Прикладные методы анализа и синтеза релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления
На правах рукописи
ФЕОФИЛОВ Сергей Владимирович
ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА РЕЛЕЙНЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ УПРАВЛЕНИЯ
Специальность: 05.13.01-"Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность, промышленная безопасность и экология)"
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
доктора технических наук
Тула-2009
Работа выполнена в ГОУ ВПО Тульский государственный университет
Научный консультант:
доктор технических наук, профессор Фалдин Николай Васильевич
Официальные оппоненты:
доктор технических наук, профессор Егупов Николай Дмитриевич
доктор технических наук, доцент Мозжечков Владимир Анатольевич
доктор технических наук, профессор Савельев Валерий Викторович
Ведущая организация: ГУП "Конструкторское бюро приборостроения" г. Тула
Защита состоится "____" ________2009 г. на заседании диссертационного совета Д 212.271.05 при ГОУ ВПО Тульский государственный университет по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92, 9-101.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.
Автореферат разослан "____"______________2009 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета В.М. Панарин
11ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Современная теория автоматического управления имеет достаточное количество эффективных инструментов анализа и синтеза линейных систем управления. Результаты, полученные в нелинейной теории, имеют, как правило, частный характер и относятся к определенному классу нелинейностей. В настоящее время фундаментальной проблемой теории управления является разработка методов анализа и синтеза новых важных и более широких классов нелинейных систем. Одним из таких классов являются релейные системы управления. Эти системы традиционно широко применяются в различных областях техники, что обусловлено рядом их преимуществ по сравнению с другими типами систем управления. К основным достоинствам релейных систем следует отнести простоту конструкции, настройки и эксплуатации. При этом во многих случаях они позволяют получить более высокие динамические характеристики. Релейные системы могут обладать большим быстродействием вследствие того, что управляющий сигнал в них изменяется практически мгновенно и объект управления всегда подвержен максимальному управляющему воздействию. Одной из характерных особенностей релейных систем является их склонность к автоколебаниям. Такой режим часто используется в качестве рабочего. Именно наличие автоколебаний позволяет добиваться нечувствительности системы к воздействию многих внешних возмущений, устранять вредное влияние отдельных нелинейных характеристик объекта управления.
Исследованию релейных автоколебательных систем посвящены многочисленные работы. Наиболее известными в этой области авторами являются А.А. Андронов, Ю. И. Неймарк, П. В. Бромберг, Гамель, Я.З. Цыпкин. За последние 30 лет на кафедре систем автоматического управления Тульского государственного университета под руководством профессора Н.В. Фалдина сформировалась научная школа по исследованию релейных систем. В рамках указанной школы значительный вклад в теорию релейных систем внесли С.А. Руднев, Н.В. Пученков, Ю.И. Лебеденко, Н.В. Панферов, А.Е. Чернов, П.Ю. Федоровский. Однако, во всех указанных трудах речь, как правило, идет о системах с линейным объектом управления (ОУ). К сожалению, реальные технические объекты управления, практически всегда, являются нелинейными и только при наличии соответствующих методов анализа и синтеза можно обеспечить высокое качество системы управления, а иногда и, вообще, решить задачу синтеза. Таким образом, актуальной является задача разработки прикладной теории релейных систем с нелинейными объектами управления.
Нелинейность технического объекта управления во многих случаях обусловлена наличием различного рода ограничителей. Это могут быть ограничители типа насыщение или ограничители типа механический упор. Последние в свою очередь можно разделить на жесткие и упругие. Вообще, важными для практики являются кусочно-линейные объекты управления. Именно указанным классам нелинейных ОУ уделено основное внимание в диссертационной работе.
Системы с двухпозиционным релейным управлением наряду с многочисленными преимуществами имеют существенный недостаток. В них невозможно управлять амплитудой автоколебаний независимо от частоты. При проектировании реальных систем требования технического задания часто оказываются противоречивыми. С одной стороны требуется уменьшить амплитуду автоколебаний, а с другой не увеличивать их частоту. В этом случае перспективным является использование трехпозиционного управления. Такие системы являются более гибкими, так как имеют дополнительный параметр управляющего релейного сигнала– его скважность. Это позволяет изменять амплитуду автоколебаний независимо от их частоты. Однако, методы анализа и синтеза этих систем требуют разработки, поскольку в литературе практически не представлены.
Следует отметить сложность рассматриваемых в диссертации систем. С одной стороны сам релейный элемент представляет собой разрывную статическую нелинейность, т.е. является существенно нелинейным звеном. С другой стороны объекты управления также являются нелинейными и могут иметь сложную математическую модель. Например, звено с ограничителем типа жесткий механический упор описывается дифференциальным уравнением второго порядка с разрывной правой частью, причем разрывной (из-за удара об упор) является и фазовая траектория звена.
Практически все современные технические системы реализуются в цифровом виде. Наличие компактных и высокопроизводительных микроконтроллеров позволяет значительно проще реализовывать сложные законы управления. Кроме того, современное состояние микроэлектроники и цифровой техники предоставляет широкие возможности для модернизации устаревших аналоговых систем. Релейные системы с цифровым управлением являются специфическим классом систем автоматического управления, которые в научно-технической литературе рассмотрены весьма слабо. В таких системах имеет место дискретизация сигналов по времени и уровню. Они имеют ряд особенностей и обладают свойствами, которые не характерны, для систем с непрерывным временем. Развитие таких систем существенно сдерживается отсутствием теории, позволяющей проводить их анализ и синтез. Это потребовало разработки теоретических методов исследования релейных систем с цифровым управлением.
С использованием разработанной теории в диссертации решены прикладные задачи синтеза двух релейных автоколебательных воздушно-динамических рулевых приводов соответственно с двух и трехпозиционным управлением. Такие приводы в последнее время широко используются в малогабаритных управляемых ракетах. Они не требуют специального источника питания, а используют энергию набегающего воздушного потока, отличаются простотой конструкции, малой стоимостью, удобны в эксплуатации и хранении. Воздушно-динамический привод как объект управления является существенно нелинейной динамической системой. Нелинейность привода обусловлена, прежде всего, наличием в нем механических упоров, которые приводят к нелинейностям специфического вида. Качество и точность наведения ракеты на цель существенно зависят от ошибок, которые вносит привод в формирование вектора перегрузки. Чем меньше эта ошибка, тем выше качество процесса наведения и вероятность поражения цели. Ошибка в формировании вектора перегрузки определяется системой управления привода. Располагая соответствующими методами синтеза, можно минимизировать ошибку привода и тем самым повысить качество процесса наведения. Настоящая работа направлена, в том числе, на разработку методики синтеза воздушно-динамических рулевых приводов малогабаритных управляемых ракет. Создание такой методики является непростой задачей, так как с одной стороны указанные приводы, как уже отмечалось, являются существенно нелинейными системами. С другой стороны, вследствие изменения скорости ракеты и плотности воздуха, параметры привода могут изменяться в широких пределах (для зенитных управляемых ракет малой дальности в сотни и более раз). Далее, к приводам предъявляются жесткие требования по массогабаритным показателям. Это исключает применение каких-либо сложных систем управления.
Объектом исследования являются релейные автоматические системы с нелинейными объектами управления.
Целью работы является решение важной научно-технической проблемы, состоящей в создании прикладных методов анализа и синтеза релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления. Разработка на основе указанных методов методики синтеза релейных автоколебательных воздушно-динамических рулевых приводов, позволяющей получать системы с наилучшими в рамках заданной структуры характеристиками.
Основными задачами, решенными в диссертации, являются
1. Разработка на основе понятия фазового годографа общего подхода к анализу и синтезу релейных автоколебательных систем с нелинейными ОУ.
2. Разработка методов определения параметров периодических движений в релейных системах с двух и трехпозиционными релейными элементами (РЭ) и нелинейными объектами управления.
3. Разработка методов оценки устойчивости автоколебаний в указанных релейных системах.
4. Создание простых в применении методов анализа релейных систем с цифровым управлением.
5. Разработка методики синтеза релейных автоколебательных систем.
6. Разработка алгоритмического и программного обеспечения для синтеза релейных автоколебательных воздушно-динамических рулевых приводов с использованием методов конечномерной оптимизации.
Методы исследования. Отличительной особенностью релейных систем является то, что в них известна форма сигнала, поступающего с релейного элемента на вход объекта управления. В методах Цыпкина, Гамеля и Поспелова (они относятся к релейным системам с линейными объектами управления) это обстоятельство используется для определения возникающих в релейной системе автоколебаний. Однако, результаты исследований, проведенных автором, позволяют сделать вывод о том, что априорные знания о форме сигнала, поступающего на объект управления, являются той информацией, основываясь на которой можно построить удобную для практического использования теорию релейных систем с нелинейными объектами управления. На основе метода фазового годографа получены результаты, позволяющие исследовать релейные системы с нелинейными объектами управления. При получении теоретических результатов использовались методы теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, нелинейной теории автоматического управления, теории дискретных систем, теории матриц. При анализе и синтезе конкретных систем широко применялись численные методы решения дифференциальных уравнений, цифровое моделирование.
Научная новизна работы. В диссертации разработаны новые теоретические методы и практические методики анализа и синтеза релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления. Получены следующие новые научные результаты:
1. Методы построения фазового годографа для систем с двухпозиционным релейным элементом. Выявлены особенности фазового годографа, т.е. установлено, когда он является гладкой вектор-функцией, в каких случаях имеет разрывы и точки ветвления. Получено дифференциальное уравнение, решением которого является ФГ. Для кусочно-линейных объектов управления оно позволяет существенно упростить (сократить время) построения фазового годографа. Разработаны алгоритмы локализации и вычисления всех ветвей неоднозначности для следующих классов объектов управления:
- системы с произвольно расположенными звеньями типа жесткий механический упор;
- системы с упругими ограничителями;
- кусочно-линейные объекты управления общего вида.
2. Методы оценки устойчивости периодических движений в системах с двухпозиционным релейным элементом. Разработан алгебраический критерий устойчивости автоколебаний в системах с нелинейным объектом управления. Устойчивость автоколебаний сведена к устойчивости линейного разностного уравнения, которая определяется собственными числами некоторой матрицы 
. Для систем с кусочно-линейными объектами управления, в том числе и при наличии звеньев с ограничителями, получены аналитические зависимости, задающие матрицу 
в явном виде.
3. Методы определения периодических движений в системах с трехпозиционным управлением. Разработаны методы построения фазового годографа с полным выделением всех его ветвей неоднозначности для объектов с ограничителями и кусочно-линейными ОУ. Получено дифференциальное уравнение, позволяющее уменьшить требования к вычислительным ресурсам, необходимым для построения ФГ. Создан также метод нахождения параметров периодических движений в системах с двумя управляющими двухпозиционными релейными элементами.
4. Методы оценки устойчивости автоколебаний в системах с трехпозиционным релейным элементом. Получен алгебраический критерий асимптотической орбитальной устойчивости периодических движений для систем с произвольным нелинейным объектом управления. Получены аналитические зависимости, позволяющие вычислять матрицы линеаризованного оператора сдвига для различных ОУ и видов периодических движений.
5. Методы анализа периодических движений в релейных системах с цифровым управлением. Разработаны алгоритмы определения параметров автоколебаний в релейно-импульсных и цифровых системах с двух и трехпозиционным управлением. Предложен простой способ определения устойчивости периодических движений в таких системах. Кроме того, разработан приближенный усиленный критерий, который более полно учитывает специфику таких систем. Выявлены условия возникновения квазистохастических процессов и возможность использования такого режима в качестве рабочего.
6. Методика синтеза релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления. На основе разработанных теоретических положений получен алгоритм, позволяющий рассматривать задачу синтеза, как задачу конечномерной оптимизации и формировать системы с наилучшими в рамках заданной структуры показателями качества.
Практическая ценность работы состоит в том, что на базе единого подхода разработаны прикладные методы синтеза и оптимизации релейных автоколебательных систем с различными нелинейными объектами управления. Полученные в диссертации теоретические результаты имеют выраженную практическую направленность. Их хорошая сочетаемость с методами конечномерной оптимизации и простая программная реализация позволяют получать системы с наилучшими показателями качества.
Следует отметить вычислительную экономичность созданных методов. Все трудоемкие с вычислительной точки зрения операции выполняются однократно на предварительном этапе и в процессе оптимизации, когда анализируется большое количество вариантов, не используются. Это позволяет упростить синтез, и многократно сократить сроки проектирования релейных систем.
Самостоятельное значение имеет разработанная в диссертации методика синтеза воздушно-динамических рулевых приводов, посредством применения которой в работе синтезированы два привода с высокими динамическими характеристиками.
Реализация результатов. Диссертационная работа выполнена на кафедре систем автоматического управления Тульского государственного университета и в ней нашли отражение результаты исследований, проведенных автором в рамках гранта № 05-08-33506 Российского фонда фундаментальных исследований «Прикладная теория релейных систем с нелинейными объектами управления», выполнявшегося в 2005-2008гг. В 2008 году по тематике диссертации автором был получен грант Президента РФ для поддержки молодых российских ученых № МК-3963.2008.8 «Синтез и оптимизация релейных автоколебательных рулевых приводов малогабаритных управляемых ракет». Результаты, полученные в диссертации, использовались при проведении хоздоговорных работ с ГУП «КБ Приборостроения» на тему «Разработка метода синтеза и оптимизации релейных автоколебательных воздушно-динамических рулевых приводов ПТУР и ЗУР малой дальности». Методика синтеза и оптимизации релейных воздушно-динамических рулевых приводов внедрена в практику проектирования указанного предприятия. Кроме того, результаты исследований внедрены в учебный процесс Тульского государственного университета в лекционный курс «Динамика нелинейных систем управления» и используются студентами при выполнении дипломных проектов и магистерских диссертаций.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Общий подход к анализу и синтезу релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления.
2. Методы анализа и синтеза релейных автоколебательных систем с двухпозиционным управлением, включающие:
а) метод построения фазового годографа для трех классов нелинейных объектов управления (кусочно-линейные ОУ, системы с жесткими механическими ограничителями, системы с упругими ограничителями);
б) критерий устойчивости автоколебаний для систем с нелинейным ОУ. Аналитические зависимости для матриц, по собственным числам которых оценивается устойчивость систем с кусочно-линейными ОУ и систем с различными типами ограничителей;
в) методика синтеза и оптимизации релейных регуляторов.
3. Методы анализа и синтеза релейных систем с трехпозиционным управлением, в том числе систем с двумя управляющими РЭ, включающие:
а) метод определения параметров периодических движений и построения фазового годографа, алгоритмы локализации и определения ветвей неоднозначности ФГ для кусочно-линейных ОУ и объектов с ограничителями;
б) алгебраический критерий асимптотической орбитальной устойчивости автоколебаний;
в) методика синтеза и оптимизации автоколебательных систем.
4. Алгоритмы определения автоколебаний и способы оценки их устойчивости в релейно-импульсных системах и релейных системах с цифровым управлением.
5. Методика синтеза релейных автоколебательных рулевых приводов с двух и трехпозиционным управлением.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на двух Международных молодежных научных конференциях “XXV и XXVIII гагаринские чтения” (Москва, 1999г. и 2002г.), III международной научно-технической конференции “Управление в технических системах-XXI век ” (Ковров, 2000г.), Всероссийской молодежной научной конференции "VI Королевские чтения" (Самара, 2001г.), VI всероссийской конференции “Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов” (Москва, 2002г.), пяти Всероссийских научно-технических конференциях "Проблемы специального машиностроения" (Тула, 1999г., 2001г., 2002г., 2003г., 2005г.), VII Всероссийской юбилейной научно-технической конференции "Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов" (Москва, 2005г.), Всероссийской научно-технической конференции "Мехатронные системы (теория и проектирование)" (Тула, 2006г.), Международной научно-практической конференции "Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте ‘2007" (Одесса, 2007г.), II международной конференции «Системный анализ и информационные технологии» (Обнинск, 2007г.), Восьмой всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Н. Новгород, 2008г.), Международной научной конференции "Математическая теория систем" (Москва, 2009г.).
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех частей, семи глав, выводов по результатам исследований, списка литературы из 225 наименований. Диссертация изложена на 305 страницах, содержит 133 рисунка и 9 таблиц.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении излагается современное состояние проблемы, обосновывается актуальность темы работы. Сформулированы цели и задачи исследования, рассмотрены существующие методы анализа релейных автоколебательных систем. Выделены классы объектов управления, изучаемые в работе. Приведены положения, определяющие объем и структуру диссертации.
В первой главе разрабатываются методы построения фазового годографа и определения периодических движений в автоколебательных системах с двухпозиционным релейным элементом. Фазовый годограф это характеристика объекта управления, которая позволяет выделить все возможные периодические движения в замкнутой релейной системе еще до выбора обратных связей. Это обстоятельство имеет решающее значение для синтеза релейных систем.
В настоящем разделе рассматриваются системы, которые задаются уравнениями
2 3
4 5
где 
– n-мерный фазовый вектор системы; 
- кусочно-непрерывная, кусочно-гладкая по 
вектор-функция; 
- гладкая скалярная функция векторного аргумента, причем 
; 
; 
- входное воздействие (скалярная функция), функция 
задается статической характеристикой двухпозиционного релейного элемента (рис.1).
Рис.1. Статическая характеристика двухпозиционного релейного элемента.
В автономной (
) релейной системе (1), (2) периодическое движение определяется одной (любой) точкой с предельного цикла. Будем задавать периодическое движение точкой 
, (
- период), соответствующей переключению релейного элемента с минуса на плюс. Вектор-функция 
(
) выделяет множество всех возможных простых симметричных периодических движений объекта управления и называется фазовым годографом (ФГ) релейной системы. Точка 
принадлежит фазовому годографу тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению
6 7
где 
- решение уравнения (1) при 
и начальном условии 
. Равенство (3) называется основным уравнением фазового годографа. Общим способом построения ФГ является численное решение его основного уравнения (3).
При известном фазовом годографе периодическое движение, возникающее в замкнутой автономной 
системе (1), (2), определяется из условий переключения релейного элемента и задается точкой пересечения ФГ с поверхностью переключений. Точка 
называется точкой пересечения, если
89
К настоящему времени на основе понятия фазового годографа достаточно полно разработана теория релейных систем с линейными объектами управления, однако реальные технические устройства, как правило, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями.
Важнейшими задачами при анализе и синтезе релейных систем на основе выбранного подхода являются качественный анализ и полное построение фазового годографа. Если 
является непрерывно дифференцируемой по 
функцией, то как следует из уравнения (3) и теорем существования для неявных функций, разрыв фазового годографа или его ветвление возможны лишь в точках 
, для которых
10 11
где 
-единичная матрица. Далее, если 
, 
, является решением уравнения (3) и в каждой точке 
равенство (5) не имеет место, то фазовый годограф 
является гладкой функцией.
Построение фазового годографа для нелинейного объекта управления общего вида (1) возможно с помощью численного решения уравнения (3). Здесь можно использовать любые методы решения системы нелинейных алгебраических уравнений. Например, хорошо зарекомендовал себя алгоритм, названный Н.В. Фалдиным методом итераций с принудительным симметрированием. Он задается следующим выражением
(
при
). 12 13
Однако, алгоритм (6), как правило не позволяет построить ФГ как неоднозначную вектор-функцию. Методы полного построения ФГ с выделением всех его ветвей неоднозначности рассмотрены ниже.
Важным классом нелинейных объектов управления являются кусочно-линейные системы. К кусочно-линейным относятся, например, ОУ, содержащие различного рода ограничители, которые чрезвычайно широко распространены в технических системах, а также объекты управления, содержащие нелинейности типа люфтов, зон нечувствительности. Движение релейной системы с кусочно-линейным ОУ задаётся следующими уравнениями
, 14 15
если 
, и уравнением
, 16 17
если 
. В равенствах (7) и (8) управление 
по-прежнему задается уравнением (2), 
– n-мерный вектор состояния, 
и 
– постоянные матрицы размерности 
, 
и 
– n-мерные векторы. Будем, далее, полагать, что 
– симметричная (
) непрерывно дифференцируемая функция.
Для полного построения фазового годографа кусочно-линейного ОУ необходимо иметь представление о качественном его поведении. При малых значениях полупериода 
периодические траектории 
полностью лежат в области 
. В этом случае для построения ФГ можно использовать известные аналитические зависимости. Например, можно воспользоваться уравнением
,
которое представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, относительно 
(
).
Далее, при некоторой величине полупериода 
фазовая траектория 
лежит в области 
и в некоторой точке 
касается одной из границ 
. Если при этом справедливо неравенство
1819
то в точке 
фазовый годограф 
будет иметь разрыв. Более того, проведенные исследования показывают, что к точке 
примыкает участок, на котором фазовый годограф является неоднозначной вектор-функцией. Вид 
-характеристики (компоненты фазового годографа) для выходной координаты 
кусочно-линейного объекта управления показан на рис.2. На рисунке ветвь OB соответствует движениям в области 
, ветвь CE соответствует периодическим траекториям, лежащим в обеих областях. Как показывают выполненные исследования для выделения участка неоднозначности можно применить алгоритм (6), используя его в двух направлениях. Это значит, что сначала фазовый годограф строится с увеличением 
от нуля до некоторого максимального значения полупериода 
, а затем с уменьшением 
от 
до нуля. Таким способом удается выделить участок неоднозначности фазового годографа. На этом участке возможно существование двух периодических движений с одинаковой частотой, но разных по форме.
Рис. 2. 
-характеристика кусочно-линейного ОУ.
Для вычисления непрерывных ветвей фазового годографа кусочно-линейного ОУ можно предложить другой способ, который требует существенно меньших затрат машинного времени, чем алгоритм (6). Этот способ сводит построение ФГ к решению некоторого дифференциального уравнения.
Рассмотрим периодическую траекторию 
периода 
и близкую к ней траекторию 
периода 
(см. рис. 3). На рисунке для определенности положено, что 
. Обозначим далее 
и 
.
Рис. 3. Вид функций 
и 
.
В работе получено следующее равенство
, 20 21
где
22 23
.
Фазовый годограф кусочно-линейного ОУ (7), (8) является решением дифференциального уравнения (10).
Важнейшим подклассом кусочно-линейных ОУ являются такие, нелинейность которых обусловлена наличием различного рода ограничителей. Практически любой технический объект имеет те или иные ограничители. Исходя из математического описания звеньев, содержащих ограничители, можно выделить ограничители в форме насыщения (рис.4) и в форме механических упоров, которые в свою очередь делятся на жесткие (рис.5) и упругие (рис.6).
Рис.4. Звено с ограничителем Рис.5. Звено с ограничителем в форме
в форме насыщения. жестких механических упоров.
Рис.6. Звено с ограничителем в форме упругих механических упоров.
Движение звена, представленного на рис. 5, задается уравнениями
24 25
причем в каждый момент 
входа на ограничитель происходит разрыв фазовой траектории
26 27
Сход с ограничителя при 
происходит непрерывным образом. Движение звена, изображенного на рис.4., определяется уравнением
2829
Рассмотрим сначала ОУ с ограничителями типа жесткий механический упор (рис.5). При этом основное уравнение ФГ нелинейно, и, в общем случае, речь может идти только о численном его решении. Тем не менее, при определенной структуре объекта возможно предложить аналитический способ построения ФГ.
Рассмотрим случай, когда звено с ограничителем стоит на входе объекта, что обычно и имеет место в реальных технических системах. Пусть при входном периодическом сигнале 
релейного типа в объекте существуют периодические симметричные колебания. При достижении ограничителя для расчета ФГ ведем эквивалентное управление, обеспечивающее те же симметричные периодические колебания (включая движение по ограничителю) в силу уравнений свободного движения. Например, это возможно, если эквивалентный сигнал управления 
(рис. 7) содержит две 
-функции, которые действуют в момент прихода выходной координаты на ограничитель и позволяют обнулить скорость координаты.
Рис.7. Эквивалентное управление.
Использование эквивалентного управления позволяет описать движение системы линейным дифференциальным уравнением
,
где 
- фазовый вектор состояния системы. Известно, что решение этого уравнения записывается в виде
. 3031
Далее, вычисляя интеграл в последнем выражении с учетом формы эквивалентного управления получаем зависимость для фазового годографа системы
. 32 33
Выражение (16) позволяет аналитически вычислять фазовый годограф в случае, когда звено с жесткими ограничителями стоит на входе ОУ. В теории управления часто применяют прием, при котором передаточная функция объекта управления представляется в виде суммы простых дробей. Для этого случая в работе получены аналитические выражения, определяющие ФГ для типовых динамических звеньев объекта управления.
Наиболее сложным для исследования является общий случай расположения, когда звено с ограничителем является внутренним звеном объекта управления (рис. 8).
Рис.8. Общий случай расположения звена с ограничителем.
В работе поведены исследования, которые показали, что фазовый годограф в данном случае имеет участок, на котором он является неоднозначной (трехзначной) вектор-функцией. Это означает, что существует диапазон частот, в котором возможны три периодических движения с одним периодом, но разные по форме. Задача локализации и построения всех ветвей неоднозначности ФГ является важной как с теоретической, так и практической точки зрения. Качественный вид 
-характеристики для выходной координаты звена с ограничителем приведен на рис. 9.
Рис. 9. Качественный вид 
-характеристики.
Кривая 
отвечает «свободному» движению объекта управления. 
- характеристика 
включает в себя периодические решения, имеющие участок движения на ограничителе. 
-характеристика 
соответствует периодическим траекториям, имеющим точки отражения от ограничителя. Момент 
есть точка отражения, если существует интервал 
, в котором значение 
является единственным, лежащим на границе. Задача полного построения фазового годографа является непростой. В диссертации разработан метод, который обеспечивает вычисление всех ветвей неоднозначности ФГ. Локализация участка неоднозначности и вычисление ветвей 
и 
может быть осуществлено с помощью алгоритма (6). Основную сложность представляет построение ветви 
. Так как рассматриваются траектории, имеющие только точки отражения от ограничителей, то полупериод 
совпадает с временем движения от ограничения 
до 
. Поскольку удар об упор предполагается абсолютно неупругим, то 
, 
. Момент 
будем называть фазой входного сигнала 
. Для точек 
и 
известны значения 
. Далее, в работе получена система алгебраических уравнений, позволяющая вычислять фазу входного сигнала, а значит и построить искомую ветвь ФГ.
Участок неоднозначности, как правило, имеет небольшую протяженность. Соответствующий ему диапазон частот никогда не используется в качестве рабочего, т.е. автоколебания из этого диапазона частот исключаются. Поэтому на практике при синтезе систем ветви неоднозначности можно не определять. Необходимо лишь знать диапазон частот, соответствующий участку неоднозначности. Этот диапазон легко выделяется с помощью алгоритма (6).
Если объект управления содержит ограничители в форме насыщения (рис.4), то его фазовые траектории непрерывны, а фазовый годограф является однозначной вектор-функцией. ФГ объекта при любом расположении такого звена с ограничителями легко может быть рассчитан с помощью численного решения уравнения (3) или дифференциального уравнения (10).
Выше было использовано допущение о том, что удар о механический упор является абсолютно неупругим. В ряде случаев необходимо более точное математическое описание. Для описания упругого ударного взаимодействия будем использовать концепцию о пропорциональной зависимости (с коэффициентом восстановления 
) между относительными доударными и послеударными скоростями тел. Движение звена с упругими механическими ограничителями (рис.6) описывается уравнениями (12). При этом в момент достижения ограничителя 
происходит упругий удар с некоторым коэффициентом восстановления
3435
Случай r=1 соответствует абсолютно упругому, а r=0 - абсолютно неупругому соударению. Очевидно, что достижение ограничителя вызывает бесконечную последовательность отскоков, на которых движение звена описывается уравнениями движения в открытом ядре. Это порождает особенность фазового годографа звена с ограничителем, состоящую в наличии бесконечного числа зон неоднозначности, в каждой из которых возможно существование трех различных видов периодических движений. Качественный вид R-характеристики для выходной координаты звена с упругими ограничителями показан рис.10.
Рис.10. 
-характеристика звена с упругими ограничителями.
Ветвь 
соответствует движениям без достижения ограничителя; ветви 
и 
- движения с достижением ограничителя, при которых подход к упругому упору осуществляется со скоростью, совпадающей по знаку с полярностью релейного сигнала управления; ветви 
и 
- движения с достижением ограничителя, при которых подход к упору осуществляется со скоростью, противоположной по знаку полярности релейного сигнала управления. В релейных системах, содержащих звено с упругим механическим упором, возможно существование периодических движений с любым числом ударов за период. На практике, целесообразно ограничиться рассмотрением периодических движений с однократным и двукратным достижением ограничителя на полупериоде. В диссертации разработаны методы, позволяющие построить все ветви фазового годографа для объектов управления с ограничителями типа упругий механический упор.
Таким образом, в первой главе разработаны методы построения фазового годографа и определения периодических движений в релейных системах с нелинейными ОУ. Полученные результаты позволяют не только проводить анализ релейных систем. Они в большей степени ориентированы на их синтез, поскольку фазовый годограф выделяет все возможные периодические движения объекта управления.
Вторая глава посвящена разработке критериев устойчивости периодических движений в релейных системах с нелинейными ОУ. Создание легко проверяемых критериев устойчивости автоколебаний позволяет существенно упростить процесс синтеза релейных систем. Рассмотрим релейную систему с нелинейным объектом управления, движение которой задается уравнениями (1), (2). Положим для определенности, что функция, задающая обратные связи
,
где 
- вектор-строка.
Пусть в релейной системе (1), (2) с помощью изложенных выше методов найдена периодическая траектория 
, которая задается точкой 
(период-
). Обозначим через 
возмущенную траекторию, близкую к 
. На траектории 
(
) переключение управления 
происходит в моменты 
(
), а на возмущенной траектории 
– в близкие моменты времени 
. Обозначим 
. Точки 
при четном 
лежат на плоскости 
, а при нечетном 
- на плоскости 
. Очевидно, периодическое решение 
асимптотически орбитально устойчиво, если 
при 
.
Положим в целях упрощения, что функция 
непрерывно дифференцируема по 
и непрерывна по 
. Запишем уравнение в вариациях, полагая управление 
неизменной величиной
, 36 37
где 
- периодическое решение. На особенностях, которые имеют место для разрывных систем, остановимся ниже.
Обозначим через 
нормированную фундаментальную матрицу решений уравнения (18). Далее, получено равенство
, 38 39
где 
, матрица 
задает линеаризованный оператор сдвига на полупериоде. В силу симметрии периодического решения
. 40 41
В равенстве (20)
, 4243
где, 
. Из соотношений (19) и (20) получаем следующее равенство
, 44 45
Выражение (22) представляет собой линейное однородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами. Из теории разностных уравнений следует, что 
при 
, если все собственные числа матрицы 
по модулю меньше единицы. Итак, пусть 
- собственные числа матрицы 
. Если они удовлетворяют неравенствам
, 46 47
то периодическое решение 
асимптотически орбитально устойчиво.
При практическом применении данного критерия основную сложность представляет определение матрицы 
. Ее вычисление имеет свои особенности для каждого класса нелинейных ОУ. Ниже рассматривается получение аналитических выражений для указанной матрицы.
Пусть в автономной релейной системе с кусочно-линейным объектом управления (7), (8), (2) имеет место периодическое решение 
периода 
. Рассмотрим поведение на полупериоде близкой к 
возмущенной траектории 
(см. рис.3). Матрицы, определяющие линеаризованный оператор сдвига, уже были приведены выше при рассмотрении дифференциального уравнения фазового годографа. Таким образом, для систем с кусочно-линейными ОУ матрица
, 4849
где 
и 
задаются равенствами (11), 
. В диссертации получено аналогичное выражение для случая, когда 
.
Рассмотрим далее объекты управления с жесткими механическими ограничителями. На рис. 8 приведена структурная схема для общего случая расположения звена с ограничителем. Пусть «свободное» движение объекта задается как
, 50 51
а движение на ограничителе
. 52 53
Преобразование вектора 
в момент удара об упор определяется матрицей
:
. 54 55
Обозначим через
, 
56 57
нормированные фундаментальные матрицы, соответствующие однородным (
) уравнениям (25) и (26). Структура матрицы 
будет зависеть от вида периодического движения в системе (точка 
может лежать в открытом ядре допустимой области или на ограничителе). Такие траектории 
показаны соответственно на рис. 11. и рис.12.
Рис.11. Рис.12.
С использованием уравнений в вариациях в работе получены зависимости для матрицы 
. Для траекторий, представленных на рис.11
, 58 59
где
60 61
В равенстве (30) 
- строка матрицы 
, номер которой определяется компонентой 
вектора 
.
Для траекторий на рис.12 матрица 
имеет вид
, 62 63
где
64 65
Для объектов управления, содержащих звенья с ограничителями в форме насыщения, показано, что линеаризованный оператор сдвига также выражается равенствами (29), (30) либо (31), (32), в которых матрицу 
следует заменить на единичную матрицу 
. Кроме того, доказано, что если звено с ограничителями стоит на входе объекта управления, то при оценке устойчивости периодического движения (независимо от типа ограничителей) звено с ограничителями следует исключить из объекта управления, т.е. матрица 
полностью определяется линейной частью ОУ.
Одной из особенностей релейных систем, содержащих в своем составе звено с ограничителем в форме упругого механического упора и существенно осложняющей исследование их устойчивости, является разнообразие формы периодических движений, способных возникать в таких системах. Возможные периодические движения могут различаться по количеству ударов об ограничитель на полупериоде, по наличию участков движения на ограничителе, по взаимному расположению участков движения в открытом ядре и участков движения на ограничителе.
Рассмотрим здесь наиболее сложный случай, когда периодическая траектория включает упругий удар, неупругий удар и движение на ограничителе (рис.13).
Рис.13. Периодическая траектория.
Движение объекта управления в свободном ядре и на ограничителе по-прежнему задается уравнениями (25) и (26). Будем предполагать, что в фазовом векторе 
объекта управления первый компонент соответствует выходной координате звена с ограничителем, а второй – скорости изменения этой координаты. В момент упругого удара имеет место разрыв фазовой траектории:
, 6667
где K=diag(1,-r,1,...1) - матрица nn, r- коэффициент восстановления. Участку движения на ограничителе предшествует неупругий удар (27). В работе показано, что линеаризованный оператор сдвига для автоколебаний, изображенных на рисунке 13, определяется выражением
, 6869
где 
, 
, 
- матрицы сдвига, соответствующие свободному движению объекта управления;
- матрица, учитывающая упругий удар; 
- матрица, учитывающая неупругий удар, Н=(1,0,...0) – матрица 1n.
Рассмотрев другие виды возможных периодических движений, сформирована зависимость для оператора сдвига, соответствующая периодическим движениям любой возможной формы, в виде
, 7071
где 
- число достижений ограничителя на полупериоде; 
- матрицы сдвига для участков движения в открытом ядре; 
- матрицы сдвига для участков движения на ограничителе; матрицы 
учитывают упругий или неупругий удар (в зависимости от вида периодического движения).
Таким образом, во второй главе разработан легко проверяемый алгебраический критерий асимптотической орбитальной устойчивости в малом для периодических движений в релейных системах с различными классами нелинейных ОУ. Все полученные теоретические результаты проиллюстрированы конкретными примерами.
Третья глава посвящена разработке методов определения периодических движений в системах с трехпозиционным релейным элементом. Движение системы описывается уравнениями
, 72 73
74 75
где 
- 
-мерный вектор состояния, 
- 
-мерная вектор-функция, 
- гладкая скалярная функция векторного аргумента. Функция 
задаётся графиком трёхпозиционного релейного элемента (рис.14).
Рис.14. Статическая характеристика трехпозиционного релейного элемента.
По аналогии с двухпозиционным управлением фазовым годографом будем называть 
-мерную векторную функцию двух переменных 
, которая определяет фазовый вектор системы в момент переключения реле с 
на 
. Параметр 
задает скважность сигнала на выходе релейного элемента. Точка 
принадлежит фазовому годографу, если она удовлетворяет уравнению
, 76 77
где 
- решение дифференциального уравнения (36) при 
и начальном условии 
. Периодическое движение релейной системы определяется из соотношений
7879
80 81
Неравенства (40) задают направления переключения релейного элемента: первое – с 
на 
, а второе с 
на 
. Вектор-функцию 
называют сдвинутым фазовым годографом. Она определяется равенством
82 83
и задает значение фазового вектора в периодическом движении в моменты 
переключения управляющего сигнала с 
на 
.
Построение ФГ системы с произвольным нелинейным объектом управления (36) возможно только с использованием численных методов. Выполненные исследования показали, что эффективным инструментом решения системы нелинейных алгебраических уравнений (38) является следующий алгоритм
, 
при
. 84 85
Поскольку для систем с трехпозиционным управлением ФГ является функцией двух переменных, то на практике удобно рассматривать семейство функций 
при различных фиксированных значениях скважности 
.
Для релейных систем с кусочно-линейными объектами управления, движение которых задается равенствами (7), (8), (37), в работе предложен метод построения фазового годографа. Получено дифференциальное уравнение
, 86 87
которое при фиксированном 
позволяет построить ветвь фазового годографа. В равенстве (43) 
, где
88 89
, 
. Построение фазового годографа с помощью дифференциального уравнения (43) предполагает наличие некоторой начальной точки 
и соответствующей ей периодической траектории 
. Как и в системах с двухпозиционным релейным элементом ФГ может иметь участок неоднозначности. Такая ситуация возникает, если при некоторой величине полупериода 
фазовая траектория 
лежит в области 
и в некоторой точке 
касается одной из границ 
. Если при этом справедливо неравенство
то в точке 
фазовый годограф 
будет иметь разрыв. В этом случае для уточнения ситуации в окрестности 
следует обращаться к алгоритму (42). Применение уравнения (43) позволяет существенным образом сократить машинное время, затрачиваемое на построение фазового годографа.
Рассмотрим теперь особенности фазового годографа для систем с ограничителями в объекте управления. Если ОУ содержит звенья типа насыщение (рис. 4), то 
- характеристики звена являются однозначными и непрерывными. Их построение не вызывает затруднений с помощью алгоритмов (42) и (43).
Для звена типа жесткий механический упор (рис. 5), как и в случае двухпозиционного управления, фазовый годограф оказывается неоднозначной векторной функцией. На рис.15 показан качественный вид 
-характеристики 
, соответствующей выходной координате 
звена с ограничителем, при фиксированном значении 
.
Рис. 15. Качественный вид R-характеристики.
Ветвь 
R-характеристики соответствует свободному движению звена (ограничители не достигаются), а точка 
- движению, на котором периодическая функция 
касается ограничений. Ветвь 
включает в себя периодические движения, которые имеют участок движения на ограничителях. Ветви 
и 
образованы периодическими траекториями, которые имеют только точки отражения от ограничений 
и 
. Неоднозначность 
-характеристик звена с ограничителем порождает неоднозначность 
-характеристик, относящихся ко всем остальным фазовым переменным объекта управления. В диссертации разработан метод, позволяющий локализовать участок неоднозначности и полностью построить все его ветви.
В ряде случаев для улучшения эксплуатационных характеристик системы вместо трехпозиционного релейного элемента удобно использовать два идентичных управляющих двухпозиционных релейных элемента. Схема включения показана на рис. 16.
Рис.16. Система с двумя управляющими релейными элементами.
Принцип работы системы следующий. Динамические фильтры 
и 
имеют разные фазочастотные характеристики и по-разному реагируют на сигнал 
, смещая друг относительно друга сигналы 
и 
. В связи с этим, релейные элементы в периодическом движении переключаются в разные моменты времени, и сигнал 
имеет вид, аналогичный выходному сигналу трехпозиционного релейного элемента. Такая структура системы позволяет с помощью настройки фильтров 
и 
получать произвольную скважность 
релейного сигнала 
, что чрезвычайно важно на этапе синтеза.
Фазовый годограф зависит только от сигнала 
на входе объекта управления и поэтому его построение не отличается от систем с трехпозиционным релейным элементом. Для определения параметров периодического движения предлагается использовать условия переключения релейных элементов, которые в данном случае имеют вид
90 91
В (45) через 
, 
обозначены значения переменных 
и 
в 2Т- периодическом движении в момент переключения сигнала 
с «нуля» на «плюс», а под 
, 
в момент переключения 
с «плюса» на «ноль».
В четвертой главе рассматриваются вопросы исследования устойчивости периодических движений в релейных системах с трехпозиционным управлением.
Во второй главе работы предложен простой и удобный для применения алгебраический критерий асимптотической орбитальной устойчивости периодических движений в системах с двухпозиционным релейным элементом. В настоящем разделе этот метод распространяется на случай, когда статическая характеристика релейного элемента имеет зону нечувствительности.
Будем рассматривать системы, движение которых задается уравнениями (36), (37). В работе получено разностное уравнение
, 
, 92 93
где 
- полупериод автоколебаний. Таким образом, устойчивость периодических движений эквивалентна устойчивости тривиального решения 
системы (46), которое определяется собственными числами матрицы 
. Окончательно, периодическое движение 
асимптотически орбитально устойчиво, если выполняется неравенство (23).
Далее остановимся на аналитических зависимостях, определяющих матрицу 
для различных типов ОУ. Для релейных систем с трехпозиционным релейным элементом и кусочно-линейными объектами управления (движение описывается уравнениями (7), (8)) матрица 
имеет следующий вид
. 94 95
Это выражение получено на основе рассмотрения возмущенной траектории движения (см. рис.17).
Рис. 17. Вид функций 
и 
.
В (47) матрицы 
и 
задаются первым и третьим уравнениями (44),
,
, где 
- 
-мерный вектор коэффициентов обратных связей.
Наиболее сложным для исследования и очень важным для приложений является ОУ, содержащий звенья с механическими ограничителями (рис.8). Его движение задается уравнениями (25), (26). В диссертации показано, что матрица 
в этом случае имеет вид
, 96 97
где 
и 
это матрицы, которые определяют линеаризованный оператор сдвига объекта управления соответственно за время 
и 
, 
, 
. Матрицы 
и 
зависят от вида периодического решения на выходе звена с ограничителями (рис.18).
а) б)
Рис.18. Периодическое решение на выходе звена с ограничителем.
По аналогии со случаем двухпозиционного управления в работе получены следующие зависимости. Для траекторий, показанных на рис.18а
98 99
Для движений на рис. 18б
100 101
В выражениях (49) и (50) матрицы 
и 
задаются равенствами (28), а матрица 
зависимостью (27), 
- строка матрицы 
, номер которой определяется компонентой 
вектора 
. Таким образом, для оценки устойчивости периодических движений в релейных системах с трехпозиционным управлением и объектом управления, содержащим звенья с ограничителями типа жесткий механический упор, следует пользоваться критерием (23), в котором матрица 
определяется соотношением (48), а матрицы 
и 
равенствами (49) и (50).
Если объект управления вместо звена с ограничителями типа жесткий механический упор содержит звено типа насыщение, то матрицы 
и 
по-прежнему определяются соотношениями (49) и (50), в которых матрицу 
следует заменить на единичную матрицу 
.
Пятая глава посвящена исследованию периодических движений в релейных системах с цифровым управлением. Все полученные выше результаты относятся к релейным системам с непрерывным временем, или, как их называют в технике, аналоговым системам. Однако, практически все современные технические устройства проектируются в цифровом виде. Кроме того, происходят процессы модернизации, заключающиеся в установке новых цифровых систем управления. При этом теоретических методов анализа и синтеза рассматриваемых систем не существует. При цифровом управлении сигнал, поступающий на релейный элемент, является дискретным, как по уровню, так и по времени. При анализе основную сложность представляет дискретизация управляющего сигнала по времени, поэтому рассмотрим сначала релейно-импульсную систему с двухпозиционным релейным элементом (рис.19). Дискретизация по уровню будет учтена позже.
Рис.19. Релейно-импульсная система.
На рисунке ИИЭ – идеальный импульсный элемент; ЭНП – экстраполятор нулевого порядка; 
- период квантования по времени, 
- фазовый вектор объекта управления. Для определения периодических движений, возникающих в таких системах, будем использовать условия переключения релейного элемента с одного уровня на другой. Поскольку сигнал 
является дискретным, то переключения возможны только в дискретные моменты времени 
, 
. Далее, учитывая, что в автоколебательном режиме y(t) 0, и, используя терминологию метода фазового годографа получаем
, 102 103
где 
- фазовый годограф объекта управления при двухпозиционном периодическом релейном сигнале. Решение системы неравенств (51) позволяет найти полупериод 
возникающих в релейно-импульсной системе автоколебаний. Далее, построение самого периодического решения не вызывает затруднений и производится путем решения уравнений движения объекта управления при известных начальных условиях 
и соответствующем входном сигнале. Следует отметить, что в отличие от систем с непрерывным временем возможно возникновение лишь конечного числа периодических движений с периодами кратными периоду дискретизации (
).
Для релейно-импульсных систем с трехпозиционным релейным элементом (см. рис.19, на котором звено, соответствующее релейному элементу, следует заменить статической характеристикой, показанной на рис. 14), условия переключения имеют следующий вид
104 105
где 
- фазовый годограф релейной системы с трехпозиционным РЭ, сдвинутый ФГ 
определяется равенством (41). Решение системы неравенств (52) определяет параметры автоколебаний 
и 
. Решать систему (52) даже при использовании ЭВМ удобно графическим способом.
Релейная система с цифровым управлением (учитывается дискретизация сигналов и по времени и по уровню) имеет структурную схему, представленную на рис.20.
Рис.20. Релейная система с цифровым управлением.
В диссертации показано, что для определения периодических движений в таких системах следует использовать следующие соотношения
. 106 107
Неравенства (53) решаются относительно 
. Очевидно, что учет дискретности сигналов приводит к некоторому увеличению периода автоколебаний по сравнению с непрерывным случаем.
Одним из важнейших свойств автоколебательных систем, определяющих их работоспособность, является устойчивость периодических движений. Рассмотрим эту проблему применительно к релейным системам с цифровым управлением. Движение нелинейного объекта управления будем задавать следующим уравнением
108 109
где 
- n-мерный фазовый вектор состояния системы, 
– непрерывно-дифференцируемая по 
функция. Траекторию возмущенного движения обозначим
110111
где вариацию 
будем считать малой величиной. Тогда уравнение в вариациях имеет вид
. 112 113
Отсутствие вариации управления 
в последнем выражении объясняется дискретностью сигнала, поступающего на релейный элемент. Дело в том, что в рассматриваемых системах малая вариация 
никак не влияет на моменты переключения релейного элемента, а, следовательно, и на сам управляющий сигнал 
. Таким образом, устойчивость периодических движений в релейных системах с цифровым управлением определяется устойчивостью колебаний в разомкнутой системе. Далее, в работе получено линейное однородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами
, 
, 114 115
где 
- нормированная фундаментальная матрица решений уравнения (56), 
- период колебаний. Из (57) непосредственно следует, что если все собственные числа матрицы 
, кроме одного, модуль которого равен единице, удовлетворяют неравенству
116 117
то периодическое решение в релейной системе с цифровым управлением орбитально устойчиво.
Отдельный интерес представляет случай, когда объект управления является неустойчивым (неустойчиво периодическое решение в разомкнутой системе). Такая ситуация нередко встречается при проектировании реальных систем управления. При этом обычно используют корректирующие устройства, которые обеспечивают устойчивость периодических движений в релейной системе с непрерывным временем. Однако в случае релейно-импульсной системы никакая коррекция не позволяет удовлетворить условию (58). В этом случае в релейно-импульсной системе возникают процессы квазистохастического типа, так как неустойчивым, строго говоря, является любое движение системы. Но с другой стороны при увеличении частоты дискретизации релейно-импульсная система будет стремиться к релейной, а значит и процессы в ней будут стремиться к периодическим. Следовательно, при достаточно высокой частоте дискретизации можно добиться приемлемой точности и использовать этот режим в качестве рабочего. На рисунках 21 и 22 в качестве примера соответственно показаны процессы в непрерывной релейной и в релейно-импульсной системах с 
с и неустойчивым линейным ОУ. На основе численных экспериментов, проведенных для многих систем, в работе делается вывод о том, что при разносе частот автоколебаний и дискретизации в сто и более раз различия между процессами в релейных системах и релейно- импульсных системах будут пренебрежимо малыми.
Рис.21. Автоколебания в системе Рис.22. Колебания в системе с
с непрерывным временем. 
с.
Для систем с линейным ОУ в работе разработан приближенный усиленный критерий устойчивости. Выходной сигнал релейно-импульсной системы при наличии возмущения запишем следующим образом
,
здесь и в дальнейшем индексом "п" обозначены переменные, соответствующие периодическому режиму движения. Известно, что возмущенное движение можно исследовать с помощью линейной импульсной системы. На этой основе и с учетом особенностей процессов в системах с дискретизацией по времени в диссертационной работе показано, что при существенном разносе частоты дискретизации и автоколебаний приращение 
(отклонение от периодического движения) можно приближенно рассматривать, как выходной сигнал нелинейной импульсной системы (рис. 23).
Рис. 23. Нелинейная импульсная система.
Идеальный импульсный элемент в этой системе работает с периодом квантования равным полупериоду автоколебаний в соответствующей релейной системе. Даже при устойчивом объекте управления (передаточной функции 
) нелинейность, входящая в изображенную на рис. 23 импульсную систему, может быть причиной неустойчивости (при значительных начальных возмущениях) тривиального решения 
и, следовательно, соответствующего периодического решения исходной системы (рис.19).
Чтобы исключить неустойчивость, порождаемую указанной нелинейностью, воспользуемся критерием абсолютной устойчивости положения равновесия нелинейной импульсной системы, полученным Я.З. Цыпкиным. На его основе и с учетом того факта, что рассматриваемая нелинейная функция имеет максимальный статический коэффициент 
в работе получено следующее неравенство для коэффициента передачи динамической части системы
. 118 119
Итак, тривиальное решение 
нелинейной импульсной системы (рис.23) абсолютно устойчиво, если устойчив объект управления (передаточная функция 
) и выполняется неравенство (59). Однако здесь необходимо иметь в виду, что при исследовании устойчивости периодического решения исходной релейно-импульсной системы (рис.19) неравенство (59) следует рассматривать как "сильное", но приближенное условие устойчивости. Это связано с тем. что изображенная на рис. 23 нелинейная импульсная система определяет приращение 
приближенно. Точность описания приращения 
зависит от величины разноса частот дискретизации и автоколебаний.
В шестой главе рассматривается синтез релейных систем с нелинейными объектами управления, разрабатывается методика синтеза и оптимизации релейных воздушно-динамических рулевых приводов. На ее основе проводится синтез цифровой системы управления конкретного рулевого привода.
Рассмотрим задачу синтеза в пространстве состояний для релейной системы, задаваемой уравнениями (1), (2), где 
, 
- строка коэффициентов обратных связей. Для упрощения будем считать, что 
непрерывно дифференцируема по 
и непрерывна по 
. Особенности, связанные с синтезом систем с ограничителями, будут подробно изложены при рассмотрении конкретных примеров. Пусть с помощью изложенных выше методов построен фазовый годограф системы и на этапе предварительного исследования выбран желаемый полупериод автоколебаний 
. Задачу синтеза следящей системы целесообразно формулировать в виде задачи конечномерной оптимизации с критерием качества
, 120 121
где 
- ошибка слежения. Вычислять критерий (60) удобно с использованием метода дискретной линеаризации. Согласно данному методу движение в линеаризованной системе 
определяется из решения линейного неоднородного разностного уравнения
. 122123
Далее, 
, где 
- вектор, выделяющий выходной сигнал системы.
В качестве ограничений сформулированной задачи конечномерной оптимизации выступают условие возникновения в системе колебаний с желаемыми параметрами
и условие устойчивости периодических движений (23). Решение данной задачи с использованием изложенных выше методов определения периодических движений и оценки их устойчивости не вызывает принципиальных затруднений. Далее рассмотрим прикладную методику синтеза на примере воздушно-динамического рулевого привода.
В последнее время в качестве исполнительных устройств малогабаритных ракет большое распространение получили воздушно-динамические рулевые приводы, в которых используется энергия набегающего воздушного потока, что позволяет предельно упростить конструкцию привода. Однако это привело к тому, что из-за изменения скорости и высоты полета ракеты параметры привода изменяются в очень широком диапазоне.
Используется модель привода (рис.24), полученная специалистами ГУП КБП (г.Тула). На рисунке объект управления выделен пунктирной линией. Одно из основных отличий рассматриваемой модели, которое существенно осложняет анализ и синтез воздушно-динамического рулевого привода, заключается в том, что большинство ее параметров не являются фиксированными, а изменяются в очень широком диапазоне (в 100 и более раз) в зависимости от избыточного давления, которое в свою очередь зависит от скорости и высоты полета. На некоторых режимах это даже приводит к тому, что привод как объект управления оказывается неустойчивым. Другая особенность объекта управления - это наличие ограничителей типа жесткий механический упор. Такие звенья были подробно рассмотрены выше. Их движение описывается выражениями (12), (13).
Ставится задача разработать методику, которая позволит получить максимально высокие динамические характеристики привода на всех режимах работы (в зависимости от избыточного давления), используя простые корректирующие устройства.
Строго говоря, рассматриваемая система является нестационарной, однако, опыт, накопленный специалистами КБП при проектировании таких систем, говорит о том, что изменение параметров модели в процессе работы происходит существенно медленнее, чем переходные процессы. Это позволяет использовать метод замороженных коэффициентов, то есть рассматривать систему как стационарную на каждом из режимов работы.
Первым этапом синтеза является построение фазового годографа объекта управления. Вследствие нестационарности параметров модели привода приходится рассматривать целый ансамбль фазовых годографов, характеризующих объект на разных режимах работы. Для построения следует использовать разработанный в первой главе алгоритм, который позволяет выделить все ветви неоднозначности. Анализ 
-характеристики выходной координаты 
показывает, что замыкание главной обратной связи без корректирующих устройств приведет к возникновению в системе низкочастотных колебаний с большой амплитудой. При этом привод является неработоспособным.
Рис. 24. Структурная схема релейного автоколебательного воздушно-динамического рулевого привода.
Поскольку в рассматриваемой системе кроме выходной координаты 
легко поддается измерению лишь управляющий сигнал 
, то колебательное звено, включенное в обратную связь релейного усилителя мощности, будем использовать для создания необходимых параметров автоколебаний. Нижняя граница частоты автоколебаний выбирается исходя из требований на амплитуду автоколебаний. Если полагать, что амплитуда автоколебаний привода не должна превышать 25% от 
, то нижняя граница равна 70 Гц. Поскольку в приводе используется нейтральный электромеханический преобразователь, который может работать только в режиме переброса якоря магнита с одного упора на другой, то верхней границей частоты автоколебаний является максимальная частота, при которой якорь магнита бьет по упорам. Эта частота оказалась равной 130 Гц. Таким образом, частота автоколебаний привода должна лежать в диапазоне 
. Для обеспечения устойчивости автоколебаний и придания всей системе необходимых динамических свойств применяется интегро-дифференцирующий фильтр, включенный последовательно в контур управления (рис.24).
На практике для следящих приводов желательно иметь предельно возможную точность при отработке входных сигналов. Сформулируем задачу синтеза как задачу конечномерной оптимизации. Введем вектор 
, компонентами которого являются параметры корректирующих устройств. Пусть далее имеется некоторая функция векторного аргумента 
, значение которой определяет качество системы управления, причем меньшее значение этой функции соответствует более высокому качеству системы. С целью уменьшения объема вычислений при формировании критерия оптимизации 
целесообразно ориентироваться на один режим работы, на котором наиболее трудно обеспечить работоспособность привода. Кроме того, для упрощения оптимизации следует зафиксировать частоту автоколебаний на этом режиме. Условия, обеспечивающие работоспособность привода на остальных режимах, рассматриваются в качестве ограничений метода оптимизации. Под задачей синтеза будем понимать нахождение такого вектора 
, при котором в автономном режиме работы в релейной системе существуют устойчивые периодические движения с заданной частотой 
и функция 
достигает минимума.
Динамические свойства рулевых приводов летательных аппаратов рассматриваемого класса традиционно оцениваются по частотным характеристикам, поскольку входные сигналы являются гармоническими функциями. При синтезе таких систем обычно наиболее трудно удовлетворить требованиям по фазовому сдвигу, поэтому в качестве критерия оптимизации следует выбирать именно максимальный фазовый сдвиг
. 124 125
Анализ известных методов конечномерной оптимизации показал, что в данном случае целесообразно использовать какую-либо из разновидностей метода случайного поиска. Такие методы являются простыми в реализации и, кроме того, работают с ограничениями простейшим образом: на каждом шаге проверяется выполнение ограничений. В работе использовался алгоритм с возвратом при неудачном шаге с изменяющейся областью поиска. Далее применительно к выбранному методу поиска излагается алгоритм оптимизации.
1. В пространстве оптимизируемых параметров 
,
формируется случайный вектор отклонений.
здесь 
- случайная величина, изменяющаяся в диапазоне от -1 до 1 и имеющая равномерную плотность распределения, 
- величина шага. Формируется вектор оптимизируемых параметров
2. Исходя из соотношения 
где 
и 
являются 
-характеристиками выходных координат соответственно последовательного и параллельного корректирующих устройств (рис. 24) (
-ширина петли гистерезиса, 
-период автоколебаний) определяется согласующий коэффициент, которым является коэффициент усиления параллельного корректирующего устройства 
. Этот коэффициент обеспечивает фиксированную частоту автоколебаний на оптимизируемом режиме (в данном случае 85Гц). Его вычисление не представляет затруднений, так как он линейно входит в выражение для R-характеристики 
.
3. На всех режимах проверяется известное необходимое условие устойчивости автоколебаний
Некоторые проблемы возникают при вычислении 
-характеристики последовательного корректирующего устройства 
. Дело в том, что ее вид зависит как от вида передаточной функции последовательного корректирующего звена, так и от сигнала 
, который является выходом нелинейной системы. Для вычисления 
в работе предлагается использовать разложение входного сигнала последовательного фильтра в ряд Фурье, коэффициенты которого определяются на предварительном этапе и заносятся в память ЭВМ.
4. Для всех режимов проводится проверка попадания частоты автоколебаний в заданный диапазон (в нашем случае 
Гц). Практически это выглядит как нахождение точки пересечения 
-характеристики входной координаты релейного элемента 
с прямой 
.
5. Проверяется достаточное условие устойчивости автоколебаний (23).
6. Проводится линеаризация системы. Метод линеаризации систем рассматриваемого класса разработан под руководством профессора Н.В.Фалдина. Указанный метод позволяет линеаризовать релейный элемент и другие нелинейности ОУ. РЭ заменяется его коэффициентом передачи по постоянной составляющей. При этом, в отличие от метода гармонической линеаризации, указанный коэффициент определяется точно, то есть с полным учетом формы периодического сигнала. Единственным ограничением при использовании данного метода является то, что должен иметь место существенный разнос частот входного сигнала и автоколебаний (в десять и более раз).
7. Для всех режимов проводится проверка попадания амплитудно-частотной характеристики в заданный диапазон (в нашем случае 
).
8. Вычисляется критерий оптимизации (62).
На основе данной методики бала решена задача синтеза для конкретной системы (рис.24). В результате решения задачи оптимизации были найдены значения параметров корректирующих устройств. Критерий оптимизации (он относится к оптимизируемому режиму работы привода) оказался равным -0.40. Анализ частотных характеристик показывает, что во всем диапазоне избыточных давлений и во всем диапазоне частот входных сигналов максимальный фазовый сдвиг не превышает 11 градусов. Амплитудная характеристика при этом очень близка к единице. Для указанного класса приводов этот результат является хорошим.
Для уточнения и проверки результатов синтеза, необходимо выполнить численное моделирование привода с учетом всех факторов, характеризующих его работу. Моделирование, которое проводилось по нелинейной модели, подтвердило полученные результаты. Было выявлено, что частота автоколебаний находится в заданном диапазоне для всех режимов работы, а максимальный фазовый сдвиг составляет 11.5 градусов, при этом амплитудная характеристика привода близка к единице.
В целом результаты моделирования позволяют сделать вывод о том, что разработанная методика позволяет синтезировать системы с высокими динамическими характеристиками во всем диапазоне избыточных давлений. Немаловажно то, что этого удается добиться при неизменной структуре и параметрах коррекции.
Седьмая глава посвящена разработке методики синтеза и оптимизации релейных автоколебательных пневмоприводов с трехпозиционным управлением и синтезу системы управления конкретным рулевым приводом. При проектировании таких систем одной из главных проблем является высокая амплитуда периодических движений, возникающих в автономной системе, что крайне негативно влияет на точность слежения при отработке входного сигнала. В системах с двухпозиционным релейным элементом уменьшение амплитуды автоколебаний возможно только с помощью увеличения их частоты. Однако многие технические устройства имеют фиксированный частотный диапазон (например, электромеханические преобразователи), при превышении которого они становятся неработоспособными. В этом случае целесообразно использование трехпозиционного управления, когда амплитудой автоколебаний можно управлять независимо от частоты при помощи скважности релейного сигнала (параметр 
). При этом большую свободу в управлении скважностью можно получить, если использовать два двухпозиционных релейных элемента, моменты переключения которых смещены во времени. Структурная схема воздушно-динамического рулевого привода с таким формированием управляющего релейного сигнала показана на рис.25.
Для смещения моментов переключения используется фазосдвигающее звено с передаточной функцией 
. При этом в автоколебательном режиме суммарный сигнал 
является трехпозиционным, скважность которого можно изменять с помощью параметра 
.
Рис.25. Структурная схема релейного воздушно-динамического рулевого привода с трехпозиционным управлением.
Выбор структуры коррекции и методика синтеза и оптимизации являются в основном аналогичными алгоритму, рассмотренному в шестой главе. Единственным отличием является задача контроля параметров автоколебаний. Остановимся на ней более подробно. Согласно (45), если в рассматриваемой системе существуют автоколебания с параметрами 
и 
, то справедлива система уравнений
126 127
Параметры 
и 
выбираются на предварительном этапе, исходя из требований технического задания и желаемой амплитуды автоколебаний. В данном случае 
, 
Для обеспечения постоянства этих параметров в процессе оптимизации используются два согласующих коэффициента 
и 
, которые определяются из решения системы (63).
Реализация разработанной методики позволила решить задачу конечномерной оптимизации для параметров 
и синтезировать систему управления, обеспечивающую высокие динамические характеристики привода. Максимальный фазовый сдвиг во всем рабочем диапазоне частот составил 14 градусов. При этом удалось снизить амплитуду автоколебаний более чем в 4 раза без существенного увеличения их частоты.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В диссертационной работе решена важная научно-техническая проблема– разработаны методы анализа и синтеза релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления. Получены теоретические методы и практические методики, совокупность которых можно классифицировать как прикладную теорию релейных систем с нелинейными ОУ. Данная теория позволяет значительно упростить создание релейных систем управления, и уменьшить сроки их разработки, а также улучшить показатели качества синтезируемых систем.
Основные теоретические и практические результаты диссертации заключаются в следующем.
1. Предложен общий подход к анализу, синтезу и оптимизации релейных автоколебательных систем с аналоговым и цифровым управлением, с двух и трехпозиционными релейными элементами.
2. Для систем с двухпозиционным релейным элементом:
а) проведен качественный анализ фазового годографа для объектов управления с различного рода ограничителями и кусочно-линейными ОУ, выявлена возможность существования нескольких видов автоколебаний одного периода в таких системах;
б) получены аналитические зависимости, задающие ФГ в явном виде, для случая, когда звено с ограничителями стоит на входе ОУ;
в) разработан метод, позволяющий полностью построить ФГ с локализацией и выделением всех ветвей его неоднозначности для общего случая расположения звена с ограничителем в ОУ;
г) разработан метод построения фазового годографа для систем с упругими механическими ограничителями в объекте управления;
д) выявлены особенности и разработан метод построения фазового годографа для систем с кусочно-линейными ОУ;
е) получен критерий асимптотической орбитальной устойчивости автоколебаний для систем с нелинейным объектом управления;
ж) разработан алгоритм вычисления и получены зависимости, определяющие матрицы линеаризованного отображения сдвига для всех указанных выше объектов управления;
з) разработана методика синтеза воздушно-динамических рулевых приводов, позволяющая рассматривать задачу синтеза в качестве задачи конечномерной оптимизации, синтезирован конкретный привод с высокими динамическими характеристиками.
3. Для систем с трехпозиционным управлением:
а) выявлены особенности фазового годографа для ОУ, содержащих ограничители типа насыщение и механические ограничители, а также для кусочно-линейных объектов управления;
б) разработаны методы построения ФГ и выделения всех его ветвей неоднозначности для указанных типов объектов управления;
в) разработан метод определения периодических движений в системах с двумя двухпозиционными управляющими релейными элементами;
г) получен критерий асимптотической орбитальной устойчивости автоколебаний релейных системах с нелинейными ОУ;
д) получены выражения, определяющие матрицы линеаризованного отображения сдвига для объектов с ограничителями и кусочно-линейных ОУ;
е) разработана методика синтеза и оптимизации автоколебательных пневмоприводов, синтезирована система управления конкретным рулевым приводом, обеспечивающая высокие динамические характеристики.
4. Для релейных систем с цифровым управлением:
а) разработан метод определения периодических движений в релейно-импульсных системах и системах с цифровым управлением с двух и трехпозиционными релейными элементами, показано, что возможно возникновение автоколебаний только с периодами кратными периоду дискретизации по времени;
б) разработан простой метод оценки устойчивости периодических движений в релейных системах с цифровым управлением;
в) получен приближенный усиленный критерий устойчивости автоколебаний в релейно-импульсных системах;
г) показано, что режим слежения в системах с "неустойчивым объектом управления" носит квазистохастический характер, приведены практические рекомендации для использования этого режима в качестве рабочего.
5. Все полученные в диссертации теоретические результаты подтверждены рассмотрением конкретных примеров, разработанные практические методики внедрены для использования в ГУП «КБ Приборостроения» г. Тула.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Феофилов С.В. Синтез и оптимизация релейных цифровых систем управления газовыми приводами летательных аппаратов // Международная молодежная научная конференция “XXV гагаринские чтения”.Тезисы докладов.-М.:Изд-во ЛАТМЕС, 1999, Т. 2.- Стр.755.
2. Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Релейные системы с цифровым управлением // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Автоматика. Управление. Том 2. Вып.3. Управление.- Тула:ТулГУ, 2000.- Стр. 87-91.
3. Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Анализ и синтез релейно-импульсных систем управления // Управление в технических систмах – XXI век. Сб. науч. трудов III междунар. научно-техн. конф.- Ковров: КГТА, 2000. – Стр. 68-70.
4. Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Исследование колебаний в релейно-импульсных системах с неустойчивым объектом управления // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Автоматика. Управление. Том 3. Вып.3. Управление.-Тула:ТулГУ,2001.- Стр. 46-49.
5. Феофилов С.В. Синтез и оптимизация релейного автоколебательного воздушно-динамического рулевого привода с цифровым управлением // Всероссийская молодежная научная конференция "VI Королевские чтения". Тезисы докладов.- Самара, 2001,Т.1.- Стр. 43-44.
6. Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Особенности динамики релейных систем с цифровым управлением // Известия ТулГУ. Серия проблемы специального машиностроения. Вып.2.-Тула:ТулГУ,1999.- Стр. 288-291.
7. Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Синтез системы управления релейного воздушно-динамического рулевого привода // Известия ТулГУ. Серия проблемы специального машиностроения. Вып.2.-Тула:ТулГУ,1999.- Стр. 296-299.
8. Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Синтез и оптимизация системы управления релейного автоколебательного воздушно-динамического рулевого привода // Гидропневмоавтоматика и гидропривод – 2000: Сборник научных трудов.- Ковров: КГТА, 2000.- Стр. 217-226.
9. Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Синтез релейного воздушно-динамического рулевого привода с учетом нелинейности объекта управления // Известия ТулГУ. Серия проблемы специального машиностроения. Вып.4 (2.2).-Тула:ТулГУ,2001.- Стр. 29-33.
10. Феофилов С.В. Методика синтеза релейных автоколебательных воздушно-динамических рулевых приводов // Международная молодежная научная конференция “XXVIII гагаринские чтения”. Тезисы докладов.-М.:Изд-во "МАТИ", 2002, Т. 6.- Стр.26-27.
11. Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Синтез релейного воздушно-динамического рулевого привода в условиях нестационарности параметров объекта управления // Сборник докладов VI всероссийской конференции «Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов».- М.:Изд-во МАИ, 2002.- Стр. 285-289.
12. Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Приближенный усиленный критерий устойчивости автоколебаний в релейно-импульсных системах // Известия ТулГУ. Серия проблемы специального машиностроения. Вып.5. ч.1 -Тула:ТулГУ,2002.-Стр.311-314.
13. Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Линеаризация релейных систем с ограничителями в объекте управления // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления. Том 1. Вып.1. Системы управления.-Тула:ТулГУ, 2003.- Стр. 158-166.
14. Макаров Н.Н., Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Синтез высокоточного закона управления силовым следящим гидроприводом // Известия ТулГУ. Серия проблемы специального машиностроения. Вып.6. Часть 1. Материалы всероссийской научно-технической конференции-Тула:ТулГУ,2003.- Стр. 342-345.
15. Феофилов С.В. Оптимизация по точности слежения закона управления релейным автоколебательным воздушно-динамическим рулевым приводом // Сборник докладов VII Всероссийской юбилейной научно-технической конференции «Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов». – М.: МАИ, 2005.- С. 367-371.
16. Фалдин Н.В., Феофилов С.В., Хоанг Чунг Киен. Синтез базового релейного автоколебательного закона управления объемным силовым гидроприводом // Известия ТулГУ. Серия проблемы специального машиностроения. Вып.8. -Тула:ТулГУ,2005.- Стр. 196-200.
17. Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Синтез квазиоптимального по точности слежения закона управления для релейных силовых гидроприводов // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления. Вып.3. Системы управления..-Тула:ТулГУ, 2005.- Стр. 210-216.
18. Воробьев В.В., Макаров Н.Н., Феофилов С.В. Сквозное использование системы MATLAB в учебном процессе специальности 210500 «Системы управления летательными аппаратами» // Известия ТулГУ. Серия проблемы специального машиностроения. Вып.9. -Тула:ТулГУ,2006.- Стр. 299-301.
19. Моржов А.В., Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Определение фазового годографа для релейных систем с трехпозиционным релейным элементом и при наличии ограничителей в форме механических упоров // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления. Вып.3. Системы управления. Том 2.-Тула:ТулГУ, 2006.- Стр. 243-252.
20. Феофилов С.В. Дискретизация по времени в релейных системах управления // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления. Вып.3. Системы управления. Том 2.-Тула:ТулГУ, 2006.- Стр. 262-269.
21. Феофилов С.В. Синтез цифровой системы управления релейных пневмоприводов // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления. Вып.3. Системы управления. Том 2.-Тула:ТулГУ, 2006.- Стр. 269-276.
22. Феофилов С.В. Периодические движения в релейных системах с цифровым управлением // Мехатроника, автоматизация, управление. № 11, 2006г.- Москва, Изд-во: «Новые технологии», 2006.- С.19-23.
23. Феофилов С.В. Периодические движения в релейных системах с цифровым управлением и трехпозиционным релейным элементом // Сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции «Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте ‘2007».- Одесса, Изд-во: «Черноморье», 2007.- С. 7-11.
24. Моржов А.В., Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Периодические движения в релейных системах с трехпозиционным релейным элементом и кусочно-линейными объектами управления // Труды второй международной конференции «Системный анализ и информационные технологии». Т. 1.- М.:Издательство ЛКИ, 2007.- С. 66-69.
25. Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Исследование периодических движений в релейных системах, содержащих звенья с ограничителями //Известия РАН. Теория и системы управления, 2007, №2.- Москва: Изд-во «Наука» с. 15-27.
26. Макаров Н.Н., Феофилов С.В. Применение пакета Mathcad в анализе и синтезе систем автоматического управления // Учебное пособие. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2007.- 169с.
27. Феофилов С.В. Фазовый годограф для релейных систем с кусочно-линейными объектами управления //Вестник ТулГУ. Сер. Системы управления. Вып.1 - Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. -194 с.
28. Феофилов С.В. Периодические движения в релейных системах с трехпозиционным управлением и ограничителями в объекте регулирования // Мехатроника, автоматизация, управление. № 5, 2008г.- Москва, Изд-во: «Новые технологии», 2008.- С.11-17.
29. Феофилов С.В. Периодические движения в релейных системах с кусочно-линейными объектами управления // Труды восьмой всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем». В 2 т. Т. 2.- Нижний Новгород: Издательский дом «Диалог Культур», 2008.- С. 248-252.
30. Феофилов С.В., Чудин Д.В. Контроль автоколебаний в релейных системах с трехпозиционным управлением //Приборы и управление: сборник статей молодых ученых. Выпуск 6.-Тула, Изд-во:ТулГУ, 2008.-С.112-116.
31. Феофилов С.В. Анализ автоколебаний в системах с трехпозиционным релейным элементом и цифровым управлением //Вестник ТулГУ. Сер. Системы управления. Вып.1 - Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. –С. 161-165.
32. Феофилов С.В. Периодические движения в релейных системах с упругими ограничителями в объекте управления //Труды международной конференции «Математическая теория систем», Москва, 2009.- С.37-41.
33. N.V. Faldin, S.V. Feofilov On Periodic Motions in Relay Systems Containing Blocks with Limiters //Journal of Computer and Systems Sciences International, 2007, Vol. 46, No. 2, pp. 177–188. © Pleiades Publishing, Ltd., 2007.
