Печатается по решению Ученого Совета Инновационного Евразийского Университета.
Рецензоры:
А.М. Мубараков - доктор пед. наук, профессор.
Н.Э. Пфейфер – доктор пед. наук, профессор ПГУ им. С. Торайгырова.
Н.Е. Тарасовская – доктор биологических наук, профессор.
Химич Г.З., Хлущевская О.А. Введение в биометрию. Учебное пособие для биологических специальностей вузов. Павлодар, 2009, - 97 С.
ISBN
В учебном пособии рассмотрены основные понятия биометрии, числовые характеристики описания совокупности эмпирических данных, законы распределения, построение статистических оценок.
Пособие предназначено для специалистов. Использующих биометрическую обработку данных. Авторы преследовали цель в возможно более доступной форме разъяснить суть биометрической обработки данных и помочь начинающему исследователю сознательно применять формулы, имеющиеся в справочниках и руководствах и подготовить его к пониманию и использованию более сложных и глубоких руководств.
Пособие рекомендуется преподавателю, студентам, учителям, магистрантам и широким кругам биологов и специалистам смежных с биологией дисциплин.
Х ББК
ISBN
© Химич Г.З. Хлущевская О.А., 2009
©Инновационный Евразийский Университет
ПРЕДИСЛОВИЕ
Биометрия как наука. Научно-технический прогресс, превращение науки в непосредственную производительную силу общества предъявляют к подготовке специалистов все более высокие требования. Современный биолог, агроном, зоотехник или врач, инженер, учитель или психолог должны не только хорошо знать свою специальность, но и приобщаться к исследовательской работе, вносить посильный вклад в сокровищницу знаний о природе.
Знания о природе приобретаются путем наблюдения, сравнения и опыта. Причем под наблюдением в широком смысле подразумевают процесс планомерного добывания и накопления фактов независимо от того, как оно осуществляется — в эксперименте или непосредственным описанием изучаемого предмета. «Истинная наука, — по словам Тимирязева, — основывается только на фактах и на логике и постоянно продвигается по пути достоверности своего знания». «Факты — это воздух ученого, — писал И. П. Павлов.— Без них ваши «теории» — пустые потуги». Только опираясь на прочный фундамент фактов можно рассчитывать на успех в работе.
Но факты — это еще не наука. Как груда строительных материалов не является зданием, так и масса накопленных фактов не составляет содержание науки. Только сведенные в некую систему факты приобретают определенный смысл, позволяют извлечь заключенную в них информацию. Эта работа требует от исследователя не только профессионального мастерства, но и умения правильно планировать эксперименты, анализировать их результаты, делать из фактов научно обоснованные выводы. Система таких знаний и составляет содержание биометрии — науки, призванной играть хотя и вспомогательную, но весьма важную роль в биологических исследованиях.
Специфика биометрии, ее место в системе биологических наук. С формальной точки зрения биометрия представляет совокупность математических методов, применяемых в биологии и заимствованных главным образом из области математической статистики и теории вероятностей. Наиболее тесно биометрия связана с математической статистикой, выводами которой она преимущественно пользуется, но и биометрия влияет на развитие математической статистики. Взаимодействуя между собой, они взаимно обогащают друг друга. Однако отождествлять биометрию с математической статистикой и теорией вероятностей нельзя.
Биометрия имеет свою специфику, свои отличительные черты и занимает определенное место в системе биологических наук. Современная биометрия — это раздел биологии, содержанием которого является планирование наблюдений_ и статистическая обработка их результатов; математическая статистика и теория вероятностей — разделы математики, теоретические, фундаментальные науки, рассматривающие массовые явления безотносительно к специфике составляющих их элементов.
Биометрия — прикладная наука, исследующая конкретные биологические объекты с применением математических методов'. Биометрия возникла из потребностей биологии. Биометрия опирается преимущественно на индуктивный метод, отправляясь от конкретных фактов, которые она анализирует с помощью математических методов.
Характерной особенностью биометрии является также те, что ее методы применяют при анализе не отдельных фактов, а их совокупностей, т. е. явлений массового характера, в сфере которых обнаруживаются закономерности, не свойственные единичным наблюдениям.
Кроме того, нельзя не учесть, что многие биологи не обладают необходимыми навыками статистического и математического мышления, выработка которых совсем не так проста и требует не только соответствующего образования в вузе, но и длительной тренировки в процессе работы, привычки к статистическому подходу в понимании биологических процессов.
Эти обстоятельства и явились причиной создания данной книги как введения в биометрию Словом "введение" мы подчеркиваем, что в ней не будет дано со всей полностью то, что излагается в существующих больших зарубежных монографиях, например Э Вебер, О. Кепсорна и других авторов, но она должна помочь студенту университета, а также научному работнику – не специалисту по статистической биологии - приблизиться к к статистической интерпритации биологических явлений и понимать литературу в этой области.
ВВЕДЕНИЕ
Значение биометрии в исследовательской работе и профессиональной подготовке специалистов биологического профиля. Связи современной биологии с математикой многосторонни, они все более расширяются и углубляются. В настоящее время трудно указать область знания, в которой не применялись бы математические методы. Даже в такой, казалось бы, очень далекой от математики области, как анатомия человека, не обходятся без применения биометрии. Примером тому может служить работа Е. М. Маргорина, изучавшего возрастную изменчивость органов у человека. Он писал: «В идеале для определения возрастных различий надо было бы изучать один и тот же орган в его индивидуальном развитии, т. е. у одного и того же человека... Но практически это ограничено пределами анатомии, изучаемой на живом организме, да и требует много времени для наблюдений. Поэтому к решению вопроса приходится подходить косвенным путем, сравнивая один и тот же орган в разные возрастные периоды у разных лиц. Но тогда на сцену выступает новая закономерность — индивидуальная изменчивость, накладывающая существенный отпечаток на весь ход изучения возрастных различий»'. Понятно, что в таких случаях достоверные выводы, как считает Е. М. Маргорин, можно получить не на 2—6 наблюдениях, а на гораздо большем их числе; тут без применения биометрии не обойтись.
Биометрия необходима и при изучении наследуем ости и повторяемости хозяйственно важных признаков, измерении связей между ними и во многих других случаях. Применение биометрии оказалось полезным во многих областях прикладной биологии. Так, благодаря биометрическому анализу массовых антропологических измерений антропологам удалось подойти к довольно точному обоснованию принципов раскроя и стандартизации обуви и одежды, изготовляемой для массового потребления. Биометрические показатели легли в основу количественной оценки физического развития человека, его спортивных и трудовых достижений. Несомненно, что значение биометрии для наук, изучающих биологические объекты, будет возрастать тем более чем успешнее применяются достижения счетно-вычислительной техники.
Конечно, не всякое исследование опирается на биометрию. В биологии с успехом применяют и чисто описательные методы, не требующие количественных оценок получаемых результатов. Но там, где исследования проводят с использованием счета или меры, применение биометрии становится совершенно необходимым. В таких случаях пренебрежение методами биометрии или неправильное их применение приводит к неоправданным затратам труда и времени, а главное — к мало убедительным, а нередко и ошибочным выводам.
В качестве примера можно привести одну из попыток опровергнуть закон расщепления, открытый Г. Менделем. В 1939 г. были опубликованы опыты Н. Е. Ермолаевой, из которых якобы следовало, что частота встречаемости доминантного признака во втором поколении гибридов не совпадает с ожидаемой величиной 3/4. Отсюда был сделан вывод о несостоятельности упомянутого закона Менделя. Заинтересовавшись работой Н.Е. Ермолаевой, акад. А. Н. Колмогоров подверг ее данные статистическому анализу и пришел к прямо противоположному выводу. В статье, опубликованной в одном из номеров журнала «Доклады Академии наук СССР» (1940), он писал: «Материал этот, вопреки сомнению самой Н. Е. Ермолаевой, оказывается блестящим подтверждением законов Менделя». Ошибка Н.Е. Ермолаевой явилась следствием пренебрежительного отношения к биометрии, недооценки ее роли в исследовательской работе. Приведенный пример показывает, во-первых, что пренебрежение биометрическими методами при изучении варьирующих объектов приводит к неубедительным и даже ошибочным выводам, а во-вторых, что неумелое, формальное применение биометрии создает лишь видимость строгой научности, а в действительности приносит не пользу, а вред.
Биометрия призвана вооружать исследователей методами статистического анализа, воспитывать у них статистическое мышление, раскрывая перед ними диалектику связи между частью и целым, причиной и следствием, случайным и необходимым в явлениях живой природы. Поистине трудно переоценить значение биометрии в подготовке научно-педагогических кадров.
Этапы истории. Биометрия как относительно самостоятельная научная дисциплина сложилась во второй половине XIX в. Однако ее истоки восходят к более раннему периоду в истории естествознания: к тому времени, когда измерения биологических объектов стали рассматривать как метод научного познания. Пришедшее на смену феодализма буржуазное общество нуждалось в развитии точных знаний о природе; актуальным для этого времени стал афоризм Г. Галилея (1564—1642): «Измеряй все измеримое и сделай неизмеримое измеримым».
В 1614 г. появилась книга Сантарио (1561—1636) «О статической медицине». В 1680 г. вышла в свет книга Борелли (1608— 1679) «О движении животных». В 1768 г. французский гипполог Буржеля издал свой труд «Экстерьер лошади». В этой книге приведен набор измерений, необходимых для определения пригодности лошадей к той или иной службе. Характерно, что в это же время, т. е. в XVIII столетии, развивается военная антропология, опирающаяся на результаты измерения тела мужчин призывного возраста в целях отбора пригодных к несению военной службы. Основанием для количественной оценки строения тела животных и человека служил, очевидно, тот факт, что внешние параметры тела животных, а также и строение тела человека находятся в определенной связи с их физическими и психическими свойствами. Чтобы точнее выразить эту связь; визуальную оценку свойств тела животных и людей по их внешнему виду (экстерьеру) стали дополнять его измерениями. А так как результаты измерений варьировали, нужно было исследовать эту изменчивость. В 1718 г. в Лондоне вышла в свет книга французского математика А. де Муавра (1667—1754) «Учение о случаях». Измерив рост у 1375 взрослых женщин и расположив результаты измерений в ряд, он обнаружил закономерность, соответствующую известному в теории вероятностей закону нормального распределения. Возникла необходимость интеграции методов биологии с методами теории вероятностей и математической статистики.
Первым, кто удачно объединил методы антропологии и социальной статистики с выводами теории вероятностей и математической статистики, был бельгийский антрополог и статистик А. Кетле (1796—1874). В 1835 г. в Брюсселе вышла книга А. Кетле «О человеке и развитии его способностей или опыт социальной физики». Второе издание этой книги появилось в 1869 г. под заглавием «Социальная физика или опыт исследования о развитии человеческих способностей». На большом фактическом материале А. Кетле впервые показал, что самые различные физические особенности человека и даже его поведение подчиняются в общем закону распределения вероятностей, описываемому формулой Гаусса-Лапласа. В другом труде, «О социальной системе и законах, управляющих ею» (1848), А. Кетле описал человеческое общество не как сумму индивидов или сообщество людей, проживающих на определенной территории, а как некую систему, подчиняющуюся строгим законам природы, не зависящим от воли людей. Наконец, в труде «Антропология» (1871) А. Кетле показал, что открытые им статистические закономерности распространяются не только на человеческое общество, но и на все другие живые существа.
Из работ А. Кетле следовало, что задача статистики заключается не в одном лишь сборе и классификации статистических данных, а в их анализе, целью которого должно быть открытие закономерностей, действующих в сфере массовых явлений. Знание этих закономерностей и должно было превратить статистику в источник научного познания социальных и биологических явлений.
Исследования Кетле явились поворотным пунктом в истории статистической науки. Кетле одним из первых убедительно показал, что случайности, наблюдаемые в живой природе, вследствие их повторяемости обнаруживают внутреннюю тенденцию, которую можно исследовать и описать точными математическими методами.
А. Кетле заложил основы биометрии. Создание же математического аппарата этой науки принадлежит английской школе биометриков XIX в., во главе которой стояли Ф. Гальтон (1822— 1911) и К. Пирсон (1857—1936). Эта школа возникла под влиянием гениальных трудов Ч. Дарвина (1809—1882), совершившего переворот в биологической науке. Опровергнув господствующее тогда представление о неизменности биологических видов, Дарвин противопоставил ему эволюционное учение, положив в основу принцип естественного отбора. Этот принцип базируется на статистическом характере причинно-следственных отношений, складывающихся в живой природе; он подтверждает гегелевскую концепцию о внутренней связи между случайностью и необходимостью, между причиной и следствием, частью и целым.
Революция, совершенная Дарвином в биологической науке, поставила перед учеными целый ряд больших и неотложных задач, среди которых на первом плане оказалась проблема изменчивости и наследственности организмов. Решение этой проблемы явилось мощным стимулом к развитию экспериментальных методов и, как следствие, к развитию биометрии.
Одним из тех, кто испытал на себе влияние гениального труда Дарвина «Происхождение видов» (1859), был его двоюродный брат Ф. Гальтон. Сильное впечатление произвели на Гальтона и труды Кетле, особенно его «Социальная физика» и «Антропология». Поэтому неудивительно, что именно Гальтону принадлежит первая попытка применить статистические методы к решению проблемы наследственности и изменчивости организмов. Начиная с 1865 г. Гальтон опубликовал ряд оригинальных работ по антропологии и генетике. На большом фактическом материале он подтвердил вывод Кетле о том, что не только физические, но и умственные способности человека распределяются по закону вероятностей, описываемому формулой Гаусса—Лапласа.
Достойным продолжателем исследований Гальтона явился его ученик К. Пирсон — профессор Лондонского университета. Получив в 1884 г. кафедру прикладной математики и механики, Пирсон занялся изучением проблемы наследственности и изменчивости организмов. Он создал математический аппарат биометрии; развил учение о разных типах кривых распределения, разработал метод моментов (1894) и критерий согласия «хи-квадрат» (1990). Пирсон ввел в биометрию такие показатели, как среднее квадратическое отклонение (1894) и коэффициент вариации (1896). Ему принадлежит усовершенствование методов корреляции и регрессии Гальтона (1896, 1898). Вместе с Д. Гальто-ном и Уэльдоном Пирсон организовал выпуск журнала «Биометрика» (1901), редактором которого он оставался до конца своей жизни. Этот журнал сыграл важную роль в пропаганде биометрических методов, в создании английской школы биометриков.
Разработанные Гальтоном и Пирсоном биометрические методы вошли в золотой фонд математической статистики. Однако попытки Гальтона применить эти методы к решению проблемы наследственности организмов оказались неудачными. Гальтон и Пирсон полагали, что по внешнему сходству между родственниками можно судить о степени их родства. Это было ошибкой, на которую указал датский ученый В. Иогансен (1857—1927). В опытах с фасолью Иогансен пришел к важному выводу о том, что биологические проблемы должны решаться с помощью математики, но не как математические задачи. «Статистике,—писал Иогансен,—всегда должен предшествовать биологический анализ, иначе результаты могут быть «статистической ложью». Математика должна оказывать помощь, а не служить в качестве руководящей идеи»'. Это был новый, реалистический подход к оценке роли математических методов в биологических исследованиях.
Значение биометрии в исследовательской работе биологов стало очевидным уже тогда, когда были открыты статистические законы, действующие в сфере массовых явлений. Но биологи не сразу оценили всю важность этих открытий: во-первых, потому, что статистические методы базировались на больших количествах наблюдений, а во-вторых, они требовали большой вычислительной работы, к чему у биологов, привыкших к работе на малочисленных выборках, не было навыка.
Положение стало меняться после того, как была обоснована теория малой выборкц. Развитие теория малой выборки получила в трудах Пирсона и особенно Р. Фишера (1890—1962), внесшего огромный вклад в биометрию, обогатив ее новыми методами статистического анализа.
Удачно соединяя в своем лице биолога-экспериментатора и ''математика-статистика, Фишер привнес в биометрию не только новые методы, но и новые идеи. Он заложил основы планирования экспериментов — теории, которая в настоящее время получила дальнейшее развитие и стала относительно самостоятельным разделом биометрии. Фишер ввел в биометрию целый ряд новых терминов и понятий и убедительно показал, что планирование экспериментов и обработка их результатов — это две неразрывно связанные задачи статистического анализа. Классические труды Фишера явились новой вехой в истории биометрии. Они доказали, что биометрия — не просто наставление к использованию различных технических приемов, применяемых при обработке результатов наблюдений, а нечто большее — наука, занимающаяся статистическим анализом массовых явлений в биологии.
Рассматривая историю биометрии, нельзя не отметить тот огромный вклад в развитие теории вероятностей и математической статистики, который внесли такие ученые нашей страны, как С. Н. Бернштейн (1880—1968), А. Я. Хинчин (1894—1958),Е.Е. Слуцкий (1880—1948), А. И. Хотимский (1892—1939), Б. С. Ястремский (1877—1962), В. И. Романовский (1879—1954), В. С. Немчинов (1894--1964) и многие другие, особенно А. Н. Колмогоров и его школа, получившие мировое признание.
Первый учебник по теории вероятностей был издан в России в 1846 г. акад. В, Я. Буняковгким (1804—1889).
Возрастающая роль биометрии в исследовательской работе естественно сказалась на подготовке специалистов биологического профиля. Первым, кто еще в 1919 г. начал читать студентам Московского университета курс биометрии с основами генетики, был С. С. Четвериков (1880—1959). В 1924 г. он читал уже самостоятельный курс «Введение в биометрию». В дальнейшем курс биометрии в МГУ читали В. В. Алпатов, М. В. Игнатьев и др.
Основателем Ленинградской школы биометриков был Ю. А. Филипченко (1882—1930), организовавший при Ленинградском университете первую кафедру генетики. Филипченко не только умело применял биометрию в исследовательской работе, но и пропагандировал ее. Написанное им руководство по биометрии «Изменчивость и методы ее изучения» еще при жизни автора выдержало четыре издания (1923, 1925, 1927, 1929).
Итак, биометрия в своем историческом развитии прошла долгий и сложный путь — от чисто словесного описания биологических объектов к их измерениям, от статистических сводок и таблиц к статистическому анализу массовых явлений. В истории биометрии можно отметить несколько периодов, или этапов. Первый период, описательный, берет свое начало в XVII столетии. В это время происходит переход от словесного описания и элементарного количественного учета биологических объектов к их числовым характеристикам. Измерения рассматриваются как метод научного познания живой природы.
Второй период, начавшийся в первой половине XIX в., ознаменован работами А. Кетле. В это время закладываются основы биометрии как науки, целью которой является не описание явлений, а их анализ, направленный на открытие статистических закономерностей, которые действуют в сфере массовых явлений. Биометрию рассматривают одновременно и как науку, и как метод научного познания.
Третий период, формалистический, характеризуется возникновением и развитием английской биометрической школы во главе с Ф. Гальтоном и К. Пирсоном. В это время создают математический аппарат биометрии и предпринимают попытки применить его к изучению проблемы наследственности и изменчивости организмов.
Четвертый период, рационалистический, начинается с 1902 г. классическими исследованиями Иогансена, показавшего, что в области биологических исследований первое место должно принадлежать биологическому эксперименту, а не математике. Математические методы должны применяться как вспомогательный аппарат при обработке экспериментальных данных.
Пятый период в развитии биометрии открывают классические работы Стьюдента и Р. Фишера. В это время создаются основы теории малой выборки, теории планирования экспериментов, вводятся в содержание биометрии новые термины и понятия. Все эти новшества связаны с революцией в биологии, с ломкой устаревших принципов и понятий в области исследовательской работы, с усилением процесса математизации биологии. Происходит все более заметная специализация биометрии, применения ее методов в самых различных областях биологии, медицины, антропологии и других смежных науках.
В 1957 г. в сельскохозяйственных вузах и на Биологических факультетах университетов вновь введен курс биометрии (вариационная статистика). Математическая обработка данных в настоящее время обязательна при представлении отчетов научных учреждений биологического и сельскохозяйственного профилей. Во всех научных работах, а тем более в диссертациях, где приводятся количественные показатели, обязательно производится их математическая обработка. К сожалению, нередки еще случаи, когда авторы статей проводят математическую обработку данных формально, не понимая ее сути, и делают выводы, не согласующиеся с результатами такой обработки.
Знание научным работником — биологом или агрономом — основных положений биометрии, умение использовать их в своей практической работе помогают правильно планировать постановку исследований, глубоко разбираться в полученных данных и убедиться в их достоверности, а это — главное в научной работе.
Только правильное освещение наблюдавшихся фактов и закономерностей способствует развитию науки. Неточные исследования, непроверенные факты, необоснованные заключения тормозят прогресс науки, отнимают у исследователей время и энергию для опровержения ложных выводов.
Издано значительное количество руководств по биометрии, оригинальных и переводных. Но эти руководства рассчитаны на читателей, знакомых с основными положениями этой науки. Для неподготовленного человека они малодоступны. Книга «Введение в биометрию» предназначена для лиц, впервые приступающих к математической обработке данных. В ней указано, как методически правильно собирать интересующие исследователя данные, как вести записи, вычислять средние величины, возможные отклонения от среднего, устанавливать степень достоверности полученных результатов, связь между отдельными явлениями или признаками, соответствие полученных данных теоретически ожидаемым.
Это очень скромные задачи. За последние десятилетия биометрия значительно расширила область своего применения: статистические методы используются при изучении наследственности, помогают установить долю действия ее факторов и условий среды в проявлении признаков, предсказать результаты отбора, установить ценность тех или иных форм для включения в скрещивание и т. д., т. е. разрешить ряд вопросов, имеющих большое теоретическое и практическое значение.
ПРЕДМЕТ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ БИОМЕТРИИ
Предметом биометрии служит любой биологический объект, изучаемый с применением счета или меры, т. е. с количественной стороны в целях более или менее точной оценки его качественного состояния. При этом, как уже сообщалось, имеются в виду не единичные, а групповые объекты, т. е. явления массовые, в сфере которых проявляют свое действие статистические законы. Например, врач принял больного и назначил необходимое ему лекарство — это единичное явление, отдельный акт. Если же врач принял несколько больных или подверг неоднократному осмотру одного и того же больного, — это массовое явление независимо от того, каким был объект наблюдения — единичным или групповым.
Обычно наблюдения проводят на групповых объектах, например на особях одного и того же вида, пола и возраста, которые рассматривают как составные элементы, или члены группового объекта, и называют единицами наблюдения. Множество относительно однородных, но индивидуально различимых единиц, объединенных для совместного (группового) изучения, называют статистической совокупностью.
Понятие статистической совокупности — одно из фундаментальных биометрических понятий. Оно базируется на принципе качественной однородности ее состава. Нельзя объединять в одну совокупность особей разного пола и возраста, когда речь идет О нормах питания, стандартизации обуви и одежды, поскольку заведомо известно, что с возрастом и в зависимости от пола индивидов меняются их потребности в питании и закономерно изменяются размеры и пропорции тела. Недопустимо изучать закономерность модификационной изменчивости на генетически неоднородном материале, объединяя в одну совокупность чистопородных и гибридных особей и т. д.
Наряду с понятием статистической совокупности существует понятие статистического комплекса. Так, если статистическая совокупность состоит из относительно однородных единиц, то статистический комплекс слагается из разнородных групп, объединяемых для совместного (комплексного) изучения. При этом каждая группа, входящая в состав комплекса, должна состоять из однородных элементов. Например, в массе подопытных животных наряду с контролем может быть образовано несколько групп, отличающихся друг от друга по возрасту, породной или видовой принадлежности и т. п., на которых испытывают действие изучаемого агента. При испытании различных доз удобрений каждую опытную делянку рассматривают как отдельную группу, входящую в состав статистического комплекса.
Вопрос о форме объединения биометрических данных экспериментатор решает сам в зависимости от объекта и цели исследования. Объединяемые в статистическую совокупность или статистический комплекс результаты наблюдений представляют некую систему, не сводимую к сумме составляющих ее единиц или компонентов. В статистических совокупностях и в статистических комплексах существует внутренняя связь между частью и целым, единичным и общим, которая находит свое выражение в статистических закономерностях, обнаруживаемых в сфере массовых явлений. Эти закономерности являются той теоретической платформой, на которой базируется биометрия.
Какие вопросы можно решать биометрическим методом. С помощью биометрии можно изучать массовый материал, характеризующий различные группы животных: популяцию, породу, стадо, линию, семейство, генерацию, экспериментальную группу и т. п.
Первым наиболее простым биометрическим показателем служит понятие «средняя величина варьирующего признака», характеризующая массовый материал.
Средние статистические величины позволяют отвлечься от индивидуального варьирования признака у животных данной совокупности и служат выражением типичного для всей совокупности значения величины признака.
В животноводстве очень широко распространено использование одной из средних величин, получивших название средней арифметической.
Каждый практический работник ясно представляет себе смысл таких показателей, как средний урожай в хозяйстве, средний надой по стаду на одну корову, средний процент жира в молоке за лактацию, средняя длительность беременности и т. п.
Но кроме средней арифметической, существуют и другие средние значения, такие, например, как средняя геометрическая, мода, медиана, среднее квадратическое, которые также можно использовать для различных целей при характеристике каких-либо биологических объектов и групп животных.
Таким образом, биометрическим методом можно определять средние значения изучаемого признака и на основе этих средних делать суждение по существу о тех особенностях признаков, которые изучались у данной группы животных.
Вторым важным элементом анализа массового материала с помощью биометрии служат показатели степени вариабильности (изменчивости) интересующего нас признака.
Третьим важным приемом для практической и исследовательской работы, в животноводстве служит биометрический метод определения величины связи между различными показателями и ее направления.
Так, может представлять интерес выявление связи между некоторыми свойствами, характеризующими животных, или связь между окружающими животное условиями жизни и развитием у него тех или иных признаков.
Очень большое значение имеет определение того, на сколько полученные по данной группе животных статистические данные правильно характеризуют тот процесс или тот признак, суждение о котором мы, получаем с помощью тех или иных статистических вычислений.
Биометрические методы позволяют с определенной точностью установить достоверность полученных результатов.
Вычисление достоверностей и определение величины «статистической ошибки» является необходимым и важным приемом в обработке биологических материалов, получаемых из первичных зоотехнических данных или в специальных опытах. Без показателя достоверности и статистической ошибки многие средние данные не могут служить показателем правильной характеристики изучаемой группы животных по тому или иному признаку.
Кроме указанных элементов математического анализа массовых материалов с помощью биометрического метода, можно решать и ряд других вопросов, характеризующих материалы животноводства, которые чаще имеют значение для научно-исследовательских работ. Так, иногда требуется сопоставить эмпирические данные, полученные в конкретном опыте, с данными, которые предполагаются как теоретические. Это прежде всего относится к генетическим работам, в которых изучается соотношение в потомстве числа особей с доминантным и рецессивным признаками. Известно, например, что по правилам Менделя при скрещивании помесей первого поколения (при массовом материале) 75% их потомков будет иметь доминантное выражение признака и 25% — рецессивное. Это и считается теоретическим варьированием альтернативного признака. В конкретных же опытах могут наблюдаться другие соотношения между частотой встречаемости особей с доминантным и рецессивным выражениями признака, вызываемые какими-либо специальными воздействиями на животных.
В работах Менделя с горохом теоретическое «расщепление» во втором поколении помесных растений наблюдалось только на массовом материале при обобщении данных по потомству всех растений опыта. А если же рассмотреть, «расщепление» признаков в потомстве каждой отдельной родительской пары, то соотношения наблюдаются самые разнообразные, а не 75% доминантных и 25 %. рецессивных потомков.
Вот почему совершенна, драв академик Т. Д. Лысенко, когда он называет правдла Менделя статистическими, которые не вскрывают биологическую суть наследственности гибридного потомства.
Для выяснения случайности или неслучайности отклонений эмпирических (опытных) данных от теоретических служит метод хи-квадрат, разработанный вариационной статистикой, который и целесообразно использовать в некоторых исследовательских работах с животными.
Последние годы все шире в биометрии используется метод дисперсионного анализа, который представляет большой интерес Для зоотехнических исследований. Метод дисперсионного анализа позволяет выявить, какая доля из общей изменчивости признака обусловлена тем или другим фактором. Так, дисперсионным анализом можно, например, установить, какая доля в общей изменчивости удоя за лактацию обусловлена возрастом, кормлением, породностью животного или каким-либо другим фактором, имеющим влияние на функцию лактации.
Таким образом, использование биометрического метода при анализе материалов может быть еще расширено методом хи-квадрат, дисперсионным анализом и некоторыми другими методами, на которые мы здесь не ссылаемся. Все это позволяет более глубоко познать интересующие нас особенности изучаемой группы животных.
ПРИЗНАКИ И ИХ СВОЙСТВА
В общем смысле под словом «признак» подразумевают свойство, проявлением которого один предмет отличается от другого. В области биологии признаками, по которым проводят наблюдения над объектами, служат такие характерные особенности в строении и функциях живого, которые позволяют отличать одну единицу наблюдения от другой, сравнивать их между собой. Например, исследователя интересует содержание зерен в колосьях пшеницы или ржи, возделываемой на специально подготовленном участке. Массив данной культуры и будет объектом наблюдения, а признаком — количество зерен в колосьях отдельных растений, которые являются единицами наблюдения, составляя в общей массе, подвергаемой изучению, статистическую совокупность.
Характерным свойством биологических признаков является варьирование величины признаков в определенных пределах при переходе от одной единицы наблюдения к другой. Например, подсчитывая наличие зерен или колосков в колосьях, взвешивая детенышей животных одного и того же помета, определяя жирность молока у животных однородной группы и в других подобных случаях, нетрудно заметить, что величина каждого признака колеблется, образуя совокупность числовых значений признака, по которому проводят наблюдение. Эти колебания величины одного и того же признака, наблюдаемые в массе однородных членов статистической совокупности, называют вариациями (от лат. variatio—изменение, колебания), а отдельные числовые значения варьирующего признака принятого называть вариантами (от лат. varians, variantis—различимый, изменяющийся).
КЛАССИФИКАЦИЯ ПРИЗНАКОВ
Все биологические признаки варьируют, но все они поддаются непосредственному измерению. Отсюда возникает деление признаков на качественные, или атрибутивные, и количественные.
Качественные признаки не поддаются непосредственному измерению и учитываются по наличию их свойств у отдельных членов изучаемой группы. Например, среди растений можно подсчитать количество экземпляров с разной окраской цветков — белой, розовой, красной, фиолетовой и т. д. В массе животных также нетрудно отличить и учесть особей разного пола и масти — серых, вороных, гнедых, пестрых и др.
Количественные признаки поддаются непосредственному измерению или счету. Их делят на мерные, или метрические, и счетные, или меристические. Длина колосьев, урожайность той или иной культуры, мясная и молочная продуктивность животных — все это мерные признаки, варьирующие непрерывно: их величина может принимать в определенных пределах (от—до) любые числовые значения. Счетные признаки, такие, например, как число зерен или колосков в колосьях, яйценоскость и другие подобные признаки, варьируют прерывисто или дискретно: их числовые значения выражаются только целыми числами.
Если результаты наблюдений группируются в противопоставляемые друг другу группы, их варьирование в отличие от рядовой изменчивости называют альтернативным и признаки, по которым проводят наблюдение, — альтернативными. Примером могут служить случаи, когда противопоставляют особи женские мужским, больные — здоровым, высокорослые — низкорослым, успевающие — неуспевающим и т. д.
Деление признаков на качественные и количественные весьма условно. Например, в массе однородных индивидов, доступных измерению, можно выделить группы высоких, средних и низких, а также успевающих и неуспевающих и т. д. Вместе с тем в каждом качественном признаке, например в окраске листьев, цветков и плодов, можно обнаружить целую гамму количественных переходов, или градаций, и измерить их. И все же, несмотря на очевидную условность приведенной классификации, она необходима хотя бы потому, что количественные признаки распределяются в вариационный ряд, а качественные не распределяются (см. ниже). А при разных способах группировки исходных данных применяют разные способы их обработки.
На языке математики величина любого варьирующего признака является переменной случайной величиной. В отличие от постоянных величин, обозначаемых начальными буквами латинского алфавита, переменные величины принято обозначать последними в латинском алфавите прописными буквами X, Y, Z, а их числовые значения, т. е. варианты, — соответствующими строчными буквами того же алфавита:x1, x2, x3 ….xn или y1, y2, y3 …yn и т. д. Общее обозначение любой варианты отмечают символом xi, yi и т. д., где индекс i символизирует общий характер варианты (даты).
ПРИЧИНЫ ВАРЬИРОВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Биологические признаки варьируют под влиянием самых различных, в том числе и случайных, причин. Наряду с естественным варьированием на величине признаков сказываются и ошибки, неизбежно возникающие при измерениях изучаемых объектов. Опыт показал, что как бы точно ни были проведены измерения, они всегда сопровождаются отклонениями от действительного значения измеряемой величины, т. е. не могут быть проведены абсолютно точно. Разница между результатами измерений и действительно существующими значениями измеряемой величины называется погрешностью или ошибкой.
Ошибки возникают из-за неисправности или неточности измерительных приборов и инструментов (технические ошибки), личных качеств исследователя, его навыков и мастерства в работе (личные ошибки) и от целого ряда других, не поддающихся регулированию и неустранимых причин (случайные ошибки).
Технические и личные ошибки, объединяемые в категорию систематических, т. е. неслучайных ошибок, можно в значительной степени преодолеть, совершенствуя технические средства, условия работы и личный опыт. Эти меры позволяют свести размеры таких ошибок до минимума, которым можно пренебречь. Случайные же ошибки, как независимые от воли человека, остаются и сказываются на результатах наблюдений.
Итак, варьирование результатов наблюдений вызывают причины двоякого рода: естественная изменчивость признаков и ошибки измерений. Однако по сравнению с естественным варьированием случайные ошибки измерений, как правило, невелики, поэтому варьирование результатов наблюдений рассматривают обычно как естественное варьирование признаков.
ФОРМЫ УЧЕТА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЯ
Наблюдения над биологическими объектами проводят обычно по принятой исследователем программе. Результаты наблюдений фиксируют в дневниках, журналах, бланках, анкетах или других документах учета. Существует много различных форм и способов учета; выбор той или иной формы определяется задачей исследования и теми условиями, в которых оно проводится. Так, на маршрутных зоологических и ботанических экскурсиях, при проведении полевых опытов удобной формой учета служит дневник. В условиях лабораторного эксперимента результаты испытаний фиксируют в протоколах, журналах, учетных бланках и других формулярах.
ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ. ДЕЙСТВИЯ НАД ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
Применяя биометрию к решению практических задач, исследователь имеет дело с измерениями биологических объектов. Обычно измерения проводят с точностью до десятых, сотых или тысячных долей единицы, более точные измерения производят реже. Практически каждый признак имеет свою меру. Едва ли необходимо измерять удой коровы за лактацию с точностью до одной сотой миллиграмма. Но было бы недостаточно точным выражать измерения жирномолочности не дробными, а целыми числами. Конечно, в особых случаях, таких, например, как дозирование или испытание ядов и других сильнодействующих веществ, измерения должны быть очень точными, выражаемыми не только тысячными, но и миллионными долями единицы.
Как показывает опыт, нет необходимости в точности измерений, когда эта точность практически не нужна. Данное положение относится и к измеряемым объектам, и к вычислениям обобщающих статистических характеристик. «Вычисления,— писал акад. А. Н. Крылов,—можно производить как угодно точно, но результат вычисления не может быть точнее тех данных... на которых оно основано».
Разумеется, исследователь может иметь дело с точными числами, получаемыми в результате счета. Но гораздо чаще приходится оперировать приближенными числами, полученными в результате измерений. Такие математические операции, как нахождение логарифма чисел, деление, извлечение корня и другие действия, также в итоге дают приближенные числа.
Чтобы избежать грубых ошибок в работе и получать сопоставимые результаты, необходимо неукоснительно соблюдать признанные правила записи и округления приближенных чисел. Очень важно, чтобы числа, фиксируемые в документах учета, соответствовали точности, принятой при измерении варьирующих объектов. Так, если измерения проводят с точностью до одного десятичного знака, то результаты измерений нельзя записывать, например, в таком виде: 5,2; 4; 4,69; 4,083 и т. д. Правильная запись этих чисел будет такова: 5,2; 4,0; 4,7; 4,1.
Числа округляют следующим образом: если за последней сохраняемой цифрой следуют цифры 0, 1,2, 3, 4, они отбрасываются (округление с недостатком); если же за последней сохраняемой цифрой следуют цифры 5, 6, 7, 8 и 9, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу (округление с избытком). Например, числа 45,346; 8,644; 9,425; 3,585 и 3,575 округляются до двух десятичных знаков так: 45,35; 8,64; 9,43; 3,59 и 3,58.
Многие исследователи считают более точным такое правило: если за последней сохраняемой цифрой следует цифра 5 (с нулями или без оных после нее), то округление осуществляется с недостатком при условии, что сохраняемая цифра четная. Если же сохраняемая цифра нечетная, то округление осуществляется с избытком. Например, числа 3,585 и 3,575 округляются до двух десятичных знаков таким образом: 3,58 и 3,58.
СПОСОБЫ ГРУППИРОВКИ ПЕРВИЧНЫХ ДАННЫХ
Зафиксированные в документах учета сведения об изучаемом объекте (или объектах) представляют тот первичный фактический материал, который нуждается в соответствующей обработке. Обработка начинается с упорядочения или систематизации собранных данных. Процесс систематизации результатов массовых наблюдений, объединения их в относительно однородные группы по некоторому признаку называется группировкой.
Группировка — это не просто технический прием, позволяющий представить первичные данные в комплексном виде, но и глубоко осмысленное действие, направленное на выявление связей между явлениями. Ведь от того, как группируется исходный материал, во многих случаях зависят выводы о природе изучаемого явления. Один и тот же материал дает диаметрально противоположные выводы при разных приемах группировки. Нельзя группировать в одну и ту же совокупность неоднородные по составу данные, необдуманно выбирать способ группировки. Группировка должна отвечать требованию поставленной задачи и соответствовать содержанию изучаемого явления.
Наиболее распространенной формой группировки являются статистические таблицы.; они бывают простыми и сложными. К простым относятся, например, четырехпольные таблицы, применяемые при альтернативной группировке, когда одна группа вариант противопоставляется другой; например, здоровые— больным, высокие—низким и т. д. В качестве примера такой группировки могут служить результаты обследования 265 учащихся младших классов на состояние нёбных миндалин (табл. 1).
Таблица 1
| Школьные классы | Обнаружено детей | Всего | |
| здоровых | больных | ||
| Третьи и четвертые Пятые и шестые | 63 71 | 92 39 | 155 110 |
| Всего | 134 | 131 | 265 |
Из таблицы 1 видно, что заболевание нёбных миндалин, по-видимому, чаще встречается среди учащихся третьих и четвертых классов.
К сложным относятся многопольные таблицы, применяемые при изучении корреляционной зависимости и при выяснении причинно-следственных отношений между варьирующими признаками. Примером корреляционной таблицы служат классические данные Гальтона, показывающие наличие положительной зависимости между ростом родителей и ростом их детей (табл. 2).
В качестве примера группировки, применяемой при выяснении причинно-следственных отношений между признаками, приведены данные, полученные в Научно-исследовательском институте имени В. В. Докучаева при испытании гречихи сорта «Богатырь» на урожайность в зависимости от предшественников (табл.3).
Таблица 2
| Рост детей, дюймы | |||||||||
| Рост | |||||||||
| родителей, | Всего | ||||||||
| дюймы | 60,7 | 62,7 | 64,7 | 66,7 | 68,7 | 70,7 | 72,7 | 74,7 | |
| 74 | 4 | 4 | |||||||
| 72 | 1 | 4 | 11 | 17 | 20 | 6 | 62 | ||
| 70 | 1 | 2 | 21 | 48 | 83 | 66 | 22 | 8 | 251 |
| 68 | 1 | 15 | 56 | 130 | 148 | 69 | 11 | 430 | |
| 66 | 1 | 15 | 19 | 56 | 41 | 11 | 1 | 144 | |
| 64 | 2 | 7 | 10 | 14 | 4 | 37 | |||
| Всего | 5 | 39 | 107 | 255 | 387 | 163 | 58 | 14 | 928 |
Из табл. З ясно, что в данных условиях лучшим предшественником для гречихи является, по-видимому, ячмень.
Таблица 3
| Урожай гречихи по поаторностям, | ||||
| Предшественники | Ц/га | Средний урожай | ||
| 1 | 2 | 3 | ||
| Горох раннезеленый | 23,7 | 20,1 | 20,5 | 21,4 |
| Чечевица | 23,6 | 25,1 | 21,1 | 23,2 |
| Чина степная № 21 | 26,7 | 23,2 | 23,8 | 24,6 |
| Ячмень | 26,0 | 24,9 | 25,3 | 25,4 |
Приведенными таблицами не исчерпывается их многообразие. Здесь рассмотрены лишь типичные для курса биометрии примеры. Из этих примеров видно, что статистические таблицы имеют не только иллюстративное, но и аналитическое значение, позволяя обнаруживать связи.между варьирующими признаками.
Особую форму группировки представляют так называемые статистические ряды Статистическим называется ряд числовых значений признака, расположенных в определенном порядке. В.зависимости от того, какие признаки изучаются, статистические ряды делят на атрибутивные, вариационные, ряды динамики и регрессии, а также ряды ранжированных значений признаков и ряды накопленных частот, являющихся производными вариационных рядов. Примером атрибутивного ряда могут служить данные, показывающие зависимость между содержанием гемоглобина НЬ в крови и высотой организации позвоночных животных:
Класс животных ….. Рыбы Амфибии Рептилии Птицы Млекопитающие
Количество НЬ, г/кг
массы тела........ …….1,6 2,9 3,8 11,2 11,7
Среди группировок видное место занимают вариационные ряды. На их описании следует остановиться более подробно. Ряды регрессии, динамики и другие будут рассмотрены в последующих главах.
Вариационным рядом или рядом распределения называют двойной ряд чисел, показывающий, каким образом числовые значения признака связаны с их повторяемостью в данной статистической совокупности.
Рассмотрим конкретный пример. Нам надо определить число колосков в колосьях пшеницы данного сорта. Размер выборки — 50 колосьев. Отобрав рендомизированно необходимое количество (50) колосьев, мы приступаем к подсчетам (табл. 4). Сначала пишем: «Число колосков в колосе (Казахстанской 126 или другого изучаемого сорта)». Чертим таблицу: № пп, число колосков и т. д.
Таблица 4
| № пп | Число колосков | № пп | Число колосков | № пп | Число колосков |
| 1 | 18 | 18 | 15 | 35 | 19 |
| 2 | 13 | 19 | 14 | 46 | 16 |
| 3 | 20 | 20 | 14 | 37 | 17 |
| 4 | 13 | 21 | 12 | 38 | 16 |
| 5 | 19 | 22 | 18 | 39 | 14 |
| 6 | 15 | 23 | 14 | 40 | 15 |
| 7 | 16 | 24 | 15 | 41 | 13 |
| 8 | 15 | 25 | 15 | 42 | 17 |
| 9 | 17 | 26 | 16 | 43 | 13 |
| 10 | 14 | 27 | 15 | 44 | 12 |
| 11 | 15 | 28 | 14 | 45 | 17 |
| 12 | 13 | 29 | 17 | 46 | 15 |
| 13 | 15 | 30 | 13 | 47 | 16 |
| 14 | 18 | 31 | 14 | 48 | 14 |
| 15 | 15 | 32 | 16 | 49 | 16 |
| 16 | 15 | 33 | 17 | 50 | 17 |
| 17 | 16 | 34 | 15 |
Поскольку мы растения брали без выбора, то в таблице 4 цифры расположены без каких-либо закономерностей и из нее нельзя сделать никаких выводов.
Количественное выражение признака называется вариантой или (у некоторых авторов) датой и изображается буквами V или Х {приложение 1). Варианты, расположенные в восходящем или нисходящем порядке, образуют вариационный ряд. Чтобы составить вариационный ряд, найдем и отметим максимальную и минимальную варианты. В нашем примере минимальная варианта — 12, максимальная — 20. Разность между минимальной и максимальной вариантами называется размахом варьирования или амплитудой изменчивости.
Для составления вариационного ряда расположим варианты в восходящем порядке и определим, сколько раз каждая варианта встречается в нашей выборке.
Число, показывающее, сколько раз встречается в данной выборке каждая варианта, называется частотой и изображается буквами f или p. Для определения частот произведем разноску: зачеркиваем первую цифру таблицы 4. и против варианты 18
Таблица 5
ставим точку, затем зачеркиваем вторую цифру — 13 и ставим точку против варианты 13, зачеркиваем третью цифру и ставим точку против варианты 20 и т. д. Числа 1, 2, 3, 4 изображаются точками; 5 и 6 — диагоналями, 7, 8, 9, 10 — сторонами квадрата. Закончив разноску наших данных, заменим точки и черточки цифрами — узнаем частоты. Сумма частот должна быть равна количеству взятых для исследования объектов. В нашем примере 2+6+8+12+8 +... +1=50, следовательно, разноска произведена правильно. Правильность разноски обязательно надо проверять, иначе допущенная и незамеченная своевременно ошибка при разноске сделает неверной всю дальнейшую работу. Сумма в вариационной статистике изображается заглавной буквой «сигма» греческого алфавита —, количество объектов исследования — латинской буквой п. Запишем первую формулу:
f = n
Изобразим наш вариационный ряд графически (рис. 1); на горизонтальной оси отложим варианты, на вертикальной — частоты.
Графическое изображение вариационного ряда называется вариационной кривой, наиболее часто
Рис. 1. Число колосков в
колосе пшеницы
встречающаяся в вариационном ряду варианта — модой. В нашем
.примере мода равна 15 Варианта, расположенная в середине вариационного ряда, называется медианой. Мода изображается Мо, медиана —. Ме. В биологических исследованиях мода имеет большое значение.
Например, среди клеверов есть одноукосные и многоукосные формы. Они различаются по количеству междоузлий. При проведении апробации клевера нак надо знать не среднее количество междоузлий, а число растений, обладающих определенным количеством междоузлий, т. е. относящихся к одноукосным или многоукосным формам. Мода дает нам необходимые показатели.
РАЗБИВКА ВАРИАНТ НА КЛАССЫ. СОСТАВЛЕНИЕ ГИСТОГРАММ, ЗАМЕНА ГИСТОГРАММ КРИВЫМИ. ДВУХВЕРШИННЫЕ И МНОГОВЕРШИННЫЕ КРИВЫЕ, ПРОТУБЕРАНЦЫ ОШИБОК
Исследуя непрерывную изменчивость, а также анализируя данные, полученные при изучении прерывной изменчивости при большом размахе варьирования, необходимо разбивать варианты на классы. Например, число икринок у рыб одного вида и возраста нередко изменяется более чем на 500. Совершенно ясно, что выписывать столбиком все варианты невозможно.
При непрерывной изменчивости варианты чаще всего представлены смешанными числами: высота растений — 1,25; 2,15; 3,45 м и т. д. Содержание белка в зерне пшеницы — 15,2; 16,1; 16,5% и т. д. Между двумя целыми числами может располагаться 100 вариант, различающихся на 0,01 м или 0,р1%.
В этих случаях варианты разбиваются на классы. При этом следует соблюдать следующие правила:
1. Границы классов должны быть такими, чтобы каждая варианта могла быть отнесена только к одному классу:
5—9, 10—14, 15—19 и т. д., но не 5—10, 10—15, 15—20 и т. д.
2. Размеры всех классов должны быть равными.
3. Первый и последний классы могут быть неполными. Например, при размере класса 10 и амплитуде изменчивости 76 размер последнего класса 70—79, хотя варианты 77—79 в нашем примере отсутствуют.
4. Количество классов должно быть не более 10—15 и не менее 6—7.
5. Для определения размера классов находят минимальную и максимальную варианты, определяют амплитуду изменчивости и делят ее на установленное количество классов, округляя полученное число до целого. Например: измерения высоты стеблей кукурузы 25/VIII 1972 г. дало результаты, приведенные в таблице 6.
Таблица 6
| № пп | Высота | № пп | Высота | № пп | Высота | № пп | Высота |
| 1 | 132 | 17 | 125 | 33 | 147 | 49 | 142 |
| 2 | 160 | 18 | 144 | 34 | 238 | 50 | 141 |
| 3 | 100 | 19 | 116 | 35 | 131 | 51 | 115 |
| 4 | 155 | 20 | 138 | 36 | 166 | 52 | 144 |
| 5 | 126 | 21 | 123 | 37 | 132 | 53 | 128 |
| 6 | 129 | 22 | 134 | 38 | 114 | 54 | 124 |
| 7 | 125 | 23 | 118 | 39 | 133 | 55 | 108 |
| 8 | 106 | 24 | 179 | 40 | 103 | 56 | 132 |
| 9 | 164 | 25 | 153 | 41 | 126 | 57 | 143 |
| 10 | 114 | 26 | 116 | 42 | 143 | 58 | 147 |
| 11 | 127 | 27 | 131 | 43 | 141 | 59 | 131 |
| 12 | 163 | 28 | 173 | 44 | 125 | 60 | 154 |
| 13 | 111 | 29 | 133 | 45 | 154 | 61 | 102 |
| 14 | 131 | 30 | 110 | 46 | 116 | 62 | 157 |
| 15 | 128 | 31 | 152 | 47 | 105 | 63 | 118 |
| 16 | 136 | 32 | 144 | 48 | 133 | 64 | 123 |
