Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт математики и фундаментальной информатики

ИТОГОВАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АТТЕСТАЦИЯ ВЫПУСКНИКОВ
ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ИНФОРМАТИКИ

ПРОГРАММЫ И ОБРАЗЦЫ ЗАДАНИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫХ ЭКЗАМЕНОВ, ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ, ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ЗАЩИТЫ

ВЫПУСКНЫХ КВАЛИФИКАЦИОННЫХ РАБОТ

Красноярск 2013

Составители: Т.Н.Шипина

Итоговая государственная аттестация выпускников Института математики: программы и образцы заданий государственных экзаменов, правила оформления, представления и защиты выпускных квалификационных работ: Метод. указания / Сибирский федеральный университет; Сост. Т.Н. Шипина. – Красноярск, 2013.

© Т.Н. Шипина

2013

© Институт математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета, 2013

ВВЕДЕНИЕ

Данные методические указания предназначены для сотрудников Института математики и студентов, обучающихся в Институте математики по всем специальностям и направлениям подготовки.

В указаниях изложены программы и образцы заданий государственных экзаменов, правила оформления, представления и защиты выпускных квалификационных работ.

Требования, установленные настоящим пособием, подлежат обязательному применению сотрудниками и студентами Института математики.

В настоящем пособии использованы ссылки на нормативный документ СТО 4.2–07–2013, устанавливающий общие требования к построению, изложению и оформлению документов, выполняемых студентами в процессе обучения студентами в университете.

1 Общие положения об итоговой аттестации^[1]

В соответствии с Законом Российской Федерации “Об образовании” освоение образовательных программ высшего профессионального образования завершается обязательной итоговой аттестацией выпускников.

Целью итоговой государственной аттестации является установление уровня подготовки выпускника к выполнению профессиональных задач и соответствия его подготовки требованиям государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования.

К итоговым аттестационным испытаниям, входящим в состав итоговой государственной аттестации, допускается лицо, успешно завершившее в полном объеме освоение основной образовательной программы по направлению подготовки (специальности) высшего профессионального образования, разработанной высшим учебным заведением в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования.

Итоговая государственная аттестация осуществляется государственными аттестационными комиссиями (ГАК), организованными по каждой основной образовательной программе.

При условии успешного прохождения всех установленных видов итоговых аттестационных испытаний, входящих в итоговую государственную аттестацию, выпускнику высшего учебного заведения присваивается соответствующая квалификация (степень) и выдается диплом государственного образца о высшем профессиональном образовании.

К видам итоговых аттестационных испытаний итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений относятся:

• защита выпускной квалификационной работы;
• государственный экзамен.

Защита выпускной квалификационной работы обязательно включается в состав итоговой государственной аттестации.

Конкретный перечень обязательных итоговых аттестационных испытаний устанавливается государственным образовательным стандартом и утверждается Министерством образования и науки РФ.

Итоговый государственный экзамен по отдельной дисциплине должен определять уровень усвоения студентом материала, предусмотренного учебной программой, и охватывать все минимальное содержание данной дисциплины, установленное соответствующим государственным образовательным стандартом.

Государственный экзамен, проводимый в форме междисциплинарного экзамена по направлению подготовки (специальности), должен наряду с требованиями к содержанию отдельных дисциплин учитывать также общие требования к выпускнику, предусмотренные государственным образовательным стандартом по данному направлению подготовки (специальности).

Итоговые аттестационные испытания не могут быть заменены оценкой качества освоения образовательных программ путем осуществления текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации студента.

Выпускные квалификационные работы выполняются в формах, соответствующих определенным уровням высшего профессионального образования: для степени бакалавр – в форме бакалаврской работы; для квалификации дипломированный специалист - в форме дипломной работы (проекта); для степени магистр – в форме магистерской диссертации.

Выпускные квалификационные работы бакалавров представляют собой самостоятельное исследование или могут основываться на обобщении выполненных выпускником курсовых работ и подготавливаться к защите в завершающий период теоретического обучения.

Магистерская диссертация представляет собой выпускную квалификационную работу, которая является самостоятельным научным исследованием или проектом, выполняемым под руководством научного руководителя с привлечением одного или двух научных консультантов.

Содержание магистерской диссертации могут составлять результаты теоретических и экспериментальных исследований, направленных на решение актуальных задач в различных областях деятельности.

Темы выпускных квалификационных работ разрабатываются выпускающими кафедрами институтов с указанием предполагаемых научных руководителей по каждой теме. Студенту может быть представлено право выбора темы выпускной квалификационной работы вплоть до предложения своей тематики с необходимым обоснованием целесообразности ее разработки. При подготовке дипломной работы каждому студенту назначается руководитель (приказом ректора) и, при необходимости, консультанты.

Выпускные квалификационные работы, выполненные по завершении основных образовательных программ подготовки специалистов и магистров, подлежат рецензированию. Порядок рецензирования устанавливается высшим учебным заведением.

Результаты любого из видов аттестационных испытаний, включенных в итоговую государственную аттестацию, определяются оценками “отлично”, “хорошо”, “удовлетворительно”, “неудовлетворительно” и объявляются в тот же день после оформления в установленном порядке протоколов заседания экзаменационных комиссий.

Работа ГАК проводится в сроки, предусмотренные учебным планом по данному направлению подготовки (специальности).

Порядок проведения итоговых аттестационных испытаний определяется ученым советом университета и доводится до сведения студентов не позднее, чем за 6 месяцев до начала итоговой аттестации.

Студенты обеспечиваются программами государственных экзаменов, им создаются необходимые для подготовки условия, читаются обзорные лекции, проводятся консультации.

За месяц до начала работы ГАК составляется расписание.

Лицам, завершившим освоение основной образовательной программы и не подтвердившим соответствие подготовки требованиям государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования при прохождении одного или нескольких итоговых аттестационных испытаний, при восстановлении в вузе назначаются повторные итоговые аттестационные испытания в порядке, определяемом высшим учебным заведением.

Получение оценки «неудовлетворительно» на государственном экзамене не лишает студента права продолжить обучение и сдавать государственные экзамены по другим дисциплинам.

Студенты, не прошедшие итоговой государственной аттестации или получившие на итоговой государственной аттестации неудовлетворительную оценку, допускается к повторной сдаче экзамена через один год, но не более двух раз.

Если студент отчислен – в течение пяти лет после отчисления из университета, но не ранее, чем через год.

Перечень дисциплин, выносимых на ГАК для лиц, которые не сдали эти экзамены, определяется учебным планом, действующим в год окончания студентом теоретического курса обучения.

Студент, не защитивший выпускную квалификационную работу, допускается к повторной защите не ранее чем через один год и не более чем через пять лет после прохождения итоговой государственной аттестации впервые.

Студентам, не проходившим итоговых аттестационных испытаний по уважительной причине (подтвержденной документально), ректором может быть продлен срок обучения до следующего периода работы государственной аттестационной комиссии, но не более чем на один год.

Выпускники, не прошедшие в течение установленного срока обучения всех итоговых аттестационных испытаний, входящих в состав итоговой государственной аттестации, отчисляются из университета и получают академическую справку.

2 Состав итоговой государственной аттестации в Институте математики

Итоговая государственная аттестация

на присвоение квалификации математик

по специальности 010101.65 “Математика”

1. Междисциплинарный экзамен по специальности “Математика”.
2. Защита дипломной работы.

Итоговая государственная аттестация

на присвоение квалификации математик, системный программист

по специальности 010501.65 “Прикладная математика и информатика”

1. Междисциплинарный экзамен по специальности “Прикладная математика и информатика”.
2. Защита дипломной работы.

Итоговая государственная аттестация

на присвоение степени бакалавра прикладной математики и информатики

по направлению 010500.62 “Прикладная математика и информатика”

1. Междисциплинарный экзамен по направлению “Прикладная математика и информатика”.
2. Защита бакалаврской работы.

Итоговая государственная аттестация

на присвоение степени бакалавра математики

по направлению 010300.62 “Математика. Компьютерные науки”

1. Междисциплинарный экзамен по направлению “Математика. Компьютерные науки”.
2. Защита бакалаврской работы.

Итоговая государственная аттестация

на присвоение степени бакалавра математики

по направлению 010100.62 “Математика”

1. Междисциплинарный экзамен по направлению “Математика”.
2. Защита бакалаврской работы.

Итоговая государственная аттестация

на присвоение степени магистра прикладной математики и информатики

по направлению 010400.68 “Прикладная математика и информатика”

1. Междисциплинарный экзамен по направлению “Прикладная математика и информатика”.
2. Защита магистерской диссертации.

Итоговая государственная аттестация

на присвоение степени магистра математики

по направлению 010200.68 “Математика и компьютерные науки”

1. Междисциплинарный экзамен по направлению “Математика. Компьютерные науки”.
2. Защита магистерской диссертации.

Итоговая государственная аттестация

на присвоение степени магистра математики

по направлению 010100.68 “Математика”

1. Междисциплинарный экзамен по направлению “Математика ”.
2. Защита магистерской диссертации.

Согласно положению об итоговой государственной аттестации выпускников ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет» от 05.06.2010 г. “к междисциплинарному экзамену по направлению (специальности) и защите выпускной квалификационной работы допускаются лица, завершившие полный курс теоретического обучения по одной из основных профессиональных образовательных программ и успешно прошедшие все предшествующие аттестационные испытания, предусмотренные учебным планом. Итоговый экзамен по отдельной дисциплине может проводиться до завершения полного курса обучения по профессиональной образовательной программе”.

3 Программы итоговых экзаменов

3.1 Программа междисциплинарного экзамена по специальности 010101.65 “Математика”

1. Корни и канонические разложения многочленов над полями вещественных и комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями
2. Теоремы об умножении определителей и о ранге матрицы.
3. Правило Крамера, теорема Кронекера-Капелли и теоремы об однородных уравнениях.
4. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Линейные и унитарные пространства, базы, размерность, подпространства.
5. Линейное преобразование, его матрицы, характеристические корни, собственные значения и собственные векторы. Жорданова форма матрицы.
6. Уравнения прямых и плоскостей в пространстве. Канонические уравнения кривых и поверхностей 2-гo порядка.
7. Основная теорема арифметики, сравнения, кольцо .Теорема Ферма о сравнениях по простому модулю, теорема Эйлера (о функции Эйлера) и теорема Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы.
8. Приведение формул исчисления высказываний (ИВ) к нормальным формам.
9. Доказуемые и тождественно истинные формулы ИВ. Теорема о полноте ИВ.
10. Рекурсивность основных арифметических функций.
11. Машины Тьюринга для вычисления простейших рекурсивных функций.
12. Классификация состояний в неприводимой Марковской цепи. Теорема солидарности.
13. Предел последовательности и предел функции в точке.
14. Непрерывность функции в точке и на отрезке, точки разрыва 1-гo и 2-го рода.
15. Дифференцируемость и дифференциалы функций одной и многих переменных. Инвариантность формы 1-го дифференциала.
16. Формула Лагранжа конечных приращений.
17. Формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа.
18. Схема исследования функции и построения ее графика.
19. Числовые и функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.
20. Теорема о неявной функции, дифференцирование неявной функции.
21. Градиент, касательная плоскость и нормаль в точке поверхности. Уравнения касательной и нормали к кривой.
22. Формула Эйлера для нормальной кривизны поверхности в заданном направлении.
23. Первообразная функции, определенный интеграл, его геометрический и механический смысл, теорема о среднем значении. Интегрируемые функции. Формула Ньютона-Лейбница.
24. Дифференцирование интегралов с параметром.
25. Кратные интегралы. Теорема Фубини. Поверхностные и криволинейные интегралы. Формулы Грина, Остроградского, Стокса.
26. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании функциональной последовательности и функционального ряда.
27. Разложение функции по ортогональной системе функций, ряд Фурье, условие замкнутости ортогональной системы (равенство Парсеваля-Стеклова).
28. Метрика, метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества.
29. Фундаментальная последовательность, полное пространство.
30. Принцип сжимающих отображений. Компактное пространство и множество. Критерий компактности в .
31. Норма, нормированное пространство. Линейный оператор в нормированном пространстве. Линейный функционал в нормированном пространстве. Три принципа функционального анализа: теоремы о продолжении линейных непрерывных функционалов, об открытом отображении и равномерной сходимости.
32. Мера Лебега и интеграл Лебега.
33. Определение голоморфной функции, уравнения Коши-Римана.
34. Интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши.
35. Разложение в ряд Тейлора голоморфной функции, формулы выражения коэффициентов через производную и интеграл. Теорема единственности.
36. Классификация изолированных особых точек. Теорема о вычетах. Ряд Лорана. Теорема Руше и принцип аргумента.
37. Дифференциальные уравнения (ДУ) простейших типов и их интегрирование.
38. Теорема Коши-Пикара существования и единственности решения ДУ 1-го порядка.
39. Линейные ДУ -гo порядка с постоянными коэффициентами.
40. Устойчивость решений линейных систем ДУ 2-гo порядка. Классификация особых точек (узел, седло, фокус, центр и др.).
41. Классификация ДУ в частных производных 2-го порядка.
42. Постановка краевых задач для ДУ в частных производных 2-го порядка. Определение классического и обобщенного решения краевых задач.
43. Метод разделения переменных.
44. Определение интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности интерполяции.
45. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод исключения Гаусса, метод исключения с выбором главного элемента. Сравнение методов.
46. Метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости.
47. Метод простой итерации вычисления корня нелинейного уравнения. Условие сходимости. Метод Ньютона: формула, геометрическая интерпретация, условия сходимости.
48. Схема построения разностного решения дифференциальных задач.
49. Явная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ.
50. Неявная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ.
51. Понятие корректности, устойчивости и сходимости разностной задачи. Теорема эквивалентности.
52. Структуры данных: массивы, записи, множества, списки (стеки, очереди, деки). Бинарные деревья.
53. Алгоритмы сортировок (элементарные методы сортировки, быстрая сортировка Хоара, сортировка слиянием), поиска, рекурсий.
54. Основы объектно-ориентированного программирования (инкапсуляция, наследование, полиморфизм). Списки объектов.
55. Симплекс-метод. Постановка задачи. Способы решения.
56. Основные требования к организации баз данных как хранилищ корпоративно используемых данных. Способы и средства достижения этих требований.
57. Технология проектирования баз данных: этапы проектирования, модели представления предметной области, синтаксические модели данных.
58. Классическое определение вероятности. Условная вероятность, независимые события, теоремы сложения и умножения.
59. Дискретные и непрерывные случайные величины, определения и свойства функции и плотности распределения.
60. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Моменты.
61. Сходимость по вероятности, неравенство Чебышева, закон больших чисел в формах Чебышева и Бернулли.
62. Точечные статистические оценки: несмещенность, состоятельность, эффективность. Определение и свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии.

Список литературы

1. Беклемишев, Р. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Р.В. Беклемишев. – М.: Наука, 1981.
2. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. – М.: Наука, 1968.
3. Мальцев, А. И. Основы линейной алгебры / А.И. Мальцев. – М.: Наука, 1970.
4. Мальцев, А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции / А.И. Мальцев. – М.: Наука, 1965.
5. Ершов, Ю. Л. Математическая логика / Ю.Л. Ершов, Е.А. Палютин. – М.: Наука, 1979.
6. Никольский, С. М. Курс математического анализа: в 2 т. / С.М. Никольский. – М.: Наука, 1975.
7. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1970.
8. Зорич, В. А. Математический анализ: в 2 т. / В.А. Зорич. – М.: Наука, 1981.
9. Сидоров, Ю. В. Лекции по теории функций комплексного переменного / Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. – М.: Наука, 1989.
10. Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат. – М.: Наука, 1985.
11. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука, 1989.
12. Боровков, А.А. Теория вероятностей / А.А. Боровков. – М.: Наука, 1986.
13. Севастьянов, Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики / Б.А. Севастьянов. – М.: Наука, 1982.
14. Ивченко, Г.И. Математическая статистика: учеб. пособие. /
    Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев. – М.: Высш. шк., 1984.
15. Турчак, Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – М.: Физматлит, 2003.
16. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
17. Самарский, А. А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самарский. – М.: Наука, 1971.
18. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. – М.: Наука, 1982.
19. Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. – М.: Наука, 1970.
20. Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. – М.: Наука, 1984.
21. Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.П. Михайлов. – М.: Наука, 1983.
22. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Наука, 1977.
23. Вирт, Н. Алгоритмы и структуры данных / Н.Вирт. – М.: Мир, 1989.
24. Хоменко, А. Д. Базы данных: Учеб. для высших учебных заведений / А.Д. Хоменко, В.М. Цыганков, М.Г. Мальцев. – СПб: КОРОНА принт, 2000.
25. Карпова, Т.C. Базы данных: модели, разработка, реализация / Т.C. Карпова. – СПб: Питер, 2001.

3.2 Программа междисциплинарного экзамена по специальности 010501.65 “Прикладная математика и информатика”

1. Корни и канонические разложения многочленов над полями вещественных и комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями
2. Теоремы об умножении определителей и о ранге матрицы.
3. Правило Крамера, теорема Кронекера-Капелли и теоремы об однородных уравнениях.
4. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Линейные и унитарные пространства, базы, размерность, подпространства.
5. Линейное преобразование, его матрицы, характеристические корни, собственные значения и собственные векторы. Жорданова форма матрицы.
6. Уравнения прямых и плоскостей в пространстве. Канонические уравнения кривых и поверхностей 2-ro порядка.
7. Приведение формул исчисления высказываний (ИВ) к нормальным формам.
8. Теорема о функциональной полноте ИВ.
9. Предел последовательности и предел функции в точке.
10. Непрерывность функции в точке и на отрезке, точки разрыва 1-гo и 2-го рода.
11. Дифференцируемость и дифференциалы функций одной и многих переменных. Инвариантность формы 1-го дифференциала.
12. Формула Лагранжа конечных приращений.
13. Формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа.
14. Схема исследования функции и построения ее графика.
15. Числовые и функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.
16. Теорема о неявной функции, дифференцирование неявной функции.
17. Градиент, касательная плоскость и нормаль в точке поверхности. Уравнения касательной и нормали к кривой.
18. Первообразная функции, определенный интеграл, его геометрический и механический смысл, теорема о среднем значении. Интегрируемые функции. Формула Ньютона-Лейбница.
19. Дифференцирование интегралов с параметром.
20. Кратные интегралы. Теорема Фубини. Поверхностные и криволинейные интегралы. Формулы Грина, Остроградского, Стокса.
21. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании функциональной последовательности и функционального ряда.
22. Разложение функции по ортогональной системе функций, ряд Фурье, условие замкнутости ортогональной системы (равенство Парсеваля-Стеклова).
23. Метрика, метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества.
24. Фундаментальная последовательность, полное пространство.
25. Принцип сжимающих отображений. Компактное пространство и множество. Критерий компактности в .
26. Норма, нормированное пространство. Линейный оператор в нормированном пространстве. Линейный функционал в нормированном пространстве. Три принципа функционального анализа: теоремы о продолжении линейных непрерывных функционалов, об открытом отображении и равномерной сходимости.
27. Определение голоморфной функции, уравнения Коши-Римана.
28. Интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши.
29. Разложение в ряд Тейлора голоморфной функции, формулы выражения коэффициентов через производную и интеграл. Теорема единственности.
30. Классификация изолированных особых точек. Теорема о вычетах. Ряд Лорана.
31. Дифференциальные уравнения (ДУ) простейших типов и их интегрирование.
32. Теорема Коши-Пикара существования и единственности решения ДУ 1-го порядка.
33. Линейные ДУ -гo порядка с постоянными коэффициентами.
34. Устойчивость решений линейных систем ДУ 2-гo порядка. Классификация особых точек (узел, седло, фокус, центр и др.).
35. Классификация ДУ в частных производных 2-го порядка.
36. Постановка краевых задач для ДУ в частных производных 2-го порядка. Определение классического и обобщенного решения краевых задач.
37. Метод разделения переменных.
38. Определение интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности интерполяции.
39. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод исключения Гаусса, метод исключения с выбором главного элемента. Сравнение методов.
40. Метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости.
41. Метод простой итерации вычисления корня нелинейного уравнения. Условие сходимости. Метод Ньютона: формула, геометрическая интерпретация, условия сходимости.
42. Схема построения разностного решения дифференциальных задач.
43. Явная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ.
44. Неявная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ.
45. Понятие корректности, устойчивости и сходимости разностной задачи. Теорема эквивалентности.
46. Классификация интерфейсов вычислительных систем.
47. Основные функции операционной системы.
48. Структуры данных: массивы, записи, множества, списки (стеки, очереди, деки). Бинарные деревья.
49. Алгоритмы сортировок (элементарные методы сортировки, быстрая сортировка Хоара, сортировка слиянием), поиска, рекурсий.
50. Основы объектно-ориентированного программирования (инкапсуляция, наследование, полиморфизм). Списки объектов.
51. Симплекс-метод. Постановка задачи. Способы решения.
52. Матричные игры. Решение игры в смешанных стратегиях.
53. Основные требования к организации баз данных как хранилищ корпоративно используемых данных. Способы и средства достижения этих требований.
54. Технология проектирования баз данных: этапы проектирования, модели представления предметной области, синтаксические модели данных.
55. Классическое определение вероятности. Условная вероятность, независимые события, теоремы сложения и умножения.
56. Дискретные и непрерывные случайные величины, определения и свойства функции и плотности распределения.
57. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Моменты.
58. Сходимость по вероятности, неравенство Чебышева, закон больших чисел в формах Чебышева и Бернулли.

59.Точечные статистические оценки: несмещенность, состоятельность, эффективность. Определение и свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии.

Список литературы

1. Беклемишев, Р. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Р.В. Беклемишев. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
2. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. – СПб: Лань, 2008.
3. Мальцев, А. И. Основы линейной алгебры / А.И. Мальцев. – СПб: Лань, 2009.
4. Мальцев, А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции / А.И. Мальцев. – М.: Наука, 1986.

5. Ершов, Ю. Л. Математическая логика / Ю.Л. Ершов, Е.А. Палютин. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.

6. Никольский, С. М. Курс математического анализа: в 2 т. / С.М. Никольский. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
7. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.
8. Зорич, В. А. Математический анализ: в 2 т. / В.А. Зорич. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1997.
9. Сидоров, Ю. В. Лекции по теории функций комплексного переменного / Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. – М.: Наука, 1989.
10. Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат. – М.: Лань, 2004.
11. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.
12. Боровков, А.А. Теория вероятностей / А.А. Боровков. – М.: Либроком, 2009.
13. Севастьянов, Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики / Б.А. Севастьянов. – М.: Институт компьютерных исследований, 2004.
14. Ивченко, Г.И. Математическая статистика: учеб. пособие. /
    Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев. – М.: Высш. шк., 1984.
15. Турчак, Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – М.: Физматлит, 2003.
16. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.
17. Самарский, А. А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самарский. – М.: Наука, 1971.
18. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
19. Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. – М.: Либроком, 2009.
20. Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. – М.: Наука, 1984.
21. Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.П. Михайлов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
22. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: МГУ Наука, 2004.
23. Вирт, Н. Алгоритмы и структуры данных / Н.Вирт. – М.: Мир, 1989.
24. Хоменко, А. Д. Базы данных: Учеб. для высших учебных заведений / А.Д. Хоменко, В.М. Цыганков, М.Г. Мальцев. – СПб: КОРОНА принт, 2002.
25. Карпова, Т.C. Базы данных: модели, разработка, реализация / Т.C. Карпова. – СПб: Питер, 2003.
26. Гук, М. Аппаратные средства РС / М. Гук. – СПб, 2002.

3.3 Программа междисциплинарного экзамена по направлению 010500.62“Прикладная математика и информатика” (бакалавриат)

1. Корни и канонические разложения многочленов над полями вещественных и комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями
2. Теоремы об умножении определителей и о ранге матрицы.
3. Правило Крамера, теорема Кронекера-Капелли и теоремы об однородных уравнениях.
4. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Линейные и унитарные пространства, базы, размерность, подпространства.
5. Линейное преобразование, его матрицы, характеристические корни, собственные значения и собственные векторы. Жорданова форма матрицы.
6. Уравнения прямых и плоскостей в пространстве. Канонические уравнения кривых и поверхностей 2-ro порядка.
7. Предел последовательности и предел функции в точке.
8. Теорема о функциональной полноте исчисления высказываний.
9. Непрерывность функции в точке и на отрезке, точки разрыва 1-гo и 2-го рода.
10. Дифференцируемость и дифференциалы функций одной и многих переменных. Инвариантность формы 1-го дифференциала.
11. Формула Лагранжа конечных приращений.
12. Формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа.
13. Схема исследования функции и построения ее графика.
14. Числовые и функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.
15. Теорема о неявной функции, дифференцирование неявной функции.
16. Градиент, касательная плоскость и нормаль в точке поверхности. Уравнения касательной и нормали к кривой.
17. Первообразная функции, определенный интеграл, его геометрический и механический смысл, теорема о среднем значении. Интегрируемые функции. Формула Ньютона-Лейбница.
18. Дифференцирование интегралов с параметром.
19. Кратные интегралы. Теорема Фубини. Поверхностные и криволинейные интегралы. Формулы Грина, Остроградского, Стокса.
20. Разложение функции по ортогональной системе функций, ряд Фурье, условие замкнутости ортогональной системы (равенство Парсеваля-Стеклова).
21. Метрика, метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества. Фундаментальная последовательность, полное пространство.
22. Принцип сжимающих отображений. Компактное пространство и множество. Критерий компактности в .
23. Норма, нормированное пространство. Линейный оператор в нормированном пространстве. Линейный функционал в нормированном пространстве. Три принципа функционального анализа: теоремы о продолжении линейных непрерывных функционалов, об открытом отображении и равномерной сходимости.
24. Определение голоморфной функции, уравнения Коши-Римана.
25. Интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши.
26. Разложение в ряд Тейлора голоморфной функции, формулы выражения коэффициентов через производную и интеграл. Теорема единственности.
27. Классификация изолированных особых точек. Теорема о вычетах. Ряд Лорана.
28. Дифференциальные уравнения (ДУ) простейших типов и их интегрирование.
29. Теорема Коши-Пикара существования и единственности решения ДУ 1-го порядка.
30. Линейные ДУ -гo порядка с постоянными коэффициентами.
31. Устойчивость решений линейных систем ДУ 2-гo порядка. Классификация особых точек (узел, седло, фокус, центр и др.).
32. Классификация ДУ в частных производных 2-го порядка.
33. Постановка краевых задач для ДУ в частных производных 2-го порядка. Определение классического и обобщенного решения краевых задач.
34. Метод разделения переменных.
35. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод исключения Гаусса, метод исключения с выбором главного элемента. Сравнение методов.
36. Метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости.
37. Метод простой итерации вычисления корня нелинейного уравнения. Условие сходимости. Метод Ньютона: формула, геометрическая интерпретация, условия сходимости.
38. Схема построения разностного решения дифференциальных задач.
39. Явная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ.
40. Понятие корректности, устойчивости и сходимости разностной задачи. Теорема эквивалентности.
41. Классификация интерфейсов вычислительных систем.
42. Основные функции операционной системы.
43. Структуры данных: массивы, записи, множества, списки (стеки, очереди, деки). Деревья (бинарные, -деревья).
44. Алгоритмы сортировок (элементарные методы сортировки, быстрая сортировка Хоара, сортировка слиянием), поиска, рекурсий.
45. Основы объектно-ориентированного программирования (инкапсуляция, наследование, полиморфизм). Списки объектов. Коллекции.
46. Симплекс-метод. Постановка задачи. Способы решения.
47. Матричные игры. Решение игры в смешанных стратегиях.
48. Основные требования к организации баз данных как хранилищ корпоративно используемых данных. Способы и средства достижения этих требований.
49. Технология проектирования баз данных: этапы проектирования, модели представления предметной области, синтаксические модели данных.
50. Классическое определение вероятности. Условная вероятность, независимые события, теоремы сложения и умножения.
51. Дискретные и непрерывные случайные величины, определения и свойства функции и плотности распределения.
52. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Моменты.
53. Сходимость по вероятности, неравенство Чебышева, закон больших чисел в формах Чебышева и Бернулли.
54. Точечные статистические оценки: несмещенность, состоятельность, эффективность. Определение и свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии.

Список литературы

1. Беклемишев, Р. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Р.В. Беклемишев. – М.: Наука, 1981.
2. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. – М.: Наука, 1968.
3. Мальцев, А. И. Основы линейной алгебры / А.И. Мальцев. – М.: Наука, 1970.
4. Мальцев, А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции / А.И. Мальцев. – М.: Наука, 1965.
5. Ершов, Ю. Л. Математическая логика / Ю.Л. Ершов, Е.А. Палютин. – М.: Наука, 1979.
6. Никольский, С. М. Курс математического анализа: в 2 т. / С.М. Никольский. – М.: Наука, 1975.
7. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1970.
8. Зорич, В. А. Математический анализ: в 2 т. / В.А. Зорич. – М.: Наука, 1981.
9. Сидоров, Ю. В. Лекции по теории функций комплексного переменного / Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. – М.: Наука, 1989.
10. Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат. – М.: Наука, 1985.
11. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука, 1989.
12. Боровков, А.А. Теория вероятностей / А.А. Боровков. – М.: Наука, 1986.
13. Севастьянов, Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики / Б.А. Севастьянов. – М.: Наука, 1982.
14. Ивченко, Г.И. Математическая статистика: учеб. пособие. /
    Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев. – М.: Высш. шк., 1984.
15. Турчак, Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – М.: Физматлит, 2003.
16. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
17. Самарский, А. А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самарский. – М.: Наука, 1971.
18. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. – М.: Наука, 1982.
19. Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. – М.: Наука, 1970.
20. Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. – М.: Наука, 1984.
21. Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.П. Михайлов. – М.: Наука, 1983.
22. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Наука, 1977.
23. Вирт, Н. Алгоритмы и структуры данных / Н.Вирт. – М.: Мир, 1989.
24. Хоменко, А. Д. Базы данных: Учеб. для высших учебных заведений / А.Д. Хоменко, В.М. Цыганков, М.Г. Мальцев. – СПб: КОРОНА принт, 2000.
25. Карпова, Т.C. Базы данных: модели, разработка, реализация / Т.C. Карпова. – СПб: Питер, 2001.
26. Гук, М. Аппаратные средства РС / М. Гук. – СПб, 1999.

3.4 Программа междисциплинарного экзамена по направлению 010300.62 “Математика. Компьютерные науки” (бакалавриат)

1. Корни и канонические разложения многочленов над полями вещественных и комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями
2. Теоремы об умножении определителей и о ранге матрицы. Правило Крамера, теорема Кронекера-Капелли и теоремы об однородных уравнениях.
3. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Линейные и унитарные пространства, базы, размерность, подпространства.
4. Линейное преобразование, его матрицы, характеристические корни, собственные значения и собственные векторы.
5. Уравнения прямых и плоскостей в пространстве. Канонические уравнения кривых и поверхностей 2-ro порядка.
6. Теорема о функциональной полноте исчисления высказываний.
7. Предел последовательности и предел функции в точке. Непрерывность функции в точке и на отрезке.
8. Дифференцируемость и дифференциалы функций одной и многих переменных. Формула Тейлора.
9. Схема исследования функции и построения ее графика.
10. Числовые и функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.
11. Теорема о неявной функции, дифференцирование неявной функции.
12. Градиент, касательная плоскость и нормаль в точке поверхности. Уравнения касательной и нормали к кривой.
13. Первообразная функции, определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Кратные интегралы. Поверхностные и криволинейные интегралы.
14. Разложение функции по ортогональной системе функций, ряд Фурье, условие замкнутости ортогональной системы (равенство Парсеваля-Стеклова).
15. Метрика, метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества. Фундаментальная последовательность, полное пространство.
16. Принцип сжимающих отображений. Компактное пространство и множество. Критерий компактности в .
17. Норма, нормированное пространство. Линейный оператор в нормированном пространстве. Линейный функционал в нормированном пространстве. Три принципа функционального анализа: теоремы о продолжении линейных непрерывных функционалов, об открытом отображении и равномерной сходимости.
18. Определение голоморфной функции, уравнения Коши-Римана. Интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши.
19. Классификация изолированных особых точек. Теорема о вычетах. Ряд Лорана.
20. Дифференциальные уравнения (ДУ) простейших типов и их интегрирование.
21. Теорема Коши-Пикара существования и единственности решения ДУ 1-го порядка.
22. Линейные ДУ -гo порядка с постоянными коэффициентами.
23. Устойчивость решений линейных систем ДУ 2-гo порядка. Классификация особых точек. Классификация ДУ в частных производных 2-го порядка.
24. Постановка краевых задач для ДУ в частных производных 2-го порядка. Определение классического и обобщенного решения краевых задач.
25. Метод разделения переменных.
26. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод исключения Гаусса, метод исключения с выбором главного элемента. Сравнение методов.
27. Метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости.
28. Метод простой итерации вычисления корня нелинейного уравнения. Условие сходимости. Метод Ньютона: формула, геометрическая интерпретация, условия сходимости.
29. Схема построения разностного решения дифференциальных задач.
30. Явная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ.
31. Понятие корректности, устойчивости и сходимости разностной задачи. Теорема эквивалентности.
32. Классификация интерфейсов вычислительных систем.
33. Основные функции операционной системы.
34. Структуры данных: массивы, записи, множества, списки (стеки, очереди, деки). Деревья (бинарные, -деревья).
35. Алгоритмы сортировок (элементарные методы сортировки, быстрая сортировка Хоара, сортировка слиянием), поиска, рекурсий.
36. Основы объектно-ориентированного программирования (инкапсуляция, наследование, полиморфизм). Списки объектов. Коллекции.
37. Симплекс-метод. Постановка задачи. Способы решения.
38. Матричные игры. Решение игры в смешанных стратегиях.
39. Основные требования к организации баз данных как хранилищ корпоративно используемых данных. Способы и средства достижения этих требований.
40. Технология проектирования баз данных: этапы проектирования, модели представления предметной области, синтаксические модели данных.
41. Классическое определение вероятности. Условная вероятность, независимые события, теоремы сложения и умножения.
42. Дискретные и непрерывные случайные величины, определения и свойства функции и плотности распределения.
43. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Моменты.
44. Сходимость по вероятности, неравенство Чебышева, закон больших чисел в формах Чебышева и Бернулли.
45. Точечные статистические оценки: несмещенность, состоятельность, эффективность. Определение и свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии.
46. Основные криптосистемы; их сравнение.
47. Классы шифров.
48. Алгоритмы и их сложности. Классы P и NP.
49. Задача о максимальном потоке и алгоритмы ее решения.
50. Задача о минимальном остове. Алгоритмы Прима и Краскала.
51. Теория формальных грамматик.
52. Основные подходы при программировании с разделяемыми переменными: задача критической секции, барьеры, семафоры, мониторы.
53. Основные подходы при распределенном программировании: обмен сообщениями, удаленный вызов процедур, рандеву.
54. Модель взаимодействия открытых систем OSI. Функции и назначение уровней.
55. Стек протоколов TCP/IP. Назначение и принципы функционирования основных протоколов.
56. Метод резолюций.
57. Логический вывод в продукционных системах.
58. Методы построения непрерывных моделей по дискретному набору данных.

Список литературы

1. Беклемишев, Р. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Р.В. Беклемишев. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
2. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. – – СПб: Лань, 2008.
3. Мальцев, А. И. Основы линейной алгебры / А.И. Мальцев. – СПб: Лань, 2009.
4. Ершов, Ю. Л. Математическая логика / Ю.Л. Ершов, Е.А. Палютин. – М.: СПб: Лань, 2009.
5. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
6. Сидоров, Ю. В. Лекции по теории функций комплексного переменного / Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. – М.: Наука, 1999.
7. Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат. – М.: Лань, 2004.
8. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.
9. Боровков, А. А. Теория вероятностей / А. А. Боровков. – М.: Либроком, 2009.
10. Севастьянов, Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики / Б. А. Севастьянов. – М.: ИКИ, 2004.
11. Ивченко, Г. И. Математическая статистика: учеб. пособие. /
    Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев. – М.: Высш. шк., 1984.
12. Турчак, Л. И. Основы численных методов / Л. И. Турчак, П. В. Плотников. – М.: Физматлит, 2003.
13. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.
14. Самарский, А. А. Введение в теорию разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1971.
15. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л. С. Понтрягин. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
16. Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И. Г. Петровский. – М.: Либроком, 2009.
17. Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения /

В. И. Арнольд. – М.: Наука, 1984.

18. Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных /

В. П. Михайлов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

19. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: МГУ Наука, 2004.
20. Вирт, Н. Алгоритмы и структуры данных / Н. Вирт. – М.: Мир, 1999.
21. Хоменко, А. Д. Базы данных: Учеб. для высших учебных заведений /

А. Д. Хоменко, В. М. Цыганков, М.Г. Мальцев. – СПб: КОРОНА принт, 2002.

22. Карпова, Т. C. Базы данных: модели, разработка, реализация / Т.C. Карпова. – СПб: Питер, 2002.
23. Гук, М. Аппаратные средства РС / М. Гук. – СПб, 2001.
24. Быкова, В. В. Дискретная математика с использованием ЭВМ / В.В. Быкова. – Красноярск, 2006.
25. Емеличев, В. А. Лекции по теории графов / В.А. Емеличев. – М.: Наука, 1990.
26. Алферов, А. П. Основы криптографии / А. П. Алферов, А. Ю. Зубов,

А. С. Кузьмин, А. В. Черемушкин. – М.: Гелиос АРВ, 2001.

27. Лорьер, Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта / Ж.-Л. Лорьер. – М.: Мир, 1991.
28. Олифер, В. Р. Компьютерные сети. Принципы, технологии, протоколы /

В. Р. Олифер, Н. А. Олифер. – СПб.: Питер, 2001.

29. Грегори, Н. Основы многопоточного, параллельного и распределенного программирования / Н. Грегори, Эндрюс. – М.: Вильямс, 2003.
30. Воеводин, В. В. Параллельные вычисления / В. В. Воеводин,

Вл. В. Воеводин. – СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

31. Немнюрин, С. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем / С. Немнюрин, О. Стесик. – СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

3.5 Программа междисциплинарного экзамена по направлению 010100.62 “Математика” (бакалавриат)

1. Корни и канонические разложения многочленов над полями вещественных и комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями
2. Теоремы об умножении определителей и о ранге матрицы.
3. Правило Крамера, теорема Кронекера-Капелли и теоремы об однородных уравнениях.
4. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Линейные и унитарные пространства, базы, размерность, подпространства.
5. Линейное преобразование, его матрицы, характеристические корни, собственные значения и собственные векторы. Жорданова форма матрицы.
6. Уравнения прямых и плоскостей в пространстве. Канонические уравнения кривых и поверхностей 2-гo порядка.
7. Основная теорема арифметики, сравнения, кольцо .Теорема Ферма о сравнениях по простому модулю, теорема Эйлера (о функции Эйлера) и теорема Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы.
8. Приведение формул исчисления высказываний (ИВ) к нормальным формам.
9. Доказуемые и тождественно истинные формулы ИВ. Теорема о полноте ИВ.
10. Рекурсивность основных арифметических функций.
11. Машины Тьюринга для вычисления простейших рекурсивных функций.
12. Классификация состояний в неприводимой Марковской цепи. Теорема солидарности.
13. Предел последовательности и предел функции в точке. Непрерывность функции в точке и на отрезке.
14. Дифференцируемость и дифференциалы функций одной и многих переменных.
15. Формула Лагранжа конечных приращений. Формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа.
16. Схема исследования функции и построения ее графика.
17. Числовые и функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.
18. Теорема о неявной функции, дифференцирование неявной функции.
19. Градиент, касательная плоскость и нормаль в точке поверхности. Уравнения касательной и нормали к кривой.
20. Первообразная функции, определенный интеграл, его геометрический и механический смысл, теорема о среднем значении. Интегрируемые функции. Формула Ньютона-Лейбница.
21. Дифференцирование интегралов с параметром.
22. Кратные интегралы. Теорема Фубини. Поверхностные и криволинейные интегралы. Формулы Грина, Остроградского, Стокса.
23. Разложение функции по ортогональной системе функций, ряд Фурье, условие замкнутости ортогональной системы (равенство Парсеваля-Стеклова).
24. Метрика, метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества.
25. Фундаментальная последовательность, полное пространство.
26. Принцип сжимающих отображений. Компактное пространство и множество. Критерий компактности в .
27. Норма, нормированное пространство. Линейный оператор в нормированном пространстве. Линейный функционал в нормированном пространстве. Три принципа функционального анализа: теоремы о продолжении линейных непрерывных функционалов, об открытом отображении и равномерной сходимости.
28. Мера Лебега и интеграл Лебега.
29. Определение голоморфной функции, уравнения Коши-Римана.
30. Интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши.
31. Разложение в ряд Тейлора голоморфной функции, формулы выражения коэффициентов через производную и интеграл. Теорема единственности.
32. Классификация изолированных особых точек. Теорема о вычетах. Ряд Лорана. Теорема Руше и принцип аргумента.
33. Дифференциальные уравнения (ДУ) простейших типов и их интегрирование.
34. Теорема Коши-Пикара существования и единственности решения ДУ 1-го порядка.
35. Линейные ДУ -гo порядка с постоянными коэффициентами.
36. Устойчивость решений линейных систем ДУ 2-гo порядка. Классификация особых точек (узел, седло, фокус, центр и др.).
37. Классификация ДУ в частных производных 2-го порядка.
38. Постановка краевых задач для ДУ в частных производных 2-го порядка. Определение классического и обобщенного решения краевых задач.
39. Метод разделения переменных.
40. Определение интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности интерполяции.
41. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод исключения Гаусса, метод исключения с выбором главного элемента. Сравнение методов.
42. Метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости.
43. Метод простой итерации вычисления корня нелинейного уравнения. Условие сходимости. Метод Ньютона: формула, геометрическая интерпретация, условия сходимости.
44. Схема построения разностного решения дифференциальных задач.
45. Явная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ.
46. Неявная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ.
47. Понятие корректности, устойчивости и сходимости разностной задачи. Теорема эквивалентности.
48. Структуры данных: массивы, записи, множества, списки (стеки, очереди, деки). Бинарные деревья.
49. Алгоритмы сортировок (элементарные методы сортировки, быстрая сортировка Хоара, сортировка слиянием), поиска, рекурсий.
50. Основы объектно-ориентированного программирования (инкапсуляция, наследование, полиморфизм). Списки объектов.
51. Симплекс-метод. Постановка задачи. Способы решения.
52. Основные требования к организации баз данных как хранилищ корпоративно используемых данных. Способы и средства достижения этих требований.
53. Технология проектирования баз данных: этапы проектирования, модели представления предметной области, синтаксические модели данных.
54. Классическое определение вероятности. Условная вероятность, независимые события, теоремы сложения и умножения.
55. Дискретные и непрерывные случайные величины, определения и свойства функции и плотности распределения.
56. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Моменты.
57. Сходимость по вероятности, неравенство Чебышева, закон больших чисел в формах Чебышева и Бернулли.
58. Точечные статистические оценки: несмещенность, состоятельность, эффективность. Определение и свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии.

Список литературы

1. Беклемишев, Р. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /

Р. В. Беклемишев. – М.: Наука, 1981.

2. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. – М.: Наука, 1968.
3. Мальцев, А. И. Основы линейной алгебры / А. И. Мальцев. – М.: Наука, 1970.
4. Мальцев, А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции / А. И. Мальцев. – М.: Наука, 1965.
5. Ершов, Ю. Л. Математическая логика / Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин. – М.: Наука, 1979.
6. Никольский, С. М. Курс математического анализа: в 2 т. /

С. М. Никольский. – М.: Наука, 1975.

7. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1970.
8. Зорич, В. А. Математический анализ: в 2 т. / В. А. Зорич. – М.: Наука, 1981.
9. Сидоров, Ю. В. Лекции по теории функций комплексного переменного /

Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин. – М.: Наука, 1989.

10. Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ / Б. В. Шабат. – М.: Наука, 1985.
11. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. – М.: Наука, 1989.
12. Боровков, А. А. Теория вероятностей / А. А. Боровков. – М.: Наука, 1986.
13. Севастьянов, Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики / Б. А. Севастьянов. – М.: Наука, 1982.
14. Ивченко, Г. И. Математическая статистика: учеб. пособие. /
    Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев. – М.: Высш. шк., 1984.
15. Турчак, Л. И. Основы численных методов / Л. И. Турчак, П. В. Плотников. – М.: Физматлит, 2003.
16. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков,

Г. М. Кобельков. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

17. Самарский, А. А. Введение в теорию разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1971.
18. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения /

Л. С. Понтрягин. – М.: Наука, 1982.

19. Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И. Г. Петровский. – М.: Наука, 1970.
20. Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения /

В. И. Арнольд. – М.: Наука, 1984.

21. Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных /

В. П. Михайлов. – М.: Наука, 1983.

22. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов,

А. А. Самарский. – М.: Наука, 1977.

23. Вирт, Н. Алгоритмы и структуры данных / Н.Вирт. – М.: Мир, 1989.
24. Хоменко, А. Д. Базы данных: Учеб. для высших учебных заведений /

А. Д. Хоменко, В. М. Цыганков, М. Г. Мальцев. – СПб: КОРОНА принт, 2000.

25. Карпова, Т. C. Базы данных: модели, разработка, реализация / Т. C. Карпова. – СПб: Питер, 2001.

3.6 Программа междисциплинарного экзамена по направлению 010400.68 “Прикладная математика и информатика” (магистратура)

1. Монотонность и компактность.
2. Лемма об остром угле. Разрешимость операторного уравнения.
3. Разрешимость уравнений с нелинейным монотонным оператором.
4. Построение галеркинских последовательностей, исследование их свойств.
5. Теоремы единственности для операторных уравнений с коэрцитивным, слабо компактным, монотонным оператором.
6. Определение и свойства простых функции, функции класса (S->X).
7. Понятие дифференцируемости функций класса (S->X), пространство Cm(S,X), норма. Полнота указанного пространства.
8. Понятие измеримости и интегрируемости по Бохнеру функций класса (S->X), пространство Lp (S,X). Норма, скалярное произведение. Полнота указанного пространства.
9. Понятие и свойства нестационарных/эволюционных операторных уравнений.
10. Свойства нестационарных операторов.
11. Примеры, приводящие к понятию метода слабой аппроксимации. Формулировка метода слабой аппроксимации.
12. Построение расщепленной линеаризованной задачи, нахождение решения на дробных и целых временных шагах.
13. Теорема метода слабой аппроксимации.
14. Понятие обратной задачи. Ключевые моменты исследования разрешимости задачи идентификации функции источника параболического уравнения с данными Коши.
15. Разностные схемы для одномерного уравнения теплопроводности. Метод расщепления. Разностные схемы для многомерного уравнения теплопроводности.
16. Прямые и итерационные методы решения сеточных уравнений.
17. Применение быстрого преобразования Фурье, метод Конкуса и Голуба для решения эллиптических уравнений.
18. Метод установления для решения эллиптических уравнений.
19. Распространение линейных волн. Диссипация и дисперсия сеточного волнового решения. Схемы Лакса-Вендроффа и Годунова.
20. Уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости. Разностные схемы для двумерных уравнений в переменных функция тока-завихрённость.
21. Уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости. Метод маркеров и ячеек.
22. Уравнения движения сжимаемой жидкости. Схема Лакса-Вендроффа. Задача о распаде разрыва и схема Годунова.
23. Уравнения движения сжимаемой жидкости. Метод взвешенного усреднённого потока. Метод уменьшения суммарного отклонения (TVD).
24. Архитектура TCP/IP-сетей и Интернет: узлы сети, адресация, маршрутизация, протоколы IP и TCP, URL, World Wide Web.
25. Протокол передачи гипертекста HTTP: назначение, синтаксис, методы GET, POST и HEAD, принципы работы веб-серверов и веб-браузеров.
26. Разработка сетевых приложений для Интернет на языке программирования Java. Библиотека java.net.
27. Язык разметки гипертекста HTML: назначение, синтаксис, основные теги и атрибуты. Основные возможности и синтаксис языков CSS и JavaScript.
28. Разработка активных серверных страниц с помощью технологий JavaServer Pages, Java Servlet или PHP.
29. Сопоставление характерных скоростей природных физических (физиологических) процессов со скоростью выполнения операций с плавающей точкой различных ЭВМ. Возможность математического моделирования некоторых задач в реальном времени. Понятие СуперЭВМ.
30. Понятия аппроксимации, устойчивости, сходимости разностных схем. Теорема Лакса и ее применение к исследованию сходимости разностных схем. Примеры.
31. Анализ устойчивости разностной схемы для простейших уравнений диффузии и переноса. Условие устойчивости Куранта-Фридрихса-Леви и его физический смысл.
32. Принципы построения вычислительных методов на основе метода Бубнова-Галеркина. Примеры «управления точностью (величиной ошибки)» на различных его этапах.
33. Итоги развития античной математики.
34. Итоги развития классической математики.
35. Философские проблемы современной математики и информатики.

Список литературы

Основная литература

1. Belov, Yu.Ya. Inverse Problems for Partial Differential Equations / Yu.Ya. Belov // Utrecht: VSP, 2002. - 211 p.
2. Белов, Ю.Я. Методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений [Электронный ресурс]: электрон. учеб. пособие / Ю.Я. Белов, И.В. Фроленков, Т.Н. Шипина; Сиб. федерал. ун-т. - Версия 1.0. - Электрон. дан. (PDF ; 707 кб). - Красноярск : ИПК СФУ, 2007. - 140 online. - (Электронная библиотека СФУ. Учебно-методические комплексы дисциплин в авторской редакции ; УМКД 19-2007). - Загл. с титул. экрана. - Режим доступа: свободный. http://files.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/19/u_posob.pdf
3. Кабанихин, С.И. Обратные и некорректные задачи / С.И. Кабанихин.- Новосибирск: Сибирское научное издателuство, 2009. - 457 с.
4. Михлин, С.Г. Курс математической физики / С.Г. Михлин // СПб.: Лань, 2002. – 576 с.
5. Родионов, А. А. Дифференциальные уравнения [Электронный ресурс] : конспект лекций / А. А. Родионов, А. М. Франк ; Сиб. федерал. ун-т. - Версия 1.0. - Электрон. дан. (PDF ; 18356 кб). – Красноярск ИПК СФУ, 2007. - 137 on-line. - (Электронная библиотека СФУ. Учебно-методические комплексы дисциплин в авторской редакции; УМКД 14-2007). - Загл. с титул. экрана. - Режим доступа: открытый. http://files.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/14/u_lectures.pdf
6. Белов, Ю. Я. Уравнения с частными производными [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Ю. Я. Белов ; Сиб. федерал. ун-т. Ин-т математики. - Электрон. дан. (PDF ; 591 Кб). - Красноярск : СФУ, 2008. - 118 с. - (Электронная библиотека СФУ. УМКД - 2008, Учебно-методические комплексы дисциплин в авторской редакции). - Загл. с титул. экрана. - Режим доступа: открытый. http://files.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/Belov/u_course.pdf
7. Шлапунов, А. А. Функциональный анализ [Электронный ресурс] : конспект лекций / А. А. Шлапунов, В. В. Работин, Т. М. Садыков ; Сиб. федерал. ун-т. - Версия 1.0. - Электрон. дан. (PDF ; 1,22 Мб). - Красноярск : ИПК СФУ, 2007. - 265 on-line. - (Электронная библиотека СФУ. Учебно-методические комплексы дисциплин в авторской редакции ; УМКД 1-2007). - Загл. с титул. экрана. - Режим доступа: открытый. http://files.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/1/u_lectures.pdf
8. Распопов, В. Е. Численные методы [Электронный ресурс] : конспект лекций / В. Е. Распопов, М.М. Клунникова ; Сиб. федерал. ун-т. - Версия 1.0. - Электрон. дан. (PDF ; 1,3Мб). - Красноярск : ИПК СФУ, 2007. - 189 on-line. - (Электронная библиотека СФУ. Учебно-методические комплексы дисциплин в авторской редакции ; 13-2007). - Загл. с титул. экрана. - Режим доступа: открытый. http://files.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/13/u_lectures.pdf
9. Андреев, В. К. Вопросы прикладного функционального анализа [Электронный ресурс] : конспект лекций / В. К. Андреев ; Сиб. федерал. ун-т. - Версия 1.0. - Электрон. дан. (PDF ; 728 кб). - Красноярск : [б. и.], 2007ИПК СФУ. - 107 on-line. - (Электронная библиотека СФУ. Учебно-методические комплексы дисциплин в авторской редакции; УМКД 2-2007). - Загл. с титул. экрана. - Режим доступа: открытый. http://files.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/2/u_lectures.pdf
10. Треногин, В.А. Функциональный анализ: Учебник / В.А. Треногин // М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 488 c.
11. Зализняк В. Е., Численные методы. Основы научных вычислений, М.: Издательство Юрайт, 2013.
12. Зализняк В. Е., Основы вычислительной физики. Часть. 1: Введение в конечно-разностные методы, Москва: Техносфера, 2008.
13. Самарский А. А., Гулин А. В., Устойчивость разностных схем, М.: Эдиториал УРСС, 2005.
14. Бархатов, А. В. Программирование в Интернет [Электронный ресурс] / А. В. Бархатов — Сибирский федеральный университет, 2008. — Режим доступа: http://study.sfu-kras.ru/course/view.php?id=2.
15. Эккель, Брюс. Философия Java / Брюс Эккель. – СПб: Питер, 2003.
16. Пери, Брюс У. Java сервлеты и JSP. Сборник рецептов. 3-е издание / Брюс У. Перри. – М.: Кудиц-Пресс, 2009.
17. JDK 5.0 Documentation [Электронный ресурс] / Oracle. — 2004. — Режим доступа: http://docs.oracle.com/javase/1.5.0/docs/.
18. Адрианов А.Л., Блинов А.Н., Матвеев А.Д., Гапоненко Ю.А., Китаев А.В., Работина Л.Г. Современные вычислительные алгоритмы для исследования математических моделей (Электронная библиотека СФУ. Учебно-методические комплексы дисциплин в авторской редакции; 15-2007), УМКД №15 передан СФУ в 2007 г. с доработкой в 2008 г. Научный руководитель проекта А.М. Кытманов, руководитель творческого коллектив А.Л. Адрианов.
19. Годунов, С. К. Разностные схемы / С. К. Годунов, В. С. Рябенький. – М.: Наука, 1977.
20. Бабенко К.И. Основы численного анализа / К.И. Бабенко. – М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. – 848 с.
21. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Марчук Г.И. – СПб.: Лань, 2009. – 608 с.
22. Бахвалов Н.С. Численные методы: учеб. пособие/ Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. –М.: Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 640 с.
23. Формалев, В.Ф. Численные методы/ В.Ф.Формалев, Д.Л. Ревизников. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. –400 с.
24. Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Н. Бурбаки. - М.: Лань, 2010.
25. Клайн М. Математика. Поиск истины. М.: Лань, 2007.
26. Клайн М. Математика. Утрата определённости. М.: Лань, 2007.
27. Знаменская О.В., Шлапунов А.А. История и методология прикладной математики и информатики (методические указания по выполнению самостоятельной работы). - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2013. - 24 с.
28. Шлапунов А.А. Краткий экскурс в историю математики / А.А. Шлапунов. – Красноярск: изд-во КрасГУ, 2005. – 36 с.

Дополнительная литература

1. Белов, Ю.Я. Метод слабой аппроксимации / Ю.Я. Белов, С.А. Кантор // Красноярск: Краснояр.гос.ун-т, 1999. - 236 с.
2. Гаевский, Х. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / Х. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас // М.:Мир, 1978.
3. Дубинский, Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения / Ю.А. Дубинский // Современные проблемы математики. - Т.9. Москва, 1976.
4. Денисов, А.М. Введение в теорию обратных задач: Учебн. пособие / А.М. Денисов // М.: Изд-во МГУ, 1994. - 208 с.
5. Федоренко Р. П., Введение в вычислительную физику, М: Изд-во Моск. физ.-техн. ин-та,1994.
6. Самарский А. А., Теория разностных схем, М.: Наука, 1989.
7. Годунов С. К., Рябенький В. С., Разностные схемы, М.: Наука, 1976.
8. Рихтмайер Р., Мортон К., Разностные методы решения краевых задач, М.: Мир, 1971.
9. . Самарский А. А., Попов Ю. П., Разностные методы решения задач газовой динамики, М.: Наука, 1992.
10. Ковеня В. М., Яненко Н. Н., Метод расщепления в задачах газовой динамики, Новосибирск: Наука, 1981.
11. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1990.

Видеоресурсы

1. Курс лекций «Экономичные разностные схемы решения многомерных задач», Ковеня В. М., http://math.sfu-kras.ru/edu/res.

3.7 Программа междисциплинарного экзамена по направлению 010200.68 “Математика и компьютерные науки” (магистратура)

1. Архитектура TCP/IP-сетей и Интернет: узлы сети, адресация, маршрутизация, протоколы IP и TCP, URL, World Wide Web.
2. Протокол передачи гипертекста HTTP: назначение, синтаксис, методы GET, POST и HEAD, принципы работы веб-серверов и веб-браузеров.
3. Разработка сетевых приложений для Интернет на языке программирования Java. Библиотека java.net.
4. Язык разметки гипертекста HTML: назначение, синтаксис, основные теги и атрибуты. Основные возможности и синтаксис языков CSS и JavaScript.
5. Разработка активных серверных страниц с помощью технологий JavaServer Pages, Java Servlet или PHP.
6. Эволюция вычислительных сетей.
7. Основные проблемы построения сетей.
8. Основные принципы реализации технологии Ethernet.
9. Топологии сетей.
10. Модель OSI.
11. Стандартные стеки телекоммуникационных протоколов.
12. Классификация сетей передачи данных.
13. Требования к современным сетям.
14. Стандарты линий связи.
15. Методы цифрового кодирования.
16. Методы логического кодирования.
17. Методы передачи данных на канальном уровне.
18. Технология FastEthernet – стандарты физического уровня.
19. Спецификация технологии GigabitEthernet.
20. Характеристики и принципы работы оборудования локальных сетей.
21. Адресация в сетях TCP/IP. Классы сетей. Типы адресов.
22. Форматы кадров Ethernet (802.3, RFC 894).
23. Протокол Ip. Формат IP датаграммы.
24. Протокол UDP.
25. Протокол TCP.
26. Принципы работы и назначение протоколов ARP и RARP.
27. Протокол ICMP, формат и примеры использования.
28. Принципы работы IP-уровня маршрутизации, статическая маршрутизация.
29. Протоколы динамической маршрутизации (RIP, OSPF, BGP).
30. Принципы работы DNS.
31. Прикладные протоколы SNMP, FTP, telnet.
32. Правило Рунге.Экстраполяция Ричардсона.Теоремы сравнения.
33. Операторы монотонного типа.Теория интерполяции и аппроксимации. Сплайны Эрмита.
34. Элементы интервального анализа (Интервальная арифметика, интервальные расширения, гистограммная арифметика, интервальные интегралы, минимизация функций)
35. Решение систем линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами (Прямые методы. LU разложение. Итерационные методы. Уточнение решений)
36. Решение систем нелинейных уравнений с интервальными параметрами (Метод простой итерации. Метод Ньютона. Уточнение решений)
37. Задачи Коши (Апостериорная оценка погрешности. Анализ чувствительности. )
38. Решение краевых задач (Апостериорная оценка погрешности. Уравнение с малым параметром. Квазилинейные уравнения. Одномерное параболическое уравнение)
39. МКЭ повышенного порядка точности (МКЭ с Эрмитовыми кубическими элементами)
40. Построение разностных схем повышенного порядка точности (Оценки погрешности разностных схем.Метод приближенного решения в ячейке сетки.)
41. Итерационное уточнение и методы коррекции невязки.
42. Итоги развития античной математики.
43. Итоги развития классической математики.
44. Философские проблемы современной математики и компьютерных наук.

Список литературы

Основная литература