Моделирование формирования и динамики переходных слоёв в двумерных задачах реакция-диффузия-адвекция
На правах рукописи
Грачёв Николай Евгеньевич
Моделирование формирования и динамики переходных слоёв в двумерных задачах «реакция-диффузия-адвекция»
05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва – 2010
Работа выполнена в лаборатории математического моделирования и проектирования термохимических методов увеличения нефтеотдачи Всероссийского нефтегазового научно-исследовательского института имени академика А.П. Крылова
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Нефёдов Николай Николаевич
Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
профессор Данилов Владимир Григорьевич
Московский технический университет связи и информатики
доктор физико-математических наук,
профессор Лобанов Алексей Иванович
Московский физико-технический институт
Ведущая организация:
Учреждение Российской академии наук
Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН
Защита диссертации состоится 25 июня 2010 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 501.002.09 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу:
119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, НИВЦ, Большой конференц-зал.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИВЦ МГУ.
Автореферат разослан «24» мая 2010 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета В.В. Суворов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Существует широкий круг процессов различной природы, при которых образуются и эволюционируют резкие переходные слои, разделяющие фазы или компоненты. Моделирование формирования и динамики таких фронтов является актуальной задачей при исследовании фазового и компонентного разделения в биологических мембранах и свойств резких концентрационных и температурных фронтов внутрипластового горения, используемого при нефтедобыче.
Фазовое и компонентное разделение в мембранах интересно для изучения, т.к. оно существенно влияет на функционирование и форму поверхности липидных слоев, латеральную организацию ассоциированных с липидами белков. Трансмембранный транспорт также в значительной мере определяется фазовым и компонентным разделением.
Исследование формирования и динамики фронта окисления в пористой среде также актуально, из-за того, что внутрипластовое горение является эффективным методом добычи высоковязкой битуминозной нефти. Однако, данный процесс необходимо тщательно изучать и контролировать на всех стадиях для предотвращения прорывов теплового и окислительного фронтов к скважинам. Этого можно достичь, применяя математическое моделирование.
Многочисленные технические приложения, связанные с необходимостью расчета формирования и динамики фронта, требуют постоянного совершенствования и оптимизации разработанных ранее методов численного расчета. Имеющиеся в настоящее время программы расчета движения фронта основаны на решении систем, состоящих из большого числа нелинейных уравнений, их программная реализация сопряжена с определенными трудностями.
Вместе с тем, описанные выше процессы, после ряда параметризаций и упрощений, можно исследовать при помощи математических моделей на основе уравнений типа «реакция-диффузия» (РД) и «реакция-диффузия-адвекция» (РДА) с малым параметром при старшей производной. Задачи такого типа являются нелинейными и сингулярно-возмущенными, для их описания и изучения разработана асимптотическая теория контрастных структур, использование которой для исследования уравнений вышеуказанных типов позволяет существенно оптимизировать вычислительные алгоритмы, и может привести к неизвестным ранее интересным математическим результатам.
Перечисленные обстоятельства показывают актуальность создания и развития методов моделирования процессов формирования и динамики фронтов, возникающих в нелинейных задачах типа «реакция-диффузия-адвекция».
Цель работы состоит
- В исследовании сингулярно-возмущенных параболических уравнений с малым параметром при старшей производной в пространственно двумерных областях, моделировании формирования и динамики переходных слоев в двумерных задачах «реакция-диффузия-адвекция»;
- в создании и исследовании новых численных алгоритмов и математических моделей, основанных на асимптотическом анализе сингулярно-возмущенных задач «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция»;
- в разработке комплекса программ, реализующих эти алгоритмы;
- в разработке и использовании комплекса программ для моделирования задач фазового разделения и динамики внутрипластового фронта окисления при термогазовом методе увеличения нефтеотдачи и сравнении результатов с данными, полученными на основе существующих моделей (термогидродинамические симуляторы, метод прямого многочастичного моделирования Монте-Карло).
Научная новизна диссертации. В основу диссертации положены работы автора по изучению уравнений реакции-диффузии и реакции-диффузии-адвекции, а также посвященные математическому моделированию фазового разделения, процессов формирования и динамики фронта окисления в пористой среде, и работы по прямому многочастичному моделированию мембранных процессов в биофизике живой клетки, в которых впервые:
- Получена оценка времени формирования контрастной структуры в уравнении типа «реакция-диффузия», исследуемого в пространственно двумерной области;
- Предложено уравнение движения резкого переходного слоя, возникающего в уравнении типа «реакция-диффузия-адвекция», позволяющее эффективно описать динамику фронта в задаче РДА;
- Аналитические оценки сопоставлены с численным решением уравнений РД и РДА методами конечных разностей;
- Аналитические результаты применены для определения времени формирования фазового разделения в биомембранах, периода инициации внутрипластового горения и описания динамики фронта окисления в геологических структурах.
Достоверность полученных результатов обеспечивается детальным теоретическим анализом рассматриваемых задач, строгими математическими доказательствами, многочисленными модельными расчетами и сравнением их с результатами экспериментов.
Соответствие диссертации паспорту научной специальности
В соответствии с областью исследования специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» область настоящего диссертационного исследования включает разработку математических моделей, комплекса программ и вычислительный эксперимент, позволяющие эффективно описывать формирование и динамику переходных слоев в двумерных задачах «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция».
Полученные соискателем научные результаты соответствуют пунктам 2, 3 и 5 паспорта специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».
Основные результаты работы, выносимые на защиту
- Асимптотическое исследование двумерных математических моделей «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция», позволяющее качественно описать основные структурные особенности моделей на предварительном этапе математического моделирования.
- Теорема о времени формирования переходного слоя (фронта) в решении двумерной задачи «реакция-диффузия» и результаты асимптотического анализа математической модели РДА, позволяющие качественно исследовать динамику фронта.
- Уравнение локализации фронта для задач «реакция-диффузия-адвекция» в форме, обеспечивающей эффективную алгоритмизацию и многократное ускорение счета движения переходных слоев в двумерных областях.
- Результат сравнительного анализа поведения фронтов в решениях полных систем уравнений, описывающих сложную кинетику с преобладанием процессов диффузионного типа (термическое окисление нефти при закачке воздуха в пласт), на стандартном промышленном симуляторе с решениями задачи РДА и уравнения локализации фронта.
- Результаты апробации разработанных программ совместно с существующими системами и методами моделирования (термогидродинамические симуляторы и метод прямого многочастичного моделирования).
Практическая ценность работы состоит в том, что созданные математические модели позволяют сделать ряд аналитических оценок и оценить динамические характеристики фронтов, возникающих при фазовом и компонентном разделении в различных физических системах.
Построенные в диссертации алгоритмы являются простым и эффективным способом численного расчета формирования и динамики резких переходных слоев – фронтов в разнообразных прикладных задачах.
Личное участие автора в выполнении работы. Определение цели диссертации, постановка всех задач и формулировка результатов, выносимых на защиту, выявление аспектов, составляющих научную новизну работы, были выполнены автором совместно с научным руководителем, д.ф.-м.н., профессором Н.Н. Нефедовым, при консультациях к.ф.-м.н., доцента В.Т. Волкова (руководителя дипломной работы автора в МГУ).
Выбор методов исследования, аналитический вывод основных математических формул, разработка вычислительных алгоритмов и реализация их в виде расчетных программ, а также интерпретация полученных результатов и оценка их практического значения проведены автором лично.
Отладка программ моделирования и компьютерные расчёты выполнены автором совместно со студентами старших курсов физического факультета МГУ А.Н. Николаевым, Д.С. Сениным и А.В. Дмитриевым.
В работах биологического направления вклад автора выражен в разработке ряда алгоритмов моделирования и методик применения асимптотических оценок, интерпретации результатов.
Основная часть публикаций по теме диссертации написана автором лично после обсуждения результатов исследования с соавторами работ.
Ряд результатов работы нашел, при непосредственном участии автора, практическое применение при расчетах, связанных с подготовкой «Технологической схемы опытно-промышленной разработки Южно-Торавейского месторождения нефти».
Апробация результатов. Материалы диссертации докладывались на семинаре физфака МГУ по малому параметру (рук. профессора А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Н.Н. Нефедов), на научно-технической конференции МИЭМ (Москва, 2008г.), на VIII международной конференции «Проблемы биологической физики» (Москва, МГУ, 2009 г.), на международной конференции «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2009 и 2010 гг.), на международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2010).
Результаты работы также докладывались на семинарах ВНИИнефть им. академика А.Н. Крылова, кафедры биофизики Биологического факультета МГУ, НИВЦ МГУ и ВЦ РАН.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 8 работах, в том числе в 2 статьях в журналах из списка ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 112 страниц, включая 45 рисунков, 2 таблицы и список литературы, содержащий 91 наименование.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность темы исследования и сформулированы основные цели работы.
ПЕРВАЯ ГЛАВА посвящена аналитическим исследованиям математических моделей «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция» асимптотическими методами.
Асимптотический анализ позволяет создавать эффективные численные алгоритмы решения данных задач и получать аналитические оценки динамических характеристик переходных слоев в решениях уравнений указанного типа.
Раздел 1.1 содержит формулировку математической модели (начально-краевой задачи для нелинейного уравнения в частных производных) типа «реакция-диффузия-адвекция», интересную для приложений. Рассмотрена задача
; 
, 
(1)
в двумерной области 
с границей Г и с заданными на ней условиями непроницаемости
при 
, 
, (2)
Где 
- адвекция, 
- малый параметр и T – сколь угодно большая, но фиксированная постоянная, не зависящая от 
.
(3)
- достаточно гладкая начальная функция.
В качестве 
выбрана кубическая по переменной u нелинейность и предполагается существование трех корней u1<u0<u2 вырожденного уравнения 
. Более точно условие на функцию 
будет сформулировано ниже (Условие (А1)).
Исследование сформулированной математической модели (1) – (3) проведено далее в несколько этапов.
Во-первых, рассмотрено формирование резкого переходного слоя в решении задачи «реакция-диффузия», получаемой из исходной модели (1) – (3) при 
. Построено решение задачи «реакция-диффузия», близкое к двум решениям u1 и u2 вырожденного уравнения 
по разные стороны от некоторой кривой С, а в окрестности С происходит резкий переход от u1 к u2.
Во-вторых, рассмотрено движение сформировавшегося переходного слоя в задаче «реакция-диффузия» и приведен закон, описывающий динамику фронта.
В-третьих, обобщены результаты первого пункта и предложено описание формирования резкого переходного слоя в решении модели «реакция-диффузия-адвекция».
В-четвертых, при помощи асимптотических методов сформулировано уравнение локализации фронта для задачи «реакция-диффузия-адвекция» при 
.
Раздел 1.2 посвящен вопросу формирования резких переходных слоев в задачах типа «реакция-диффузия». Рассмотрено уравнение (1) при 
. (4)
в двумерной области 
с гладкой границей Г и дополнительными условиями (2) и (3). Функции 
и 
предполагаются достаточно гладкими.
Впервые получена оценка времени формирования контрастной структуры с переходным слоем в окрестности некоторой заданной замкнутой кривой 
, показано, что для любого достаточно малого 
существуют числа 
и 
, вводимые в процессе асимптотического анализа, такие что в момент времени
(5)
решение 
задачи (2) - (4) существует и вне 
- окрестности 
отличается от 
по одну сторону от 
и от 
по другую сторону на величину порядка 
.
При этом необходимо выполнение следующих условий:
Условие (А1): Существуют такие постоянные 
что уравнение 
имеет в области 
три корня относительно 
: 
, причем 
при 
, 
, 
для 
и 
, 
.
Условие (А2): существует гладкая замкнутая кривая  , такая, что:  при  ,  при   при  , причём  (рис. 1). |  Рис. 1. |
Раздел 1.3 посвящен исследованию формы резкого переходного слоя, приведен закон движения фронта 
(
- кривизна переходного слоя в точке, 
- нормальная скорость фронта в этой точке), в двумерной задаче «реакция-диффузия».
В разделе 1.4 проводится асимптотический анализ задачи «реакция-диффузия-адвекция» (1) – (3) при 
, 
и заданной скорости 
переноса вдоль оси x, причем 
. В такой постановке задача изучается впервые.
Если гладкая начальная функция 
такова, что:
Условие (А3) 
при 
и 
при 
(здесь функция 
- заданная гладкая кривая, в окрестности которой формируется резкий переходный слой),
то некоторая модификация результатов раздела 1.2 позволяет получить результат, который сформулирован в виде леммы 3, описывающей процесс формирования фронта.
Лемма 3. Пусть 
и 
- достаточно гладкие функции, и 
удовлетворяет условию (А3). Тогда при достаточно малых 
существует положительная постоянная B такая, что в момент времени 
для решения 
задачи (1) – (3) справедливы следующие представления:
при 
;
при 
.
Из Леммы 3 следует, что на начальной стадии решение задачи (1) – (3) быстро формирует фронт в окрестности кривой 
.
Асимптотика задачи (1) - (3), имеющей фронт, строится по схеме теории контрастных структур. Согласно этой схеме для построения асимптотики рассматриваются две задачи в областях по разные стороны от фронта, описываемого функций 
. Асимптотика решения каждой из задач строится стандартно по методу пограничных функций в виде регулярной и погранслойной частей.
Погранслойная часть служит для описания решения вблизи границ области рассмотрения и кривой 
. При этом регулярные части асимптотики состоят лишь из главных членов 
, а погранслойные члены вблизи границ D равны нулю.
Пограничные функции 
вблизи кривой 
зависят от растянутой переменной и также определяются стандартным образом. Сама же кривая 
определяется из условия С1-сшивания асимптотик 
и 
в 
на кривой 
,
при рассмотрении данного условия последовательно при нулевой, первой и т.д. степенях 
.
Применив описанную выше схему для построения главных членов асимптотики, получим следующую начально-краевую задачу для определения положения фронта в нулевом приближении (закон локализации фронта):
, (6)
, 
,
где 
- нулевое приближение по 
функции 
.
Асимптотическое представление решения задачи РДА (1) - (3) позволяет описать процесс формирования и динамику резкого переходного слоя, получить оценки его ширины и времени формирования, а также определить форму фронта в каждый момент времени. Заметим, что указанное асимптотическое представление является достаточно простым, что чрезвычайно важно для эффективного получения оценок различных параметров системы. Кроме того, аналитическое или численное решение уравнения движения фронта (6), выведенного в работе на основе предложенного асимптотического подхода, позволяет адекватно описывать динамику фронта. Использование данного уравнения при математическом моделировании процессов движения устойчивых фронтов различной природы существенно ускоряет получение приближенных решений при приемлемой точности вычислений, что приводит к повышению эффективности численных расчетов.
ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена анализу задач «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция» численными методами и созданию комплекса программ по решению уравнений указанного типа стандартными методами конечных разностей. Целями проделанной в этой главе работы является сопоставление численных решений задач РД и РДА, полученных конечно-разностными методами, с результатами асимптотического анализа, проведенного в Главе 1.
В разделе 2.1 описывается продольно-поперечная схема численного решения уравнения реакции-диффузии, для которого исследовалось время формирования контрастной структуры в зависимости от величины параметра 
. Результаты моделирования сравнивались с аналитической зависимостью 
(рис. 2). Значения функции 
, полученные при помощи вычислительных экспериментов при нескольких значениях постоянной 
, введенной в разделе 1.2, оказались близки к аналитической зависимости.
 | Рис. 2. Зависимость времени образования контрастной структуры от малого параметра  . |
В разделе 2.2 исследовано движение фронта в решении уравнения реакции-диффузии под действием закона 
, где 
- кривизна переходного слоя в точке, 
- нормальная скорость в этой точке.
Раздел 2.3 посвящен численному решению уравнения реакции-диффузии-адвекции (1) в области 
, изображенной на рис. 3, причем 
, а адвекция выбрана в виде
.
Для иллюстрации поведения фронта задачи (1) было проведено три численных расчета. В первом начальное условие выбрано в виде линейного фронта, параллельного оси y, а коэффициенты адвекции равны  . В этом случае фронт движется с постоянной скоростью  , не меняя своей формы (рис. 4 а). Во втором случае начальное условие выбрано в виде линейного фронта, параллельного |  Рис. 3. Область решения |
оси y, а коэффициенты равны 
const, 
const
.
Тогда фронт вытянется вдоль направления адвекции и, через некоторое время, зафиксировав свою форму вследствие действия закона 
, продолжит движение (рис. 4 б).
В третьем варианте начальное условие выбрано в виде фронта, заданного уравнением:
,
а коэффициенты адвекции равны 
const 
и p=0.25, q=3.5. Адвекция на данный фронт действует только в виде параллельного оси y сноса, следовательно, переходный слой будет смещаться и распрямляться по закону 
(рис. 4 в).
Рис. 4. Иллюстрация поведения фронта решения задачи.
Раздел 2.4 посвящен численному исследованию модели движения фронта (6). Анализ показал хорошее соответствие между результатами расчетов задач (1) и (6). Решение задачи реакции-диффузии-адвекции (1), дает оценку ширины и времени формирования резкого переходного слоя, а также форму фронта в каждый момент времени. Уравнение (6) описывает исключительно динамику фронта, однако, использование данного уравнения при математическом моделировании процессов движения устойчивых фронтов различной природы позволяет более быстро получить приближенное решение при приемлемой точности вычислений, что приводит к повышению эффективности численных расчетов.
ТРЕТЬЯ ГЛАВА является обзором некоторых прикладных задач, описываемых уравнениями «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция». Рассмотрены математические модели фазового и компонентного разделения в биологических мембранах, модели формирования и динамики внутрипластовых фронтов окисления при использовании термогазовых методов нефтедобычи.
Представлен краткий обзор по основам разработки месторождений углеводородов и применению термохимических методов увеличения нефтеотдачи. При разработке месторождений нефти методом внутрипластового горения (окисления части углеводородов пласта нагнетаемым сухим или влажным воздухом) наблюдается формирование и движение резких температурных и концентрационных фронтов, предсказание поведения которых чрезвычайно важно для ведения безопасной и эффективной добычи. В данной Главе дано качественное описание термогазового метода, а также приводится ряд математических моделей динамики пластовых флюидов, основанных на уравнении реакции-диффузии-адвекции, описывающем распространение окислителя в пласте.
В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ рассматриваются возможные приложения аналитических и модельных результатов диссертации к некоторым практическим задачам. Для исследований применен комплекс программ, разработанный в диссертации. В разделе 4.1 впервые рассматривается применение разработанных оценок к описанию формирования и динамики фронта внутрипластового окисления при термогазовом методе увеличения нефтеотдачи. Процессы внутрипластового термо- и флюидопереноса могут быть смоделированы в коммерческих программных комплексах (симуляторах) нескольких компаний. В данном разделе приведен обзор основных принципов моделирования, используемых в этих симуляторах.
В модели нефтеносный пласт представляет собой неоднородное пористое пространство, насыщенное нефтью с растворенным в ней углеводородным газом. Приводится сопоставление результатов расчетов в симуляторе CMG STARS (Канада) с моделью «реакция-диффузия-адвекция» (1) и аналитическими оценками, полученными автором при помощи асимптотических методов.
Рис. 5. Зависимость времени формирования резкого переходного слоя по концентрации окислителя от величины коэффициента диффузии кислорода.
На рис. 5 изображены зависимости времени формирования резкого переходного слоя по концентрации окислителя от величины коэффициента диффузии кислорода D (
) для расчетов в симуляторе, численного моделирования фронта на основе модели РДА (1), а так же аналитической зависимости 
, полученной в разделе 1.2. После нормировки данный закон можно записать в виде 
, где 
сут., 
м2/сут. - нормировочные множители. Как видно из рис. 5, характер зависимостей качественно совпадает.
Моделирование в симуляторе также подтвердило, что ширина сформировавшегося переходного слоя не меняется при движении фронта горения. Аналогичное поведение показывает и решение задачи (1). Несложно показать, что после быстрого формирования контрастной структуры в решении задачи реакции-диффузии-адвекции (1), ширина переходного слоя не меняется со временем и равна 
, следовательно приведенную ширину фронта окисления можно выразить как 
, где 
- нормировочный множитель, принятый 4.8 м.
Сопоставление (рис. 6) аналитической зависимости и вычисленных в симуляторе значений ширины фронта показало хорошее соответствие между ними.
 | Рис. 6. Зависимость ширины фронта от коэффициента диффузии кислорода. |
Сопоставление динамики фронтов, полученных в симуляторе и модели (1) также показало поведение, качественно схожее описанному в разделе 2.3 Главы 2.
В разделе 4.2 аналитические результаты, описанные в Главе 1, применены к модели фазового разделения в тонких биологических пленках. Как показано в Главе 3, уравнение реакции-диффузии
может служить математической моделью фазового разделения в липидных мембранах. Впервые оценена зависимость времени формирования фазового разделения от коэффициента латеральной диффузии липидов D с использованием формулы (5), полученной для уравнения «реакции-диффузии» асимптотическими методами 
, где A, D0 - калибровочные постоянные и введено обозначение 
. При выводе соотношения (5) считалось, что на поверхности липидных мембран могут возникать области сосуществования жидкой и гелеобразной («твёрдой») фаз, отделенных друг от друга резким переходным слоем. Многочастичные модели мембран позволяют выяснить условия возникновения фазового и компонентного разделения и, тем самым, обнаружить границы применимости аналитических оценок.
При помощи метода Монте-Карло проведено исследование липидных пленок. Моделирование проводилось на двумерных поверхностях. Размеры модельной области составили 25 25 нм.
Начальные приближения для моделирования выбраны в виде резких переходных слоев между фазами, что отвечает экспериментальным данным. Такой вид переходных слоев выбран с учетом аналитических результатов, сформулированных в Главе 1.
Модель описывает одно- и/или двухкомпонентную липидную мембрану. Липиды представлены в виде частиц, взаимодействующих друг с другом посредством потенциала Леннарда-Джонса. Для поиска конфигурации, соответствующей равновесному распределению, использовался алгоритм Монте-Карло.
В однокомпонентном случае фазовое разделение в такой модели исследовалось впервые, проведены две серии экспериментов. В первой серии рассматривалась система, состоящая из фиксированного количества частиц (N=2000) и исследовалось фазовое поведение системы в зависимости от температуры, а также возможность образования гелевых доменов – конгломератов частиц, формирующих треугольную решетку. Рассмотрен вопрос о характере изменения зависимости процентного соотношения твердой и жидкой фаз от температуры. На рис. 7 а представлен график зависимости размера гелевых включений от температуры.
Вторая серия численных экспериментов преследовала цель получить зависимость количества частиц в гелевой (упорядоченной) фазе от количества частиц в том же объеме при фиксированной относительной температуре 
=0.1 (k – постоянная Больцмана, T – температура), отнормированной на константу взаимодействия 
липидов первого сорта самих с собой.
По этим данным был построен график зависимости процентного соотношения твердой и жидкой фаз от количества частиц (рис. 7 б).
 |  |
Рис. 7. Зависимости размеров включения гелевой фазы от относительной температуры 
при N = 1000, 1500 и 1750 (а) и количества частиц при 
= 0.05 и 0.075 (б).
Для двухкомпонентной системы удалось построить фазовую диаграмму (рис. 8). На ней изображены значения 
(
– количество частиц в системе, образующих треугольную решетку) при различных температурах и относительных концентрациях первой компоненты. Из диаграммы видно, что существует область значений параметров системы, при которых наблюдается фазовое разделение.
Рис. 8. Фазовая диаграмма температура - концентрация бинарной системы. Тоном показаны области с различными диапазонами значений 
.
В разделе ЗАКЛЮЧЕНИЕ кратко сформулированы результаты, полученные в диссертации:
- При помощи асимптотических методов получен ряд аналитических результатов, таких как оценка времени формирования резкого переходного слоя и уравнение локализации, позволяющих создавать эффективные вычислительные алгоритмы.
- Для всех рассмотренных математических моделей разработаны алгоритмы численного расчета на основе конечно-разностных схем.
- На основе разработанных алгоритмов создан комплекс программ, при помощи которого исследованы формирование и динамика переходных слоев в задачах нефтедобычи и биофизики.
- Результаты диссертации могут найти применение в прикладных задачах нефтедобычи и биофизики. Рассмотрены приложения полученных аналитических и численных результатов к вопросам формирования и динамики фронта внутрипластового горения в нефтедобыче и фазового разделения в биологических мембранах. Оценены времена формирования расслоения и инициации горения, ширина фронта. Исследованы численные многочастичные модели липидных мембран при помощи метода Монте-Карло. Рассмотрены одно- и двухкомпонентные липидные слои, в которых наблюдалось фазовое и компонентное разделение, получены фазовые диаграммы.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих изданиях
Публикации в изданиях из Перечня ВАК:
- Волков В.Т., Грачев Н.Е., Нефедов Н.Н., Николаев А.Н.. О формировании резких переходных слоев в двумерных моделях реакция-диффузия // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 2007. т. 47, № 8, с. 1356.
- Волков В.Т., Грачёв Н.Е., Нефедов Н.Н., Сенин Д.С. Оценка параметров фронта внутрипластового горения при закачке воздуха в нефтяной пласт // Нефтяное хозяйство, 2010. №4, с. 93-95.
Публикации в других научных изданиях:
- Грачев Н.Е., Асимптотическое и многочастичное моделирование фазового разделения и кластеризации // В сб.: Тезисы докладов «Научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов Московского института экономики и математики». М.: МИЭМ. 2008. с. 89.
- Дмитриев А.В., Сенин Д.С., Грачев Н.Е. Теоретическое и численное исследование фронта горения на основе уравнения реакции-диффузии-адвекции // В сб.: Международная конференция «Ломоносов-2009». М.: МГУ им. М.В. Ломоносова. 2009. с. 34.
- Грачёв Н.Е., Князева О.С., Коваленко И.Б. Моделирование фазового и компонентного разделения в биологических мембранах // В сб.: VIII международная конференция «Проблемы биологической физики». М.: МГУ им. М.В. Ломоносова. 2009. с. 23.
- Грачёв Н.Е. Моделирование формирования и динамики резких переходных слоев в задачах «реакция-диффузия-адвекция» // В сб.: Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование». Дубна. 2010. с. 265.
- Дмитриев А.В., Грачёв Н.Е. Динамика резких переходных слоев в решении задачи реакции-диффузии-адвекции // В сб.: Международная конференция «Ломоносов-2010». М.: МГУ им. М.В. Ломоносова. 2010. с. 49.
- Грачев Н.Е., Иванов Д.А., Осипов Д.А., Соломатин А.Г. и др. Технологическая схема опытно-промышленной разработки Южно-Торавейского месторождения // ОАО «ВНИИнефть им. акад. А.П. Крылова». М.: ВНИИнефть. 2009. с. 1.
