Адаптивные многоуровневые математические модели в численной оптимизации пластинчато-стержневых конструкций
На правах рукописи
ДМИТРИЕВА ТАТЬЯНА ЛЬВОВНА
АДАПТИВНЫЕ МНОГОУРОВНЕВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЧИСЛЕННОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ПЛАСТИНЧАТО-СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
доктора технических наук
Москва 2011
| Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный технический университет» | |||
| Научный консультант: | доктор технических наук, профессор Соболев Владимир Иванович | ||
| Официальные оппоненты: | доктор технических наук, профессор Белостоцкий Александр Михайлович доктор технических наук, профессор Гайджуров Петр Павлович доктор технических наук, профессор Краковский Юрий Мечеславович | ||
| Ведущее предприятие: | Специальное конструкторско-технологическое бюро «Наука» Красноярского научного центра СО РАН | ||
| Защита состоится « » марта 2012 года в ___ часов на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д.26, ауд. 420 УЛК. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет». Автореферат разослан «__» ________2012 г. Ученый секретарь диссертационного совета Анохин Н.Н. | |||
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Численные методы инженерного анализа находят все более широкое применение в конструировании технических объектов различного назначения. При этом конструктивные решения, обоснованные формализованными процедурами оптимизации, способны обеспечить наилучшие функциональные свойства проектируемых объектов в соответствии с заданными критериями. Однако следует отметить, что в российском проектировании инженерных систем специализированное программное обеспечение, реализующее процедуры оптимизации, не находит такого массового применения, как программные комплексы инженерного анализа. В большей мере это связано с рядом факторов, затрудняющих разработку и практическое использование оптимизационных алгоритмов и программ, а именно:
- критерии функционирования инженерных систем достаточно многочисленны, а в ряде случаев противоречивы;
- подобные системы включают, как правило, геометрически и физически разнородные конструктивные элементы с различного вида граничными условиями и нерегулярными границами расчетных областей;
- эффективность (а иногда и возможность) применения тех или иных методов решения многомерных задач оптимизации зависит от характеристик оптимизируемой модели, накладываемых условий, а также состояния самого вычислительного процесса;
- требования, предъявляемые к выбору оптимальных решений, в большинстве случаев представляют собой сложную систему ограничений, не всегда определённых за пределами допустимых областей;
- при решении задач оптимизации на отдельных стадиях может возникать необходимость в «управлении» вычислительным процессом, что требует разработки и реализации процедур адаптации и переключения алгоритмов поиска.
Особо следует отметить специфику задач оптимизации механических систем при нестационарных динамических воздействиях. Это могут быть нагрузки от работы различного рода технологического оборудования, ударные, взрывные, сейсмические и другие виды воздействий. Здесь часто возникает необходимость в снижении динамических реакций при соблюдении различных требований (по прочности, жесткости и др.). Подобные задачи также могут быть эффективно решены на основе оптимизации. Однако решение их связано с необходимостью проведения исследований сходимости и результативности тех или иных численных либо аналитических подходов.
Популярные в отечественном проектировании зарубежные программные комплексы, такие как ANSYS, NASTRAN и другие, включающие наиболее развитые процедуры оптимизации, требуют от пользователя выбора определенного метода, используемого на протяжении всего вычислительного процесса, что не всегда обеспечивает результативность решения. Для возможной верификации, а в некоторых случаях и для достижения результатов, целесообразней выполнять расчеты с использованием различных поисковых методов оптимизации, гибко настраивая при этом вычислительных процесс. Кроме того, применение зарубежных ПК затруднено тем, что в них, как правило, не реализован учет требований российского технического законодательства.
Таким образом, разработка адаптивных методов оптимизации, а также их алгоритмическая и программная реализация на основе математических моделей, адекватно аппроксимирующих свойства оптимизируемых конструкций, является насущно востребованной задачей.
Цель диссертационной работы заключается в программной реализации и исследовании эффективности многоуровневых математических моделей и адаптивных численных методов оптимизации пластинчато-стержневых конструкций, подверженных статическим и динамическим воздействиям.
Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:
- Разработать общую концепцию и адаптивные многоуровневые математические модели процессов поиска оптимальных расчетно-обоснованных решений в проектировании пластинчато-стержневых систем, подверженных статическим и динамическим воздействиям.
- Разработать многометодные алгоритмы условной и безусловной оптимизации на основе модифицированных функций Лагранжа, позволяющие работать с функциями цели и ограничений, заданными на непрерывных и дискретных множествах варьируемых параметров.
- Разработать самонастраивающиеся эвристические процедуры выбора и переключения поисковых методов оптимизации различных классов, обеспечивающие результативность и сходимость алгоритмов.
- Формализовать и встроить в алгоритмы оптимизации ограничения, обусловленные нормативными требованиями по прочности и устойчивости для элементов стальных конструкций с выполнением анализа их свойств.
- Построить методику формализации явной задачи НМП при оптимизации механических систем с непропорциональным демпфированием в условиях нестационарных динамических воздействий на основе применения методов анализа чувствительности.
- Разработать и апробировать программный комплекс оптимизации пластинчато-стержневых конструкций при статических и нестационарных динамических воздействиях, позволяющий решать рекурсивные задачи произвольной степени вложенности с автоматической настройкой метода поиска.
- Исследовать эффективность алгоритмов и программ оптимизации путем сравнительного анализа результатов тестовых задач, с решениями, полученными в других ПК.
Объект и предмет исследований. Объёктом исследований являются пластинчато-стержневых конструкции, работающие в условиях статических и нестационарных динамических воздействий. Предмет исследования методики, алгоритмы и программы оптимизации этих конструкций; настройка параметров, влияющих на сходимость, а также разработка эвристических механизмов переключения поисковых методов оптимизации на отдельных стадиях вычислительного процесса.
Методы проведения исследований. Использованы численные методы инженерного анализа (метод конечных элементов) и синтеза пластинчато-стержневых конструкций, которые реализованы применительно к задаче, поставленной в форме нелинейного математического программирования. Задача на условный экстремум решается методами модифицированных функций Лагранжа 1-го и 2-го порядка. При решении задачи на безусловный экстремум реализованы численные методы безусловной минимизации различных классов (прямые и градиентные методы 1-го и 2-го порядка), а также численные методы одномерного поиска. В задаче динамического анализа были использованы методы модального разложения, а также методы прямого интегрирования (метод Ньюмарка и -метод Вилсона). Задача динамического анализа чувствительности решена методами прямого дифференцирования, через сопряженные переменные, а также путем покомпонентного синтеза чувствительностей, по требуемому числу форм колебаний.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
- общая концепция и адаптивные многоуровневые математические модели процессов оптимизации пластинчато-стержневых конструкций, подверженных статическим и динамическим воздействиям.
- многометодный алгоритм решения задачи НМП с использованием модифицированных функций Лагранжа первого и второго порядка, позволяющих работать с функциями ограничений, заданными на множестве непрерывных и дискретных варьируемых параметров.
- эвристический алгоритм настройки на наиболее эффективные методы условной и безусловной минимизации на каждой стадии вычислительного процесса;
- методика формирования явной задачи НМП при оптимизации механических систем в условиях нестационарных динамических воздействий, где реализовано несколько подходов к решению задачи анализа чувствительности: в пространстве прямых и сопряженных переменных, а также с помощью комбинированной схемы, позволяющей сократить число перерасчетов уравнения состояния системы; приведен вариант покомпонентного синтеза чувствительностей по требуемому числу форм колебаний;
- программный комплекс оптимизации, состоящий из автономных блоков, таких, как блок КЭ анализа, блок решения задачи НМП (в том числе с учетом рекурсии) и блок поверочных расчетов конструктивных элементов стальных конструкций с учетом всех требований действующих российских норм;
- результаты апробации программного комплекса оптимизации, которые подтверждают практические рекомендации по назначению параметров, влияющих на сходимость алгоритмов, дают сопоставление с решениями, полученными в других ПК, а также содержат решение практических задач оптимизации деформируемых систем.
Научная новизна работы заключается в следующем:
- построены многоуровневые алгоритмы решения задачи НМП с использованием методов модифицированных функций Лагранжа (МФЛ), где развиты двойственные и комбинированные подходы; выполнена настройка на подбор параметров МФЛ, обеспечивающих широкую область сходимости;
- разработаны эвристические процедуры переключения методов условной и безусловной минимизации на основе анализа состояния вычислительного процесса, что обеспечивает устойчивую работу алгоритмов и получение результатов требуемой точности;
- в программной реализации оптимизационного алгоритма обмен данными выполняется через специальный модуль. Таким образом данные отделены от программного кода, что дает возможность решать рекурсивные задачи оптимизации заданной степени вложенности;
- разработана методика формирования явных задач оптимального проектирования деформируемых механических систем при нестационарных динамических воздействиях, где принята линейная динамическая модель с матрицей демпфирования общего вида, не обладающая свойствами пропорциональности матрице масс и жесткости. Для этой модели:
- получены явные соотношения чувствительностей первого порядка через прямые и сопряженные переменные для случаев, когда динамические параметры состояния являются функциями перемещений, скорости и ускорений;
- разработан комбинированный метод анализа чувствительности второго порядка, дающий меньшее число перерасчетов по сравнению с известным методом прямого дифференцирования;
- предложен вариант покомпонентного синтеза чувствительностей по требуемому числу форм колебаний, где выполнен переход от комплексных величин к действительным, что позволило сократить размерность задачи.
Практическая ценность работы:
- Разработаны эффективные, высоко робастные методы и алгоритмы оптимизации, на основе которых создан комплекс программ, позволяющий решать практические задачи оптимизации пластинчато-стержневых систем при статических воздействиях.
- Реализован комплексный подход к решению задачи оптимального проектирования стальных конструкций с включением нормативных требований по прочности и устойчивости, а также библиотек стандартных сечений.
- Разработано алгоритмическое и программное обеспечение решения задач оптимизации механических систем при динамических воздействиях, которое может быть применено в проектировании объектов, защищаемых от сейсмических, ударных и других нестационарных воздействий.
- Материалы представленных исследований могут быть использованы научными работниками, аспирантами и студентами, занимающимися вопросами оптимального проектирования инженерных объектов.
Внедрение результатов. Комплекс программ и результаты оптимального проектирования лопаток турбин авиационных двигателей внедрены на НПО им. В.Я.Климова. Комплекс программ для расчета и оптимального проектирования конструкций оборудования нефтехимических производств внедрен в ОАО ИркутскНИИхиммаш. Там же внедрен блок решения СЛАУ с хранением матрицы системы на внешнем носителе, а также блок перенумерации узлов КЭ сетки. Пакет прикладных программ решения задач нелинейного математического программирования внедрен в Отделе автоматизации и технической физики ИНЦ СО АН СССР. Алгоритмы оптимизации и расчёта стальных конструкций с использованием нормативных требований, а также комплексы программ на основе этих алгоритмов, переданы проектной организации ОАО «Иркутский Промстройпроект», имеются акты внедрения, подтверждающие использование программных комплексов «РОСК» и «КРаСК» в проектировании стальных каркасов промышленных зданий.
Получены свидетельства о государственной регистрации в федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам (РОСПАТЕНТ) 3-х программ для ЭВМ:
- «Программный комплекс для решения задач нелинейного математического программирования (НМПак)», авторы Дмитриева Т.Л., Безделев В.В.
- «Расчет и оптимизация стальных конструкций (РОСК)», автор Дмитриева Т.Л.
- «Конструктивный расчет стальных конструкций (КРаСК)», автор Дмитриева Т.Л.
Достоверность полученных результатов подтверждается строгой математической постановкой исследуемых задач, корректностью методов анализа и синтеза, используемых при оптимизации систем, а также сравнением полученных результатов с известными решениями тестовых задач.
Апробация работы. Основные положения диссертации и её отдельные результаты были обсуждены на научных конференциях Иркутского государственного технического университета (19932011 гг.), а также на 13-ти конференциях, из которых 7 международные:
- Международная научно-техническая конференция «Вычислительная механика деформируемого твёрдого тела», МИИТ (Москва, 2006).
- 1-я и 2-я Всероссийская конференция «Проблемы оптимального проектирования сооружений», НГАСУ, СО РААСН (Новосибирск, 2008, 2011).
- III Всероссийская конференция с междунар. участием «Математика, её приложения и математическое образование», Вост-Сиб ГТУ, БГУ, ИГУ, СО РАН, ИрГУПС (Улан-Удэ, 2008).
- XIV международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения», СО РАН (Иркутск-Северобайкальск, 2008).
- VIII Всероссийская конференция «Нелинейные колебания механических систем», ННГУ им. Н.И. Лобачевского, НИИ прикладной математики и кибернетики ННГУ (Нижний Новгород, 2008).
- II и III Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений», РААСН, Международная ассоциация строительных высших учебных заведений, МГСУ (Пермь, 2008; Новочеркасск, 2010)
- 5-я Российская научно-техническая конференция «Математическое моделирование и компьютерный инженерный анализ», Уральский государственный технический университет (Екатеринбург, 2008).
- 4-я международная конференция «Проблемы механики современных машин», ВСГТУ (Улан-Удэ, 2009).
- XIV Байкальская Всероссийская конференция «Информационные и математические технологии в науке и управлении», ИСЭМ СО РАН (Иркутск, 2009).
- Международная научно-техническая конференция «Динамика и прочность машин, зданий и сооружений», ПолНТУ (Полтава, 2009).
- 11-я Международная научно-практическая конференция «Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (С-Петербург, 2011).
Публикации. По результатам исследований имеется 37 публикаций. Из них 12 в журналах из перечня периодических изданий, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов диссертаций.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, основных выводов, списка литературы и приложений, содержит 358 листов, включая оглавление и список литературы, 112 рисунков, 67 таблиц, 12 листов приложений, 301 наименование используемых источников.
Личный вклад автора. В статьях, написанных в соавторстве, диссертанту принадлежит определяющая часть материала, касающаяся постановки задачи, теоретических и практических исследований. Программный комплекс решения задач нелинейного математического программирования «НМПак» выполнен в соавторстве с Безделевым В.В. При верификации программного комплекса «РОСК» были использованы материалы, предоставленные ЗАО НИЦ СтаДиО.
Автор выражает благодарность заместителю генерального директора, начальнику технического центра ОАО «Иркутский Промстройпроект» Безделеву В.В. за сотрудничество в области постановки задач оптимального проектирования стальных каркасов зданий, обсуждение методов их решения, а также за консультации по разработке алгоритмов и программ оптимизации строительных конструкций в составе систем автоматизированного проектирования.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дана общая характеристика работы, где отмечено, что представленное в диссертации алгоритмическое и программное обеспечение ориентировано, прежде всего, на оптимизацию стальных конструкций различного назначения. Для этого в программный комплекс оптимизации встроены соответствующие нормативные требования, библиотеки стандартных типов сечений и т.д. Однако основные принципы и методы, заложенные в алгоритмы, успешно применимы для оптимального проектирования деформируемых механических систем произвольного вида, которые кроме конструктивных элементов строительных сооружений включают различные механические устройства пружины, демпферы и др. Такие системы были исследованы в задачах оптимизации при нестационарных динамических воздействиях. Алгоритмы оптимизации подобных механических систем могут быть использованы, например, при проектировании многоэтажных сооружений в сейсмических районах, когда требуется установка специальных сейсмоизолирующих устройств, позволяющих снизить интенсивность сейсмического воздействия.
Дается определение концепции многоуровневой оптимизации, которая заключается в построении математических моделей, позволяющих использовать в вычислительном процессе алгоритмы, реализующие на определенных его стадиях методы различных классов. Так, например, на первом уровне формируется приближенная задача, где реализованы методы анализа чувствительности 1-го и 2-го порядка. Следующий уровень включает методы решения условно-экстремальных задач, на третьем использован широкий спектр методов безусловной минимизации и т.д. Эффективность такой модели (помимо комплексного подхода к задаче) заключается еще и в том, что позволяет решать рекурсивные задачи произвольной степени вложенности. Кроме того, каждый уровень независим и может функционировать автономно.
Обоснована актуальность направления исследований, их практическая ценность. Сформулирована цель работы и задачи, которые решены для её достижения. Приведены положения, которые автор выносит на защиту.
В первой главе представлен аналитический обзор подходов, используемых при решении проблемы оптимизации конструкций различного вида. Приведен перечень авторов, которые внесли значительный вклад в становление и развитие теории численной оптимизации. К ним относятся отечественные и зарубежные ученые: Н.П. Абовский, И.О. Адамович, Н.В. Баничук, А.И. Богатырёв, В.А. Бунаков, А.И. Виноградов, М.И. Волынский, Г.А. Геммерлинг, Е.Н. Герасимов, В.Н. Гордеев, В.В. Васильев, В.П. Валуйских, Г.И. Гребенюк, Э.Р. Даниелов, В.А. Комаров, И.Б. Лазарев, Л.С. Ляхович, В.П. Малков, Д.А. Мацюлявичюс, Ю.В. Немировский, Я.И. Ольков, А.В. Перельмутер, В.М. Почтман, Н.В. Пустовой, И.М. Рабинович, Л.А. Растригин, Р.В. Риккардс, А.Р. Ржаницын, H.H. Складнев, В.В. Трофимович, А.Г. Угодчиков, И.С. Холопов, А.А. Чирас, Я. Арора, Л. Берки, Г. Вандерплаац, Э. Васютински, В. Венкайя, Г.М. Доббс, О. Зенкевич, В. Комков, З. Мруз, Н. Ольхофф, В. Прагер, Р. Разани, Г. Розвани, К. Флёри, Р. Фокс, Р. Хафтка, Э. Хог, Н. Хот, Л. Шмит, К. Чой и многие другие.
Отмечено, что алгоритмы численной оптимизации базируются как на методах оптимизации (или синтеза), так и на методах расчета (или анализа) конструкций. Таким образом, снижения вычислительных затрат в задачах оптимального проектирования можно добиться как приемами, заложенными в алгоритмы КЭ анализа, так и эффективной реализацией поисковых алгоритмов синтеза инженерных объектов. Обращено внимание на решение задач оптимизации сложных «крупногабаритных» сооружений, где может быть использован поэтапный подход с выделением «глобального» и «локального» уровней оптимизации. Достаточно эффективен в этом случае также прием, использующий построение приближенной задачи путем аппроксимации параметров состояния системы (перемещений, усилий, частот и форм колебаний и др.), когда задача КЭ анализа решается на внешних итерациях алгоритма оптимизации, а поиск оптимальных решений осуществляется для приближенной задачи. Рассмотрен авторский вклад отечественных и зарубежных исследователей в разработку теории оптимизации конструкций. Показано, что многие направления оптимального проектирования на основе методов нелинейного математического программирования получили своё развитие в 60-80 годы прошлого века. К настоящему времени накоплен немалый опыт решения прикладных задач оптимизации в различных инженерных областях, которые можно классифицировать по материалу конструкций, по вопросам оптимизации топологии и формы, разделить на оптимизацию конструкций определенного вида: ферм, рам, пластин, балок на упругом основании, контактные задачи, вопросы дискретной оптимизации и др. В отдельную группу относят задачи оптимизации механических систем при динамических воздействиях. За последние 10-15 лет интенсивное развитие получили математические подходы, основанные на имитации биологических или физических явлений, наиболее известные среди которых генетические и эволюционные алгоритмы. Они удобны тем, что не накладывают строгих математических требований к характеру целевой и ограничительных функций.
Отмечено, что большинство алгоритмов оптимизации требуют вычисления не только значений функций, описывающих поведение системы, но их производных. Такая задача может быть востребована при использовании градиентных поисковых методов либо при построении аппроксимаций. Но и помимо этого, исследование свойств оптимизируемых систем при малом варьировании параметров в окрестности заданной точки (так называемая задача анализа чувствительности) имеет важное прикладное значение, т.к. позволяет выявить те параметры, которые оказывают наибольшее влияние на поведение конструкции. Для задач статики методы анализа чувствительности разработаны достаточно полно. Исследования в области оптимизации систем при динамических воздействиях ограничиваются в основном чувствительностями 1-го порядка.
Приведен обзор методов решения условно-экстремальных задач, поставленных в форме НМП. Одним из часто используемых здесь является подход, сводящий задачу поиска экстремума при наличии ограничений к задаче на безусловный экстремум на основе методов штрафных функций, либо методов множителей Лагранжа. Показано, что одним из существенных недостатков методов множителей Лагранжа является их применимость к ограниченному классу задач, где функция Лагранжа выпукла по исходным переменным и допускает вычисление производных по двойственным переменным в явном виде. Для построения методов, применимых для отыскания локального экстремума в невыпуклых задачах, целесообразно воспользоваться модифицированными функциями Лагранжа (МФЛ). В результате этого множество седловых точек функции Лагранжа остается неизменным, но обеспечивается сходимость для более широкого класса задач и с большей скоростью. Фундаментальные исследования методов МФЛ приведены в работах А.С. Антипина, Д. Бертсекаса, Е.Г. Гольштейна, Ю.Г. Евтушенко, Б.Т. Поляка, Н.В. Третьякова и др. Однако в целом МФЛ в задачах оптимизации конструкций не имеют широкого использования. Нет четких рекомендаций по назначению параметров этих методов, с целью повышения их эффективности.
Рассмотрены подходы к оптимизации механических систем при динамических воздействиях. Такая задача может быть решена только на основе аппроксимаций. Приведены особенности реализации задач КЭ анализа, где динамическая модель строится с учётом демпфирования, изложены известные методики анализа чувствительности.
В отдельном разделе дается характеристика отечественных и зарубежных программных комплексов, реализующих алгоритмы оптимизации инженерных объектов.
Вторая глава посвящена построению алгоритма автоматизированного проектирования стальных конструкций минимального веса при статических воздействиях. Задача поставлена следующим образом:
| найти min f (x, P(x)), x Enx | (1) | |
при ограничениях  | (2) | |
 | (3) | |
Здесь функции ограничений gj, связаны с варьируемыми параметрами x через параметры состояния, которые могут быть функциями перемещений, внутренних силовых факторов, напряжений, частот собственных колебаний и т.д.:
| (4) |
Их определение требует решения системы уравнений МКЭ, которая была принята в линейной постановке:
(5)
В качестве минимизируемой функции f использован объём (вес) конструкции при варьировании её геометрическими и физическими параметрами на непрерывном либо дискретном интервале, определенном ограничениями (3). В случае дискретного изменения сечений согласно сортаментам задавалось варьирование позициями сортаментов, где были учтены выборочные значения параметров сечений, обеспечивающие монотонное возрастание площадей и моментов инерции. В задачах оптимизации пластин варьировались координаты узлов конечно-элементной сетки. Отдельно рассмотрен случай рекурсивных задач оптимизации, когда, например, варьируется положение груза (ищется его невыгодное положение) при одновременном варьировании параметров сечений.
В условие (2) были включены функции ограничений по прочности, жесткости, устойчивости. К параметрическим ограничениям (3) были отнесены ограничения по габаритам, свариваемости и др. Возможно также задание любых пользовательских вариантов ограничительных функций.
Вектор ограничений всей конструкции состоял из вкладов по отдельным элементам, которые были объединены в группы по типоразмерам и материалу. Такой подход позволил независимо задавать физические и геометрические свойства каждой группе. При этом ограничения для элемента (или группы элементов) формировались с учётом нескольких случаев загружения, а также нескольких характерных сечений в элементе. Задан массив выборки ограничений, c помощью которого любое ограничение может быть отключено.
Для решения поставленной задачи (13) было разработано 2 подхода. В первом случае на начальном этапе формировалась приближенная задача, где строились явные зависимости функций ограничений от варьируемых параметров (рис. 1).
При этом аппроксимировались либо сами функции ограничений, либо параметры состояния, входящие в них. Ниже приведены выражения аппроксимаций 1-го и 2-го порядка для k-го параметра состояния в окрестности пробной точки x*:
| (6) | |
 | (7) |
В выражениях (6), (7) коэффициенты аппроксимации вычислялись на основе методов анализа чувствительности. Эффективность такого подхода связана ещё и с тем, что даёт возможность реализовать двусторонние связи с известными конечно-элементными программными комплексами, что существенно расширяет область исследуемых объектов оптимизации.
Второй подход предполагает, что блок оптимизации обращается к вычислению ограничительных функций напрямую (рис. 2).
Этот подход может быть реализован при решении задач ограниченной размерности, когда мощности вычислительных средств позволяют находить значения усилий и перемещений прямым КЭ расчётом при каждом обращении к функциям ограничений. При этом отмечено, что прямое вычисление этих функций даёт лучшую сходимость алгоритма и позволяет использовать более тонкие поисковые методы оптимизации (например, градиентные методы 1-го и 2-го порядка). Чаще всего такой прием используется в задачах оптимизации стержневых систем.
Блок конструктивного расчёта ориентирован на расчет стальных конструкций. Здесь реализованы проверки по прочности и устойчивости, согласно нормативным требованиям СП 16.13330.2011 «Стальные конструкции», которые предусматривают 6 вариантов напряжённо-деформированного состояния (НДС) конструкции, перечисленных в таблице 1.
| Таблица 1. Виды напряженно-деформированного состояния | ||
| № | Вид НДС | Ссылка на параграф СП |
| Центральное растяжение-сжатие | 7.1–7.3 | |
| Изгиб в одной плоскости | 8.2, 8.4, 8.5 | |
| Изгиб в двух плоскостях | ||
| Изгиб в одной плоскости с учётом пластических деформаций | ||
| Изгиб в двух плоскостях с учётом пластических деформаций | ||
| Действие осевой силы с изгибом | 9.19.4 | |
Блок конструктивного расчета может функционировать также в режиме тестирования функций ограничений. Эта процедура выполняется путем построение графиков ограничительных функций g на широком диапазоне изменения варьируемых параметров. Результаты тестирования дают возможность, во-первых, выявить ошибки в формировании этих функций, во-вторых, оценить чувствительность функций к изменению того или иного параметра, и наконец, на графиках были отслежены случаи, когда функции ограничений имеют разрывы в значениях, либо в градиентах. Для встраивания этих функций в алгоритмы оптимизации в ряде случаев в их выражения были внесены корректировки, направленные на то, чтобы обеспечить их непрерывность (точки разрывов находились, как правило, за пределами допустимых областей). Проведенные исследования показали, что при решении задач оптимизации стальных конструкций наибольшую устойчивость могут обеспечить прямые методы безусловной минимизации (метод случайного поиска, метод деформируемого многогранника, метод покоординатного спуска и др.). Здесь не требуется выполнение таких условий как гладкость и дифференцируемость функций, входящих в выражения (1), (2). Однако эти методы требуют большого числа обращений к вычислению этих функций, а соответственно, большего числа перерасчетов задачи КЭ анализа (5). Градиентные методы могут дать лучшую сходимость при более высокой точности в невязках ограничений, однако не всегда устойчивы в работе. На основании перечисленных особенностей было сформулировано такое требование к разработке поисковых алгоритмов оптимизации, как многометодность, которая позволяла бы получать устойчивую сходимость в решении условно-экстремальных задач (13) с функциями произвольного вида на широком диапазоне непрерывных и дискретных параметров варьирования при наименьших вычислительных затратах. Отмечено, что эффективность такого подхода может быть усилена, если в программной реализации алгоритмов выбор того или иного поискового метода осуществляется не в диалоговом режиме, где вычислительным процессом управляет пользователь, а на основе эвристических процедур, выполняемых самой программой.
В третьей главе разработан многоуровневый алгоритм решения задачи нелинейного математического программирования с использованием методов модифицированных функций Лагранжа. Преимущество такого подхода состоит в том, что он позволяет рассматривать широкий класс условно-экстремальных задач как выпуклого, так и невыпуклого программирования.
В алгоритме используются две модифицированные функции Лагранжа:
 | (8) |
| (9) |
где 
– функция Лагранжа, {Y} – вектор двойственных переменных (или множителей Лагранжа) размерностью m. В выражении (8) [k] – диагональная матрица штрафных коэффициентов. Элементы матрицы [] определяются из условия: если 
иначе
[I] – единичная матрица, Zj – величина сдвига j-го ограничения в допустимую область. Параметры kf и регулируют сходимость вычислительного процесса.
Численный алгоритм решения задачи НМП основан на двух попеременных процедурах. На первом шаге при определенных {Xt}, {Yt} решается задача на безусловный экстремум при наличии параметрических ограничений:
 | (10) |
в результате чего вычисляется вектор {Xt+1}. Здесь реализованы методы безусловной минимизации различных классов. На первых итерациях при отсутствии хорошего начального приближения может быть использован метод случайного поиска с переходом на метод деформируемого многогранника, который обладает высокой надежностью и позволяет получать решения для функций произвольного вида, но при этом требует большого числа обращений к вычислению целевой и ограничительных функций. В методе наискорейшего спуска поиск ведется вдоль градиента минимизируемой функции Fp. Скорость этого метода на порядок выше, но он применим для гладких дифференцируемых функций. Метод покоординатного спуска предполагает спуск вдоль определенной координаты при фиксированных значениях других переменных. Этот метод был использован в задачах дискретного программирования. На последних итерациях для получения результатов высокой точности выполняется переключение на метод Ньютона. Однако метод имеет устойчивую работу только в тех случаях, когда функция Fp выпукла и дифференцируема. В градиентных методах для определения длины вектора, вдоль которого осуществлялся спуск к экстремуму, были использованы методы одномерного поиска. В этом случае сначала методом «удачнеудач» выявлялся интервал, где расположена «выпуклая тройка» точек, а далее методом золотого сечения, либо методом квадратичной интерполяции этот интервал исследовался на экстремум.
Вторая процедура заключается в определении двойственных переменных {Yt+1}, для чего было предусмотрено 3 способа.
Способ 1 предполагает, что вектор двойственных переменных определяется из сравнения условий стационарности функции Fp и функции Лагранжа FL. Этот способ дает линейную скорость сходимости по переменным y:
 , j = 1, 2, …, m. | (11) |
В способе 2 приращение двойственных переменных вычислялось путем максимизации Fp методом Ньютона в редуцированном пространстве потенциально-активных ограничений 
, что дает квадратичную сходимость по y.
В 3-м способе вектор 
определялся непосредственно через прямые переменные путем максимизации функции FM по переменным y:
 | (12) |
Этот способ не требует выполнения условий стационарности функции Fp по исходным переменным x.
В соответствие этим трем способам было поставлено 3 схемы решения задачи НМП:
В схеме 1 были реализованы прямые поисковые методы, либо градиентный метод 1-го порядка для решения задачи (10) в сочетании с 1-м способом пересчёта переменных Y. Этот приём был использован на 1-х итерациях алгоритма.
Схема 2 предполагает квадратичную сходимость по прямым и двойственным переменным:
 | (13) |
 | (14) |
 ,   (15) | |
Добавки [D] и {V} введены для учета параметрических ограничений. Совместное решение задач (13), (14) дает существенное сокращение вычислительных операций за счет того, что треугольное разложение матрицы вторых производных [A] здесь выполняется 1 раз. Практические расчёты показали высокую эффективность метода Ньютона как с точки зрения вычислительных затрат, так и в точности невязок ограничений, которая была на 4-7 порядков выше. Однако устойчивая работа этого метода имела место лишь в том случае, если установилось множество потенциально-активных ограничений, то есть на последних итерациях поискового процесса.
В схеме 3 был применен комбинированный подход с использованием одновременно 2-х функций. Прямые переменные определялись их условия (10), однако итерационный процесс при этом мог не достигать точности в её решении, а двойственные переменные вычислялись через функцию FM по выражению (12). Такой подход оказался эффективен при решении условно-экстремальных задач на основе линейных аппроксимаций. В этом случае (особенно на первых итерациях) допустимое оптимальное решение не всегда имело место, т.к. задача часто становится несовместной.
Отдельный случай представляют задачи дискретной оптимизации. Здесь поиск безусловного экстремума был осуществлен методом покоординатного спуска в сочетании с 1-м либо 3-м способом пересчета двойственных переменных.
Комплексная реализация предложенных схем делает алгоритм решения задачи НМП надежным и устойчивым, т. к. если не срабатывают градиентные методы, то автоматически производится переключение к прямым поисковым методам. Другая особенность этого алгоритма заключается в его многоуровневой структуре, где на каждом уровне используется своя группа методов (многоуровневая модель алгоритма приведена в главе 4). Решение тестовых задач показало эффективность многометодного, многоуровневого подхода. Была отмечена широкая области сходимости алгоритма, его устойчивость, а также возможность получения результатов требуемой точности.
В четвёртой главе даётся описание программного комплекса расчета и оптимизации стальных конструкций РОСК, разработанного с использованием алгоритмов, которые изложены в главах 2, 3. Комплекс может функционировать в двух режимах: на основе построения приближенной задачи и при прямом обращении к вычислению целевой и ограничительных функций.
Приведена общая архитектура ПК, включающая следующие блоки:
- Блок построения приближенной задачи Aprox.
- Блок статического анализа Statics.
- Блок конструктивного расчета стальных конструкций Steel.
- Блок решения задачи нелинейного математического программирования NMPack.
- Библиотека сечений Section.
Показана взаимосвязь программных процедур каждого блока, дано их описание. Выходными параметрами блока Aprox являются коэффициенты аппроксимации. В зависимости от заданного режима это могут быть аппроксимации первого либо второго порядка. При этом программы блока NMPack автоматически настраиваются на режим аппроксимаций.
Блок статического КЭ анализа Statics реализован в перемещениях для пластинчато-стержневых систем.
Блок поверочного конструктивного расчёта стальных конструкций Steel включает проверки на прочность и устойчивость соответственно нормативным требованиям СП 16.13330.2011 «Стальные конструкции».
Блок решения задачи НМП NMPack рассмотрен наиболее подробно, как блок, обеспечивающий надежную работу всего алгоритма оптимизации. Здесь реализованы алгоритмы условной и безусловной минимизации, которые были приведены в главе 3. Блоки NMPack и Aprox связаны между собой системой уровней (рис. 3).
Уровень С (Control) – уровень контроля исходных данных.
Уровень А (Aprox) предназначен для построения приближенной задачи оптимизации.
Уровень М (Minimum) реализует методы безусловной минимизации на интервале изменения варьируемых параметров, обозначенном параметрическими ограничениями.
Уровень L (Line) предназначен для решения задач одномерного поиска.
Уровень D (Derive) – уровень вычисления производных, где используются как аналитические методы, так и методы численного дифференцирования.
На уровне F (Fun) вычисляются значения целевой и ограничительных функций, а также значения модифицированных функций Лагранжа.
Приведен интерфейс ПК РОСК. Для ввода данных разработан табличный редактор, где задаются физические и геометрические параметры конструкции, а также условия её нагружения. Выходные данные выводятся в текстовые и графические файлы, такие как:
- текстовый файл выходных параметров оптимизации, вычисленных на каждой итерации (используемые методы, значения варьируемых параметров, целевой функции и невязок ограничений, штрафные коэффициенты и т.д.);
- текстовый файл, где приведены исходные и оптимальные геометрические и физические параметры конструкции;
- текстовый файл результатов КЭ анализа исходной и оптимальной системы;
- графический файл, куда выведена расчетная схема исходной и оптимальной конструкции.
В данной версии ПК РОСК реализован алгоритм расчёта и оптимизации стальных конструкций. Однако блочная архитектура комплекса позволяет расширять его возможности. Предусмотрено встраивание пользовательских процедур, реализующих свои оригинальные требования к поведению конструкции. Так, добавление модулей в блок КЭ анализа дает возможность для оптимизации конструкций с физическими либо геометрическими нелинейностями. Блок конструктивного расчета может быть пополнен нормативными требованиями к расчету алюминиевых, ж/б и др. конструкций. Особого внимания заслуживает тот факт, что данные, передаваемые в различные блоки ПК, помещены в специальный модуль (таким образом, данные отделены от программного кода). Такая конструкция позволяет решать рекурсивные задачи оптимизации заданной степени вложенности.
В пятой главе выполнена апробация ПК РОСК, для чего были решены тестовые и практические задачи оптимального проектирования конструкций в статической постановке. Здесь же дана оценка эффективности алгоритмов оптимизации, исследована их сходимость. На основании этого получены рекомендации по настройке параметров, влияющих на сходимость.
Ниже приведены два верификационных теста.
- Оптимизация 10-стержневой статически неопределимой фермы
Было решено 3 варианта задачи, когда:
1) площади стержней 3, 5, 6, 8 имеют нижний предел;
2) площади этих стержней фиксированы;
3) нижний предел площадей отсутствует.
Дано сравнение решений, которые были получены в вариантах 1, 2, 3, с известным решением, приведенным в монографии Э. Xoга и Я. Ароры[1]. Точность результатов оценивалась по невязкам ограничений при условии, что они нормированы к единице.
В варианте 1 устойчивую работу показал метод деформируемого многогранника. В варианте 2 хорошая сходимость была получена методом деформируемого многогранника с переходом на метод Ньютона, что обеспечило получение результатов высокой точности при меньших вычислительных затратах. В оптимальном проекте варианта 3 площади стержней 3, 5, 6, 8 стремились к нулю (ферма близка к статически определимой). Невязки в активных ограничениях при этом были несколько выше. Сходимость к решению заданной точности (10-4), таким образом, не была достигнута, и итерационный процесс был остановлен по максимальному числу итераций 20.
| Таблица 2. Сравнение результатов расчетов | ||||||
| Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | Источник | |||
| Значение целевой функции (м3) | ||||||
| 0,82340573 | 0,82311129 | 0,81689703 | 0,8294476 | |||
| Максимальные невязки ограничений | ||||||
| 0,236010·10-3 | 0,618394·10-12 | 0,474823·10-3 | 0,27·10-4 | |||
| Число итерций | ||||||
| 7 | 6 | 20 | 15 | |||
В целом, при сравнении результатов варианта 2 с решением, приведенным в монографии Э. Xoга и Я. Ароры, было отмечено, что метод Ньютона в данной задаче дал большую точность в невязках ограничений при более низком значении целевой функции (на 0,77%). Число итераций алгоритма здесь также самое низкое.
- Оптимизация консольной пластины
Приведено сопоставление решений задачи оптимизации консольной пластины (рис. 5), выполненных с использованием ПК ANSYS Mechanical и ПК РОСК.
Минимизировался объем пластины. Варьировались значения полутолщин в четырех сечениях (1-4). Приняты ограничения по напряжениям и на максимальное перемещение точек. В ПК ANSYS конструкция рассматривалась как пластина, работающая в условиях плоского напряженного состояния. КЭ схема моделировалась плоскими четырехузловыми элементами, что позволило получить результаты в задаче анализа, близкие к аналитическим, на достаточно разряженной КЭ сетке (было использовано 16 элементов).
С помощью ПК РОСК задача была решена в нескольких вариантах.
Вариант 1. Расчетная схема принята в виде стержня переменного сечения. Так как размеры сечения на порядок меньше длины консоли, это решение в дальнейшем рассматривалось как точное.
Вариант 2. Расчетная схема принята в виде консольной пластины ломаного очертания, работающей в условиях плоского напряженного состояния, с треугольной КЭ сеткой, имеющей шаг 2192. Погрешность в перемещениях при решении задачи анализа составила 14%. На рис. 6 показана сходимость алгоритма для решений задачи с 2-х начальных проектов на всех итерациях (рис. 6,а) и на последних четырех итерациях (рис. 6,б).
Использование густой КЭ сетки в этом варианте привело к достаточно громоздким вычислениям в задаче анализа, решение которой занимало основное время счета. С этой точки зрения существенным показателем эффективности алгоритма являлось число обращений к функции, ограничивающей перемещение, вычисление которой включало КЭ расчет. В вариантах 1, 2 число таких обращений составило от 320 до 425. Отмечено, что сокращения вычислений при решении подобных задач можно добиться, если ослабить требование к точности в невязках ограничений, например, до 1% (оптимальное решение при этом будет получено уже на 2-3 итерации), либо использовать режим построения аппроксимаций.
Вариант 3. На внешних итерациях алгоритма строились линейные аппроксимации функции, ограничивающей перемещение, что требовало ng обращений к прямому вычислению этой функции (ng=2·nx+1). Таким образом, общее число решений задачи КЭ анализа было сокращено. На внутренних итерациях поиск условного экстремума с использованием линеаризованной функции ограничений производился по схеме 3. Как уже отмечалось, такой подход не требовал точности в определении прямых переменных x, поэтому число внутренних итераций было ограничено до пяти.
| Таблица 3. Сопоставление результатов расчёта | |||||
| Объем, in 3 | (%) | Число итераций | |||
| Источник | 3,600 | ||||
| ANSYS Метод аппроксимации подзадачи | 3,616 | 0,434 | 12 | ||
| ANSYS Метод первого порядка | 3,609 | 0,261 | 17 | ||
| РОСК | в. 1 | 3,60332 | 0,092 | 9 | |
| в. 2 | решение 1 | 3,60218 | 0,061 | 6 | |
| решение 2 | 3,6026 | 0,072 | 7 | ||
| в. 3 | 3,60826 | 0,229 | 8 | ||
Рассмотренные примеры показали высокую робастность алгоритмов оптимизации, реализованных в ПК РОСК. При решении задачи безусловной минимизации была отмечена высокая устойчивость метода деформируемого многогранника. Метод Ньютона показал устойчивую работу на последних итерациях только в варианте 1, что позволило получить высокую точность в невязках ограничений (10-5). Во всех вариантах была получена быстрая сходимость к решениям близким к оптимальным уже на 2-3 итерации (рис. 6). Последующие итерации доводили результат до требуемой степени точности.
В этой главе приведены также примеры решения практических задач оптимизации стальных конструкций.
- Оптимизация стальной балки составного двутаврового сечения, работающей на изгиб в плоскости стенки
Целевая функция f(x) в этой задаче представляла площадь поперечного сечения балки, где варьировалось 4 параметра. В качестве ограничений были приняты проверки по прочности и устойчивости в соответствии с требованиями СП 16.13330.201 «Стальные конструкции». Было выполнено исследование результатов задачи на единственность путем решения с 5-ти начальных проектов. Максимальная разница в значениях варьируемых параметров при этом составила 0,03%, т. е. все решения практически совпали. Число итераций колебалось от 7 до 8, невязки ограничений имели порядок 10-4. В качестве методов безусловной минимизации были использованы метод деформируемого многогранника и градиентный метод 1-го порядка. На этой задаче было исследовано влияние нормирующих коэффициентов алгоритма на его сходимость.
- Оптимальное проектирование ферм
Решено несколько примеров оптимального проектирования ферм, в которых предусмотрено варьирование геометрией сечений, а также координатами узлов расчетной модели. Учтено несколько случаев загружения. Минимизировался объем при соблюдении нормативных требований по прочности, устойчивости и жесткости. Один из примеров оптимизируемых ферм показан на рис. 7.
Задача была решена в четырех вариантах при различных типах сечений элементов фермы, меняющихся как непрерывно, так и дискретно (по сортаментам). Для оценки эффективности результатов было выполнено их сравнение с параметрами равнопрочной фермы с параллельными поясами, площади сечений элементов которой были пропорционально умножены на коэффициент, что обеспечивало перемещения узлов в допустимых пределах. Результаты приведены в таблице 4.
| Таблица 4. Варианты решений оптимизации 23-ти стержневой фермы | |||||
| Непрерывные параметры | Дискретные параметры | ||||
| Показатели | Равнопрочная ферма | № 1 | № 2 | № 3 ГОСТ 10704-91 | № 4 ТУ 36-2287-80 |
| Сечения | |||||
| h1 (см) | 200 | 300 | 300 | 300 | 300 |
| h2 (см) | 200 | 250 | 260 | 250 | 260 |
| h3 (см) | 200 | 150 | 150 | 140 | 160 |
| Объём (см3) | 329433 | 168400 | 169117 | 168925 | 173037 |
| Объём % | 100 % | 51,1 % | 51,3 % | 51,3 % | 52,53 % |
Решение задачи оптимизации фермы подтвердило, что на сходимость алгоритмов существенное влияние оказывают параметры методов, в частности, минимальное значение коэффициента штрафа, коэффициента нормировки ограничений и др., что делает затруднительным применение алгоритмов оптимизации пользователем, который не знаком с их особенностями. Эти исследования подтвердили актуальность разработки эвристических подходов, обеспечивающих автоматическую настройку параметров поисковых методов, что было сделано в дальнейшем при решении задач оптимизации конструкций более сложной конфигурации с большим числом элементов. Пример такой конструкции показан на рис. 8.
Элементы фермы были сгруппированы по типу сечений и материалу, что позволило сократить число варьируемых параметров, время вычислений и, в конечном итоге, повысило сходимость алгоритма. Оптимальные результаты были проверены на единственность путем выполнения расчётов с нескольких начальных проектов. При непрерывном изменении параметров все решения практически совпали (разница в объёме составляла до 0,0012 %). В случае дискретных изменений сечений согласно сортаментам было получено несколько локальных оптимумов, дающих разницу в объёме до 4,3 %. В качестве оптимального в таком случае выбирается проект, имеющий лучшие показатели (наименьшее значение целевой функции при большей точности в невязках ограничений).
- Оптимальное проектирование рам
Рассмотрены задачи оптимизации плоских рам. Одна из таких конструкций изображена на рис. 9. Приняты различные типы сечений: для стоек;
для ригелей; для связей. Задано 2 случая загружения. Назначены нормативные ограничения по прочности и местной устойчивости в элементах рамы. Ограничение по жесткости задано в виде допуска на горизонтальное перемещение узла 9. Варьировались параметры сечений, а также высота h с шагом 10 см. Задача была решена в 2-х вариантах. В первом случае параметры сечений менялись непрерывно (1 параметр кольцевого и коробчатого сечения, 2 параметра двутаврового сечения). Число варьируемых параметров с учетом того, что элементы рамы объединены в группы, равнялось 10-ти. Имело место 42 ограничения, включая ограничение по жесткости. Во втором случае параметры сечений менялись дискретно по сортаментам. Число варьируемых параметров сократилось до 8-ми, число ограничений – 38.
В ряде случаев при решении задач оптимизации стержневых систем был отмечен ещё один эффект. Если в элементах конструкции варьировались 2 параметра сечений (например, диаметр и толщина кольцевого сечения), то с разных начальных проектов были получены различные оптимальные значения этих параметров (с отличием до 30%), в то время как разница в площадях была существенно меньше (до 10-2 %), а величина целевой функции (объёма) практически совпадала. Таким образом, при задании избыточного количества параметров варьирования имело место множество локальных решений при одинаковом значении целевой функции («плато» целевой функции).
Шестая глава посвящена построению явных задач НМП при оптимизации механических систем в условиях нестационарных динамических воздействий:
| найти min f (x, P(x,t)), xE nx | (16) |
при ограничениях  | (17) |
 | (18) |
Здесь целевая функция и ограничения, накладываемые на систему, связаны с варьируемыми параметрами через динамические параметры состояния Р(x,t) :
 | (19) |
Принята КЭ динамическая модель системы в линейной постановке
 | (20) |
с начальными условиями 
, не зависящими от переменных x. Таким образом, параметры состояния Р(x,t) являются неявными функциями варьируемых параметров. Рассмотрено несколько подходов к построению явной задачи НМП. Для исключения фактора времени отслеживались моменты времени (tCR), когда функции ограничений принимали экстремальные значения на заданном временном интервале соответственно условию
 | (21) |
где функции hj назначались следующим образом:
 . | (22) |
Размерность задачи при этом существенно возросла. Для ее сокращения была установлена полоса отбора ограничений.
Явные зависимости функций ограничений от варьируемых переменных x были получены на основе аппроксимаций. Отмечено, что при использовании линейных аппроксимаций, на скорость сходимости задачи (16-18) существенно влияет нелинейный характер ограничительных функций, который обусловлен, во-первых, сложной зависимостью параметров состояния от варьируемых параметров, связанной со структурой механических систем. Во-вторых, сами ограничения, как правило, нелинейны относительно параметров состояния. Показано, что в этом случае аппроксимации параметров состояния дают более качественные приближения, чем аппроксимации самих функций {g}, поскольку в последних сохраняются нелинейности второго типа. Это позволяет использовать полученные аппроксимации на более широкой области варьируемых параметров, что в конечном итоге приводит к сокращению числа итераций поискового процесса оптимизации. Для повышения точности и надежности решения приближенной задачи был реализован алгоритм построения аппроксимаций второго порядка.
Аппроксимации параметров состояния системы выполнялись путём разложения их в ряд Тейлора в окрестности пробной точки. Для определения коэффициентов аппроксимации были разработаны методы анализа чувствительности первого и второго порядка.
Ниже приведено выражение для полной производной k-го параметра состояния по переменной xi с учетом того, что время tCR является неявной функцией от x:
 | (23) |
Производная 
определялась из выражения, полученного дифференцированием соотношения (21) по переменным xi.
(24)
Далее были получены выражения чувствительностей 
для частных случаев, когда параметры состояния являлись функциями динамических перемещений, скоростей и ускорений. Ниже рассмотрен случай, когда k-й параметр состояния связан с вектором перемещений системы:
(25)
Приведем для него выражения чувствительностей 1-го порядка с использованием двух схем анализа чувствительности.
а). Прямое дифференцирование выражения (25):
(26)
Здесь производные 
определены решением системы уравнений:
 | (27) |
с начальными условиями 
равными нулю, где вектор псевдонагрузки 
вычисляется по выражению
 | (28) |
Трудоемкость прямого метода пропорциональна числу варьируемых параметров. Между тем, в задачах оптимизации механических систем число активных ограничений значительно меньше числа варьируемых параметров. Это обусловлено нелинейностью целевой и ограничительных функций, а также выходом некоторых варьируемых параметров на границу параметрических ограничений (18). В силу этого, при стабилизации числа активных ограничений более эффективным становится метод сопряженных переменных.
б). Дифференцирование через сопряженные переменные 
для k-го параметра состояния выполнялось по следующей схеме:
 | (29) |
где вектор сопряженных переменных 
определен решением системы
(30)
с условиями в момент времени tCR равными
Существенное преимущество метода сопряжённых переменных заключается в том, что число решений системы (30) определяется числом параметров состояния, входящих в активные ограничения. Кроме того, система уравнений (30) намного проще, чем (27), так как вектор 
не зависит от времени.
Для того, чтобы собственные формы колебаний для уравнений (20) и (30) совпадали, была произведена замена переменных: t=tCR -,
 | (32) | |
что привело к интегрированию уравнений (30) в обратном направлении:  (33) | ||
с начальными условиями  | ||
Рассмотрено 2 подхода к формированию аппроксимаций второго порядка: метод прямого дифференцирования и комбинированный метод, который позволил сократить число решений уравнения состояния системы.
Отмечено, что за параметры состояния можно принять непосредственно вектор перемещений. Тогда методы анализа чувствительности, изложенные выше, несколько упрощаются за счет того, что все элементы вектора {} равны 1, а 
=0. За параметры состояния можно принять также функции ограничений. В этом случае производная 
в выражении (23) равна нулю.
Выбор того или иного метода анализа чувствительности зависит от конкретной задачи. Наиболее рационально на первых итерациях, когда множество активных ограничений не выявлено, использовать метод прямого дифференцирования. На последующих итерациях, если число активных ограничений невелико, целесообразно перейти к определению чувствительностей через сопряженные переменные. Таким образом, эти два подхода могут эффективно дополнять друг друга.
Отдельно исследован случай, когда уравнение движения сначала раскладывался по собственным формам колебаний, а затем выполняется покомпонентный синтез чувствительностей по требуемому числу форм. Для этого был введен вектор новых переменных
 | (34) |
и система уравнений (20) преобразована к системе дифференциальных уравнений первого порядка:
 | (35) |
где матрицы 
и 
имели размерность 2l.
 | |
| Затем был выполнен переход к нормальным координатам: | (36) |
в результате чего получено 2l разделенных уравнений:
 с начальными условиями:  Вектор правых частей в (37) определялся произведением |
Этот переход предполагал вычисление l комплексно-сопряженных собственных значений j и соответствующих им комплексно-сопряженных собственных векторов 
. Мнимая часть собственных значений по абсолютной величине представляла частоту собственных колебаний. Для определения l комплексно-сопряженных значений вектора {V} было выполнено преобразование системы (38) к системе дифференциальных уравнений 2–го порядка размерностью l, решаемой относительно действительной составляющей {VR} (мнимая часть {VI} была выражена через действительную). Матрица 
и вектор {V} при этом были представлены следующим образом: 
где горизонтальный надчерк обозначал комплексную сопряженность. Тогда зависимость (36) приобрела следующий вид:
 | (38) |
Здесь 
, 
матрицы размерностью 2ll (учтено l первых векторов 
), а вектора 
и 
имеют размерность l (верхняя половина вектора 
). Таким образом, размерность задачи (37) была понижена.
Чувствительности 
, входящие в выражение (26), были определены дифференцированием зависимости (36) по xi:
Рассмотрен вариант определения производных 
прямым дифференцированием уравнения (37):
Далее выражение (40) было преобразовано к размерности l относительно производных для действительных и мнимых частей.
Ниже приведены выражения производных собственных векторов и собственных значений, входящих в (39), (40):
где   | |
 |
Рассмотрен вариант определения этих производных отдельно через действительные и мнимые величины.
В седьмой главе приведено описание алгоритма, который был положен в основу программного комплекса оптимизации механических систем в условиях нестационарных динамических воздействий (рис. 10).
В блоке Dirans формируются коэффициенты аппроксимации на основе прямого метода анализа чувствительности. Для решения системы дифференциальных уравнений состояния (20) и (27) был использован метод прямого интегрирования (-метод Вилсона). Блок Aprox реализует построение приближенной задачи оптимизации путем аппроксимации параметров состояния по варьируемым параметрам. Блок NMPack предназначен для решения задачи условной минимизации. Здесь использованы алгоритмы, которые изложены в главе 3.
Решены практические задачи оптимизации механических систем в условиях нестационарных динамических воздействий, для чего было разработано специализированное программное обеспечение.
Апробация программного комплекса была выполнена путем решения задач оптимизации систем виброударозащиты балочного типа, где установлены присоединенные массы, которые необходимо было отстроить от кинематических воздействий на опоры балки. Задача оптимизации была поставлена следующим образом: минимизировались ускорения верхних присоединённых масс. Ограничения накладывались на перемещения точек системы, а также на напряжения, возникающие в результате действия статических и динамических нагрузок. Варьировались геометрические и физические параметры: размеры поперечного сечения балки, величины масс, демпфирования и жесткостей. На рис. 11 показана расчетная схема амортизатора, имеющая l степеней свободы. Поперечное сечение балки принято в виде составного двутавра. Задано кинематическое воздействие на опоры оп в виде кратковременного импульса на интервале p.
Рис. 11. Схема амортизатора балочного типа с l степенями свободы
Ниже приведены результаты для наиболее простого случая, когда на балке имеют место только две массы и,, расположенные посередине пролёта. Принято несколько вариантов воздействий на опоры. В таблице 5 показаны результаты решения задачи, когда внешнее воздействие оп задано симметричным в виде импульса: 
(tp).
Таблица 5. Сравнение исходных и оптимальных параметров
| Ma (т) | Ca (кНс/м) | Ka (кН/м) | B (м) | h (м) | b (м) |  (м/с2) |
| Начальные параметры системы | ||||||
| 0,3 | 40 | 1000 | 0,2 | 0,5 | 0,01 | 122,2 |
| Оптимальные параметры системы | ||||||
| 0,8 | 11 | 98 | 0,12 | 0,244 | 0,006 | 2,056 |
Для решения задач, рассмотренных в этой главе, были использованы прямые методы анализа чувствительности. Такой подход был целесообразен вследствие небольшой размерности этих задач, а также того обстоятельства, что число ограничений здесь соразмерно с числом варьируемых параметров. Кроме того, кратковременный характер импульсной нагрузки позволил исследовать поведение конструкции за малый промежуток времени (хотя число временных шагов при этом было достаточно большим). Совмещение процедур динамического КЭ анализа и анализа чувствительности привело к существенному сокращению вычислительного процесса оптимизации.
Все примеры были решены с нескольких начальных проектов. При этом в ряде случаев различные начальные точки приводили к разным направлениям поиска по отдельным переменным. Для того, чтобы исследовать эту особенность были построены графики зависимости функций ограничений от варьируемых параметров. Было выявлено, что функции ограничений в большинстве своем существенно нелинейные, невыпуклые функции, что делает проблему поиска глобального оптимума в динамически постановленных задачах оптимизации достаточно сложной. Для её численного решения было предложено два подхода. Первый заключался в получении хорошего начального приближения путем прямого вычисления функций ограничений (например, методом случайного поиска). Второй требовал исследования нескольких точек в области поиска, из которых осуществляется спуск с помощью локальных методов. В случае если имело место несколько локальных решений, в качестве оптимального принимался проект, имеющий лучшие показатели (наименьшее значение целевой функции при более высокой точности в невязках ограничений). Следующая проблема при решении задачи оптимизации в динамической постановке заключалась в том, что вследствие аппроксимации задача на условный экстремум часто становилась несовместной (особенно в области точек перегиба ограничительных функций, где градиенты ограничений близки к нулю). Для того, чтобы добиться сходимости, на каждой итерации поиска регулировалась величина шага изменения варьируемых параметров (обычно 1/51/15 всего интервала). В случае если наблюдалась монотонная сходимость, этот шаг увеличивался, если же в ходе поискового процесса варьируемые параметры «ударялись» в разные границы, шаг уменьшался. В результате такой постановки допустимое решение на итерации часто отсутствовало (особенно на первых итерациях). Однако применение методов модифицированных функций Лагранжа позволило осуществлять поиск в направлении оптимума и за пределами допустимых областей. При этом имело место резкое увеличение двойственных переменных на внутренних итерациях условно-экстремальной задачи (уровень R). Для того, чтобы ограничить их значения, задавалось всего две итерации этого уровня (ближе к оптимуму число этих итераций было увеличено).
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
- Разработаны общие принципы и комплексная методика многоуровневой адаптивной оптимизации пластинчато-стержневых конструкций, где реализованы методы модифицированных функций Лагранжа, позволяющие работать с функциями ограничений, заданными на множестве непрерывных и дискретных варьируемых параметров.
- На основе этой методики построены алгоритмы оптимизации конструкций в статической постановке, которые реализованы в двух вариантах: в первом случае функции ограничений формируются через аппроксимации параметров состояния системы, во втором эти функции вычисляются напрямую при каждом к ним обращении.
- Для обеспечения устойчивости и сходимости алгоритмов оптимизации разработаны эвристические процедуры переключения методов условной и безусловной минимизации на основе анализа состояния вычислительного процесса, выполнены настройки параметров, влияющие на его сходимость.
- Формализованы варианты построения явной задачи НМП при оптимизации механических систем в условиях нестационарных динамических воздействий, где аппроксимации динамических параметров состояния выполнены на основе прямого дифференцирования и через сопряжённые переменные для случаев, когда эти параметры являются функциями динамических перемещений, скоростей и ускорений. Исследован вариант покомпонентного синтеза чувствительностей по требуемому числу форм колебаний.
- Алгоритмы реализованы в программном комплексе расчета и оптимизации стальных конструкций РОСК, который включает 3 основных блока: блок конструктивного расчета стальных конструкций, блок оптимизации и блок КЭ анализа. Структура ПК позволяет встраивать пользовательские модули, расширяя тем самым область исследуемых объектов.
- Осуществлена апробация программного комплекса РОСК посредством решения тестовых задач оптимизации конструкций, что подтвердило эффективность используемых методик и алгоритмов, как в части вычислительных затрат, так и по степени точности полученных результатов. Определены параметры поисковых методов, влияющие на сходимость, даны рекомендации их настройке.
- Решены практические задачи оптимизации конструкций в условиях статических и нестационарных динамических воздействий. В большинстве случаев сходимость к решениям близким к оптимальным получена уже на первых итерациях с последующим доведением до требуемой степени точности. При этом в случае непрерывного варьирования параметрами оптимизации достигается глобальный оптимум. В задачах дискретной оптимизации присутствует несколько локальных решений, из которых возможен выбор оптимального варианта.
Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях в изданиях, рекомендованных ВАК РФ
- Дмитриева Т.Л. Аппроксимация параметров состояния в задачах оптимизации систем, подверженных нестационарным динамическим воздействиям // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Иркутск: Из-во ИрГупс, 2008, № 1 (17). С. 110-114.
- Соболев В.В., Дмитриева Т.Л. Вибрационная защита промышленных конструкций на основе параметрической оптимизации дискретноконтинуаль- ных математических моделей “Конструкции – виброактивное оборудование” // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Иркутск: Из-во ИрГупс, 2009, № 4 (24). С. 149-158.
- Безделев В.В., Дмитриева Т.Л. Использование многометодной стратегии оптимизации в проектировании строительных конструкций // Известия вузов. Строительство, 2010, № 2. С. 90-95.
- Дмитриева Т.Л. Алгоритм автоматизированного проектирования ферм минимального веса // Известия вузов. Строительство, 2010, № 3. С. 98-105.
- Дмитриева Т.Л. Оптимизация ферм с дискретными параметрами // Известия вузов. Строительство, 2010, № 8. С. 118-124.
- Дмитриева Т.Л. К вопросу оптимизации однопролётной балки двутаврового сечения // Вестник Иркутского государственного технического университета, 2010, № 5 (45). С. 88-94.
- Дмитриева Т.Л. Алгоритм решения условно-экстремальных задач, использующий методы модифицированных функций Лагранжа первого и второго порядка // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Иркутск: Из-во ИрГупс, 2010. № 3 (27). С. 113-120.
- Дмитриева Т.Л., Безделев В.В. Алгоритм автоматизированного проектирования механических систем с оптимальными параметрами при импульсных воздействиях // International Journal for Computation Civil and Structural Engineering / Международный журнал по расчету гражданских и строительных конструкций, 2011, v. 7, № 1. P. 85-94.
- Дмитриева Т.Л. Программный комплекс «OPTIDEST» и его использование в задачах расчёта и оптимизации стальных конструкций // Вестник МГСУ, 2011, № 1, т. 1. C. 100-105.
- Дмитриева Т.Л. Тестирование алгоритма оптимизации стержневых конструкций // Вестник Иркутского государственного технического университета, 2011, № 7 (54). C. 40-46.
- Дмитриева Т.Л.. Оптимизация геометрических параметров стальных рам // Academia. Архитектура и строительство, 2011, № 3. C. 114-119.
- Дмитриева Т.Л., Соболев В.И. Концепция многоуровневой оптимизации в выборе вариантов конструктивных решений металлических сооружений // Вестник Иркутского государственного технического университета, 2011, № 10 (57). C. 89-92.
СВИДЕТЕЛЬСТВА
о государственной регистрации в федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам (РОСПАТЕНТ) программ для ЭВМ
- Свидетельство № 2011617406 от 23.09.2011 о государственной регистрации программы для ЭВМ «Программный комплекс для решения задач нелинейного математического программирования (НМПак)». Авторы: Дмитриева Т.Л., Безделев В.В.
- Свидетельство № 2011617407 от 23.09.2011 о государственной регистрации программы для ЭВМ «Расчет и оптимизация стальных конструкций (РОСК)». Автор: Дмитриева Т.Л.
- Свидетельство № 2011617408 от 23.09.2011 о государственной регистрации программы для ЭВМ «Конструктивный расчет стальных конструкций (КРаСК)». Автор: Дмитриева Т.Л.
[1] Хог Э., Арора Я.С. Прикладное оптимальное проектирование: Механические системы и конструкции: М.: Мир, 1983. 478 с.
