Метод синтеза стержневых систем наименьшего веса на основе реализации их особых свойств
Министерство образования Российской Федерации
Томский государственный архитектурно-строительный университет
На правах рукописи
Ижендеева София Ринатовна
МЕТОД СИНТЕЗА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НАИМЕНЬШЕГО ВЕСА НА ОСНОВЕ РЕАЛИЗАЦИИ
ИХ ОСОБЫХ СВОЙСТВ
Специальность 05.23.17 - Строительная механика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Томск – 2003
Работа выполнена на кафедре строительной механики
Томского государственного архитектурно-строительного университета
Научный руководитель: доктор технических наук, профессор,
академик РААСН
Ляхович Леонид Семенович
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор
Гребенюк Григорий Иванович
кандидат технических наук, доцент
Таюкин Геннадий Иванович
Ведущая организация: Проектно-научно-технический центр
“Вогтехпроект”
Защита состоится ________________ 2003 г. в ______ часов на заседании специализированного совета Д 212.265.01 в Томском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: г. Томск, пл. Соляная, 2.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного архитектурно-строительного университета
Автореферат разослан ____ ноября 2003 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета,
доктор технических наук, профессор Н.К.Скрипникова
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Теория оптимального проектирования конструкций является одним из основных направлений строительной механики и тем ключевым направлением науки, на основе достижений которой могут быть созданы эффективные конструкции и сооружения. Теория оптимизации конструкций начала активно развиваться в 60-е годы, в последние десятилетия сформировались новые направления, получены значительные результаты как теоретического, так и прикладного характера. Число публикаций, посвященных оптимальному проектированию конструкций (ОПК), постоянно увеличивается. Большой вклад в развитие теории и разработку методов решения задач ОПК внесли отечественные ученые Н.В.Баничук, А.И.Виноградов, Л.Н.Воробьев, Ю.Б.Гольдштейн, Г.И.Гребенюк, Б.В.Гринев, В.А.Киселев, В.А.Комаров, И.Б.Лазарев, Л.С.Ляхович, В.П.Малков, Д.А.Мацюлявичюс, Ю.В.Немировский, Е.Л.Николаи, Ю.М.Почтман, И.М.Рабинович, Ю.А.Радциг, А.Р.Ржаницын, А.П.Сейранян, Н.Д.Сергеев, Н.Н.Складнев, А.Ф.Смирнов, В.А.Троицкий, А.П.Филин, А.П.Филиппов, А.А.Чирас и другие. Среди зарубежных ученых наибольший вклад внесли Я.Арора, З.Васютинский, Д.Келлер, М.Леви, З.Мруз, Ф.Ниордсон, Н.Ольхофф, В.Прагер, Д.Рожваны, Д.Тейлор, М.Тернер, Э.Хог, Р.Шилд и другие.
Первоначально решение задач ОПК проводилось с использованием методов классического вариационного исчисления. Однако они позволяли решать лишь частные задачи ОПК. Быстрое развитие вычислительной техники привело к интенсивному развитию методов математического программирования, которые позволили ставить и решать все более сложные задачи расчета и оптимизации конструкций.
Главная альтернатива методам математического программирования применительно к оптимизации конструкций появилась в последние десятилетия в виде методологии
критериев оптимальности. Существенным моментом при разработке методов, основанных на критериях оптимальности, является использование преимуществ, связанных с особыми свойствами оптимальных конструкций. В настоящее время свойства систем минимального веса и соответствующие им критерии оптимальности выявлены только для небольшого числа частных случаев.
Данная работа посвящена синтезу стержневых систем наименьшего веса на основе реализации их особых свойств при варьировании параметрами сечений с учетом разнородных ограничений.
Целью работы является: обоснование, создание и численная реализация метода синтеза систем наименьшего веса на основе их особых свойств применительно к изгибаемым упругим стержням прямоугольного сечения, находящимся под действием заданной пространственной нагрузки и собственного веса, с учетом системы ограничений, включающей ограничения по прочности, устойчивости, конструктивные ограничения и ограничения на величину первой частоты собственных колебаний.
Научная новизна работы заключается в следующем:
- уточняются критерии оптимальности при ограничениях по прочности, устойчивости и на величину первой частоты собственных колебаний;
- доказана адекватность сформулированных критериев задачам проектирования стержней наименьшего веса;
- критерии сформулированы как для континуальной модели стержня, так и для дискретной;
- исследуются свойства сформулированных критериев;
- обоснован метод синтеза оптимальных систем на основе сформулированных свойств.
Практическое значение работы состоит в разработке алгоритма для решения поставленной задачи оптимального проектирования. Полученные оптимальные проекты могут быть использованы на практике в качестве идеальной модели.
Полученные аналитические выражения особых свойств стержневых систем минимального веса могут быть использованы для оценки близости решений, полученных другими способами, к оптимальным.
Апробация работы. Доклады по материалам диссертации были сделаны на научно-техническом семинаре кафедры строительной механики ТГАСУ (Томск, 2003 г.), на Всероссийской конференции “Научно-технические проблемы в строительстве” (НГАСУ, Новосибирск, 2003 г.).
Публикации. По результатам выполненных исследований имеется 5 публикаций, в том числе 3 статьи.
На защиту выносятся:
- формулировка критериев оптимальности при ограничениях по прочности, устойчивости и на величину первой частоты собственных колебаний;
- метод синтеза стержневых систем наименьшего веса на основе реализации их особых свойств;
- алгоритм реализации метода синтеза оптимальных стержневых систем при ограничениях по прочности, устойчивости и на величину первой частоты собственных колебаний.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации 122 страницы. Список использованной литературы содержит 155 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования.
В первой главе приведен краткий обзор и анализ работ, посвященных методам оптимизации, формулируется постановка задачи.
В первой главе приведен обзор и краткий анализ методов оптимизации, основанных на аппарате математического программирования. Показано также, что в последние десятилетия все чаще стали появляться работы, посвященные методам, основанным на использовании особых свойств систем наименьшего веса.
Существенным моментом при разработке методов, основанных на критериях оптимальности, было использование преимуществ, связанных с особым характером задач оптимизации конструкций. Известно (Е.Л. Николаи, А.Ф. Смирнов, А.И. Виноградов, Н. Ольхофф и др.), что системы наименьшего веса обладают особыми свойствами. Эти свойства зависят от класса сооружений, типа варьируемых параметров и набора ограничений. В настоящее время свойства систем минимального веса и соответствующие им критерии оптимальности выявлены только для небольшого числа частных случаев.
Выявленные свойства могут использоваться как критерии систем наименьшего веса и служить основой для построения методов их синтеза. При этом задача о поиске минимума заменяется задачей о синтезе систем с заранее заданными свойствами. Кроме того, такая постановка не только позволяет создавать эффективный вычислительный алгоритм, но и с высокой степенью достоверности оценивать уровень приближения полученного решения к оптимальному.
Теоретические основы рассматриваемого подхода были заложены Прагером, Тейлором и Шу. В ряде их работ рассмотрены простые задачи применительно к сплошным телам, приводящие к условиям оптимальности в виде дифференциальных уравнений. Задача оптимизации формулируется в вариационной форме в виде уравнений Эйлера. Решением задачи оптимизации, представленной дифференциальными уравнениями, определяется оптимальная форма конструкций. Характерным примером является нахождение формы сечения стержня минимального объема,
несущего заданную сжимающую нагрузку. Этот подход оказался весьма эффективным теоретически, но мало эффективным на практике. Дело в том, что его нельзя применить к конструкциям общей формы.
Большинство конструкций, встречающихся на практике, рассчитываются методами конечных элементов, и поэтому становится целесообразным нахождение подхода, основанного на разработке и адаптации критериев оптимальности для дискретных математических моделей. Это также означает, что задача оптимизации снова сведется к нахождению решений уравнений, выражающих условия оптимальности, которые, однако, являются уже алгебраическими, а не дифференциальными.
Методикой, основанной на использовании критериев оптимальности, предусмотрено, что сначала необходимо вывести условия, которым должен удовлетворять оптимальный проект. Эти критерии должны основываться на математической формулировке задачи с использованием или без использования аппроксимаций. Затем разрабатывается алгоритм, основанный на этих критериях. Цель алгоритма - проектирование объекта по системе критериев для получения оптимального решения.
Для проекта, удовлетворяющего критерию, далее гарантируется, что для него достигается локальный минимум. В этом смысле методы, основанные на критериях оптимальности, попадают в категорию непрямых методов оптимизации. Математическая форма критериев оптимальности эквивалентна условиям Куна-Таккера теории нелинейного программирования.
В данной работе ставится задача обобщить имеющиеся результаты и предложить алгоритм синтеза сооружений наименьшего веса при разнотипных варьируемых параметрах и разнородных ограничениях. Задача рассматривается на примере стержней прямоугольного сечения. Для этого случая обосновывается метод и алгоритм. Такой выбор сделан с целью обоснования метода на сравнительно простом примере.
Переход к сечениям другого типа может быть выполнен аналогично, но с привлечением дополнительных ограничений (устойчивости плоской формы изгиба, местной устойчивости и др.).
Постановка задачи. Рассмотрим стержень прямоугольного сечения, загруженный продольной сосредоточенной силой Р, продольной распределенной нагрузкой р(х), распределенной поперечной нагрузкой, представленной составляющими в главных плоскостях инерции поперечного сечения - q1(x), q2(x). Стержень несет массу, распределенную по закону m(x).
Требуется отыскать такие законы изменения размеров сечений b1=b1(x) и b2=b2(x), которые удовлетворяли бы ограничениям (2) - (.6) и придавали бы функции цели (1) минимальное значение. Функция цели: V=
. (1)
Ограничения:
по прочности 
0 (x) 
0 (2)
по общей устойчивости Pky 
P1[l], (3)
Pky 
P2[l] (4)
на величину первой собственной частоты
0 k 
1[l], (5)
0 k 
2[l], (6)
Здесь:
V - объем материала стержня;
0(х) - наибольшее приведенное по выбранной теории прочности напряжение в сечении;
0 - предельное напряжение для данного материала;
ky - коэффициент запаса по устойчивости продольного изгиба;
P1[l], P2[l] - наименьшие критические продольные силы соответственно в главных плоскостях инерции сечений стержня;
0 - заданное предельное значение частоты собственных колебаний;
Рис. 1
k
- коэффициент запаса по частоте;
1[l], 
2[l] - первые частоты собственных колебаний соответственно в главных плоскостях инерции сечений стержня.
Ставится цель - выявление свойств стержневых систем наименьшего веса при варьировании параметрами сечения и наличии разнородных ограничений, формулирование соответствующего им критерия и построение на его основе метода синтеза оптимальных конструкций как метода проектирования сооружений с заранее заданными свойствами. Реализация поставленной цели позволит также использовать полученные критерии и для оценки традиционных решений.
Таким образом, задача о поиске минимума заменяется задачей о синтезе систем с заранее заданными свойствами. Кроме того, такая постановка не только позволяет создавать эффективный вычислительный алгоритм, но и с высокой степенью достоверности оценивать уровень приближения полученного решения к оптимальному.
Во второй главе формулируются особые свойства стержней наименьшего веса при учете разнородных
ограничений (по прочности, устойчивости и на величину первой частоты собственных колебаний).
Ограничению по прочности (2) соответствует неравенство
(7)
(где 
- напряжения от изгибающих моментов, действующих в главных плоскостях инерции сечений стержня; 
- напряжение от продольной нагрузки) и функционал, на основе которого определяется напряженно-деформированное состояние стержня:
Эq = 
+ 
(8)
Здесь 
- площадь поперечного сечения стержня; 
- главные центральные моменты инерции поперечных сечений стержня; 
- прогибы в главных плоскостях инерции; 
- перемещения сечений под действием продольной нагрузки; 
- модуль упругости данного материала.
Для вывода свойств искомой оптимальной системы рассмотрим функционал, объединяющий функцию цели и ограничение по прочности:
, (9)
где 
- множитель Лагранжа.
Для стержня прямоугольного сечения с размерами поперечных сечений 
и 
известно, что
(10)
Условия экстремума для 
:
, (11)
. (12)
После ряда преобразований выражений (11), (12) получим равенства
1= 2, 
(13)
и соотношение
, (14)
представляющее брус равного сопротивления, которые устанавливают свойства стержней наименьшего веса при действии пространственной статической нагрузки и ограничениях по прочности. Заметим, что выполнение только (14) не приводит к оптимальному решению. Действительно, условие (13) формирует оптимальное соотношение между размерами сечения и поэтому (14) приведет к оптимальному решению только при выполнении (13).
Для вывода особых свойств стержней наименьшего веса при действии продольной силы и ограничениях по общей устойчивости рассмотрим функционалы, на основе которых описывается форма потери устойчивости соответственно в двух главных плоскостях инерции
, (15)
. (16)
Для вывода свойств искомой оптимальной системы рассмотрим функционал, объединяющий функцию цели и ограничения по общей устойчивости:
, (17)
где р1 и р2 - множители Лагранжа.
Условия экстремума функционала (17) запишутся в виде:
,
или
, 
, (18)
где 1р, 2р - нормальные напряжения от изгибающих моментов, возникающих при изгибе стержня по форме потери устойчивости. Из разности уравнений (18) вытекают свойства стержней наименьшего веса при потере устойчивости в двух плоскостях инерции:
, (19)
. (20)
Свойства (19), (20) выражают требования постоянства напряжений 
и 
по длине стержня и соотношение между ними. При потере устойчивости в одной плоскости постоянство напряжений было отмечено еще Е.Л.Николаи.
Для вывода особых свойств стержней наименьшего веса при действии пространственной статической нагрузки и ограничениях на величину первой частоты собственных колебаний (5), (6) рассмотрим функционалы, на основе которых определяются формы собственных колебаний в двух главных плоскостях инерции:
Э1 = 
- 
, (20)
Э2 = 
- 
. (21)
Запишем функционал, объединяющий функцию цели (1) и ограничения на величину первой частоты собственных колебаний:
(23)
Условия экстремума функционала (23) соответственно запишутся
, (24) 
. (25)
После преобразований выражения (24), (25) примут вид:
,
.
Здесь 
- нормальные напряжения от моментов, возникающих при собственных колебаниях в главных плоскостях инерции. Из полученных уравнений следует:
(26)
(27)
Выражения (26), (27) устанавливают свойства стержней наименьшего веса при собственных колебаниях в двух главных плоскостях инерции.
Сформулированные выше свойства стержней наименьшего веса могут использоваться в различных сочетаниях в зависимости от постановки задачи. Так, например, свойства (13) и (14), соответствующие условиям прочности, могут использоваться совместно с условиями (19) и (20) (устойчивость), и условиями (26), (27) (собственные колебания). При этом соблюдаться будут только те свойства, которые соответствуют активным ограничениям.
Третья глава посвящена выбору и обоснованию дискретной модели расчета стержневых систем, а также изложению основной идеи метода последовательных приближений реализации особых свойств стержневых систем наименьшего веса при их синтезе. Приводится алгоритм реализации метода при действии различных вариантов нагрузок и разнородных ограничениях.
Для формирования ограничений по прочности, устойчивости и на частоту собственных колебаний используется шарнирно-стержневая модель. Исходный стержень разбивается на ряд однотипных стержней одинаковой
длины бесконечно большой жесткости, соединенных между собой шарнирами с упругой связью и массой, сосредоточенной в шарнирах.
Для использования сформулированных в главе 2 свойств (13, 14, 19, 20, 25, 26) необходимо знать при ограничениях по прочности внутренние усилия, а при ограничениях на величину критической нагрузки или первой собственной частоты соответственно формы потери устойчивости или собственных колебаний.
Однако как формы потери устойчивости и собственных колебаний, так и внутренние усилия (в статически неопределимых системах или при расчете по деформированной схеме) зависят от законов изменения параметров сечений. В свою очередь законы изменения параметров сечений оптимальной системы и являются объектом поиска.
Идею метода и основные его этапы изложим, используя укрупненную блок-схему, представленную на рис. 1.
Блок ввода данных предусматривает получение информации о геометрических параметрах системы, граничных условиях, механических характеристиках материала, типах ограничений, количестве участков дискретной модели.
Также задаются коэффициенты запаса по устойчивости и первой собственной частоте, вводятся начальные значения размеров сечений, относительная величина, кратность и число делений шага поиска (соответственно h, Со и Coo), допустимая относительная погрешность вычислений (ooo).
На основе исходной информации подсчитываются жесткости узлов дискретной модели, формируются матрицы коэффициентов жесткости (R), продольных сил и (в динамических задачах) масс (M). Производится подсчет и запоминание величины функции цели (V3=V, V2=V). Здесь также принимается значение ключа (Ok=0).
Остальные блоки реализуют сочетание метода последовательных приближений при формировании
аналитических выражений ограничений с одним из вариантов метода спуска.
Можно выделить основные этапы метода.
1. Формирование формул для аналитической записи ограничений и выход на границу.
2. Выбор относительного шага и числа его делений, а также на основе особых свойств, сформулированных в главе 2, выбор направления метода спуска.
3. Реализация метода спуска при сформированных аналитических выражениях ограничений.
Рассмотрим каждый из этапов подробнее.
На первом этапе для формирования формул аналитической записи ограничений производятся расчеты системы. В расчеты закладываются принятые размеры сечений. При ограничениях по прочности в узлах определяются прогибы и изгибающие моменты. При ограничениях по устойчивости или на величину первой собственной частоты – соответственно критические нагрузки, собственные частоты, формы потери устойчивости и собственных колебаний в главных плоскостях инерции. Запоминается величина функции цели (V1=V).
Формируются аналитические выражения ограничений. Эти выражения дают точные значения координат тех граничных точек в пространстве искомых параметров, при которых они были получены. При других значениях параметров границы определяются аналитически, но приближенно.
По полученным зависимостям, сохраняя соотношения между искомыми параметрами, определяются коэффициенты, умножением параметров на каждый из которых реализуется выход на соответствующую границу. Число коэффициентов равно количеству ограничений. Из найденных коэффициентов выбирается наибольший.
Умножением параметров на принятый коэффициент определяются их новые граничные значения, подсчитываются жесткости и функция цели V, формируются матрицы R и M. Такая процедура реализует выход на границу допустимой
области в пространстве искомых параметров по лучу, проходящему из начала координат, через точку, координаты которой – выбранные параметры.
В том случае, если относительная разность |V1-V|/V > ooo, то принимается V1 = V и вновь реализуется выход на границу по лучу. Если |V1-V|/V < ooo, то проверяется соотношение |V2-V|/V. Если |V2-V|/V > ooo, то принимается V2 = V и вновь реализуется выход на границу по лучу. Если |V2-V|/V < ooo, то процесс выхода на границу заканчивается.
Полученные таким образом координаты с точностью до заданной погрешности принадлежат выражению граничной поверхности. Использование в дальнейшем приближенного аналитического выражения границы не влияет на точность окончательного результата. Поскольку формирование ограничений на каждом приближении происходит в точке оптимума, а выражение границы в точке формирования достаточно точное, то при окончании процесса решение будет в пределах заданной погрешности.
На втором этапе производится выбор относительного шага и числа его делений, а также, на основе свойств, сформулированных в главе 2, выбирается направление метода спуска.
После выхода на границу и формирования необходимых матриц проверяется ключ Ok. На этом месте процесса Ok = 0. В соответствии с блок-схемой осуществляется переход к проверке номера приближения.
На первом приближении вводится значение начального относительного шага h в доле от разности между принятыми значениями искомых параметров и их величинами, подсчитанными в соответствии с зависимостями (13, 14, 19, 20, 26, 27). Вводится также кратность деления шага и количество делений в процессе спуска. Во всех приближениях, кроме первого оценивается вклад приближения в изменение функции цели (|V3-V|/V < ooo).
Рис. 1
Если |V3-V|/V > ooo, то переобозначается V3 = V, запоминаются параметры (bo1[i] = b1[i] и bo2[i] = b2[i]), и функция цели (V4 = V). Для выбора направления спуска на основании зависимостей (13, 14, 19, 20, 26, 27) определяются параметры b1[i] и b2[i] (процедура «выравнивание»). В составе этой процедуры по прогибам при изгибе, формам потери устойчивости и собственных колебаний на основании расчетов, выполненных в блоке «Расчеты по ограничениям», определяются изгибающие моменты для ограничений по прочности, устойчивости и собственных колебаний. Моменты для ограничений по прочности принимаются для текущего приближения без изменений, а для ограничений по устойчивости и собственных колебаний с точностью до постоянного множителя.
По моментам в каждом сечении определяются для ограничения по прочности напряжения 1[i], 2[i], p[i], 0[i], а по устойчивости и собственной частоте условные напряжения 1р[i] и 2р[i], 1[i] и 2[i]. Затем для задач устойчивости и собственных колебаний по каждому ограничению выбирается сечение с наибольшим условным напряжением по ограничениям напряжения. После этого величины остальных условных напряжений делятся на наибольшее в данном ограничении. Таким образом, наибольшее условное напряжение оказывается равным единице. Далее условные напряжения для ограничений по устойчивости умножаются на Р*ky и делятся на P1[l] для одной плоскости и на Р2[l] для другой. Соответственно для ограничений на величину собственной частоты условные напряжения умножаются на 0*k и делятся на 1[l] для одной плоскости и на 2[l] для другой. Полученные напряжения назовем приведенными. Для ограничений по прочности за приведенное напряжение примем 0[i]/0. Приведенные напряжения позволяют оценивать варьируемые параметры по отношению к рассматриваемому ограничению. Так если все приведенные напряжения данного ограничения меньше единицы, то ограничение пассивно. Если хотя бы одно из
приведенных напряжений больше единицы, то ограничение не соблюдается. Если же, по крайней мере, одно равно единице, а остальные не больше, то ограничение активно. При выполнении условий оптимальности по одному из ограничений значения соответствующих приведенных напряжений близки к единице.
По приведенным напряжениям для ограничений по устойчивости и собственной частоте в каждом сечении в каждой главной плоскости инерции отбираются наибольшие, и по ним подсчитывается условный момент. Используя внутренние усилия из блока «Расчеты по ограничениям» и полученные условные моменты производится подбор сечений. При этом рассматриваются различные сочетания условий. Используются либо условия (13) и (14), либо (19) и (20), либо (26) и (27). Подобранные таким образом сечения приближенно реализуют соответствующие свойства оптимальной системы. Дальнейшее уточнение решения производится при приближении к минимуму функции цели (1) и последовательным уточнением выражений для ограничений вблизи области минимума.
Для этого переходим к третьему этапу. Метод при сформированных аналитических выражениях ограничений и выбранном направлении поиска реализуется следующим действиями:
• Принимаем Ok = 2, что направит в дальнейшем процесс непосредственно на реализацию спуска;
• Принимаем V2 = V и переходим к блокам «Расчеты по ограничениям», «граница» и так далее как выполнялось на первом этапе. Это действие выводит на границу допустимой области параметры, соотношения между которыми установлены в блоке «Выравнивание», а также уточняет выражение граничных поверхностей при новых параметрах;
• В соответствии с блок-схемой переходим к определению направления поиска и величины шага (блок «шаг 1»). Предварительно принимаем Ok = 0, что позволит после исчерпания возможностей выбранного направления и величины
шага поиска перейти к новому направлению и делению шага. Составляющие координаты направления поиска h1[i] и h2[i] выбираются как разности между запомненными и найденными в результате действий «выравнивания» и «граница» параметрами.
h1[i]=bo1[i]-b1[i] и h2[i]=bo2[i]-b2[i] (28)
• В блоке «шаг 2» координаты направления поиска, определенные в блоке «шаг 1» (28), умножаются на выбранный, на втором этапе относительный шаг h, а затем подсчитываются новые значения параметров
b1[i]=bo1[i]-h1[i]*h и b2[i]=bo2[i]-h2[i]*h (29)
• После каждого шага проверяется условие уменьшения функции цели (V4>V). Если она уменьшилась, то найденные параметры и функция цели запоминаются, и вновь выполняется «шаг 2». Так продолжается до тех пор, пока функция цели не начнет увеличиваться (V4<V);
• Переходим к блокам «Расчеты по ограничениям», «граница» и так далее как выполнялось на первом этапе. Это действие выводит на границу допустимой области параметры, соотношения между которыми установлены в блоке при поиске оптимального решения, а также уточняет выражение граничных поверхностей в окрестности области поиска минимума;
• Проверяем ключ Ok. Поскольку на этой стадии Ok = 0, переходим к проверке номера приближения и его вклада в понижение функции цели. Если вклад мал (|V3-V|/V < ooo), то после возврата на шаг назад, проверяем число делений шага. Если оно меньше принятого количества, шаг делится. Если же (|V3-V|/V > ooo), то принимается (V3 = V), а дальше как при сохраненном, так и при поделенном шаге запоминаем функцию цели и действующие параметры, а затем выполняем процедуру «выравнивание» (смотри этап 2).
• Переходим к началу этапа 3.
Процесс продолжается до тех пор, пока не окажутся выполненными два признака. Первый (|V3-V|/V < ooo), а второй – заданное число делений шага исчерпано. В этом случае
принимаем Ok = 3. В соответствии с блок-схемой выходим на уточненную границу, выводим результаты и заканчиваем процесс.
В четвертой главе исследуются вопросы сходимости и точности метода синтеза при различных сочетаниях ограничений (ограничения по прочности, устойчивости, на величину первой частоты собственных колебаний).
Эффективность предложенного в данной работе метода и сходимость итерационных вычислительных процедур исследовалась на примерах проектирования конструкций с различными условиями опирания, находящихся под действием различных сочетаний нагрузок, при учете разнородных ограничений.
По результатам исследований видно, что разброс значений объема материала сравнительно невелик. Если принять за условно точную величину в каждом из примеров значение объема, подсчитанное при наибольшем количестве участков дискретной схемы, то разница между наибольшим и наименьшим значениями объемов составит для всех примеров менее 4%.
При этом разница в экономии материала при разбиении стержня на 11 и на 13 участков составила менее 1%. Следовательно, можно сделать вывод о том, что для получения удовлетворительной точности оптимального решения при различных условиях опирания, различных нагружениях и разнородных ограничениях достаточно разбиения дискретной схемы на 11-15 участков.
В пятой главе показаны некоторые возможности метода синтеза стержневых систем наименьшего веса на основе реализации их особых свойств. Кроме того, показаны возможности использования разработанного метода синтеза для оценки решений, полученных другими методами.
Приняты следующие исходные данные: l = 12 м, модуль упругости Е = 2*105 МПа, расчетное сопротивление материала изгибу 0 = 200 МПа.
В качестве иллюстрации возможностей метода приведем решение одной из задач. Рассматривается трехпролетная балка с шарнирными опорами по концам, а также с опорами в 12-м и 23-м узлах (балка разбивалась на 34 участка). Стержень находится под действием распределенной нагрузки интенсивности q1 = 100 кН/м в вертикальной плоскости, q2 = 300 кН/м в горизонтальной плоскости.
Объем стержня постоянного по длине квадратного сечения составил V0 = 0,931761 м3 (b1 = b2 = 27,87 см). Объем оптимального ступенчатого стержня V = 0,394184 м3. Экономия материала составила 57,69%. Размеры поперечных сечений и уровни напряжений приведены в таблице 1. Активными в данном примере являются ограничения по прочности (2). График (1 + 2 + р)/ 0 ~ 1 иллюстрирует выполнение свойства (14), а графики 10,5 и 20,5 - свойства (13).
Покажем теперь возможность использования разработанного метода синтеза для оценки решений, полученных другими методами. Рассмотрим оптимизацию шарнирноопертой по концам двухпролетной балки с промежуточной опорой в 11-м узле (балка разбивалась на 21 участок). Стержень находится под действием распределенной нагрузки интенсивности q1 = 100 кН/м в вертикальной плоскости, q2 = 200 кН/м в горизонтальной плоскости.
При оптимизации методом градиентного спуска получили балку объемом V = 0,757857 м3, при этом экономия материала составила 46,12% по сравнению с балкой постоянного сечения (V0 = 1,406670 м3). Свойства (13), (14) для полученного проекта не выполняются. Следовательно, оптимум не достигнут. Близость к оптимальному решению видна из столбца (1+2)/0 таблицы 2. При оптимизации предложенным в данной работе методом синтеза экономия составила 50,96% (V = 0,689804 м3), свойства (13), (14) при этом выполнены. Результаты сведены в таблицу 2.
Отметим, что полученные оптимальные решения зачастую являются технологически не реализуемыми, но они могут
Таблица 1
| n | b1, см | b2, см | 1 | 2 | (1+2)/0 |
| 1 | 12,84 | 38,51 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 2 | 9,75 | 29,24 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 3 | 0,56 | 0,56 | 0,020 | 0,007 | 0,027 |
| 4 | 8,71 | 26,14 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 5 | 10,19 | 30,57 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 6 | 10,60 | 31,79 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 7 | 10,60 | 31,78 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 8 | 10,19 | 30,57 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 9 | 8,71 | 26,14 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 10 | 0,56 | 0,56 | 0,020 | 0,007 | 0,027 |
| 11 | 9,75 | 29,24 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 12 | 12,84 | 38,51 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 13 | 9,75 | 29,24 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 14 | 0,56 | 0,56 | 0,022 | 0,012 | 0,032 |
| 15 | 8,71 | 26,14 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 16 | 10,19 | 30,57 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 17 | 10,60 | 31,79 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 18 | 10,60 | 31,78 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 19 | 10,19 | 30,57 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 20 | 8,71 | 26,14 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 21 | 0,56 | 0,56 | 0,022 | 0,012 | 0,032 |
| 22 | 9,75 | 29,24 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 23 | 12,84 | 38,51 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 24 | 9,75 | 29,24 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 25 | 0,56 | 0,56 | 0,020 | 0,007 | 0,026 |
| 26 | 8,71 | 26,14 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 27 | 10,19 | 30,57 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 28 | 10,60 | 31,79 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 29 | 10,60 | 31,78 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 30 | 10,19 | 30,57 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 31 | 8,71 | 26,14 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 32 | 0,56 | 0,56 | 0,020 | 0,007 | 0,027 |
| 33 | 9,75 | 29,24 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 34 | 12,84 | 38,51 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
Таблица 2
| n | метод спуска | метод выравнивания | ||||||||
| b1 | b2 | 1 | 2 | (1+2)/0 | b1 | b2 | 1 | 2 | (1+2)/0 | |
| 1 | 11.63 | 37.89 | 0.35 | 0,22 | 0,57 | 12,23 | 24,46 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 2 | 14.78 | 38.24 | 0.53 | 0,41 | 0,94 | 16,52 | 33,03 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 3 | 18.07 | 39.88 | 0.47 | 0,43 | 0,89 | 18,37 | 36,75 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 4 | 18.24 | 39.82 | 0.51 | 0,47 | 0,98 | 19,06 | 38,12 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 5 | 17.87 | 39.48 | 0.51 | 0,47 | 0,98 | 18,82 | 37,63 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 6 | 15.48 | 40.24 | 0.53 | 0,42 | 0,95 | 17,57 | 35,13 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 7 | 11.93 | 38.29 | 0.53 | 0,35 | 0,87 | 14,74 | 29,47 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 8 | 7.14 | 37.92 | 0.20 | 0,04 | 0,24 | 1,71 | 1,71 | 0,03 | 0,015 | 0,045 |
| 9 | 15.14 | 37.91 | 0.53 | 0,41 | 0,94 | 16,11 | 32,22 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 10 | 20.99 | 43.66 | 0.51 | 0,48 | 0,99 | 21,06 | 42,12 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 11 | 25.36 | 49.85 | 0.50 | 0,50 | 1,00 | 24,92 | 49,84 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 12 | 20.99 | 43.66 | 0.51 | 0,48 | 0,99 | 21,06 | 42,12 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 13 | 15.14 | 37.91 | 0.53 | 0,41 | 0,94 | 16,11 | 32,22 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 14 | 7.14 | 37.92 | 0.20 | 0,04 | 0,24 | 1,71 | 1,71 | 0,03 | 0,015 | 0,045 |
| 15 | 11.93 | 38.29 | 0.53 | 0,35 | 0,87 | 14,74 | 29,47 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 16 | 15.48 | 40.24 | 0.53 | 0,42 | 0,95 | 17,57 | 35,13 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 17 | 17.87 | 39.48 | 0.51 | 0,47 | 0,98 | 18,82 | 37,63 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 18 | 18.24 | 39.82 | 0.51 | 0,47 | 0,98 | 19,06 | 38,12 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 19 | 18.07 | 39.88 | 0.47 | 0,43 | 0,89 | 18,37 | 36,75 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 20 | 14.78 | 38.24 | 0.53 | 0,41 | 0,94 | 16,52 | 33,03 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
| 21 | 11.63 | 37.89 | 0.53 | 0,22 | 0,57 | 12,23 | 24,46 | 0,5 | 0,5 | 1,0 |
Отметим, что полученные оптимальные решения зачастую являются технологически не реализуемыми, но они могут служить идеальной моделью, т.е. предельным решением для оценки реальных проектов. Проектировщик, сравнивая реальное решение с предельным, получает возможность оценить выигрыш за счет технологичности по сравнению с предельным решением.
В заключении приводятся основные выводы по результатам проведенной работы:
1. Выведены аналитические уравнения, выражающие особые свойства стержней наименьшего веса прямоугольного поперечного сечения при варьировании параметрами сечений и наличии разнородных ограничений.
2. На основании реализации выявленных особых свойств создан метод синтеза оптимальных конструкций.
3. Обоснованы алгоритмы и программы, позволяющие проводить реализацию предложенного метода при учете ограничений по прочности, устойчивости, на величину первой частоты собственных колебаний и конструктивных ограничений на размеры сечений.
4. Разработан алгоритм реализации метода синтеза при произвольных условиях опирания, загружения и различных сочетаниях разнородных ограничений.
5. Предложенный метод может быть использован для оценки решений, полученных другими методами.
6. На численных примерах исследована сходимость и эффективность предложенных алгоритмов.
7. Составлена программа реализации метода синтеза стержней наименьшего веса на основе их особых свойств.
Основные положения диссертации опубликованы в статьях:
1. Ляхович Л.С., Ижендеева С.Р. Метод синтеза стержневых систем наименьшего веса на основе реализации их особых свойств// Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. - Томск, 2002. - №1(6). - С. 97-109.
2. Ижендеева С.Р. Метод синтеза механических систем наименьшего веса при ограничениях по прочности, устойчивости и на величину низшей частоты собственных колебаний. //Труды НГАСУ. - Новосибирск, 2003. - Т. 6, №6(27) - С. 67-72.
3. Ижендеева С.Р. Метод синтеза механических систем наименьшего веса при статической и динамической нагрузке и различных ограничениях. // Строительство - формирование среды жизнедеятельности: Материалы первой международной научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и докторантов. - Кн.2 - Москва: МГСУ, 2003. - С. 95-99.
