ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ГОУ ВПО «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА “ТЕХНОЛОГИЯ ТЕКСТИЛЬНОГО ПРОИЗВОДСТВА”

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДАМИ МНОГОУРОВНЕВОГО ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Методические указания

к практической работе № 1

Волгоград

2010

УДК 677.024(07)

И 88

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДАМИ МНОГОУРОВНЕВОГО ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА: методические указания к практической работе № 1 / Сост. М. В. Назарова, В. Ю. Романов; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2010. – 34 с.

Содержатся основные сведения, необходимые для выполнения практических и самостоятельных работ, семестровых заданий, курсовых проектов и работ, а также при дипломном проектировании. Приводится пример проведения многоуровневого однофакторного эксперимента.

Предназначены для студентов высшего образования по направлению подготовки 260700.62 «Технология и проектирование текстильных изделий».

Ил. 2. Табл. 7. Библиогр.: 6 назв.

Рецензент: к. т. н., доцент С. Ю. Бойко

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

© Волгоградский

государственный

технический

университет, 2010

Практическая работа №1

Наименование: Исследование технологических процессов методами многоуровневого однофакторного эксперимента.

Время на проведение практической работы №1 – 8 часов

Цель работы:

• научиться планировать и проводить эксперимент, используя математико-статистические методы планирования эксперимента;
• научиться проводить статистическую обработку данных активного эксперимента с целью получения регрессионной математической модели;
• осуществлять аналитическое исследование математических моделей;
• освоить методы проведения активного эксперимента.

Порядок проведения работы:

1. Описать особенности исследуемого технологического процесса.
2. Описать технологические параметры, определяющие исследуемый технологический процесс.
3. Провести анализ работ, посвящённых исследованию данного технологического процесса.
4. Определить цель исследования, для этого необходимо выбрать выходной параметр исследуемого технологического процесса и дать его обоснование.
5. На основе анализа ранее проведенных исследований и опыта работы текстильных предприятий, а также в соответствии с выбранным выходным параметром определить основной входной технологический параметр, оказывающий на него влияние.
6. В соответствии с выбранными входным и выходным параметрами исследуемого технологического процесса выбрать средства исследования, используемые при проведении эксперимента и описать их назначение, принцип действия и методику измерений.
7. Дать характеристику объектов исследования.
8. Выбрать и описать алгоритм метода исследования технологического процесса.
9. Провести предварительный эксперимент.
10. Провести основной эксперимент с занесением в таблицу 3 результатов эксперимента.
11. Обработать полученные экспериментальные данные в соответствии с описанным выше алгоритмом метода исследования.
12. Сделать общие выводы по работе.

Основные понятия

При любом методе планирования эксперимента исследователь должен установить выходные параметры процесса и входные параметры, т. е. факторы, которые подлежат измерению и исследованию.

Выходные параметры, характеризующие объект и свойства получаемого продукта, могут быть: технико-технологические, технико-экономические, экономические, статистические и др.

К технико-технологическим параметрам относятся: физические, механические, физико-химические и другие характеристики продукта, а также выход продукта; к технико-экономическим параметрам – производительность, коэффициент полезного времени, надежность и долговечность объекта, стабильность процесса (например, обрывность) и др.; к экономическим – производительность труда и машины, себестоимость продукции, прибыль, рентабельность, затраты на эксперимент и др.; к статистическим – дисперсия, коэффициент вариации и др.

Выходной параметр процесса должен быть простым, легко определяемым или рассчитываемым и иметь единственную числовую оценку с учетом ошибки его определения.

Любой технологический объект или процесс текстильной про­мышленности характеризуется многими выходными параметрами (например, различные свойства пряжи, вырабатываемой на прядильной машине). Но при оптимизации технологического процесса или работы объекта выходным параметром, или параметром оптимизации, может быть только один, наиболее универсальный (полный) и чувствительный к изменению значений факторов. Другие выходные параметры в этом случае служат ограничениями. В качестве параметра оптимизации может быть принят обобщенный (комплексный) параметр, функционально связанный с другими параметрами.

Определив парные коэффициенты корреляции между выходными параметрами по данным эксперимента,. исключают один из пары сильнокоррелируемых параметров, так как он не дает дополнительной информации о процессе.

Выделение одного или нескольких параметров процесса, полностью описывающих процесс, а также выбор наиболее сильных параметров, учитывающих в максимальной степени особенности данного процесса, можно произвести, применяя теорию графов.

Входные параметры (факторы) – переменные величины, соответствующие способам воздействия внешней среды на объект. Они определяют характеристики самого объекта и свойства входящего продукта. Факторы могут быть количественные и качественные.

Количественные факторы можно измерять, взвешивать и т.п., качественные факторы – это разные технологические процессы производства, сырье разного вида, разные машины и т. п.

При планировании эксперимента нужно включать все существенные факторы, определяющие процесс. Если неучтенный фактор принимает случайные значения и не контролируется, то это приводит к увеличению ошибки опыта.

Любой фактор должен быть управляемым, т.е. таким, чтобы его значения можно было изменять, поддерживать на постоянном уровне или изменять но заданной программе. Планирование эксперимента можно осуществить только при условии возможности изменения значений факторов. Кроме того, фактор должен быть однозначным, и точность замеров его должна быть достаточно высокой.

В многофакторном эксперименте факторы должны быть независимыми (некоррелируемыми), т е. такими, чтобы можно было устанавливать любой фактор на разных уровнях независимо от уровней других факторов. В факторном эксперименте все комбинации уровней факторов должны быть осуществимыми, т. е. факторы должны обладать свойством совместимости. Независимость и совместимость являются важнейшими требованиями к совокупности исследуемых факторов.

Коэффициент регрессии (в0, в1, в2, … в11, в22, …в12, …) – коэффициент уравнения регрессии (полиномиального уравнения).

Значимость – условие, что некоторые статистики, найденные из двух и более частичных совокупностей, отличаются друг от друга или от других выбранных значений больше, чем можно было бы ожидать в связи со случайными колебаниями в частичных совокупностях.

Свойство ротатабельности обеспечивает постоянство дисперсии выходного параметра на равных расстояниях от центра эксперимента.

Свойство униформности обеспечивает постоянство дисперсии выходного параметра в некоторой области вокруг центра эксперимента.

Методы получения математических моделей

Методы получения математических моделей оптимизации технологических процессов подразделяются на: теоретические и экспериментальные.

Теоретические методы заключаются в аналитическом исследовании физической сущности микропроцессов с использованием общих законов физики, справедливых для данного технологического процесса, или с использованием уравнений материального или энергетического баланса. Экспериментальные методы заключаются в обработке экспериментальных данных, полученных непосредственно на объекте.

Экспериментальные методы получения математической модели могут быть пассивные и активные.

При пассивном эксперименте информацию о параметрах процесса или объекта получают при нормальной эксплуатации объекта получают при нормальной эксплуатации объекта, без внесения каких-либо искусственных возмущений.

При активном эксперименте информацию о параметрах процесса получают путем искусственного внесения возмущений, т.е. изменяют входные параметры в соответствии с заранее спланированной программой (матрицей планирования).

Активные методы исследования в настоящее время разработаны значительно лучше, чем пассивные, и являются, в известном смысле, более универсальными, поскольку предполагают некоторую свободу в выборе диапазона изменения уровней факторов и получения более надежных результатов.

Недостатком обоих методов заключается в том, что полученные с их помощью модели приемлемы лишь в диапазоне варьирования параметров, в пределах которого были собраны экспериментальные данные.

Планирование эксперимента – это постановка опытов, но некоторой заранее составленной схеме, обладающей какими-то оптимальными свойствами.

В задачу планирования эксперимента входит: выбор необходимых для эксперимента опытов, т.е. построение матрицы планирования, и выбор методов математической обработки результатов эксперимента.

Матрица планирования эксперимента представляет собой таблицу, в которой указаны значения уровней факторов в различных сериях опытов. Число опытов определяется задачами исследования и методами планирования эксперимента.

В последнее время появились матрицы планирования эксперимента, которые удовлетворяют требованиям оптимальности оценок коэффициентов модели и выходного параметра при уменьшенном числе опытов в матрице. Матрицу, которая обеспечивает получение минимума обобщенной дисперсии, т.е. минимума дисперсий всех коэффициентов регрессии (критерий S2{b}min) называют D – оптимальной. Этому классу матриц уделено большое внимание в теории и практике математического планирования эксперимента.

Существует два вида планирования активного эксперимента: традиционное (классическое) однофакторное и многофакторное (факторное).

В традиционном однофакторном планировании влияние входных параметров (факторов) на выходной параметр изучается постепенно, причем в каждой серии опытов меняется уровень лишь одного фактора, а все остальные остаются неизменными.

Факторным планирование эксперимента называется такое планирование, при котором одновременно варьируются все факторы. Такое планирование обеспечивает достаточную точность эксперимента при меньшем числе опытов. В математической модели, получаемой на основании эксперимента с факторным планированием, каждый коэффициент регрессии определяется по результатам всех N опытов, поэтому дисперсия его в N раз меньше дисперсии ошибки опыта.

Пример оформления практической работы.

Целью данного исследования является получение однофакторной математической модели, описывающей влияние массы грузовых шайб в натяжном приборе установленном на мотальной машине М-150-2 при перематывании хлопчатобумажной пряжи линейной плотностью 34 текс на её разрывную нагрузку.

Базой для исследования являются лаборатории «Ткачество» и «Механическая технология текстильных материалов» кафедры «Технологии текстильного производства» КТИ (филиала) ВолгГТУ.

1 Особенности технологического процесса
перематывания основной пряжи

Цель технологического процесса перематывания:

1. Создание паковки, обеспечивающей проведение последующей технологической операции с наибольшей производительностью.

2. Контроль толщины нити с частичным удалением мелких пороков пряжи (сор, шишки, узелки).

Сущность процесса перематывания заключается в последовательном наматывании на мотальную паковку под определенным натяжением пряжи с прядильных початков или мотков, соединяемой узлами.

Требования к процессу перематывания:

• не должны ухудшаться физико-механические свойства пряжи (упругое удлинение, прочность и крутка);
• строение намотки должно обеспечивать мягкость схода пряжи при сновании;
• длина нити на паковке должна быть максимальной;
• натяжение пряжи должно быть равномерным на всех точках паковки;
• соединение концов пряжи при ликвидации обрывов и сходе ее с паковки должно осуществляться прочным узлом, легко проходящим через устройства машин и станков и не ухудшающим вид ткани;
• производительность процесса перематывания должна быть максимальной,
• отходы должны быть минимальными.

Для обеспечения рационального производственного процесса при переработке нитей намотка должна отвечать следующим требованиям:

• стабильность намотки;
• максимально возможная удельная плотность намотки;
• возможность хорошего сматывания нити;
• по возможности постоянная плотность по ширине намотки.

Технологическая схема заправки пряжи представлена на рис. 1.

Рис. 1 – Технологическая схема мотальной машины М-150-2

На рисунке 1 представлена технологическая схема машины М-150-2. Нить сматывается с прядильной паковки 1, установленной на шпуледержателе, проходит через нитепроводник 2 и натяжной прибор 3, контрольно-очистительное устройство 4. Далее нить проходит над прутком механизма самоостанова и через винтовую канавку мотального барабанчика 5 наматывается на бобину 6.

2 Технологические параметры, определяющие
технологический процесс перематывания основной пряжи

Основными технологическими параметрами процесса перематывания являются:

• линейная скорость перематывания;
• натяжение нити в процессе перематывания;
• масса грузовых шайб в натяжном приборе;
• разводка пластин нитеочистителя;
• номер узловязателя;
• обрывность нитей при перематывании;
• производительность мотальной машины;
• пороки и отходы пряжи.

Кроме того, на процесс перематывания влияют следующие физико-механические показатели перематываемой пряжи:

1.Разрывная нагрузка нити, Pp, сН;

2. Средне-квадратическое отклонение по разрывной нагрузке, Рр;

3.Разрывное удлинение, LP,мм;

4.Средне-квадратическое отклонение по разрывной нагрузке, Lр;

5.Диаметр бобины, D, мм;

6.Линейная плотность пряжи, T, текс;

7.Средне-квадратическое отклонение по линейной плотности, T;

8.Удельная плотность намотки пряжи на бобину,, г/см3;

9.Средне-квадратическое отклонение по удельной плотности намотки бобин, g;

10.Угол сдвига витков,, град;

11.Угол скрещивания витков,,град;

12.Средне-квадратическое отклонение по углу скрещивания витков, ;

13.Коэффициент тангенциального сопротивления, f;

14.Средне-квадратическое отклонение по коэффициенту тангенциального сопротивления, f;

15.Число циклов до разрушения нити при истирании, Пр, количество циклов;

16.Средне-квадратическое отклонение по величине числа циклов до разрушения нити при истирании, пр,;

17.Число циклов до разрушения нити при многократной нагрузке, Пп, количество циклов;

18.Средне-квадратическое отклонение по величине числа циклов до разрушения нити при многократной нагрузке, пп;

19.Жесткость нити, , н/мм.

3 Анализ работ, посвящённых исследованию
технологического процесса перематывания основной пряжи

С целью анализа состояния изученности вопроса и с целью обоснования актуальности и научной новизны данного исследования необходимо провести анализ научных работ, посвящённых исследованию технологического процесса перематывания основной пряжи.

В результате анализа научных источников были выбраны следующие работы, в которых проводились аналогичные исследования:

1. Назарова М.В. Разработка технологических параметров формирования бобин сомкнутой намотки. Автореферат дисс..... канд. техн. наук. – М.: МГТА, 1994. – 16 с.
2. Градыcская С.Б. Разработка технологии формирования паковок синтетических нитей на современных перемоточных машинах. Автореферат дисс..... канд. техн. наук. – М.: МГТА, 1991. – 16 с.
3. Поликарпов А.В. Совершенствование процесса формирования бобин на мотальных машинах и автоматах фрикционного типа. Автореферат дисс..... канд. техн. наук. – М.: МГТУ им. А.Н. Косыгина, 2009. – 16 с.
4. Ершова Е.С. Разработка оптимальной структуры мотальной паковки замкнутой намотки для фильтров. Автореферат дисс..... канд. техн. наук. – М.: МГТУ им. А.Н. Косыгина, 2008. – 14 с.
5. Cмельский В.В., Шарыгин Ю.Н. Исследование условий заполнения тела намотки при формировании паковок на новом мотальном оборудовании.// Известия вузов. Технология текстильной промышленности.- 1993.- 1.- c 24-27.
6. Щербаков В.П., Исайчев Л.В., Грачев А.В. Определение параметров модели вязкоупругого тела численными методами.// Известия вузов. Технология текстильной промышленности.- 1993.- 3.- c 7-11.

и другие.

4 Выбор выходного параметра технологического
процесса перематывания и его обоснование.

В качестве выходного параметра Y выбираем разрывную нагрузку пряжи после перематывания, так как это основной показатель качества пряжи и, исходя из требований к процессу перематывания, он не должен ухудшаться.

Кроме того, этот параметр удовлетворяет следующим требованиям;

1) оценивает эффективность исследуемого объекта;

3) эффективен в статическом смысле, т. е. обладать сравнительно небольшой дисперсией и, следовательно, определяться с достаточной точностью без больших затрат или потерь времени;

4) обеспечивает достаточную полноту описания объекта;

5) имеет простую форму и определенный физический смысл.

5 Выбор входного параметра технологического процесса
перематывания, оказывающего влияние на выходной параметр

На основе анализа ранее проведенных исследований и опыта работы текстильных предприятий, а также в соответствии с выбранным выходным параметром в качестве входного параметра Х выбираем массу грузовых шайб в натяжном приборе мотальной машины М-150-2..

6 Средства исследования, используемые при проведении эксперимента

В соответствии с выбранными входным и выходным параметрами исследуемого технологического процесса во время проведения эксперимента были использованы следующие средства исследования:

1. Разрывная машина марки РМ-3 – для определения разрывной нагрузки пряжи Y;
2. Технические весы – для определения массы шайб в натяжном приборе Х;

Для каждого средства измерения описать его назначение, принцип действия и методику измерений, по образцу приведённому ниже.

Разрывная машина РМ-3

Назначение: Разрывная машина РМ-3 предназначена для испытания образцов нитей, изготовленных из различных волокон, при максимальном усилии до 3 кг.

Принцип действия: измерение нагрузки производится с помощью маятникового силоизмерителя, снабженного различными грузами, которые устанавливаются в зависимости от диапазона нагрузок. Максимальная нагрузка, приложенная к испытуемому образцу при растяжении его до разрыва и будет являться искомой величиной.

Методика измерений на разрывной машине РМ-3:

Значения выходного параметра Y определяли на согласно ГОСТ 6611.2-73 по следующей методике:

1. Включить электродвигатель машины.
2. Взять правой рукой конец початка с пряжей и поставить его на веретено, укрепленное на балке машины.
3. Захватить правой рукой конец нити на початке, затем кругообразным движением руки слева на право заправить нить в глазки и в верхний зажим машины, после чего, перехватить нить левой рукой потянуть её в нижний зажим.
4. Закрепить правой рукой верхний зажим.
5. Держа конец в левой руке, обогнуть нитью штифт рычажка предварительного натяжения, приподнять этот рычажок нитью примерно до горизонтального положения, заправить нить в тески нижнего зажима и зажать её в них.
6. Передвинуть левой рукой рукоятку пуска на себя и до отказа.
7. После разрыва нити повернуть пусковую рукоятку от себя до отказа.
8. Раскрыть нижний зажим и удалить из него обрывок пряжи.
9. Отвести левой рукой грузовой рычаг немного влево, и установить его в нулевое положение и закрепить его в выемке крючка.
10. Раскрыть правой рукой верхний зажим и левой рукой потянуть конец нити, помещающийся в нём, вниз, примерно до нижнего зажима, а затем повторить п. 4,5,6,7.

Испытываемому отрезку нити сообщается предварительное натяжение посредством специального рычажка с грузом.

В зависимости от номера пряжи даны следующий величины нагрузок:

Для № 41 – 100 – 5 гр. Для № 11 – 20 – 25гр.

Для № 31 – 40 – 10 гр. Для № 5 – 10 – 30 гр.

Для № 21 – 30 – 15 гр. Для № ниже 5 – 40 гр.

В зависимости от номера испытуемой пряжи выбрать требуемую шкалу нагрузок и соответственно ей поставить груз на маятнике-силоизмерителе.

7 Характеристика объектов исследования

Объектом исследования является хлопчатобумажная пряжа (см. табл. 1) линейной плотностью 34 текс, перематываемая на мотальной машине М-150-2 (см. табл. 2).

Таблица 1 – Техническая характеристика исследуемой пряжи

Наименование показателя	Значение
Вид волокна	хлопок
Линейная плотность нитей, текс	34
Удельная разрывная нагрузка, сН/текс	12
Коэффициент вариации по разрывной нагрузке, %	12,5

Таблица 2 – Техническая характеристика мотальной машины М-150-2

Наименование показателя	Значение
Мотальный барабанчик	канавчатый с 2.5 витками переменного тока
Размеры мотального барабанчика, мм: диаметр длина	90 173
Размеры конусного бумажного патрона для намотки пряжи, мм большой диаметр конуса длина патрона угол при вершине конуса	64 185 11030/
Размеры наматываемых конических бобин, мм большой диаметр конуса малый диаметр конуса длина образующего конуса	230 190 145–150
Скорость перематывания пряжи, м/мин	от 500 до 1200
Линейная плотность перематываемой пряжи, текс однониточной	100 – 5,8
крученой	64х2 – 5х2
Электродвигатели мотальных барабанчиков с их числом: тип мощность, кВт число оборотов в минуту	20–80 AI12-32-4 3 1500	100–120 AI2-41-4 4 1500

8 Выбор и описание алгоритма метода исследования
технологического процесса перематывания основной пряжи

В качестве метода исследования выбираем – традиционное однофакторное планирование эксперимента.

При определении регрессионной модели для объекта с одним выходным параметром проводят активный эксперимент в широком диапазоне изменения фактора X. Обычно применяют число уровней фактора, т. е. число опытов в матрице планирования эксперимента, N=5... 6. Для повышения точности определения выходного параметра Y каждый опыт матрицы повторяется несколько раз (m2).

9 Проведение предварительного эксперимента

Исследование любого технологического процесса начинается с проведения предварительного эксперимента, в результате которого определяются значения основных уровней факторов Хо, интервалы варьирования факторов I, верхние и нижние уровни варьирования – ХВ и ХН. Полученные данные заносятся в таблицу 3.

Для определения значения верхнего уровня фактора Х – массы шайб в натяжном приборе воспользуемся формулой для приближенного вычисления натяжения пряжи при перематывании исходя из прочности пряжи:

F = a·Pн/100

где а – процентное отношение от разрывной нагрузки пряжи Рн [1].

для хлопчатобумажной пряжи 3-7 % от Рн;

для льна 3-12 % от Рн;

для натурального шелка 1 % от Рн.

При выборе величины а, также необходимо учитывать строение нити и её удлинение.

В нашем случае F = 4·408/100 =16,32 гр

Принимаем 17 гр.

Из полученного значения необходимо вычесть массу верхней тарелочки натяжного прибора (7 гр). Тогда верхний уровень фактора Х = 10 гр.

Выбрав интервал варьирования 2, составим матрицу планирования (табл. 3).

10 Проведение основного эксперимента

Полученные значения выходного параметра Yuv (разрывной нагрузки) в v-м опыте каждого u-го опыта матрицы, когда N=5 и m=5 приведены в табл. 3.

Таблица 3 – Матрица планирования однофакторного эксперимента

	v
	u
		1	2	3	4	5
2 4 6 8 10	1 2 3 4 5	15,2 20,8 28,8 36,8 47,2	14,8 21,6 30,0 37,8 46,6	13,0 22,8 31,2 39,0 45,0	14,6 21,4 29,2 37,4 46,8	14,0 22,0 30,8 38,2 46,0	71,6 108,6 150,0 189,2 231,6	14,32 21,72 30,00 37,84 46,32	0,732 0,552 1,040 0,688 0,732	3,74 3,94 3,77 3,98 3,74

11 Обработка данных эксперимента

Рассмотрим операции, которые совершает исследователь при обработке данных однофакторного эксперимента:

Первая операция — исключение резко выделяющихся данных. Рассмотрим эту операцию на примере первого опыта матрицы, при X=2, . Эта операция включает определение

1) среднего значения по формуле

2) дисперсии выходного параметра по формуле:

Рассчитанные значения и для остальных опытов приведены в табл. 3.

3) расчётного значения критерия Смирнова-Грабса:

По приложению А находим, что . Так как и , то рассмотренные значения не являются резко выделяющимися и остаются для дальнейшей статистической обработки.

Вторая операция — проверка гипотезы о нормальном распределении случайных величин Yuv. Проверка этой гипотезы также проводится для каждого опыта матрицы. Рассмотрим эту операцию на примере первого опыта матрицы, при X=2. Проверка включает

1) определение расчетного значения критерия WR по формуле:

	(1)
где	(2)

-при четном числе m; -при нечетном числе m; или для нашего примера 15,2 > 14,8 > 14,6 > 14 > 13. Значения для i=1…k; m=3…50 приведены в приложении Д.

Используя приложение Д в рассматриваемом примере находим

Q=0,6646·(15,2–13)+0,2413·(14,8–14)=1,655, поэтому

2) сравнение расчетного значения с табличным (см. приложение Е), которое определяется для заданной доверительной вероятности и известного числа повторных опытов (измерений) m. Для рассматриваемого примера .

Так как расчетное значение критерия превышает табличное для выбранной доверительной вероятности, то гипотеза о нормальном распределении случайных величин не отвергается.

В табл. 3 приведены значения WR и для других опытов матрицы. Эти значения также превышают табличные, и поэтому первое условие о возможности применения регрессионного анализа удовлетворяется.

Третья операция – проверка гипотезы об однородности дисперсий в опытах матрицы.

Так как число повторных опытов (m=5) одинаково для всех опытов матрицы, то для проверки однородности дисперсий применяется критерий Кочрена, расчетное значение которого:

(3)

Расчетное значение GR сравнивается с табличным значением GT, которое определяют по приложению Б в зависимости от числа опытов в матрице N и числа степеней свободы дисперсии для заданной доверительной вероятности. В рассматриваемом примере . Так как <, то гипотеза об однородности дисперсий, т.е. о равноточности и воспроизводимости опытов, не отвергается.

Четвертая операция — определение средней дисперсии выходного параметра в опытах матрицы. Если в опытах матрицы дисперсии однородны и число повторных опытов одинаково, то средняя дисперсия определяется по формуле:

(4)

Число степеней свободы этой дисперсии равно:

(5)

Средняя дисперсия характеризует средний разброс значений выходного параметра относительно его средних значений при каждом уровне факторов, т. е. ошибку опытов в эксперименте. В рассматриваемом примере эта дисперсия, или, как ее называют, дисперсия воспроизводимости, равна:

Если число повторных опытов неодинаково при различных уровнях факторов, то для проверки однородности дисперсий используется критерий Бартлета. Если случайные величины Yu не имеют нормального распределения, то применять критерий Бартлета не рекомендуется, так как он получен при условии нормального распределения этих величин.

При неоднородных дисперсиях или переходят к преобразованию значений выходного параметра, чтобы сделать дисперсии однородными, или применяют вариант метода наименьших квадратов с учетом величины дисперсии каждого опыта.

Пятая операция – определение подходящего вида регрессионной модели. Для определения подходящего вида регрессионной модели необходимо определить:

1. вид взаимосвязи Y=f(X), устанавливаемый при теоретическом исследовании объекта или процесса;
2. графическую взаимосвязь между средними значениями выходного параметра для каждого уровня факторов и значений по данным эксперимента. При сопоставлении этого графика с графиками известных функций устанавливают вид уравнения;
3. характер изменения раздельных или нераздельных раздельностей первого порядка, определяемых по данным эксперимента.

Если в результате эксперимента получены следующие пары значений: то разделёнными разностями первого порядка называются величины:

и не разделёнными разностями первого порядка – величины

(6)

Неразделённые разности первого порядка используют, когда интервал варьирования факторов постоянный, т.е.

.

В рассматриваемом примере интервал варьирования факторов постоянный и равен . Поэтому определяем разделённые разности первого порядка по формуле (6):

Ввиду малого различия неразделенных разностей первого порядка выходного параметра, не превышающего удвоенной величины среднеквадратической ошибки эксперимента (2S(1){Y} = 1,724), можно считать, что они тождественны и поэтому для описания экспериментальных данных можно условно принять уравнение прямой линии:

	(7)
	(8)
	(9)

Использование уравнения (8) позволяет упростить статистические расчёты при обработке экспериментальных данных, так как коэффициенты регрессии а0 и а1 не коррелированны. Коэффициенты регрессии а0 и а1 являются оценками истинных коэффициентов регрессии и .

Шестая операция — определение коэффициентов регрессии. Если дисперсии выходного параметра для каждого уровня фактора однородны, то для определения коэффициентов регрессии в уравнении можно применять метод наименьших квадратов. Используя условие , устанавливают следующие уравнения:

(10)

Так как то, решая эти уравнения получаем:

(11)

(12)

Определим по формулам (11) и (12) коэффициенты регрессии для рассматриваемого примера. Расчеты необходимых сумм сводим в табл. 4.

Таблица 4

u
1 2 3 4 5	2 4 6 8 10	-4 -2 0 2 4	16 4 0 4 16	14,32 21,72 30 37,84 46,32	-57,28 -43,44 0 75,68 185,28
	30	0	40	150,20	160,24

По формулам (9), (11), (12) находим:

Поэтому искомое уравнение имеет вид:

(13)

График этой функции изображен на рис. 2.

Седьмая операция – определения адекватности полученного уравнения. Для определения адекватности полученного уравнения используют критерий Фишера, расчетное значение которого определяют по формуле:

(14)

где средняя дисперсия или дисперсия воспроизводимости, определяемая по формуле (4); дисперсия, характеризующая рассеивание средних экспериментальных значений относительно прямой линии, определяемой по формуле (8).

Рис.2 – Линейная регрессионная однофакторная модель и ее доверительные интервалы

Дисперсия характеризует точность аппроксимации зависимости прямой линией и определяется по формуле:

(15)

Число степеней свободы этой дисперсии определяется по формуле:

(16)

Расчетное значение FR сравнивают с табличным значением критерия Фишера FT, которое определяют по приложению Г при доверительной вероятности рD = 0,95 и числе степеней свободы дисперсии и . Если FR < FT, то гипотеза об адекватности линейного уравнения опытным данным не отвергается. Расчет суммы в формуле (15) сведен в табл. 5.

Таблица 5

u
1 2 3 4 5	2 4 6 8 10	8 16 24 32 40	14 22 30 38 46	14,32 21,72 30,00 37,84 46,32	0,32 -0,28 0,00 -0,16 0,32	0,1024 0,0784 0,0000 0,0256 0,1024
	30	-	-	150,20	-	0,3088

Используя данные этой таблицы, находим

Подставляя найденные значения дисперсий в формулу (14), получаем

.

Так как <1, то определяем обратное значение отношения дисперсий

и сравнивая его с табличным значением, которое равно , делаем вывод, что гипотеза об адекватности линейной модели не отвергается.

Восьмая операция – определение значимости коэффициентов регрессии и их доверительных интервалов. Для оценки значимости коэффициентов регрессии используется критерий Стьюдента, расчетное значение которого определяют по формуле:

(17)

где– дисперсия коэффициента регрессии аi.

Для определения дисперсий коэффициентов регрессии а0 и а1 в уравнении (8) используют формулы:

(18)

(19)

B формулы (18) и (19) входит диспепсия S2{Y}, которая является сводной оценкой дисперсии случайной величины выходного параметра при условии линейной связи (8). Эта дисперсия определяется по формуле:

(20)

Число степеней свободы этой дисперсии

(21)

Подставив в формулу (20) ранее определенные значения и найдем сводную дисперсию случайной величины:

По формулам (18) и (19) определяем дисперсии коэффициентов регрессии:

По приложению В находим табличное значение критерия Стьюдента при условии, что доверительная вероятность и число степеней свободы, определяемое по формуле (21). . Следовательно, . Так как и , полученные коэффициенты значимы и следовательно связь между Y и X значима.

Доверительные абсолютные ошибки коэффициентов регрессии вычисляем по формуле:

(22)

В рассматриваемом примере эти ошибки равны:

Доверительные интервалы для истинных значений коэффициентов регрессии в линейном уравнении (8) определяются неравенством:

(23)

Для рассматриваемого примера доверительные интервалы коэффициентов регрессии при рD = 0,95 следующие:

Девятая операция — определение доверительных интервалов средних значений выходного параметра при фиксированном значении фактора. Чтобы определить степень отклонения расчетных значений выходного параметра от истинного его значения при каждом уровне фактора определяем доверительные ошибки расчетного значения выходного параметра и доверительные интервалы среднего значения выходного параметра.

Доверительные ошибки расчетных значений выходного параметра для каждого уровня фактора рассчитываем по формуле:

(24)

где– среднеквадратическое отклонение расчетного значения выходного параметра для каждого значения , определяемое по формуле:

(25)

В рассматриваемом примере

Расчеты значений Sm{YRu} для каждого уровня фактора сведены в табл. 6.

Таблица 6

u
1 2 3 4 5	2 4 6 8 10	16 4 0 4 16	861,4·10-4 430,6·10-4 287,2·10-4 430,6·10-4 861,4·10-4	29,34·10-2 20,75·10-2 16,94·10-2 20,75·10-2 29,34·10-2	0,61 0,43 0,35 0,43 0,61	14 22 30 38 46	13,69 21,57 29,65 37,57 45,39	14,61 22,43 30,35 38,43 46,61

Подставляя табличное значение критерия Стьюдента в формулу (24), получаем:

В табл. 6 приведены полученные значения , и для каждого уровня фактора. Зная ошибки расчетной величины, можно найти доверительные интервалы для истинных средних значений выходного параметра, используют следующее неравенство:

(26)

На основе приведенных в табл. 6 значений границ доверительного интервала строим графики (см. рис. 2) функции и . Графики этих двух функций образуют своеобразный «коридор». Любое сечение его прямой, параллельной вертикальной оси, соответствует доверительному интервалу, в котором с заданной вероятностью будет находиться истинное среднее значение выходного параметра . Легко заметить, что в этот «коридор» попадают средние экспериментальные значения . Однако некоторые индивидуальные экспериментальные значения выходного параметра в него не попадают, так как интервалы построены для средних значений.

Десятая операция — определение доверительных интервалов для индивидуальных значений выходного параметра при каждом уровне фактора.

Границы доверительного интервала для индивидуальных значений выходного параметра при каждом уровне фактора Хu определяются по формулам:

где	(27)
	(28)
	(29)

Используя значения из табл. 6 и ранее определенные по уравнению (20) значения и tT = 2,07, все расчеты верхней границы и нижней границы искомой зоны по формулам (27) и (28) сводим в табл. 7.

Таблица 7

u
1 2 3 4 5	2 4 6 8 10	861,4·10-4 430,6·10-4 287,2·10-4 430,6·10-4 861,4·10-4	8041,4·10-4 7610,6·10-4 7467,2·10-4 7610,6·10-4 8041,4·10-4	0,897 0,872 0,864 0,872 0,897	14 22 30 38 46	1,86 1,81 1,79 1,81 1,86	12,14 20,19 28,21 36,19 44,14	15,86 23,81 31,79 39,81 47,86

Используя данные табл. 7, строим графики функций и (см. рис. 2), которые являются доверительными границами зоны индивидуальных значений выходного параметра. Вероятность попадания точек, соответствующих индивидуальным значениям выходного параметра, равна 0,95, т. е. из ста измерений выходного параметра при любом уровне варьирования фактора 95 измерений попадают в эту зону и только пять не попадают.

Рассматривая индивидуальные значения (см. табл. 3) и границы зоны для каждого , (табл. 7), замечаем, что все индивидуальные измерения попали в доверительную зону, т.е. располагаются между и .

На этом заканчивается статистическая обработка данных рассматриваемого однофакторного эксперимента.

Таким образом, полученная математическая модель, удовлетворяющая условиям адекватности и воспроизодимости процесса и включающая в себя все значимые коэффициенты регрессии имеет окончательный вид: YR = 6 + 4X.

12 Общие выводы по работе:

1) Проведённый анализ работ, посвящённых исследованию технологического процесса перематывания основной пряжи, показал, что данная работа имеет научную новизну актуальность и практическую значимость.

2) Проведённые экспериментальные исследования зависимости разрывной нагрузки пряжи перематываемой на мотальной машине М-150-2 от величины массы шайб в натяжном приборе позволили сделать вывод о том, что эта зависимость носит линейный характер.

3) Анализ полученного уравнения и построенного графика (рис. 2), позволяет сделать вывод о том, что с увеличением массы грузовых шайб в натяжном приборе мотальной машины М-150-2 разрывная нагрузка пряжи увеличивается.

Список рекомендуемой литературы

1. Хлопкоткачество: Справочник / Букаев П.Т., Оников Э.А. и др. – М.: Легпромбытиздат, 1987. – 576 с.
2. Севостьянов А.Г. Методы и средства исследования механико-технологических процессов текстильной промышленности/ Учебное пособие. – М.: МГТУ им. А.Н.Косыгина, 2007. – 648 с.
3. Николаев С.Д., Мартынова А.А., Юхин С.С., Власова Н.А. Методы и средства исследования технологических процессов в ткачестве, М.: 2003. – 336 с.
4. Назарова М.В., Фефелова Т.Л. Методы и средства исследования технологических процессов ткацкого производства: Учеб пособие/ ВолгГТУ, Волгоград, 2006. – 135 с.
5. Гордеев В.А., Волков П.В. Ткачество - М.: Легкая индустрия, 1970. – 582 с.
6. Назарова М.В., Романов В.Ю. Теория процессов подготовки нитей к ткачеству: учебное пособие/Волгоград, 2004 – 108 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Таблица критических значений VТ критерия

исключения резко выделяющихся данных выборки

Число повторности опытов m	Доверительная вероятность PD
	0,99	0,95	0,90
3	1,414	1,412	1,406
4	1,723	1,689	1,645
5	1,955	1,869	1,791
6	2,130	1,996	1,894
7	2,265	2,093	1,974
8	2,374	2,172	2,041
9	2,464	2,237	2,097
10	2,540	2,294	2,146
11	2,606	2,343	2,190
12	2,663	2,387	2,229
13	2,714	2,426	2,264
14	2,759	2,461	2,297
15	2,800	2,493	2,326
16	2,837	2,523	2,354
17	2,871	2,551	2,380
18	2,903	2,577	2,404
19	2,932	2,600	2,426
20	2,959	2,623	2,447
21	2,984	2,644	2,467
22	3,008	2,664	2,486
23	3,030	2,683	2,504
24	3,051	2,701	2,502
25	3,071	2,717	2,537