Математическое моделирование динамики негармонических волновых пакетов в стратифицированных средах
На правах рукописи
Булатов Виталий Васильевич
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКи НЕГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ В стратифицированных СРЕДАХ
Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук
Москва – 2009
Работа выполнена в лаборатории физического и математического моделирования в гидродинамике Учреждения Российской академии наук Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор САВИН Александр Сергеевич
доктор физико-математических наук, КОРЧАГИН Николай Николаевич
доктор физико-математических наук, БОЯРИНЦЕВ Владимир Иванович
Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук
Геофизический центр РАН
Защита диссертации состоится « 19 » июня 2009 года в 10 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 в Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд. 903.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета).
Автореферат разослан « 20 » марта 2009 года.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Д 212.156.05, к.ф.-м.н. О. С. Федько
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность исследования. В настоящее время наблюдается рост интереса к математическому моделированию волновых движений неоднородных природных стратифицированных сред, обусловленный проблемами геофизики, океанологии, физики атмосферы, охраны и изучения окружающей среды, эксплуатации сложных гидротехнических сооружений, в том числе морских нефтедобывающих комплексов и рядом других актуальных задач науки и техники. Этот интерес обусловлен не только практическими потребностями, но и большим теоретическим содержанием возникающих здесь проблем математического моделирования. Изучение волновых процессов в неоднородных стратифицированных природных средах превратилось в быстро развивающуюся область, причем результаты этих исследований важны как с фундаментальной точки зрения, так и для технических приложений. Новые экспериментальные и технические возможности стимулируют работу по математическому моделированию и асимптотическому исследованию волновой динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн. При этом в основе анализа, как правило, лежат асимптотические методы, что позволяет на базе изучения невозмущенных уравнений формировать соответствующие асимптотические разложения, учитывающие неоднородность и нестационарность природных стратифицированных сред.
Вопросам динамики внутренних гравитационных волн в стратифицированных средах посвящено значительное число работ как отечественных (И.В.Стурова, В.Ф.Санников, В.А.Боровиков, Э.В.Теодорович, В.А.Городцов, А.М.Тер-Крикоров, К.А.Бежанов, Ю.З.Миропольский, А.Г.Воронович, Ю.Д.Чашечкин, Е.Г.Морозов, С.А.Габов, А.Г.Свешников, Л.В.Черкесов и др.), так и зарубежных (J.Lighthill, J.Miles, J.B.Keller, B.Voisin, E.Kallen, S.A.Thorpe, T.Miloh, E.J.Hopfinger, M.Gitterman и др.) авторов. Основное внимание в настоящее время уделяется экспериментальному исследованию динамики внутренних волн, детальному теоретическому рассмотрению динамики линейных внутренних гравитационных волн в средах с модельными распределениями плотности, а также прямому численному моделированию соответствующих уравнений гидродинамики. Относительная простота решения линейных уравнений по сравнению с полной нелинейной задачей, современное развитие соответствующего математического аппарата и вычислительной техники позволяют ответить на многие запросы практики.
Для детального описания широкого круга физических явлений, связанных с волновой динамикой стратифицированных неоднородных по горизонтали и нестационарных сред, необходимо исходить из достаточно развитых математических моделей, которые, как правило, оказываются весьма сложными, нелинейными, многопараметрическими, и для их полного исследования эффективны лишь численные методы. Однако в ряде случаев адекватное качественное первоначальное представление об изучаемом круге явлений можно получить на основе более простых асимптотических моделей и аналитических методов их исследования. В этом отношении весьма характерны задачи математического моделирования динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн. Даже в рамках линейных моделей их решения достаточно своеобразны и представляют наряду с нетривиальными физическими следствиями самостоятельный математический интерес.
Цель исследования. Целью диссертации является решение следующих фундаментальных проблем: математическое моделирование динамики природных стратифицированных сред, связанное с теоретическим изучением процессов возбуждения, распространения, критических явлений при эволюции негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в неоднородных и нестационарных стратифицированных природных средах; численное моделирование динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн; разработка асимптотических методов для математического моделирования особенностей распространения негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в неоднородных и нестационарных стратифицированных природных средах; разработка алгоритмов интерпретации натурного наблюдения негармонических пакетов внутренних гравитационных волн на основе предложенных математических моделей.
Научная новизна. Основные результаты, выносимые на защиту.
1. Построена, аналитически и численно исследована математическая модель генерации и динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн от нелокальных источников возмущений в произвольно стратифицированных средах и созданы эффективные численные алгоритмы расчета волновых полей в различных пространственных зонах.
2. Разработаны и реализованы численные методы решения основных вертикальных спектральных задач уравнения внутренних гравитационных волн, расчетов собственных функций и дисперсионных кривых для произвольно стратифицированных сред, а также расчета многократных квадратур с быстроосциллирующими фазовыми функциями и подынтегральными функциями, имеющими различные особенности
3. Решена задача математического моделирования генерации и динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в стратифицированных средах как вблизи, так и вдали от источников возмущений, в том числе при критических режимах возбуждения волновых полей. Сформулированы и численно реализованы внутренние критерии применимости полученных асимптотических и аналитических представлений решений.
4. Разработан модифицированный пространственно-временной лучевой метод, на основе которого аналитически и численно исследованы задачи об эволюции негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в неоднородных по горизонтали и нестационарных природных стратифицированных средах, получены асимптотические представления, описывающие особенности амплитудно-фазовых характеристик волновых полей с учетов реальной изменчивости природных сред и согласующиеся с результатами натурных наблюдений.
Методы исследования. В основу исследования математических моделей положены аналитические и численные методы решения краевых задач, аппарат функций Грина, асимптотические методы решения дифференциальных уравнений, методы возмущений и малого параметра, приближенные методы теории функций комплексного переменного.
Достоверность и обоснованность результатов работы обеспечивается использованием фундаментальных принципов математического моделирования механики сплошной среды, а также применением современных методов асимптотического и численного анализа, сравнением получаемых решений с данными натурных измерений и результатами, известными в литературе.
Теоретическая и практическая значимость работы. Предложенные в работе методы и подходы к исследованию динамики и генерации негармонических пакетов внутренних гравитационных волн сочетают сравнительную простоту и вычислительную мощность аналитических результатов, а также возможность их качественного анализа. Разработанные в работе методы математического моделирования могут быть использованы для исследования любых других волновых процессов (акустические и сейсмические волны, СВЧ-излучение, волны цунами и т.п.) в реальных средах со сложной структурой. Значение предложенных методов анализа волновых полей определяется не только их наглядностью, универсальностью и эффективностью при решении разнообразных задач, но и тем, что они могут явиться некоторой полуэмпирической основой других приближенных методов при математическом моделировании негармонических волновых пакетов иной физической природы. Все фундаментальные результаты получены для произвольных распределений плотности и других параметров неоднородных сред, и, кроме того, основные физические механизмы формирования изученных явлений динамики внутренних гравитационных волн в неоднородных стратифицированных средах рассматривались в контексте имеющихся данных натурных измерений.
Универсальный характер предложенных методов математического моделирования негармонических пакетов внутренних гравитационных волн, дополняется универсальными же эвристическими условиями применимости этих методов. Эти критерии обеспечивают внутренний контроль применимости использованных асимптотических методов, и в ряде случаев на основе сформулированных критериев удается оценивать волновые поля там, где другие методы неприменимы. Тем самым открываются широкие возможности анализа волновых картин в целом, что важно как для правильной постановки теоретических исследований, так и для проведения оценочных расчетов при натурных измерениях негармонических пакетов внутренних гравитационных волн. Особая роль данных методов обусловлена тем обстоятельством, что параметры природных стратифицированных сред, как правило, известны приближенно, и попытки точного численного решения исходных уравнений с использованием таких параметров могут привести к потере точности.
Полученные результаты, а также разработанные методы могут быть использованы специалистами в области численного моделирования неоднородных сред, геофизической гидродинамики, океанологии, морской гидротехнике, при строительстве сложных морских гидротехнических сооружений, а также при решении различных задач прикладной математики и математической физики.
Представленные в диссертации результаты получены в процессе исследований по проектам, поддержанным Российским фондом фундаментальных исследований №96-01-01120 «Внутренние гравитационные волны в неоднородных средах: генерация, распространение, анализ результатов измерений», №98-05-64606 «Пять подходов к изучению приливных внутренних волн в Северной части Тихого океана», №99-01-00856 «Критические явления при генерации и распространении внутренних гравитационных волн в неоднородных средах: теория и натурные наблюдения», №93-013-17702 «Асимптотические методы в линейных и нелинейных задачах гидро- и газодинамики», №96-01-00937 «Сингулярные асимптотические решения линейных и нелинейных уравнений гидро- и газодинамики», проекту INTAS № 94-2187 «Nonlinear and singular partial differential equations and applications», проектам International Science Foundation №№M3L000, M3L300 «The evaluation of fields excited by oscillating sources moving in stratified fluids and in general dispersive media: the construction of the uniform asymptotic and the creation of the effective computer programs», а также в рамках выполнения Федеральной целевой программы «Мировой океан», программы Министерства науки РФ "Комплексные исследования океанов и морей, Арктики и Антарктики" (проект "Волны в океане"), программы №17 Президиума РАН «Фундаментальные проблемы океанологии: физика, геология, биология, экология».
Апробация результатов исследования. Результаты диссертации неоднократно докладывались в 1988-2008 годах на семинарах Института проблем механики РАН, Института высоких температур РАН, Института океанологии РАН, физического факультета МГУ, международных конференциях и симпозиумах, в том числе: 19 Session scientific and methodological seminar on ship hydrodynamics SMSSH-90, 1-6 October 1990, Varna, Bulgaria; First International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation (SIAM), 23-26 April 1991, Strasbourg, France; First European Fluid Mechanics Conference, September 1991, Cambridge, Great Britain; Second International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation (SIAM), 7-10 June 1993, Newark, Delaware, U.S.A.; Международная конференция “Asypmtotics in Mechanics”, 14-17 August 1994, С.-Петербург; Third International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation(SIAM-INRIA), 24-28 April 1995, Mandelieu, France; 23-nd General Assembly of European Geophysical Society, 20-24 April 1998, Nice, France; Fourth International Conferences on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation (SIAM-INRIA), 1-5 June 1998, Golden, Colorado, U.S.A.; Twenty-Second Symposium on Naval Hydrodynamics, 9-14 August 1998, Washington, D.C., U.S.A.; XIV General Assembly of European Geophysical Society, 19-23 April 1999, Hague, Netherlands; 4-th International Conference on Theoretical and Computational Acoustics ICTCA-99, 10-14 May 1999, Trieste, Italy; Международная конференция "Современная теория фильтрации", 6-8 сентября 1999, Москва; Международная конференция “Fluxes and Structures in Fluids”, 20-22 июня 2001, Москва; Sixth International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics ICNAAM-2008, 16-20 September 2008, Psalidi, Kos, Greece.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 68 работ, 23 из которых приведены в списке основных публикаций по теме диссертации, в том числе две монографии и 16 статей в ведущих рецензируемых научных журналах, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора наук, рекомендованных ВАК РФ.
Личный вклад соискателя. В работах, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежит: [1,2] - равноценное участие в постановке задач, разработке методов их решения, получения и обсуждения результатов; [3-5] - разработка математических моделей и численных методов, интерпретация результатов; [6,7,10,11,13-20] - постановка задач, формулировка математических моделей, создание численных алгоритмов; [9,12,21] – разработка и реализация численных алгоритмов, интерпретация результатов. Результаты, содержащиеся в работах, выполненных в соавторстве и включенные в диссертацию, получены автором лично, и содержатся в диссертации с согласия и одобрения соавторов. В случаях, когда в диссертации приведены результаты, полученные не лично соискателем, этот факт явно отражен в тексте.
Структура работы. Диссертация, общим объемом 299 страниц, состоит из введения, трех глав, заключения, приложения, списка использованных источников, включающих 341 наименование. Общее количество рисунков - 59.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во Введении сформулирована цель исследования, обоснованы актуальность, научная новизна, практическая ценность, дан краткий обзор результатов других авторов, относящихся к теме диссертации, обосновано соответствие результатов диссертации паспорту специальности 05.13.18.
Первая глава посвящена изложению задач, связанных с математическим моделированием генерации и динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в стратифицированных средах.
В разделе 1.1 изложены постановка задачи, основные сведения из теории внутренних гравитационных волн, которые необходимы для понимания последующих результатов, обсуждаются основные используемые приближения, а также построено интегральные формы решений, описывающих внутренние гравитационные волны вдали от локальных источников возмущений в слое произвольно стратифицированной среды. Из линеаризованной системы уравнений гидродинамики в приближении Буссинеска получается уравнение, которому удовлетворяет вертикальная компонента скорости внутренних гравитационных волн
, 
(1)
где 
- частота Брента-Вяйсяля. Решение задачи о математическом моделировании поля внутренних гравитационных волн, возбуждаемых движущимися локальными источниками возмущений в слое произвольно стратифицированной среды, с учетом соответствующих начальных и граничных условий представляет собой сумму мод. Рассматривается установившийся режим, поэтому, в системе координат, движущейся вместе с источником возмущений 
, ищется предел выражения при фиксированных 
и при 
Собственные функции и собственные числа определяются из стандартной спектральной задачи:
, 
, 
.
Основной вклад определяется полюсами подынтегральной функции на действительной оси, эти два полюса 
определяются из решения уравнения:
. Существуют также чисто мнимые решения данного уравнения. Квадратуры первого (волнового) типа, зависящие от действительных корней основного дисперсионного уравнения, вносят существенный вклад в волновое поле в дальней зоне, тогда как квадратуры второго (неволнового) типа, зависящие от мнимых корней основного дисперсионного уравнения, экспоненциально малы вдали от источников возмущений. Вдали от источников возмущений полное волновое поле определяется свойствами квадратур первого (волнового) типа и представляет собой сумму волновых мод, каждая из которых распространяется независимо от других и заключена внутри соответствующего конуса Маха. Негармонические пакеты внутренних гравитационных волн определяются далее как асимптотики, описывающие структуру волновых полей как вблизи (локальная асимптотика), так и вдали от соответствующих волновых фронтов (равномерная асимптотика).
В разделе 1.2 исследованы негармонические пакеты внутренних гравитационных волн вдали от источников возмущений. Показано, что в глубоком океане (стратифицированный слой толщины 
лежит на однородном подстилающем слое толщины 
, 
- полная толщина слоя среды.) асимптотика отдельной моды возвышения в окрестности волнового фронта имеет вид локальной волны Френеля
, 
где 
- собственные числа и собственные функции задачи
, 
, 
, 
Локальная волна Эйри, описывающая асимптотику отдельной моды возвышения в окрестности волнового фронта имеет вид
, 
где Ai(x)- функция Эйри, 
- собственные числа и собственные функции задачи
, 
, 
Негармонические пакеты внутренних гравитационных волн - равномерные (глобальные) волны Эйри и Френеля, описывающие поля внутренних гравитационных волн, как вблизи, так и вдали от волновых фонтов имеют вид
, 
, 
где 
- корень уравнения 
, собственные функции и значения определяются из (2). Численные расчеты и аналитические оценки показывают, что если толщина однородного слоя 
составляет несколько толщин стратифицированного слоя 
, или даже сравнима с 
, то существует промежуточная пространственная зона, в которой асимптотика отдельной моды поля внутренних гравитационных волн выражается через интегралы Френеля, и можно использовать понятие глубокого океана, в определенной переходной зоне оба асимптотических представления качественно верно описывают поведение поля внутренних гравитационных волн вблизи волновых фронтов, при значениях 
меньших используется понятие мелкого моря, а также асимптотика волны Эйри.
В разделе 1.3 изучаются негармонические пакеты внутренних гравитационных волн вблизи от источников возмущений. Показано, что точное выражение для отдельной моды возвышения имеет вид: 
(
), 
(
), где
Собственные функции и собственные числа определяются из соответствующих спектральных задач
(2)
, 
В ближней зоне, в некоторой окрестности от источников возмущений, квадратуры второго (неволнового) типа вносят наиболее существенный вклад в суммарное поле и описывают локальные особенности поля вблизи этих источников. Показано что из медленно сходящегося ряда мод второго типа, каждая из которых выражается через функции Макдональда можно выделить особенность, не зависящую от стратификации среды и существенно улучшающую сходимость суммируемых рядов волновых мод 
, которая имеет вид: 
, где: 
здесь 
, 
, 
, 
, 
- функция Макдональда нулевого порядка. Функция 
представляет собой асимптотику отдельной моды вертикальной скорости при 
, причем с увеличением номера моды n и скорости течения V функция 
все более точно приближает
. Асимптотика полного поля в ближней зоны есть сумма полей от переотраженных (относительно вертикальных границ) среды источников, находящихся в однородной нестратифицированной среде, причем поле каждого источника выражается через фундаментального решения трехмерного уравнения Лапласа в неограниченном пространстве.
В разделе 1.4 построены асимптотические представления собственных функций и собственных значений основной вертикальной спектральной задачи внутренних волн в приближении больших волновых чисел и получены асимптотические выражения для отдельной моды волнового поля, описывающие пространственную структуру и особенности полей внутренних гравитационных волн в окрестности траекторий движения источников возмущений. Поскольку собственные функции при больших волновых числах сосредотачивается в окрестности максимума термоклина и быстро убывают вне этой окрестности, можно заменить реальное распределение частоты Брента-Вяйсяля на модельное:
. Полученные асимптотические решения для отдельной моды возвышения в виде
, 
, 
позволяют описывать пространственную структуру внутренних гравитационных волн вблизи от траекторий источников возмущений, при этом показано, что вклад в волновое поле высших мод генерации пренебрежимо мал на больших расстояниях
В разделе 1.5 рассмотрено построение модифицированной функции Грина для уравнения внутренних гравитационных волн в слое стратифицированной среды при наличии постоянных средних сдвиговых течений. Исследованы основные свойства соответствующих спектральных задач, модифицированных собственных функций и собственных значений. Показано, что каждая мода модифицированной функции Грина состоит из суммы трех членов, описывающих распространяющиеся от источника внутренних гравитационных волн, эффекты нестационарности источника, локализованные в некоторой его окрестности, эффекты вытеснения жидкости (внутренний скачок), вызываемые источником. Проведен анализ полученных выражений для постоянного и осциллирующего источника генерации внутренних гравитационных волн, при этом каждое из слагаемых функции модифицированной Грина представлено в виде однократных квадратур.
В разделе 1.6 исследованы критические режимы генерации негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в стратифицированных средах. Выражение, описывающее асисмптотику отдельной моды поля внутренних гравитационных волн, генерируемых источником возмущений, движущимся в стратифицированной жидкости, со скоростью, близкой к максимальной групповой скорости распространения соответствующей моды имеет вид: 
, где 
, 
- максимальная групповая скорость n-ой моды, 
- амплитудный множитель. При значениях 
, существенно больше единицы, а также при больших значениях y/H (дальнее поле) асимптотическое представление отдельных мод внутренних волн, должно, в соответствии с результатами предыдущих разделов, описываться асимптотическим представлением, выражающимся через функцию Эйри (мелкое море) или интегралы Френеля (глубокий океан).
Рассмотрена также структура ближнего поля внутренних гравитационных волн при критических режимах их генерации. Исследованы точные решения, как для возвышения, так и для вертикальной компоненты скорости, описывающие структуру волнового поля в непосредственной окрестности от источника возмущений. При этом отдельная мода возвышения выражается через полный эллиптический интеграл первого рода, а отдельная мода вертикальной скорости – через функцию Макдональда и логарифмические функции. Получены выражения для полного поля, представляющего сумму волновых мод, и выражающегося через производные от гамма-функции.
Вторая глава посвящена изложению методов численного моделирования генерации и динамики негармонических волновых пакетов внутренних гравитационных волн, возбуждаемых нелокальными источниками возмущений.
В разделе 2.1 описаны численные методы решения основных вертикальных спектральных задач уравнения внутренних гравитационных волн (2), алгоритмы расчета собственных функций и дисперсионных кривых. Рассматривается численный метод, использующий кусочно-постоянную аппроксимацию 
, основная особенность данного алгоритма от обычно используемых, состоит в том, рассчитываются дисперсионные кривые "в целом", т.е. при нахождении значения спектрального параметра в каждой следующей точке дисперсионной кривой используется информация о поведении в предыдущей точке, что существенно повышает вычислительную мощность алгоритма. Толщина слоя стратифицированной среды [0,H] разбивается на 
интервалов (слоев) 
, где 
. В каждом слое 
частота Брента-Вяйсяля аппроксимируется константой 
. В основу алгоритма положен метод стрельбы, в результате работы которого на последнем шаге итераций вычисляются значения собственной функции и ее производной по 
в точках 
, которые затем нормируются на определенный множитель, зависящий от собственной функции и в каждом слое вычисляемый аналитически. В результате работы алгоритма на произвольной сетке 
(
- количество узлов сетки) для моды с заданным номером 
вычисляются следующие величины: значения 
дисперсионной кривой и ее производной 
, значения нормированной собственной функции 
(при заданном 
), а также значения дисперсионной кривой 
, ее производной 
и нормированной функции 
(при заданном 
) в узлах сетки 
.
В разделе 2.2 изложены методы численного моделирования генерации и динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн от произвольных нелокальных источников возмущений. Решена задача о математическом моделировании поля установившихся внутренних гравитационных волн, возбуждаемом при движении нелокального источника возмущений в слое стратифицированной среды толщины 
с произвольным распределением частоты Брента-Вяйсяля 
. Вертикальный размер нелокального источника возмущений 
считается малым по сравнению с толщиной слоя жидкости. Эти предположения означают, что внутреннее число Фруда 
много больше единицы, поэтому картины траекторий вблизи обтекаемого источника качественно должны иметь тот же вид, что и в случае однородной жидкости. Вертикальная компонента скорости 
внутренних гравитационных волн вне обтекаемого нелокального источника возмущений удовлетворяет уравнению (1), граничные условия на поверхности 
и на дне 
, а также начальное условие имеет вид: 
, 
. На поверхности движущегося нелокального источника, форма которого описывается функцией 
(
, 
- горизонт движения источника), предполагается выполнение условия непротекания: 
, где функции 
описывают форму нелокального источника выше и ниже горизонта движения 
, 
- вектор горизонтальных скоростей. Конкретный вид функций 
, которые описывают форму обтекаемого нелокального источника возмущений, определяются, например, из численного решения соответствующей нелинейной задачи. Предполагается что скорость движения источника много больше горизонтальных компонент 
скоростей собственно внутренних гравитационных волн, Тогда условие непротекания можно снести на горизонт движения
и приближенно представить в виде: 
. Далее будет рассматриваться функция 
, претерпевающая скачок при 
, равный 
, то есть 
будет определяться с точностью до произвольной непрерывной по 
функции, которую в настоящей постановке исключаем из рассмотрения. Ищется предел решения при 
и фиксированных 
, тогда 
имеет вид: 
, 
, 
, 
, 
- область, где 
. Полученное решение представляет собой сумму трехкратных квадратур, что существенно затрудняет как численный расчет функции 
, так и ее качественный анализ. Численное решение данной задачи требует вычисления значительного числа интегралов от быстро осциллирующих функций, поэтому, во-первых, необходимо использовать методы, позволяющие эффективно рассчитывать интегралы подобного вида. Во-вторых, вблизи обтекаемого нелокального источника возмущений полное волновое поле представляет собой плохо сходящийся ряд, и для достижения достаточной точности надо суммировать большое число мод, однако, используя метод выделения статической особенности, можно рассчитывать поле вблизи обтекаемого источника, избегая такого суммирования. В-третьих, на больших расстояниях от источника, когда полное поле распадается на волновые моды, асимптотические представления отдельной моды позволяют рассчитывать дальние поля внутренних гравитационных волн, не прибегая к точным численным расчетам. Расчет полного волнового поля по формулам сводится к вычислению интегралов вида: 
, где 
- параметр, который может принимать большие значения, 
- фазовая функция, 
- гладкая функция переменной 
, не имеющая особенностей в пределах изменения 
. Если фазовая функция линейна по 
, то для вычисления интеграла можно использовать метод Филона, если фазовая функция нелинейна, то для вычисления интеграла используется модифицированный метод Филона, тогда фазовая функция 
путем замены переменной сводится к линейной и на каждой интервале разбиения 
используется квадратичная интерполяция для внеэкспоненциальной функции. Можно использовать другой метод, отличный от модифицированного метода Филона, для этого необходимо непосредственно аппроксимировать на каждом интервале разбиения 
фазовую и амплитудную функции соответствующими полиномами.
Рис.1 Возвышение внутренних гравитационных волн от движущегося нелокального источника возмущений
На рис.1 представлены типичные результаты численных расчетов возвышения внутренних гравитационных волн, из которого видно, что существуют, как минимум, три различных области возбуждаемых полей. Во-первых, это область непосредственно над движущимся нелокальным источником, имеющая ширину порядка толщины слоя стратифицированной среды - ближняя зона. Как показали численные расчеты, волновое поле внутренних гравитационных волн в ближней зоне слабо зависит от конкретной стратификации и амплитуды скоростей и возвышения в этой зоне максимальны. Во-вторых, на больших расстояниях от источника возмущений поле внутренних гравитационных волн распадается на отдельные моды, причем каждая мода заключена внутри своего клина Маха, амплитуда вне клина мала. Кроме того, существует переходная зона, где структура волновых полей достаточно сложна. Вблизи обтекаемого нелокального источника возмущений, на расстояниях порядка толщины слоя стратифицированной среды, для достижения достаточной точности требуется суммировать значительное число мод. В разделе 1.3 изложен метод выделения статистической особенности, поэтому полное поле внутренних гравитационных волн вблизи обтекаемого нелокального источника возмущений можно представить в виде:
,
.
Функция S удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям, то есть описывает обтекание нелокального источника потоком однородной жидкости. Как показали численные расчеты на расстояниях порядка Н от нелокального источника возмущений течение стратифицированной среды почти потенциально и определяется только геометрией задачи, однако при удалении от обтекаемого источника необходимо учитывать наличие стратификации. Метод выделения особенности позволяет не только точно рассчитывать поле внутренних гравитационных волн в ближней зоне, но и оценивать погрешность асимптотических формул. На больших расстояниях от движущегося нелокального источника, происходит разделение поля внутренних гравитационных волн на отдельные моды, кроме того, на больших расстояниях в случае слабой стратификации можно не учитывать точную форму обтекаемого нелокального источника, а заменить ее соответствующей системой источников и стоков. Поэтому вдали от обтекаемого нелокального источника возмущений целесообразно заменить распределение источников, описываемое формой этого нелокального источника, на более простую комбинацию источников и стоков в виде: 
, 
, где 
, 
- координаты источника и стока соответственно. При больших значениях 
слагаемые 
, вносящие основной вклад в полное волновое поле, допускают различные асимптотические представления 
, зависящие от распределения N(z). Для случая мелкого моря в дальней зоне асимптотика каждого слагаемого 
, вблизи фронта выражается через функцию Эйри, в то время как для глубокого океана существует промежуточная зона, где асимптотика каждого слагаемого 
вблизи фронта может выражаться через интегралы Френеля. Используя асимптотические представления 
, можно, получить выражение для отдельной моды 
полного поля W в виде: 
.
Третья глава посвящена изложению проблемы математического моделирования динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в неоднородных по горизонтали и нестационарных стратифицированных средах.
В разделе 3.1 систематически изложены обобщения метода геометрической оптики – пространственно-временному лучевому методу эталонных функций, который позволяет решить задачу математического моделирования динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в неоднородных стратифицированных средах с медленноменяющимися параметрами. Главными причинами важности использования лучевых методов являются следующие: лучевые представления достаточно хорошо согласуются с интуитивными и эмпирическими представлениями о распространении внутренних гравитационных волн в реальных средах; данные методы достаточно универсальны, а во многих случаях единственно возможны для приближенного расчета волновых полей в плавно неоднородных стратифицированных средах.
Введем медленные переменные 
(по 
медленности изменения не предполагается, знак далее опускаем), где 
малый параметр, характеризующий плавность изменения среды по горизонтали (
- характерная длина внутренних гравитационных волн, 
- масштаб горизонтальной неоднородности). Тогда система уравнений гидродинамики для вертикальной компоненты скорости 
и вектора горизонтальной скорости 
=
в медленных переменных, с учетом горизонтальной неоднородности среды, имеет вид
.
Исходя из структуры первого члена равномерной асимптотики, описывающей динамику негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в однородной по горизонтали среде (глава 1), решение данной системы, можно искать в виде (для отдельно взятой моды 
, 
, опуская далее индекс 
)
,
где аргумент 
считается порядка единицы. Эти разложения согласуется с общим подходом метода пространственно-временного лучевого метода, при этом модельными интегралами 
, описывающими негармоническую волну Эйри, для отдельных слагаемых в данных рядах будут следующие выражения: 
, 
, 
, 
. Функции 
обладают следующим свойством: 
. Очевидно, исходя из свойств соответствующих интегралов Эйри, функции 
связаны между собой следующими рекуррентными соотношениями: 
, 
. В качестве модельных интегралов 
, описывающих распространение негармонических волн Френеля (
), используются следующие выражения: 
, 
, 
. Из подобной структуры решения следует, что в неоднородной по горизонтали и нестационарной среде решение будет зависеть как от "быстрых" (вертикальная координата), так и от "медленных" (время и горизонтальные координаты) переменных. Далее, как правило, решение ищется в "медленных" переменных, при этом те структурные элементы решения, которые зависят от "быстрых" переменных получаются в виде интегралов от некоторых медленноменяющихся функций вдоль пространственно-временных лучей. Данный выбор решения позволяет описать равномерную асимптотику полей внутренних гравитационных волн, распространяющихся в стратифицированных средах с медленноменяющимися параметрами, верную как вблизи, так и вдали от волновых фронтов отдельной моды. Если необходимо описать поведение поля только вблизи волнового фронта, то можно использовать один из методов геометрической оптики – метод «бегущей волны», а также слабодисперсионное приближение в виде соответствующих локальных асимптотик и искать представление для аргумента фазовых функций 
в виде 
, где функция 
описывает положение волнового фронта и определяется из решения уравнения эйконала 
, где 
- максимальная групповая скорость соответствующей моды, то есть первый член разложения дисперсионной кривой в нуле. Функция 
(второй член разложения дисперсионной кривой) описывает пространственно-временную эволюцию ширины импульса волн Эйри или Френеля и будет тогда определяться из некоторых законов сохранения вдоль характеристик уравнения эйконала, конкретный вид которых определяется физическими условиями задачи.
В разделе 3.2 рассмотрены негармонические пакеты внутренних гравитационных волн в стратифицированных средах переменной глубины при движении источника возмущений в слое произвольно стратифицированной среды с медленноменяющимся дном. Полученные решения описывают дальнее поле как вблизи волновых фронтов каждой отдельной моды, так и вдали от волновых фронтов и представляют собой разложения по волнам Эйри или Френеля, аргумент которых определяется из решения соответствующего уравнения эйконала. Амплитуда волнового поля определяется из закона сохранения энергии вдоль лучевой трубки. Для модельных распределений формы дна и стратификации, описывающих типичную картину океанского шельфа, получены точные аналитические выражения для лучей и проанализированы особенности фазовой структуры волнового поля. Из линеаризованной системы уравнений гидродинамики в приближении Буссинеска имеем
где 
, 
и V - глубина и скорость движения источника возмущений. В качестве граничных условий на поверхности используется условие "твердой крышки", на дне 
имеем условие непротекания: 
. Решение этой задачи, исходя из структуры равномерной асимптотики для 
, будем искать в виде суммы мод, каждая из которых распространяется независимо друг от друга ("адиабатическое приближение") и может быть представлена в виде следующих асимптотических рядов:
, 
Функции 
, 
, 
подлежат определению. Аргумент 
считается порядка единицы. Функция 
в зависимости от наличия однородного (нестратифицированного) подстилающего слоя выражается через функцию Эйри (мелкое море) или интегралы Френеля (глубокий океан). В дальнейшем, без ограничения общности, рассматривается возвышение 
негармонической волны Френеля. С точностью до членов порядка 
имеем:
, откуда получаем при 
, 
, 
Дисперсионная зависимость, обозначаемая далее через 
, определяется из решения вертикальной этой спектральной задачи, 
- спектральный параметр. Тогда для определения функции 
имеем уравнение эйконала: 
- уравнение Гамильтона – Якоби с гамильтонианом 
, решаемое на характеристиках. Предполагая дисперсионную зависимость известной, получаем закон сохранения для определения амплитудной зависимости в виде : 
, где 
- производная вдоль характеристик эйконала, 
,
- якобиан перехода от лучевых координат к декартовым. Полученный закон сохранения, в отличие от случая движения источника возмущений в стратифицированной среде с плотностью 
, можно трактовать как закон сохранения волновой энергии вдоль лучевой трубки. Действительно, из осредненных уравнений гидродинамики следует, что если невозмущенная плотность является функцией горизонтальных координат, то из существования стационарного распределения плотности 
следует существование стационарных течений. Однако вследствие медленности этих течений ими можно пренебречь в первом приближении. Поэтому обычно считается, что 
есть некоторое фоновое поле плотности, сформировавшееся под воздействием массовых сил и неадиабатических источников и задается a priori, например, из эксперимента. Поэтому вследствие неравновесности среды при 
поток энергии непостоянен вдоль лучевой трубки. Однако рассматриваемая система источник – неровное дно является консервативной, нет притока энергии извне, поэтому данный закон - есть закон сохранения волновой энергии вдоль лучевой трубки.
На рис.2 представлены результаты расчетов первой моды вертикальной скорости внутренней гравитационной волны Френеля для параметров неровного дна, характерного для реального океана, из которых видно, что учет неровности дна при эволюции негармонических волновых пакетов приводит к существенным изменениям как фазовых (искривление лучей), так и амплитудных волновых характеристик Численных расчеты показывают, что с ростом фазы расширяется зона проникновения лучей, и с увеличением расстояния от источника возмущений в приходящем волновом поле уменьшается доля низкочастотных составляющих, т.е. волн Френеля с малыми значениями фазы (групповая скорость уменьшается с ростом частоты) и выбранной зависимостью рельефа дна (групповая скорость растет с удалением от берега), и относительно высокочастотные компоненты поля с меньшей групповой скоростью имеют возможность распространяться на большие расстояния, чем низкочастотные.
Рис.2. Первая мода вертикальной скорости внутренней гравитационной волны Френеля над ровным (А) и неровным (Б) дном
В разделе 3.3 изучаются негармонические пакеты внутренних гравитационных волн в неоднородных по горизонтали стратифицированных средах и построены равномерная и локальная асимптотики дальнего поля внутренних гравитационных волн в стратифицированных, неоднородных по горизонтали средах. С помощью метода "бегущей волны", являющегося модификацией метода геометрической оптики, решается задача о распространении внутренних гравитационных волн Эйри и Френеля в среде с неоднородным по горизонтали полем плотности. Рассматриваться только пространственная область вблизи волнового фронта, т. е. используется приближение слабой дисперсии.
Под волной Эйри в данном разделе понимается следующее асимптотическое решение уравнения внутренних гравитационных волн для отдельной моды возвышения 
в горизонтально-однородном стратифицированном слое 
с частотой Брента-Вяйсяля 
: 
, 
и 
– собственные функции и собственные числа задачи: 
. Коэффициенты 
, 
есть первые два коэффициента разложения дисперсионной кривой 
в нуле, 
, 
– угол распространения волны с осью 
.
Под волной Френеля понимается асимптотическое решение уравнения внутренних гравитационных волн для возвышения 
в горизонтально-однородном стратифицированном слое 
с частотой Брента-Вяйсяля 
, лежащем на однородном слое бесконечной толщины с 
: 
, где 
и 
– собственные функции и собственные числа задачи: 
. Коэффициенты 
, 
– первые два коэффициента разложения дисперсионной кривой 
в нуле. Уравнение для определения возвышения имеет вид: 
, вектор скорости 
выражается через потенциал 
следующим образом: 
. Решение для возвышения негармонической волны Френеля ищется в виде : 
, где
,
аргумент 
считается порядка единицы, параметр 
характеризует "медленные переменные", функция 
определяет положение волнового фронта при 
, функция 
описывает эволюцию ширины импульса волны Френеля. На поверхности 
ставится граничное условие "жесткой крышки" 
, на границе стратифицированного слоя 
- граничное условие, обеспечивающее экспоненциальное затухание решения с глубиной, 
. В первом приближении по 
можно получить:
, 
. Тогда для определения функции 
имеем уравнение эйконала с известной правой частью: 
, на характеристиках которого имеем закон сохранения для определения амплитудной зависимости: 
, 
, 
, где 
– производная вдоль характеристик, 
– якобиан преобразования от координат 
к лучевым координатам.
Решение для возвышения 
негармонической волны Эйри ищется в виде: 
, 
. Для определения функции 
уравнение эйконала:
, на характеристиках которого выполнен закон сохранения:
.
В разделе 3.4 методом "бегущей волны" решена задача о распространении негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в нестационарных стратифицированных средах. Рассматривается распространение внутренних гравитационных волн в нестационарных средах, параметры временной изменчивости которых имеют период изменения сутки и более, что позволяет использовать приближение геометрической оптика. Система линеаризованных уравнений гидродинамики, когда невозмущенная плотность зависит от переменных 
и 
, сводится к уравнению (1), которое отличается от обычного уравнения внутренних гравитационных волн в стационарной среде только параметрическим вхождением времени 
в частоту Брента-Вяйсяля:
. Рассматривается время 
, близкое ко времени прихода фронта волны, обозначаемого в дальнейшем через 
, то есть используется слабодисперсионное приближение. Решение для негармонической волны Эйри ищется в виде 
где 
- производная функции Эйри, аргумент которой 
порядка единицы. Функция 
описывает положение волнового фронта, функция 
- эволюцию ширины волны Эйри, малый параметр 
характеризует "медленные переменные". Так как рассматриваются только "медленные времена" 
, близкие ко времени прихода волнового фронта 
, то все функции, стоящие перед функциями 
, представляются в виде рядов по степеням 
, в том числе: 
. Собственные функции собственные числа 
задачи: 
, 
, предполагаются известными, тогда для определения 
имеем уравнение эйконала, на характеристиках которого выполняется закон сохранения: 
, 
- максимальная скорость длинных гравитационных волн, геометрическая расходимость лучей 
связана с якобианом 
, описывающим переход от пространственных переменных к лучевым координатам посредством соотношения: 
. На характеристиках эйконала уравнение для определения 
сводится к уравнению Бернулли 
, решение которого имеет вид: 
.
Решение для возвышения негармонической волны Френеля 
ищется в виде: 
, 
здесь
, 
. На характеристиках соответствующего уравнения эйконала верен закон сохранения: 
, функция 
будет решением соответствующего уравнения Бернулли 
,
.
Рис.3. Первая мода вертикальной скорости внутренней гравитационной волны Эйри в различные моменты времени (
- верхний рисунок, 
- нижний).
Для численных расчетов использовались данные об изменчивости частоты Брента-Вяйсяля в реальных условиях Черного моря. На рис.3 представлены результаты расчетов вертикальной скорости, иллюстрирующие эволюцию во времени волновых полей в движущейся вместе с источником возмущений системе координат. Очевидно, что при отсутствии изменчивости частоты Брента-Вяйсяля во времени подобная волновая координат была бы стационарной.
Приложение посвящено краткому изложению неспектральных алгоритмов анализа натурных измерений негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в океане, позволяющих определить характеристики волновых цугов составляющих измеренные гидрофизические поля: скорости и направления распространения, формы, а также параметры океана вдоль трассы распространения этих волновых цугов. Проблема анализа данных натурных измерений внутренних волн на фоне больших помех вплотную примыкает к рассмотренным задачам математического моделирования волновой динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн. Исходя из полученных теоретических результатов, можно предположить, что ожидаемые измеренные волновые цуги должны быть широкополосными, то есть относительно короткими и состоять из сравнительно небольшого числа осцилляций, и в этой ситуации традиционные методы пространственно-временного спектрального анализа могут оказаться неприменимыми. Рассмотрены новые алгоритмы анализа натурных наблюдений, позволяющие выделять относительно короткие цуги внутренних гравитационных волн для определения характеристики этих волновых цугов, источников их возбуждения и параметров океана вдоль трассы распространения данных волновых пакетов.
В основе предложенных алгоритмов лежит предположение о том, что измеренное волновое поле есть сумма относительно небольшого числа плоских волновых цугов, обладающих определенной скоростью и направления распространения, параметры которых определяются на основе результатов математического моделирования динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в океане, изложенных в настоящей работе. Для определения параметров негармонических волновых пакетов предложено исследовать некоторые функционалы, что позволяет в случае наличия в натурных данных устойчивых волновых цугов определить их характеристики. Для численного анализа были использованы результаты измерений компонент скорости течения, полей температур и других характеристик волновых полей, полученных в эксперименте "Мезополигон" (тропическая часть восточной Атлантики), на шельфе Западной Сахары, Черного моря. Полученные результаты показывают, что, действительно, исследование предложенных функционалов позволяет с достаточной степенью точности определять время существования устойчивых волновых цугов, а также их параметры, в том числе при наличии существенных помех. Сравнения с результатами обычного пространственно-временного спектрального анализа тех же натурных данных демонстрирует совпадение определяемых различными методиками основных волновых характеристик.
В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
Основные публикации по теме диссертации.
Монографии.
1. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Внутренние гравитационные волны в неоднородных средах. - М.: Наука, 2005. - 195 с.
2. Bulatov V.V., Vladimirov V.V. Internal gravity waves: theory and applications. - М.: Наука, 2007. - 304 с.
Статьи в журналах из списка ВАК.
3. Боровиков В.А., Булатов В.В. О границах применимости асимптотических формул для поля внутренних волн, возбуждаемых движущимся источником // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана.1986, Т.22, № 6, С.658-661.
4. Боровиков В.А., Булатов В.В., Кельберт М.Я. О промежуточной асимптотике дальнего поля внутренних волн в слое стратифицированной жидкости, лежащем на однородном слое // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1988, № 3, С.158-162.
5. Боровиков В.А., Булатов В.В., Владимиров Ю.В., Левченко Е.С. О расчете поля внутренних гравитационных волн, генерируемых неподвижным источником в потоке стратифицированной жидкости // Журнал прикладной механики и технической физики. 1989, № 4, С.58-61.
6. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Ближнее поле внутренних гравитационных волн, возбуждаемых источником в потоке стратифицированной жидкости // Журнал прикладной механики и технической физики. 1991, № 1, С.24-28.
7. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Внутренние гравитационные волны, возбуждаемые источником в стратифицированных неоднородных по горизонтали средах // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1991, № 1, С.124-128.
8. Булатов В.В. Установившееся движение стратифицированной жидкости над неровным дном // Журнал прикладной механики и технической физики. 1991, № 5, С.34-39.
9. Боровиков В.А., Булатов В.В., Владимиров Ю.В., Исаев И.Л., Ломанов Ю.П., Фрост В.А. Обработка и анализ измерений внутренних волн в районе шельфа Западной Сахары // Океанология. 1993, Т.33, № 4, С.532-535.
10. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. О расчете поля внутренних гравитационных вон при произвольном нестационарном движении источника// Известия РАН. Механика жидкости и газа, 1995, №3, С.174-177.
11. Вorovikov V.A., Bulatov V.V., Vladimirov Y.V. Internal gravity waves excited by a body moving in a stratified fluid. // Fluid Dynamics Research, 1995, №5, P.325-336.
12. Боровиков В.А., Булатов В.В., Морозов Е.Г., Тамайо Р.Г. Неспектральное и спектральное исследование распространения приливных внутренних волн в океане (на примере эксперимента «Мезополигон») //Океанология, 1998, Т.3, №38, С.343-348.
13. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Равномерная асимптотика дальнего поля внутренних гравитационных волн при движении источника в слое стратифицированной жидкости с плавноменяющимся дном// Известия РАН. Механика жидкости и газа, 1998, №3, С.111-120.
14. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Об асимптотике критических режимов генерации внутренних гравитационных волн// Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2000, №5, С.124-128.
15. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. О расчете собственных функций и дисперсионных кривых основной вертикальной спектральной задачи уравнения внутренних гравитационных волн // Математическое моделирование, 2007, Т.19, №2, С.59-68.
16. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Внутренние гравитационные волны при критических режимах генерации и в окрестности траекторий движений источников // Журнал прикладной механики и технической физики, 2008, Т.49, № 5,С.70-79.
17. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. О моделировании полей внутренних гравитационных волн от нелокальных источников возмущений // Математическое моделирование, 2008, Т.20, №8, С.3-12.
18. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Модифицированная функция Грина для уравнения внутренних гравитационных волн в слое стратифицированной среды с постоянным сдвиговым течением // Прикладная математика и механика, 2008, Т.72, №5, С.727-733.
Статьи в рецензируемых журналах.
19. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Распространение внутренних волн Эйри и Френеля в неоднородной по горизонтали среде // Морской гидрофизический журнал, 1989, № 6, С.14-19.
20. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Распространение внутренних волн Эйри и Френеля в нестационарных средах // Морской гидрофизический журнал, 1990, № 5, С.13-18.
21. Булатов В.В., Ваньян П.Л., Владимиров Ю.В., Морозов Е.Г. Распространение внутренних приливных волн в северо-западной части Тихого океана // Известия Академии инженерных наук РФ. Прикладная математика и информатика, 2000,Т.1, С.112-117
22. Bulatov V.V. Non-spectral methods of analysis of the internal gravity waves measurements in ocean // Cornell University Library, 2007, E-Print Archive, Paper ID: physics/0707.1704, http://arxiv.org/abs/0707.1704
23. Bulatov V.V. Dynamics of nonharmonic internal gravity wave packets in stratified medium // Cornell University Library, 2008, E-Print Archive, Paper ID: physics/0808.0668, http://arXiv.org/abs/0808.0668
