Алексеевич методы анализа и синтеза математических моделей нечетких дискретных систем
На правах рукописи
Максимов Алексей Алексеевич
МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕЧЕТКИХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
05.13.18 – математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Саратов – 2008
Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный социально-экономический университет» и ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»
Научный руководитель: Заслуженный деятель науки
Российской Федерации,
лауреат премии Президента РФ,
доктор технических наук, профессор
Сытник Александр Александрович
Официальные оппоненты: доктор технических наук, доцент
Глазков Виктор Петрович
кандидат физико-математических наук,
доцент Богомолов Сергей Анатольевич
Ведущая организация: Институт проблем точной механики
и управления Российской академии наук
(г. Саратов)
Защита диссертации состоится “28” января 2009 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» (410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп. 1, ауд. 319).
С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».
Автореферат разослан “ 24 ” декабря 2008 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета А. А. Терентьев
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Развитие науки и техники ведет к всё большему усложнению, как объектов исследования, так и систем, их моделирующих.
В общем случае, при некоторых допущениях, любая система представляет собой некоторый объект, который может находиться в различных состояниях. Данные состояния меняются под воздействием внешней среды (входных сигналов) и, в свою очередь, сам объект формирует реакцию на воздействие внешней среды (с помощью выходных сигналов). Такое поведение систем часто описывается дискретными моделями, в частности, различными видами автоматов.
Задачи анализа, синтеза, а также задачи, связанные с исследованием функционального поведения автоматов, нашли отражение в работах Айзермана, Гилла, Трахтенброта, Минского, Шеннона, Джона фон Неймана, Яблонского, Богомолова, Сытника, Твердохлебова и многих других.
Вместе с тем, при построении моделей многих дискретных систем мы не можем однозначно определить возможность перехода системы из одного состояния в другое, а также однозначно описать взаимосвязь «входы-выходы» системы из-за различного рода неопределенностей. К таким системам относятся, например, всевозможные экспертные и биомедицинские системы, в которых появляется неопределенность, связанная с нечеткостью рассуждений, восприятия и нечеткостью в принятии решений экспертом.
К примеру, промоделировать изменение состояния некоего пациента детерминированным автоматом не представляется возможным, ввиду того, что эти изменения не определяются однозначно. Сложно сказать, в какой точно момент состояние пациента изменилось с «хорошего» на «удовлетворительное». Подобные системы описываются с помощью аппарата нечетких моделей.
Впервые модели такого рода ввел в обиход Лотфи Заде. Несколько позже Бартоломеем Коско было показано, что любая математическая система может быть аппроксимирована некоторой нечеткой моделью. Ви и Фу предложили конструкцию нечеткой автоматной модели, являющейся обобщением конструкции детерминированных автоматов, в которой неопределенность выражалась в том, что изменения состояний определялись не однозначно, а также имели некоторую оценку, например из отрезка [0,1]. Данная модель активно использовалась различными авторами для описания поведения систем с неоднозначно определенными состояниями.
Вместе с тем, задачи анализа и синтеза для нечетких моделей не рассматривались, поскольку непосредственный перенос результатов решения задач анализа и синтеза детерминированных автоматов на случай автоматов нечетких чрезвычайно затруднителен, требует построения новых методов, а также разработки аппарата исследования.
Нечеткие матрицы и нечеткие графы являются одними из средств для описания нечетких автоматов. Функция переходов для каждого входного сигнала нечеткого автомата представляется нечеткой матрицей (нечетким графом). Итерации входного сигнала соответствует возведение данной матрицы в степень. В связи с этим, при решении достаточно большого числа задач на нечетких автоматах, исследуют степени нечетких матриц. Так как общий состав элементов нечеткой матрицы при возведении её в степень не расширяется, то для каждой такой матрицы 
определены натуральные числа 
и 
(
) такие, что 
. Числа 
и 
, где 
и 
- наименьшие из натуральных чисел, для которых выполняется равенство 
, называют соответственно индексом и периодом нечеткой матрицы. Исследование индекса и периода нечетких матриц и графов тесным образом связано с исследованием функционального поведения нечетких автоматов.
Актуальными для нечетких матриц остаются задачи о реализуемости индексов и периодов нечеткими матрицами фиксированной размерности, о максимальном индексе и периоде нечеткой матрицы фиксированной размерности, а также вопросы об индексах и периодах нечетких графов того или иного типа (под индексом и периодом нечеткого графа будем понимать индекс и период его матрицы смежности) и др.
Всё вышесказанное определило актуальность следующей цели.
Цель работы. Целью работы являются исследование и разработка нечетких математических моделей дискретных систем (нечетких автоматов, нечетких матриц и нечетких графов), а также исследование таких характеристик нечетких матриц и графов как их индекс и период.
Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:
- разработать формальный аппарат (принципы) построения математических моделей для исследования нечетких систем (задача синтеза);
- разработать методы структурной декомпозиции и моделирования нечетких систем (задача анализа);
- разработать программные комплексы для моделирования и исследования функционального поведения нечетких дискретных систем.
Методы исследования. В работе использовались методы теории конечных автоматов и теории графов, теории алгоритмов и теории решеток, методы универсальной алгебры и логики, теории чисел и полугрупп.
Достоверность и обоснованность научных положений и результатов исследований подтверждаются корректностью применения апробированного математического аппарата универсальной алгебры, теории полугрупп, математической логики, а также согласованностью теоретических результатов с данными, полученными экспериментальным путем автором и другими исследователями.
Научная новизна диссертации заключается в следующем:
- для нечетких моделей дискретных систем: нечетких автоматов без функции выхода (полуавтоматов), нечетких автоматов с функцией выхода введены понятия подавтомата, гомоморфизма, конгруэнции, фактор-автомата; для введенных конструкций доказаны теоремы о гомоморфизмах; показано, что множество конгруэнций и множество подавтоматов нечеткого автомата (также полуавтомата) являются решетками;
- на основе полученных теоретических данных предложен новый алгоритм, строящий наибольшую конгруэнцию нечеткого автомата (также полуавтомата), содержащуюся в некотором отношении эквивалентности на множестве его состояний; на основе данного алгоритма предложен новый метод минимизации нечеткого автомата;
- проведен компьютерный эксперимент по подсчету индексов и периодов нечетких матриц фиксированных размерностей: до размерности
- нечеткие матрицы с числом порогов, равным двум, и до размерности 
с числом порогов до четырех включительно; показано, что не все индексы реализуются нечеткими матрицами фиксированной размерности; - получены оценки для индексов и периодов нечетких графов определенных типов; решены задачи нахождения индексов и периодов некоторых видов графов (неориентированные, бесконтурные, функциональные и др.); показано, что индекс нечеткой матрицы размерности
(индекс 
вершинного нечеткого графа) не превышает 
; данная оценка лучше оценки, полученной ранее Ли; - разработан программный комплекс для исследования свойств нечетких моделей дискретных систем (нечетких автоматов, нечетких полуавтоматов); разработан программный комплекс, позволяющий использовать компьютеры локальной сети для нахождения индексов и периодов нечетких матриц больших размерностей;
- рассмотрена возможность применения полученных результатов в моделях биомедицинских систем; показана возможность повышения семантической концентрации информации, содержащейся в нечетких моделях за счет снижения степени детализации нечеткости.
Научная и практическая ценность работы. Научная ценность работы заключается в разработке понятийного и методологического аппарата для нечетких моделей дискретных систем, что позволяет использовать методы теории конечных детерминированных автоматов при изучении автоматов нечетких. Доказан ряд теорем применительно к нечетким автоматам. Предложен новый метод минимизации нечетких автоматов. Данный метод позволяет уменьшить число состояний нечеткого автомата и упростить его техническую реализацию. В случае с экспертными системами это позволяет повысить семантическую концентрацию информации, а также снизить степень детализации нечеткости.
Полученные новые оценки для индексов и периодов нечетких матриц и графов определенных типов, а также решенные в рамках исследования задачи нахождения индексов и периодов некоторых видов графов (неориентированных, бесконтурных, функциональных и др.) позволят исследователям решать задачи управления поведением, задачи синхронизации и диагностирования нечетких автоматов.
Разработанные программные комплексы позволяют исследовать свойства нечетких моделей дискретных систем (нечетких автоматов, нечетких полуавтоматов), а также использовать компьютеры локальной сети для нахождения индексов и периодов матриц больших размерностей (данная задача является NP-полной).
Полученные теоретические результаты позволяют повысить семантическую концентрацию информации, содержащейся в нечетких моделях биомедицинских систем за счет снижения степени детализации нечеткости, что позволяет получить качественные суждения о состоянии больного при моделировании в терминах «хорошее», «удовлетворительное», «критическое», а не в терминах n-состояний, в которых может находиться модель.
На защиту выносятся:
- понятийный и методологический аппарат для нечетких полуавтоматов и собственно нечетких автоматов;
- теоремы о гомоморфизмах, конгруэнциях и фактор-автоматах нечеткого полуавтомата и собственно нечеткого автомата;
- доказательство того, что множество подавтоматов и множество конгруэнций нечеткого полуавтомата и собственно нечеткого автомата являются решетками;
- новый метод построения наибольшей конгруэнции для нечеткого полуавтомата и собственно нечеткого автомата; новый метод минимизации нечеткого полуавтомата и собственно нечеткого автомата;
- оценки для индексов и периодов нечетких матриц и графов определенных типов;
- решение задач по нахождению индексов и периодов некоторых видов графов (неориентированных, бесконтурных, функциональных и др.);
- программный комплекс, позволяющий использовать компьютеры локальной сети для нахождения индексов и периодов нечетких матриц больших размерностей;
- программный комплекс для исследования свойств нечетких моделей дискретных систем (нечетких автоматов, нечетких полуавтоматов).
Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на XIV и XV Международных научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (г. Москва, МГУ, 2007, 2008 гг.); Международной научной конференции «Компьютерные науки и информационные технологии» (г. Саратов, СГУ, 2007 г.); VIII Всероссийской научно-технической конференции (г. Улан-Удэ, ВСГТУ, 2007 г.); Ежегодных конференциях по итогам научно-исследовательской работы Саратовского государственного социально-экономического университета «Социально-экономическое развитие России: Проблемы, поиски, решения» (Саратов, 2007, 2008 гг.).
Публикации. Основные результаты опубликованы в 12 работах, из которых одна в издании, включенном в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук». Разработанный автором программный комплекс для исследования свойств нечетких моделей дискретных систем зарегистрирован в Отраслевом фонде алгоритмов и программ.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 81 наименование, и трех приложений. Общий объем работы 130 стр.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении показаны актуальность работы, научная новизна и практическая значимость. Произведен анализ литературы, сформулированы цели и задачи диссертационного исследования.
В первой главе излагаются основные понятия, необходимые для последовательного развития методов и моделей нечетких дискретных систем, производится уточнение общепринятой терминологии, приводятся необходимые определения и обозначения из теории упорядоченных множеств и алгебраической теории решеток, вводится система обозначений.
Вторая глава посвящена изучению нечетких автоматов. Параграф 2.1 посвящен изучению нечетких полуавтоматов, а параграф 2.2 - изучению нечетких автоматов с функцией выхода. Приведем несколько определений.
Нечетким автоматом (или нечетким полуавтоматом) называется тройка 
, где 
и 
- непустые конечные множества (множество состояний и множество входных сигналов), а 
- отображение, нечеткая функция переходов (через 
обозначена совокупность всех нечетких подмножеств множества 
).
Для данного вида нечетких автоматов в работе впервые введены такие понятия как гомоморфизм, конгруэнция и фактор-автомат.
Подмножество 
множества 
называется устойчивым в нечетком автомате 
, если 
, где 
- носитель нечеткого вектора, 
.
Нечеткий автомат 
называется подавтоматом нечеткого автомата 
, если 
- устойчивое подмножество множества состояний нечеткого автомата 
, а 
- сужение функции переходов на множестве 
. Совокупность всех подавтоматов нечеткого автомата 
обозначают 
.
Пусть 
и 
- два нечетких автомата с одним и тем же входным алфавитом (сравнимые автоматы), тогда гомоморфизмом нечеткого автомата 
в нечеткий автомат 
называется отображение 
такое, что 
.
Теорема 2.1.1 Пусть 
- гомоморфизм нечеткого автомата 
в нечеткий автомат 
. Тогда:
- если
, то 
; - если
, то 
.
Теорема 2.1.2 Совокупность 
всех подавтоматов нечеткого автомата 
вместе с пустым подавтоматом образует решетку.
Пусть 
- отношение эквивалентности на множестве 
, а 
и 
- два нечетких вектора над 
. Тогда 
(т.е. 
и 
находятся в отношении эквивалентности 
) тогда и только тогда, когда 
.
Отношение эквивалентности 
называется конгруэнцией нечеткого автомата 
, если 
для любых 
.
Пусть 
- конгруэнция нечеткого автомата 
. Фактор-автоматом нечеткого автомата 
по конгруэнции 
называется нечеткий автомат 
, где 
есть перенесение 
на фактор-множество 
: по определению 
для любых 
.
В работе показано наличие тесных математических взаимосвязей между введенными понятиями, справедливость которых позволяет доказать следующую теорему.
Теорема 2.1.6 Множество всех конгруэнций нечеткого автомата образует полную решетку.
Данная теорема является центральной теоремой параграфа 2.1, поскольку она говорит нам о наличии структуры решетки на множестве всех конгруэнций нечеткого автомата, что дает возможность искать наибольшую и/или наименьшую конгруэнцию нечеткого автомата, т.е. решать задачу минимизации нечеткого автомата алгебраическими методами. Именно благодаря теореме 2.1.6 стало возможным сформулировать и доказать следующую теорему.
Теорема 2.1.7 Пусть 
- некоторое отношение эквивалентности на множестве состояний нечеткого автомата 
, 
- семейство отношений, определенных следующим образом:
,
; 
- наибольшая конгруэнция, содержащаяся в отношении эквивалентности 
. Тогда, если 
, то 
.
Теорема 2.1.7 предлагает способ построения наибольшей конгруэнции нечеткого автомата, содержащейся в некотором отношении эквивалентности на множестве его состояний.
Нечетким автоматом с функцией выхода называется пятерка 
, где 
, 
и 
- непустые конечные множества (множества состояний, входных и выходных сигналов соответственно), отображения 
и 
- нечеткие функции переходов и выходов соответственно, а также выполняется следующее условие: 
.
Для нечетких автоматов с функцией выхода в работе были впервые введены такие понятия как гомоморфизм, конгруэнция и фактор-автомат, хорошо согласующиеся с аналогичными конструкциями, введенными для нечетких полуавтоматов. Теорема 2.1.7 принимает следующий вид.
Теорема 2.2.7. Пусть 
- некоторое отношение эквивалентности на множестве состояний нечеткого автомата 
, 
- семейство отношений, определенных следующим образом:
, 
, 
- наибольшая конгруэнция, содержащаяся в отношении эквивалентности 
. Тогда, если 
, то 
.
На основании данной теоремы в работе предложен алгоритм построения наибольшей конгруэнции, содержащейся в некотором отношении эквивалентности на множестве состояний нечеткого автомата с функцией выхода, со сложностью 
, где 
- число состояний нечеткого автомата, 
- число его входных сигналов, а l- число его выходных сигналов.
Таким образом, доказанные теоремы позволяют строить модели нечетких автоматов с необходимой степенью точности.
Третья глава диссертационного исследования посвящена вопросам, связанным с исследованием свойств нечетких матриц и графов. Функция переходов для каждого входного сигнала нечеткого автомата представляется нечеткой матрицей. Итерации входного сигнала соответствует возведение данной матрицы в степень. Поэтому исследование функционального поведения нечеткого автомата тесно связано с исследованием степеней нечетких матриц и графов.
Одними из наиболее важных характеристик нечетких матриц являются значения их индекса и периода. Ранее было обнаружено (Томасон), что степени нечетких матриц либо сходятся, либо обладают конечным периодом. То есть, для каждой нечеткой матрицы 
определены натуральные числа 
и 
(
) такие, что 
. Числа 
и 
, где 
и 
- наименьшие из натуральных чисел, для которых выполняется равенство 
, называют соответственно индексом и периодом нечеткой матрицы.
В работе рассматривается задача, связанная с реализацией индексов и периодов нечеткими матрицами фиксированных размерностей. Ввиду её сложности и ресурсоемкости был разработан специальный программный комплекс, состоящий из следующих модулей (см. рисунок):
- сервера баз данных (использовался MS SQL Server),
- диспетчера заданий,
- клиентских частей.
Общая схема взаимодействия модулей программного комплекса
На вход диспетчера заданий подается группа матриц для нахождения их индексов и периодов. После синхронизации с сервером БД и клиентскими частями, диспетчер заданий передает клиентам некоторые части заданной группы матриц на обсчет. Если со стороны какой-либо клиентской части в процессе обсчета произошла ошибка, то задание выдается вторично и выполняется заново. После завершения обсчета клиентские части передают диспетчеру сведения о завершении обсчета и отправляют результаты на сервер баз данных.
В таблице представлены результаты вычислительного эксперимента по подсчету индексов и периодов нечетких матриц с числом порогов, равным двум размерности 
. Из таблицы видно, что для данных матриц индексы 6 и 7 остаются нереализованными, хотя значения 8 и 9 для индекса допустимы.
Индексы и периоды всех нечетких матриц размерности 
, число порогов 2
| Период Индекс | 1 | 2 | 3 | 4 | Всего с фиксированным индексом |
| 0 | 2360 | 1042 | 156 | 6 | 3564 |
| 1 | 25096 | 2616 | 48 | 0 | 27760 |
| 2 | 24036 | 480 | 48 | 0 | 24564 |
| 3 | 7164 | 72 | 0 | 0 | 7236 |
| 4 | 2004 | 0 | 0 | 0 | 2004 |
| 5 | 360 | 0 | 0 | 0 | 360 |
| 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 8 | 24 | 0 | 0 | 0 | 24 |
| 9 | 24 | 0 | 0 | 0 | 24 |
| Всего с фиксированным периодом | 61068 | 4210 | 252 | 6 | Всего: 65536 |
Данное наблюдение верно также и для матриц размерности 
и 
, для обсчета которых было задействовано 10 клиентских компьютеров. Обсчет двоичных булевых матриц размерности 
занял около семи часов.
В работе также решаются задачи нахождения индексов и периодов некоторых видов графов (неориентированные, ориентированные, нечеткие).
Направленным (или ориентированным) нечетким графом называется пара 
, где 
- конечное непустое множество (вершины графа), а 
– нечеткое отношение на множестве 
. Пара 
называется дугой графа (или ориентированным ребром) с началом 
и концом 
; 
– значение функции принадлежности для ребра 
(вес ребра). Причем вершины являются инцидентными в том и только в том случае, если 
. Отношения 
называют нечетким отношением смежности, а соответствующую ему нечеткую матрицу 
– нечеткой матрицей смежности графа 
.
Говоря об индексе и периоде графа 
(нечеткого графа 
), будем иметь в виду индекс и период его матрицы смежности (нечеткой матрицы смежности) и писать 
и 
(
и 
) соответственно.
Центральное место в данном параграфе занимает следующая теорема.
Теорема 3.3.3 Для любой нечеткой матрицы 
размерности 
справедлива следующая оценка 
.
Данная оценка лучше оценки, полученной ранее Ли.
Графы 
и 
называются изоморфными, если существует биекция 
, сохраняющая отношение смежности: 
для любых 
.
Нечеткая матрица 
называется подобной нечеткой матрице 
, если существует перестановочная (т.е. имеющая в каждой строке и в каждом столбце точно одну единицу) двоичная булева матрица 
такая, что 
. Так как 
(тождественная матрица), то 
, т.е. 
подобна 
. Для подобных матриц доказана справедливость следующей теоремы.
Теорема 3.3.5 Подобные нечеткие матрицы имеют равные индексы и равные периоды.
Как следствие из этой теоремы устанавливается тот факт, что изоморфные графы имеют равные индексы и равные периоды.
Теорема 3.3.9 Пусть 
сильносвязный 
- вершинный орграф, тогда его период 
.
Теорема 3.3.10 Неориентированный граф имеет период, равный 1 или 2.
Граф 
называется функциональным, если 
- однозначное отношение (каждая вершина является началом единственной дуги). Под высотой вершины в функциональном графе понимается расстояние от нее до контура, т.е. минимальная из длин цепей, началом которых является данная вершина, а концом – вершина, принадлежащая контуру.
Теорема 3.3.14 Индекс функционального графа равен уменьшенной на единицу максимальной из высот его элементов, а период – наименьшему общему кратному длин его контуров.
Данные теоремы дают оценки индексов и периодов нечетких матриц и графов определенных типов. В практических целях значения индекса и периода используют для предсказания поведения моделей нечетких дискретных систем, а также для управления этим поведением. Задача нахождения индексов и периодов нечетких матриц и графов является NP-полной, это означает, что их нахождение в реальных системах достаточно затруднительно, например, в биомедицинских системах размерность таких матриц и графов может достигать чрезвычайно больших значений. Теоремы 3.3.7-3.3.14 позволяют оценивать индекс и период через классификацию графа. Алгоритмы классификации, как правило, имеют полиномиальную сложность, что позволяет значительно ускорить процесс отыскания индексов и периодов нечетких матриц и графов.
Разработанный программный комплекс позволяет задействовать компьютеры локальной сети для нахождения индексов и периодов нечетких матриц больших размерностей.
Рассмотрим применение полученных результатов в моделях биомедицинских систем.
Пусть имеется некоторый пациент, пораженный двумя взаимовлияющими заболеваниями. Лечение пациента состоит в приеме лекарств двух типов.
При моделировании терапевтического воздействия получим нечеткий автомат с двумя входными сигналами, соответствующими поступлению лекарств в организм. Далее врач или несколько врачей, основываясь на данных о пациенте, дают прогнозные оценки действия каждого лекарства, оценивая возможности изменения состояний больного. Переводя лингвистические оценки в нечеткий вид, получим матрицы перехода некоторого нечеткого автомата. Состоянию данного автомата будет соответствовать набор характеристик пациента, например, значение уровня сахара в крови, принадлежащее к некоторому отрезку значений, артериальное давление из некоторого диапазона и некоторые другие дополнительные параметры.
Формализация изложенной ситуации позволяет получить нечеткий автомат с двумя входными сигналами и, например, десятью состояниями: 
, где 
, 
и функция переходов 
задана следующими нечеткими матрицами перехода:
,
.
Задача получения качественных суждений о состоянии больного при моделировании в терминах «хорошее», «удовлетворительное», «критическое», а не в терминах n-состояний, в которых может находиться модель, решается посредством минимизации числа состояний следующим образом. Используя разработанный в рамках исследования алгоритм по построению конгруэнций нечеткого автомата, получаем 3 возможные разбиения его множества состояний на классы:
,
,
;
Каждой конгруэнции соответствует некоторая модель нечеткого автомата. Состояния данной модели являются обобщениями состояний исходного нечеткого автомата.
Выбирая, например, 
и строя по ней модель исходного автомата, получим автомат с тремя состояниями, которые можно интерпретировать как «хорошее», «удовлетворительное» и «критическое». Полученная модель будет иметь вид: 
, где 
, 
и функция переходов 
задана следующими нечеткими матрицами перехода:
Важно, что получившийся автомат полностью сохраняет функциональное поведение исходного автомата.
Далее, используя данную модель, можно оценить степень совместимости применяемых лекарственных средств, а также время достижения положительного эффекта для пациента.
Эти задачи решаются следующим образом. Функциональное поведение построенной нечеткой модели будет отражать изменение состояния пациента с течением времени. Поскольку два препарата вводятся последовательно, то их совокупному воздействию будет соответствовать матрица переходов, равная произведению матриц, соответствующих введению первого и второго препаратов, т.е. матрица 
.
Регулярному приему препаратов будет соответствовать возведение данной матрицы в степень. Важными являются значения индекса и периода данной матрицы.
Матрицы, входящие в период, будут описывать цикличность изменения состояния пациента. Изучение периодичности функционального поведения нечеткого автомата позволяет дать рекомендации о применении дополнительных препаратов, с целью стабилизации состояния пациента. Рассматривая наш пример, 
и выполняется условие 
. Это означает, что период матрицы 
в нашем случае принимает значение, равное единице. То есть, в течение любого срока совместного применения препаратов, начиная с некоторого момента, нечеткая матрица переходов будет иметь один и тот же вид, что является достаточно хорошим показателем совместимости препаратов.
Значение индекса данной матрицы отражает время, необходимое для достижения положительного эффекта. В нашем случае индекс матрицы 
равен нулю. Это говорит о том, что основной терапевтический эффект будет достигаться сразу же после приема препарата. Таким образом, формальный аппарат моделей нечетких систем может быть достаточно успешно применен в различных биомедицинских системах.
В приложении приводится листинг программного кода, отвечающего за процедуру быстрого умножения булевых матриц в программном комплексе «Универсально-алгебраические конструкции для нечетких автоматов «УАК 1.0»», зарегистрированном в Отраслевом фонде алгоритмов и программ под номером 7498, приводятся данные вычислительного эксперимента по подсчету индексов и периодов нечетких матриц фиксированной размерности.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
- разработан понятийный и методологический аппарат для нечетких полуавтоматов и собственно нечетких автоматов; введены понятия подавтомата, гомоморфизма, конгруэнции, фактор-автомата;
- для введенных конструкций разработаны и доказаны теоремы о гомоморфизмах; показано, что множество конгруэнций и множество подавтоматов нечеткого автомата (а также и нечеткого полуавтомата) являются решетками;
- на основе полученных теоретических результатов предложен новый алгоритм, строящий наибольшую конгруэнцию нечеткого автомата (также полуавтомата), содержащуюся в некотором отношении эквивалентности на множестве его состояний; рассмотрен вопрос использования данного алгоритма в задачах минимизации нечетких автоматов;
- рассмотрены задачи, связанные с нахождением индекса и периода нечетких матриц; проведен компьютерный эксперимент по подсчету индексов и периодов нечетких матриц фиксированных размерностей: до размерности
- нечеткие матрицы с числом порогов, равным двум, и до размерности 
с числом порогов до четырех включительно, в результате чего было обнаружено, что не все индексы реализуются нечеткими матрицами фиксированной размерности; - получены новые оценки для индексов и периодов нечетких графов определенных типов, решены задачи нахождения индексов и периодов некоторых видов графов (неориентированные, бесконтурные, функциональные и др.); показано, что индекс нечеткой матрицы размерности
(индекс 
вершинного нечеткого графа) не превышает 
; данная оценка лучше оценки, полученной ранее Ли; - разработан программный комплекс (зарегистрирован в Отраслевом фонде алгоритмов и программ) для исследования свойств нечетких моделей дискретных систем (нечетких автоматов, нечетких полуавтоматов); разработан программный комплекс, позволяющий использовать компьютеры локальной сети для нахождения индексов и периодов нечетких матриц больших размерностей ;
- рассмотрена возможность применения полученных результатов в моделях биомедицинских систем; показана возможность повышения семантической концентрации информации, содержащейся в нечетких моделях за счет снижения степени детализации нечеткости.
ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
I. Публикации в центральных изданиях, включенных в перечень
периодических изданий ВАК РФ
- Максимов А.А. Исследование сложных информационных систем с использованием универсально-алгебраических конструкций нечетких автоматов /А. А. Максимов // Вестник Саратовского государственного социально-экономического университета. - 2006.- №14(3)- С.126-128.
II. Публикации в других изданиях
- Максимов А.А. Универсально-алгебраические конструкции для нечетких автоматов /А. А. Максимов // Молодежь. Образование. Экономика: сб. науч. статей участников конф.: в 4 ч. – Ярославль: РЕМДЕР. – 2004. – Ч. 4. С. 309-314.
- Максимов А.А. Об индексе и периоде нечеткой матрицы / А.А. Максимов; Сарат. гос. ун-т.- Саратов, 2005. – 11 с. – Библиогр.: 2 назв. – Рус. – Деп. в ВИНИТИ 20.01.05, № 78-В2005.
- Максимов А.А. Базы данных алгебраических свойств некоторых дискретных объектов/ А. А. Максимов // Теоретические проблемы информатики и её приложений: сб. науч. тр. / под ред. проф. А.А. Сытника. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. – Вып.7. - С. 81-86.
- Максимов А.А. Индексы и периоды нечетких матриц и графов / А. А. Максимов, В. Н. Салий // Теоретические проблемы информатики и её приложений: сб. науч. тр. / под ред. проф. А.А. Сытника. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. – Вып.7. - С. 87-95.
- Максимов А.А. Минимизация сложных информационных систем с использованием универсально-алгебраических конструкций нечетких автоматов /А.А. Максимов // Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий: Материалы Всерос. науч.-техн. конф. Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2007. С.187-191.
- Максимов А.А. Универсально-алгебраические конструкции для нечетких автоматов «УАК 1.0» /А.А. Максимов // Компьютерные учебные программы и инновации (Телеграф Отраслевого фонда алгоритмов и программ). - 2007, №1(24).
- Максимов А.А. Универсально-алгебраические конструкции для нечетких автоматов «УАК 1.0» /А.А. Максимов.- М.: ВНТИЦ, 2007. - №50200700129.
- Максимов А.А. О некоторых свойствах универсально-алгебраических конструкций для нечетких автоматов с функцией выхода /А.А. Максимов // Компьютерные науки и информационные технологии: тез. докл. Междунар. науч. конф., посвящ. памяти проф. А.М. Богомолова. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007.- С. 76-77.
- Максимов А.А. Свойства некоторых универсально-алгебраических конструкций нечетких автоматов /А.А. Максимов // Ломоносов - 2007: материалы ХIV Междунар. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых: секция «Вычислительная математика и кибернетика» - М.: МГУ, 2007.- С. 53.
- Максимов А.А. О некоторых свойствах универсально-алгебраических конструкций нечетких автоматов /А.А. Максимов // Социально-экономическое развитие России: Проблемы, поиски, решения: сб. науч. трудов по итогам научно-исследовательской работы Саратовского государственного социально-экономического университета в 2006 году: в 4 ч. / Сарат. гос. соц.-эконом. ун-т. - Саратов, 2007. Ч. 2. – С. 101-102.
- Максимов А.А. Об индексах и периодах нечетких матриц и графов / А.А. Максимов // Ломоносов - 2008: материалы ХV Междунар. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых: секция «Вычислительная математика и кибернетика» - М.: МГУ, 2008.- С. 58.
Максимов Алексей Алексеевич
МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕЧЕТКИХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Автореферат
Корректор О.А. Панина
Подписано в печать 24.12.08 Формат 60х84 1/16
Бум. офсет. Усл. печ. л. 1,0 Уч.-изд. л. 1,0
Тираж 100 экз. Заказ 387 Бесплатно
Саратовский государственный технический университет
410054, Саратов, Политехническая ул., 77
Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77
