Конечноэлементное моделирование гармонических электромагнитных полей от тороидальной катушки в осесимметричных и трехмерных средах

На правах рукописи

Волкова Алла Владимировна

Конечноэлементное моделирование гармонических электромагнитных полей от тороидальной катушки в осесимметричных и трехмерных средах

Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук

Новосибирск – 2009

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении
высшего профессионального образования
«Новосибирский государственный технический университет»

Научный руководитель:	кандидат технических наук, доцент
	Персова Марина Геннадьевна
Официальные оппоненты:	доктор технических наук Могилатов Владимир Сергеевич доктор физико-математических наук, профессор Селезнев Вадим Александрович
Ведущая организация:	Сибирский научно-исследовательский институт геологии, геофизики и минерального сырья, г.Новосибирск

Защита состоится «15» октября 2009 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.173.06 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет» по адресу: 630092, г.Новосибирск, пр. К. Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан « 14 » сентября 2009 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Чубич В.М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние десятилетия развитие вычислительной техники и численных методов привело к возможности построения эффективных вычислительных алгоритмов моделирования электромагнитных полей, которые в свою очередь являются мощным инструментом теоретических исследований и широко используются в различных областях науки и техники.

Среди всех задач моделирования электромагнитных полей можно выделить широкий спектр задач, в которых электромагнитное поле возбуждается гармоническими источниками тока. Методы, основанные на использовании гармонических полей, успешно применяются, например, в задачах электрокаротажа, которые, как известно, представляют собой геофизические исследования, основанные на оценке параметров среды в околоскважинном пространстве с целью изучения вскрытого скважиной геологического разреза.

Довольно часто для вычисления характеристик гармонических электромагнитных полей применяют аналитические и полуаналитические методы, использующие некоторые упрощения математической модели поля (В.С.Могилатов, М.И.Эпов, Л.А Табаровский и др.). Основное достоинство этих методов состоит в том, что базирующиеся на их использовании алгоритмы позволяют достаточно быстро, с небольшими вычислительными затратами получать характеристики изучаемого поля, а к их недостаткам можно отнести невозможность учета всех особенностей решаемой задачи, в том числе и полностью адекватного учета структуры среды. Методы численного моделирования являются с этой точки зрения более универсальными, хотя в тех частных случаях, когда аналитические и полуаналитические методы применимы, могут проигрывать им из-за гораздо более высокой сложности получения конечного результата.

В настоящее время при решении дифференциально-краевых задач, описывающих различные электромагнитные поля, широко используется метод конечных элементов (МКЭ) как один из наиболее эффективных численных методов решения задач математической физики (А. Bossavit, D.White, В.П. Ильин и др.).

Однако применение стандартных вычислительных конечноэлементных схем для моделирования трехмерных электромагнитных полей требует очень больших вычислительных затрат. Это приводит либо к большим погрешностям решения из-за использования недостаточно подробной сетки, либо к чрезмерно большому времени счета при решении важных практических задач. Предложенный в работах Ю.Г.Соловейчика подход к конечноэлементному моделированию с выделением двумерной части поля позволяет при решении многих трехмерных задач во много раз снизить вычислительные затраты и тем самым сделать эти задачи доступными для решения с необходимой точностью при относительно небольших вычислительных затратах. В предлагаемой диссертационной работе будут построены основанные на таком подходе конечноэлементные схемы моделирования электромагнитных полей с гармоническими источниками типа тороидальная катушка и токовая петля.

Таким образом, актуальность данной диссертационной работы определяется необходимостью создания эффективных методов решения трехмерных электромагнитных задач для гармонических источников.

Основной научной проблемой, решению которой посвящена данная диссертационная работа, является проблема разработки методов численного моделирования гармонических электромагнитных полей от источника в виде тороидальной катушки в осесимметричных и трехмерных средах, характерных для задач электрокаротажа.

В диссертационной работе сформулированы две основные цели исследования, для достижения которых решается ряд задач.

Цели и задачи исследования

1. Расчет вызванных гармоническим тороидальным источником осесимметричных электромагнитных полей. Для достижения этой цели были решены следующие задачи:

– разработаны конечноэлементные схемы моделирования осесимметричных электромагнитных полей, возбуждаемых тороидальным гармоническим источником, для двух постановок: скалярной – для -компоненты напряженности магнитного поля и векторной – для - и -компоненты напряженности электрического поля;

– разработаны алгоритмы автоматического перестроения конечноэлементных сеток при перемещении источника вдоль оси скважины, на основе чего реализованы методы автоматического расчета соответствующих гармонических полей с выдачей значений в одном или нескольких приемниках;

– выполнена программная реализация разработанных конечноэлементных схем моделирования осесимметричных полей, вызываемых гармоническим током в тороидальной катушке, на основе скалярной (для ) и векторной (для , ) постановок.

2. Моделирование трехмерных электромагнитных полей от гармонических индукционных источников в виде тороидальной катушки и круговой петли. Для этого были решены следующие задачи:

– разработаны конечноэлементные схемы моделирования трехмерных гармонических электромагнитных полей с выделением осесимметричной части поля при его возбуждении тороидальным или петлевым источником;

– проведена верификация разработанных вычислительных схем трехмерного моделирования на задачах меньшей размерности (в осесимметричных средах), а также путем сравнения решений, полученных с использованием различных постановок;

– изучена реакция электромагнитных полей, возбуждаемых тороидальным и петлевым источниками, на трехмерные неоднородности удельного сопротивления в ситуациях, характерных для задач электрокаротажа.

Научная новизна

1. Предложены конечноэлементные схемы моделирования возбуждаемых гармоническим током в тороидальной катушке осесимметричных электромагнитных полей, основанные на использовании узлового (для ) и векторного (для , ) МКЭ.
2. На основе метода выделения поля разработаны конечноэлементные схемы моделирования трехмерных электромагнитных полей с гармоническими индукционными источниками.
3. Проведено сравнение тороидального и петлевого источников для некоторых задач электрокаротажа.
4. На основе разработанных методов моделирования исследовано поведение трехмерных электромагнитных полей в ситуациях, когда гармонический тороидальный источник смещен относительно оси скважины и когда скважина наклонена к пересекаемому ею разделу сред или слою под некоторым углом.

На защиту выносятся:

1. Конечноэлементные схемы моделирования вызванных гармоническим током в тороидальной катушке осесимметричных электромагнитных полей, базирующиеся на двух различных постановках: скалярной (для ) и векторной (для , ).
2. Математическая постановка и конечноэлементные схемы моделирования трехмерных гармонических электромагнитных полей, основанные на выделении осесимметричной части поля.
3. Сравнительный анализ схем моделирования гармонических электромагнитных полей, основанных на использовании различных математических моделей и конечноэлементных аппроксимаций.
4. Результаты моделирования электромагнитных полей, возбуждаемых гармоническими индукционными источниками, в некоторых характерных для задач электрокаротажа ситуациях:

– источник перемещается вдоль оси скважины в осесимметричной среде, когда скважина пересекает слои под прямым углом;

– источник смещается с оси скважины к ее границе;

– скважина параллельна границе раздела сред;

– источник перемещается в скважине, которая наклонена к пересекаемому ею разделу сред или слою.

Достоверность результатов

Адекватность математических моделей и разработанных конечноэлементных схем и вычислительных процедур подтверждены следующими экспериментами:

1. Решение гармонической осесимметричной задачи в цилиндрически-слоистых средах сравнивалось с результатами, полученными другими авторами с использованием полуаналитических методов.
2. Верификация трехмерных расчетов проводилась на осесимметричных моделях путем сравнения с решениями, получаемыми на основе двумерных постановок для и для (, ).
3. Одна и та же трехмерная задача решалась в трех постановках: для вектор-потенциала и скалярного потенциала (узловой МКЭ), для напряженности электрического поля и для напряженности магнитного поля (векторный МКЭ).

Теоретическая значимость работы состоит в том, что предложены и теоретически обоснованы вычислительные схемы моделирования осесимметричных и трехмерных гармонических электромагнитных полей, вызываемых тороидальным источником.

Практическая значимость работы и реализация результатов

Предлагаемые в данной работе конечноэлементные схемы моделирования гармонических осесимметричных электромагнитных полей от тороидального источника тока реализованы в программном комплексе. Разработанные программы могут быть использованы для оценки возможностей электромагнитных зондирований с использованием тороидального источника при изучении параметров осесимметричных и трехмерных сред, включающих в себя скважину, зону проникновения, горизонтальные, вертикальные и наклонные слои и различные трехмерные неоднородности удельного сопротивления и диэлектрической проницаемости.

Личный вклад

Автором лично разработаны и программно реализованы конечноэлементные схемы моделирования осесимметричных гармонических электромагнитных полей для тороидального источника, вычислительные схемы решения трехмерных гармонических электромагнитных задач на основе выделения осесимметричной части поля, выполнены расчеты осесимметричных и трехмерных полей для источников в виде тороидальной катушки и круговой токовой петли.

В совместных публикациях автору принадлежат

– в работе [2] – построение конечноэлементных сеток (с шестигранными ячейками) и проведение расчетов электромагнитных полей;

– в работах [1,4,8,9,10] – построение конечноэлементных аппроксимаций, разработка алгоритмов построения сеток, проведение конечноэлементных расчетов и анализ результатов.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на VII международном научном симпозиуме имени академика М.А.Усова 2004 «Проблемы геологии и освоения недр» (Томск, 2004 г.); Новосибирской научно-технической конференции имени Попова «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск 2005 г., 2008 г.); Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск 2005 г., 2008 г.); IX международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск 2008 г.).

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 10 работ, из них 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК, 4 статьи в сборниках научных трудов и 4 статьи в материалах конференций.

Структура работы

Диссертационная работа изложена на 143 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников (115 наименований), приложения и содержит 66 рисунков и 18 таблиц.

Основное содержание работы

Первая глава диссертационной работы посвящена способам решения осесимметричных задач с источником возбуждения в виде тороидальной катушки. В ней приводятся математические модели, эквивалентные вариационные формулировки и конечноэлементные аппроксимации для постановок двух типов – скалярной для -компоненты напряженности магнитного поля () и векторной для - и -компоненты напряженности электрического поля (, ). Рассмотрены две процедуры, позволяющие решить осесимметричную задачу как скалярную для и как векторную для (, ). Для обоснования корректности работы соответствующих процедур, реализующих разработанные альтернативные подходы, приводятся результаты их сравнения на наборе осесимметричных задач в различных средах, а также результаты сравнения с данными, полученными с использованием полуаналитического метода и приведенными в работе В.С. Могилатова.

Электромагнитное поле, вызванное гармоническим током в тороидальном источнике в осесимметричной среде, может быть описано с помощью уравнения

1 2

Комплекснозначная вектор-функция в правой части уравнения (1) определяется соотношениями:

, .

Фактически уравнение (1) является скалярным уравнением для комплекснозначной функции . Оно может быть записано также в виде

3 4

Электромагнитное поле тороидального источника может быть описано также с помощью векторного уравнения для напряженности электрического поля

, 5 6

в котором для осесимметричного случая – комплекснозначная вектор-функция, а и  – комплекснозначные функции координат и . Плотность сторонних токов описывает возбуждающий поле электрический ток в тороидальной катушке, который определяется вещественными составляющими компонент и .

Значение ЭДС в приемной тороидальной катушке может быть вычислено по формуле

, 78

где – координаты оси приемной катушки, – коэффициент, определяющий момент приемной тороидальной катушки (он определяется через площадь сечения тороидальной катушки и количество витков в ней).

По значениям ЭДС могут быть получены значения амплитуды и фазы принимаемых сигналов:

, 910

. 11 12

Компоненты напряженности электрического поля при использовании постановки (1) могут быть вычислены по формуле

, . 13 14

При использовании модели (3) значение для вычисления амплитуды и фазы может быть получено как

15 16

либо вычислено по формуле

.

При существенных токах смещения уравнения (1) и (3) принимают вид:

17 18

, 1920

где – диэлектрическая проницаемость среды.

Для рассмотренных моделей были построены вариационные постановки, конечноэлементные аппроксимации и выполнены соответствующие программные реализации.

На рис. 1 для тороидального источника приведены результаты расчетов полей в цилиндрически-слоистых средах, полученные с использованием разработанных методов и с использованием полуаналитического метода вычисления электромагнитного поля, который был описан в работе В.С. Могилатова.

а) б)

Рис. 1. Сравнение результатов расчета предложенным численными методом (а) и полуаналитическим методом (б)

Было также проведено сравнение постановок (2) и (3) для различных по контрастности геоэлектрических моделей. Полученные результаты показывают, что при расчетах поля в слабоконтрастных по проводимости средах постановки для и для (, ) примерно одинаковы по эффективности (т.е. соотношению точности и вычислительных затрат). Скалярная постановка в этом случае имеет некоторое преимущество в том плане, что рассмотренные в работе решатели СЛАУ (комплексный метод сопряженных градиентов COCG и комплексный метод сопряженных невязок COCR, метод бисопряженных градиентов BCG, GMRES, локально оптимальная схема) работают для нее намного надежнее. При расчете же полей с большими контрастами в проводимости преимущество по точности имеет векторная постановка для (, ).

Во второй главе рассматриваются алгоритмы автоматического построения сеток при решении осесимметричных задач, когда источник перемещается вдоль оси скважины. Здесь же приводятся примеры использования соответствующих программ, реализующих разработанные алгоритмы, для моделирования осесимметричных гармонических электромагнитных полей от тороидального источника тока, а также сравнение реакций на параметры среды двух индукционных источников – тороидального и петлевого – при перемещении их по стволу скважины в осесимметричной среде.

В качестве математической модели, описывающей возбуждаемое круговой петлей электромагнитное поле, использовано уравнение для -компоненты вектор-потенциала :

, 2122

где – мнимая единица, – магнитная проницаемость вакуума, – круговая частота (, – частота тока в источнике), – удельная проводимость среды, – комплекснозначная функция координат и , – комплекснозначная плотность тока, вещественная часть которой определяется через -функцию как (т.е. ток с амплитудой сосредоточен на окружности ), а мнимая часть равна нулю.

Для петлевого источника ЭДС в приемной петле определяется в виде

, 2324

где – радиус приемной петли, – ее -координата.

Проведенные расчеты показали следующее. При радиусе зоны проникновения  м относительная аномалия в принимаемом сигнале (фазе ЭДС) для тороидальной катушки и петли примерно одинаковая. Однако характер поведения фазы в зависимости от положения зонда различается довольно сильно: если для петли при любой из рассмотренных толщин аномального слоя имеет один экстремум в окрестности середины этого слоя, то для тороидальной катушки отклонение от нормального фона чаще всего имеет два экстремума, которые расходятся с увеличением толщины слоя .

Кроме того, несколько по-разному для тороидального и петлевого источников ведут себя отклонения от своих фоновых значений (соответствующих среде без слоя) при разных значениях частоты тока – у тороидальной катушки чувствительность к изменению частоты заметно выше.

Для тороидальной катушки большее (по сравнению с петлей) изменение в дает наличие в среде менее проводящего слоя при увеличенной до 1 м зоне проникновения. Особенно ярко это проявляется при малом разносе.

В качестве примера на рис. 2 приведены графики регистрируемых в приемниках значений фазы (см. соотношение (6)) при перемещении зонда с источником в виде петли и тороидальной катушки (и соответствующими приемниками) в зависимости от значений -координаты приемника (источник расположен выше, его -координата равна ) для двух вариантов радиуса зоны проникновения ( м и  м) для геоэлектрической модели со слоем толщиной 2 м и удельной проводимостью 0.01 См/м во вмещающей среде 0.1 м при разносе между приемником и источником  м. В этих расчетах радиус скважины 0.1 м, удельная проводимость в ней 1 См/м, радиус зоны проникновения  м и  м, удельная проводимость в ней 0.3 См/м; середина слоя совпадает с плоскостью .

а) б)

в) г)

Рис. 2. Графики при м для петли (а) и для тора (б)
и при м для петли (в) и для тора (г)

В главе 2 также рассматривается проблема учета влияния каротажного прибора. Поскольку ненулевые сигналы в приемных катушках могут быть получены только при условии, что поверхность, натянутую на ось приемной катушки, пересекают ненулевые токи, конструкция прибора должна быть такой, чтобы это условие было выполнено. Для этого, например, в конструкцию прибора можно ввести металлические (высокопроводящие) ободки, которые, с одной стороны, пересекают поверхности, натянутые на оси приемных катушек, а с другой стороны, контактируют с проводящей внешней средой (буровым раствором). На этих ободках, очевидно, могут быть заданы условия равенства нулю касательных составляющих напряженности электрического поля (т.е. ). Такой же ободок может быть поставлен и около источника – это позволит повысить уровень электромагнитного поля. На остальных границах прибора, если они покрыты изоляционными материалами, в осесимметричном случае может быть задано краевое условие . Схема такого прибора показана на рис. 3.

a)	б)
	в)	г)

Рис. 3. Возможная конструкция прибора (а) и графики зависимости значений ЭДС и ее фазы (б-г) при профилировании без учета прибора (треугольнички) и с учетом прибора с двумя размерами ободка (прямоугольнички – больший ободок, кружки – меньший ободок) для моделей без слоя и со слоем

Было рассмотрено, какое влияние может оказывать конструкция каротажного прибора на сигналы в приемнике. Для этого было выполнено профилирование для среды со слоем, верхней границей которого является плоскость  м, а нижней – плоскость  м. Значения удельной проводимости следующие: в скважине 1 См/м, в зоне проникновения 0.3 См/м, в слое 0.01 См/м, во вмещающей среде 0.1 См/м. Радиус скважины  м, радиус зоны проникновения  м, внутренний и внешний радиусы тороидальных катушек 0.04 и 0.05 м соответственно, радиус прибора 0.05 м. Приемная катушка удалена от генераторной на 1 м.

На рис. 3 приведены графики значений реальной и мнимой компонент ЭДС и ее фазы, полученные при профилировании без прибора и с прибором, у которого проводящие металлические проводки распространяются от углублений для приемных тороидальных катушек в обе стороны (по ) на 0.02 м и 0.01 м. Как видно из графиков, прибор и конструктивные изменения в нем оказывают влияние в основном на уровень сигнала. Поведение же откликов от слоя очень мало отличается. Аналогичные результаты получаются и в других ситуациях, когда изучаются отклики от неоднородностей удельного сопротивления, находящиеся на некотором удалении от скважины.

В работе рассмотрена также ситуация, когда весь прибор (за исключением, естественно, генераторной и приемной катушек) окружен металлической оболочкой, контактирующей со средой в скважине. В этом случае резко увеличивается уровень электромагнитного поля (и, соответственно, значения сигналов в приемниках), но при это реакция в фазе ЭДС и в разности фаз (для двух приемников) на слой с измененной проводимостью существенно уменьшается. Например, при профилировании вдоль скважины, находящейся в среде с удельной проводимостью 0.1 См/м со слоем с проводимостью 0.01 См/м и толщиной 1 м ( м,  м,  См/м,  См/м), изменения в фазе для прибора с металлическим корпусом, контактирующим со средой, примерно в два раза меньше, чем для прибора с изолированным от среды корпусом. В разности фаз реакция на слой для прибора с металлическим корпусом уменьшается еще более значительно.

В третьей главе диссертационной работы описываются методы решения трехмерных гармонических задач, основанных на выделении осесимметричной части поля. В ней приведены соответствующие математические модели и эквивалентные вариационные постановки. При этом использованы три различные математические модели: система уравнений для вектор-потенциала и скалярного электрического потенциала ; векторное уравнение для напряженности электрического поля ; векторное уравнение для напряженности магнитного поля .

Сначала рассмотрим ситуацию, когда для расчета трехмерного поля от тороидального источника применяется узловой МКЭ. Будем считать, что среда однородна по магнитной проницаемости, т.е. , – магнитная проницаемость вакуума. В этом случае система уравнений для расчета добавочного поля, определяемого отличием удельного сопротивления трехмерной среды от удельного сопротивления осесимметричной среды, имеет вид:

, 25 26

, 27 28

Характеристики суммарного поля могут быть определены по формулам:

, 2930

. 3132

В системе уравнений (13)–(14) нормальная составляющая вектора напряженности электрического поля считается известной комплекснозначной вектор-функцией, найденной при моделировании электромагнитного поля от тороидального источника тока в соответствующей осесимметричной среде.

С учетом выражений (7), значение в декартовой системе координат может быть получено из осесимметричного поля, описываемого осесимметричной задачей (1) или (3), по следующим формулам ():

, 33 34

, 3536

. 37 38

Эквивалентная вариационная постановка для модели (13)–(14) имеет вид:

, 39 40

,

41 42

где – вещественная пробная функция, – гильбертово пространство функций с суммируемыми с квадратом первыми производными, все компоненты и принадлежат .

При использовании векторного МКЭ с учетом разделения искомого поля на осесимметричную и трехмерную составляющие уравнение для расчета добавочного поля , определяемого влиянием трехмерных неоднородностей удельного сопротивления, будет иметь следующий вид:

, 43 44

где значения напряженности нормального электрического поля могут быть получены пересчетом решения осесимметричной задачи (1) или (3) в декартовую систему координат с помощью соотношений (17)-(19).

Эквивалентная вариационная формулировка для уравнения (22) имеет вид

. 45 46

Решение (его вещественная и мнимая компоненты) и пробные вектор-функции должны принадлежать пространству , содержащему все векторные функции , такие что и .

При отсутствии в среде подобластей с нулевой проводимостью электромагнитное поле может быть получено из решения уравнения

, 47 48

где – вектор напряженности магнитного поля, а – это вычисленное из решения уравнения (1) или (3) (с учетом (8)) осесимметричное поле, пересчитанное в декартовую систему координат.

Эквивалентная вариационная формулировка для уравнения (24) имеет вид

. 49 50

Конечноэлементные аппроксимации строились с использованием квазирегулярных сеток с ячейками в виде параллелепипедов и шестигранников. При вычислении вкладов в правые части конечноэлементных СЛАУ значения и (см. уравнения (20), (21), (23), (25)) принимались постоянными на каждом конечном элементе и равными значениям этих величин в центре элемента.

Для проверки процедур, реализующих метод выделения поля, был решен ряд осесимметричных задач в трехмерной постановке

В качестве одного из примеров рассмотрим следующую модель. Во вмещающую среду с удельной проводимостью 0.1 См/м поместим скважину радиусом 0.1 м с удельной проводимостью 1 См/м, вокруг которой зададим зону проникновения с удельной проводимостью 0.3 См/м, а также осесимметричный (аномальный) объект в виде полого цилиндра с внутренним радиусом 0.6 м, внешним радиусом 5 м. Вдоль оси этот объект лежит в интервале от -1 м до
-1.5 м. Его удельную проводимость примем равной 0.01 См/м.

Будем полагать, что генераторная катушка содержит 100 витков, которые намотаны на стенку полого цилиндра высотой 0.01 м с внутренним радиусом 0.05 м и внешним радиусом 0.06 м.

Сравним поведение вещественной и мнимой составляющих ЭДС, полученной в результате решения соответствующих осесимметричных задач (суммарной и нормальной) и трехмерной задачи, вдоль ствола скважины при  м (что соответствует положению оси приемной катушки). Суммарную ЭДС обозначим через , а нормальную (т.е. соответствующую модели, в которой вместо аномального объекта задана вмещающая среда) – через . Через обозначим сумму и , где – это значение ЭДС, вычисленное путем решения соответствующей трехмерной задачи.

На рис. 4. приведены графики зависимости мнимых и вещественных составляющих ЭДС , и и относительное отклонение от .

а) б)

в) г)

Рис. 4. Графики зависимости мнимых (а) и вещественных (б) составляющих , и и относительное отклонение от (в, г)

В главе 3 также приводится сравнение вычислительных затрат при расчете двумя способами: с включением источника в трехмерную задачу и по технологии с выделением поля. С учетом осесимметричности рассматриваемой модели, расчет трехмерных полей выполнялся в четверти полной расчетной области с соответствующими условиями симметрии. В проводимых исследованиях сетки для обеих технологий были оптимизированы в сечении XZ (в зависимости от технологии), а количество интервалов по координате было взято равным 4, 6 и 8. Оценка погрешности получаемых решений проводилась относительно решения осесимметричной задачи в двумерной постановке, погрешность которого не превышала 0.1 %.

В результате расчетов было получено, что для получения решения, погрешность которого не превышает 1.5%, при использовании технологии с включением источника в трехмерную задачу количество узлов по должно быть не менее девяти, а сечение в плоскости XZ должно содержать порядка 3000 узлов. При использовании же технологии с выделением поля для получения решения с такой же точности по координате оказалось достаточно пяти узлов, а в сечении плоскостью XZ – около 500 узлов. Вычислительные затраты для обеих технологий приведены в табл. 1 (время счета приведено для компьютера Intel(R)Core(TM) 2Quad [email protected]).

Из результатов, приведенных в табл. 1 видно, что использование технологии с выделением поля позволяет на два порядка сократить вычислительные затраты для ситуаций, когда аномальная область расположена за скважиной.

Таблица 1

Сравнение вычислительных затрат при использовании технологии
с включением источника в трехмерную задачу и при использовании технологии с выделением поля

Решение трехмерной задачи	Число узлов в сетке	Число итераций решателя	Время решения задачи
По технологии без включения источника в трехмерную задачу	1881	2993	6 сек
По технологии с включением источника в трехмерную задачу (4 шага по )	15752	12207	4мин 2сек
По технологии с включением источника в трехмерную задачу (6 шагов по )	22352	13452	6мин 30сек
По технологии с включением источника в трехмерную задачу (8 шагов по )	29128	17520	13мин 20сек

Также проводились сравнения вычислительных затрат при использовании модели с векторным МКЭ и модели с узловым МКЭ в диапазоне частот от 800 кГц и ниже. Было получено, что узловой МКЭ имеет очевидные преимущества от частот 200 кГц и ниже. Для частот от 800 кГц и выше более эффективным становится использование векторного МКЭ и его преимущества становятся еще более существенными при расчете полей в высококонтрастных средах.

В четвертой главе рассматриваются методы построения конечноэлементных сеток для моделирования трехмерных полей в нескольких характерных для задач электрокаротажа ситуациях – при смещении источника с оси скважины к ее границе, для параллельной скважине границе раздела сред (или слоя) и при пересечении скважиной раздела двух сред под некоторым углом и наклонного слоя. Приводятся примеры решения соответствующих трехмерных задач. На рис. 5 приведены примеры продольных сечений (плоскостью ) конечноэлементных сеток для задач пересечения скважиной раздела двух сред и слоя, наклоненного на 10 и 65 градусов.

На рис. 6 приведены примеры поперечных сечений (плоскостью ) конечноэлементных сеток для задач смещения источника с оси скважины к ее границе.

а) б) в)

Рис. 5. Примеры продольных сечений конечноэлементных сеток для задач пересечения скважиной раздела двух сред (а) и слоя, наклоненного на 10 (б) и 65 (в)

а)

б)

Рис. 6. Примеры поперечных сечений конечноэлементных сеток для задач со смещением источника с оси скважины к ее границе:

а) - при относительно небольшом смещении оси прибора с оси скважины;

б) - при касании прибора границы скважины

При решении задачи исследования влияния на измеряемый по стволу скважины сигнал положения границы раздела сред, параллельной оси скважины, использовались конечноэлементные сетки, содержащие порядка 20000 узлов. При этом время счета с использованием модели для векторного МКЭ в зависимости от положения границы варьировалось в интервале от 2.5 мин. до 1 мин. Для этой задачи для верификации был проведен также расчет с использованием модели узлового МКЭ. Различие в результатах не превысило 0.5 %.

При решении задачи со скважиной, которая пересекает раздел сред, каротажный зонд перемещался вдоль скважины (по оси ) из среды с удельной проводимостью 0.2 См/м в среду с удельной проводимостью 0.05 См/м. Были проведены расчеты для трех значений частоты тороидального и петлевого источников (400 кГц, 800 кГц и 1200 кГц) при трех значениях угла между осью скважины и плоскостью раздела сред (10°, 35° и 90°). Результаты расчетов представлены в виде графиков зависимости фазы от -координаты положения приемника (место пересечения оси скважины с разделом сред =0) на рис.7. Из этих результатов видно, что для петлевого источника участок перехода значений фазы от среды с удельной проводимостью (за зоной проникновения) 0.2 См/м к среде с удельной проводимостью 0.05 См/м существенно меньше при всех рассмотренных углах наклона.

Приведем еще пример решения задачи со скважиной, пересекающей под углом 10° слой с удельной электрической проводимостью 0.2 См/м (см. рис. 5,б). Удельная электрическая проводимость вмещающей среды равна 0.05 См/м. Используемые конечноэлементные сетки для рассматриваемой задачи содержали порядка 50000-60000 узлов, а время счета каждого положения источника составило порядка 10 мин. на компьютере класса Intel(R)Xeon(R) CPU X5355 @ 2.66GHz. На рис. 8-9 приведены результаты расчетов в виде графиков фазы, реальной и мнимой частей ЭДС для петлевого и тороидального источника тока при профилировании вдоль оси скважины, пересекающей наклонный на 10° слой (приемник удален от источника на 1 м, место пересечения слоя и оси скважины м). Для оценки влияния слоя на этих же графиках приведены значения нормального поля – для геоэлектрической модели, не содержащей слой (незакрашенные значки).

При решении задачи оценки влияния смещения зонда внутри скважины относительно ее оси параметры скважины и радиус зоны проникновения были взяты следующие:  м, См/м,  м. Удельная проводимость зоны проникновения была взята равной 0.3 См/м, а среды за зоной проникновения – 0.1 См/м. Для рассматриваемой задачи количество узлов для большинства положений зонда составило порядка 60000, а для последнего – когда зонд касается стенки скважины – примерно в два раза больше. Поскольку в данной задаче в качестве аномалии при использовании технологии выделения поля задавалась скважина и потребовались столь подробные сетки, то время счета составило от 30 мин. до 1.5 часов. В результате расчетов было получено, что для рассматриваемой среды влияние смещения зонда к стенке скважины можно считать несущественным – даже при его касании стенки скважины фаза изменяется по сравнению с центральным положением не более чем на две десятых градуса.

а) б)

Рис. 7. Графики зависимости фазы ЭДС от значений -координаты приемника для трех значений частоты тороидального (a) и петлевого (б) источников и для трех значений угла между осью скважины и плоскостью раздела сред.

Обозначения:

1 - =10°, =1200 кГц; 2 - =35°, =1200 кГц; 3 - =90°, =1200 кГц;

4 - =10°, =800 кГц; 5 - =35°, =800 кГц; 6 - =90°, =800 кГц;

7 - =10°, =400 кГц; 8 - =35°, =400 кГц; 9 - =90°, =400 кГц

а) б)

Рис. 8. Графики фазы при профилировании вдоль оси скважины в среде с наклонным слоем для тороидального источника (а) и петлевого источника (б)

а) б)

Рис. 9. Графики реальной (треугольнички) и мнимой (прямоугольнички) частей ЭДС при профилировании вдоль оси скважины в среде с наклонным слоем для тороидального источника (а) и петлевого источника (б)

Заключение

Основные результаты проведенных в диссертационной работе исследований состоят в следующем.

1. Разработаны и программно реализованы конечноэлементые схемы моделирования осесимметричных электромагнитных полей, возбуждаемых гармоническим током в тороидальной катушке, в двух постановках: скалярной – для и векторной­ – для (, ). Проведено их сравнение для осесимметричных сред со слоем при различных контрастах проводимости слоя и вмещающей среды.
2. Разработаны и программно реализованы алгоритмы автоматического перестроения двумерных сеток при перемещении источника вдоль оси скважины. Проведено сравнение откликов от различных слоев для тороидального и петлевого источников. Реализована возможность учета влияния каротажного прибора.
3. Разработаны и программно реализованы средства генерации трехмерных сеток с шестигранными ячейками в ситуациях, когда скважина и зона проникновения пересекают раздел сред или аномальный слой под произвольным углом, а также для учета ситуаций, когда прибор с круглым поперечным сечением смещен с оси скважины.
4. Построены аппроксимации трехмерных задач на базе трех различных моделей электромагнитного поля – системы уравнений для потенциалов , векторного уравнения для напряженности электрического поля и векторного уравнения для напряженности магнитного поля .
5. На основе метода выделения осесимметричной части поля разработаны вычислительные схемы конечноэлементного моделирования гармонических трехмерных электромагнитных полей от индукционных источников. Построенные численные процедуры протестированы на осесимметричных задачах и путем решения одной и той же трехмерной задачи в различных постановках: для , для и для .
6. С помощью разработанных вычислительных процедур и реализующего их программного комплекса выполнены расчеты трехмерных гармонических электромагнитных полей от тороидального и петлевого источников в ситуациях, характерных для задач электрокаротажа: при пересечении скважиной различных слоев, в том числе и наклоненных к оси скважины, при смещении прибора к стенке скважины, при различных удалениях скважины от параллельной ей плоскости раздела среды или слоя.

Публикации автора по теме диссертации:

1. Волкова А.В. Программно-математическое обеспечение моделирования осесимметричных полей в задачах электрокаротажа для двух источников индукционного типа / А.В. Волкова, М.Г. Персова // Научный вестник НГТУ. – 2009. – № 2(35). – С. 3–12.
2. Персова М.Г. «Проблемы и возможности электромагнитных площадных геофизических зондирований при использовании телеметрических систем регистрации данных» / М.Г. Персова, Ю.Г. Соловейчик, Г.М. Тригубович, М.В. Абрамов, А.В. Зинченко (А.В. Волкова) // Автометрия. – 2007. – № 2. – Т.43 – С. 45-54.
3. Волкова А.В. Математические модели для конечноэлементных расчетов трехмерных гармонических полей, вызываемых тороидальным током / А.В. Волкова // Сб. науч. тр. НГТУ. – 2009. – № 2(56). – C. 33-36.
4. Волкова А.В. Программный комплекс моделирования осесимметричных электромагнитных полей от тороидальной катушки в задачах электрокаротажа Тор-ЭК / А.В. Волкова, М.Г. Персова // Инновации в науке и образовании (Телеграф отраслевого фонда алгоритмов и программ). – 2008. – № 9 (44). – С. 61.
5. Волкова А.В. Сравнительная оценка разрешающей способности двух источников индукционного типа в осесимметричной среде / А.В. Волкова // Материалы Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций». – Новосибирск: СибГУТИ, 2008 г. – Том 1. – С. 40-43.
6. Волкова А.В. Учет объектов сложной геометрии при моделировании гармонических электромагнитных полей от тороидального источника тока / А.В. Волкова // Материалы IX международной конференции актуальные проблемы электронного приборостроения, Новосибирск: НГТУ, 2008 г. – Т. 6. – С. 85-88.
7. Зинченко А.В. (Волкова А.В.) Моделирование трехмерного гармонического электромагнитного поля, возбуждаемого тороидальным источником / А.В. Зинченко (А.В. Волкова) // Сб. науч. тр. НГТУ. – 2006. – № 1(43). – C. 61-66.
8. Персова М.Г. «Математическая модель и конечноэлементная аппроксимация осесимметричного поля, возбуждаемого тороидальным током» / М.Г. Персова, А.В. Зинченко (А.В. Волкова) // Сб. науч. тр. НГТУ. – 2005. – № 3(41). – C. 33-38.
9. Персова М.Г. Моделирование гармонического электромагнитного поля для решения задач электрокаротажа / М.Г. Персова, А.В. Зинченко (А.В. Волкова) // Материалы Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций». – Новосибирск: СибГУТИ, 2005 г. – Том 1. – С. 137-139.
10. Персова М.Г. «Расчет осесимметричного электромагнитного поля, вызванного током в тороидальной катушке» / М.Г. Персова, А.В. Зинченко (А.В. Волкова) // Труды VII Международного научного симпозиума имени академика М.А.Усова «Проблемы геологии и освоения недр». – Томск: ТПУ, 2004 г. – C. 400-401.

Отпечатано в типографии Новосибирского

государственного технического университета

630092, г. Новосибирск, пр. К.Маркса, 20,

тел./факс (383) 346-08-57

формат 60 Х 84/16 объем 1.5 п.л., тираж 110 экз.

Заказ № 1250 подписано в печать 08.09.09 г.