Двухэтапная модель математического программирования для решения задачи оптимального управления финансовым портфелем коммерческого банка

На правах рукописи

Морозов Александр Юрьевич

Двухэтапная модель математического программирования для решения задачи оптимального управления финансовым портфелем коммерческого банка

Специальность 08.00.13 – “Математические и инструментальные методы экономики”

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата экономических наук

Пермь 2009

Работа выполнена на кафедре информационных систем и математических методов в экономике Пермского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Симонов Петр Михайлович

Официальные оппоненты: доктор экономических наук, доцент

Елохова Ирина Владимировна

кандидат экономических наук

Кузнецов Константин Борисович

Ведущая организация: Ивановский химико-технологический университет

Защита состоится “25” декабря 2009 г. в 13-00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.189.07 при ГОУ ВПО “Пермский государственный университет” по адресу: 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15, ПГУ, зал заседаний ученого совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета, с авторефератом – в библиотеке и на сайте Пермского государственного университета (http://www.psu.ru)

Автореферат разослан “25” ноября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор экономических наук,

доцент Ю.А. Малышев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Актуальность исследования. Банки являются неотъемлемой частью любой современной экономической системы: они опосредуют связи между промышленностью и торговлей, сельским хозяйством и населением. Устойчивость банковской системы существенным образом влияет на эффективность экономики страны.

Известные решения задачи оптимального управления банковским портфелем не лишены ряда недостатков. Условия справедливости многих существующих моделей слишком узки, и, как следствие, модели находят ограниченное применение на практике. Указанная ограниченность связана с тем, что трудно построить качественную оптимизационную модель, которая позволяла бы одновременно учитывать как краткосрочные, так и долгосрочные цели банка. В существующих моделях достижение оптимального состояния обеспечивается, как правило, на некотором ограниченном и изначально определенном отрезке времени. Вместе с тем, чисто «стратегические» модели оптимального управления, дающие рекомендации по структуре банковского портфеля в долгосрочной перспективе, не позволяют ее пользователям получать ответы на вопросы текущего, тактического, оптимального управления.

Поэтому необходима разработка подходов, позволяющих учитывать цели банка на разные отрезки времени в будущем, поскольку модель может быть полноценно применена на практике управления только при условии соблюдения и достижения организацией стратегических планов и ориентиров.

Отсутствие достаточно приемлемых для практического использования теоретических и методических подходов к решению задачи построения универсальной модели оптимального управления банковским портфелем обусловило актуальность выбранной темы.

Степень разработанности проблемы. На основе анализа существующих материалов и работ в области управления финансовыми ресурсами можно выделить следующие классы моделей: оптимизационные модели, имитационные модели, модели стохастического программирования, описанные в иностранной литературе1

^[1]. Интерес автора концентрируется в области оптимизационных банковских моделей.

Как известно, существующие оптимизационные банковские модели классифицируются по следующим признакам2

^[2] : степень общности модели, состав управляемых переменных,

наличие случайных характеристик, вид целевой функции, учет времени (динамичности).

Первая публикация, относящаяся к математической теории банковской фирмы, увидела свет в 1888 г., ее автором был F.Y. Edgeworth. Первой же серьезной научной работой, посвященной моделям формирования банковского портфеля, принято считать публикацию R.C.Porter в 1961 г.

Наиболее известными работами по проблемам построения и описания полных моделей (в которых учитываются оба аспекта деятельности банка: привлечение и размещение), являются публикации таких авторов, как И.Ф. Цисарь, И.Л. Меркурьев, M.A. Klein, C.W. Sealy. Также следует назвать диссертации Т.В. Карабановой и Н.Ю. Монаховой, А.П. Колчанова. Наиболее наглядно полная модель представлена в работе А.С. Козлова.

Среди авторов частных моделей, которые описывают конкретную сферу деятельности банка, следует назвать S.P. Bradley, D.B. Crane. Отечественные разработки в этом направлении представлены работами M.В. Антонова и А.Б. Поманского, С.М. Гуриева и И.Г. Поспелова.

Бесспорно, вышеупомянутые ученые и специалисты внесли большой вклад в разработку моделей оптимального управления банковским портфелем. Однако проблема управления финансовыми ресурсами банка с помощью методов математического моделирования до настоящего времени не получила однозначного решения, что обусловлено сложностью моделируемого объекта и проблем, возникающих при попытках построения адекватных математических моделей и их исследования посредством доступных методов. Кроме того, авторам не удалось решить проблему сочетания в единой модели целевых функций на разные периоды времени в будущем.

Результаты исследований, представленных в диссертации, соответствуют следующим областям исследований, определенных Паспортом специальностей ВАК РФ:

08.00.13. – Математические и инструментальные методы экономики:

1.1. Разработка и развитие математического аппарата анализа экономических систем: математической экономики, эконометрики, прикладной статистики, теории игр, оптимизации, теории принятия решений, дискретной математики и других методов, используемых в экономико-математическом моделировании.

1.6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов.

Цели и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является построение прикладной модели оптимального управления финансовыми ресурсами коммерческого банка, позволяющей принимать управленческие решения вне зависимости от периода моделирования. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• изучить существующие подходы к построению оптимизационных моделей управления финансовыми ресурсами коммерческих банков с целью использования имеющегося опыта в разработке универсальной модели;
• разработать подход к оптимальному управлению банковским портфелем, учитывающий краткосрочные и долгосрочные цели;
• построить двухуровневую модель оптимального управления активами коммерческого банка с учетом целей краткосрочного и долгосрочного планирования.

Объектом исследования является крупный коммерческий банк, рассматриваемый как система управления финансовыми ресурсами.

Предметом исследования является разработка подходов и алгоритмов, необходимых для построения универсальной двухэтапной модели оптимального управления финансовым портфелем коммерческого банка.

Методы исследования. Методологическими и теоретическими основами диссертационного исследования являются научные труды отечественных и зарубежных ученых по проблемам оптимального управления банковским портфелем. Использовались системный анализ, математическая статистика и аппарат теории исследования операций. Построение и разработка моделей оптимального управления банковским активами осуществлялись с использованием средств Microsoft Office, а также программного продукта Maple.

Данная работа основана на информационной базе Западно-Уральского банка Сбербанка России ОАО. Реальные данные этого филиала крупнейшего в нашей стране коммерческого банка явились информационном полем, на котором были построены модели, проверены гипотезы, апробированы результаты. При построении модели функционирования крупного коммерческого банка были также использованы некоторые макроэкономические показатели, например величины процентных ставок. Источником внешних данных являлся Центральный Банк Российской Федерации.

Научная новизна диссертационной работы состоит в разработке двухэтапного подхода к построению модели оптимального управления банковским портфелем.

Наиболее существенные результаты, имеющие научную новизну и полученные лично автором:

1. Показано, что решения, получаемые с помощью однотипных моделей оптимального управления, могут существенно отличаться при различии периодов оптимизации моделей, что обусловливает невозможность одновременно, в рамках одной модели, достигнуть целей, относящихся к разным отрезкам времени в будущем. Это позволило сформулировать свойство неустойчивости оптимального решения к изменению периода оптимизации (п. 1.1. паспорта специальности ВАК РФ по специальности 08.00.13. – Математические и инструментальные методы экономики (математические методы).
2. Сформулировано правило проверки модели оптимального управления финансовым портфелем банка на устойчивость относительно периода оптимизации. Сформулированы условия ограниченного практического применения модели оптимального управления банковским портфелем (п. 1.6. паспорта специальности ВАК РФ по специальности 08.00.13. – Математические и инструментальные методы экономики (математические методы).
3. Предложен двухэтапный подход к построению модели оптимального управления банковским портфелем. Подход позволяет сочетать как тактическое, так и стратегическое оптимальное управление активами и пассивами коммерческого банка, чего в известных моделях ранее не удавалось достигнуть. Он является универсальным с точки зрения банковских целей, применим для поиска оптимального банковского портфеля в любой ситуации (п. 1.6. паспорта специальности ВАК РФ по специальности 08.00.13. – Математические и инструментальные методы экономики (математические методы).
4. Предложена двухэтапная модель оптимального управления финансовыми ресурсами банка, построенная на основе двух моделей математического программирования. Данная модель является прикладным инструментарием для решения задачи оптимального управления банковским портфелем, способного выработать эффективные управленческие воздействия и достигнуть поставленных перед финансовой организацией целей (п. 1.6. паспорта специальности ВАК РФ по специальности 08.00.13. – Математические и инструментальные методы экономики (математические методы).

Теоретическая и практическая значимость диссертации.

Теоретическая значимость диссертации состоит в разработке подхода к построению моделей управления финансовыми ресурсами коммерческого банка, предусматривающих синтез стратегического и тактического управления.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в том, что полученные теоретические положения и выводы позволяют разрабатывать методические материалы, а также строить и использовать прикладные модели для решения задач оптимального управления финансовыми ресурсами коммерческих банков, в т.ч. для принятия управленческих решений по формированию структуры активов и пассивов банка.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:

• региональных конференциях молодых ученых и студентов «Экономика и управление: актуальные проблемы и поиск путей решения», г. Пермь, 2001 г., 2004 г.;
• Всероссийской научно-практической конференции «Управление организационным развитием социально-экономических систем», г. Челябинск, 2002 г.;
• Международной молодежной конференции «Политика и бизнес в меняющемся мире», г. Обнинск, 2002 г.;
• еженедельном научном семинаре для аспирантов, студентов и преподавателей кафедры информационных систем и математических методов в экономике (бывшая кафедра экономической кибернетики) по проблемам применения конструктивных методов исследования динамических моделей в экономике, анализа и прогнозирования процессов социально-экономического развития, г. Пермь, 2005-2009 гг.;
• VII Международной научно–практической конференции «Современный финансовый рынок Российской Федерации», г. Пермь, 2009 г.;
• IV Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование развивающейся  экономики и экологии», г. Киров, 2009 г.

Результаты диссертационного исследования использованы в работе Западно-Уральского банка Сбербанка России ОАО.

Основные положения диссертации используются в учебном процессе Пермского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах (в соавторстве – 4), в т.ч. 2 работы – в ведущих рецензируемых журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией (общий объем указанных публикаций составил более 2 п.л.).

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены цели и задачи исследования, раскрыты научная новизна, объект и предмет исследования, отмечена практическая ценность работы.

В первой главе - «Постановка проблемы исследования» - проведен обзор существующих моделей оптимального управления банковским портфелем, обсуждены достоинства и недостатки отдельных подходов к проблеме. Также в первой главе формулируется подход автора к проблеме, иллюстрируются достоинства выбранного подхода.

Во второй главе – «Первый уровень оптимального управления банком» - четко сформулирована проблема, которую автор предлагает решать с помощью алгоритма двухэтапного моделирования, реализуемого посредством построения двухэтапной модели линейного программирования. Представлена модель первого уровня, описаны алгоритмы получения для нее экзогенных данных, очерчены области применения модели, как в отдельности, так и во взаимосвязи с моделью второго уровня.

В третьей главе – «Модель второго уровня» - приведена методика получения исходных данных для модели второго уровня, проиллюстрирован механизм использования данных, полученных при решении модели первого уровня, в качестве экзогенных переменных в модели второго уровня, представлена модель второго уровня. В главе анализируется сфера возможного применения как предлагаемой методики, так и рассмотренной двухэтапной модели, обсуждаются вопросы практического применения представленных моделей.

В заключении содержатся основные выводы теоретического и практического характера, намечены возможные направления дальнейших исследований.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Показано, что решения, получаемые с помощью однотипных моделей оптимального управления, могут существенно отличаться при различии периодов оптимизации моделей, что обусловливает невозможность одновременно, в рамках одной модели, достигнуть целей, относящихся к разным отрезкам времени в будущем. Это позволило сформулировать свойство неустойчивости оптимального решения к изменению периода оптимизации.

Большинство авторов кисходили из достоинств или недостатков какого-то одного подхода к оптимальному управлению банковским портфелем, пытались построить единую наилучшую модель. На наш взгляд, при разных уровнях агрегации, при различных уровнях решаемых проблем, преимущества получают и различающиеся подходы и методики.

Представим модели оптимального управления финансовыми ресурсами банка в виде двух основных типов моделей.

Первый тип может быть представлен в следующем виде:

(1)

где Y – n-мерный вектор-столбец неизвестных управляемых переменных; U – n-мерный вектор-столбец параметров; – m-мерный вектор, состоящий из n-мерных функций; B – m-мерный вектор ограничений; «T» означает транспонирование вектора. Отметим для определенности, что .

Существенной чертой моделей вышеуказанного типа является отсутствие в них в явном виде временного параметра.

Модели второго типа можно представить в следующем виде:

(2)

где – n-мерный вектор-столбец управляемых переменных, но управление задается в модели в каждый момент времени t; – n-мерный вектор-столбец параметров в каждый момент времени t; – переменный m-мерный вектор, состоящий из n-мерных функций; - m-мерный переменный вектор ограничений.

Модели второго типа являются динамическими, учитывающими параметр времени.

Хотя, с точки зрения теории математического программирования, указанные две модели относятся к одному классу, так как можно произвести переобозначение X(t), например, через Z (), но с позиции моделирования некого динамического процесса указанное различие становится существенным.

Предположим, что обе модели являются задачами оптимального управления финансовыми ресурсами банка. Тогда Y и будут обозначать объемные характеристики активов банка; примем также, что , где - стоимость активов банка, а h – величина временного шага, В и – вектор и переменный вектор ограничений, учитывающих балансовое соотношение (активы равны пассивам), требования соблюдения обязательных банковских нормативов и прочее.

В такой постановке модель первого типа позволит решить задачу оптимального распределения ресурсов банка вне привязки ко времени. При этом очевидно, что она не даст ответа на вопрос о механизме перехода банковского портфеля активов и пассивов из начального состояния в оптимальное . На основе применения для решения той же задачи модели второго уровня как раз и будет найден переход из в . Однако у модели второго типа существует серьезный недостаток – она позволяет найти оптимальный портфель применительно только к конкретному интервалу времени [0,…,Т].

В общем случае у двух моделей второго типа, отличающихся длиной временного промежутка, решения будут различаться. Например, пусть имеется решение одной из задач (2) при t=0,1,…,T:

{, t=0,…,T}. (3)

Пусть также имеется решение второй задачи (2) при t=0,1,…,T+L, L>0:

{, t=0,…,T+L}. (4)

Тогда, в общем случае, будет выполнено следующее (конечно, для какой-то конкретной постановки решения могут и совпадать):

(5)

Это означает, что, решая задачу оптимального управления портфелем банка, с помощью модели второго типа можно получить оптимальное управление, позволяющее максимизировать целевую функцию лишь для одного заранее заданного временного отрезка. С помощью полученного решения по управлению невозможно будет добиться максимизации критерия одновременно для двух и более разных промежутков времени.

Таким образом, если поставлена задача оптимального управления банковскими ресурсами, то использование для ее решения модели второго типа позволит найти оптимальное управление лишь для одного заранее заданного временного отрезка.

Если воспользоваться моделью первого типа, то руководство банка не получит рекомендаций относительно конкретных управленческих воздействий.

Предлагается построить такую модель оптимального управления, которая бы была лишена указанных недостатков, т.е. которая бы, с одной стороны, давала бы ответ на вопрос об оптимальной структуре портфеля банка в долгосрочной перспективе, а с другой стороны, позволила бы с помощью спектра предлагаемых управленческих воздействий максимизировать процентную прибыль банка на некотором конкретном временном отрезке.

2. Сформулировано правило проверки модели оптимального управления финансовым портфелем банка на устойчивость относительно периода оптимизации. Сформулированы условия ограниченного практического применения модели оптимального управления банковским портфелем.

Отметим, что большинство моделей, представленных авторами работ, перечисленных ранее, в т.ч. в работах И.Ф. Цисаря, И.Л. Меркурьева, M.A. Klein, C.W. Sealy, Т.В. Карабановой и Н.Ю. Монаховой, могут после их упрощения, заключающегося в приведении моделей к линейному виду, быть обозначены для определенности как «К» модели, решение указанных моделей обозначим через :

(7)

где – набор управляемых переменных (например, объемные характеристики банковских активов и пассивов), управление задается в модели для каждого момента времени t. , и – соответствующие наборы параметров, h – параметр, характеризующий длину временного шага.

Теперь обозначим через решение следующей модели «М» («М-решение»):

(8)

Поскольку модель «К» отличается от модели «М» лишь промежутком оптимизации, а все ограничения на внутреннем временном промежутке одинаковы, то множество допустимых значений {} в модели «M» не уже множества допустимых значений модели «К». Отсюда можно сформулировать следующие соотношения:

, (9)

. (10)

Здесь и означают, что искомые переменные взяты из соответствующих задач (7) и (8) и удовлетворяют множествам допустимых значений указанных задач.

Запишем частный случай условия (10):

, (11)

. (12)

Назовем (12) условием моделей «K-М».

Применительно к задаче оптимального управления портфелем коммерческого банка можно так интерпретировать условие (12): большая часть решения долгосрочной оптимизационной задачи соответствует решению, доставляющему максимальную доходность портфелю банка ( – математическое выражение для доходности портфеля активов в момент времени ). Критерием при получении двух решений (задачи «M» и задачи «K») является прибыль, при этом в случае задачи «K» в целевой функции вычисляется реально полученная прибыль за более продолжительный промежуток времени.

При постоянстве экзогенных переменных и одинаковости наложения ограничений можно ожидать, что условие (12) выполнится, а это будет означать, что долгосрочное оптимальное решение модели будет соответствовать решению, обеспечивающему максимальную доходность портфелю. Другими словами, условие (12) представляет собой условие прохождения оптимального решения через точки максимальной доходности портфеля банка.

При соблюдении условия (11) на некотором внутреннем промежутке времени по отношению к промежутку [0,…,Т] можно утверждать, что будет выполняться

=. (13)

Отличаться эти два решения будут лишь конечными отрезками (и тем меньше они будут отличаться, чем длиннее временной промежуток, для которого ищется долгосрочно-оптимальная траектория).

Заметим, что выполнение условия (12) как раз и будет означать такую модель оптимального управления, которая позволит максимизировать процентную прибыль банка на любом временном отрезке.

Таким образом, одной из задач, стоящих перед исследователями, является проверка сформулированных выше условий (11) и (12). Процедура проверки данного факта сводится к решению задач разной «длины» и сравнению доходностей в одной и той же временной точке. Если окажется, что доходности в одних и тех же временных точках для моделей разной длины совпадают, то можно быть уверенным, что учитываются как краткосрочные, так и долгосрочные цели банка. Таким образом, сформулировано простое правило непосредственной проверки моделей на устойчивость относительно периода оптимизации.

Автором предложена модель, вырабатывающая устойчивые по отношению к временному интервалу управленческие воздействия, т.е. показано, что существует модель, решение которой на промежутке [0,T] удовлетворяет условию (12).

Исходя из условия (11) можно сделать вывод, что для выполнения указанного равенства достаточно, если все ограничения на управляемые переменные будут иметь следующий вид:

.

Другими словами, независимость величин между собой является достаточным условием выполнения равенства (11).

Однако очевидно, что условия (11) и (12) слишком жесткие, требование независимости ограничений надуманно, а предложенная гипотетическая модель достаточно примитивна. В реальности характер наложенных ограничений таков, что выполнение условия (11) не происходит, а следовательно, невозможно с помощью модели вида (7) достигнуть как краткосрочных, так и долгосрочных целей банка одновременно.

Проверить невыполнимость условий (11) и (12) применительно к конкретной модели математического программирования предлагается непосредственно. Это означает, что необходимо конкретную модель математического программирования рассчитать на разной «длине» и сравнить доходности в одной и той же временной точке. Если окажется, что доходности в одной и той же временной точке для моделей разной длины окажутся разными, это и будет свидетельствовать о невыполнимости условий (11) и (12).

Отметим, что все модели вида (7), построенные автором с учетом экономических реалий, не прошли проверку на устойчивость – условия (11) и (12) не выполнились.

Важно, что, применяя модель вида (7) для решения задачи оптимального управления (в частности, оптимального управления портфелем коммерческого банка), необходимо проверить полученное решение на устойчивость относительно смены горизонта оптимизации. Указанная процедура основана на проверке выполнения условия (11) или (12). Если модель не проходит проверку, то нельзя ее рассматривать как универсальную модель для достижения как краткосрочных, так и долгосрочных целей банка. В результате мы получили своеобразные условия нецелесообразности применения единой модели оптимального управления банковским портфелем. Таким образом, невыполнение условий (11) и (12) для конкретной модели математического программирования по оптимальному управлению банковскими ресурсами свидетельствует об ограничении ее практического использования при выработке оптимальной структуры банковского портфеля. В случае применения такой модели велики риски того, что выработанные такой моделью управленческие воздействия не позволят достигнуть устойчивой оптимальной структуры портфеля, не будут соответствовать стратегии банка.

Проведенные исследования существующих моделей оптимального управления банковским портфелем показали, что для учета в модели как краткосрочных, так и долгосрочных целей банка нужен иной подход, который и будет изложен автором ниже.

3. Предложен двухэтапный подход к построению модели оптимального управления банковским портфелем. Подход позволяет сочетать как тактическое, так и стратегическое оптимальное управление активами и пассивами коммерческого банка, чего в известных моделях ранее не удавалось достигнуть. Он является универсальным с точки зрения банковских целей, применим для поиска оптимального банковского портфеля в любой ситуации.

Для преодоления указанных выше недостатков моделей первого (модель вида (1) и второго (модель вида (2) типов предлагается двухэтапный подход к моделированию процесса управления банковским портфелем. Такой подход позволяет в рамках каждого этапа моделирования использовать лишь однородные математические конструкции. На первом этапе строится полная оптимизационная модель банка, в качестве критерия оптимальности которой выступает стратегия банка. На втором этапе моделирования создаются частные динамические оптимизационные модели отдельных аспектов деятельности банка, критериями оптимальности которых выступают частные краткосрочные цели банка, согласующиеся со стратегией развития банка, выработанной на первом этапе.

Практической реализацией указанного подхода является модель математического программирования, состоящая из моделей первого и второго типа одновременно.

Пусть поставлена задача оптимального управления банковским портфелем.

Если для решения поставленной задачи воспользоваться лишь моделью второго типа, то возникают следующие две проблемы:

1. Все без исключения пассивы являются условно-управляемыми величинами (повлиять на которые банк может только косвенно, через тарифы и процентные ставки, окончательное же решение о размещении средств в банке принимают предприятия или физические лица), портфель активов, в свою очередь, состоит как из управляемых, так и из условно-управляемых активов. К условно-управляемой части активов относятся кредиты и прочие кредитные продукты. К управляемой части относятся, например, ликвидные ценные бумаги, деньги на корреспондентских счетах других банков (величины управляемых активов банк меняет самостоятельно, по своему волевому решению). Таким образом, решив задачу математического программирования второго типа, руководство банка не сможет действовать в соответствии с полученным решением, поскольку не сможет полноправно управлять условно-управляемыми величинами. Ведь строгое управление банком пассивами невозможно (оно зависит от желаний контрагентов банка), возможно лишь установление общей структуры и определенных ориентиров привлечения средств (посредством лимитов, тарифов и процентных ставок). То же можно сказать и про условно-управляемые активы – на практике неизменно возникнут отклонения от директив, выработанных моделью второго уровня.
2. Построенная модель математического программирования может не удовлетворять условию (11) или (12).

Если воспользоваться лишь моделью первого типа, то руководство банка не получит рекомендаций относительно конкретных управленческих воздействий.

В диссертации предлагается следующее:

1. разбить портфель активов на две части: условно-управляемую и управляемую;
2. на основе укрупненных группировок активов и пассивов построить модель первого типа (стратегическую);
3. построить модель второго типа (тактическую), где в качестве управляемых переменных будут выступать только управляемые активы. Величины условно-управляемых активов и пассивов войдут в модель второго уровня в виде экзогенных данных и будут получены на основе решения стратегической модели.

В результате построения вышеописанной двухуровневой модели множество допустимых значений задачи математического программирования, к которой сводится модель второго уровня, будет ограничено оптимальным распределением портфеля активов, полученным в результате решения модели первого уровня, т.е. совокупные величины управляемых активов будут равны тем значениям, которые будут получены в результате решения первой задачи. Это достигается посредством использования в балансовых ограничениях (ограничениях, обеспечивающих равенство банковских активов и пассивов) обеих задач одних и тех же величин. Для связи моделей разных уровней используются величины оптимального объема кредитов и депозитов, полученные после решения задачи линейного программирования первого этапа принятия решений.

В итоге предлагается строить модели оптимального управления финансовыми ресурсами коммерческого банка в два этапа. Такой подход позволяет в рамках каждого этапа моделирования использовать лишь однородные математические конструкции, что дает возможность облегчить исследования указанных моделей. Наличие первого этапа моделирования призвано сформулировать полную оптимизационную модель банка, в качестве критерия оптимальности которой выступает стратегия банка. Второй этап моделирования необходим для создания частных динамических оптимизационных моделей отдельных аспектов деятельности банка, критериями оптимальности которых выступают частные краткосрочные цели банка, согласующиеся с линией поведения, выработанной моделью, полученной в ходе реализации первого этапа.

Часто главной целью организации считается максимизация стоимости инвестиций ее акционеров или, другими словами, максимизация стоимости фирмы. Указанное обычно подразумевает стремление к увеличению рыночной цены организации. С другой стороны, рыночную цену в долгосрочной перспективе определяет прежде всего норма прибыли на инвестированный капитал, которая может быть сведена к абсолютной величине прибыли, если принять величину инвестиций постоянной. Именно поэтому наиболее целесообразно в качестве целевой функции рассматривать максимизацию прибыли банка в долгосрочной перспективе (для модели первого этапа). Кроме того, разразившийся в 2008 г. мировой финансовый кризис подтвердил мысль о том, что сама по себе стоимость компании (банка) может являться переоцененной или неадекватной. Поэтому именно способность компании зарабатывать прибыль следует рассматривать в качестве наиболее адекватной меры эффективности организации, ее жизнеспособности.

4. Предложена двухэтапная модель оптимального управления финансовыми ресурсами банка, построенная на основе двух моделей математического программирования. Данная модель является прикладным инструментарием для решения задачи оптимального управления банковским портфелем, способного выработать эффективные управленческие воздействия и достигнуть поставленных перед финансовой организацией целей.

Модель первого уровня

Задача заключается в следующем: определить при заданных показателях стоимостей активов и пассивов, известных обменных курсах иностранных валют и заданной динамике изменения этих курсов такую структуру баланса коммерческого банка, которая позволит приносить максимум процентной прибыли.

Целевая функция имеет вид

,

где и – искомые величины, соответственно, активов и пассивов. Индекс i характеризует валюту и принадлежит множеству I, индексы j и k отражают, соответственно, определенный вид актива или обязательства (области значений индексов: , ), – значения стоимости активов, – показатели стоимости пассивов, – динамика изменения курсов иностранных валют по отношению к рублю и представляет собой темп годового прироста курса валюты (выражается в тех же единицах, что и ,).

Можно выделить пять основных типов ограничений указанной модели:

• Ограничения на рыночный и кредитный риск.
• Ограничения объемного характера (связаны с ограниченностью отдельных управляемых величин в силу ограниченности спроса и предложения).
• Балансовое ограничение (специфическое ограничение моделей оптимального управления банковским портфелем, выражающееся в требовании равенства актива пассиву).
• Ограничения ликвидности (связаны с соблюдением банком определенной ликвидности своих активов).
• Ограничения по соотношению активов и пассивов в разных валютах (обусловлены ограничением валютного риска).

Рассмотрим типы ограничений подробнее:

1. ограничения на рыночный и кредитный риск. Для включения в модель учета рыночного и кредитного риска предлагается предварительно рассчитать соответствующие уровни риска. Уровень кредитного и рыночного риска может быть получен на основе исторических данных по величине резервов и VAR оценок соответствующих групп активов. Действительно, если банк регулярно производит расчет VAR по своему портфелю активов, то для каждого момента времени в прошлом могут быть определены доли указанных VAR в соответствующих активах. Аналогичным образом могут быть рассчитаны доли созданных резервов по активам к величинам этих активов. Для включения полученных величин в модель предлагается либо их усреднять, либо вычислять иным способом, например методом скользящей средней или же вычислением уровня, соответствующего заданной квантили. Поскольку методология VAR предполагает нормальный закон распределения потерь, то распределение VAR также будет иметь нормальный закон распределения в силу закона больших чисел.

Таким образом, ограничение на кредитный и рыночный риск будет выглядеть следующим образом:

где – ожидаемые потери по соответствующему виду актива; – VAR оценки активов; RISK – приемлемый уровень риска, вычисляемый в процентах от портфеля активов.

2. ограничения объемного характера. Ограничения на емкость рынка заемных средств имеют вид

,

.

Здесь – предельно возможные величины отдельных групп активов или пассивов в силу ограниченности спроса на соответствующие активы или пассивы либо в силу ограниченности емкости соответствующих рынков. Указанные ограничения могут возникнуть также по причине технологической невозможности банка «обслужить» большее значение активов или пассивов. Следует заметить также, что выше для искомых величин записаны лишь ограничения сверху. Однако очевидно, что в силу выполняемых коммерческими банками функций полностью прекратить отдельные операции невозможно. Таким образом, будут иметь место и следующие ограничения:

,

;

3. балансовое ограничение имеет ви

,

где – курс i-й валюты по отношению к рублю, а – разность между неработающими активами и неоплачиваемыми пассивами;

4. ограничения ликвидности. Данный блок ограничений является самым обширным. В настоящее время в литературе существует большое разнообразие подобных ограничений, наиболее часто используемыми при этом являются ограничения, отражающие требование соблюдения обязательных нормативов банка. Следует заметить, что модель первого уровня носит обобщенный характер, в связи с чем полностью отразить в ней требования инструкции №110-И Банка России невозможно. Поэтому приходится ограничиваться некоторыми вариациями указанных нормативов.

Норматив мгновенной ликвидности имеет вид

,

где – неизвестное значение высоко ликвидных активов; – доля пассива k, являющаяся пассивом до востребования; – минимальное отношение суммы высоколиквидных активов банка к сумме пассивов банка по счетам до востребования.

Поскольку искомые величины в модели носят обобщенный характер, приходится пассивы до востребования определять с помощью величин , которые, в свою очередь, могут определяться как экспертно, так и на основе анализа статистических данных.

Норматив текущей ликвидности имеет вид

,

где отражает долю пассивов типа k со сроком погашения в ближайшие 30 дней, обозначает долю кредитов типа j со сроком погашения в ближайшие 30 дней, - минимальное отношение суммы ликвидных активов банка к сумме пассивов банка по счетам до востребования и на срок до 30 календарных дней. Индексы VL и L означают, что активы относятся, соответственно, к очень ликвидным активам (активы «до востребования») и к ликвидным активам (с погашением в ближайшие 30 дней);

5. ограничения на валютную позицию. Нижеприведенные ограничения отражают требования Центрального банка по соблюдению лимитов открытых валютных позиций банка. Ограничения по каждой иностранной валюте, отличной от рубля, имеют вид

Ограничения на балансирующую позицию (в рублях) имеют вид

,

где – лимиты открытых валютных позиций, – рубли во множестве всех валют I.

Как уже отмечалось, модель первого уровня решает проблему определения оптимальной структуры банковского портфеля при создании определенного «сценария». Под сценарием понимается прежде всего стоимостные характеристики активов и пассивов, а также прочие величины, являющиеся экзогенными в модели первого уровня.

Решив описанную задачу для каждого сценария, мы получим следующие показатели, необходимые для дальнейшего моделирования:

• оптимальные величины укрупненных групп активов, сформированных по признаку ликвидности и управляемости,
• оптимальные величины укрупненных групп пассивов.

Можно сказать, что с помощью модели первого уровня вырабатывается общая линия поведения – стратегия развития банка. Модель первого уровня служит инструментом для отыскания оптимальной структуры в определенных экономических условиях (при задании конкретного сценария) на промежутке достаточно большой длины. Вторым применением модели является выполнение ею роли некого промежуточного этапа в более детальном и конкретном моделировании финансовой деятельности банка. Речь идет о получение такой оптимальной структуры активов и пассивов банка, при наличии которой можно будет непосредственно предпринимать конкретные действия. В этом случае данный этап позволит разграничить сопоставимые величины на два отдельных блока. Второй этап моделирования заключается в определении конкретных сроков вложений в активы и в определении срочности и типа ликвидного актива. На первом этапе мы задаем границы и пределы укрупненных групп активов/пассивов, на базе которых на втором этапе определяем более точно распределение управляемых активов банка, а также находим конкретные управленческие воздействия. Полученные на первом этапе моделирования величины будут являться экзогенными для определения конкретных параметров «управляемых активов» в модели следующего уровня.

На втором этапе руководство банка может в отношении отдельных видов активов руководствоваться как частными динамическими оптимизационными моделями, так и экспертными подходами. Другими словами, если известны целевые ориентиры по портфелю кредитов и ценных бумаг, возникает проблема выбора конкретных проектов или ценных бумаг в рамках заданных ориентиров. И решать указанную проблему можно как с привлечением частных моделей, так и без них (с помощью экспертных методов).

Модель второго уровня.

Рассмотрим модель оптимального управления межбанковским кредитами и ценными бумагами. При этом заметим, что неизвестные величины, характеризующие портфель ценных бумаг, будут представлены лишь совокупным объемом субпортфелей (частей общего портфеля) ценных бумаг в разных валютах. Решение модели первого уровня дало возможность рассчитать оптимальный объем ценных бумаг в долгосрочной перспективе. Однако для принятия управленческих решений необходимо определить указанный оптимальный объем также и для каждого промежутка времени. Это и позволит определить модель второго уровня.

Можно утверждать, что в отношении оптимального распределения ресурсов банка предложен новый подход, заключающийся в неизменном построении модели первого уровня и затем в решении частных оптимизационных моделей, основанных на решении, полученном на первом этапе.

Важно подчеркнуть, что границы модели второго уровня должны задаваться с помощью величин, полученных в результате решения задачи первого уровня по определению оптимальной структуры активов и пассивов банка. Лишь в этом случае, достигая краткосрочных целей, решения модели второго уровня не будут противоречить решению стратегической модели, а будут его учитывать.

Пусть T – длина интервала моделирования. Для определенности примем, что «шаг» модели второго уровня (длина интервала [t-1,t]) равняется одному месяцу. Обозначим через неизвестные величины размещения на межбанковский депозит в валюте i, в период моделирования (шаг) j (изменяется от 1 до T) на срок k (изменяется от 1 до K, K – максимально возможный срок размещения депозита). – величина бумаг ОФЗ (облигации федерального займа), купленных в периоде j и проданных через k периодов (j изменяется от 0 до T, k изменяется от 1 до , при этом – максимально возможный срок нахождения бумаг в портфеле и равен T-j+1), при этом если j=0, то бумаги уже были в портфеле в начальный момент времени, если , то бумаги в портфеле остались по истечении промежутка моделирования; – совокупная величина бумаг ГКО (государственные краткосрочные облигации), купленных в периоде j и проданных через k периодов (j изменяется от 0 до T, k изменяется от 1 до ); – совокупная величина еврооблигаций, купленных в периоде j и проданных через k периодов (j изменяется от 0 до T, k изменяется от 1 до ).

Поскольку модель второго уровня является более конкретной, на основе решения которой вырабатываются конкретные управленческие воздействия, постольку указанная модель включает в себя особенности портфеля активов отдельного коммерческого банка. Отметим, что виды активов, представленные в модели, могут быть заменены другими видами активов с несколько измененными характеристиками, более того, в модели второго уровня может быть и иное количество видов управляемых активов. Однако указанные обстоятельства нисколько не вредят общности представленных подходов и сделанных выводов.

Введем обозначения для показателей доходности активных инструментов. Для межбанковских депозитов величины – значения в долях доходностей вложений на межбанковский депозит в валюте i в момент j на срок k (соответствующие доходности ). Положим, что j изменяется от 1 до T, k изменяется от 1 до , i изменяется от 1 до 3, при этом i=1 соответствует доллару США, i=2 соответствует евро, i=3 соответствует рублю.

Для государственных ценных бумаг величины , , – значения усредненных цен соответствующих групп этих бумаг, выраженные в долях единицы относительно уровня цен в начальный период времени. Величины , , – прогнозные величины доходностей к погашению соответствующих субпортфелей ценных бумаг в моменты времени t (выраженных в долях единицы).

рассчитывается следующим образом:

,

где – номинальная ставка в процентах годовых по соответствующему инструменту. При этом, если на срок k ресурсы разместить невозможно, то =0.

Для достижения большей общности модели второго уровня запишем два варианта возможной целевой функции: на максимизацию процентной прибыли за определенный период в будущем и на максимизацию доходности портфеля активов в конце периода оптимизации.

Целевая функция на максимизацию процентной прибыли за определенный период в будущем:

Целевая функция на максимизацию доходности в конце периода:

Здесь доходности вложения в соответствующие валюты i, которые введены для сопоставления доходностей вложений в разные валюты (при этом соответствует доходности доллара). При построении целевой функции все доходы переводятся в рубли, поэтому необходимо учесть и динамику изменения валютных курсов в будущем. Величины аналогичны принятым обозначениям в модели первого уровня и обозначают значение курсов иностранной валюты i к рублю в периоде t (при этом соответствует значениям курса доллара).

Первый тип ограничений касается стыковки по времени или непротиворечивости. Другими словами, нельзя разместить в активы больше средств, чем это позволят сделать ресурсы банка. Запишем сначала соотношения, задающие начальное состояние портфелей ценных бумаг:

В указанном выражении OFZ – величина портфеля ОФЗ в начальный момент времени. По ГКО и еврооблигациям ограничения выглядят аналогично.

Далее запишем балансовое ограничение в первом промежутке времени:

Здесь и далее величины – гашение в момент t размещенных до периода моделирования межбанковских депозитов в валюте i. Для определенности примем, что t при этом изменяется от 1 до T+G, где G – определяет предельный момент времени моделирования процессов, при этом . Запишем ограничения на соответствие размещаемых средств располагаемым ресурсам для периодов со второго по T+G-й:

Необходимо сразу отметить, что ограничения задаются не только на периоде до T-го интервала, но и за горизонтом расчетов (до T+G). Это необходимо, чтобы не произошло так называемого «обвала» решения за моментом T, когда в соответствии с целевой функцией станет невыгодным вкладывать в ликвидные активы. Как видно из представленного выражения, величина – та величина, на которую можно нарастить портфель ценных бумаг и депозитов на рынке МБК (межбанковского кредитования) в периоде t (на промежутке [t-1,t]). Данная величина вычисляется на основе решения модели первого уровня следующим образом:

В приведенном выражении , имеют аналогичный смысл с величинами, используемыми при записи модели первого уровня, при этом и – обозначают решение модели первого уровня. Множество I – множество используемых при моделировании иностранных валют (в приведенных постановках моделей i принимает следующие значения: «рубль», «доллар», «евро»). Множество JJ – множество видов актива, оптимизация которых в модели второго уровня не проводится (для представленной задачи второго уровня j принимает следующие значения: «кредиты», «средства на корреспондентских счетах»). Множество KK – множество всех видов пассива, используемых в модели первого уровня (для представленной задачи первого уровня k принимает следующие значения: «депозиты юридических лиц», «вклады физических лиц»). Выражения

и

позволяют задать состояния совокупных величин отдельных активов или пассивов в разбивке по временным интервалам. При этом, функции и являются функциями выбора минимального значения из списка аргументов, в случае если , , и функциями выбора максимального значения, если , .

Важно отметить, что весь описанный выше подход для определения кредитного портфеля в каждый момент времени базируется на решении задачи первого этапа. Рассмотрим ограничения по ликвидности. Очевидно, что ограничения, накладываемые по соображениям соблюдения определенной ликвидности активов банка, по своей сути будут идентичны тем, что имели место при записи задачи первого уровня. Однако в силу включения в модель второго уровня параметра времени вид ограничений несколько изменится.

Для упрощения записи введем следующие обозначения:

, .

Поскольку искомые величины в модели носят обобщенный характер, приходится пассивы до востребования определять с помощью величин , которые, в свою очередь, могут определяться как экспертно, так и на основе анализа статистических данных.

Норматив текущей ликвидности:

Вышеприведенное выражение является адаптацией к модели второго уровня аналогичного выражения, приведенного в модели первого уровня. Таким образом, вышепредставленное неравенство представляет собой требование выполнения норматива Н3 Центрального банка РФ. отражает долю пассивов типа k со сроком погашения в ближайшие 30 дней; обозначает долю кредитов типа j со сроком погашения в ближайшие 30 дней; - минимальное отношение суммы ликвидных активов банка к сумме пассивов банка по счетам до востребования и на срок до 30 календарных дней (при этом для j, принимающего значение «средства на корреспондентских счетах» =1). Множество JJ включает в себя те виды активов, которые в модели второго уровня являются экзогенными (средства на корреспондентских счетах, кредиты).

Величины ,, – доли торговых субпортфелей ценных бумаг в общих объемах субпортфелей. В модели первого уровня указанные величины имели значение 0,5. Заметим, что ограничения по соблюдению норматива Н3 целесообразно накладывать для периодов времени начиная со второго. Отметим, что здесь также ограничения задаются не только на периоде до T-го интервала, но и за горизонтом расчетов.

Ограничения на валютную позицию. Выражения, задающие ограничения на валютные вложения (на любом интервале t), выглядят следующим образом. Ограничения на валютную позицию в долларах США:

Индекс означает, что активы относятся к типу «межбанковские депозиты». Индекс означает, что активы относятся к типу «ценные бумаги». Ограничения на валютную позицию в евро записываются аналогично.

Ограничения на балансирующую позицию (в рублях):

Следующим этапом в построении модели второго уровня является формирование ограничений, обеспечивающих соответствие модели второго уровня решению модели первого уровня. Для этого необходимо ограничить совокупную величину различных типов активов величинами, полученными в результате решения задачи первого уровня.

Запишем ограничение на совокупную величину межбанковских депозитов:

.

Ограничения на объем портфеля ценных бумаг в рублях:

.

Ограничения на объем портфеля ценных бумаг в долларах США:

.

Кроме того, возможно в модели наложение дополнительных ограничений, задающих конкретные стремления руководства по формированию портфеля активов.

Получив решение модели второго уровня, мы получим конкретные руководства к действию. Сможем ответить на вопрос: какие ценные бумаги следует покупать, например, через два месяца и в каком объеме? Фактически на основе полученного решения можно непосредственно формировать задания для соответствующих управлений и отделов банка.

Таким образом, предложенная двухэтапная модель позволяет, с одной стороны, получить оптимальную структуру распределения банковских активов, соответствующую стратегии банка, с другой – конкретные управленческие воздействия для достижения какой-то конкретной краткосрочной цели (получения максимума прибыли на некотором определенном отрезке времени). Таким образом, предложенный подход имеет преимущества по сравнению с моделями и первого уровня (полученное оптимальное решение дополняется управляющими воздействиями), и второго уровня (в предложенной модели вторая модель соответствует стратегии банка).

Блок-схема процесса реализации двухэтапного подхода к решению задачи оптимального управления финансовым портфелем коммерческого банка представлена ниже.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В ходе диссертационного исследования получены следующие результаты.

1. Решения, получаемые с помощью однотипных моделей оптимального управления, могут существенно отличаться при различии периодов оптимизации моделей, что обусловливает невозможность достижения краткосрочных и долгосрочных целей банка одновременно. Сформулировано свойство неустойчивости существующих моделей.
2. Сформулированы достаточные условия для моделей математического программирования, позволяющие получить устойчивое решение относительно изменения горизонта оптимизации. На основе полученных условий сформулировано правило проверки модели оптимального управления финансовым портфелем банка на устойчивость относительно периода оптимизации. Сформулированы условия ограниченного практического применения модели оптимального управления банковским портфелем.
3. Алгоритм объединения двух моделей математического программирования позволяет решить задачу оптимального управления банковским портфелем, учитывая как краткосрочные цели, так и долгосрочные задачи банка. Таким образом, предложен новый подход, заключающийся в неизменном построении модели первого уровня и затем в решении частных оптимизационных моделей, основанных на решении, полученном на первом этапе.
4. Предложена прикладная двухэтапная модель оптимального управления активами банка на основе двух моделей линейного программирования. Границы модели второго уровня, определяющей выработку управленческих воздействий, задаются с помощью величин, полученных в результате решения задачи первого уровня, определяющей оптимальную структуру активов и пассивов банка. В таком случае, достигая краткосрочных целей, управленческие воздействия и директивы, полученные в модели второго уровня, будут соответствовать как краткосрочным, так и долгосрочным целям банка. Предложенная модель позволяет сочетать как тактическое, так и стратегическое оптимальное управление активами коммерческого банка. Таким образом, осуществлен целостный, полный подход к оптимальному управлению финансовыми ресурсами с точки зрения достижения целей банка.
5. Теоретические заключения и выводы носят предельно общий характер и не зависят от конкретного вида оптимизационной модели. Таким образом, предложенные разработки возможно применять к моделям, имеющим отличный от рассматриваемых вид как целевых функций, так и ограничений.

По теме диссертационного исследования опубликовано 13 работ, в т.ч. 2 работы в ведущих рецензируемых журналах, определенных ВАК РФ.

1. Морозов А.Ю. Двухшаговый подход к решению проблемы построения адекватной модели математического программирования для решения задачи оптимального управления финансовым портфелем коммерческого банках / А.Ю. Морозов// Финансы и кредит. 2009. 38 (374). С. 48-58.
2. Морозов А.Ю. Построение двухэтапной модели математического программирования для решения задачи оптимального управления финансовым портфелем коммерческого банка / А.Ю. Морозов // Вестн. Тамбов. ун-та. Сер. Естественные и технические науки. 2006. Т. 11, вып. 3. С. 270-274.
3. Морозов А.Ю. Оптимальное управление активами банка / А.Ю. Морозов // Актуальные проблемы современной науки. 2003. № 1 (10). С. 168-178.
4. Морозов А.Ю. Оптимальное управление активами банка. Проблемы оптимальности / А.Ю. Морозов // Актуальные проблемы современной науки. 2004. № 1 (16). С. 76-84.
5. Морозов А.Ю. Эффективное управление банком / А.Ю. Морозов // Экономическая кибернетика: математические и инструментальные методы анализа, прогнозирования и управления: Сб. ст. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2002. С. 133-150.
6. Морозов А.Ю. Неустойчивость решения задачи оптимального управления активами банка. Подходы к решению проблемы / А.Ю. Морозов // Актуальные проблемы взаимодействия реального и финансового секторов экономики: сб. науч. ст. / Перм. Гос. ун-т. Пермь, 2006. С. 78-83.
7. Морозов А.Ю. Целесообразность двухступенчатого подхода к оптимальному управлению активами банка / А.Ю. Морозов // Экономика и производство. МТЕ. 2007. № 1. С. 38-41.
8. Морозов А.Ю. Структура эффективного управления ресурсами банка / А.Ю. Морозов // Политика и бизнес в меняющемся мире: тез. докл. III Междунар. молодежной конф. Обнинск, 2002. С. 159-160.
9. Морозов А.Ю. Двухступенчатый подход к оптимальному управлению банком / А.Ю. Морозов // Экономика и управление: актуальные проблемы и поиск путей решения: сб. тез. докл. регион. конф. молодых ученых и студентов. Пермь, 2004. С. 77-79.
10. Морозов А.Ю. Построение двухэтапной модели математического программирования для решения задачи оптимального управления финансовым портфелем коммерческого банка / А.Ю. Морозов, П.М. Симонов // Стратегическое планирование и развитие предприятий. Секц. 2 / Материалы X Всерос. Симпозиума, г. Москва, 14-15 апреля 2009 г. / под ред. чл.-корр. РАН Г.Б. Клейнера. М.: ЦЭМИ РАН, 2009. С. 135-137.
11. Морозов А.Ю. Двухэтапная модель математического программирования для решения задачи оптимального управления финансовым портфелем коммерческого банка / А.Ю. Морозов, П.М. Симонов // Современный финансовый рынок Российской Федерации: материалы VII Междунар. науч.–практ. конф., г. Пермь, 28 мая 2009 г. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2009. С. 393-396.
12. Симонов П.М. Двухшаговый подход в модели управления активами коммерческого банка / П.М. Симонов, А.Ю. Морозов // IV Всерос. науч. конф. «Математическое моделирование развивающейся  экономики и экологии», ЭКОМОД-2009. г. Киров, 6-12 июля 2009 г.: сб. тез. Киров: Изд-во ГОУ ВПО «ВятГУ», 2009. С. 60.
13. Симонов П.М. Построение двухэтапной модели математического программирования для решения задачи оптимального управления финансовым портфелем коммерческого банка / П.М. Симонов, А.Ю. Морозов // Вестн. Перм. гос. ун-та. Сер. Экономика. 2009. Вып. 4 (30). С. 56-69.

---

^[1] Li-Yong YU, Xiao-Dong JI, Shou-Yang W. Stochastic programming models in financial optimization: a survey // AMO - Advanced Modeling and Optimization. 2003. Vol. 5, № 1. P. 1-26.

^[2] Меркурьев И.Л., Виноградов Г.В., Алешина И.Ф., Сидоров М.А. Моделирование финансово-экономической деятельности коммерческого банка. М.: Изд-во Рос. экон. акад., 2000. 160 с.