Модульно-геометрический подход к моделированию процесса формирования микрорельефа поверхности
На правах рукописи
Белкин Евгений Александрович
МОДУЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД
К МОДЕЛИРОВАНИЮ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ МИКРОРЕЛЬЕФА ПОВЕРХНОСТИ
05.01.01 Инженерная геометрия и компьютерная графика
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
диссертации на соискание ученой степени
доктора технических наук
Нижний Новгород – 2011
Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Госуниверситет-УНПК», г. Орел
Научный консультант
заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор
Степанов Юрий Сергеевич
Официальные оппоненты:
доктор технических наук, профессор
Хранилов Валерий Павлович,
доктор технических наук, профессор
Решетников Михаил Константинович,
доктор технических наук, профессор
Цеханов Юрий Александрович
Ведущая организация
Московский государственный технологический университет «СТАНКИН»
Защита состоится « 27 » марта 2012 г. в 15 час. 00 мин на заседании диссертационного совета ДМ 212.162.09 при ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу: 603950, г.Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65, корпус 5, ауд. 202.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет».
Автореферат разослан « 27 » февраля 2012 года.
Ученый секретарь диссертационного совета
кандидат педагогических наук, доцент Н.Д.Жилина
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В настоящее время каждая из моделей САПР, описывающая отдельную сторону процесса обработки детали, опирается на положения той научной дисциплины, предметом изучения которой непосредственно являются отдельные элементы этого процесса. Подход, который бы позволил учесть основные технологические факторы в аналитическом описании процесса формирования микрорельефа, исходя из единой аксиоматики, отсутствует.
Окончательное формирование микрорельефа поверхности деталей происходит на этапе выполнения финишных операций обработки по регламентируемым параметрам. Регламентация параметров обусловлена необходимостью соответствия формируемого микрорельефа виду изнашивания функциональной поверхности детали в процессе ее эксплуатации.
Необходимость учета трехмерных характеристик микрорельефа является особо актуальной при изготовлении деталей с заданными эксплуатационными свойствами, к которым в трибосопряжениях предъявляются высокие требования. Известно, например, что износостойкость, усталостная прочность и другие эксплуатационные свойства в значительной степени определяются формой микрорельефа поверхности, а именно: кривизной вершин и впадин микронеровностей.
Процесс обработки детали представляет собой единую замкнутую структуру. Одним из результатов этого процесса является сформированная топография микрорельефа функциональной поверхности детали.
В расчете формообразующей поверхности инструмента отсутствует расчет топографии микрорельефа. Это связано с отсутствием достаточной информации о геометрической структуре микрорельефа как трехмерного образа. Для того чтобы повысить точность оценки микрогеометрии поверхности, следует дополнительно ввести геометрические характеристики, непосредственно связанные с кривизной поверхности. В настоящее время ни одна из применяемых геометрических моделей микрорельефа не содержит подобных геометрических характеристик, нет обоснованных трехмерных геометрических моделей микрорельефа в аналитическом описании формообразующей и обработанной поверхности.
Топография микрорельефа детали оценивается, как правило, после ее обработки, а не в процессе формирования микрорельефа. Методы инженерной геометрии, позволяющие связать кривизну поверхности с ее поверхностью соприкосновения, не разработаны. Поэтому при геометрическом представлении микрорельефа не представляется возможным восстановить его структуру с достаточной степенью точности, необходимой для прогнозирования его топографии и для контроля его геометрических параметров в ходе процесса обработки детали.
Таким образом, разработка подхода к моделированию процесса формирования микрорельефа поверхности, позволяющего определить систему геометрических характеристик, содержащих достаточно полную информацию для оценки микрорельефа, является актуальной.
Цель и задачи работы. Целью диссертации является разработка теоретических основ и методов модульно-геометрического подхода к моделированию процесса формирования микрорельефа поверхности.
Для реализации цели работы поставлены следующие задачи:
- разработать теоретические основы и методы модульно-геометрического подхода, позволяющие аналитически описывать топографию микрорельефа поверхности и процесс его формирования;
- разработать трехмерную геометрическую модель микрорельефа поверхности;
- разработать систему критериев оценки топографии микрорельефа;
- разработать имитационную модель процесса формирования микрорельефа поверхности по заданным геометрическим характеристикам;
- разработать алгоритмы и комплекс программ, реализующие модульно-геометрический метод моделирования микрорельефа поверхности;
- провести натурный эксперимент, подтверждающий корректность применения трехмерной геометрической модели микрорельефа.
Предмет и объект исследования. Предметом исследования являются методы модульно-геометрического подхода моделирования формирования микрорельефа поверхности шлифованием. Объектом исследования является микрорельеф поверхности.
Научная новизна работы состоит в том, что:
- разработаны теоретические основы геометрического моделирования, позволяющие аналитически описывать процессы формирования микрорельефа поверхности;
- разработаны методы геометрического подхода, основанные на модульном принципе, позволяющие описывать топографию микрорельефа формируемых поверхностей, при применении которых определяется естественная кривизна поверхности в локальной области данной точки;
- разработаны и реализованы принципы построения трехмерной геометрической модели, позволяющие описывать микрорельеф поверхности, с применением системы критериев оценки, содержащих наиболее полную информацию о геометрии поверхности;
- получено аналитическое представление параболоида, соприкасающегося с поверхностью в локальной области данной точки. Это представление может применяться для численного расчета трехмерной геометрической модели микрорельефа и отличается от известных тем, что его коэффициенты – главные кривизны поверхности, входящие в аналитическое представление обрабатываемой поверхности;
- разработана система новых критериев для оценки топографии микрорельефа поверхности, представляющая собой совокупность геометрических параметров соприкасающегося параболоида – главные кривизны и высота вершины параболоида от координатной плоскости;
- разработаны алгоритмы и методики численного расчета микрорельефа поверхностей (плоской, круглой цилиндрической, каркасной дискретно-определенной, поверхности тела неправильной формы), отличающиеся от известных тем, что в них рассматривается суперпозиция геометрии и микрогеометрии;
- разработана и реализована имитационная модель формирования микрорельефа поверхности по заданным геометрическим характеристикам, которая позволяет проводить наиболее полный учет технологических факторов, оказывающих влияние на формирование микрорельефа.
Достоверность результатов. Исследования опирались на методы дифференциальной и прикладной геометрии, тензорного анализа, кинематики, теории формообразования, сформулированных для моделирования микрорельефа поверхности, трактуемого как трехмерный геометрический образ.
Расчет аналитического задания соприкасающегося параболоида, позволяющего восстановить в узлах каркасной модели кривизну поверхности, проводился на основе уравнения Гаусса и тензора Римана-Кристоффеля, выраженного через коэффициенты второй квадратичной формы поверхности.
В основу исследования влияния режимов обработки на формирование микрорельефа положена теоретически и экспериментально обоснованная математическая модель – трехмерная геометрическая.
Корректность уравнений аналитического задания поверхности, образуемой соприкасающимся параболоидом при относительном движении инструмента, применяемые в имитационной модели, была подтверждена при обработке экспериментальных данных.
Полученные результаты согласуются с современными научными представлениями и данными, полученными при обзоре отечественных и зарубежных информационных источников, а также подтверждаются оригинальными исследованиями автора и их представительным обсуждением при публикациях в научных изданиях и выступлениях на научных конференциях международного и российского уровней. Основные технические решения защищены патентами РФ на изобретения, а разработанные программные продукты - свидетельствами Роспатента.
Результаты работы внедрены в производство.
Практическая ценность работы состоит в том, что:
- разработана методика численного анализа микрогеометрии поверхности;
- разработан комплекс программ для различных этапов формирования микрорельефа в случае абразивной обработки;
- разработано программное обеспечение для расчета геометрических характеристик топографии микрорельефа в зависимости от условий их получения;
- разработано программное обеспечение для построения модульной геометрической модели микрорельефа функциональной поверхности по профилограммам;
- разработаны рекомендации по оценке топографии базовой площадки поверхности в зависимости от режимов шлифования.
Тема диссертационной работы соответствует теме гранта РФФИ (ЦЧР 03-01-96466) (2003-2004 гг.) и гранта Министерства образования и науки России по фундаментальным исследованиям в области технических наук (ТО2-06.5-2992) (2003-2004 гг.).
Личный вклад. Соискателю принадлежат: разработка и теоретическое обоснование методов модульно-геометрического подхода, постановка и решение задачи построения трехмерной геометрической модели, описывающей микрорельеф поверхности на основе модульного принципа структурирования поверхности сложной формы с решением вопросов негладкой «сшивки» отдельных модулей; моделирование формирования микрорельефа поверхности шлифованием; вывод формул, связывающих перемещение инструмента относительно детали с геометрическими параметрами формируемого микрорельефа; комплекс программ для исследования особенностей микрорельефа после обработки.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научно-технических конференциях и семинарах международных: 1) 8-й по шлифованию, абразивным инструментам и материалам «Intergrind-91» (Ленинград, 1991); 2) «Современные технологические и информационные процессы в машиностроении» (Орел, 1993); 3) «Технология-94» (Санкт-Петербург, 1994); 4) «Качественная оценка поверхностного слоя деталей машин в трехмерном пространстве» (Орел, 2001); 5) «Методика разработки математической модели рельефа абразивного инструмента» (Брянск, 2001); 6) «Математическое моделирование трехмерного изображения геометрических параметров поверхностного слоя деталей машин» (Владимир, 2001); 7) «Обобщенная математическая модель комплексного анализа формирования геометрических параметров качества после плоского шлифования» (Москва, 2002); 8) «Фундаментальные и прикладные проблемы технологии машиностроения» (Орел, 2002); 9) «Фундаментальные и прикладные проблемы технологии машиностроения» (Орел, 2003); всесоюзной 1-й по математическому и машинному моделированию (Воронеж, 1991); республиканской: «Автоматизация процессов механообработки и сборки в машино- и приборостроении» (Киев, 1991); межрегиональных: 1) «Современные методы повышения качества и надежности продукции на предприятиях машиностроения» (Орел, 1990); 2) «Проблемы совершенствования и внедрения новой технологии на предприятиях машиностроительной промышленности» (Орел, 1990); 3) «Повышение надежности и долговечности выпускаемой продукции технологическими методами в машиностроении» (Орел, 1991); 4) «Разработка и внедрение новых ресурсосберегающих технологий в области машиностроения» (Орел, 1991); 5) «Прогрессивная технология механической обработки и сборки в машиностроении» (Орел, 1992); региональных: 1) «Перспективные направления развития машиностроения Забайкалья» (Чита, 1991); 2) «Автоматизация исследования, проектирования и испытаний сложных технических систем и математического моделирования» (Калуга, 1991); конференциях и семинарах: 1) «Прогрессивные технологические процессы в обрабатывающем и сборочном производстве» (Санкт-Петербург, 1992); 2) «ХХШ Гагаринские чтения» (Москва, 1997).
На защиту выносятся:
- теоретически и экспериментально обоснованные методы модульно-геометрического подхода моделирования формирования микрорельефа поверхности;
- трехмерная геометрическая модель микрорельефа поверхности;
- система геометрических характеристик оценки топографии микрорельефа;
- методика расчета аналитического представления для соприкасающегося параболоида;
- методика численного расчета микрорельефа плоской поверхности в декартовой системе координат;
- методики численного расчета микрорельефа круглой цилиндрической поверхности, каркасной дискретно-определенной и поверхности тела неправильной формы в криволинейной системе координат;
- имитационная модель формирования микрорельефа поверхности по заданным геометрическим характеристикам.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 55 печатных работ, в том числе 8 патентов, 3 свидетельства, 2 монографии.
Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 322 страницах машинописного текста, содержит 92 рисунка, 15 таблиц и список литературы из 205 наименований на 20 страницах. Диссертация состоит из введения, 6 глав, общих выводов и приложений.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель и изложены основные результаты работы.
В первой главе анализируется современное состояние математического моделирования микрорельефа поверхности. Рассмотрены современные взгляды на методы оценки и описания микрорельефа формообразующей и обработанной поверхности. Определена степень недостатка информации для структурирования трехмерной геометрической модели микрорельефа. Выполнен обзор существующих методов аппроксимации поверхности сложной формы и проанализированы причины, сдерживающие применение трехмерных геометрических моделей микрорельефа в теории формообразования. Поставлены задачи исследования.
Разработка методов моделирования позволяет восполнить информационный недостаток в описании микрорельефа поверхности и занимает важное место в теории формообразования. Крупный вклад в развитие теории формообразования внесли Г.И. Грановский, Е.Г. Коновалов, С.И. Лашнев, П.Р. Родин, Б.А. Перепелица, С.П. Радзевич, Ю. С. Степанов и др., которые разработали новые методы математического обеспечения поверхности сложной формы. Ряд понятий, введенных ими, является общепризнанным.
Одной из причин, существенно влияющих на информационную полноту аналитического описания микрорельефа поверхности, является применение итерационных и статистических методов, в основе которых отсутствует понятие кривизны поверхности в локальной области заданной точки – вершине модуля соприкасающегося параболоида. Кривизна оценивается тензором Римана-Кристоффеля.
Метод статистического описания абразивных поверхностей при помощи теории цепей Маркова позволяет построить только двумерную модель, включающую такты резания вдоль идеализированной линии в направлении резания. При этом невозможен учет геометрической формы режущих кромок в направлении, перпендикулярном к вектору скорости резания, и их положении по отношению к последующим кромкам, что необходимо при объяснении процесса съема материала.
Основная причина, не позволяющая построить достаточно строгую трехмерную геометрическую модель поверхности, адекватную реальному микрорельефу, использование в одномерных моделях микрорельефа совокупности параметров шероховатости Ra, Rz, Rmax и др. и параметров 
- в двумерных моделях.
Таким образом, основная задача исследования состоит в разработке достаточно полной и обоснованной трехмерной геометрической модели микрорельефа в зависимости от вида поверхности (формообразующей и обработанной) с использованием новых научных подходов.
Во второй главе представлены разработанные методы геометрического подхода моделирования микрорельефа поверхности. Дано теоретическое обоснование модульно-геометрического подхода моделирования микрорельефа.
Классификация поверхностей сложной формы с точки зрения геометрии была разработана различными авторами (Четверухин Н.Ф., Фролов С.А.). В данной работе разработана классификация поверхностей сложной формы с точки зрения теории формообразования.
Поверхность сложной формы структурируется на основе модульного принципа, метод структурирования определяется задачами теории формообразования.
Модульно-геометрический подход, который используется для решения этих задач (прямой: определения формообразованной поверхности по известной формообразующей и параметрам установки инструмента и обратной), заключается в аппроксимации локального участка поверхности соприкасающимся параболоидом. Геометрической характеристикой для оценки кривизны локального участка является тензор Римана-Кристоффеля. Аналитическое задание соприкасающегося параболоида как геометрического образа второго порядка соприкосновения с данным локальным участком поверхности определяется из разложения в ряд Тейлора. Ряд Тейлора также определяет геометрические образы более высокого порядка соприкосновения: куболоид, квадролоид и т.д. Кривизна поверхности в точке соприкосновения оценивается величиной угла поворота вектора, перенесенного параллельно самому себе по замкнутому контуру, охватывающему точку соприкосновения и принадлежащему ее локальной области, на соприкасающейся поверхности: параболоиде, куболоиде, квадролоиде и т.д. Угол поворота на рассматриваемой поверхности зависит от координат вектора 
, где Г - коэффициенты аффинной связности второго рода, индексы v,
=1,2; 
, - дифференциалы координатных векторов. Этот вектор равен разности двух векторов, полученных в результате параллельного переноса вектора 
из вершины инфинитезимального параллелограмма в противолежащую вершину вдоль его сторон, составляющих различные части замкнутого контура. С помощью приведенной формулы может быть рассчитана кривизна куболоида
- тензор Римана-Кристоффеля, существенная компонента которого R1212 дает представление об угле поворота вектора при параллельном переносе по замкнутому контуру на соприкасающемся параболоиде. Контур ограничивает локальную область вершины параболоида. С помощью данной формулы может быть рассчитана кривизна параболоида.
Для решения поставленной в исследовании задачи следует ограничиться аппроксимацией локального участка соприкасающимся параболоидом, так как кривизна поверхности в точке соприкосновения равна кривизне соприкасающегося параболоида.
Дискретно-определенную поверхность обрабатываемой детали в общем случае можно аппроксимировать совокупностью модулей, имеющих гладкую «сшивку». Каждый модуль представляет собой соприкасающийся параболоид определенного типа.
Получим аналитическое представление для соприкасающегося параболоида через главные кривизны поверхности. Известно, что полная и средняя кривизна поверхности соприкасающегося параболоида могут быть представлены уравнениями:
где К – гауссова или полная кривизна поверхности, Н – средняя кривизна поверхности, k1, k2 – главные кривизны поверхности, g11, g12, g22 – компоненты метрического тензора. В данной системе уравнений использован тензор Римана- Кристоффеля и уравнение Гаусса.
Допустим, что для точки соприкосновения исследуемой поверхности и соприкасающегося параболоида в приближении 
, где данная точка имеет координаты X=0, Y=0.
Тогда аналитическое представление для соприкасающегося параболоида будет иметь вид:
(1)
Полученное представление (1) через главные кривизны поверхности является важным результатом, на основе которого сделан численный расчет модульной геометрической модели микрорельефа поверхности.
Определена система критериев для количественной оценки топографии микрорельефа: k1, k2 – главные кривизны поверхности, Rz – высота микронеровности. Выдвинута теоретически обоснованная гипотеза об информационной полноте системы критериев топографии микрорельефа.
Геометрическая модель микрорельефа представляет собой совокупность модулей соприкасающихся параболоидов, имеющих негладкую или гладкую «сшивку» (рис. 1, 2).
Каждый соприкасающийся параболоид может быть представлен как один из четырех типов, указанных в табл. 1. Каждый тип соприкасающегося параболоида имеет соответствующую ориентацию по отношению к оси Z в локальной системе координат XYZ. Топография микрорельефа формообразующей поверхности инструмента состоит из множества различных типов соприкасающегося параболоида.
Таблица 1. Типы соприкасающегося параболоида
| Тип поверх- ности | Название | Приведенное уравнение | Вид поверхности | В11 | В22 |
| I | Эллиптический параболоид |   |  р=1 |  |  |
| II | Гиперболический параболоид |   |  р=1 |  |  |
| III | Параболический цилиндр |   |  р=1 |  | 0 |
| IV | Плоскость |   |  | 0 | 0 |
Проверка точности модели при аппроксимации поверхности микрорельефа по экспериментальным данным состояла в оценке максимальной погрешности 
при сопряжении поверхностей, рассчитанных для точек, лежащих на выбранной площадке на взаимно перпендикулярных направлениях. Значение 
определялось как отношение интервала изменения значений экспериментальных данных по оси Z: 
-
к максимальному скачку по оси Z при сопряжении двух соседних параболоидов. Проведенные расчеты показали, что точность представления поверхности зависит от числа расчетных точек, приходящихся на интервал пика или впадины микрорельефа, при условии: выбранный шаг по координатным осям при оценке равен или меньше шага микронеровностей на профилограмме.
В третьей главе даны основные определения и аксиоматика аппарата кубических матриц. Аксиоматика аппарата кубических (пространственных) матриц позволяет построить теорию аппроксимации модулей поверхности сложной формы соприкасающимися куболоидами –алгебраическими поверхностями третьего порядка (МП СФ СК).
Предложенные операции значительно упрощают исследования кубичных форм, необходимых для построения классификации модулей поверхности (МП) на основе соприкасающихся куболоидов. По аналогии с алгебраическими поверхностями второго порядка разработана классификация алгебраических кривых третьего порядка (АКТП) на плоскости в соответствии с группой движений (пять видов) и установлена структурная связь с классификацией Ньютона (семь видов).
Разработана классификация плоских АКТП на основе пространственных матриц (третьего порядка) по инвариантам (пять видов), которая позволяет перейти к классификации поверхностей третьего порядка (ПТП).
Разработана классификация ПТП на основании координатных преобразований: параллельного переноса системы координат и ее поворота вокруг выбранной оси из группы движений общего уравнения ПТП, что позволило установить существование девяти видов ПТП (табл. 2), только три из которых представляют соприкасающимися куболоидами. Полученная классификация позволяет перейти к классификации МП СФ на основе соприкасающихся куболоидов.
Таблица 2. Классификация поверхностей третьего порядка в соответствии с группой движений
| Вид ПТП | Классификация ПТП в соответствии с группой движений  | Название куболоидов |
| I |  | |
| II |  | |
| III |  | |
| IV |  | |
| V |  | Параболический куболоид кубический |
| VI |  | |
| VII |  | |
| VIII |  | Параболический куболоид расходящийся |
| IX |  | Трезубцевый куболоид |
Разработана обобщенная классификация поверхности сложной формы на основе соприкасающихся параболоидов и установлено, что на третьем члене геометрический ряд обрывается, так как нельзя определить тензор - аналог тензора Римана-Кристоффеля. На основании исследований получена классификация соприкасающихся куболоидов по инвариантам (табл. 3). Эта классификация позволяет использовать геометрические структуры соприкасающихся куболоидов для аппроксимации поверхностей сложной формы.
Таблица 3. Классификация соприкасающегося куболоида по инвариантам
| Вид поверхности | Приведенное уравнение СК в инвариантах | Название поверхности |
| V |  | Параболический куболоид кубический |
| VIII |  | Параболический куболоид расходящийся |
| IX |  | Трезубцевый куболоид |
В четвертой главе разработаны трехмерные геометрические модели микрорельефа поверхностей, рассматриваемых в теории формообразования: плоской, круглой цилиндрической, каркасной дискретно-определенной и поверхности тела неправильной формы. Сформулирована задача расчета коэффициентов модулей (табл. 4) микрорельефа поверхности. В общем случае поверхность разбивается через выбранный шаг по оси z (декартовой системы координат xyz) плоскостями, параллельными плоскости xy, и однопараметрическим семейством поверхностей. Шаг разбиения семейством поверхностей задается по параметру семейства. Определяются точки пересечения микрорельефа и семейств параллельных плоскостей и поверхностей. По пяти точкам восстанавливается модуль – локальный участок поверхности – как часть поверхности соприкасающегося параболоида.
Таблица 4. Определение вида модуля трехмерной геометрической модели (ТГМ) микрорельефа
| Вид модуля ТГМ | Знак коэффициентов |
k1X2+k2Y2  -2Z; | k1>0; k2>0; |
k1X2+k2Y2  -2Z; | k1<0, k2<0; |
k1X2+k2Y2  2Z; | k1>0; k2<0; (k1<0, k2>0); |
k2Y2  -2Z; | k1=0; k2>0, (k1=0, k2<0); |
Z 0; | k1=0; k2=0. |
Решение задачи расчета коэффициентов модулей в частном случае для плоской поверхности детали состоит в следующем. В глобальной системе прямоугольных декартовых координат задано поле точек, определяемое n значениями по оси 
и m значениями по оси Y. Для каждой точки xi,yj, 
известно значение zij (рис.3, 4). Шаг разбиения по оси 
: 
. Шаг разбиения по оси 
: 
.
В узле (
) на базовой площадке Lx x Ly, где 
, 
, 
; 
по точкам пересечения реальных профилей микрорельефа определяют радиусы кривизны Rl1, Rl2 по трем точкам в сечениях 
(рис. 5, 6).
На основе теоремы Менье вычисляют нормальные кривизны в сечениях 
:
(2)
где 
и 
- углы между главной нормалью параболоида и нормалями дуг окружностей в сечениях 
.
Предположим, что нормальная кривизна в одном из сечений равна главной кривизне k1 =k1n, (2) тогда по индикатрисе Дюпена определяют главную кривизну k2 в сечении, перпендикулярном выбранному сечению (рис. 7, 8).
По значениям k1 и k2 определяют вид модуля геометрической модели в локальной декартовой прямоугольной системе координат XYZ с началом координат в узле -
.
Относительная ошибка, допускаемая при определении Гауссовой кривизны на основе выбора главной кривизны, вычисляется по формуле:
(3)
uде 
.
На основе исследования уравнения (3) получены следующие результаты:
- если 
, то 
и К1=К2, т. е. 
и 
являются нормальными кривизнами;
- если 
наперед заданная величина, то, изменяя шаги разбиения параллельными плоскостями микрорельефа на площади LxxLy по осям X и Y, можно определить соответствующее значение угла 
.
Разработаны методики численного расчета микрорельефа поверхностей: плоской, круглой цилиндрической, каркасной дискретно-определенной и поверхности тела неправильной формы. На рис. 9 приведена блок-схема расчета параметров параболоида трехмерной геометрической модели в расчетной точке 
.
Методика численного расчета микрорельефа круглой цилиндрической поверхности, например, шлифовального круга прямого профиля, позволяет определить микрорельеф формообразующей поверхности. Микрорельеф поверхности шлифовального круга прямого профиля в рамках модульной геометрической модели представляет собой совокупность режущих кромок абразивных зерен на его поверхности. На рис. 10 приведена модель разбиения микрорельефа периферии шлифовального круга взаимно перпендикулярными плоскостями. Шаг разбиения параллельными плоскостями микрорельефа по оси z равен z; радиальными на боковой поверхности кругового цилиндра по углу равен.
Рисунок 9 - Блок-схема расчета параметров параболоида трехмерной геометрической модели в расчетной точке 
Рисунок 10 - Модель разбиения микрорельефа периферии шлифовального круга взаимно перпендикулярными плоскостями
Численный расчет коэффициентов соприкасающихся параболоидов проводится по методу, разработанному для структурирования трехмерной геометрической модели микрорельефа плоской поверхности.
Координаты вершин соприкасающихся параболоидов определяются в цилиндрической системе координат. Модульная геометрическая модель микрорельефа формообразующей поверхности шлифовального круга позволяет дать достаточно полную оценку режущей способности инструмента.
Методика численного расчета модели микрорельефа каркасной дискретно-определенной поверхности, например, пера лопатки газовой турбины, включает трехмерную геометрическую модель пера, структурированную на основе гладкой сшивки косых геликоидов.
Аналитическое задание пера лопатки газовой турбины (рис. 11) в рамках трехмерной геометрической модели вычисляется по формуле:
, (4)
, (5)
где 
- номер модуля косого геликоида аппроксимирующего перо лопатки, 
- максимальный угол поворота системы координат xiyi относительно начала координат, pim – параметр параболы 
pi - параметр параболы 
hi – высота косого геликоида с номером i.
Рис. 11 - Модульно-геометрическая модель лопатки газовой турбины
ADA’D’, ABA’B’, BCB’C’, CDC’D’ – модули – косые геликоиды
Для математического моделирования микрорельефа пера (4) используют разбиение параллельными плоскостями косого геликоида с номером i, по оси zi 
, где 
- номер плоскости, параллельной плоскости xiyi. В случае разбиения однопараметрическим семейством косых геликоидов, имеющих общую прямую соприкосновения - ось zi, рассматривается разбиение профиля микрорельефа в плоскости с номером j семейством парабол:
, (6)
где p - шаг разбиения семейства парабол по параметру pij, т. е. 
, 
- шаг разбиения семейства парабол по оси yij, 
<0, 
. Система координат xijyij получена из системы координат xiyi поворотом на угол 
в плоскости xiyi и параллельным переносом по оси zi. Координаты вершин соприкасающихся параболоидов определяются в криволинейной системе координат xijyij. Координаты вершины соприкасающегося параболоида определяются через расстояния SijA от начала координат до точки пересечения микрорельефа – A, в плоскости с номером j с параболой из семейства (6).
Соотношения для определения абсциссы и ординаты точки А:
, (7)
.
Известные методы численного расчета не позволяют определить топографию микрорельефа (7) обработанной каркасной дискретно-определенной поверхности.
Таким образом, методика численного расчета микрорельефа поверхности тела неправильной формы, например, абразивного зерна, позволяет получить качественно новые результаты в математическом описании ее поверхности. Поверхность абразивного зерна представлена как трехмерный геометрический образ - совокупность модулей, имеющих негладкую «сшивку». Каждый модуль поверхности имеет аналитическое представление в локальной системе координат, связанной с его вершиной.
В пятой главе разработана имитационная модель формирования микрорельефа плоской поверхности в зависимости от режимов обработки на примере плоского шлифования. Разработанная модель учитывает изменение топографии микрорельефа поверхности обрабатываемой детали в зависимости от угловой скорости вращения круга от скорости движения детали, от времени обработки и глубины шлифования.
Параметрическое задание соприкасающегося параболоида:
; 
; 
; (8)
где t1, t2
.
Аналитическое задание поверхности, образуемой соприкасающимся параболоидом (8) при относительном движении абразивного инструмента, можно получить исходя из матричного уравнения:
(9)
откуда
где xyz – система координат, связанная с деталью, y0=R – радиус круга, w – угловая скорость круга, v – скорость движения центра круга относительно детали, t – время движения круга относительно детали, 
вектор сдвига начала системы координат 
относительно начала системы координат xyz, 
(рис. 12).
Рисунок – 12. Преобразование системы координат 
шлифовального круга в новую систему координат 
: WK – угловая скорость круга, V – скорость круга в системе координат 
Вывод матричного уравнения (9) был сделан на основе общего уравнения отображения аффинного пространства, рассматриваемого в теории формообразования поверхностей резанием.
Соприкасающийся параболоид в системе координат x1y1z1,связанной с кругом, задается уравнением:
(10)
где 
- угол, определяющий соответствующую j+1 радиальную плоскость. Плоскость проходит через ось вращения круга; z1, x1,j+1; y1,j+1, z1,I – координаты, определяющие вершину соприкасающегося параболоида в системе координат x1y1z1, i – номер плоскости, параллельной плоскости z1=0, 
- углы поворота при переходе от системы координат x1y1z1 к системе координат, связанной с вершиной соприкасающегося параболоида.
Поверхность соприкасающегося параболоида как модуля микрорельефа поверхности детали в системе координат xyz задается следующим образом:
(11)
;
где k3, k4 – главные кривизны, t3, t4
, xi+1, yj, zk+1 – координаты, определяющие вершину соприкасающегося параболоида в системе координат xyz, 
- углы поворота при переходе от системы координат xyz к системе координат, связанной с вершиной соприкасающегося параболоида.
Модуль микрорельефа плоской поверхности детали после срезания материала модулем микрорельефа периферии круга определяется на основе уравнений (10, 11) из условия: 
, 
, 
. (рис. 13).
Рис. 13. Схема формирования модуля микрорельефа детали за один проход модуля микрорельефа круга: 1-модуль микрорельефа детали, 2-модуль микрорельефа круга
В предложенной геометрической модели абразивной обработки (случай плоского шлифования) учитывается реальное расположение и геометрическая форма абразивных зерен на поверхности круга, глубина и ширина канавки от зерен, перекрытие канавок в процессе шлифования, а также реальная топография микрорельефа плоскостей поверхности детали (рис.14).
Трехмерная геометрическая модель абразивного инструмента - абразивного зерна - представлена как не гладкая «сшивка» соприкасающихся параболоидов, которая позволяет аналитически описать макрогеометрию и микрорельеф абразивного зерна. Таким образом, в рамках одной модели однозначно оценивается геометрическая форма зерна, а в целом, режущих кромок и микрорельефа.
В шестой главе численно исследовано изменение микрорельефа в зависимости от режимов обработки на основе натурного эксперимента.
Цель эксперимента: определить область применения трехмерной модели, основанной на модульно-геометрическом подходе, для описания формирования микрорельефа в случае абразивной обработки.
Задачи:
1. Получить топографию микрорельефа плоской поверхности, образцов с различными физико-механическими свойствами в результате их обработки шлифованием при различных режимах.
2. Оценить точность прогнозирования топографии микрорельефа, полученного в процессе плоского шлифования.
Для эксперимента были выбраны 3 образца изготовленные в виде шестигранника, диаметр каждого образца 8 мм. Образцы из стали 50ХГА (сырой), стали 50ХГА после термообработки, твердого сплава Co8(W) (фирма «Гюринг»). Обрабатывалась шлифованием, каждая из 6 плоскостей каждого из образцов. Абразивный инструмент – алмазный круг ЧК (чашка коническая), Toolgal 639435/02 D64 C100 45d RM515. Зернистость круга – диаметр абразивного зерна: 5 мкм, диаметр – 350 мм. Обработка производилась на шлифовальном заточном пятикоординатном станке ЧПУ ВЗ497Ф4.
Выводы:
– интерференция поверхности микрорельефа абразивного инструмента и поверхности микрорельефа детали зависит от времени взаимодействия абразивных зерен с материалом на контактной площадке и физико-механических свойств материала: упругости, пластичности, вязкости, прочности, твердости;
– точность оценки прогнозируемой топографии микрорельефа по параметрам: k1, k2, Rz по отношению к топографии, полученной в результате шлифования закаленных сталей и твердых сплавов, возрастает с уменьшением глубины шлифования и подачи и увеличением скорости резания. Процесс микрорезания сопровождается пластическим оттеснение материала по краям кромок канавки в случае обработки сырых сталей. В модели топографии микрорельефа не учитываются пластические деформации, поэтому точность оценки микрорельефа уменьшается;
– модульно-геометрическая модель микрорельефа может быть применена для оценки и прогнозирования топографии микрорельефа детали из закаленных материалов при тонких, прецизионных и отделочных процессах обработки.
Для минимизации погрешности прогнозируемой топографии микрорельефа, полученной в результате плоского шлифования, деталь должна быть изготовлена из твердого сплава, скорость круга должна быть не менее 35 м/с, продольная подача не более 1 м/мин, глубина шлифования не более 0,01 мм.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
- Разработаны теоретические основы геометрического моделирования микрорельефа поверхности для аналитического описания его топографии.
- Разработаны методы модульно-геометрического подхода, позволяющие на основе применения трехмерных геометрических моделей аналитически описать процесс формирования микрорельефа поверхности. Предложен общий подход, который обеспечивает наиболее полный учет технологических факторов, оказывающих влияние на эксплуатационные свойства детали.
- Решена задача построения трехмерной геометрической модели, описывающей микрорельеф поверхности на основе модульного принципа структурирования поверхности сложной формы. В отличие от известных моделей для описания микрорельефа данный подход позволяет дополнить каркасную модель определением кривизны в узлах поверхности.
- Предложена новая система критериев оценки топографии микрорельефа: k1,k2 – главные кривизны поверхности, Rz – высота микронеровности, для количественной оценки микрорельефа. Экспериментально подтверждена гипотеза о полноте информации предложенной системы критериев.
- Разработана имитационная модель формирования микрорельефа по заданным геометрическим характеристикам. Выведены новые уравнения аналитического представления поверхности, формируемой соприкасающимися параболоидами при относительном движении инструмента.
В отличие от известных уравнений профиля детали и инструмента, описывающих плоские геометрические модели обработки, в них содержится достаточно полная информация об изменении геометрии и микрогеометрии формообразующей и обработанной поверхности в зависимости от режимов обработки, параметров установки инструмента.
6. Разработаны методики расчета топографии плоской, круглой цилиндрической, каркасной дискретно-определенной поверхностей и поверхности тела неправильной формы.
7. Разработаны и внедрены в промышленную практику прикладные программы: автоматизированного расчета геометрических характеристик топографии микрорельефа в зависимости от условий из получения, построения геометрической модели микрорельефа функциональной поверхности по профилограммам для определения параметров контакта шероховатых поверхностей.
8. На основе натурного эксперимента определена область применения модульной геометрической модели для описания формирования микрорельефа в различных случаях абразивной обработки.
9. Разработанный способ оценки микрогеометрии обрабатываемой поверхности рекомендуется к практическому использованию на машиностроительных предприятиях, к чистоте обработки поверхностей изделий которых предъявляются повышенные требования.
Публикации по теме диссертационной работы
Монографии
- Степанов, Ю. С. Моделирование микрорельефа абразивного инструмента и поверхности детали : монография / Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин, Г. В. Барсуков. – М. : Машиностроение-1, 2004. – 214 с. : ил.
- Белкин, Е. А. Кубические матрицы в моделировании микрорельефа : монография / Е. А. Белкин, Ю. С. Степанов. – Орел: Гсуниверситет-УНПК, 2011. – 125 с.
Статьи в рецензируемых научных журналах:
- Степанов, Ю. С. Моделирование топографии микрорельефа в пространстве Римана при диагностике поверхностного слоя конструкционных материалов / Ю. С. Степанов, Г. В. Барсуков, Е. А. Белкин // Контроль. Диагностика. – 2001. – № 4. – С. 12-16.
- Степанов, Ю. С. Математическое моделирование пористых структур пищевых продуктов на основе модульной геометрической модели / Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин, А. Ф. Кулаков, Р. Н. Воронин // Справочник. Инженерный журнал. – 2003. – № 3. – С. 61-64.
- Степанов, Ю. С. Стохастическая модель порообразования в тестовых заготовках хлебобулочных изделий / Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин, А. Ф. Кулаков, Р. Н. Воронин // Справочник. Инженерный журнал. – 2003. – № 4. – С. 59-60.
- Белкин, Е. А. Математическое моделирование структуры пористых систем пищевых продуктов на основе модульной геометрической модели / А. Ф. Белкин, Г. В. Барсуков, А. Ф. Кулаков, Р. Н. Воронин // Известия вузов. Пищевая технология. – 2003. – № 5-6. – С. 119-122.
- Степанов, Ю. С. Моделирование механизма структурообразования поверхностных слоев после гидроабразивной обработки / Ю. С. Степанов, Г. В. Барсуков, Е. А. Белкин // Справочник. Инженерный журнал. – 2003. – № 8. – С. 11-17.
- Степанов, Ю. С. Разработка численного аппарата для оценки шероховатости поверхностного слоя деталей машин / Ю. С. Степанов, Г. В. Барсуков, Е. А. Белкин // Контроль. Диагностика. – 2002. – № 6. – С. 17-20.
- Белкин, Е. А. Геометрическая модель плоского шлифования на основе модульного принципа / Е. А. Белкин // Справочник. Инженерный журнал. – № 8. – 2003. – С. 29-33.
- Белкин, Е. А. Стохастическая модель процесса абразивной обработки / Е. А. Белкин // Справочник. Инженерный журнал. – 2004. – № 3. – С. 20-25.
- Белкин, Е. А. Моделирование тепловых полей при абразивном шлифовании в рамках теории микро-формообразования / Е. А. Белкин, В. В. Николаев // Справочник. Инженерный журнал. – 2004. – № 9. – С. 5-7.
- Белкин, Е. А. Прогнозирование и разработка новых технологий абразивной обработки / Е. А. Белкин // Справочник. Инженерный журнал. – 2005. – № 1. – С. 16-21.
- Белкин, Е. А. Модульный принцип в системе информационного контроля над процессом абразивной обработки / Е. А. Белкин // Справочник. Инженерный журнал. – 2005. – № 3. – С. 18-22.
- Белкин, Е. А. Способ шлифования пера лопатки газовой турбины инструментом на гибкой связке в магнитном поле / Е. А. Белкин // Справочник. Инженерный журнал. – 2006. – № 9. – С. 12-17.
- Белкин, Е. А. Новое поколение приборов контроля над формированием микро-геометрии поверхностного слоя / Е. А. Белкин // Контроль. Диагностика. – 2006. – № 9. – С. 50-58.
- Белкин, Е. А. Модульно-геометрический метод математического моделирования каркасной дискретно-определенной поверхности / Е. А. Белкин // Известия Тульского государственного университета. Сер. «Технологическая системотехника». – 2006. – Вып. 4. – С. 99-110.
- Белкин, Е. А. Модульно-геометрический метод математического моделирования поверхности с числовыми отметками / Е. А. Белкин // Известия Тульского государственного университета. Сер. «Технологическая системотехника». – 2006. – Вып. 4. – С. 68-72.
- Белкин, Е. А. Абразивная обработка каркасной дискретно-определенной поверхности в магнитном поле / Е. А. Белкин // Технологическая системотехника – 2005 : тр. участников Четвертой Междунар. электр. науч.-техн. конф. – Тула, 2006. – С. 77-84.
- Николаев, В. В. Трехмерная инженерия поверхности / В. В. Николаев, Е. А. Белкин, Ю. С. Степанов // Справочник. Инженерный журнал. – 2007. – № 7. – С. 28-35.
- Белкин, Е. А. Геометрическое моделирование микрорельефа / Е. А. Белкин // Известия ОрелГТУ. Сер. «Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии». – 2008. – 4-2/272 (550). – С. 12-19.
- Белкин, Е. А. Геометрическое моделирование формирования микрорельефа в магнитном поле / Е. А. Белкин // Прикладная геометрия. – 2008. – Вып. 10. – № 21. – С. 57-58.
- Белкин, Е. А. Стохастический характер геометрической модели микрорельефа/ Е. А. Белкин // Известия ОрелГТУ. Сер. «Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии». – 2009. – 1/273 (559). – С. 61-66.
Публикации в других научных журналах и сборниках трудов:
- А. с. № 2008612886 Российская Федерация. Программа «Cad-Griding» / Е. А. Белкин. – Заявл. 25.12.07 ; зарегистрировано 11.06.08.
- А. с. № 2008615870 Российская Федерация. Программа «Моделирование процесса формирования топографии поверхности» / Г. В. Барсуков, В. В. Николаев, Е. А. Белкин. – Заявл. 13.10.08 ; зарегистрировано 09.12.08.
- А. с. № 2008615871 Российская Федерация. Программа «Моделирование топографии поверхности после абразивной обработки» / Г. В. Барсуков, Ю. С. Степанов, В. В. Николаев [и др.]. – Заявл. 13.10.08 ; зарегистрировано 09.12.08.
- Пат. № 2187070 Российская Федерация. Способ определения микрогеометрии поверхности детали и абразивного инструмента / Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин, Г. В. Барсуков. – Заявл. 27.02.01 ; опубл. 10.08.02, Бюл. № 22.
- Пат. № 2304272 Российская Федерация. Рентгенопрофилограф активного контроля / Е. А. Белкин. – Заявл. 24.10.05 ; опубл. 10.08.07, Бюл. № 22.
- Пат. № 2258203 Российская Федерация. Рентгенопрофилограф / Е. А. Белкин. – Заявл. 15.06.04 ; опубл. 10.08.05, Бюл. № 22.
- Пат. № 2215317 Российская Федерация. Профилограф / Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин, Г. В. Барсуков. – Заявл. 08.01.02 ; опубл. 27.10.03, Бюл. № 30.
- Пат. № 2266188 Российская Федерация. Способ шлифования пера лопатки газовой турбины инструментом на гибкой связке в магнитном поле / Е. А. Белкин Е.А. – Заявл. 22.03.04 ; опубл. 20.12.05, Бюл. № 35.
- Пат. № 2229970 Российская Федерация. Способ получения абразивного инструмента из эльбора на связке из металлических нитей / Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин, Г. В. Барсуков. – Заявл. 29.07.02 ; опубл. 10.06.04, Бюл. № 16.
- Пат. № 2217290 Российская Федерация. Способ шлифования пера лопатки газовой турбины сложнопрофильными инструментами / Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин, Г. В. Барсуков. – заявл. 26.03.02 ; опубл. 27.11.03, Бюл. № 33.
- Пат. № 97115138/02 Российская Федерация, МКИ В24В 5/02, 7/02, 29/00. Устройство для комбинированной абразивной обработки / Ю. С. Степанов, Б. И. Афонасьев, М. А. Бурнашов [и др.]. – № 97115138/02; заявл. 18.08.97 ; опубл. 27.01.99, Бюл. № 3. – 5 с.
- Степанов, Ю. С. Новый подход к исследованию процессов формообразования поверхностей абразивным инструментом / Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин // Разработка и внедрение средств автоматизации для технико-экономических разработок : материалы науч.-техн. семинара. – Орел, 1989. – С. 14-17.
- Степанов, Ю. С. Расчет тензора Римана-Кристоффеля общей винтовой поверхности по заданному метрическому тензору / Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин // Современные методы повышения качества и надежности продукции на предприятиях машиностроения : материалы межрегион. науч.-техн. семинара. – Орел, 1990. –С. 4-8.
- Белкин, Е. А. Расчет тензора кривизны для модульной геометрической модели технологической поверхности / Е. А. Белкин, Ю. С. Степанов // Проблемы совершенствования и внедрения новой технологии на предприятиях машиностроительной промышленности : материалы межрегион. науч.-техн. семинара. – Орел, 1990. – С. 59-66.
- Степанов, Ю. С. Концепция создания новых технологий абразивной обработки на базе математического моделирования процессов формообразования в пространствах Римана / Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин// Intergrind-91: материалы 8-й междунар. конф. по шлифованию, абразивным инструментам и материалам. – Л., 1991. – С. 151-156.
- Степанов, Ю. С. Применение элементов тензорного анализа в теории формообразования поверхностей режущим инструментом/ Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин// Перспективные направления развития машиностроения Забайкалья : тез. докл. регион. науч.-техн. конф. – Чита, 1991. – С. 74-75.
- Белкин, Е. А. Определение семейства геодезических и ортогональных к ним кривых для модульной геометрической модели технологической поверхности / Е. А. Белкин, Ю. С. Степанов // Разработка и внедрение новых ресурсосберегающих технологий в области машиностроения : материалы межрегион. науч.-практ. конф. – Орел, 1991. – С. 3-11.
- Степанов, Ю. С. Математическое моделирование процессов формообразования поверхностей резанием с использованием методов тензорного анализа/ Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин// 1-я Всесоюзная конф. по математическому и машинному моделированию: тез. докл. (Воронеж, 1-3 окт. 1991 г.). – Воронеж, 1991. – С. 192.
- Степанов, Ю. С. Расчет геодезических линий обыкновенной винтовой поверхности / Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин // Повышение надежности и долговечности выпускаемой продукции технологическими методами в машиностроении: материалы межрегион. науч.-техн. семинара, 25-27 марта 1991. – Орел, 1991. – С. 8-12.
- Степанов, Ю. С. Моделирование процессов шлифования с применением тензорного анализа / Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин // Автоматизация процессов механообработки и сборки в машино- и приборостроении: тез. докл. республ. науч.-техн. семинара. – Алушта ; Киев, 1991. – С. 2-3.
- Белкин, Е. А. Построение модульной математической модели обыкновенной винтовой поверхности / Е. А. Белкин, Ю. С. Степанов // Исследования в области инструментального производства и обработки материалов резанием : сб. науч. тр. / Тул. политехн. ин-т. – Тула, 1991. – С. 112-115.
- Степанов, Ю. С. Математическое моделирование кинематики инструмента и его формообразующей поверхности с использованием элементов теории групп в пространстве аффинной связности / Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин // Автоматизация исследования, проектирования и испытания сложных технических систем и математического моделирования : тез. докл. регион. науч.-техн. конф. / Калуж. фил. Моск. гос. техн. ун-та им. Н. Э. Баумана. – Калуга, 1991. – С. 116.
- Степанов, Ю. С. Моделирование микрогеометрии шлифованных деталей на основе принципа локального контакта / Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин // Информационные технологии и системы. Технологические задачи механики сплошных сред : тез. докл. конф. / Воронеж. гос. ун-т. – Воронеж, 1992. – С. 150.
- Белкин, Е. А. Аппроксимация поверхности соприкасающимся параболоидом при математическом моделировании процессов абразивной обработки/ Е. А. Белкин, Ю. С. Степанов// Прогрессивные технологические процессы в механообрабатывающем и сборочном производстве : материалы науч.-техн. конф., 19-20 мая 1992 г. / под ред. Ю. М. Зубарева/ Междунар. Центр экономики, науки и техники. – СПб., 1992. – С. 72.
- Степанов, Ю. С. Расчет параметров соприкасающегося параболоида в локальной полутеодезической системе координат / Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин // Прогрессивная технология механической обработки и сборки в машиностроении : материалы межрегион. науч.-техн. конф. / под ред. Ю. С. Степанова. – Орел, 1992. – С. 106-112.
- Белкин, Е. А. Аппроксимация технологической поверхности соприкасающимся параболоидом / Е. А. Белкин, Ю. С. Степанов // Исследования в области инструментального производства и обработки металлов резанием : сб. науч. тр. / Тул. политехн. ин-т. – Тула, 1992. – С. 63-69.
- Степанов, Ю. С. Локальная классификация рельефа абразивного инструмента на основе геометрического ряда/ Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин// Исследования в области инструментального производства и обработки металлов резанием : сб. науч. тр./ Тул. гос. ун-т. – Тула, 1993. –С. 88-93.
- Белкин, Е. А. Возможность шлифования поверхностей сложной формы по методу бегущего контакта / Е. А. Белкин, Ю. С. Степанов, В. В. Алексеев// Современные технологические и информационные процессы в машиностроении: материалы междунар. семинара. – Орел, 1993. – С. 160-165.
- Степанов, Ю. С. Оценка точности аппроксимации поверхности соприкасающимся параболоидом / Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин // Современные технологические и информационные процессы в машиностроении : материалы междунар. семинара / под ред. Ю. С. Степанова ; Орл. гос. политехн. ин-т. – Орел, 1993. – С. 87-92.
- Степанов, Ю. С. Моделирование технологических процессов механической обработки на многокоординатных станках с ЧПУ / Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин // II Technology – 94 : материалы докл. междунар. конф., 21-22 апр. 1994 г. / под ред. Ю. М. Зубарева ; Междунар. Центр экономики, науки и техники. – СПб., 1994. – С. 35-36.
- Степанов, Ю. С. Формообразование поверхности в форме эллиптического параболоида методом бегущего контакта / Ю. С. Степанов, Е. А. Белкин // Режущие инструменты и метрологические аспекты их производства : сб. науч. тр. / Тул. гос. ун-т. – Тула, 1995. – С. 81-91.
- Белкин, Е. А. Условия регулярного сшивания различных типов соприкасающихся параболоидов / Е. А. Белкин, Ю. С. Степанов, Ю. Г. Дурсин // Режущие инструменты и метрологические аспекты их производства : сб. науч. тр. / Тул. гос. ун-т. – Тула, 1995. – С. 92-102.
- Белкин, Е. А. Математическое моделирование рабочего элемента газовой турбины на основе модульной геометрической модели поверхности сложной формы // XXIII Гагаринские чтения : тез. докл. молодежи науч. конф., 8-12 апр. 1997 г. / Рос. гос. технол. ун-т им. К. Э. Циолковского. – М., 1997. – Ч. 2. – С. 165.
