Разработка логико-вероятностных моделей, методов и алгоритмов для управления риском и эффективностью в структурно-сложных системах

111

на правах рукописи

АЛЕКСЕЕВ Вадим Вячеславович

Разработка логико-вероятностных моделей, методов и алгоритмов для управления

риском и эффективностью

в структурно-сложных системах

Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Санкт-Петербург – 2009

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения»

Научный руководитель: доктор технических наук, заслуженный деятель науки РФ, профессор	Соложенцев Евгений Дмитриевич
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор	Семенова Елена Георгиевна
кандидат физико-математических наук, доктор экономических наук, профессор	Чернов Виктор Петрович
Ведущая организация:		Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН
Защита диссертации состоится “___ ” ______________ 2009 г. в ____ часов на заседании диссертационного совета Д 212.233.02 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения» по адресу: 190000, Санкт-Петербург, ул. Большая Морская, д. 67, ГУАП. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГУАП. Автореферат разослан “___ ” ______________ 2009 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор			Л. А. Осипов

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В настоящее время большое внимание уделяется проблеме управления риском в технических, экономических и социальных системах. Однако риск в системе нельзя рассматривать в отрыве от эффективности ее функционирования. В самом общем случае эффективность это уровень соответствия результатов какой-либо деятельности поставленным задачам, а риск это возможность неуспеха этой деятельности. При этом неуспех может сопровождаться и другими неприятными последствиями, как то аварии, человеческие жертвы или материальные убытки. В процессе управления необходимо учитывать оба эти параметра. Например, в инвестиционной деятельности рассматривается портфель, состоящий из активов, имеющих разную стоимость, изменяющуюся случайным образом под действием множества причин. Эффективностью и риском являются прибыль и вероятность убытков.

Рассматриваемые системы характеризуются большим количеством элементов, объединенных логическими связями. Параметры элементов имеют множество состояний, а их изменение носит случайный характер. Будем называть такие системы структурно-сложными. Для управления риском и эффективностью в таких системах требуется соответствующий математический аппарат.

Принимая во внимание большой практический и теоретический интерес к проблеме управления риском и эффективностью, а также выявленные в ходе проведенного анализа недостатки существующих методов, сделан вывод о том, что разработка новых эффективных подходов, моделей, методов и алгоритмов в этой области является актуальной.

В работе проблема рассматривается на основе логико-вероятностного подхода с использованием логико-вероятностного исчисления
(ЛВ-исчисления) и логико-вероятностных моделей (ЛВ-моделей) риска с группами несовместных событий (ГНС). При этом используются статистические данные поведения системы (данные мониторинга). Для разных приложений предложены одинаковые представления базы данных и базы знаний, логические и вероятностные модели, методы анализа и оптимизации. Однако каждое приложение имеет свою специфику и требует отдельного рассмотрения. На реальных статистических данных разработанный подход, модели, методы и алгоритмы апробировались на примере портфеля ценных бумаг и газоперекачивающего агрегата, используемого в системах магистрального транспорта газа.

Цель работы: разработка логико-вероятностного подхода, а также реализующих его моделей, методов и алгоритмов, для управления риском и эффективностью в структурно-сложных технических, социальных и экономических системах с использованием данных мониторинга их функционирования.

Задачи работы:

1. Выполнить анализ методов управления риском и эффективностью, а также ЛВ-методов моделирования риска в технике и экономике.
2. Разработать ЛВ-подход к управлению риском и эффективностью в структурно-сложных системах.
3. Выполнить постановку задачи оптимизации, сформулировать критерии и разработать алгоритмы оптимизации для определения весов параметров, влияющих на эффективность системы.
4. Предложить методы анализа, основанные на расчете вкладов влияющих параметров и их градаций в риск и эффективность системы.
5. Разработать ЛВ-модели риска и эффективности для рассматриваемых приложений.
6. Провести расчетные исследования разработанных моделей, методов и алгоритмов на реальных статистических данных.
7. Разработать программный комплекс, реализующий предложенные
   ЛВ-модели, методы и алгоритмы для управления риском и эффективностью портфеля ценных бумаг.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются структурно-сложные технические, социальные и экономические системы. Предметом исследования являются риск и эффективность функционирования структурно-сложных технических, социальных и экономических систем.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы теории вероятностей, математической статистики, дискретной математики, нелинейной оптимизации, моделирования Монте-Карло, математической логики и ЛВ-исчисление И. Рябинина.

На защиту выносятся:

1. ЛВ-подход к управлению риском и эффективностью в структурно-сложных системах.
2. Критерий оптимальности по минимизации риска при заданном уровне минимально допустимой эффективности.
3. Алгоритмы оптимизации для определения весов параметров, влияющих на эффективность системы, основанные на методах случайного поиска и градиентов.
4. Методы анализа, основанные на расчете вкладов влияющих параметров и их градаций в риск и эффективность системы.
5. ЛВ-модели риска и эффективности:

• без учета зависимости между влияющими параметрами;
• с полным учетом зависимости между влияющими параметрами;
• с учетом зависимости влияющих параметров от внешнего фактора.

6. Программный комплекс, реализующий предложенный подход, ЛВ-модели, методы и алгоритмы для задач управления риском и эффективностью портфеля ценных бумаг.

Обоснованность и достоверность разработанных ЛВ-моделей, методов и алгоритмов управления риском и эффективностью структурно-сложных технических, социальных и экономических систем подтверждается использованием строгого математического аппарата, а также результатами расчетных исследований на реальных статистических данных.

Научной новизной обладают следующие результаты работы:

1. ЛВ-подход, который отличает использование статистических данных, логических и вероятностных моделей, баз знаний в виде систем логических уравнений, что расширяет возможности для анализа и управления риском и эффективностью в структурно-сложных системах.
2. Критерий оптимальности по минимизации риска, как вероятности несоответствия системы требуемому уровню эффективности, отличающийся прозрачностью и удобством в использовании.
3. Алгоритмы итеративной оптимизации для определения весов параметров, влияющих на эффективность системы, которые обеспечивают устойчивую сходимость процесса оптимизации при использовании дискретной целевой функции, заданной в неявной форме.
4. Методы анализа, дающие возможность оценить вклады каждого параметра и его состояний в риск и эффективность системы в целом, что служит основой для принятия решений при управлении.
5. ЛВ-модели риска и эффективности, отличающиеся использованием дискретных распределений для параметров системы, логических и вероятностных функции, что позволяет повысить точность прогнозирования.

Практическая значимость работы заключается в возможности использования разработанных моделей, методов и алгоритмов для решения реальных задач моделирования, оценки, анализа и управления риском и эффективностью в структурно-сложных технических, социальных и экономических системах. Разработанный программный комплекс для управления риском и эффективностью портфеля ценных бумаг может использоваться в прикладных и учебных целях.

Реализация результатов работы. Результаты работы внедрены:

1. В ООО «Городской центр экспертиз» при разработке системы анализа надежности объектов магистрального газопровода.
2. В учебный процесс СПб ГУАП.
3. В компании «Inotel» для управления инвестиционными портфелями.

Апробация работы. Работа выполнялась в рамках программ фундаментальных исследований ОЭММПУ РАН «Защищенность, безопасность, эффективность многокомпонентных машиностроительных систем по критериям риска и полезности» (2004-2008 гг.) и «Проблемы управления и безопасности энергетики и технических систем» (2009-2011 гг.). Результаты работы докладывались на шестой научной сессии аспирантов ГУАП (2003г.), на научной сессии ГУАП (2008г.), на Международной научной школе «Моделирование и Анализ Безопасности и Риска в Сложных Системах» (2006 г), на международной конференции Машиностроение в экологии и безопасности человека (2004 г).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 9 научных работах, в том числе одна статья в журнале, рекомендованном ВАК [1].

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 93 наименований. Общий объем работы, изложенный на 154 страницах машинописного текста, включает 33 таблицы и 54 рисунка.

Содержание работы

ВО ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность темы, сформулированы цель и задачи работы, представлены положения, выносимые на защиту.

В ГЛАВЕ 1 проводится обзор методов в области управления риском и эффективностью в технических, социальных и экономических системах. Также рассматриваются исследования по выбросам случайных процессов и управлению риском и эффективностью инвестиций. По результатам анализа с учетом выявленных недостатков существующих методов и подходов формулируется цель и задачи работы.

Логико-вероятностное моделирование риска используется для решения задач оценки и анализа риска в сложных системах. Оно включает построение структурной, логической и вероятностной моделей риска, анализ и прогнозирование риска. В качестве математического аппарата используется ЛВ-исчисление. Это – раздел математики, трактующий правила вычисления и оперирования с высказываниями, принятыми в двузначной логике. ЛВ-исчисление объединяет булеву алгебру с теорией вероятности.

ЛВ-моделирование, созданное И.А. Рябининым в середине 60-х годов, использовалось главным образом, для анализа надежности и безопасности технических систем, где элементы принимали два состояния («исправен» или «неисправен»). По вероятностям отказов элементов рассчитывалась вероятность отказа всей системы (решалась прямая задача).

ЛВ-модели риска с ГНС Е.Д. Соложенцева позволяют для каждого элемента системы задавать произвольное число состояний (градаций). Это позволило применить данные модели в экономических и социальных задачах. При этом решается обратная задача (идентификация ЛВ-модели на исторических данных).

Приведенные ЛВ-методы и модели имеют ряд ограничений. В методе Рябинина элементы системы могут принимать только два состояния. Подход Соложенцева работает с множеством состояний для элементов системы, но различает только два состояния для результирующего события. В задачах управления риском и эффективностью и элементы системы, и параметр эффективности могут иметь много значений. Таким образом, ЛВ-методы для этой области еще требуют разработки.

Исследования выбросов случайных процессов в работах
В.И. Хименко и др. имеют широкое приложение в различных областях. Такие характеристики как среднее число выбросов за заданный уровень в единицу времени или распределение максимумов/минимумов могут применяться и применяются, в том числе, для оценки и анализа надежности и риска различных систем. Предполагает, что закон распределения случайной величины известен и имеет аналитическое описание. При этом большая часть исследований посвящена гауссовскому процессу. Выражения для распределений высоты абсолютного максимума/минимума, хотя и универсальны, справедливы для редких событий, имеющих малые вероятности. В настоящей же работе изучаются достаточно частые события, вероятность которых достигает 30%. Определить аналитический закон распределения для параметров исследуемых систем не всегда возможно.

Методы управления риском и эффективностью портфеля ценных бумаг. Апробация разработанных в работе моделей методов и алгоритмов большей частью проводилась на примере такой системы, как портфель ценных бумаг, поэтому были проанализированы наиболее известные методы из этой области.

В методах Марковица, Маршала, Шарпа решается задача формирования портфеля, которая заключается в оптимальном распределении средств между активами с целью удовлетворить заданным критериям доходности и риска. При этом портфель и активы в него входящие характеризуются двумя параметрами: математическим ожиданием доходности и ее стандартным отклонением. Причем именно стандартное отклонение принималось за риск. Поскольку стандартное отклонение не несет информации о величине возможных убытков, а также плохо характеризует риск, когда распределение доходности не является симметричным, была предложена другая мера риска – VaR. При расчете VaR используется квантиль распределения доходности, что позволяет определять величину и вероятность возможных убытков. Разработано несколько методов расчета VaR, также не лишенных недостатков. Аналитический метод опирается на гипотезу о нормальном распределении доходности портфеля и активов. Эта гипотеза не выполняется на практике, что приводит к ошибкам при прогнозировании. Непараметрические методы (метод исторического и метод статистического моделирования) ограничиваются лишь оценкой риска, не доходя до решения задачи оптимизации. Нечетко-множественный подход при задании функции принадлежности полагается на оценку эксперта. Как следствие, результаты моделирования носят субъективный характер. Кроме того, его применение оправдано в тех случаях, когда статистические данные либо отсутствуют, либо их недостаточно. Эти случаи выходят за рамки настоящего исследования.

В результате выполненного анализа выяснилось, что логико-вероятностные методы еще требуют развития для проблемы управления риском и эффективностью. Также показано, что имеющиеся методы в области управления риском и эффективностью инвестиций обладают рядом недостатков, часть из которых можно преодолеть с использованием логико-вероятностного подхода.

В ГЛАВЕ 2 изложены основы ЛВ-подхода к управлению риском и эффективностью, сформулированы критерии и разработаны алгоритмы оптимизации, предложены ЛВ-модели риска и методы анализа.

Основы ЛВ-подхода к моделированию риска и эффективности. В работе рассматриваются структурно-сложные системы, состоящие из множества компонентов. Будем называть эти компоненты влияющими параметрами, поскольку каждый их них влияет на эффективность системы и соответственно на риск. Разрабатываемый метод предполагает использование статистических данных, которые представляются в виде табл.1.

Каждой строке таблицы соответствует состояние системы, которое характеризуется значениями влияющих параметров и параметра эффективности. Значения параметров обозначаются заглавными буквами , значения параметра эффективности буквой Y. Влияющие параметры могут быть как непрерывными, так и иметь естественную дискретизацию. Параметр эффективности задается по статистическим данным или вычисляться по значениям влияющих параметров.

Таблица 1. Значения влияющих параметров и параметра эффективности

Номер состояния системы	Параметр 1, Z1	…	Параметр j, Zj	…	Параметр n, Zn	Эффективность, Y
1	Z11	…	Zj1	…	Zn1	Y1
2	Z12	…	Zj2	…	Zn2	Y2
…	…	…	…	…	…	…
t	Z1t	…	Zjt	…	Znt	Yt
…	…	…	…	…	…	…
T	Z1T	…	ZjT	…	ZnT	YT

Модификация базы данных. Некоторые влияющие параметры (табл. 1) изменяются непрерывно, т.е. множество возможных значений для них бесконечно. Для использования ЛВ-исчисления необходимо перейти к множествам с конечным числом элементов. Для этого диапазоны изменения значений влияющих параметров разобьем на интервалы. Число интервалов Nj в общем случае может быть разное для каждого параметра. Пронумерованные интервалы рассматриваются как состояния (или градации) . Параметр j обозначим переменной zj. Состояние r параметра j обозначим как zjr. Таким образом, переменная zj принимает конечный набор значений . Табл.1 преобразуется к виду табл. 2.

Таблица 2. Состояния влияющих параметров и значения эффективности

Номер состояния системы	Параметр 1, z1	…	Параметр j, zj	…	Параметр n, zn	Эффективность, Y
1	z11	…	zj1	…	zn1	Y1
2	z12	…	zj2	…	zn2	Y2
…	…	…	…	…	…	…
t	z1t	…	zjt	…	znt	Yt
…	…	…	…	…	…	…
T	z1T	…	zjT	…	znT	YT

Каждое состояние имеет вероятность его появления по статистике:

, 2 3

где Njr – число попаданий значения параметра j в интервал r;

T – объем статистических данных.

Состояния каждого параметра составляют группу несовместных событий (ГНС). Сумма вероятностей в ГНС равна 1:

. 45

В простейшем виде структурная модель системы представлена на рис.1. Системе ставится в соответствие переменная y, имеющая множество значений, которым соответствуют состояния этой системы. Каждое из состояний y1, y2, …, yi, …, yN характеризуется уникальным набором градаций влияющих параметров zi1, zi2, …, zin. Всего система может иметь следующее число разных состояний:

, 6 7

где Nj – число состояний параметра j.

Важно, что после перехода к конечным множествам состояний можно применять ЛВ-исчисление и ЛВ-методы с ГНС. Будем рассматривать эти состояния как логические переменные. Так, переменная zjr принимает значение 1, если параметр j принимает состояние r, т.е. его значение попадает в интервал r. Переменная yi принимает значение 1, если система принимает состояние i.

Рисунок 1. Структурная модель системы

Такое рассмотрение позволяет решать задачи двух разных типов с разными логическими функциями. При этом в обоих случаях неуспех определяется как вероятность перехода эффективности системы за пороговое значение, а риск – как вероятность неуспеха.

• Оценка вероятности появления того или иного состояния системы. В этом случае логическая функция имеет следующий вид:

. 89

Задача сводится к моделированию различных состояний системы для получения дискретного распределения эффективности. Риск оценивается как интегральная характеристика множества состояний. Предполагается, что для каждого состояния системы можно вычислить эффективность, т.е. имеется функциональная зависимость:

. 10 11

• Оценка вероятности неуспеха того или иного состояния системы. Логическая функция формулируется, как «неуспех происходит, из-за любого одного события или двух..., или всех событий»:

. 12 13

Это задача анализа, которая сводится к оценке влияния отдельных параметров и их градаций на риск и эффективность системы в целом. Решается она в тех случаях, когда эффективность невозможно вычислить по состояниям влияющих параметров.

Моделирование риска и эффективности. Запишем логическую функцию для всех возможных состояний системы:

. 14 15

При этом состояние i описывается логической функцией:

. 16 17

Таким образом, все состояния системы описываются совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ):

. 18 19

Здесь строкам соответствуют состояния системы. Их связывает логическое сложение (дизъюнкция). Знак конъюнкции, связывающий состояния влияющих параметров, опущен. Любые два дизъюнкта (состояния системы) ортогональны. Например:

;

ортогональны, так как их логическое произведение равно 0:

, ибо ,

так как и входят в одну группу несовместных событий.

Целью моделирования является построение дискретного распределения эффективности системы. Для этого для каждого из N состояний системы определяется эффективность и вероятность его появления. Эффективность определяется по известной функции вида (5). Вероятности появления состояний системы вычисляют по-разному с помощью разных ЛВ-моделей. Дискретное распределение (рис.2) получается после сортировки состояний по возрастанию эффективности.

Рисунок 2. Распределение эффективности системы

Число состояний системы может быть астрономически большим (3). Но поскольку разные состояния логически ортогональны, с помощью метода Монте-Карло достаточно сгенерировать только небольшую их часть (несколько тысяч).

Основными интересующими показателями являются минимально допустимая эффективность Yad и уровень риска Risk. Risk – это вероятность того, что эффективность системы окажется ниже минимально допустимой Yad. Эти величины взаимосвязаны, и при наличии дискретного распределения, задав одну, всегда можно определить другую.

Для определения риска при заданной величине Yad необходимо просуммировать вероятности состояний, эффективность которых ниже Yad:

, , 20 21

где – вероятность состояния i системы; – эффективность состояния i.

Для определения Yad при заданном риске необходимо суммировать вероятности состояний системы пока сумма меньше заданного риска.

Дополнительно к Risk и Yad можно вычислить: мат. ожидание эффективности , стандартное отклонение и др. характеристики.

Оптимизация системы сводится к подбору оптимальных весов влияющих параметров x1,…,xj,…,xn для удовлетворения одному из критериев.

Критерии оптимизации:

1. Максимизация минимально допустимой эффективности при заданном уровне риска:

; . 22 23

Этот критерий использовался ранее для портфеля ценных бумаг.

2. Минимизация риска при заданной минимально допустимой эффективности:

;. 24 25

Этот критерий ранее не использовался. Он предполагает непосредственное снижение риска как вероятности неуспеха.

Ограничения: сумма весов влияющих параметров должна равняться 1:

, . 26 27

Особенности задачи оптимизации:

• Она является нелинейной и отличается большой вычислительной сложностью.
• Целевая функция задается в неявной форме. Аналитические производные целевой функции по x вычислить невозможно.
• Сумма параметров x должна быть равна 1.

• Задача оптимизации решается алгоритмическим итеративным методом.

Предложены алгоритмы ее решения на основе метода случайного поиска и метода градиентов. Их особенностью является учет условия (13), что существенно усложняет оптимизацию. На каждом шаге оптимизации сгенерированные значения х нужно нормировать:

; j=. 28 29

В методе оптимизации на основе случайного поиска приращения для x генерируются случайным образом на каждом шаге по формуле:

3031

где K – случайное число с равномерным распределением в интервале [-1, +1]; k1 – коэффициент; Nv, Nopt – номер шага и заданное число оптимизаций.

После генерации приращений x и нормирования (14), вычисляется значение целевой функции G*. Если она увеличилась (G*>G), то ее значение и соответствующие x запоминаются. Если целевая функция не увеличилась, то генерация x повторяется до тех пор, пока она не увеличится, но не больше заданного числа повторений Nmc.

Если целевая функция так и не увеличилась, то производят отступ. Для этого берется ее меньшее значение, например, по предыдущему шагу оптимизации (G=Gv-1). Смысл этого приема следующий. Целевая функция может находиться в локальном экстремуме. Поэтому уменьшают достигнутое ранее значение G. При продолжении оптимизации целевая функция стремится увеличиться. На новых шагах оптимизации будут получены другие значения параметров x1,…,xj,…,xn. Траектория оптимизации искривится, и целевая функция может увеличиться.

В методе на основе градиентов приращения xj вычисляют по знаку изменения целевой функции Следуя классической схеме нелинейной оптимизации, такая задача решается алгоритмически за несколько шагов, включающих в себя две операции:

1. Поочередно определяются знаки приращения для x1,…,xj,…,xn:

, 3233

где k1 – коэффициент из интервала [0,1; 0,2]. После нормирования x определяется знак изменения целевой функции: Gj = Gv - Gj

2. Вычисляются новые значения x:

, 3435

где k2 – коэффициент из интервала [0,3; 0,7].

Анализ риска и эффективности. Задача анализа состоит в определении степени влияния разных параметров и их градация на риск и эффективность системы. Особенно она важна для тех параметров, которые непосредственно не входят в формулу для расчета эффективности (5). Анализ предлагается проводить на основе расчета частотных и вероятностных вкладов в риск и эффективность.

Частотные вклады определяются по статистическим данным (табл.2):

3637

где Nbjr – число опасных состояний по условию (19), содержащих градацию r параметра j; Nad – число всех опасных состояний.

38 39

Эти вклады позволяют выделить те градации влияющих параметров, которые чаще всего приводят к отклонению эффективности системы ниже минимально допустимого уровня.

Вероятностные вклады определяются решением задачи идентификации ЛВ-модели по статистическим данным. Логическая функция (6) ставится в соответствие каждому состоянию системы из статистики (табл.2). Таким образом, осуществляется переход от базы дынных к базе знаний в виде системы логических уравнений:

4041

Переменная y принимает значение 0 для состояний удовлетворяющих условию (19) и значение 1 в остальных случаях.

Логическая функция (6) приводится в ортогональную форму:

, 42 43

которая позволяет подставлять вместо логических переменных вероятности, соответствующих событий, а вместо знаков конъюнкции и дизъюнкции – умножение и сложение. Таким образом, от системы логических уравнений можно перейти к системе вероятностных полиномов:

4445

Здесь – вероятность, с которой градация параметра вызывает нежелательное событие (эффективность ниже допустимой); r – номер градации; j – номер параметра. Эти вероятности являются вкладами, которые определяются решением задачи идентификации.

Общее число состояний системы велико (3). Только часть из них реализована в статистике. Результаты вероятностного анализа позволяют оценить риск того, что эффективность окажется ниже минимально допустимого значения для еще не реализованных состояний системы. Чтобы сделать это, необходимо подставить вероятности vjr, соответствующие градациям влияющих параметров, в (21).

Помимо вкладов градаций можно определить вклады параметров в целом, отражающие степень их влияния на риск нежелательного события:

, 4647

где – число градаций параметра j; – частота появления градации r параметра j в статистических данных (1).

ЛВ-модели риска и эффективности. При вычислении вероятности состояний системы не всегда можно пренебрегать зависимостью влияющих параметров. В связи с этим, рассмотрены три модели риска.

ЛВ-модель без учета зависимости. Поскольку взаимосвязь параметров между собой не учитывается вероятности можно подставлять в (8) вместо соответствующих логических переменных. Получим следующую формулу для расчета вероятности состояния i:

. 48 49

По (24) можно рассчитать вероятность любого из возможных состояний системы, и таким образом, восстановить информацию о состояниях, не встречавшихся в статистике.

ЛВ-модель с полным учетом зависимости между влияющими параметрами использует многомерное совместное распределение. При этом вероятность состояния i системы равна:

, 50 51

где – число появлений комбинации состояний .

При использовании (25) вероятности только части состояний будут отличны от 0. Все остальные считаются невозможными. Совместное распределение содержит в себе всю информацию о зависимости между влияющими параметрами. В этом его достоинство. Недостатком является то, что оно предоставляет информацию только о состояниях, которые встречались в истории (табл. 2). Для того чтобы распределение параметра эффективности было достоверным необходимо накопить информацию за достаточно большой период времени.

ЛВ-модель с учетом зависимости влияющих параметров от внешнего фактора имеет следующее допущение: влияющие на эффективность системы параметры не зависят друг от друга, но зависят от какого-то внешнего параметра. Будем называть его внешним фактором. Такой подход интересен главным образом при решении задач, связанных с инвестициями. В качестве внешнего фактора можно взять индекс фондового рынка.

Логическая функция (8) описывает все состояния системы. Запишем функцию для состояния i c учетом влияния фактора f:

, 5253

где , , , .

Каждое из состояний системы составное. Его части отличаются разными градациями фактора f:,,…,. Все слагаемые ортогональны друг другу, так как состояния фактора ортогональны, ибо они составляют ГНС. Запишем формулу вероятности состояния i:

. 54 55

Вероятность – это частота появления в статистических данных градации параметра j, при условии, что фактор f имеет градацию :

. 5657

Как и в случае без учета зависимости, логическая функция помогает восстановить состояния, не встречавшиеся в статистике. При этом за счет учета зависимости можно повысить точность прогнозирования модели.

В ГЛАВЕ 3 выполнены исследования разработанных ЛВ-моделей, методов и алгоритмов на реальных и модельных данных. Основная часть исследований проводилось для такой системы, как портфель ценных бумаг. Методы анализа апробировались для газоперекачивающего агрегата (ГПА), используемого в системах магистрального транспорта газа.

Для модели без учета зависимости проводилось сопоставление с аналитическим подходом. Показана одинаковая точность расчета показателей риска и эффективности для случая с нормально распределенными доходностями активов.

Показана возможность замены полного множества возможных состояний портфеля (3) неполным числом случайных состояний, полученных методом Монте-Карло, что решает проблему вычислительной сложности при высокой близости результатов. В табл.3 приведены результаты вычислений, которые свидетельствуют, что уже при моделировании 50000 состояний обеспечивается приемлемая точность вычисления средней и минимально допустимой Yad эффективности (доходности) портфеля.

Таблица 3. Характеристики портфеля и число моделируемых состояний

Число состояний	x1=x2=x3=x4=0,25		x1=0,11; x2=0,17; x3=0,19; x4=0,53
	Yad		Yad
10 000	10,8369	12,7530	11,3628	13,2332
50 000	10,9423	12,7530	11,3302	13,2332
Все (1000000)	10,9572	12,7531	11,322	13,2332

Проводились исследования по оценке точности прогнозирования ЛВ-моделей по следующей технологии. Брался некоторый уровень риска, например Risk=0,05. На заданном периоде времени ежедневно моделировалось дискретное распределение доходности портфеля. С помощью него определялась минимально допустимая доходность Yad. На следующий день фиксировалась фактическая доходность Y. Она может быть как выше, так и ниже прогнозной Yad. Вычислялась частота отклонений в меньшую сторону:

, 58 59

где – частота наблюдений, когда фактическая доходность была ниже прогнозной; – число наблюдений, когда фактическая доходность была ниже прогнозной; N – общее число наблюдений.

Значение частоты должно быть как можно ближе к выбранному уровню риска Risk. Отклонение в ту или иную сторону свидетельствует о неточности модели. Такие расчеты проводились одновременно для нескольких уровней риска: 0,01; 0,05; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7. Для удобства сопоставления моделей рассчитывалась ошибка :

, 60 61

где – величина для уровня риска Riski; m – количество уровней риска.

В табл. 4 приведены результаты оценки точности моделей риска и эффективности для портфеля из акций 6 российских компаний (Татнефть, Уралсвязьинформ, Сбербанк, РАО ЕЭС, Сургутнефтегаз, ГМК Норильский Никель). Брался 300 дневной период (с 8/11/2004 по 30/12/2005). Лучшие результаты показала модель с учетом зависимости от фактора.

Таблица 4. Результаты оценки точности моделей риска и эффективности

Уровень риска Модель	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7
Без учета зависимости	0,31	0,39	0,45	0,52	0,62	0,003
С полным учетом зависимости	0.28	0,38	0,46	0,58	0,69	0,0006
С учетом зависимости от фактора	0,31	0.38	0,49	0,59	0,68	0,0002
Нормальное распределение с учетом корреляции	0,24	0,34	0,5	0,65	0,74	0,0022

Экспериментальные исследования методов итеративной оптимизации показали эффективность обоих разработанных методов. Метод на основе градиентов требует несколько меньше вычислительного времени. Отличия в получаемых значениях x незначительны.

Выполнялись также исследования по управлению портфелем ценных бумаг. Это периодическое изменение долей активов в соответствии с результатами оптимизации. Приведен пример управления портфелем, состоящим из акций 8 российских компаний (Аэрофлот, ГМК Норильский Никель, Иркутскэнерго, Лукойл, Ростелеком, РАО ЕЭС, Сбербанк-п, Татнефть), па периоде с 1/1/2005 по 1/6/2005. В табл. 5 представлены показатели качества управления портфелем. Среди них коэффициенты Шарпа и Сортино, которые говорят, на сколько доходность портфеля оправдана принятым уровнем риска. Для сравнения также приведены характеристики для неизменяемого портфеля и индекса РТС. Данные свидетельствуют об эффективности управления портфелем. По доходности удалось значительно превысить индекс рынка и равновесный портфель, при этом стандартное отклонение доходности управляемого портфеля ниже. Коэффициенты Шарпа и Сортино оказались выше в 3,2 и в 4,8 раза. График изменения стоимости тестируемых позиций (рис. 3) также отражает эффективность подхода.

Таблица 5. Показатели качества управления портфелем

Позиция	Доход, %	Средняя доходность, % (недельная)	Стандартное отклонение доходности, % (недельное)	Коэффициент Шарпа	Коэффициент Сортино
Портфель неизменяемый	11,864	0,516	3,295	0,1	0.099
Портфель управляемый	20,743	0,868	2,717	0,251	0.433
Индекс РТС	8,634	0,425	3,089	0,078	0.09

Рисунок 3. Графики изменения стоимости позиций

Анализ риска и эффективности работы ГПА по данным мониторинга. ГПА – это устройство, которое используется в компрессорных станциях для повышения давления в газопроводе. В системе Газпрома на 2002г. число ГПА составило 4039 шт. Каждое состояние ГПА определяется множеством измеряемых параметров, таких как: обороты центробежного нагнетателя, объемный расход газа, обороты турбин высокого и низкого давления, давление и температура окружающей среды, давление и температура газа на входе и на выходе ГПА и т.д. Эти параметры измеряются для всех работающих ГПА через каждые 2 часа и сохраняются в центральной базе данных. В качестве параметра, характеризующего эффективность работы ГПА, была выбрана температура на выходе центробежного нагнетателя. Чем выше степень повышения давления, тем выше эта температура. Вместе с тем, высокая температура газа приводит к усилению коррозии и эрозии, разрушающих внутреннюю стенку трубопровода. Также она может означать неудовлетворительное техническое состояние каких-то элементов ГПА (износ каналов, увеличение торцевых и осевых зазоров для перетекания газа в центробежном нагнетателе), а, следовательно, неэффективную работу агрегата. В соответствии с ЛВ-подходом были введены конечные множества для значений параметров газа на входе и на выходе ГПА, задан допустимый уровень эффективности и рассчитаны частотные и вероятностные вклады для градаций влияющих параметров. Исследования показали перспективность разработанных методов анализа для диагностирования ГПА в режиме эксплуатации.

В ГЛАВЕ 4 описывается программный комплекс Portfolio RiskLab, реализующий разработанные в работе методы для управления риском и эффективностью портфеля ценных бумаг. Программный комплекс имеет следующие режимы работы: редактирование портфелей, оценка риска, оптимизация, тестирование управления портфеля на исторических данных, оценка точности моделей риска. Вид приложения в режимах редактирования портфелей и оценки риска представлен на рис. 4 и рис. 5.

Рисунок 4. Редактирование портфелей

Рисунок 5. Оценка риска портфеля

В режиме оценки риска возможно использование всех моделей, описанных в главе 2, а также нормального распределения с учетом корреляции. Рассчитываются такие характеристики как минимально допустимая эффективность (доходность) Yad при заданном уровне риска Risk, VaR портфеля, стандартное отклонение эффективности , мат ожидание эффективности , минимально допустимая стоимость Vad.

Оптимизации структуры портфеля осуществляется как методом случайного поиска, так и методом градиентов и возможна по одному из критериев: максимизация минимально допустимой эффективности при заданном риске (11), минимизация риска при заданном уровне минимально допустимой
эффективности (12).

В режиме тестирования управления портфелем можно выбрать разные портфели или разные модели риска и эффективности для одного и того же портфеля и сравнить их. Также можно сопоставить результаты управления с неизменным портфелем либо единичным инструментом, например индексом рынка. Учитывается комиссия за совершение операций купли и продажи ценных бумаг.

В режиме оценки точности моделей риска для заданного портфеля выбирается несколько моделей с разными параметрами. Задается интервал тестирования, горизонт прогнозирования и уровни риска. Как результат рассчитываются частоты (29) и ошибки (30) для каждой модели.

Основные результаты работы

В результате выполненного диссертационного исследования сделаны следующие основные выводы:

1. Предложен ЛВ-подход к управлению риском и эффективностью в структурно-сложных системах, в основе которого лежит введение конечных множеств для значений влияющих параметров и использование ЛВ-исчисления.
2. Сформулированы критерии и разработаны алгоритмы оптимизации весов влияющих параметров на основе методов случайного поиска и градиентов, учитывающие особенности ЛВ-моделей риска и эффективности.
3. Предложены методы анализа по вкладам влияющих параметров и их градаций в риск и эффективность.
4. Разработаны ЛВ-модели риска и эффективности:

• без учета зависимости между влияющими параметрами;
• с полным учетом зависимости между влияющими параметрами;
• с учетом зависимости влияющих параметров от внешнего фактора.

5. Расчетные исследования на реальных и модельных данных для портфеля ценных бумаг подтвердили:

• одинаковую точность расчета характеристик при аналитическом описании и с помощью ЛВ-модели, если доходности активов имеют нормальное распределение;
• эффективность использования ЛВ-моделей в случае, когда распределение доходности активов произвольное;
• возможность замены полного числа состояний портфеля неполным числом случайных состояний, полученных методом Монте-Карло, что решает проблему вычислительной сложности;
• большую точность прогнозирования ЛВ-моделей по сравнению с аналитической, использующей нормальный закон распределения.
• эффективность разработанных алгоритмов оптимизации на основе методов случайного поиска и градиентов.

6. Проведенные исследования по анализу риска и эффективности ГПА показали перспективность использования ЛВ-похода для диагностирования ГПА в режиме эксплуатации.
7. Разработан программный комплекс, реализующий ЛВ-модели, методы и алгоритмы для задач управления риском и эффективностью портфеля ценных бумаг, который используется в прикладных и в учебных целях.

Полученные в диссертационной работе результаты содержат решение актуальной научно-технической задачи по созданию математического и программного обеспечения для управления риском и эффективностью в структурно-сложных технических, социальных и экономических системах на основе логико-вероятностного подхода.

Развитие настоящего исследования заключается в разработке ЛВ-моделей риска и эффективности для различных структурно-сложных систем, экспертизе и сертификации методик и программных средств.

Публикации по теме работы

1. Алексеев В. В. Логико-вероятностное моделирование риска портфеля ценных бумаг / В. В. Алексеев, Е. Д. Соложенцев // Информационно-управляющие системы. 2007. №6. C. 49-56.
2. Алексеев В. В. Логико-вероятностное моделирование риска портфеля ценных бумаг как структурно сложного объекта / В. В. Алексеев // Научная сессия ГУАП: Сб. докладов: В 3 ч. Ч 2. Технические науки. СПбГУАП. СПб., 2008.
   С. 52-55.
3. Алексеев. В. В. Методические указания к лабораторным работам «Логико-вероятностная теория риска портфеля ценных бумаг» / В. В. Алексеев, Е. Д. Соложенцев, В. В. Шоколов. СПбГУАП. 2007. 48 с.
4. Алексеев В. В. Логико-вероятностный подход к риску портфеля ценных бумаг
   / В. В. Алексеев // Шестая научная сессия аспирантов ГУАП: cб. докл. в 2 ч.: ч.1 Технические науки. СПбГУАП. 2003. C. 3-7.
5. Алексеев В. В. Логико-вероятностное моделирование риска портфеля ценных бумаг с использованием копул / В. В. Алексеев В. В. Шоколов Е. Д. Соложенцев // Управление финансовыми рисками. 2006. №3. С. 272-274.
6. Алексеев В. В. Исследование оптимизации по LP-VaR структуры инвестиционного портфеля / В. В. Алексеев // Материалы международной конференции по машиностроению и безопасности человека. СПб ГУАП. 2004. С. 337-345.
7. Alexeev V. V. Logical-and-probabilistic modeling of security portfolio and copulas
   / V. V. Alexeev, V. V. Shokolov, E. D. Solojentsev // Mathematical Economics. Wrozlaw. №10. 2006. pp.73-88.
8. Alexeev V. V. Logical and probabilistic risk management of security portfolio / V. V. Alexeev, V. V. Shokolov // Proc. of the Fourth Int. Scien. School «Modelling and Analysis of Safety and Risk in Complex Systems». St. Petersburg: SPUASE, 2005. pp. 165-178.
9. Solojentsev E. D. Logic-and-probabilistic theory of security portfolio risk
   / E. D. Solojentsev, V. Alexeev // Proceedings of the Third International Scientific School «Modeling and Analysis of Safety and Risk in Complex Systems».
   St. Petersburg: SPSUASI, 2003. pp. 32-51.