Методы, алгоритм ы и программ ы моделирования кинетики химических и био х и мических процессов с использованием инте р вального анализа

На правах рукописи

ХАЙДАРОВ АНДРЕЙ ГЕННАДЬЕВИЧ

методЫ, алгоритмЫ и программЫ

моделирования кинетики химических

и биоХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ с использованием

интервального анализа

05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ

КАНДИДАТА ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК

Санкт-Петербург

2012 г.

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном

учреждении высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный технологический институт

(технический университет)»

Научный руководитель –

заслуженный работник высшей школы РФ,

доктор технических наук, профессор,

заведующий кафедры математического моделирования и

оптимизации химико-технологических процессов, СПбГТИ(ТУ),

Холоднов

Владислав Алексеевич

Официальные оппоненты –

заслуженный деятель науки РФ,

доктор технических наук, профессор,

заведующий кафедры машины и

аппараты химических производств, СПбГТИ(ТУ),

Веригин

Александр Николаевич

Кандидат технических наук,

доцент кафедры процессов и аппаратов

химической технологии,

Санкт-Петербургская государственная

химико-фармацевтическая академия,

Маркова

Алла Валентиновна

Ведущая организация – Институт информатики Академии Наук

Республики Татарстан, г. Казань.

Защита состоится « 26 » апреля 2012 г. в 16 час., ауд. 61 на заседании диссертационного совета Д 212.230.03 при федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет)»

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке института

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 190013, Санкт-Петербург, Московский пр. д.26, Санкт-Петербургский Государственный технологический институт (технический университет), Ученый совет; тел. 494-93-75; факс: 712-77-91; e-mail: [email protected].

Автореферат разослан « » 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета В.И. Халимон

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Компьютерное моделирование химических реакторов доказало свою актуальность и перспективность, поскольку позволяет выполнять расчет материальных, тепловых балансов и осуществлять поиск наилучших режимов функционирования.

Решающее значение при выборе условий проведения химико-технологических процессов имеют вопросы определения скорости химических превращений, изучаемые химической кинетикой. Кинетические уравнения, содержащие необходимую информацию об основных закономерностях химических превращений, являются первоосновой математической модели химического реактора.

В настоящее время накоплен значительный опыт по решению традиционных для химической кинетики прямых и обратных задач.

Следует отметить большой вклад в разработку программных комплексов для исследования кинетических моделей Ю.В. Шарикова, В.И. Коробова, В.Ф. Очкова и др. В этих работах рассматривается традиционный подход к моделированию кинетики химических реакций с помощью компьютерных технологий и сетевых расчетов на Mathcad Calculation Server.

При решении прямых и обратных задач для сложных химических и биохимических реакций используются различные пакеты оптимизации GAMS, MATLAB, Mosaic и др., и применяются методы онлайн оптимизации: AMPL - сайт, BARON, Network-Enabled Optimization System Server.

В этих и ранних работах не рассматриваются задачи, связанные с неопределенностью кинетических параметров. Моделирование сложных химических и биохимических процессов основано на номинальных значениях кинетических параметров.

Такой подход имеет недостаток, который заключается в том, что не позволяет судить о протекании процессов в химических реакторах во всем диапазоне изменяющихся режимов их функционирования. Последнее обстоятельство очень важно, если учесть, что подсистема химического превращения вносит существенный вклад в структуру себестоимости получения любого конечного продукта.

В научной литературе опубликованы работы, в которых рассмотрены вопросы влияния неопределенности исходной информации на результаты моделирования технических объектов (Grossmann I.E., Островский Г.М., Зиятдинов Н.Н, Дворецкий С.И., Егоров А.Ф., Холоднов В.А. и др.). В работах Вощинина А.П., Нариньяни А.С., Шарого С.П., Шокина Ю.И., Левина В.И. и других при моделировании и оптимизации технических объектов в условиях неопределенности развиваются интервальные методы анализа.

Автором впервые при решении прямых и обратных задач химической кинетики для сложных химических и биохимических реакций используются интервальные методы.

В диссертационном исследовании речь идет об интервальной неопределенности кинетических параметров. Интервальная неопределенность предполагает естественную для задач химической технологии ограниченность кинетических параметров и их представление диапазоном возможных значений переменных.

Предложенные методы, алгоритмы и программы для моделирования кинетики химических и биохимических реакций с использованием интервального метода опробованы для исследования сложных процессов в химических, в том числе, и в микроструктурных (микро) реакторах.

Актуальность диссертационного исследования определяется тем, что в нем приведены разработанные автором методики, алгоритмы и программы для моделирования кинетики химических, биохимических реакций в химических реакторах в условиях интервальной неопределенности кинетических параметров с использованием интервальных методов. В работе впервые предложен интервальный метод вычисления чувствительности значений концентраций веществ к изменению констант скоростей реакций.

Применение интервальных методов, алгоритмов и программ позволит на новом уровне подойти к проблеме моделирования сложных химических и биохимических процессов в химических реакторах.

Цель диссертационной работы. Разработка совокупности взаимодополняющих методов, алгоритмов и программ для определения кинетических параметров сложных химических и биохимических процессов на основе экспериментальных данных с использованием интервальных методов.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

• проведен анализ существующих алгоритмов и программ для сложных химических и биохимических процессов на основе экспериментальных данных;
• обоснован выбор и разработан алгоритм адаптации метода огибающих для решения систем дифференциальных уравнений при решении прямой и обратной задач химической кинетики в интервальной постановке;
• адаптирован метод глобальной оптимизации в пакете программ Mathematica для решения обратных задач химической кинетики в интервальной постановке;
• создан пользовательский интерфейс для решения прямых и обратных задач кинетики химических и биохимических процессов в интервальной постановке;
• разработаны методы, алгоритмы и программы для решения прямых и обратных задач химической кинетики в интервальной постановке. Протестированы предложенные методы, алгоритмы и программы с использованием вычислительного и натурного экспериментов;
• предложена методика моделирования кинетики химических и биохимических процессов на основе разработанных алгоритмов;
• Проведен анализ чувствительности концентраций веществ к изменению кинетических параметров.

Объект исследования. Химические и биохимические процессы в химических реакторах, рассматриваемые в диссертационном исследовании.

Предмет исследования. Кинетические модели химических и биохимических процессов в условиях интервальной неопределенности кинетических параметров.

Методы исследования. В диссертации использованы методы: системного анализа, химической кинетики, математического моделирования и оптимизации химико-технологических процессов, компьютерной и интервальной математики.

Инструменты исследования. Интерактивные вычислительные системы Wolfram Mathematica, программирование пользовательского интерфейса.

Обоснованность научных результатов обеспечивается применением современных математических методов моделирования кинетики химических, биохимических реакторов, тестированием разработанных алгоритмов и программ и совпадение результатов вычислений с известными результатами натурных экспериментов.

Достоверность теоретических разработок подтверждена совпадением результатов вычислительного эксперимента на ПК с литературными и экспериментальными данными, что позволяет сделать вывод об эффективности разработанных алгоритмов и программ с использованием интервальных методов.

Научная новизна работы:

Проведено комплексное исследование кинетики важнейших химических и биохимических процессов в химических реакторах на основе интервального анализа с применением компьютерной технологии математического моделирования, натурного и вычислительного экспериментов:

1. Интервальные модели важнейших химико-технологических процессов:

1. тонкого органического синтеза: получение бета нафталин сульфокислоты, альфа нафталин сульфокислоты, алкилирования фенилацетонитрила в микрореакторе в интервальной постановке;
2. биохимического биокаталитического восстановления этилового эфира циклогексанонкарбоновой кислоты в этиловый эфир (1R,2S)-цис-2-гидроксициклогексанкарбоновой кислоты в присутствии Saccharomyces cerevisiae в микроструктурном реакторе в интервальной постановке.

2. Численные методы:

1. интервальный метод для определения кинетических параметров химических и биохимических процессов по экспериментальным данным;
2. метод и алгоритм автоматизированного задания схемы химических реакций;
3. предложенный метод анализа чувствительности параметров математических моделей на основе интервального подхода;
4. модификация интервального метода огибающих для решения систем дифференциальных уравнений, описывающих химическую кинетику.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методы и алгоритмы:

1. решения прямой и обратной задачи кинетики химических и биохимических реакций в интервальной постановке;
2. вычисления чувствительности концентраций веществ к изменению кинетических параметров;
3. алгоритм автоматического генерирования системы дифференциальных уравнений на основе различных подходов к составлению схемы химических реакций;
4. модификация алгоритма огибающих для решения систем дифференциальных уравнений с учетом погрешности экспериментальных данных.

2. Математические модели в интервальной постановке:

1. для исследования процессов тонкого органического синтеза;
2. для описания кинетики биохимических процессов в микрореакторах;

3. Разработанные программные комплексы:

1. для решения прямых, обратных задач химической кинетики, в том числе и в интервальной постановке;
2. для исследования чувствительности концентраций веществ к изменению констант скоростей реакций.

4. Результаты математического моделирования исследованных процессов.

Практическая значимость и реализация результатов работы. На основе теоретических результатов работы предложены и разработаны алгоритмы и программы для моделирования химических, биохимических реакций в реакторах. Для иллюстрации работоспособности предлагаемых методов и алгоритмов решены задачи по комплексному исследованию различных химических и биохимических процессов в реакторах.

Разработанные методы, алгоритмы и программы используются в учебном процессе в Санкт-Петербургском государственном технологическом институте (техническом университете), Казанском национальном исследовательском технологическом университете, Березниковском филиале Пермского государственного технического университета и в Тамбовском государственном техническом университете.

Работа была выполнена в рамках следующих проектов при поддержке Правительства РФ:

• Проект «Фундаментальные исследования закономерностей взаимосвязи основных параметров каталитических процессов в микроструктурных реакторах в условиях неопределённости исходной информации», реализуемый в рамках Аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы" 2009-2010 гг.
• Проект «Интервальный подход к решению задач по математическому моделированию и оптимизации химических и биохимических процессов в микроструктурных реакторах в условиях неопределенности исходной информации», реализуемый в рамках Аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы" 2009-2010 гг.
• Проект «Математические модели и методы интервального анализа для исследования и оптимизации биокаталитических процессов в микрореакторе», реализуемый в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийских и международных научных конференциях: «Системы компьютерной математики и их приложения», Смоленск, СмолГУ, 2011 г.; «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-24», Киев, КПИ, 2011 г.; «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования», Санкт-Петербург, СПбГТИ(ТУ), 2009 г.; «Актуальные проблемы химико-технологического образования», РХТУ им. Д.И.Менделеева, 2011 г. Получен сертификат участника ММТТ-24.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 9 печатных работ, из которых 4 входит в рекомендуемый ВАК перечень.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы. Работа изложена на 149 страницах основного текста, содержит 55 рисунков, 17 таблиц, библиографический список литературы включает 121 наименований.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность решаемой научной проблемы, показана её практическая значимость, сформулированы цель и задачи исследования, приведены положения, выносимые на защиту, показана их научная новизна и практическая значимость.

1 Аналитический обзор научно-технической литературы

Моделирование химического реактора является важнейшей задачей при моделировании всего процесса в целом. Основой моделирования реактора является химическая кинетика. Кинетические уравнения являются первоосновой математической модели химического реактора и получаются при решении прямых и обратных задач химической кинетики.

Моделирование и оптимизация процессов на основе средних значений параметров математического описания не позволяет гарантировать режим функционирования, который может возникать в процессе эксплуатации. В связи с этим в последнее время используется перспективное и быстро развивающееся направление последних лет – математическое моделирование и оптимизация на основе интервальных данных, когда параметры математического описания задаются не числами, а интервалами.

На основе литературного обзора были поставлены задачи диссертационного исследования.

2 Алгоритмы численных методов и комплексов программ

с использованием интервальных методов

Интервальный подход обусловлен погрешностью измерения значений концентраций при проведении кинетических исследований. В последнее время для учета погрешностей при обработке экспериментальных данных получил распространение интервальный анализ.

В главе 2 подробно рассмотрены существующие математические методы, на основании которых был разработан и далее реализован в среде Mathematica модуль для интервального решения задач химической кинетики.

Рассмотрены следующие вопросы: основы интервальной арифметики, методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений в интервальной постановке, алгоритмы нахождения интервалов констант скоростей реакций при решении обратной задачи.

На основе рассмотренных алгоритмов был выбран метод огибающих, который при сравнительно небольших вычислительных затратах позволяет построить сходящееся двустороннее решение с приемлемой точностью.

2.1 Алгоритм метода огибающих для решения прямой кинетической задачи

Для построения двустороннего решения системы дифференциальных уравнений используется модифицированный автором метод:

1. Задание исходных данных;
2. Вычисление множества решений для интервальных параметров для заданной системе дифференциальных кинетических уравнений;
3. Выбор h - шага разбиения исходного временного интервала;
4. Реализация последовательного цикла по исходному времени пребывания для его отдельных участков [i, i + h]:
1. если временной участок требует построения огибающей, то огибающая рассчитывается для заданного участка;
2. если временной участок не требует построения огибающей, то в качестве границ двустороннего решения выбираются соответствующие частные решения;
5. Уменьшение шага h и возврат к п.3 в случае, если точность полученного двустороннего решения системы дифференциальных уравнений ниже заданной;
6. Вывод полученных результатов в табличном или графическом виде.

2.2 Постановка интервальной обратной кинетической задачи

Задачу интервального оценивания можно сформулировать так: по экспериментальным данным построить числовой интервал, относительно которого можно сказать, что внутри этого интервала находится оцениваемый параметр. Интервальное оценивание особенно необходимо при малом числе наблюдений, когда точечная оценка мало надежна.

Интервальная модель изменения концентраций веществ задается следующими соотношениями:

, (1)

где - заданные начальные концентрации веществ;

n - количество участвующих в реакции веществ;

– верхняя и нижняя граница значений констант скоростей реакции для . Если этот интервал велик, то оценка, произведенная с его помощью, мало пригодна для практики.

2.3 Алгоритм для определения интервалов констант скоростей реакции и проверка адекватности математической модели:

1. Задание верхних и нижних границ для расчета интервалов констант скоростей реакции.
2. Задание целевой функции - суммы квадратов отклонений расчетных значений концентраций от экспериментальных данных с учетом весовых коэффициентов.
   , (2)
   где ­ целевая функция, , - соответственно экспериментальные и расчетные концентрации, - весовой коэффициент, - количество определяемых констант, n – количество экспериментальных точек в одном наборе, m – количество наборов экспериментальных точек.
3. Задание ограничений по концентрациям веществ.
   Задачу минимизации целевой функции можно сформулировать следующим образом: найти минимум целевой функции Z при ограничениях . При этом минимум целевой функции отыскивается внутри области ограничений с использованием штрафной функции .

, (3)

4. Определение средних значений констант в заданных интервалах, при которых целевая функция минимальна. Эти константы являются промежуточными для дальнейшего поиска.
5. Задание ограничений по константам скоростей реакций:
   (4)
   где - промежуточные значения констант скоростей реакции, - отклонения от промежуточного значения для i-ой константы, - значения констант;
6. Поиск значений , при которых обеспечивается попадание некоторого числа экспериментальных точек (N) внутрь расчетных интервалов концентраций для полученных значений интервальных констант:
   N = AM, (5)
   где N – сумма всех экспериментальных точек, лежащих внутри расчетных интервалов для всех концентраций, А – коэффициент, задающий соотношение между количеством попадающих в интервал точек и шириной интервала,
   M – общее количество экспериментальных точек.
   Так как для одного значения А существует бесчисленное множество наборов значений , нужно выбрать оптимальный набор, при котором ширина интервалов концентраций будет минимальна
7. Проверка адекватности по известным методикам с использованием критерия Фишера и скорректированного коэффициента детерминации :
   (6)
   где N – число опытов, m – число подбираемых параметров математического описания, R – коэффициент детерминации.

На рисунке 1 представлена блок-схема алгоритма решения обратной задачи химической кинетики в интервальной постановке.

3 Практическое использование комплекса программ

для моделирования кинетики химических процессов

В данной главе предлагается программный комплекс, который позволяет решать прямые и обратные задачи в традиционной и интервальной постановке с помощью Wolfram Mathematica. Алгоритмы для данного комплекса созданы с применением интервальных методов.

Комплекс алгоритмов и программ протестирован на процессе получения
-нафталинсульфокислоты. Для удобства пользователей создан удобный интерфейс, а данные для расчета сохраняются в обычном текстовом файле.

Рисунок 1 – Блок- схема алгоритма для решения обратной задачи химической кинетики в интервальной постановке

3.1 Исследование математической модели синтеза моносульфокислот нафталина с использованием интервального анализа

Математическая модель была построена по литературным данным и собственным исследованиям процесса синтеза сульфокислот нафталина.

Экспериментальные данные были получены на лабораторной установке периодического действия в изотермических условиях при различных температурах ведения процесса.

Математическое описание реакции сульфирования нафталина в периодическом реакторе в изотермических условиях для различных гипотез можно представить в виде:

(7)

где A, B, D – соответственно концентрации - и - нафталин сульфокислот и дисульфокислоты, кмоль/м3;

N, S, W - концентрация нафталина, сульфирующего агента и воды, кмоль/м3;

индекс 0 относит соответствующую концентрацию к начальному моменту времени;

k1, k2, k3, k4, k5 – интервальные константы скоростей реакций (нижняя черта – нижняя граница, верхняя черта – верхняя граница) сульфирования нафталина в и -положения и реакции изомеризации -нафталинсульфокислоты в -нафталинсульфокислоту, м3/(кмоль.ч).

Таким образом, математическая модель реакции сульфирования нафталина для одного из сульфирующих агентов представляет собой систему из трех обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с известными начальными условиями и неизвестными постоянными коэффициентами и трех уравнений материального баланса для химической реакции. Среди всевозможных решений этой системы (каждое из которых соответствует одному набору констант) необходимо найти такое, которое сводит к минимуму функционал отклонения, характеризующий отклонение экспериментальных данных от расчетных.

С использованием предложенного во второй главе алгоритма по разработанной программе Interval Kinetic впервые были определены интервальные оценки кинетических параметров для данного процесса с учетом различной погрешности определения концентрация альфа-, бета- и дисульфокислот нафталина. Относительная погрешность определения концентраций альфа-, бета- сульфокислот 10%, а относительная погрешность измерения дисульфокислот 15%, что принималось во внимание в алгоритме решения обратной задачи и соответствует числу значащих цифр в значениях кинетических параметров в таблице 1.

Адекватность полученных моделей проверялась на основе вычисления критерия Фишера и на основе скорректированного коэффициента детерминации.

Полученные результаты приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Рассчитанные интервальные значения логарифмов предэкспоненциальных множителей и энергий активаций сульфирования нафталина

Параметр	Реагент
	SO3	HSO3+	S2O6
ln k01	[16.94, 17.01]	[13.59, 13.65]	[12.94, 12.99]
ln k02	[13.98, 14.04]	[13.81, 13.87]	[12.91, 12.96]
ln k03	[28.26, 28.37]	[22.16, 22.25]	[20.20, 20.28]
ln k04	[19.49, 19.56]	[23.17, 23.27]	[25.77, 25.87]
ln k05	[15.09, 15.15]	[12.37, 12.42]	[12.07, 12.12]
ln k06	[15.26, 15.32]	[12.03, 12.08]	[11.18, 11.23]
E1, ккал/моль	[11088, 11133]	[6893, 6921]	[5864, 5887]
E2, ккал/моль	[13136, 13189]	[13137, 13189]	[13137, 13189]
E3, ккал/моль	[20679, 20762]	[14186, 14243]	[11389, 11434]
E4, ккал/моль	[20379, 20461]	[23776, 23871]	[27672, 27783]
E5, ккал/моль	[13136, 13189]	[8991, 9027]	[7592, 7623]
E6, ккал/моль	[11788, 11835]	[7592,7623]	[6234, 6259]

На основании проведенных вычислений была строго подтверждена гипотеза о том, что сульфирующим агентом является SO3.

Аналогичные исследования были проведены для сульфирования нафталина в среде дихлорэтана до -нафталин сульфокислот. Результаты моделирования и адекватность полученных результатов реальному процессу представлены в диссертации в разделе 3.5.2 и подтверждают работоспособность разработанного программного комплекса.

3.2 Исследование математической модели алкилирования фенилацетонитрила в микроструктурном реакторе на основе модели идеального вытеснения с использованием интервального анализа

Прямая задача

Реакция алкилирования фенилацетонитрила при условии раздела фаз проходит на границе контакта водной и органической фаз. Применение микрореактора обеспечивает эффективное перемешивание фаз и смещение реагентов к поверхности раздела фаз, что позволяет получить максимальный выхода целевого продукта.

Для решения прямой задачи химической кинетики процесса алкилирования с помощью разработанного комплекса программ Interval Kinetic сначала необходимо ввести исходные данные: схему реакций, начальные приближения для констант скоростей. На рисунках 2 и 3 представлены формы ввода начальных данных для процесса алкилирования:

Рисунок 2 - Задание нижней и верхней границ для начальных концентраций веществ в реакции алкилирования

Рисунок 3 - Матрица стехеометрических коэффициентов реакции при решении прямой задачи кинетики для реакции алкилирования

По исходной схеме реакций с помощью предложенного алгоритма программой автоматически генерируется система дифференциальных уравнений с известными граничными условиями, характеризующая изменение концентраций веществ для реакции алкилирования фенилацетонитрила (см. рис. 4).

Рисунок 4 – Система дифференциальных уравнений для реакции алкилирования

Обратная задача

Для решения обратной задачи в программе необходимо задать экспериментальные значения концентраций (см. рис. 5) и их относительную погрешность:

Рисунок 5 - Исходные значения концентраций для решения обратной задачи алкилирования фенилацетонитрила

В результате решения обратной задачи были получены интервальные значения констант скоростей реакции.

В таблице 2 представлены экспериментальные и расчетные значения концентраций при известных экспериментальных значениях концентраций для четырех веществ.

Таблица 2 – Результаты решения обратной задачи химической кинетики для процесса алкилирования фенилацетонитрила с учетом относительной погрешности

экспериментальных данных

Обозначения веществ	Моменты времени, мин
	1	2	3	4	1	2	3	4
	Экспериментальные значения концентраций, кмоль/м3				Расчетные значения концентраций (верхняя и нижняя границы), кмоль/м3
	1.371	1.077	0.835	0.677	[1.362, 1.479]	[0.975, 1.096]	[0.793, 0.911]	[0.682, 0.799]
	–	–	–	–	[1.624, 1.745]	[1.210, 1.332]	[1.010, 1.128]	[0.888, 0.999]
	0.171	0.112	0.072	0.048	[0.172, 0.208]	[0.094, 0.111]	[0.063, 0.075]	[0.048, 0.056]
	–	–	–	–	[1.565, 1.686]	[1.978, 2.100]	[2.182, 2.300]	[2.310, 2.422]
	–	–	–	–	[1.565, 1.686]	[1.978, 2.100]	[2.182, 2.300]	[2.310, 2.422]
	–	–	–	–	[1.748, 1.881]	[1.248, 1.378]	[1.015, 1.137]	[0.875, 0.991]
	–	–	–	–	[1.302, 1.437]	[1.741, 1.886]	[1.937, 2.087]	[2.049, 2.203]
	–	–	–	–	[1.359, 1.492]	[1.862, 1.992]	[2.103, 2.225]	[2.249, 2.365]
	0.012	0.008	0.010	0.007	[0.009, 0.012]	[0.008, 0.012]	[0.007, 0.010]	[0.006, 0.009]
	0.021	0.056	0.060	0.100	[0.020, 0.026]	[0.044, 0.060]	[0.059, 0.084]	[0.071, 0.103]

4 Особенности использования алгоритмов и программ для математического

моделирования биохимических процессов в микрореакторах

В данной главе диссертации рассматривается интервальная методика математического моделирования для процесса биокаталитического восстановления этилового эфира циклогексанонкарбоновой кислоты в этиловый эфир (1R,2S)-цис-2-гидроксициклогексан карбоновой кислоты в присутствии Saccharomyces cerevisia проводимого в микрореакторе и реакторе смешения.

Предложено три математические модели описания процесса в микроструктурном реакторе. В автореферате приводится математическая модель, описывающая кинетику для одной из гипотез протекания биохимического процесса. Результаты для двух других моделей приведены в диссертации. Полученные результаты позволяют судить о химизме биохимического процесса в микроструктурном реакторе.

, (8)

где X, S, P1, P2,N– соответственно концентрации биомассы (фермент), субстрата, продуктов и этанола, моль/л;

max – максимальная удельная скорость роста микроорганизмов, ч-1;

Ks – коэффициент полунасыщения (константа Михаэлиса), константа, равная концентрации субстрата, при которой скорость роста равна максимальной (концентрация полунасыщения), моль/л;

Yx/s – константа выхода биомассы для субстрата, моль/моль;

Yp1/s – константа выхода продукта Р1 для субстрата, моль/моль;

Yp2/s – константа выхода продукта Р2 для субстрата, моль/моль;

ms – константа поддержания субстрата, моль/моль/ч;

KN – константа образования этанола;

kd – константа «отмирания», ч-1.

На рисунке 6 представлены результаты расчетов по трем моделям для одной из выборок, где сплошной линией обозначаются кинетические кривые, а крестиками обозначаются экспериментальные данные.

Рисунок 6 – Интервальные зависимости концентраций субстрата A, продуктов P1, P2 и этанола N от времени для моделей 1, 2, 3 (выборка 1)

Интервальные значения констант для разных моделей отличаются незначительно. Выборки 1 и 3 описываются близкими наборами констант. В выборке 2 константа образования этанола KN почти в два раза меньше, чем в выборках 1 и 3, что может быть связано с расположением экспериментальных точек выборки в начале временного интервала. Все модели Моно удовлетворительно описывают экспериментальные данные для реактора смешения и микрореактора. При близких значениях max, константы Ks, KА, Yx/s, Yx/а,Yp1/а, Yp2/а, kd, KN одинакового порядка. Для обоих субстратов скорости их поддержания стремятся к нулю.

5 Алгоритмы и программы для исследования чувствительности кинетики

химических реакций

Одна из задач исследования химических реакций - это оценивание влияния значений констант скоростей на ход протекания реакции. По рекомендациям ИЮПАК стадию, определяющую скорость, устанавливают вычислением контролирующего фактора (CF). Для реакции i, константа скорости которой ki, CF, при постоянстве остальных kj и констант равновесия Kj, равен: . Стадия, с существенно большим по сравнению с другими CF, является определяющей.

В работе рассматриваются два возможных подхода для оценки влияния констант скоростей реакции к изменению концентраций веществ. Первый подход - традиционный анализ чувствительности с помощью дополнительной системы дифференциальных уравнений, отражающих чувствительность. Второй предлагаемый подход - оригинальный интервальный метод оценивания влияния концентраций к изменению констант скоростей химической реакции в различные моменты времени.

5.1 Постановка задачи

Модель химической кинетики записывается в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

с заданными начальными условиями , где – концентрации исходных веществ, kq – константы скоростей отдельных стадий реакции, q = 1,…,m. Решением этой системы дифференциальных уравнений, для заданных начальных условий, является набор концентраций Сj от времени, которые зависят от параметров - констант скоростей kq.

5.2 Оценивание чувствительности значений констант скоростей

Дифференциальный метод анализа чувствительности

Рассмотрим чувствительность на примере набора элементарных реакций газофазного окисления метана при температуре T=1000K:

По исходной схеме реакций по предложенному алгоритму программой автоматически генерируется система дифференциальных уравнений, характеризующая изменение концентраций веществ. В результате дифференцирования исходной системы уравнений по kq получаем m – систем дифференциальных уравнений, каждая из которых содержит n – уравнений (всего получается уравнений). Полученные системы уравнений следует решать совместно с исходной системой при соответствующих начальных условиях. При этом получаются не только значения концентраций Cj, но и функций для каждого момента времени, которые характеризуют оценку чувствительности концентраций Cj к изменению различных констант скоростей реакции kq.

Для оценки чувствительности воспользуемся нормированным критерием:

Этот критерий чувствительности позволяет проводить оценку влияния kq на концентрацию Cj в момент времени t. Таким образом, становится возможным определить степень влияния констант на различные концентрации, то есть выяснить какие из констант скоростей kq и на каких стадиях реакции являются определяющими, а какие являются мало влияющими.

Для оценки степени влияния k1 на концентрации веществ необходимо к этой исходной системе дифференциальных уравнений добавить систему уравнений, полученную дифференцированием исходной системы уравнений по k1.

Для определения чувствительности относительно m-констант скоростей реакции необходимо решить систему из n(m+1) уравнений для функций Cj и . Также возможно совместно решать только по две системы: исходную и полученную дифференцированием по одной константе, после чего – для следующей константы и т.д. для всех kq.

На рисунке 7 представлена логарифмическая зависимость критериев чувствительности от времени по концентрации формальдегида для различных констант скоростей kq (q = 4, 6, 8). Анализ графиков позволяет увидеть, что значения критериев чувствительности могут быть положительными, отрицательными или нулевыми. В ходе реакции значение критерия чувствительности может существенно меняться, как это видно из рисунка 7.

Рисунок 7 - Зависимость чувствительности концентрации формальдегида (С6) от времени (t, с) к изменениям kq (q = 4, 6, 8)

Как следует из полученных результатов, концентрация формальдегида наиболее чувствительна к константам k4, k6 и k8 в момент времени tm = 3.10-3 секунды, а также она чувствительна к константам k5 и k9 в тот же момент времени. Значения критериев чувствительности по k4, k6, k8 положительны в момент времени tm, а значения критериев по k5 и k9 отрицательны. Чувствительность концентрации формальдегида к изменению k1, k2, k3, k7, k11 относительно мала вблизи tm, т.к. находится в области нуля из-за того, что происходит изменение знака критерия чувствительности.

Предлагаемый интервальный метод анализа чувствительности

Для определения чувствительности концентраций к изменению констант скоростей реакции нами предлагается использовать другой подход, суть которого заключается в применении интервальных вычислений при решении системы исходных дифференциальных уравнений.

Система дифференциальных уравнений решается для констант скоростей реакции, которые представляют собой интервальные оценки с разбросом относительно среднего значения.

В результате решения системы дифференциальных уравнений получаются функции, которые характеризуются не одним значением концентрации в каждый момент времени, а интервалом. Этот интервал имеет нижнюю и верхнюю границу значений концентрации. Ширина полученных интервалов концентраций характеризует степень влияния конкретной константы скорости реакции на конкретную концентрацию. Чем шире рассчитанный интервал, тем большее влияние оказывает константа на эту концентрацию. Чем уже интервал, тем меньшее влияние оказывает данная константа.

К сожалению, при этом подходе невозможно определить положительное или отрицательное влияние оказывает данная константа на концентрацию. Определяется только степень влияния. В этом состоит недостаток этого метода.

Ширина интервала на протяжении времени меняется. В качестве критерия оценки влияния константы скорости реакции kq (критерия чувствительности) на концентрацию Cj предлагается вычислить значение площади между кривой верхней и нижней оценки концентрации для всех моментов времени. Площадь будет тем больше, чем больше ширина интервалов между верхней и нижней оценкой концентрации.

Несмотря на то, что числовые значения чувствительности для дифференциального метода различаются на несколько порядков от значений чувствительности для интервального метода, соотношения чувствительностей для различных веществ для этих методов совпадают, что говорит о тождественности этих подходов.

Поскольку значения констант скоростей различаются, то различаются и их интервальные значения. Очевидно, что если константа имеет самую большую интервальную оценку, то ее варьирование оказывает самое незначительное влияние на процесс в сравнении с влиянием других констант, которые имеют меньшие диапазоны интервальных оценок. Сделаны выводы о чувствительности концентраций веществ к изменениям констант скоростей исследуемых химических реакций.

Считаю своим долгом поблагодарить научного руководителя д.т.н., профессора Холоднова В.А., доцента, к.т.н. Чепикову В.Н. за ценные указания и поддержку, директора института технической химии г. Дрездена профессора Решетиловского В.П.,
к.т.н. Боровинскую Е.С. за оказанные консультации по моделированию процессов в микрореакторах.

Выводы

1. На основе интервального анализа проведено комплексное исследование кинетики важнейших химических и биохимических процессов в химических реакторах и микроструктурных реакторах: сульфирование нафталина, окисления метана, алкилирование фенилацетонитрила, биокаталитическое восстановление этилового эфира циклогексанонкарбоновой кислоты в этиловый эфир (1R,2S)-цис-2-гидроксициклогексан карбоновой кислоты в присутствии Saccharomyces cerevisia.
2. Метод огибающих в совокупности с методом глобальной оптимизации случайного поиска позволяет в разработанном комплексе программ Interval Kinetic эффективно реализовывать численные методы решения прямой и обратной задач химической кинетики для различных процессов.
3. Способ ввода исходных данных позволяет значительно упростить задание схемы реакции и генерирования системы дифференциальных уравнений.
4. С использованием предложенного комплекса программ впервые были получены интервальные оценки кинетических параметров для важнейших процессов химической технологии.
5. Интервальный метод оценки чувствительности дает возможность на новом уровне подойти к математическому моделированию и оптимизации химико-технологических процессов и систем в условиях интервальной неопределенности исходной информации, в том числе, позволяет оценивать степень влияния значения констант скоростей химических реакций на концентрации веществ.
6. Предложенная впервые интервальная модель кинетики сульфирования нафталина подтвердила представление о том, что сульфирующим агентом при сульфировании является диоксид серы.
7. Интервальная модель кинетики процесса для реакции алкилирования фенилацетонитрила адекватно описывает качественные и количественные свойства этого процесса в микроструктурном реакторе.
8. Впервые составлена интервальная математическая модель для описания биокаталитического восстановления этилового эфира циклогексанонкарбоновой кислоты в этиловый эфир (1R,2S)-цис-2-гидроксициклогексан карбоновой кислоты в присутствии Saccharomyces cerevisia в микрореакторе, которая позволяет подойти к проблеме интенсификации исследуемого биохимического процесса.
9. Комплексы программ, реализованные в виде модулей, зарегистрированных в объединенном фонде электронных ресурсов "Наука и образование" (ОФЭРНиО).

Список основных публикаций по теме диссертации

1. Хайдаров, А.Г. Использование системы Wolfram Mathematica для оценивания чувствительности значений констант скоростей в системах уравнений химической кинетики на примере окисления метана / А.Г. Хайдаров, В.А. Холоднов, Е.С. Боровинская, В.П. Решетиловский // Известия Смоленского государственного университета. -2010, №4. - С. 99-109.
2. Хайдаров, А.Г. Интервальный метод оценки чувствительности констант скоростей при решении системы уравнений химической кинетики окисления метана / А.Г. Хайдаров, В.А. Холоднов, Е.С. Боровинская, В.П. Решетиловский // Информационные системы и технологии. -2010, № 6. -С. 61-65.
3. Хайдаров, А.Г. Программный комплекс для исследования кинетики химических реакций с использованием интервальных методов / А.Г. Хайдаров, В.А. Холоднов, Е.С. Боровинская, В.П. Решетиловский // Материалы конф. Тринадцатая межвузовская учебно-методическая конференция «Актуальные проблемы химико-технологического образования». –М: РХТУ им. Д.И. Менделеева, -2011. - С. 83- 84.
4. Хайдаров, А.Г. Исследование кинетики химических реакций с использованием интервальных методов / А.Г. Хайдаров, В.А. Холоднов В.А., Е.С. Боровинская, В.П. Решетиловский // Материалы XII Международная конференция «Системы компьютерной математики и их приложения», Смоленск: СмолГУ, -2011. Вып. 12. - С. 67-69.
5. Хайдаров, А.Г. Вычислительный эксперимент для сложной системы химических реакций с использованием Mathcad / В.А. Холоднов, Е.С. Боровинская., А.В. Гайков, А.Г. Хайдаров // Материалы XI Международная конференция «Системы компьютерной математики и их приложения», Смоленск: СмолГУ, -2010. Вып. 11.- С. 74-76.
6. Хайдаров, А.Г. «Исследование чувствительности кинетики химических реакций с помощью интервальной математики» / А.Г. Хайдаров, В.А. Холоднов В.А., Е.С. Боровинская, В.П. Решетиловский // Сб. трудов XXIV Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-24» Т.3. Киев: г. Саратов «ИППОЛиТ-ХХI век» -2011.- С. 125-127.
7. Хайдаров, А.Г. Задачи применения интервального метода в системном анализе химических технологий// Материалы VI Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых. Сб. трудов конференции молодых ученых, Выпуск 7. Тезисы докладов научной школы «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования». – СПб: СПбГУ ИТМО. -2009. – С. 36.
8. Хайдаров, А.Г. Свидетельство о регистрации электронного ресурса «Интервальная кинетика». // №17896, зарегистр. в ОФЭРНиО 10.02.2012 г.
9. Хайдаров, А.Г. Свидетельство о регистрации электронного ресурса «Анализ чувствительности при исследовании кинетики химических реакций». // № 17895, зарегистр. в ОФЭРНиО 10.02.2012 г.