Исследование геометрических и динамических свойств самоподобных кластеров
111
На правах рукописи
АЛЕХИН Александр Павлович
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ САМОПОДОБНЫХ КЛАСТЕРОВ
01.04.02 – теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Казань – 2012
Работа выполнена на кафедре теоретической физики ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) Федеральный Университет».
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор Нигматуллин Равиль Рашидович
Официальные оппоненты:
Учайкин Владимир Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, Ульяновский Государственный Университет, заведующий кафедрой теоретической физики
Мокшин Анатолий Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент, Казанский (Приволжский) Федеральный Университет, Институт Физики, заведующий кафедрой вычислительной физики и моделирования физических процессов
Ведущая организация: Казанский национальный исследовательский
технический университет им. А.Н. Туполева.
Защита состоится 25 мая 2012 г. в 14 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.081.15 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлёвская, д. 18а, физический факультет, аудитория ___.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) Федерального Университета.
Автореферат разослан «___» апреля 2012 г.
Учёный секретарь
диссертационного совета Ерёмин М.В.
Общая характеристика работы
Работа посвящена исследованию геометрических и динамических свойств самоподобных кластеров. Разработанные модели представления (методы параметризации) кластеров позволили применить квазифрактальный подход к их анализу и отыскать параметры, чувствительные к изменению заданных свойств системы, в которой эти кластеры были выращены. Так же в работе исследована взаимосвязь статистически самоподобного распределения зарядов/диполей на поверхности твердого тела (подложке) с особенностями электростатического потенциала вблизи нее, и предложен метод нахождения параметров этого распределения по известному электростатическому потенциалу вблизи подложки. Результаты компьютерного моделирования количественно согласуются с аналитическими расчетами.
Актуальность темы
Физика твердого тела и статистическая физика исследует в основном свойства макроскопических систем, используя т.н. термодинамический предел, предполагающий, что объем V и число частиц N в системе стремятся к бесконечности при постоянной плотности n = N/V. Такое приближение позволяет найти большинство «объёмных» характеристик системы.
Микроскопические объекты, например, электроны в атоме водорода, описываются квантовой механикой. В квантовой механике состояние частицы характеризуется волновой функцией 
, определяемой из уравнения Шредингера.
Исследование же систем промежуточного размера (такой размер определяют как «мезоскопический» [1]) представляет интерес не только для ответа на вопрос: каким образом достигается термодинамический предел при последовательном увеличении размера системы от молекулы до массивного образца? Существует много явлений, которые присущи только мезоскопическим системам. Мезоскопические системы в действительности похожи на большие молекулы, но они всегда, по крайней мере, слабо, связаны (посредством фононов, многочастичных возбуждений и т.д.) с гораздо большими (по существу – бесконечными) системами. Иногда силу этой связи можно контролировать, и, в идеале, было бы интересно проследить, как меняются различные характеристики системы при последовательном изменении силы связи от случая почти невзаимодействующей (слабо-коррелированной) до сильно взаимодействующей (сильно-коррелированной) системы.
Основной трудностью при исследовании таких систем является то, что они содержат слишком большое количество атомов (106-109), чтобы задачу можно было решить напрямую, используя методы квантовой механики.
Эту проблему можно решить переходом к феноменологическому рассмотрению исследуемой системы, посредством введения потенциалов взаимодействия между ее структурными единицами и дополнительных предположений об их геометрии. Так, например, предположение о том, что неупорядоченная среда состоит из сильно-коррелированных фрактальных кластеров, слабо взаимодействующих друг с другом, позволило объяснить многие особенности диэлектрических спектров сложных веществ в широком диапазоне частот [2].
Прямые эксперименты и компьютерное моделирование [11-13] показали, что кластеры, образующиеся в процессах агрегации частиц, обычно обладают самоподобной структурой, хотя встречаются и отклонения [9]. В свою очередь, геометрические свойства самоподобных объектов описываются с помощью фрактальной геометрии – отрасли математики, которая стала активно развиваться после фундаментальных работ Бенуа Мандельброта [5-8]. В настоящее время область применения фрактальной геометрии постоянно расширяется [3, 4]. В рамках этих представлений основным параметром, характеризующим масштабно-инвариантные свойства фрактального объекта, является его размерность Хаусдорфа-Безиковича, которая в отличие от топологической размерности, как правило, является нецелым числом.
Обращаясь к проблеме исследования самоподобных кластеров, важно отметить, что процесс агрегации частиц является неравновесным и взаимодействие их друг с другом, с растущим кластером, а также влияние внешних факторов отражается на особенностях геометрии получаемого кластера. К сожалению, фрактальная размерность не всегда оказывается чувствительной к изменению параметров системы, что потребовало построения модели кластера, в которой существует параметр чувствительный к изменению заданного фактора системы (взаимодействия между частицами, температуры, плотности и т.п.). Такой подход позволил рассматривать кластер как «маркер» заданного фактора системы.
Наряду с фрактальными агрегатами особое внимание уделяется свойствам диэлектрических тонких пленок, создаваемых на поверхности твердого тела (подложке). Для анализа структуры таких пленок широко применяются методы сканирующей зондовой микроскопии [16], однако чтобы определить статистические характеристики поверхности необходимо проводить фрактальный анализ изображений. Хотелось бы иметь в распоряжении метод, позволяющий напрямую получать значения этих параметров, например, измеряя электростатическое поле вблизи поверхности. Такое поле может создаваться зарядами или диполями, нанесенными каким-либо образом на нее [14, 15]. Мы нашли только две работы [17, 18], в которых авторы рассматривают эту задачу, но они заменяют реальную дискретную структуру непрерывной из-за чего теряется логопериодическая часть решения.
Несомненно, что расширение возможностей анализа самоподобных кластеров, посредством применения квазифрактального подхода, а также исследования взаимосвязи между геометрией распределения зарядов/диполей и потенциалом, который они создают, представляет собой актуальную задачу.
Цель работы
Целью представленной работы является исследование геометрических и динамических свойств самоподобных кластеров. Были поставлены следующие задачи: 1) проверить применимость квазифрактального представления для анализа геометрической структуры широкого класса неупорядоченных систем на модельных данных; 2) подтвердить аналитически и проверить численно гипотезу о том, что самоподобная система электрических зарядов создает электростатический потенциал, содержащий слагаемое с нецелым (дробно-степенным) показателем степени.
Основные положения, выносимые на защиту:
- Показано, что применение квазифрактального подхода, основанного на построении модели кластера, в которой присутствует параметр, чувствительный к изменению условий его роста, существенно расширяет возможности анализа неупорядоченных систем.
- Разработанные модели представления кластеров позволяют количественно анализировать влияние факторов роста кластеров на особенности их геометрии.
- Показано, что самоподобное распределение зарядов/диполей на поверхности твердого тела (подложке) создает вблизи нее электростатический потенциал, содержащий произведение дробно-степенной функции на функцию, периодическую в логарифмических координатах
Научная новизна результатов заключается в следующем:
- подтверждена применимость квазифрактального представления для анализа геометрической структуры широкого класса неупорядоченных систем;
- разработаны модели представления кластеров, позволяющие количественно анализировать влияние факторов роста кластеров на их геометрические особенности;
- показано, что самоподобное распределение заряда/диполей на поверхности твердого тела (подложке) создает вблизи нее электростатический потенциал, содержащий произведение дробно-степенной функции на функцию, периодическую в логарифмических координатах;
- предложен подход к анализу статистически самоподобного распределения зарядов/диполей на поверхности твердого тела, основанный на заданном электростатическом потенциале вблизи этой поверхности.
Научно-практическая значимость результатов диссертации
Научно-практическая значимость работы состоит в том, что удалось подтвердить применимость квазифрактального подхода для анализа неупорядоченных систем. В этом случае вместо единственного параметра, характеризующего геометрические свойства кластеров – фрактальной размерности в зависимости от выбранной параметризации получается набор параметров. Среди этого набора присутствует параметр, чувствительный к изменению заданного внешнего фактора, к которому можно отнести: потенциал межчастичного взаимодействия, температурy системы, плотность, массу частиц и т.д. Тем самым, кластер становится «маркером» заданного фактора системы. Выбор параметризации является произвольным и определяется исходя из наличия чувствительного параметра.
Также было показано, что самоподобная геометрия распределения зарядов/диполей на поверхности твердого тела порождает электростатический потенциал, содержащий произведение дробно-степенной функции на функцию, периодическую в логарифмических координатах, причем на расстоянии меньшем типичного размера кластеров это слагаемое дает ведущий вклад в потенциал.
Предложен способ определения статистических параметров самоподобного распределения зарядов/диполей на поверхности твердого тела, например, в тонких пленках по известному потенциалу вблизи нее.
Мы надеемся, что данная работа окажется полезной для специалистов, занимающихся созданием и анализом тонких пленок с заданными свойствами, а также тем, кто интересуется спецификой протекания различных химических реакций на поверхностях катализаторов.
Апробация работы
Основные результаты работы были доложены на следующих конференциях: пятой международной конференции «Нелинейная динамика» (Нидерланды, Эйндховен, 2005); пятом международном междисциплинарном симпозиуме «Фракталы и прикладная синергетика в нанотехнологиях»; Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных (г. Уфа, 2008 г.); итоговой научно-образовательной конференции студентов Казанского государственного университета (г. Казань, 2008 г.); международной конференции «Нелинейная наука и сложные системы» (Турция, Анкара, 2010).
Личный вклад автора
Постановка задач принадлежит научному руководителю. Все решения задач, изложенные в диссертации, выполнены соискателем.
Публикации. Основное содержание работы отражено в 11 научных публикациях.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Объём работы – 100 страниц печатного текста, включая 58 рисунков, 3 таблицы и библиографию из 68 наименований.
Основное содержание работы
Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формируются цели и задачи диссертации, даётся общая характеристика работы и её составных частей, а также приводится список основных публикаций и тезисов по работам конференций.
В первой обзорной главе даны основные понятия, формулы и выражения, используемые в диссертации. Приводятся методы вычисления фрактальной размерности и спектра размерностей и применение их для анализа геометрических свойств неупорядоченных систем.
Во второй главе предлагается новый подход к анализу неупорядоченных систем (самоподобных кластеров), основанный на применении квазифрактального формализма. Квазифракталы – это новый тип самоподобных объектов, обладающих более медленным (логарифмическим) подобием, в отличие от фракталов.
Процессы роста агрегатов в газовой фазе металлов, коллоидных растворах; в тонких пленках на поверхности твердого тела (подложке) и т.п. являются неравновесными и приводят к образованию самоподобных кластеров. Обычно для анализа структуры этих объектов прибегают к помощи фрактальной геометрии. В качестве основного параметра используется фрактальная размерность (D) или спектр размерностей 
. В первом случае для получения значения D используют соотношение «число частиц – радиус» (1), которое связывает размер кластера с числом частиц, которые его составляют. Под размером кластера обычно понимают радиус наименьшей сферы, содержащей в себе все частицы кластера.
, (1)
где R – размер кластера, N – число частиц (мономеров) кластера, 
– радиус мономеров.
Очевидно, что изменение параметров системы (температуры, плотности частиц, потенциала межчастичного взаимодействия и т.п.) приводит к изменению в геометрии получаемых кластеров. Это должно отражаться на величине фрактальной размерности, однако D не всегда является параметром, чувствительным к изменению свойств системы. Аналогичная картина наблюдается и в случае спектра размерностей. В общем случае, если в системе имеется n управляющих параметров, то нам необходимо не менее n подгоночных параметров, чтобы связать геометрию кластера со свойствами системы, в которой он был выращен. Таким образом, кластер рассматривается как «маркер» этой системы.
Для применения квазифрактального формализма необходимо построение модели кластера (его параметризации), в которой имеется параметр, чувствительный к изменению заданного свойства системы.
В первой части главы рассматривается применение этого подхода для анализа плоских кластеров, формируемых в процессе ограниченной диффузией агрегации (ОДА) [10] как на решетках разных типов (рис. 1, а), так и в сплошной среде (рис. 1, б). Параметризация кластеров основывается на введении понятия «координационной сферы». Под координационной сферой понимается тонкий сферический слой радиуса 
, содержащий, обычно, небольшое число частиц 
, где j – номер координационной сферы. Результаты подгонки в дважды логарифмических координатах выражений 
и 
для различных типов кластеров приведены на рис. 2. Видно, что за исключением области наиболее близкой к затравочной частице зависимости хорошо аппроксимируются степенными функциями 
и 
, в результате чего мы получаем не один параметр (фрактальную размерность), а четыре параметра, связанных с геометрией кластера.
