Математическое моделирование стеганографических объектов и методы вычисления оптимальных параметров стегосистем
На правах рукописи
Разинков Евгений Викторович
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТЕГАНОГРАФИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ СТЕГОСИСТЕМ
Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Казань – 2012
Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет» на кафедре системного анализа и информационных технологий.
Научный руководитель доктор технических наук, профессор
Латыпов Рустам Хафизович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор
Соловьев Валерий Дмитриевич
(Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань)
доктор технических наук,
профессор
Файзуллин Рашит Тагирович
(Омский государственный технический университет, г. Омск)
Ведущая организация: Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН, г. Санкт-Петербург.
Защита состоится 13 декабря 2012 г. в 15:30 на заседании диссертационного совета Д 212.081.21 в Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, корп. 2, ауд. 218.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета.
Автореферат разослан «___» ноября 2012 г.
| Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.081.21 д.ф.-м.н., профессор |  Задворнов О.А. |
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Введение
Диссертационная работа посвящена разработке теоретико-информационного подхода к построению математических моделей стеганографических объектов, построению математической модели цифрового изображения в формате JPEG, разработке эффективных алгоритмов целочисленной минимизации сепарабельной функции, исследованию свойств стеганографических систем.
Актуальность темы
Цифровая стеганография – наука о скрытой передаче информации, которая часто осуществляется за счет встраивания передаваемого сообщения в некий не вызывающий подозрения цифровой объект путем незначительной его модификации. Результат встраивания передается по каналу связи получателю, который извлекает встроенное сообщение. Это эффективное средство защиты информации, становящееся особенно актуальным в случае, когда применение криптографических методов невозможно или ограничено.
Все применяемые на практике стегосистемы и стегоаналитические атаки явно или неявно опираются на модели стеганографических объектов – контейнеров, в которые встраивается информация, и стего, получаемых в результате встраивания. Чем более точной моделью стеганографических контейнеров располагает стеганограф, тем более стойкую к стегоаналитическим атакам стегосистему он способен построить. И наоборот, если стегоаналитик располагает более точной моделью контейнеров, нежели стеганограф, он часто будет иметь возможность построить эффективную стегоаналитическую атаку. Таким образом, построение более точных моделей стеганографических объектов – актуальная задача, стоящая перед исследователями в области цифровой стеганографии и стегоанализа.
Отметим отсутствие моделей, которые бы опирались на теоретико-информационный подход к стеганографической стойкости, но в то же время учитывали свойства форматов используемых на практике стеганографических объектов и могли непосредственно использоваться для исследования и совершенствования практических стеганографических систем и стегоаналитических атак. Наличие каждого из этих свойств у математической модели обеспечивает связь между теоретическими основами цифровой стеганографии и практическим применением стеганографических средств защиты информации, обеспечивая тем самым возможность применения существующих теоретических результатов для оценки стойкости современных стегосистем.
JPEG (Joint Photographic Experts Group) – один из самых распространенных форматов цифровых изображений в сети Интернет, что делает его наиболее привлекательным для встраивания информации стеганографическими методами, а потому задача математического моделирования цифровых изображений в формате JPEG особенно актуальна.
Цель и задачи диссертационной работы
Целью диссертационной работы является исследование влияния различных факторов на стойкость стеганографических систем и разработка методов вычисления оптимальных параметров встраивания информации. Для достижения этих целей были поставлены и решены следующие задачи:
- Исследовать существующие подходы к математическому моделированию стеганографических объектов, способы оценки и повышения стойкости стегосистем;
- Предложить теоретико-информационный подход к построению математических моделей стеганографических объектов;
- Построить математическую модель цифрового изображения в формате JPEG, позволяющую исследовать влияние параметров стегосистемы и других факторов на стеганографическую стойкость;
- Предложить метод повышения стойкости стегосистем в рамках предложенной модели;
- Разработать эффективные вычислительные алгоритмы решения задач минимизации, возникающих при исследовании математических моделей стеганографических объектов;
- Реализовать разработанные модели, методы и алгоритмы в виде комплекса программ, позволяющего исследовать проблему оценки и повышения стойкости стегосистем с помощью численных экспериментов;
- Исследовать влияние параметров скрывающего преобразования и других факторов на стойкость стеганографической системы путем проведения вычислительного эксперимента.
Методы исследования
В диссертационной работе применялись методы теории вероятностей, нелинейного программирования, математического моделирования.
Научная новизна
В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:
- Предложен теоретико-информационный подход к построению математических моделей стеганографических объектов, основанный на вычислении относительной энтропии;
- Разработана математическая модель цифрового изображения в формате JPEG, позволяющая исследовать влияние количества встраиваемой информации, стратегии встраивания, свойств изображений-контейнеров, выбранного вектора характеристик на стеганографическую стойкость;
- Предложен метод нахождения оптимальной стратегии встраивания информации для заданного вектора характеристик;
- Разработан эффективный вычислительный алгоритм решения возникающей при нахождении оптимальной стратегии стеганографа задачи минимизации сепарабельной функции;
- Разработан комплекс программ, реализующий модель цифрового изображения в формате JPEG, алгоритмы минимизации функции относительной энтропии и метод нахождения оптимальной стратегии встраивания информации;
- Исследовано влияние количества встраиваемой информации, стратегии встраивания, выбранного вектора характеристик, фактора качества изображений, используемых в качестве контейнеров, на стойкость стеганографической системы путем проведения вычислительного эксперимента.
Практическая значимость работы
Разработанный подход к математическому моделированию стеганографических объектов позволяет строить модели стеганографических объектов различных форматов, обеспечивающие возможность:
- исследовать стойкость стеганографических систем к наилучшей возможной стегоаналитической атаке, использующей заданный вектор характеристик;
- вычислять оптимальные и субоптимальные стратегии встраивания информации;
- исследовать влияние стратегии встраивания информации, параметров стегосистемы, векторов характеристик, свойств используемых контейнеров на стойкость стегосистемы.
Предложенная математическая модель цифрового изображения в формате JPEG позволяет оценить влияние различных факторов на стойкость встраивания информации алгоритмом nsF5 к наилучшей возможной стегоаналитической атаке, использующей характеристики изображения, составляющие основу наборов характеристик, применение которых в универсальном стегоанализе показано экспериментально. Факторы, влияние которых на стойкость стегосистемы может быть исследовано с помощью математической модели изображения и реализующего эту модель комплекса программ:
- количество встраиваемой информации;
- стратегия встраивания, заключающаяся в распределении встраиваемой информации между группами DCT-коэффициентов;
- используемый вектор характеристик, пороговые значения используемых характеристик;
- фактор качества и другие свойства изображений-контейнеров.
Возможность проведения анализа влияния этих факторов на стеганографическую стойкость позволяет находить оптимальные и субоптимальные стратегии встраивания информации, совершенствовать стегосистемы и стегоаналитические атаки.
Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:
- Научная школа-семинар с международным участием «Компьютерная безопасность и криптография» SIBECRYPT’10, ТюмГУ, г. Тюмень.
- Научная школа-семинар с международным участием «Компьютерная безопасность и криптография» SIBECRYPT’09, ОмГУ, г. Омск.
- Семинар на кафедре системного анализа и информационных технологий ИВМиИТ, КФУ, г. Казань.
- Семинар в Санкт-Петербургском институте информатики и автоматизации РАН (СПИИРАН), г. Санкт-Петербург.
- IEEE 6th Conference on Cybernetic Systems, 2007, UCD, Dublin.
- Общероссийская конференция «Математика и безопасность информационных технологий» MaBIT’06, МГУ, Москва.
На защиту выносятся следующие результаты:
- Теоретико-информационный подход к построению математических моделей стеганографических объектов, обеспечивающий возможность оценки стойкости стегосистемы к наилучшей возможной атаке, использующей заданный вектор характеристик.
- Математическая модель цифрового изображения в формате JPEG, позволяющая исследовать влияние количества встраиваемой информации, стратегии встраивания, свойств изображений-контейнеров и других факторов на стойкость стегосистемы к наилучшей возможной атаке, использующей заданный вектор характеристик;
- Метод нахождения оптимальной стратегии встраивания информации, обеспечивающей повышение стойкости стегосистемы.
- Эффективный вычислительный алгоритм минимизации сепарабельной функции.
- Комплекс программ, реализующий модель цифрового изображения в формате JPEG, метод нахождения оптимальной стратегии встраивания, алгоритмы минимизации функции относительной энтропии.
- Результаты численного исследования влияния размера скрываемого сообщения, стратегии встраивания, выбранного вектора характеристик, свойств изображений-контейнеров на стойкость стеганографической системы.
Структура и объем диссертации
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников, содержащего 67 наименований. Объем диссертационной работы составляет 109 страниц, работа содержит 16 рисунков и 7 таблиц.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность выбранной темы, ее научная и практическая значимость.
В первой главе приведен обзор существующих подходов к исследованию свойств стеганографических систем и моделированию стеганографических объектов. Выявлено отсутствие моделей, которые бы опирались на теоретико-информационный подход к стеганографической стойкости, но в то же время учитывали свойства форматов цифровых объектов, используемых на практике, и могли непосредственно применяться для исследования и совершенствования существующих стеганографических систем.
В целях обоснования расставленных в работе приоритетов при построении математической модели рассмотрены существующие подходы к понятию стеганографической стойкости, существующие способы ее повышения, проведен анализ существующих методов встраивания информации и современных методов стегоанализа.
Вторая глава посвящена математическому моделированию стеганографических объектов, построению математической модели цифрового изображения в формате JPEG.
Теоретико-информационный подход к построению математических моделей стеганографических объектов. Предлагаемый теоретико-информационный метод построения моделей стеганографических объектов основан на:
- особом подходе к стеганографической стойкости, заключающемся в исследовании стойкости стегосистемы к наилучшей возможной атаке, использующей заданный вектор характеристик;
- особом подходе к структуре стеганографического объекта, заключающемся в представлении объекта в качестве набора непересекающихся групп коэффициентов.
Пусть c – стеганографический контейнер. Зафиксируем некоторый вектор f(c) элементов стеганографического объекта c, распределение которых исследуется некоторым множеством стегоаналитических атак. В качестве критерия стойкости стегосистемы к стегоаналитическим атакам из этого множества можно рассматривать относительную энтропию 
, где Pf – распределение вектора f элементов контейнера, а 
– распределение вектора f элементов стего. Вектор значений, которым описывается распределение вектора f(c), будем называть вектором характеристик стеганографического объекта.
Ключевой идеей предлагаемого подхода к структуре стеганографического объекта, контейнера или стего, является его представление в виде непересекающихся статистически однородных групп элементов, модифицируемых в процессе встраивания информации. Таким образом, стеганографический объект c, контейнер или стего, представлен в виде набора групп коэффициентов:
,
где g – количество групп. Каждая группа 
представляет собой вектор коэффициентов:
,
где 
– количество элементов в u-й группе.
Построение модели стеганографического объекта в рамках этого метода подразумевает:
- разбиение множества элементов стеганографического объекта на непересекающиеся статистически однородные группы;
- выбор вектора характеристик, подаваемого стегоаналитиком на вход стегоаналитическим атакам;
- оценку распределения элементов контейнера на основе эмпирических данных;
- вычисление распределения элементов стего;
- вычисление относительной энтропии между распределениями элементов контейнеров и стего.
Вычисленная на последнем этапе относительная энтропия между распределениями элементов контейнеров и стего характеризует стойкость стегосистемы к наилучшей возможной атаке, использующей данный вектор характеристик.
Метод повышения стойкости стеганографических систем. Предлагаемый метод повышения стойкости стеганографических систем заключается в построении математической модели стеганографического объекта и решении следующей задачи нахождения оптимальной стратегии встраивания – вектора x, каждая компонента которого равна количеству битов сообщения, встраиваемых в соответствующую группу элементов контейнера:
, 
, 
,
где l – количество битов во встраиваемом сообщении, ku – количество элементов u-й группы, которое может быть модифицировано при встраивании информации, xu – количество битов, встраиваемых в элементы u-й группы.
Модель цифрового изображения в формате JPEG. Квантованные DCT-коэффициенты цифрового изображения в формате JPEG разбиваются на 64 группы, принадлежность конкретного коэффициента группе определяется параметрами его вычисления в процессе применения дискретного косинусного преобразования к блоку из 64 пикселей изображения (иначе говоря, индексами коэффициента в блоке). Таким образом, одна из 64 групп состоит из DC-коэффициентов, остальные 63 группы – из AC-коэффициентов.
В качестве стеганографического алгоритма был выбран алгоритм nsF5 как наиболее стойкий метод встраивания информации в изображения в формате JPEG, не использующий стороннюю информацию.
Через T обозначим максимальное возможное абсолютное значение DCT-коэффициента. В работе рассмотрены следующие векторы характеристик.
- Дискретное распределение DCT-коэффициентов каждой из g групп. Относительная энтропия между распределениями элементов контейнеров и стего вычисляется следующим образом:
,
где 
, 
.
- Матрицы переходных вероятностей простой марковской цепи, образованной последовательностью абсолютных значений принадлежащих соседним блокам DCT-коэффициентов одной группы для каждой из g групп. Относительная энтропия между распределениями элементов контейнеров и стего вычисляется следующим образом:
,
где 
, 
.
- Матрицы переходных вероятностей простой марковской цепи, образованной последовательностью разностей абсолютных значений соседних DCT-коэффициентов блока вдоль одного из четырех направлений: горизонтального, вертикального, вдоль главной диагонали, вдоль побочной диагонали. Вероятность
обозначим через 
, где 
– одно из четырех направлений. Взаимное расположение коэффициентов в блоке в зависимости от направления 
представлено на (рис. 1).
Рисунок 1 – Взаимное расположение элементов групп 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
в i-м блоке коэффициентов
Вычисление относительной энтропии между распределениями элементов контейнеров и стего при использовании в качестве вектора характеристик матриц переходных вероятностей, описывающих корреляцию между DCT-коэффициентами блока вдоль направления 
:
,
где 
, 
, 
, 
– одно из четырех направлений.
- Объединенный вектор характеристик. Через
обозначим вероятность 
, а через 
и 
– соответственно условные вероятности 
и 
, где 
, 
, 
, 
.
Относительная энтропия между распределениями элементов контейнеров и стего вычисляется следующим образом:
,
где 
.
В этой главе получены формулы для вычисления всех вышеперечисленных векторов характеристик.
В третьей главе рассматривается задача целочисленной минимизации сепарабельной функции, к которой сводится задача нахождения оптимальной стратегии встраивания информации при построении математических моделей стеганографических объектов некоторых типов в соответствии с предлагаемым подходом.
В рамках данной работы предлагается эффективный алгоритм решения следующей задачи:
  ,  ,  ,  , , | (1) |
где 
– сепарабельная функция, а функции di удовлетворяют следующим условиям:
, 
, 
:
при 
,
при 
.
: если 
: 
, то 
, 
для любого x, 
.
Прежде чем перейти к описанию самого алгоритма, введем некоторые обозначения. Пронумеруем функции di таким образом, что если 
, то не существует такого x, что 
.
Рассмотрим задачу минимизации:
  ,  ,  ,  ,  ,  . | (2) |
Через 
обозначим вектор, являющийся решением задачи (2), которое может быть получено с помощью эффективного «жадного» алгоритма.
Введем функции 
, 
и 
, положим
= 
.
Также введем вектор 
, 
.
Алгоритм решения задачи (1) состоит в следующем:
Шаг 1. Полагаем 
;
Шаг 2. Полагаем u := k;
Шаг 3. Вычисляем 
, 
;
Шаг 4. Если u > 1 и 
, то полагаем u := u – 1 и переходим к Шагу 3;
Шаг 5. Выбираем v такое, что 
;
Шаг 6. Результат: вектор 
:
(3)
Также в третьей главе доказываются следующие теоремы:
Теорема. Вектор 
, определенный согласно (3), является решением задачи (1).
Теорема. Асимптотическая сложность алгоритма равна O(gl).
Четвертая глава посвящена описанию разработанного комплекса программ, реализующего предложенные модели, методы и алгоритмы, позволяющего исследовать влияние различных факторов на стойкость стеганографической системы, и проведенному вычислительному эксперименту.
С помощью проведенных экспериментов было исследовано влияние следующих факторов на стойкость встраивания информации в изображение в формате JPEG к наилучшей возможной атаке, использующей заданный вектор характеристик:
- размер скрываемого сообщения;
- стратегия встраивания информации, описывающей количество информации, встраиваемой в элементы каждой из групп;
- фактор качества изображений в формате JPEG;
- выбранный вектор характеристик;
- пороговые значения для различных векторов характеристик.
Также было исследовано влияние выбранной стратегии встраивания на стойкость стегосистемы к практическим стегоаналитическим атакам, использующим классификатор на основе метода опорных векторов.
В заключении перечислены основные результаты работы:
- Исследованы существующие подходы к математическому моделированию стеганографических объектов, способы оценки и повышения стойкости стегосистем;
- Предложен теоретико-информационный подход к построению математических моделей стеганографических объектов;
- Построена математическая модель цифрового изображения в формате JPEG, позволяющая исследовать влияние количества встраиваемой информации и параметров скрывающего преобразования на стойкость системы;
- Предложен метод повышения стойкости стеганографических систем;
- Разработан эффективный вычислительный алгоритм решения возникающей при вычислении оптимальной стратегии встраивания для некоторых типов стеганографических объектов задачи минимизации сепарабельной функции;
- Разработан комплекс программ, реализующий разработанные модели, методы и алгоритмы, позволяющий исследовать влияние различных факторов на стойкость стеганографических систем с помощью вычислительных экспериментов;
- Исследовано влияние различных факторов на стойкость стеганографической системы путем проведения вычислительного эксперимента.
Список опубликованных работ по теме диссертации
Публикации в изданиях из перечня рецензируемых научных журналов, рекомендуемых ВАК:
- Разинков Е.В. Математическое моделирование стеганографических объектов / Е.В. Разинков // Ученые записки Казанского университета. Серия Физ.-мат. науки. – 2011. – Т. 153, кн. 4. – С. 176–188.
- Разинков Е.В., Латыпов Р.Х. Стойкость стеганографических систем / Е.В. Разинков, Р.Х. Латыпов // Ученые записки Казанского государственного университета. Серия Физ.-мат. науки. – 2009. – Т. 151, кн. 2. – С. 126–132.
- Разинков Е.В., Латыпов Р.Х. Скрытая передача информации с использованием границ объектов / Е.В. Разинков, Р.Х. Латыпов // Ученые записки Казанского государственного университета. Серия Физ.-мат. науки. – 2007. – Т. 149, кн. 2. – С. 128–137.
Прочие публикации:
- Разинков Е.В., Латыпов Р.Х. О правиле выбора элементов стеганографического контейнера в скрывающем преобразовании / Е.В. Разинков, Р.Х. Латыпов // Прикладная дискретная математика (Приложение). – 2010. – №3. – С. 39–41.
- Razinkov E.V., Latypov R.Kh. Image Steganograpghy Technique Using Objects Outlines / E.V. Razinkov, R.Kh. Latypov // Proc. of IEEE SMC UK&RI 6th Conference on Cybernetic Systems 2007, September 6–7, 2007. – P. 46–50.
