Николаевна математическое моделирование термически нагруженных конструкций котельных агрегатов
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
________________________________________________
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ЮЖНОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА в г. Таганроге
На правах рукописи
_________________
Левченко Марина Николаевна
Математическое моделирование термически нагруженных конструкций котельных агрегатов
Специальность: 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Таганрог – 2008
Работа выполнена на кафедре Высшей математики Технологического института Южного федерального университета в г. Таганроге.
| Научный руководитель: | доктор физико-математических наук, профессор, Сухинов Александр Иванович (ТТИ ЮФУ, г. Таганрог) |
| Официальные оппоненты: | доктор физико-математических наук, профессор, Куповых Геннадий Владимирович (ТТИ ЮФУ, г. Таганрог), |
| кандидат технических наук, профессор, Никифоров Александр Николаевич (ГОУ ВПО ЮРГТУ (НПИ), г. Новочеркасск) | |
| Ведущая организация: | Северо-Кавказский государственный технический университет, г.Ставрополь |
Защита состоится « » июня 2008 г. в 1420 на заседании диссертационного совета Д.212.259.03 в Технологическом институте Южного федерального университета в г. Таганроге по адресу:
347928, Ростовская обл., г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406
С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.
Отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью организации, просим направлять по адресу:
347928, Ростовская обл., г. Таганрог, ГСП-17А, пер. Некрасовский, 44
Автореферат разослан « » мая 2008 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д.212.208.22
доктор технических наук, профессор А.Н. Целых
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования
Повышение технико-экономических показателей котельных агрегатов приводит к необходимости математического моделирования термически нагруженных конструкций, имеющих сложную геометрию и состоящих из материалов (металлов) с различными тепловыми свойствами. Оребренные конструкции котельных агрегатов, подвергаются наиболее интенсивному тепловому воздействию и воспринимают тепловую энергию, выделяемую топливом в различных формах – в виде излучения в инфракрасном и видимом диапазонах, за счет кондуктивного и конвективного теплообмена. Тепловая энергия, полученная элементами конструкций преобразуется в тепловую энергию рабочей среды, используемой далее в генераторных установках для выработки электрической энергии и утилизации остаточной тепловой энергии для бытовых нужд. Долговечность и надежность котельных агрегатов в значительной степени определяется распределением температуры в них. В этих условиях численное моделирование является единственным надежным способом теоретического исследования термически нагруженных конструкций.
Для численного решения многомерных задач математической физики широкое распространение получил метод расщепления (или дробных шагов). Начало его развитию в пятидесятых- шестидесятых годах ХХ века положили работы отечественных и зарубежных исследователей. Для решения многомерных параболических и гиперболических уравнений в произвольных областях весьма плодотворным является метод суммарной аппроксимации, предложенный академиком А.А. Самарским и развитый в работах Н.Н. Яненко, Г.И. Марчука, Д.Г. Гордезиани, А.В. Гулина, В.Б. Андреева, А.Н. Коновалова, А.Д. Ляшко, В.Л.Макарова, И.В. Фрязинова и других. Построение экономичных аддитивных разностных схем стало возможным в результате замены многомерной дифференциальной задачи последовательностью дифференциальных задач меньшей размерности и перехода от понятия аппроксимации в классическом смысле к более общему понятию суммарной аппроксимации. До работ А.И. Сухинова конструирование аддитивных схем подразумевало, что основным методом решения получающихся систем разностных уравнений является один из вариантов прогонки. Отсюда вытекала необходимость замены многомерной задачи цепочкой одномерных дифференциальных задач, каждая из которых аппроксимировалась системой трехточечных разностных уравнений – локально-одномерной схемой (ЛОС). Однако, указанный переход приводит к тому, что наряду с погрешностью разностной аппроксимации появляется погрешность, обусловленная заменой многомерной дифференциальной задачи цепочкой одномерных задач. Реальная точность у ЛОС оказывается существенно меньшей, чем у схем, аппроксимирующих многомерную дифференциальную задачу в обычном смысле, особенно в случае разрывных коэффициентов. Поэтому актуальным является построение разностных схем, а также методов их решения, которые бы имели реальную точность, близкую к точности схем, аппроксимирующих задачу в обычном смысле и в то же время требовали количества арифметических операций, приходящегося на один узел сетки, не зависящего от общего числа узлов сетки (экономичные схемы), либо слабо зависящего от их количества.
В ряде важных случаев, которые будут перечислены далее, такими свойствами обладают локально-двумерные схемы (ЛДС), предложенные и исследованные А.И. Сухиновым, которые получаются при замене многомерной дифференциальной задачи цепочкой двумерных задач, с последующей их аппроксимацией в суммарном смысле. Разработка так называемых быстрых прямых методов решения систем линейных алгебраических уравнений, являющихся разностными аппроксимациями краевых задач для уравнений эллиптического типа, особенно эффективных в случае двумерных задач и регулярных областей, в работах зарубежных исследователей P.Swartztrauber, R. Hockney, D. Young, R. Agarval, а также А.А. Самарского, А.Н. Коновалова, Е.С. Николаева, И.Е.Капорина, Ю.А.Кузнецова, А.Б.Кучерова, и других, позволяет свести решение многомерных параболических уравнений к решению двумерных задач и перейти, тем самым, к использованию ЛДС. В настоящей работе построены экономичные алгоритмы решения задач теплообмена в элементах термически нагруженных конструкций, имеющих неоднородности, в том числе, разрывы в коэффициентах теплопроводности.
Целью работы является построение схем расщепления - ЛДС применительно к оребренным конструкциям котельных агрегатов, алгоритмов их численной реализации с затратами арифметических операций в случае разделяющихся переменных и регулярных сеточных областей 
, а в общем случае с затратами 
, обладающих лучшей точностью по сравнению с известными одномерными схемами расщепления в случае неоднородных, в том числе разрывных коэффициентов теплопроводности и построение комплекса программ для численного моделирования процессов теплообмена в оребренно-трубчатых конструкциях.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. Построены и исследованы локально-двумерные схемы расщепления, предназначенные для решения начально-краевых задач для трехмерных уравнений параболического типа в областях со сложной геометрией и обладающие лучшей реальной точностью по сравнению с одномерными схемами расщепления в случае коэффициентов теплопроводности, имеющих разрывы на цилиндрических поверхностях;
2. Построен усовершенствованный вариант модифицированного попеременно-треугольного метода (МПТМ), который позволяет численно реализовать неявные схемы для уравнения теплопроводности с функцией источника и обладает лучшими асимптотическими оценками вычислительных затрат (числа арифметических операций) по сравнению с известными вариантами МПТМ
3. Разработан комплекс программ, позволяющий проектировщикам (конструкторам) котельных агрегатов выполнять вычислительный эксперимент с реальными трубчато-оребренными конструкциями и их оптимизацию в зависимости от следующих факторов:
-геометрии системы;
-параметров среды теплоносителя;
-параметров процесса теплообмена за счет инфракрасного излучения факела и конвективного теплообмена с топочными газами.
Теоретическая и практическая ценность результатов диссертационной работы состоит в том, что разработанный набор моделей и комплекс программ, их реализующий, могут быть применены для тепловых расчетов конструкций, имеющих сложную геометрию и содержащих неоднородности (соединение материалов с различными тепловыми свойствами, наличие дефектов в местах соединений, таких как раковины), что позволяет в значительной мере повысить эффективность проектно-конструкторской работы при проектировании оребренных конструкций - систем трубопроводов с уплотнительными элементами, обеспечивающими их герметичность
Апробация работы. Научные и практические результаты, полученные в диссертации, изложены в 7 статьях.
Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих научно-практических конференциях:
на VI Международной научно-практической конференции «Моделирование. Теория, методы и средства.» (г.Новочеркасск, 2006г.); на II Международной научно-технической конференции «Прогрессивные технологии в современном машиностроении» (г.Пенза, 2006г.),на Международной научно-технической конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» (г.Таганрог, 2006г.)
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников из 97 наименований. Работа изложена на 120 страницах, содержит 16 рисунков и 6 таблиц.
- ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
Во введении раскрывается актуальность и практическая значимость работы, дается ее краткое содержание, и формулируются основные результаты, представленные к защите.
Первая глава посвящена построению и исследованию схем расщепления для трехмерных уравнений параболического типа являющихся схемами переменных направлений, факторизованными схемами, а также и аддитивными схемами.
В п.1.1-1.4 приводятся известные конструкции одномерных схем переменных направлений, а также аддитивных схем. Показано, что в общем случае переменных коэффициентов, входящих в уравнение теплопроводности, при расщеплении непрерывной многомерной (пространственно-трехмерной) задачи на цепочку одномерных задач и ее дискретизацией наряду с погрешностью аппроксимации возникает дополнительная погрешность вызванная расщеплением оператора исходной задачи на последовательность одномерных операторов.
В частности показано, что если взять задачу Коши для уравнения теплопроводности вида
,
то традиционная схема расщепления, символически представляемая как
, 
,
имеет следующую оценку погрешности решения
.
где кроме «обычной» составляющей погрешности, обусловленной собственно разностной аппроксимацией - 
появилась составляющая, вызванная заменой исходной дифференциальной задачи последовательностью более «простых», в данном случае одномерных, дифференциальных задач.
Показано, что если вместо традиционной цепочки одномерных задач взять цепочку, состоящую из двумерной задачи вида
и одномерной задачи
с начальными данными
то 
.
В п. 1.5 рассмотрены двумерные схемы переменных направлений для р-мерных (р
3)уравнений параболического типа в декартовых координатах.
Заметим, что формальное обобщение схемы переменных направлений – схемы Писмена-Речфорда – на случай трех пространственных переменных приводит к неустойчивой схеме. Построен абсолютно устойчивый двумерный аналог схемы Писмена-Речфорда для трехмерного уравнения теплопроводности вида:
где
; 
, =1, 2, 3;
- параллелепипед с размерами l1, l2, l3;
Г – граница области 
.
Будем предполагать, что условия существования и единственности решения задачи выполнены и
, 
,
где
;
;
;
;
.
Предполагается, что в области G0 построена равномерная пространственная сетка h с шагами h=l/N в направлении координатных направлений Ox, =1,2,3 соответственно. Пусть h – множество граничных узлов, принадлежащих граням параллелепипеда, за исключением его ребер 
.
В работе построена абсолютно устойчивая двумерно-одномерная схема переменных направлений
, 
, 
yn+1=n+1, в случае, если i3=0, i3=N3;
yn+1/2=
, если i1=0, i1=N1, i2=0, i2=N2, где
. Операторы 
определяются на трехточечных шаблонах стандартным образом
.
Построенная схема сходится в HA со скоростью 
.
В п. 1.6. рассмотрена смешанная задача Коши для уравнения теплопроводности с p-мерным оператором (p3) вида
Предполагается вначале, что 
- p-мерный параллелепипед, а Г – его граница, 
. Аппроксимируем оператор L разностным оператором 
, где
.
Введем разностные операторы
,
где 
; символ 
означает наибольшее целое, не превосходящее число q;, – символ Кронекера, d – весовой параметр; 0 d 1,, =1,…,p - коэффициенты, которые определяются исходя из требований устойчивости и точности.
Вводится факторизованный оператор
и разностную схему вида
,
.
Устойчивость исследована в гильбертовом пространстве 
сеточных функций, определенных на сетке 
, и обращающихся в 0 на границе h, со скалярным произведением
.
Оператор-стабилизатор (регуляризатор) имеет вид
,
где
;
Sp - операторный многочлен, который содержит (R)k, где k – показатель степени, 2kp.
Показано, что если область G0 – параллелепипед, то:
.
и, следовательно
и, для устойчивости, достаточно потребовать
.
Алгоритм определения сеточной функции 
может быть следующим. Определяются вспомогательные функции 
, =1,…,p из решения серии задач
,
, если x1=0, l1, x2=0, l2,
где
,
, если x2-1=0, l2-1, x2=0, l2, =2,3,…,p-1
Наконец мы находим 
по явной формуле
,
где 
.
Каждое из равенств является уравнением с разделяющимися переменными и может быть решено одним из быстрых прямых методов (CR, FA, FACR и т.д.). Суммарное число арифметических операций, требуемое для реализации алгоритма, не превосходит 
, где 
, N – число узлов сетки по координатному направлению Ox. Схема абсолютно устойчива и сходится со скоростью O(h2+). Очевидно, что для обеспечения устойчивости достаточно потребовать выполнения равенств:
Для четного p, p4
,
.
В случае нечетного p, p3, когда d=0
,
.
Когда d0 и p – нечетное, p3, требуется выполнение равенств
.
Возвращаясь к случаю p=3 для факторизованной схемы. Тогда область G0 может быть цилиндрической.
В п.1.7 построены аддитивные двумерно-одномерные схемы будет для уравнения теплопроводности при самых общих предположениях относительно коэффициентов и формы области.
Рассматривается задача:
в произвольной p-мерной выпуклой области (р>2) G с границей Г, если заданы
,
где Г – граница области G, L – эллиптический оператор второго порядка.
Для упрощения считаем, что 
- оператор Лапласа, то есть
.
Ограничения, накладываемые на форму области G:
пересечение области G любой плоскостью
,
где e2-1, e2 единичные орты номеров 2-1, 2 соответственно, 
, состоит из односвязной двумерной области;
в области G возможно построение связной сетки h с шагами h, =1,2,…,p.
Получена Теорема 1. Локально- двумерная схема с краевыми и начальными условиями равномерно ( в метрике С) устойчива по начальным и граничным данным и по правой части так, при любых 
и 
выполнено неравенство
Из свойств суммарной аппроксимации и устойчивости следует равномерная сходимость разностной схемы со скоростью O(
)
Во второй главе основное внимание сосредоточено на построении и адаптации современных итерационных методов и некоторых прямых методов решения дискретных (разностных) аппроксимаций двумерных уравнений теплопроводности. Неявные ЛДС приводят к необходимости решения сеточных эллиптических уравнений, в общем случае с переменными коэффициентами, на каждом временном слое. По сравнению с сеточными эллиптическими уравнениями, возникающими при аппроксимации стационарных задач, сеточные операторы двумерных уравнений теплопроводности обладают некоторыми благоприятными для применения итерационных методов свойствами, к числу которых следует отнести, в первую очередь, наличие диагонального преобладания в матрице оператора, тем большего, чем меньше величина временного шага и хорошего начального приближения к решению при переходе на следующий временной слой, в качестве которого может быть выбрано решение, полученное на предыдущем временном слое (начальное условие для первого временного слоя).
Особенностями задач теплового расчета конструкций (ТРК) для нестационарных режимов являются:
необходимость многократно (102 – 104 раз) решать сеточные эллиптические уравнения для определения функции температуры;
высокий порядок системы разностных уравнений, который в реальных задачах может составить 104 – 106;
существенный разброс или даже разрыв коэффициентов уравнений.
Следствием двух последних особенностей разностных аппроксимаций задач ТРК является плохая обусловленность соответствующих систем алгебраических уравнений. Перечисленные выше особенности задач ТРК делают актуальной разработку алгоритмов, которые бы позволили уменьшить число итераций, а также решать плохо обусловленные системы разностных уравнений, либо увеличить временной шаг.
В качестве исходной рассмотрена смешанная задача Коши для двумерного уравнения теплопроводности вида
где 
- функция температуры, которую необходимо определить в области 
, 
коэффициенты теплопроводности (температуропроводности), в координатных направлениях 
и 
соответственно, которые могут сильно меняться в зависимости от переменных 
и 
или даже терпеть разрыв на цилиндрических поверхностях вида
кусочно-гладкая (плоская) кривая. Типична ситуация, когда область G является цилиндрической, на боковой поверхности и на одном из оснований которой задаются граничные условия второго-третьего рода, а на втором основании – первого рода. Далее для простоты будем рассматривать случай граничных условий первого рода.
Рассматриваемый алгоритм базируется на идее алгоритма Р.П. Федоренко решения сеточных эллиптических уравнений на верхнем временном слое, к которым сводится после аппроксимации неявной схемой задача с соответствующими граничными условиями. В отличие от известного многосеточного метода данный алгоритм ориентирован на использование одной вспомогательной сетки; в качестве итерационного метода применяется метод верхней релаксации со специально задаваемым значением релаксационного параметра, обеспечивающим заданные спектральные свойства оператора перехода (шага) итерационной процедуры. Применение одной вспомогательной сетки в реальных задачах ТРК обусловлено необходимостью сохранения информации о положении поверхностей разрыва коэффициентов 
, как в основной, так и во вспомогательной задачах.
Оценка для числа итераций для решения двухсеточных методом последовательной верхней релаксации (ДСПВР) системы разностных уравнений, аппроксимирующих 1 краевую задачу для уравнения Пуассона в единичном квадрате G:
, в граничных узлах G имеет вид
.
В п.2.2 рассмотрен вариант модифицированного попеременно-треугольного метода, предназначенный для решения разностных аналогов двумерных задач параболического типа с переменными коэффициентами, функцией источника и граничными условиями Дирихле в прямоугольнике данный вариант МПТМ можно рассматривать в качестве базового для реализации ЛДС в общем случае для обращения разностного эллиптического оператора на верхнем временном слое. Опыт использования модифицированного попеременно-треугольного метода решения разностных эллиптических задач показывает, что он требует небольшого числа итераций, незначительно зависящего от диапазона изменения коэффициентов и неравномерности шагов, в случае сеток, построенных для областей произвольной формы.
Предполагаем, что функция источника имеет вид
где 
искомое решение, 
Рассмотрена разностная схема, аппроксимирующая первую краевую задачу для уравнения эллиптического типа в пространстве двух измерений (p=2), с самосопряженным эллиптическим оператором второго порядка и переменными коэффициентами:
,
где Г – граница прямоугольника 
,
- сетка с равномерными шагами 
:
,
.
Разностную схему, с граничными и начальными условиями представим в операторном виде
Оператор самосопряжен и положительно определен в H, так как
и
при условии 
.
Тогда итерационная схема МПТМ имеет вид:
,
где 
– номер итерации, 
- итерационный параметр,
,
.
операторы R1 и R2 являются сопряженными в H, т.е.
.
Оценки для постоянных и, входящих в неравенства:
.
имеют вид
.
Учитывая формулу для числа итераций МПТМ, необходимую для достижения заданной точности
для первой краевой задачи получим
Оценка для числа итераций построенного варианта МПТМ в предположении, что 
, 
, имеет вид 
.
В п. 2.3 рассмотрена двумерная разностная задача, решаемая на каждом временном слое, при помощи быстрых прямых методов (циклической редукции, Фурье-алгоритма) решения сеточных задач и их параллельных реализаций.
Рассмотрен метод разделения переменных для отыскания собственных значений 
и собственных функций 
(i, j) разностного оператора Лапласа, заданного на равномерной прямоугольной сетке в прямоугольнике при условиях Дирихле:
, 
, 
Предполагается, что в прямоугольнике G= 
задана равномерная сетка 
с шагами h1 и h2:
Будем искать собственную функцию 
(i, j) соответствующую собственному значению 
, в виде
(i, j)=
k=(k1, k2)
Так как 
то оператор 
действует на сеточную функцию, зависящую от аргумента 
. Аналогично оператор 
действует на функцию, зависящую от аргумента 
. Поэтому
(i, j)=
для 
, а также
находим, что
Левая и правая части постоянные.
Положим
и добавим сюда краевые условия. В результате получим одномерные сеточные задачи на собственные значения
, 
и
, 
Собственные функции и собственные значения разностного оператора Лапласа 
для случая граничных условий Дирихле найдены
(i, j)=
= 
,
Так как число собственных функций 
равно 
и совпадает с числом внутренних узлов сетки 
, то любую сеточную функцию 
заданную на 
, можно представить в следующем виде:
где коэффициенты Фурье 
определяются так:
Для собственных значений 
справедлива оценка
Аналогично решаются задачи на собственные значения для разностного оператора Лапласа в прямоугольнике и в случае других комбинаций краевых условий на сторонах прямоугольника G.
Метод разделения переменных позволяет свести их к одномерным задачам
Описанный метод решения задачи может быть реализован с затратой 
арифметических действий. Данный алгоритм метода разделения переменных требует примерно в 1,5 раз больше действий, чем метод полной редукции.
В алгоритме FACR(1) методом прогонки решены системы с трехдиагональными матрицами.
Приведены оценки количества арифметических операций последовательного варианта FACR(1) – алгоритма в предположении, что 
- целое число для задачи
Получены необходимые оценки затрат арифметических операций алгоритма метода FACR(l).
Третья глава посвящена построению, исследованию и численной реализации дискретной математической модели термически нагруженных конструкций котельных агрегатов. Построена дискретная модель, удовлетворяющая основным балансовым соотношениям (закону сохранения полной энергии и балансовым соотношениям между отдельными формами энергии).
Описан комплекс программ на языке С++, общим объемом более 7000 строк, обеспечивающий моделирование данного класса задач с удобным интерфейсом ввода и контроля исходных данных и визуализацией, базирующейся на системе Tecplot. На основе построенных моделей, алгоритмов и программ выполнены численные эксперименты для модельных задач, а также для реальной задачи расчета распределения температуры в радиаторе. Данный комплекс позволяет осуществлять теплотехническое проектирование конструкций в терминах и обозначениях принятых в котлостроении и существенно поднять точность и надежность тепловых расчетов.
Результаты представленные к защите
В данной работе получены следующие основные результаты:
1.Рассмотрены локально-двумерные схемы расщепления, предназначенные для решения начально-краевых задач для трехмерных уравнений параболического типа в областях со сложной геометрией и обладающие лучшей реальной точностью по сравнению с одномерными схемами расщепления в случае коэффициентов теплопроводности, имеющих разрывы на цилиндрических поверхностях;
2.Исследован усовершенствованный вариант модифицированного попеременно-треугольного метода (МПТМ), который позволяет численно реализовать неявные схемы для уравнения теплопроводности с функцией источника и обладает лучшими асимптотическими оценками вычислительных затрат (числа арифметических операций) по сравнению с известными вариантами МПТМ;
3.Построен комплекс программ с развитыми средствами ввода конструктивных данных, проведения тепловых вычислительных экспериментов и визуализации результатов расчетов.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах
Основные теоретические и практические результаты работы достаточно полно отражены в 7 печатных работах:
Сухинов А.И., Левченко М.Н. Локально-двумерные схемы для математического моделирования термически нагруженных конструкций со сложной геометрией и неоднородностями//Материалы VI Международной научно- практической конференции Моделирование. Теория, методы и средства.– Новочеркасск ЮРГТУ, 2006, с. 34-36.
Сухинов А.И., Левченко М.Н. Квазиэкономичные алгоритмы моделирования тепловых процессов на основе двумерных схем расщепления в областях специального вида.// Сборник статей II Международной научно-технической конференции Прогрессивные технологии в современном машиностроении - Пенза 2006., С. 63-65.
Сухинов А.И., Левченко М.Н.Математическое моделирование уравнений параболического типа.// Сборник статей Международной научно-технической конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» Таганрог ТГПИ 2006. С.23-25.
Сухинов А.И., Левченко М.Н.Тезисы международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования». Воронеж 2005
Сухинов А.И., Левченко М.Н. Программный комплекс для моделирования термически нагруженных конструкций.// Сборник статей Международной научно-технической конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» Таганрог ТГПИ 2007., С. 34-36.
Сухинов А.И., Левченко М.Н. Модифицированный попеременно- треугольный метод решения разностных краевых задач теплопроводности с функцией источника.// Редакция журнала « Известия вузов. Электромеханика» Математическое моделирование и информационные технологии.- ЮРГТУ ( НПИ) г. Новочеркасск 2007., С.76-83.
Сухинов А.И., Левченко М.Н. Двухсеточный метод верхней релаксации решения сеточных задач теплового расчета конструкций.// Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. Математика.- №9 2007., 147-149.
