Исследование периодических процессов в математических моделях динамических систем с запаздыванием, релаксацией и подкачкой

111 На правах рукописи

Сеславин Андрей Андреевич

Исследование периодических процессов в математических моделях динамических систем с запаздыванием, релаксацией и подкачкой

Специальность: 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва 2009

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» (МИИТ) на кафедре «Прикладная математика 1»

Научный руководитель:	доктор физико-математических наук, профессор Мышкис Анатолий Дмитриевич
Официальные оппоненты:	доктор физико-математических наук, профессор Власов Виктор Валентинович; доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов Евгений Борисович
Ведущая организация:	Факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. Ломоносова

Защита состоится «13» мая 2009 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 218.005.10 в Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ) по адресу: 127994, Москва, ул. Образцова, д.9, стр. 9, ауд. 1235.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан « » апреля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат

технических наук, профессор В.П. Соловьев

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования.

В диссертации исследовались, представляющиеся в настоящее время важными и перспективными в плане применения, динамические системы с наличием запаздывания и подкачек. Многие динамические системы являются составными и содержат в себе несколько связанных между собой подсистем. Во многих случаях процессы в различных подсистемах сильно различаются по времени. В таких случаях целесообразно изучать предельные динамические системы, в которых быстрые процессы в некоторых подсистемах считаются мгновенно проходящими. В этих случаях результат таких процессов сказывается в медленной части системы в виде мгновенного изменения некоторых фазовых координат. Такое явление называется подкачкой. В теоретических работах и в приложениях теории колебаний изучались и использовались только простейшие динамические системы в виде обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с подкачкой. Классическим примером таких разрывных колебаний являются генераторы пилообразного напряжения.

Отсутствие общих аналитических методов исследования не позволяло изучать периодические процессы в системах с подкачкой и сдерживало возможность разработки устройств, описываемых такими математическими моделями. Несмотря на то, что были известны некоторые свойства простейших систем с запаздыванием и подкачкой, а также сформулирован ряд гипотез о существовании и единственности периодических решений в них, отсутствие общих методов решения этих вопросов не позволяло накапливать опыт решения поставленных задач. Поэтому на данный момент развития исследования этой проблематики возникла необходимость разработки специального аппарата аналитического исследования для изучения уже поставленных задач, как в случае непрерывных, так и для дискретных моделей динамических систем с подкачкой, а также доказательства и проверки высказанных гипотез.

Особый интерес представляют динамические системы с запаздыванием, как пример бесконечномерной динамической системы. Математические модели для систем с запаздыванием и подкачкой были впервые предложены А.Д. Мышкисом. Им же были осуществлены первые исследования в этой области и высказан ряд гипотез, которые изучались в настоящей работе. Разрабатываемый математический аппарат исследования должен быть приспособлен и для исследования такого рода систем. Необходимо находить при заданных значениях параметров все периодические процессы, а также выделять те из них, которые обладают свойствами, обусловленными условием подкачки. В простейших случаях такое условие является условием неотрицательности решения. Также требуется находить все множество значений параметров, при которых существуют периодические решения, а также проводить исследования устойчивости этих решений.

Цель работы. Целью работы является разработка методики исследования непрерывных и дискретных динамических систем с условием возможной подкачки, как содержащих запаздывание, так и без него. В соответствии с поставленной целью основными задачами исследования

являются:

1. Нахождение максимального множества значений параметра непрерывной динамической системы первого порядка с запаздыванием и условием подкачки для которых справедлива теорема о существовании и единственности положительных периодических решений.
2. Нахождение аналитического выражения для периодического решения непрерывной динамической системы первого порядка с запаздыванием и условием подкачки в виде ряда или конечного выражения.
3. Нахождение максимального множества значений параметра дискретной динамической системы второго порядка с условием подкачки, для которых справедлива теорема о существовании и единственности положительных периодических решений.
4. Нахождение аналитического выражения для периодического решения дискретной динамической системы второго порядка с условием подкачки. Исследовать найденные решения на устойчивость как в малом, так и «в целом».
5. Для непрерывной динамической системы второго порядка с условием подкачки требуется найти максимальную область значений параметров, при которых существует единственное периодическое решение. Исследовать это периодическое решение на устойчивость.
6. Разработать комплекс программ, позволяющий численно строить периодические решения исследуемых динамических систем и проверять точность аналитических оценок областей существования периодических решений.

Личное участие автора в получении изложенных результатов состоит в том, что им:

Разработана методика, основанная на применении интегрального преобразования Эйлера-Лапласа, позволяющая подробно изучить свойства периодических решений динамических систем с запаздыванием и подкачкой. В частности:

• Решена задача о нахождении необходимых и достаточных условий существования периодических решений в непрерывной системе с запаздыванием и подкачкой;
• Решена задача о нахождении необходимых и достаточных условий существования периодических решений в дискретной системе с запаздыванием и подкачкой;
• Самостоятельно поставлена и решена задача о нахождении необходимых и достаточных условий существования периодических решений в непрерывной системе второго порядка с возможностью подкачки;
• На основе, разработанного комплекса программ, проведены серии расчетов процессов в различных динамических системах с запаздыванием и подкачкой.

Методологические исследования проведены на основе использования интегрального преобразования Эйлера-Лапласа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, теории разностных уравнений, качественной теории динамических систем, теории устойчивости, численных методов решения алгебраических и дифференциальных уравнений.

Научная новизна диссертационной работы и практическое значение.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

• Специально для модели непрерывных динамических систем с запаздыванием и без него автором был впервые использован метод, основанный на интегральном преобразовании Эйлера-Лапласа, который позволяет свести изучение исходной системы с возможностью подкачки к изучению особого рода бесконечномерной в случае наличия запаздывания системы разностных уравнений;
• Для непрерывной системы первого порядка с запаздыванием и подкачкой сформулирована и доказана теорема существования и единственности однофрагментных положительных периодических решений;
• При исследовании дискретной системы второго порядка с возможностью подкачки изучены все случаи, при которых существуют однофрагментные колебания. Доказано, что помимо найденных периодических решений, других не существует. Доказано, что при фиксированном значении параметра динамической системы, в ней может существовать не более двух видов однофрагментных колебаний с подкачкой. Доказаны необходимые и достаточные условия единственности периодического решения дискретной системы, исследована их устойчивость периодических решений в целом;
• Для непрерывной динамической системы второго порядка с возможностью подкачки найдены необходимые и достаточные условия существования периодических решений, доказана единственность периодических решений при каждом конкретном случае значений параметров непрерывной системы второго порядка.

Практическая ценность работы заключается в возможности применения разработанной методики для изучения для математических моделей динамических систем более общего вида, а также для изучения колебательных процессов в целом ряде электронных устройств (например, генераторов колебаний специальной формы).

Реализация и апробация результатов исследования.

Основные результаты и выводы диссертационного исследования докладывались, обсуждались и получили положительную оценку на ряде научных семинаров и конференций:

• Международная конференция «The Fifth International Conference on Differential and Functional Differential Equations», Moscow, The Peoples’ Friendship University of Russia (PFUR), 2008.
• Научный семинар Российского университета дружбы народов (РУДН) под руководством д.ф.-м.н. профессора Скубачевского А.Л. 2008 г.
• Научный семинар Московского государственного университета путей сообщений (МИИТ) под руководством д.ф.-м.н. профессоров Братуся А.С. и Мышкиса А.Д. 2005-2009 г.
• Научный семинар Механико-математического факультета Московского государственного университета им. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н. профессоров Власова В.В., Мирзоева К.А., Костюченко А.Г. 2008-2009 г.
• Научно-практическая конференция «Наука и техника транспорту 2005», г. Москва, МИИТ, 2005г.
• Научно-практическая конференция «Наука и техника транспорту 2004», г. Москва, МИИТ, 2004г.

Публикации.

Основные положения диссертации опубликованы в пяти работах автора. Работы [4, 5] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка использованных источников и приложения, содержит 32 рисунка и 2 таблицы. Общий объем составляет 114 страниц, библиография содержит 40 наименований.

Содержание работы

Введение содержит обоснование актуальности темы исследования, в нем сформулирована цель диссертационной работы и основы методологии исследования, отмечена также научная новизна, теоретическое и практическое значение работы.

Первая глава посвящена постановке исходной задачи. Динамической системой с подкачкой в дальнейшем будем называть систему дифференциальных или разностных уравнений с дополнительным условием подкачки. Это условие состоит в том, что в случае достижения фазовой переменной определенной конкретной величины, происходит мгновенное изменение этой фазовой переменной до другого определенного значения (происходит подкачка). Фрагментом решения описанной динамической системы будем называть сужение решения на интервал между двумя последовательными подкачками. Длительность этого фрагмента называется временем релаксации в системе. Однофрагментным периодическим решением динамической системы называется периодическое решение, на периоде которого решение сохраняет свойства непрерывности. Исследуемая в работе непрерывная динамическая система с запаздыванием и подкачкой, впервые изученная в работе А.Д. Мышкиса^[1], имеет следующий вид:

(1)

удовлетворяющей следующему условию подкачки:

.

Решение однозначно определяется заданием начальной функции

В этой системе в качестве левого предела при скачкообразном явлении подкачки принято нулевое значение фазового переменного, правым пределом принята единица. Время запаздывания в примере принято равным единице. Такие параметры динамической системы выбраны из соображений удобства дальнейшего исследования и на самом деле не умаляют общности. Это связано с тем, что перемасштабированием фазовой переменной можно перейти от произвольной величины подкачки к единичной, а введением масштаба по времени можно перейти от произвольной величины запаздывания к единичной.

Впервые колебания динамических систем со специальными условиями толчков были рассмотрены в серии работ А.Д. Мышкиса^[2]. Этим же автором впервые изучена непрерывная система с запаздыванием и подкачкой вида (1)^[3].

В указанных работах А.Д. Мышкиса изучались условия существования периодических колебаний в системах такого рода. В последней цитируемой работе с помощью теорем сравнения было доказано, что при решение системы (1) при положительных начальных условиях на x(t) положительно и монотонно, а при имеет бесконечное число подкачек. Поэтому необходимым условием существования периодических решений служит неравенство

.

Доказательство условия отсутствия у решения разрывов было впервые предложено автором настоящей работы.

Также в этой статье отдельное внимание было уделено нахождению необходимых и достаточных условий существования однофрагментных колебаний с рациональным периодом. Использованный в работе А.Д. Мышкисом метод был использован в настоящей работе при исследовании случая, когда период колебаний , а также для случая, так называемых малых периодов. В работе А.Д. Мышкиса^[4] впервые была поставлена задача об исследовании периодических решений дискретной системы

с заданными начальными условиями .

Условие подкачки принимается следующим: если при последовательном вычислении получаем впервые , то вместо него полагаем и при строим решение по найденным и в качестве начальных условий. В указанной работе были найдены достаточные условия отсутствия периодических решений.

Начиная с 2005 года, автором настоящей работы были разработаны алгоритмы расчета непрерывных и дискретных систем с запаздыванием и подкачкой, на основе которых были сделаны многочисленные расчеты на ЭВМ, которые уточнили представления о процессах, происходящих в этих системах.

В первой главе также уделяется внимание рассмотрению некоторых свойств решений простейшего дифференциального уравнения с запаздыванием вида (1) и корней его характеристического уравнения. В литературе^[5] собраны многочисленные свойства нулей квазиполиномов. Однако, для целей исследования периодических решений в системах с возможностью подкачки и наличием запаздывания, которые будут рассмотрены во второй главе настоящей работы, требуется некоторая дополнительная информация о свойствах корней характеристического уравнения системы первого порядка с запаздыванием. Это связано с тем, что интересующие нас колебания могут происходить лишь в случаях, когда параметр характеристического уравнения удовлетворяет определенным ограничениям. В такой постановке задача о локализации корней характеристического уравнения еще не ставилась.

Полученные в данной главе свойства корней характеристического уравнения

(2)

позволяют доказать, что в интересующем нас промежутке изменения параметров, среди корней характеристического уравнения (2) имеется пара комплексно сопряженных, обладающая наибольшими действительными частями, расположенными на интервале (-1,0). Остальные корни характеристического уравнения имеют действительные части меньшие -1. Существуют корни характеристического уравнения со сколь угодно большими по модулю и отрицательными действительными частями. Известно, что решение линейного дифференциального уравнения с запаздыванием может быть представлено в виде разложения в сумму экспонент, показателями которых являются корни характеристического уравнения. Поэтому следует ожидать возможной доминации над другими члена указанного разложения, соответствующего той паре комплексно сопряженных корней, которая имеет наибольшую действительную часть. Поскольку указанный член ряда можно найти аналитически, то в целом ряде случаев этот член с высокой степенью точности представляет все разложение решения. Расчеты на ЭВМ подтвердили этот вывод. Оценки корней в указанном выше интервале значения параметров дифференциального уравнения с запаздыванием использованы в теоретических исследованиях главы 2 настоящей работы.

Вторая глава посвящена исследованию вопроса о существовании и единственности периодического решения динамической системы (1). В основе математического аппарата лежит применение интегрального преобразования Эйлера-Лапласа^[6].

С его помощью исследование динамической системы сводится к изучению свойств функции

, (3)

где - некий корень уравнения (2), , - период предполагаемого решения.

Замечание. В работе доказана равномерная сходимость ряда (3) а также некоторых ему подобных, используемых для доказательств основных теорем.

Благодаря доказательству свойств функции в настоящей работе сформулирована и доказана теорема о существовании периодическом решении x(t) динамической системы (1).

Теорема 1. При функция

(4)

может быть непрерывно продолжена до такой периодической функции с периодом , которая не имеет разрывов на интервале .

С помощью интегрального преобразования Эйлера-Лапласа получено разложение в виде ряда для сужения на отрезок [-1,0] периодического решения непрерывной динамической системы с несколькими запаздываниями и возможностью подкачки. Полученная формула обобщает результаты, найденные для единственного запаздывания и может быть использована как для изучения проблемы существования и единственности периодического решения, так и для численного построения этого решения.

Стоит заметить, что функция (3) также неявно зависит от параметра k исходной системы (1). Полученные оценки на частные производные позволили сформулировать и доказать теорему единственности периодического решения системы (1).

Теорема 2. При каждом значение параметра существует единственное ,

удовлетворяющее уравнению , при котором периодическое решение x(t) системы (1) положительно на интервале и

Теорема полностью решает поставленную задачу для случая, когда период решения . Отдельно исследован случай так называемых «малых периодов» .

Из анализа, проведенного для возможных периодов колебаний длительностью меньшей 2, доказано, что существует счетное число значений параметра k,

задаваемое следующей формулой:

, ,

при которых имеются однофрагментные периодические решения системы (1) с длинами периодов . Доказано, что не существует иных, кроме перечисленных параметров k, при которых существовали бы неотрицательные периодические решения системы.

В этой главе рассмотрены также некоторые общие принципы нахождения условий существования колебаний в динамических системах с подкачкой.

Теорема 3. Пусть непрерывная функция f(t) обладает односторонним преобразованием Лапласа F(p). Причем, F(p) является непрерывной функцией действительного p, имеющей равные пределы на и . Тогда f(t) принимает как положительные, так и отрицательные значения.

На основе теоремы 3 и необходимых условий знакопеременности функций, следующих из свойств ее изображения по Лапласу и Эйлеру-Лапласу, создается возможность получить эффективные необходимые критерии существования периодических решений в более сложных динамических системах с подкачкой.

С помощью интегрального преобразования Эйлера-Лапласа получено разложение в виде ряда для сужения на отрезок [-1,0] периодического решения непрерывной динамической системы с несколькими запаздываниями и возможностью подкачки. Полученная формула обобщает результаты, найденные для единственного запаздывания и может быть использована как для изучения проблемы существования и единственности периодического решения, так и для численного построения этого решения.

В третьей главе данной работы изучаются дискретные динамические системы, а также системы, описываемые обыкновенным дифференциальными уравнениями второго порядка, но с условием возможного возникновения подкачки.

Задача состоит в нахождении периодических решений в нелинейной дискретной динамической системе

второго порядка следующего вида:

(5)

c начальными условиями . Номер k, на котором , называется k-ым моментом подкачки. Процесс, описываемый положительным фрагментом решения основного уравнения, заключенный между двумя соседними подкачками будем называть релаксацией.

Целью данного исследования является определение условий существования периодического решения у такой системы в зависимости от параметра h и начальных значений решения. Если периодические решения существуют, то необходимо найти их аналитически и исследовать на устойчивость по Ляпунову.

Сформулированы и доказаны следующие теоремы:

Теорема 4. В исследуемой системе при h>1 существует единственное положительное периодическое и неустойчивое решение.

Теорема 5. В случае любое, не тождественно нулевое решение первого уравнения динамической системы (5) (без требования подкачки) является знакопеременной последовательностью.

Теорема 6. В случае существует не более двух однофрагментных периодических положительных решений в системе (5).

Теорема 7. В исходной динамической системе невозможны многофрагментные положительные периодические решения. Если периодическое решение единственно, при фиксированном h, то оно устойчиво в целом. Если периодических решений два, то каждое из них

устойчиво по Ляпунову и объединение их областей устойчивости совпадает со всеми возможными значениями начального условия.

Проведенный анализ системы (5) позволяет:

• изучить все случаи, при которых существуют однофрагментные периодические решения;
• доказать, что помимо найденных решений дискретной динамической системы второго порядка с возможностью подкачки, других периодических не существует;
• доказать гипотезу А.Д. Мышкиса о том, что условие является необходимым и достаточным условием отсутствия периодических решений у дискретной динамической системы второго порядка;
• доказать, что при фиксированном значении параметра дискретной динамической системы второго порядка, в ней может существовать не более двух видов однофрагментных колебаний с подкачкой;

• найти необходимые и достаточные условия того, что периодическое решение в дискретной системе единственно;
• исследовать устойчивость периодических решений дискретной динамической системы «в целом».

Также в третьей главе изучалась конечномерная непрерывная динамическая система, определяемая следующим линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка:

(6)

и условием подкачки:

Требуется найти все периодические решения динамической системы. Из ее определения следует, что периодические решения неотрицательны.

Для непрерывной динамической системы второго порядка с возможностью подкачки найдены необходимые и достаточные условия существования периодических решений.

Доказана единственность периодических решений при каждом конкретном случае значений параметров непрерывной системы второго порядка.

Доказано, что уравнения, позволяющие получать периодические решения, могут быть найдены как с помощью классических методов теории дифференциальных уравнений, так и с помощью интегрального преобразования Эйлера-Лапласа. Последний метод, являясь более гибким, позволяет получать некоторые существенные качественные свойства периодических решений.

Доказано, что если корни характеристического уравнения непрерывной динамической системы второго порядка действительны и различны, то, либо вообще не существует периодических решений, либо такое решение единственно и неустойчиво. В случае кратных ненулевых корней периодические решения отсутствуют. В случае же, когда корни комплексные, и характеристическое уравнение устойчиво, то существует и единственно устойчивое в целом периодическое решение динамической системы. Если же характеристическое уравнение неустойчиво и имеет комплексные корни, то периодические решения в динамической системе отсутствуют.

Четвертая глава диссертации посвящена разработке комплекса программ для численных расчетов периодических процессов в динамических системах с запаздыванием, подкачкой и релаксацией и проверке данных, полученных аналитически, численными экспериментами.

На основе доказанных в первой главе свойств корней характеристического уравнения (2) непрерывной динамической системы с запаздыванием первого порядка оказалось возможным предложить численный метод расчета действительных и мнимых частей этих корней. На основе алгоритма составлена программа, реализованная в среде MAPLE 9. Численные расчеты по указанной программе подтвердили правильность остальных свойств корней, при значениях параметра.

На основе найденной в главе второй формулы для функции (3), нули которой соответствуют длинам периодов колебаний в непрерывной системе с подкачкой и запаздыванием, а также с использованием разработанного алгоритма нахождения корней характеристического уравнения (2) был предложен алгоритм численного нахождения длин периодов периодических решений исследуемой системы. На основе алгоритма составлена программа, реализованная в среде MAPLE 9.

Был предложен алгоритм численного нахождения периодического решения непрерывной динамической системы с запаздыванием и подкачкой в виде найденного в главе 2 экспоненциального разложения. На основе алгоритма составлена программа, реализованная в среде MAPLE 9.

Для проверки правильности расчетов, предложенных алгоритмов, был реализован алгоритм прямого решения исходного дифференциального уравнения с запаздыванием и подкачкой. Расчеты показали совпадение с результатами, полученными на основе экспоненциального разложения, с точностью до погрешности используемого численного метода.

Заключение.

Результатом проведенного исследования является методика исследования непрерывных и дискретных динамических систем с условием возможной подкачки, как содержащих запаздывание, так и без него, позволяющая решить следующие задачи:

1. Сформулирована и доказана теорема существования и единственности неотрицательного однофрагментного периодического решения динамической системы (1) для каждого значения параметра k в интервале .

2. Найдено уравнение для длин периодов решений системы (2) при параметре k из указанного интервала. Найден общий вид периодического решения в указанном интервале изменения параметра k.

3. Из анализа, проведенного для возможных периодов колебаний длительностью меньшей 2, доказано, что существует лишь счетное число значений параметра k, при которых имеются однофрагментные периодические решения системы (1).

5. При исследовании дискретной системы второго порядка с возможностью подкачки изучены все случаи, при которых существуют однофрагментные периодические решения. Исследована устойчивость периодических решений дискретной динамической системы «в целом».

6. Для непрерывной динамической системы второго порядка с возможностью подкачки найдены необходимые и достаточные условия существования периодических решений. Исследована устойчивость периодических решений этой непрерывной системы «в целом».

7. Разработанный комплекс программ позволяет численно получать следующие результаты:

• Рассчитывать действительные и мнимые части корней уравнения (2).
• Находить длины периодов колебаний в непрерывной системе с подкачкой и запаздыванием.

• Строить периодическое решение непрерывной динамической системы с запаздыванием и подкачкой в виде экспоненциального разложения (4).
• Для проверки правильности расчетов, реализован алгоритм прямого решения исходного уравнения с запаздыванием и подкачкой.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Сеславин А.А. Локализация корней характеристического уравнения замкнутой системы с интегратором и запаздыванием. Труды научно-практической конференции «Неделя Науки 2004. Наука - транспорту», М., 2005.
2. Сеславин А.А. Применение интегрального преобразования Эйлера-Лапласа для исследования колебаний замкнутой системы с запаздыванием и релаксацией. Труды научно-практической конференции «Неделя Науки 2005. Наука - транспорту», М., 2006.
3. Сеславин А.А. Исследование периодических решений линейной непрерывной системы первого порядка с запаздыванием и релаксацией. Труды научно-практической конференции «Неделя Науки 2005. Наука - транспорту», М., 2006.
4. Сеславин А.А. Исследование периодических решений непрерывной динамической системы с запаздыванием и подкачкой. Журнал «Дифференциальные уравнения», 2009, т.45, №2, с. 162-168.
5. Сеславин А.А. Положительные периодические решения непрерывной динамической системы с запаздыванием и подкачкой. Журнал «Дифференциальные уравнения», 2009, т45, №3, с. 354-362.

СЕСЛАВИН АНДРЕЙ АНДРЕЕВИЧ

Исследование периодических процессов в математических моделях динамических систем с запаздыванием, релаксацией и подкачкой

Специальность: 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Подписано в печать Усл.-печ.л.-1,5

Печать офсетная.

Бумага для множит. апп. Формат 60х84 1/16

Тираж 80 экз. Заказ №

Типография МИИТ, 127994, Москва, ул. Образцова, д.9, стр. 9

---

^[1] Мышкис А.Д. Системы с последействием и релаксацией. Прикладная математика и механика, 1994, 58,6, 141-144.

^[2] Мышкис А.Д., Мильман В.Д. Об устойчивости движения при наличии толчков. Сиб. матем. ж., 1960,1,№2, с. 233-237

Мышкис А.Д., Мильман В.Д. Случайные толчки в линейных динамических системах. П конф. по нелин. колебаниям, резюме докладов. 1962, Варшава, с. 19 - 22.

Мышкис А.Д., Паршикова П.П. Колебания в системах с переключением соавтор. VI международная конференция по нелинейным колебаниям, тезисы докладов, 1972, Варшава, с. 94 - 95.

^[3] Мышкис А.Д. Простейшая система с последействием и релаксацией. Прикладная математика и механика, 68:4(2004), 693-697.

^[4] Myshkis A.D. The simplest discrete system with relaxation. Journal of Applied Mathematics and Mechanics 68(2004), 623-627.

^[5] Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. "Мир", М., 1967.

Bellman R., On the computational solution of differential-difference equation. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1961, volume 2, №1, p. 108-110.

Постников Л.В., Королев В.И. Сборник задач по теории колебаний. М., "Наука", 1978.

^[6] Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. ИЛ, 1961.