, № 4. С. 817–820.
Эти работы в значительной степени определили направление исследований в диссертации.
Рис. 1. Пример оползня на трассе Сочи – Джубга
Рис. 2. Классификация видов оползней:
а – скатывающиеся: б – смещающиеся; в – блоковые;
г – камнепадные, д – опрокидывающиеся; е – наносные;
ж – лавинные; з – грунтопотоковые; и – ползучие;
к – горизонтально распространяющиеся.
Целью исследования является:
- проведение анализа напряженно-деформированного состояния моделей предоползневых блочных структур, расположенных на горизонтальных основаниях;
- построение теории их поведения;
- построение методов расчета параметров блочных структур расположенных на горизонтальных основаниях;
- разработка приближенных методов расчета параметров блочных структур, доступных для использования в инженерной практике;
- выявление оптимальных параметров разрушения блочных структур с целью управления оползневым процессом в запланированном режиме с минимизацией возможного ущерба.
Научная новизна полученных результатов состоит в том, что в диссертационной работе математический аппарат, включающий метод блочного элемента, а также факторизационные методы и методы теории многообразий, впервые применен для анализа проблемы оползневых явлений.
Автором впервые сформулирована теория поведения предоползневых блочных структур, расположенных на горизонтальном основании.
Построены приближенные решения задач для блочной структуры, доступные для применения в инженерной практике.
С помощью вибросейсмических методов определены оптимальные частоты воздействия для разрушения оползнеопасных грунтов, расположенных на горизонтальном подстилающем основании.
Научное и практическое значение результатов работы
Научное значение полученных результатов состоит в том, что разработанные методы могут найти применение в смежных областях науки: при решении проблем оценки прочности подземных сооружений, проблем рыхления или уплотнения грунтов, в теории прочности изделий, использующих сложные композиционные материалы.
Практическое значение работы заключается в возможности применения разработанных методов для оценки предоползневого состояния многочисленных оползнеопасных зон Черноморского побережья Краснодарского края и упреждения чрезвычайных ситуаций.
Диссертационные исследования проводились в ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», их результаты нашли применение при выполнении исследований по программам Юг России (проекты 11-08-96504, 11-08-96522, 11-08-96505) и грантов Президента РФ по поддержке научных школ (проекты НШ-2107.2003.1,НШ-2298.2008.1,НШ-3765.2010.1), а также ряду проектов, поддержанных РФФИ (06-01-00295-а, 06-01-96634-а, 06-01-96635-а, 06-01-96641-а, 08-08-00468-а, 08-08-99012-р-офи, 09-08-00170-а).
Достоверность результатов
Достоверность теоретических результатов обеспечивается применением строгих математических методов, а также проверкой результатов на тех частных задачах, которые решаются иными методами. Такие факторизационные методы, как дифференциальный и интегральный методы факторизации, апробированы, опубликованы в ведущих журналах, переведенных за рубежом, докладывались на конференциях и семинарах, включены в научные отчеты.
На защиту выносятся:
- Модели поведения оползневых сред, расположенных на горизонтальных подстилающих основаниях.
- Алгоритм метода блочных элементов для выявления дискретных частот спектра блочных структур при вибровоздействиях.
- Результаты исследования резонансных свойств сред с включениями.
- Результаты исследования параметров разрушения интерфейсных слоев в оползневой среде при вибрации.
- Найденные оптимальные частоты разрушения оползневой среды.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (Ростов-на-Дону, 2003 г.), на Международной конференции «Экологические проблемы и безопасность» в Германии (Висбаден, 2004 г.) Wiesbaden. September 29-October 1), на Международной конференции «Актуальные проблемы механики твердых и жидких тел» (Санкт-Петербург, 2011 г.) (XXXIX Advanced Problems in Mechanics Conference. Saint-Petersburg 1-5.07.2011), на всероссийских конференциях грантодержателей РФФИ в 2006, 2007, 2008, 2009, 2010 гг. (Краснодар), на семинарах отдела проблем математики и механики ЮНЦ РАН, Научно-исследовательского центра прогнозирования и предупреждения геоэкологических катастроф ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», на заседаниях кафедры математического моделирования ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет».
Публикации
Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в 17 публикациях, из них 7 работ – в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
Структура, содержание и объем работы
Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка использованной литературы, приложения. Объем диссертации с приложением – 113 страницы.
Список литературы содержит 115 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дается обзор основных проблем, связанных с оползневыми явлениями. Излагаются существующие подходы, применявшиеся в этой области исследования, и имеющиеся результаты, обосновывается необходимость развития и применения нового математического метода блочного элемента для анализа рассматриваемой проблемы.
В первой главе излагаются этапы исследования оползневой ситуации, наименее изученной к настоящему времени.
На рис. 2 представлены 10 типов общепринятых оползневых явлений. Несмотря на различие, их можно разделить на две группы по типу подстилающего фундамента. К первой группе относятся те из них, у которых подстилающий фундамент имеет выраженный угол наклона и для которых оползневое явление носит сползающий или скатывающийся характер. К ним относятся предоползневые ситуации, имеющие обозначения а, б, г, е, ж, з, и. Ко второй группе относятся оставшиеся типы, обозначенные в, д, к. Для них характерно горизонтальное или почти горизонтальное расположение подстилающего фундамента.
Предоползневые состояния для первой группы довольно легко прогнозируются путем наблюдения и расчета коэффициента трения между оползневой средой и подстилающим фундаментом, который может изменяться в связи с наличием подповерхностных грунтовых вод в этой зоне.
Зная коэффициент трения в указанной зоне, начало движения оползневой среды, находящейся под действием притяжения Земли, легко рассчитать с помощью достаточно простых формул сползания или скатывания механического объекта по наклонной плоскости.
Предоползневые ситуации второй группы не могут объясняться в рамках описанного подхода, хотя влияние грунтовых вод также следует учитывать. Разрушение предоползневой среды этой группы происходит по причине влияния внешних воздействий. В ряде случаев такие разрушения возможны даже в отсутствие воздействия влаги.
В результате анализа возможного развития событий, связанных с разрушением предоползневой среды, принимается модель, имеющая под собой реальную физическую основу. Предполагается, что разрушение происходит по следующему сценарию, описываемому последовательностью событий для линейно упругой среды (рис. 3).
Прежде всего, следует отметить, что существует большое количество моделей грунтов и все, разумеется, охватить невозможно. Далее считаем, что грунт оползневой среды представляет собой сухой материал, ведущий себя как линейно деформируемая среда, свойства которой подвержены изменению. Предполагается, что под воздействием значительных гармонических перемещений грунт разрыхляется и не восстанавливает первоначальные свойства, приобретает новые упругие параметры. Оползневые среды рассматриваются как блочные структуры, состоящие из блочных элементов, границы между которыми начинают появляться по мере внешних гармонических воздействий, вызывающих изменения свойств среды. В частности, границы являются узловыми поверхностями перемещений, вызванными колебаниями рельефной среды на резонансных частотах (см. рис. 3).
Рис. 3. Этапы трансформации среды и исследования оползней
с горизонтальной подстилающей поверхностью
Эти узловые поверхности, наименее подверженные разрушениям, могут рассматриваться на некотором этапе как включения в разрыхленной среде. Самыми слабыми оказываются области в межузловой зоне. Как правило, это узловые поверхности напряжений, где резонанс сильнее всего разрыхляет среду, в результате появляются уже ослабленные неоднородности – интерфейсные вертикальные слои. Они до определенной степени удерживают разрыхляющуюся среду в форме цельного блока. Эти границы рассматриваются как вертикальные плоскости, которые в свою очередь подвержены изменениям, старению. По мере старения плоскости становятся разнотипными, и блочной среде оказывается все сложнее удерживать блочные элементы в контакте. В итоге образуются трещины, распространяющиеся затем по всей плоскости контакта, и блок разрушается. Наиболее сложным является изучение контактирующих между собой блоков при наличии стареющей контактной границы. Этой проблеме в работе уделено основное внимание. Исследование проводится с помощью факторизационных методов.
Возможность реализации такой модели подготовки оползней основана на фундаментальных результатах И.И. Воровича, впервые доказавшего существование ограниченного числа изолированных точек дискретного спектра в слое с рельефной границей.
Основные моменты исследования – математическое описание выбранной модели, построение блочных элементов описанной блочной структуры, построение функциональных и псевдодифференциальных уравнений, построение интегральных уравнений контактных задач, их решение.
В процессе применения метода блочного элемента для изучения предоползневых блочных структур возникают псевдодифференциальные уравнения, которые в свою очередь порождают интегральные уравнения смешанных или контактных задач. В частности, предоползневые блочные структуры представляются как совокупность блоков, контактирующих посредством интерфейсного слоя, свойства которого изменяются. Он стареет, оказывается разнотипным, не способным удерживать блоки в контакте, в результате чего структура разрушается и происходит оползень.
Таким образом, имеют место следующие этапы исследования.
1. Внешние динамические воздействия, содержащие в своем спектре гармоники из диапазона резонансных для рельефных сред, вызывают в среде резонансы (см. рис. 3). В случае среды оползня в форме прямоугольного параллелепипеда возникают характерные узловые вертикальные плоскости и зоны в промежутках между узловыми плоскостями.
Узловые зоны не разрушают среду, практически не меняют плотность грунта. Промежуточные между узловыми плоскостями зоны, наоборот, испытывают значительные резонансные колебания, разрыхляют грунт, уменьшают его плотность. В итоге среда становится неоднородной, поэтому в этой фазе ее можно представлять как среду с включениями.
2. В качестве включений рассматриваются сохраненные узловые плоскости со своими параметрами (см. рис. 3) и их конечное число. Дополнение к включениям представляет трехмерную среду, более ослабленную, чем включения.
Таким образом, на этом этапе исследуются динамические задачи для упругой среды с включениями и определяются особенности напряженно-деформированного состояния такой структуры и возможность существования резонансов в ней.
3. Дальнейшее влияние резонансных воздействий приводит к такому разрыхлению срединной зоны между включениями, что она оказывается отличающейся от остальной среды. В этой зоне появляется новый ослабленный тонкий интерфейсный слой, удерживающий в контакте все остальные части оползневой среды (см. рис. 3). Резонансные частоты уже изменились по сравнению с первоначальными. Далее исследуется оползневая среда с интерфейсным слоем при наличии приходящих внешних волновых воздействий.
4. Последующий процесс приводит к изменению свойств интерфейсного слоя, его частичному разрушению, нарушению сплошности среды, образованию в некоторых зонах интерфейсного слоя трещин, приводящих к оползню (см. рис. 3). Их дальнейшее развитие приводит к оползню второй группы. На этом этапе исследуется поведение упругого пространства с интерфейсным слоем, содержащим разнотипные составляющие, расположенные по полубесконечным полуплоскостям.
Описанная физическая модель принята для построения математической модели и получения конкретных количественных результатов.
В первой главе, посвященной описанному выше этапу процесса развития оползневой структуры, формулируется постановка задачи и излагается дифференциальный метод факторизации. Здесь же демонстрируется его применение к отдельному выпуклому телу и к блочной структуре, состоящей из совокупности блоков. Изложение дается для произвольной граничной задачи для систем дифференциальных уравнений произвольного порядка с постоянными коэффициентами в выпуклой области 
:
На границе 
задаются следующие граничные условия:
Изложены все этапы применения метода, который затем применяется для совокупности блоков.
Дается приложение метода к исследованию систем дифференциальных уравнений Ляме. Строятся внешние формы, выводятся псевдодифференциальные и интегральные уравнения для блочной структуры.
Затем метод применяется к блочной структуре, моделирующей оползневую массу в форме прямоугольного параллелепипеда, расположенного на деформируемом горизонтальном слое.
Псевдодифференциальные уравнения для такой блочной структуры, с некоторыми упрощениями, имеет вид
для блока:
для слоя:
В такой блочной структуре при вибрации существуют дискретные резонансные частоты, предсказанные в работах И.И. Воровича.
В случае антиплоской задачи найдены асимптотические значения резонансных частот, которые даются соотношением
Здесь 
– ширина, высота блока и толщина слоя соответственно. Таким образом, установлено существование узловых плоскостей в блоке.
Во второй главе рассматриваются блочные элементы полубесконечных размеров в виде слоев, разделенных включениями. Это стадия разрушения блока в промежутках между узловыми линиями при резонансе. Приведено математическое исследование проблемы. Поскольку слои являются простейшими блоками, для которых псевдодифференциальные уравнения вырождаются в алгебраические, исследование проводится более простым методом, без привлечения внешних форм.
Для произвольного числа включений построены многопараметрические матричные уравнения вида
.
Их анализ позволил получить один из главных результатов исследования – определение диапазонов резонансных частот в среде с включениями.
Нули определителя матрицы системы, соответствующие данным частотам, продемонстрированы на рис. 4.
В третьей главе проводится исследование третьего этапа поведения блочной структуры при вибрации. Предполагается наличие интерфейсного слоя – самой ослабленной зоны в оползневой среде, участок которого начинает изменяться, стареть, в частности, у него уменьшается плотность (рис. 5). В такой ситуации возможно образование трещин.
Рис. 4. Нули определителя матрицы системы
Рис. 5. Интерфейсный слой с различными свойствами
Для описания свойств интерфейсного слоя использованы матричные соотношения, связывающие перемещения и напряжения на его границах. Условия описываются матрицами перехода 
и 
, которые различны для 
и 
:
(штpих соответствует нижней полуплоскости).
Здесь
,
- коэффициенты Ляме материала интерфейсного слоя;
– проекция волнового числа на линию шва;
– волновое число поперечной волны в шве;
– скорости поперечной и продольной волн в слое.
Матрица перехода 
имеет такой же вид, только с другими числовыми параметрами, помечаемыми верхним штрихом. Граничная задача сведена к системе четырех функциональных уравнений Винера – Хопфа вида
,
.
После решения системы функциональных уравнений Винера – Хопфа, выполнения факторизации матриц-функций получено решение, описывающее поведение перемещений интерфейсного слоя при 
в виде
для 
для 
где матрица-функция 
имеет значение
,
Здесь 
– вектор второго порядка. Участвующие в представлении параметры имеют определенные значения.
Рис. 6. Поведение поперечной волны в интерфейсном слое
Их исследование для различных значений параметров позволило выполнить численный анализ полученных результатов. В итоге выявлено поведение поперечной волны в интерфейсном слое, представленное на рис. 6, где по оси абсцисс отложена приведенная частота 
. Из рис. 6 видно, что существуют частоты, на которых амплитуда максимальна. Это оптимальные частоты для разрушения оползневой среды.
Сплошными линиями обозначены значения, полученные в результате точной факторизации матрицы-функции, а пунктирной – в результате приближенной.
Эти данные могут служить ориентиром для подбора частот вибросейсмоисточников при разрушении оползнеопасных образований рассмотренного в диссертации типа.
В заключении формулируются результаты диссертационного исследования, возможность их применения и перспективы дальнейших изысканий в данной области.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
- Разработана теория оползневых явлений для ранее неисследованных случаев, когда оползнеопасные грунты расположены на горизонтальном подстилающем основании.
- Развит метод применения блочных элементов для исследования оползнеопасных грунтов, расположенных на горизонтальных подстилающих основаниях. При этом использован математический аппарат факторизационных методов.
- Исследованы резонансные свойства сред с включениями. Основные положения теории нашли подтверждение в результатах численных расчетов.
- Разработаны приближенные методы расчета параметров блочных структур, расположенных на горизонтальных основаниях, доступные для реализации в инженерной практике. Приведены примеры сопоставления точных и приближенных расчетов ряда параметров.
- Разработаны подходы к исследованию возможности разрушения оползневых грунтов, расположенных на горизонтальном подстилающем основании. Найдены оптимальные частоты их разрушения для конкретных примеров.
Публикации по теме диссертации в журналах,
рекомендуемых ВАК РФ
- Бабешко В.А., Рохлин С.И., Бужан В.В., Горшкова Е.М. К проблеме распространения интерфейсных волн в средах со сварными соединениями // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2000. № 4. С. 23–26.
- Бабешко В. А., Бужан В. В., Горшкова Е. М., Рохлин С.И. К проблеме прочности сварного шва // ДАН. 1997. Т. 353, № 3. С. 327–329.
- Бабешко В. А., Бужан В. В., Горшкова Е.В., Рохлин С.И. К проблеме распространения интерфейсных волн в средах со сварными соединениями // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2000. №4. C. 24–26.
- Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Горшкова Е.М., Федоренко А.Г., Рядчиков И.В., Лозовой В.В. О блочных элементах в моделировании сложных структур и объектов // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2010. № 1. С. 13–25.
- Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Горшкова Е.М., Кашков Е.В., Плужник А.В., Федоренко А.Г., Шишкин А.С. К проблеме оценки напряженно-деформированного состояния территорий с разломами // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2010. № 3. С. 5–11.
- Бужан В.В., Вильямс Р., Горшкова Е.М. Неоднородный интерфейсный слой между различными упругими полупространствами // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2003. № 1. С. 20–22.
- Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Горшкова Е.М., Иванов П.Б. Блочные элементы в проблеме моделирования оползневых явлений // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2011. № 3. С. 7–15.
Публикации по теме диссертации в иных изданиях
- Бабешко В.А., Бужан В.В., Горшкова Е.М., Аккур А.А. Методы факторизации функций и матpиц-функций. Деп. в ВИНИТИ 13.10.94. № 2366–В94.
- Бабешко В.А., Аккур А.А., Горшкова Е.М. Вывод интегральных уравнений плоской динамической задачи для сварного шва в случае разных материалов Деп. в ВИНИТИ 13.10.94. № 2367–В94.
- Бабешко В.А., Бужан В.В., Горшкова Е.М., Дунаев В.И. Исследование возможностей новых физических явлений для целей рыхления и уплотнения грунтов // Наука Кубани. 2000. № 5 (12), ч. 2. С. 5.
- Бабешко В.А., Бужан В.В., Горшкова E.M., Дунаев В.И. Исследование возможностей новых физических явлений для целей рыхления и уплотнения грунтов // Наука Кубани. 2000. № 5 (12), ч. 2. С. 9.
- Бабешко О.М., Гладской И.Б., Горшкова Е.М., Плужник А.В., Мухин А.С., Лозовой В.В., Федоренко А.Г. Исследование динамических и сейсмических процессов в блочных структурах, моделирующих горные массивы // Наука Кубани. 2009. № 2. С. 8–14.
- Бабешко В.А., Лозовой В.В., Горшкова Е.М., Мухин А.С., Гладской И.Б., Федоренко А.Г. Дифференциальный метод факторизации в смешанных задачах для неклассических линейно-деформируемых тел // Наука Кубани. 2009. № 3. С. 4–9.
- Бужан В.В., Горшкова Е.М. Клеевое соединение двух разнородных полуплоскостей // III Всероссийская конференция по теории упругости с международным участием. Ростов н/Д; Азов, 2003. С. 96–97.
- Babeshko V.A., R. Williams, Gorshkova E.M. Study of the possibility of calculating seismic intensity of lithosphere plates.// Environmental Problems and Ecological Safety. Proceeding of a Workshop held at the University of Applied Siences. Wiesbaden, 2004. P. 7–9.
- Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M., Gorshkova E.M., Fedorenko A.G. To the Problem of estimate of Stress-Deformed state of Areas with Breaks // Topical problems in solid and fluid mechanics. Elite Publishing House Pvt Ltd New Delhi (India), 2011. Р. 229–239.
- Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M., Gorshkova E.M., Fedorenko A.G. To the Problem of estimate of Stress-Deformed state of Areas with Breaks // XXXIX Advanced Problems in Mechanics Conference. Saint-Petersburg, 2011. P. 32.
Научное издание
Горшкова Елена Михайловна
МЕТОД БЛОЧНОГО ЭЛЕМЕНТА В ПРОБЛЕМЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДОПОЛЗНЕВЫХ СТРУКТУР
Автореферат
________________________________________________________________
Подписано в печать 21.11.2011. Формат 60 84 1/16. Печать цифровая.
Уч.-изд. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ №
Издательско-полиграфический центр
Кубанского государственного университета
350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149.
