Неавтономные системы со сложной внутренней динамикой (модель ханта, двухмодовая система, модель лоренца)
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Саратовский государственный университет
им. Н.Г. Чернышевского»
На правах рукописи
Айдарова Юлия Сериковна
Неавтономные системы со сложной внутренней динамикой (модель Ханта, двухмодовая система, модель Лоренца)
01.04.03 - Радиофизика
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Саратов – 2009
Работа выполнена на базовой кафедре динамических систем факультета нелинейных процессов Саратовского государственного университета имени
Н.Г. Чернышевского
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор Кузнецов Сергей Петрович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор
Постнов Дмитрий Энгелевич,
кандидат физико-математических наук
Дудко Галина Михайловна
Ведущая организация: Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского
Защита состоится «17» декабря 2009 г. в 17:30 на заседании диссертационного совета Д212.243.01 по специальности 01.04.03 – радиофизика при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, III корпус, ауд. 34.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке СГУ.
Автореферат разослан ___ ноября 2009 г.
| Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук |  | Аникин В.М. |
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы
Неавтономные нелинейные системы представляют собой важный класс динамических систем. Так, в радиофизике и нелинейной динамике большое внимание уделяется проблеме синхронизации нелинейных систем внешним воздействием. В отличие от традиционных воззрений теории колебаний, в современной трактовке под синхронизацией понимают не только возникновение в системе режима той же периодичности, как у воздействующего на нее сигнала, но и ситуации, когда внутренняя динамика системы или внешнее воздействие может быть, например, квазипериодическим или хаотическим. В связи с этим кругом проблем возникает задача исследования, классификации и сопоставления ситуаций, отвечающих различным комбинациям типов собственной динамики и типов внешнего воздействия.
Явления, имеющие место в динамике неавтономных систем, имеют как фундаментальное, так и прикладное значение. Известны многочисленные приложения синхронизации периодических колебаний в радиотехнике (например, стабилизация частоты и фазы мощного источника излучения воздействием маломощного генератора, стабильность которого обеспечить гораздо проще), в механике (управление функционированием вибромеханизмов). В последнее время активно обсуждается использование хаотической синхронизации (или синхронного хаотического отклика) в системах скрытой коммуникации, для управления хаотической динамикой, в биомедицинском аспекте (управление ритмами организмов, динамические болезни).
Обычно неавтономную динамику исследуют применительно к моделям, для которых в автономном режиме имеет место уже изученный в деталях тип поведения, например, периодические колебания, удвоения периода, классический хаос и т.д. В то же время даже для случая квазипериодической динамики, как недавно выяснилось, задача оказывается весьма сложной, многоплановой и не исследованной до конца. В этом плане интересно и важно рассмотреть случаи, когда автономная система демонстрирует различные типы нетривиальной сложной динамики.
Цель и задачи исследования
Целью настоящей работы является анализ и сопоставление динамического поведения модельных неавтономных систем, отвечающего различным комбинациям типов собственной динамики и типов внешнего воздействия на систему.
Объект, предмет и метод исследования
В работе рассматривается несколько модельных систем с периодическим внешним воздействием, присутствие которого существенным образом влияет на динамические процессы и по существу определяет их характер.
Первым объектом служит предложенная в работе Ханта[1] модельная система, в которой неавтономная природа обеспечивает присутствие структурно устойчивого хаотического аттрактора, представляющего собой в сечении Пуанкаре гиперболический аттрактор типа Плыкина. Система Ханта – первый конкретный пример системы с непрерывным временем, реализующий гиперболический аттрактор. Неавтономный характер динамики модели состоит в наличии трех определенных соответствующим образом стадий динамической эволюции за период изменения коэффициентов. В настоящей диссертации проводится анализ модели Ханта с привлечением обширного арсенала вычислительных методов нелинейной динамики. Хотя реализация модели Ханта проблематична из-за ее формальной сложности и искусственности, материал настоящего исследования, как предполагается, послужит основой для работы в направлении создания генераторов структурно устойчивого хаоса с перспективой их приложения в радиофизических системах.
Второй объект – модельная система, которая в автономном режиме демонстрирует два типа колебаний, быстрые и медленные. Задачи о неавтономной динамике подобных систем важны как с общеколебательной точки зрения, так и с точки зрения возможных приложений, например, в биофизике. В построенной на ее основе неавтономной модели главный интерес представляет своего рода конкуренция между типами резонансного отклика, обусловленного присутствием быстрой и медленной мод.
В качестве третьего объекта рассматривается модель Лоренца, которая при вариации параметров демонстрирует более нетривиальные бифуркационные сценарии, нежели другие известные в нелинейной динамике примеры (модель Ресслера, радиофизические генераторы Дмитриева – Кислова, Анищенко – Астахова и др.). Несмотря на обширную литературу, посвященную синхронизации в системе Лоренца, некоторые относящиеся к ней вопросы не получили достаточного освещения. В первую очередь это исследование эволюции устройства плоскости параметров частота – период воздействия в широкой области изменения внутреннего параметра системы (включая ситуации различных типов собственной динамики), а также сравнение различных типов возбуждения – гармоническим и импульсным сигналом.
Положения и результаты, выносимые на защиту
• На защиту выносятся результаты численного исследования динамики модельной системы Ханта, характеризующейся присутствием гиперболического аттрактора, в том числе фазовые портреты, анализ реализаций, показателей Ляпунова и размерностей, спектра Фурье, принадлежащих аттрактору неустойчивых периодических орбит.
• Для модели в виде связанных осцилляторов ван дер Поля и Уеды в пространстве параметров существуют области, в которых система демонстрирует наличие быстрой и медленной компонент динамики, которые могут быть синхронизованы внешним сигналом. При этом внешнее воздействие способно разрушать резонанс между медленными и быстрыми колебаниями системы, и быстрая переменная является более чувствительной к внешнему воздействию.
• Для системы Лоренца с гармоническим и импульсным возбуждением существуют области нетривиальной динамики, даже для тех значений внутренних параметров, когда в автономной системе реализуются регулярные режимы, что обосновано как с помощью численных экспериментов, так и аналитически, путем применения критерия Мельникова.
Аргументированность, достоверность и обоснованность результатов диссертации подтверждается соответствием численных результатов, полученных при различном выборе параметров разностных схем, согласованностью заключений о природе фиксируемых динамических режимов на основе разных методов анализа (показатели Ляпунова, портреты аттракторов, спектры Фурье, карты динамических режимов), а также адекватностью с аналитическими результатами в тех случаях, когда таковые имеются.
Научная новизна работы
• Проведено численное исследование динамики модельной потоковой системы, введенной Хантом и характеризующейся присутствием гиперболического аттрактора, включая построение фазовых портретов, анализ реализаций, вычисление показателей Ляпунова и размерностей, спектра Фурье. Найдены и проанализированы представители множества неустойчивых периодических орбит, принадлежащих хаотическому аттрактору. Устранена неточность в представленной Хантом вычислительной процедуре, в силу которой в его численных расчетах было нарушено свойство гиперболичности аттрактора.
• В модельной системе, характеризующейся присутствием быстрых и медленных колебаний, исследованы синхронные и несинхронные хаотические режимы. Показано, что переход между ними связан с потерей хаотическим аттрактором своей многоленточной структуры и с возникновением дополнительных петель вокруг и внутри основного тела аттрактора, а также появлением мелкомасштабной структуры. Показано, что, независимо от того, к быстрой или к медленной компоненте добавляется внешнее воздействие, область внутренней синхронизации становится меньше, и в системе почти не наблюдаются синхронных хаотических режимов.
• Для системы Лоренца с гармоническим и импульсным возбуждением построены карты динамических режимов на плоскости частота – амплитуда воздействия и изучена их трансформация при вариации внутреннего параметра системы Лоренца.
• Проведено сравнение ситуаций динамики системы Лоренца при воздействии гармонического и импульсного сигнала. В последнем случае установлена иерархическая организация областей периодических режимов с ростом амплитуды воздействия.
• Для неавтономной системы Лоренца с гармоническим воздействием применен критерий Мельникова и показано, что полученные в соответствии с этим критерием области сложной динамики находятся в хорошем соответствии с результатами компьютерного моделирования.
Научно-практическая значимость работы
Выполнение исследования модельной системы Ханта способствовало накоплению опыта работы с гиперболическими аттракторами, что становится актуальным по мере появления примеров физически реализуемых систем, имеющих аттракторы подобного типа, и оценке перспектив их практического применения. Результаты второй главы представляют интерес в контексте более широкого исследования вынужденной синхронизации колебательных движений с разными масштабами времени в системах различной физической природы. Результаты третьей главы дополняют известные результаты по синхронизации системы Лоренца и позволяют более широкого взглянуть на проблему неавтономной динамики такой системы, включая ситуации существенной перестройки внутренней динамики.
Личный вклад
Программирование задач и компьютерные расчеты выполнены лично автором. Автору принадлежит также идея и реализация применения метода Мельникова к оценке области хаотической динамики модели Лоренца. В работах, выполненных в соавторстве, постановка задач и интерпретация результатов осуществлялась совместно с соавторами.
Апробация работы и публикации
Результаты работы были представлены на конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2004, 2005, 2006), XIII зимней школе-семинаре по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 2006), 1-ой, 2-ой и 3-ей Всероссийских конференциях «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов 2006, 2007, 2008).
По теме диссертации имеется 4 публикации в научных журналах из перечня ВАК [1-4], 8 публикаций в трудах научных конференций [5-12] и электронный препринт [13].
Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы. Диссертация содержит 105 страниц текста, включая список литературы из 91 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, положения, выносимые на защиту, научная новизна и научно-практическая значимость полученных результатов.
Первая глава посвящена численному исследованию потоковой системы, для которой отображение Пуанкаре характеризуется присутствием гиперболического странного аттрактора типа Плыкина. Эта система введена в рассмотрение в диссертации Т. Ханта, выполненной в Кембриджском университете под руководством известного математика профессора Роберта МакКэя. Она интересна, прежде всего, тем, что является первой представленной в явном виде модельной потоковой системой с аттрактором такого типа. Модель Ханта можно представить в виде неавтономной системы дифференциальных уравнений относительно двух переменных x и y, с правыми частями, зависящими от x, y и времени t:
. (1)
Рис. 1. Эволюция области 
на плоскости x, y за период 
в модели Ханта.
Фигурирующие здесь функции 
и 
непрерывные и дифференцируемые и имеют период 2 по аргументу t. Способ их задания подразумевает использования различных аналитических соотношений в разных областях фазового пространства на трех стадиях эволюции в пределах периода и сглаживающих функций у границ областей. Детальное описание включает несколько страниц текста и приводится в тексте диссертации в разделе 1.3. Наглядно содержание динамики иллюстрируется на рис.1, где изображена эволюция исходной области на плоскости переменных (x,y) за период времени 2.
В работе Ханта основное содержание раздела, посвященного данной модели, состоит в ее аналитическом исследовании с математическим обоснованием гиперболической природы аттрактора. Эти результаты не вызывают сомнений, однако в представленной Хантом вычислительной процедуре в коде Mathematica нами обнаружена ошибка, наличие которой имеет следствием нарушение гиперболических свойствах аттрактора. В связи с этим приведенные им для данной модели численные результаты и графические иллюстрации некорректны.
В настоящей диссертационной работе выполнено подробное численное исследование динамики модели Ханта, включая построение фазовых портретов гиперболического аттрактора (рис.2), анализ реализаций, вычисление показателей Ляпунова и размерностей, спектра Фурье (рис.3).
 |  |
| Рис. 2. Аттрактор модели Ханта в сечении Пуанкаре (а) и в проекции на плоскость из трехмерного расширенного фазового пространства (б) | |
Рис. 3. Спектр Фурье сигнала, порождаемого динамикой модели Ханта на аттракторе
Для расчета показателей Ляпунова из-за сложности формального определения модели Ханта, была выбрана версия алгоритма Беннетина, не требующая вывода уравнений в вариациях. Получены значения показателей: 
, где в качестве погрешности указана величина среднеквадратичного отклонения. Оценка размерности аттрактора в сечении Пуанкаре по формуле Каплана – Йорке дает 
. Для аттрактора, как объекта в расширенном фазовом пространстве, размерность на единицу больше.
Согласно анализу Ханта, имеют место правила символической динамики траекторий на аттракторе:
(2)
где символы соответствуют подобластям, обозначенным соответствующим образом на рис.4а. Благодаря гиперболической природе аттрактора, динамику вдоль одномерного неустойчивого многообразия можно описать одномерным отображением (рис.4б), а поскольку это многообразие совпадает с самим аттрактором, это соответствует описанию динамики на аттракторе.
Периодические символические последовательности ассоциируются с периодическими орбитами или циклами на аттракторе модели Ханта. Используя правила (2), можно перечислить циклы всевозможного периода. Все циклы неустойчивы. Для их обнаружения в численных расчетах, привлекались специальные процедуры поиска, использующие, в частности итерирование отображения Пуанкаре в прямом и обратном времени.
Рис. 4. Разбиение области, в которой расположен аттрактор в сечении Пуанкаре (а) на подобласти для описания в терминах символической динамики (2). Представление динамики на аттракторе одномерным отображением (б). Показан участок траектории с кодом xcqab...
Во второй главе проведено исследование неавтономной автоколебательной системы в виде связанных осцилляторов ван дер Поля и Уеды, собственная динамика которой характеризуется наличием быстрой и медленной колебательных мод. Эта модель была предложена датским ученым Э. Мозекилде и Л.В. Тюрюкиной в контексте биомедицинских приложений для качественного описания динамики кровяного давления в нефроне (структурный элемент почки).[2] Дифференциальные уравнения имеют вид
(3)
(4)
Первое уравнение описывает неавтономный осциллятор Уеды, в котором 
- параметр диссипации, 
- параметр связи, 
– параметр, характеризующий действие постоянной силы на первый осциллятор. Второе уравнение описывает неавтономный осциллятор ван дер Поля, где 
– управляющий параметр, 
– параметр связи. Постоянная сила вводится в первое уравнение для того, чтобы оказалась нарушена симметрия потенциала, в котором колеблется первый осциллятор. На рис.5 показана карта динамических режимов модели на плоскости параметров, где различные цвета кодируют периоды наблюдаемых колебаний. По периферии рисунка представлены портреты аттракторов в двумерной проекции в нескольких представительных точках.
Рис. 5. Карта динамических режимов и двумерные проекции аттракторов для автономной системы (3-4). Карта и аттракторы построены для 
Были выявлены области внутреннего резонанса в системе. Для этого вычислялось число вращения 
, определяемое как отношение среднего времени возврата траектории быстрых колебаний к среднему времени возврата траектории медленных колебаний на сечение Пуанкаре:
(5)
На рис.6 показана зависимость числа вращения от параметра 
при значении параметра 
Рис. 6. Бифуркационное дерево и график числа вращения в зависимости от параметра 
при 
для системы (3-4). Синхронным режимам соответствуют полочки – области, где число вращения остается постоянным и рациональным. Бифуркационное дерево и зависимость числа вращения от параметра построены для 
Показано, что в исследуемой системе наблюдается резонансный и нерезонансный хаос. Были исследованы свойства этих хаотических режимов и показано, что переход между ними связан с потерей хаотическим аттрактором своей многоленточной структуры, и с возникновением дополнительных петель вокруг и внутри основного тела аттрактора, а также появлением мелкомасштабной структуры.
Исследовано влияние внешнего воздействия периодической последовательности дельта-функций на колебательные моды. Рассмотрены и сравниваются две ситуации: когда воздействия осуществляется, в основном, на медленную:
и быструю моды системы:
На рис.7-8 показаны трансформации зависимости числа вращения от параметра связи 
и частоты внешнего воздействия 
при различных значениях амплитуды сигнала в этих двух случаях. Внешнее воздействие способно разрушать резонанс между медленными и быстрыми колебаниями системы, и быстрая переменная является более чувствительной к внешнему воздействию.
Рис. 7. Зависимость числа вращения от параметра 
и частоты внешнего воздействия 
. Амплитуда воздействия: а) 
, б) 
, в) 
, г) 
, в случае, когда воздействие добавляется в уравнение для медленной переменной. Остальные параметры равны 
Рис. 8. Зависимость числа вращения от параметра 
и частоты внешнего воздействия 
. Амплитуда воздействия: а) 
, б) 
, в) 
, г) 
, в случае, когда внешнее воздействие добавляется в уравнение для быстрой переменной. Остальные параметры равны 
В третьей главе рассмотрена система Лоренца, находящаяся под внешним периодическим воздействием различной формы: гармоническим сигналом и последовательностью импульсов – в виде дельта-функций и прямоугольных.
Для случая гармонического внешнего воздействия неавтономная система Лоренца выглядит следующим образом:
(6)
где 
динамические переменные, а 
внутренние параметры, 
– амплитуда, а 
– частота внешнего воздействия.
Для случая воздействия дельта-импульсами рассматривается система уравнений:
(7)
где 
и 
, соответственно, амплитуда и период внешнего воздействия.
Исследование влияния внешнего воздействия проводилось при постепенном увеличении внутреннего параметра системы Лоренца, приводящего к известным качественным перестройкам динамики автономной системы. Получены карты динамических режимов на плоскости частота – амплитуда внешнего воздействия в широком диапазоне изменения параметров и изучены метаморфозы карт с ростом внутреннего параметра воздействия R в диапазоне 0,7<R<345. Примеры для нижней и верхней границ этого диапазона даны на рис.9.
В диссертации представлены характерные фазовые портреты и бифуркационные деревья. Проведено сопоставление и выявлены отличия случая гармонического и импульсного возбуждения. Проведено исследование для случая прямоугольных импульсов, полученная картина сравнивается со случаем воздействия в виде дельта-функций.
Для неавтономной системы Лоренца с гармоническим воздействием применен критерий Мельникова и показано, что полученные в соответствии с этим критерием области сложной динамики находятся в хорошем соответствии с результатами компьютерного моделирования для различных значений внутреннего параметра R, примеры даны на рис.10.
Рис. 9. Карты динамических режимов системы Лоренца а)-б)под внешним гармоническим воздействием (6), в)-г) под внешним воздействием периодической последовательности 
функций (7). Карты построены для различных значениях параметра R, отвечающим различной динамике автономной системы. Параметры 
и 
фиксированы: 
Рис. 10. Области существования гомоклинической структуры для системы Лоренца под гармоническим внешним воздействием при различных значениях параметра 
(ограничены линиями красного цвета) совмещенные с картами динамических режимов
В заключении приводятся основные результаты и выводы проведенного исследования.
Основные выводы и результаты
- Предпринято достаточно подробное численное исследование динамики модельной системы Ханта с непрерывным временем, обладающей странным аттрактором гиперболического типа, включая построение фазовых портретов, анализ реализаций, вычисление показателей Ляпунова и размерностей, спектра Фурье. Устранена допущенная в работе Ханта неточность. Определены правила символической динамики на странном гиперболическом аттракторе.
- Для модели с двухмодовой динамикой исследовано влияние внешнего воздействия на хаотическую динамику в условиях внутреннего резонанса. Установлено, что медленная колебательная мода более устойчива по отношению к внешнему воздействию в силу концентрации в ней большей части энергии колебаний системы.
- Для системы Лоренца с гармоническим и импульсным возбуждением построены карты динамических режимов на плоскости частота – амплитуда воздействия и изучены их метаморфозы при вариации внутреннего параметра системы Лоренца. Установлена иерархическая организация областей периодических режимов с ростом амплитуды воздействия. Аналитически вычислены области сложной динамики для системы Лоренца под внешним воздействием в виде гармонической функции с помощью критерия Мельникова.
Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах.
- Ю.С. Айдарова, А.П. Кузнецов, Л.В. Тюрюкина. Некоторые особенности синхронизации короткими импульсами системы Лоренца. Письма в ЖТФ, 2007, т.33, №12, С. 16-21.
- Ю.С. Айдарова, А.П. Кузнецов, Л.В. Тюрюкина. Сравнительный анализ синхронизации гармоническим и импульсным сигналом на примере системы Лоренца //Известия вузов – Прикладная нелинейная динамика, 2007, т.15, №4, 55-67.
- Ю.С. Айдарова, Л.В. Тюрюкина. Синхронизация и хаос в автоколебательной системе, динамика которой характеризуется быстрой и медленной колебательными модами. Нелинейный мир, 2007, т.5, № 5, С. 267-268.
- Ю.С. Айдарова, С.П. Кузнецов. Хаотическая динамика модели Ханта – искусственно сконструированной потоковой системы с гиперболическим аттрактором //Известия вузов – Прикладная нелинейная динамика, 2008, т.16, №3, С. 176-196.
- Ю.С. Айдарова, Л.В. Тюрюкина. Эволюция картины синхронизации в неавтономной системе Лоренца при изменении параметра //Нелинейные дни в Саратове для молодых – 2004. Материалы научной школы-конференции. Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2004, С. 151-154.
- Ю.С. Айдарова, Л.В. Тюрюкина. Особенности синхронизации и стабилизации хаоса в системе Лоренца импульсным сигналом //Материалы XIII зимней школы-семинара по СВЧ электронике и радиофизике. 31 января – 5 февраля 2006. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2006, С. 84-85.
- Ю.С. Айдарова. Синхронизация гармоническим и импульсным сигналом в системе Лоренца // I Конференция молодых ученых. Саратов: СФ ИРЭ РАН, 2006, С. 53-54.
- Ю.С. Айдарова, Л.В. Тюрюкина. Синхронизация в системе с двухмодовой динамикой // Нелинейные дни в Саратове для молодых – 2005. Материалы научной школы-конференции. Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2005, С. 142-145.
- Ю.С. Айдарова. Разрушение синхронизации между быстрой и медленной колебательными модами при воздействии периодической последовательностью импульсов на систему с двухмодовой динамикой // Нелинейные дни в Саратове для молодых – 2006. Материалы научной школы-конференции. Саратов, РИО журнала «Известия вузов – ПНД», 2007, С. 154-157.
- Ю.С. Айдарова, Л.В. Тюрюкина. Управление импульсами динамикой бимодальной автоколебательной системы // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. II Конференция молодых ученых. 14-17 мая 2007 г. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2007, С. 67-68.
- Ю.С. Айдарова, С.П. Кузнецов. Численное исследование гиперболического аттрактора Плыкина в модели Ханта //Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. III Конференция молодых ученых. 25-27 июня 2008 г. Изд-во Саратовского университета, 2008, С. 8-10.
- Yu. S. Aidarova, A.P.Kuznetsov, L.V.Turukina. Stabilization of the unstable limit cycle by the pulsed action. XXV Dynamics Days Europe 2005, Berlin, Germany, July 25-28, 2005. Book of Abstracts. Europhysics Conference Series, vol. 29 E, Р. 99-100.
- Yu.S. Aidarova, S.P. Kuznetsov. Chaotic dynamics of the Hunt model, an artificially constructed flow system with a hyperbolic attractor. Preprint arXiv:0901.2727v1 [nlin.CD].
Айдарова Юлия Сериковна
Неавтономные системы со сложной внутренней динамикой (модель Ханта, двухмодовая система, модель Лоренца)
Автореферат
________________________________________________________________
Подписано к печати 10.11.2009. Формат 60х84 1/16.
Бумага офсетная. Гарнитура «Times».
Усл. печ. л. 1,16 (1,25). Тираж 100 экз. Заказ 675/11
________________________________________________________________
Типография ООО «Рем-графикс»
410028, г. Саратов, ул. Мичурина, 98/102
[1] Hunt T.J. Low Dimensional Dynamics: Bifurcations of Cantori and Realisations of Uniform Hyperbolicity, PhD Thesis, Univercity of Cambridge, 2000, 121pp.
[2] A.P. Kuznetsov, E. Mosekilde and L.V. Turukina. Synchronization in systems with bimodal dynamics. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 371, 2006, No 2, 280-292.
