Архимед
Сергей ЖИТОМИРСКИЙ
Свидетельства истории
Архимед в произведениях античных авторов
Путь ученого
Сиракузы
Плутарх об Архимеде
Архимед-физик
Центр тяжести
Закон рычага
«То механическое открытие»
Гидростатика
Определение удельного веса
Оптика
Влияние работ Архимеда на развитие физики
Архимед-инженер
Осада
Метательные машины
Оборонительные машины ближнего действия
Бойницы в стенах
Водоподъемный винт
Другие механизмы Архимеда
Легенда о жгущих зеркалах
Источники легенды
Споры и опыты
Было или не было?
Архимед-астроном
«Псаммит» и античная астрономия
«Числа Ипполита» и система мира Архимеда
Числа Ипполита
Небесный глобус Архимеда
Последние годы
Исторические личности, упоминаемые в книге
Введение
Сохранившиеся труды Архимеда, в основном математические, составляют целый том. Достижения ученого в области математики огромны. Он решил задачи об определении объема цилиндра и шара, объемов частей параболоидов вращения, был основоположником изучения спиралей, решил проблему квадратуры круга, вычислив довольно узкие границы, между которыми заключено число я. Архимед ввел в математику физическую задачу об определении положения центра тяжести плоских и пространственных фигур и для многих случаев решил ее. Он применил в геометрии метод «мысленного взвешивания», значительно развил предложенный греческим ученым Евдоксом «метод исчерпывания», позволивший исследовать свойства кривых второго порядка.
Однако научное творчество Архимеда не ограничено математикой. Он основоположник статики, гидростатики и математической физики вообще, выдающийся астроном и замечательный инженер. Именно этим сторонам деятельности великого ученого древности и посвящена настоящая книга.
Из трудов Архимеда в указанных областях сохранилось очень мало. В III в. н.э. греческий математик Папп Александрийский писал: «Архимед составил только одно механическое сочинение, а именно об устройстве небесного глобуса, не найдя из других предметов ничего, достойного сочинения». Видимо, Архимед не описывал и своих физических опытов, которые несомненно производил. Мало сведений осталось и о его астрономических работах.
Тем не менее многие результаты, полученные Архимедом в области механики и астрономии, восстановлены благодаря трудам исследователей его творчества.
Образ ученого, видевшего в математике не одну лишь игру возвышенного ума, а средство познания физических законов и орудие для решения сложных инженерных задач, близок нашему времени.
Текст издания:
Сергей Викторович Житомирский. Архимед: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1981.
Свидетельства истории
Глава 1
Архимед в произведениях античных авторов
Хотя слава Архимеда никогда не прекращалась, о жизни ученого сохранилось очень мало сведений.
Известно, что он активно участвовал в обороне родных ему Сиракуз и созданные им машины сделали город неприступным; что он погиб при взятии города римлянами, происшедшего в результате предательства. Это случилось в 212 г. до н.э., и это единственная надежная дата в биографии Архимеда.
Византийский хронист конца XII в. Цеци, рассказывая о захвате Сиракуз, добавляет, что Архимеду в это время было около 75 лет. Отсюда вычисляется дата рождения ученого – 287 г. до н.э. Правда, другому свидетельству Цеци – о применении Архимедом сжигающих зеркал – обычно не доверяют.
Сам Архимед в одной из работ о результатах определения расстояний до Луны и Солнца приводит значения этих расстояний, которые получил его отец, и называет имя отца – Фидий. Отсюда можно заключить, что отец ученого был астрономом.
Земляк Архимеда, историк I в. до н.э. Диодор Сицилийский пишет о водоподъемных винтах, изобретенных Архимедом Сиракузским во время его пребывания в Египте. О том, что Архимед учился математике в Александрии и связи с тамошними учеными не порывал, говорит также то, что большинство работ Архимеда написано в виде посланий александрийским математикам.
Греческий писатель I в. н.э. Плутарх вскользь упоминает, что Архимед был родственником царя Сиракуз Гиерона. Вот, собственно, и все факты.
Каким же был Архимед?
Для нашего времени он прежде всего математик, поскольку сохранившееся наследие Архимеда составляют математические труды. Такому же представлению о нем способствует и рассказ Плутарха, рисующий Архимеда отрешенным от мира теоретиком. Но в более ранней характеристике, данной Архимеду греческим историком Полибием (201...120 г. до н.э.), ученый представлен лишь как военный инженер. Полибий, описывая осаду Сиракуз, подробно рассказывает об архимедовых машинах, которые по его свидетельству были сооружены в мирное время задолго до нападения римлян.
Столетием позже римский писатель Тит Ливий, который в описании осады Сиракуз использует сочинение Полибия, характеризует ученого как астронома, единственного в своем роде наблюдателя неба и звезд, и еще более удивительного конструктора военных машин и сооружений. Такая характеристика может указывать на то, что Архимед занимался астрономией в последние годы жизни и остался в памяти близких потомков астрономом. Но не исключено, что причиной этого является архимедов небесный глобус, вывезенный римлянами из Сиракуз в качестве трофея.
Диодор Сицилийский, о котором говорилось ранее, упоминает об Архимеде прежде всего как об изобретателе. По поводу архимедовых водоподъемных винтов он замечает: «Но не только поэтому нужно удивляться таланту Архимеда. Мы обязаны ему еще многими другими, более замечательными изобретениями, известными всему миру. Мы опишем их с тщательностью и в подробностях, когда дойдем до описания эпохи Архимеда».
К сожалению, труд Диодора до нас дошел не полностью, и, о каких изобретениях там говорится, можно только гадать.
Об Архимеде упоминает знаменитый римский оратор и политик Цицерон, разыскавший могилу Архимеда, когда в 76 г. до н.э. был в Сицилии. Им был найден могильный обелиск с геометрическим чертежом цилиндра с вписанным в него шаром. За 136 лет, прошедших со времени гибели Архимеда, его могила была забыта и заброшена.
Неоднократно Архимед упоминается в знаменитом сочинении по архитектуре римского инженера Марка Витрувия Поллиона, жившего также в I в. до н.э. Он пишет об Архимеде как о знатоке течения воды в водопроводах, авторе руководств по строительной механике (не дошедших до нас), ссылается на известную работу Архимеда «О плавающих телах».
Говоря об образе идеального архитектора, Витрувий в своей книге «Об архитектуре» пишет: «Но такие гении очень редки; мало людей вроде Аристарха Самосского, Филолая и Архита Тарентского, Аполлония Пергского, Эратосфена Киренского, Архимеда и Скопина Сиракузского, которые сумели с помощью расчетов и знания тайн природы сделать большие открытия в механике и гномонике (наука о солнечных часах) и оставили потомству об этом научные труды».
Здесь Архимед назван в ряду крупнейших астрономов и математиков.
Наконец, в I в. н.э. греческий писатель Плутарх в биографии римского полководца Марцелла, взявшего Сиракузы, посвятил несколько страниц Архимеду. Этим, собственно, и исчерпываются дошедшие до нас свидетельства античных авторов об Архимеде.
Путь ученого
И все же мы можем сказать, что сейчас творческая биография Архимеда в основном известна (в значительной мере благодаря выполненной советским ученым И.Н. Веселовским периодизации работ Архимеда).
Наиболее ранними из сохранившихся сочинений Архимеда оказались четыре его геометрические работы, написанные в виде посланий в Александрию некоему Досифею, ученику математика и астронома Конона, с которым Архимед был дружен. Первая из них – «Квадратура (площадь) параболы» – начинается словами: «Архимед Досифею желает благоденствия! Узнавши о смерти Конона, делавшего все для нас из дружбы, и о том, что ты был близок к Конону и сведущ в геометрии, мы очень опечалились о покойном и как о друге и как о выдающемся математике. Поэтому мы решили написать тебе, подобно тому как обычно писали Конону, и послать некоторые геометрические теоремы...»
В следующем знаменитом сочинении – «О шаре и цилиндре», где решаются задачи определения объемов и поверхностей этих фигур, – имеются ссылки на предыдущее послание. Досифею Архимед послал также работы «О спиралях» и «О коноидах и сфероидах».
Далее следует группа произведений, связанная с приложением математики к физическим проблемам. Это сочинения «О равновесии плоских фигур», «Послание Эратосфену о механических теоремах» и, наконец, две книги «О плавающих телах». В этих сочинениях Архимед пользуется теоремами, полученными в предыдущих геометрических работах.
К более позднему времени относятся сочинения Архимеда «Измерение круга», содержащее вычисление отношения длины окружности к диаметру (числа ) и работа «Псаммит» («Исчисление песка»), в которой Архимед демонстрирует свой способ записи очень больших чисел.
Установить наиболее раннюю дату начала занятий Архимеда математикой И.Н. Веселовскому помог следующий исторический рассказ. Когда египетский царь Птолемей III Эврегет уходил в поход на Антиохию, его жена Береника принесла свои волосы в дар богам, чтобы помочь благополучному возвращению мужа. После окончания похода выяснилось, что волосы из храма пропали. По античным представлениям, человек, завладевший чужими волосами, мог жестоко вредить их владельцу с помощью магических обрядов. Чтобы уладить дело, работавший в это время в Александрийском музее астроном Конон с Самоса объявил, что обнаружил на небе новую группу звезд, которые и есть вознесенные на небеса волосы царицы. Так появилось название созвездия, которое и в наши дни указывается на звездных картах, – «Волосы Вероники». Но какое отношение эта история имеет к Архимеду? Дело в том, что дата похода Эврегета (3-я Сирийская война) известна – это 246 г. до н.э. Таким образом, рассказ о волосах Береники удостоверяет, что сочинение Архимеда «О квадратуре параболы» (самое раннее из дошедших до нас) было послано Досифею, во всяком случае, позже этой даты. Поскольку же Архимед родился в 287 г., то легко подсчитать, что к моменту написания этой работы ему было больше сорока лет!
Значит, свои основные математические открытия Архимед сделал в зрелом возрасте. Это удивительно, так как обычно математические способности проявляются в юности. Суть геометрических работ Архимеда состоит в развитии метода исчерпывания, введенного предшественником Евклида, великим математиком Евдоксом Книдским. Наиболее важным своим достижением в геометрии сам Архимед считал работу «О шаре и цилиндре» (недаром чертеж шара, вписанного в цилиндр, был помещен на его надгробии). В этом сочинении Архимед доказал, что объем шара, вписанного в цилиндр, в полтора раза меньше объема этого цилиндра и что так же относятся между собой поверхности этих фигур. Во вступлении к работе «О шаре и цилиндре» он писал: «Конечно, эти свойства были и раньше по самой природе присущи упомянутым фигурам, но они все же оставались неизвестными тем, кто до нас занимался геометрией, и никому из них не пришло на ум, что все эти фигуры являются соизмеримыми друг с другом; поэтому я не поколебался бы сравнить эти теоремы с теми, которые были открыты другими геометрами, и, в частности, наиболее выдающимися теоремами, которые были установлены для тел Евдоксом».
Так что, вероятнее всего, Архимед был в обучении у Конона уже зрелым, сложившимся человеком. Но в какой области применял свои творческие силы Архимед до встречи с Кононом и увлечения геометрией? Есть достаточно оснований считать, что Архимед начинал свою деятельность на поприще практической механики в качестве военного инженера.
Творческий путь Архимеда рисуется нам следующим образом.
Архимед начал свою деятельность как инженер, создатель военных машин и фортификатор, реконструирующий укрепления Сиракуз. В этот период он пишет ряд практических работ по строительному делу (до нас дошли лишь отрывки из этих работ), причем основными теоретическими достижениями ученого в этот период были введение понятия центра тяжести и формулировка закона рычага.
Тяга к углублению теоретических знаний приводит Архимеда в Александрию, тогдашний научный центр, где он встречается с Кононом и начинает пробовать свои силы в геометрии. Вернувшись в Сиракузы, он в течение 5...10 лет делает свои выдающиеся геометрические открытия, изложенные в посланиях Досифею. В следующий период своей деятельности ученый был занят решением задач математической физики (основы гидростатики, условия устойчивости плавающих тел), в которой Архимед был пионером. Вероятнее всего, в этот период он занимается и оптикой (написанная Архимедом работа «Катоптрика» до нас не дошла). Содержание последнего периода научной деятельности Архимеда составляют вычислительно-астрономические работы. Все это время Архимед, видимо, не оставляет инженерной деятельности, применяя на практике выводы своих теоретических исследований.
Сиракузы
Сиракузы были основаны коринфянами в VIII в. до н.э. Благодаря плодородию почвы, а также удобным гаваням этот город вскоре прославился исключительным богатством.
Сиракузы были одним из крупнейших городов эллинистического мира. История родины Архимеда не была мирной. Плодородная Сицилия долгое время являлась яблоком раздора между окрестными народами. В 415...413 гг. до н.э. Сиракузы выдержали тяжелую войну с Афинами, стремившимися завладеть островом, и одержали победу. Но уже в 409 г. до н.э. в Сицилии высадилось карфагенское войско, которое с помощью осадных машин – тогда еще новинки военной техники – начало подчинять сицилийские города. Обеспокоенный успехами карфагенян, сиракузский правитель Дионисий Старший начал в 405 г. до н.э. готовиться к войне. Он пригласил в Сиракузы техников и мастеров, собрав их со всей Сицилии, Италии и Греции, и поставил перед ними задачу создания военных машин. Тогда в Сиракузах были построены невиданные прежде корабли с четырьмя и пятью ярусами весел, сконструированы мощные метательные машины. С помощью этого оружия Дионисию удалось остановить карфагенян, а изобретенные по его заказу машины быстро распространились и стали играть важную роль в армиях большинства государств Средиземноморья. Технические традиции в Сиракузах сохранились, и не подлежит сомнению, что в области практической механики Архимед в юности мог иметь достойных учителей, а в зрелые годы – умелых и дельных помощников.
В эпоху, предшествующую Архимеду, произошло возвышение Сиракуз при правлении Агафокла (316...289 г. до н.э.). Этот талантливый полководец и политик, выходец из простого народа, объединил под властью Сиракуз почти всю Сицилию, вел успешные войны с Карфагеном, пытался подчинить Южную Италию (правда, после его смерти Карфаген взял реванш и влияние Сиракуз уменьшилось).
Наиболее красочное из уцелевших описаний Сиракуз принадлежит Цицерону, хотя он описывает город, уже более сотни лет находившийся под властью Рима и сохранивший лишь малую долю былого великолепия: «Сиракузы – самый большой из греческих городов и самый прекрасный в мире; оно на самом деле так. Их высокое местоположение не только содействует их безопасности, но имеет последствием и то, что город со всех сторон, и с суши, и с моря, представляет очень красивое зрелище. Его гавани находятся внутри городской черты и отчасти окружены зданиями; открываясь в двух противоположных направлениях, они сливаются своими внутренними углами, вследствие чего та часть города, которая называется Островом, отделена узким проливом от материка, с которым ее соединяет мост.
Город так велик, что его делят на четыре огромных города...
Один из них – Остров (о котором я только что говорил), будучи окружен с двух сторон гаванями, вдается в море при входе в каждую из гаваней. На нем находится прежний дворец царя Гиерона, а также множество храмов, из которых выделяются в сравнении с другими два: один – Дианы (Артемиды), другой – Минервы (Афины)... На крайней оконечности Острова есть источник пресной воды Аретуса, огромной величины, кишащий рыбой; морские волны затопили бы его совершенно, если бы он не был отделен от моря каменной дамбой.
Второй город в Сиракузах называется Ахрадиной; здесь находится обширная площадь, прекрасные портики, великолепный пританей (правительственное здание), величественное здание курии (совета) и храм Юпитера Олимпийского (Зевса) – образцовое произведение искусства; остальные части города, пересекаемые одной широкой и длинной улицей и множеством поперечных, застроены частными зданиями.
Третий город называется Тиха, так как там был древний храм Фортуны (Тихи); в нем огромный гимнассий (стадион) и множество храмов. Эта часть города застроена и заселена более других.
Четвертый город – Неаполь (новый город) назван так потому, что был выстроен позже других. В самой возвышенной его части находится громадных размеров театр; кроме того, два прекрасных храма, один – Цереры (Деметры), другой – Прозерпины (Персефоны) и колоссальная, чудной работы статуя Аполлона (Теменита)».
Огромное пространство, занимаемое городом, было обнесено стенами с большим количеством башен. Стены составляли треугольник со сторонами длиной около 6 км. Особая внутренняя стена отделяла от остального города приморские районы – Ахрадину и Остров, а на холме, в дальнем от моря углу треугольника стен, возвышалась еще одна внутренняя крепость – Эвриал. Такими были Сиракузы.
В 270 г. до н.э. к власти в городе пришел Гиерон. По свидетельству Плутарха, Архимед, которому в это время было около 10 лет, был родственником Гиерона. Как и Агофокл, Гиерон выдвинулся из простых солдат. Судя по всему, это был человек выдающихся способностей. Но времена изменились, о возвращении Сиракузам былого величия не приходилось и мечтать. Два могучих соперника – Рим и Карфаген – претендовали на власть над Сицилией.
В 264 г. до н.э. началась 1-я Пуническая война. Непосредственным поводом для нее оказалась победа Гиерона над мамертинцами, наемниками-кампанцами, захватившими власть в Мессине. Часть разбитых мамертинцев призвала на помощь карфагенян, другая – римлян. Гиерон в битве с римлянами потерпел крупное поражение, дело дошло до осады Сиракуз, но ему ценой выплаты Риму большой контрибуции удалось выйти из войны. После этого для Сиракуз наступил мирный период истории, который длился около 50 лет. Но Гиерон, готовый к любым неожиданностям, уделял большое внимание укреплению города, и далеко не последнюю роль в этих работах играл Архимед.
О том, что двор Гиерона был достаточно просвещенным, говорит факт посвящения Архимедом своей работы «Псаммит» сыну и соправителю Гиерона Гелону. Гиерон умер в 215 г. до н.э., на четыре года пережив своего сына. За три года до его смерти Ганнибал перешел через Альпы и началась 2-я Пуническая война. Но пока Гиерон был жив, Сиракузам удавалось держаться от нее в стороне.
Полибий в своей «Всеобщей истории» так характеризует Гиерона: «Гиерон сам приобрел власть, не имея ни богатства, ни славы, ни других даров судьбы. За всю свою власть он никого не убил, не изгнал, не обидел, а властвовал 54 года...».
Плутарх об Архимеде
Мы уже говорили, что самое подробное из сохранившихся сообщений об Архимеде – это отрывок из биографии завоевателя Сиракуз, римского полководца Марцелла, написанной Плутархом. Нарисованный греческим писателем образ относится скорее к некоему идеализированному ученому-теоретику, чем к Архимеду.
Тем не менее рассказ Плутарха интересен не только как один из немногих уцелевших источников сведений об Архимеде, но и как свидетельство перешагнувшей века славы ученого, изобретателя и воина. Плутарх пишет: «Архимед имел возвышенную душу и глубокий ум, и, обладая громадными богатствами геометрических теорий, он не хотел оставить ни одного сочинения относительно тех машин, которые доставили ему славу знания, не только доступного человеку, но почти божественного... Во всей геометрии нельзя найти более трудных и глубокомысленных задач, которые были бы решены так просто и ясно, как те, которыми занимался Архимед. Одни приписывают эту ясность его высоким дарованиям, другие же – тому напряженному труду, при помощи которого ему удавалось дать своим открытиям такое выражение, что они становятся доступными без труда. Если читатель сам не находит доказательства, то при изучении архимедовых сочинений у него создается впечатление, что он и сам смог бы без труда найти решения, – таким легким и быстрым путем Архимед приводит к тому, что он хочет доказать. Поэтому не кажется невероятным, что он, как рассказывают, будучи околдован геометрией, забывал о пище и пренебрегал заботами о своем теле. Часто его насильно заставляли принимать ванну и натираться мазями, а он чертил на золе геометрические фигуры и на своем намазанном маслом теле проводил пальцем линии, – настолько он был охвачен этими занятиями и действительно одухотворен музами. И хотя у него было много прекрасных открытий, он просил своих родственников и друзей начертить на его могиле только цилиндр и содержащийся в нем шар и указать соотношение между объемами этих тел. Таков был Архимед, который благодаря своим глубоким познаниям в механике смог, насколько это от него зависело, сохранить от поражения и себя самого и свой город».
Архимед-физик
Глава 2
Архимеда справедливо считают основоположником математической физики. С его именем связывается введение понятия центра тяжести, открытие законов рычага и разработка основ гидростатики. Известно, что он занимался и геометрической оптикой, хотя его работы в этой области до нас не дошли. Для древних греков физика была целостным учением о мире и считалась частью философии. Ее практические стороны, такие, как механика, относились к прикладным дисциплинам. Математика хотя и применялась, но от нее не требовали ни строгости, ни полноты описания явлений.
Архимед первым подошел к решению физических задач с широким применением математики. Как уже говорилось, он начал с механики. Античные механические представления настолько отличались от наших, что сейчас воспринимаются с трудом, хотя «Физику» Аристотеля (384...322 г. до н.э.) в течение многих столетий изучали, комментировали, считали безошибочной. Аристотель разделял движения на «естественные» и «насильственные». Естественным считалось стремление материи к своему «месту», зависящему от ее свойств, например стремление камня к центру ; Земли, огня – от Земли вверх. Насильственные движения предполагали внешнюю причину – приложение силы. Механика Аристотеля не знала явления инерции: движение должно было прекратиться тотчас же после прекращения действия силы. Движение же по инерции объяснялось влиянием среды. Так, последователи Аристотеля считали, что при бросании камня возникает воздушный вихрь, несущий его после того, как камень покинул руку.
В своих трудах Архимед изучал только силы, которые с точки зрения аристотелевой механики вызывают «естественные» движения. Более того, он сразу упростил задачу, исключив из нее движение. Так появилась статика.
До Архимеда закон рычага рассматривался в сочинении «Механические проблемы», автором которого долгое время считался Аристотель.
В «Механических проблемах», которые составлены в форме вопросов и ответов, содержится описание ряда инструментов и механизмов (рычаг, колодезный журавль с противовесом, клещи, кривошип, полиспаст, зубчатые колеса, рычажные весы) и объяснение их действия на основе «принципа рычага» и правила: «Выигрываем в скорости (пути) – проигрываем в силе».
Однако отсутствие ясности в постановке задач в ряде случаев приводило к совершенно неправильным представлениям. Вот как, например, описывается в «Проблемах» работа корабельного руля: «Почему малый руль, привешенный на корме корабля, имеет столь большую силу?.. Быть может, потому, что руль есть рычаг, а рулевой есть то, что приводит его в действие? Стало быть, место, где он прикреплен к кораблю, становится точкой опоры, руль в целом – рычагом, море – грузом, а рулевой – движущей силой». Действие руля, основанное на силе реакции отталкиваемой им воды, разумеется, нельзя свести к простому рычагу.
Нечетким рассуждениям, содержавшимся в «Механических проблемах», Архимед противопоставил безупречную теорию, построенную по законам геометрии. Архимед сделал в механике то, что греческие геометры сделали в египетской и вавилонской землемерной науке. Вместо полей они рассматривали отрезки плоскостей, вместо межевых границ – бесконечно тонкие и абсолютно прямые (или имеющие строго обусловленную кривизну) линии. И тогда оказалось возможным найти между фигурами соотношения, о которых не подозревала восточная математика, удовлетворявшаяся решением практических задач.
Архимед придал геометрическим фигурам вес, равномерно распределенный по площади или объему. В отличие от автора «Механических проблем» он рассматривает не реальные рычаги или барабаны, а их идеализированные схемы. Это тем более замечательно, что Архимед был и блестящим практиком-конструктором.
Из механических, вернее, механогеометрических сочинений Архимеда до нас дошли только два: «О равновесии плоских фигур» и «Эфод, или послание Эратосфену о механических теоремах». Однако отрывки из его более ранних механических сочинений «О весах» и «О рычагах» сохранились в произведениях ряда авторов. Наиболее важные из них, относящиеся к учению о центре тяжести, имеются в «Механике» александрийского ученого I в. н.э. Герона и в «Математической библиотеке» ученого III в. н.э. (также александрийца) Паппа.
Центр тяжести
Первым открытием Архимеда в механике было введение понятия центра тяжести, т.е. доказательство того, что в любом теле есть единственная точка, в которой можно сосредоточить его вес, не нарушив равновесного состояния.
Герон и Папп приводят со ссылкой на Архимеда доказательство существования центра тяжести. Герон предваряет теорему фразой, относящейся к рассмотрению Архимедом идеализированных «физико-математических» тел (метод абстракции). Герон пишет: «Никто не отрицает, что о наклонении и отклонении в действительности говорят только о телах. Если же мы говорим о плоских или телесных (объемных) фигурах, что некоторая точка является их центром поворота и центром тяжести, то это достаточно разъяснено Архимедом». Эта фраза подтверждает, что замена тел их теоретическими моделями была в науке новшеством, введенным Архимедом.
Архимедовы определение центра тяжести и теорему о его существовании мы приведем в пересказе Паппа.
Определение центра тяжести формулируется так: «...центром тяжести некоторого тела является некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свойством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно останется в покое и сохранит первоначальное положение».
Доказательство существования центра тяжести также основано на мысленном уравновешивании тела. В нем тело мысленно помещают на горизонтальную прямую, являющуюся основанием вертикальной плоскости (рис. 1): «Если какое-нибудь обладающее весом тело положить на прямую CD так, чтобы оно полностью рассекалось продолжением упомянутой плоскости, то оно может иногда занять такое положение, что будет оставаться в покое... Если затем переставить груз так, чтобы он касался прямой CD другой своей частью, то можно при поворачивании дать ему такое положение, что он, будучи отпущен, останется в покое... Если снова вообразить плоскость ABCD продолженной, то она разделит груз на две взаимно уравновешивающиеся части и пересечется с первой плоскостью... Если бы эти плоскости не пересеклись, то те же самые части были бы и уравновешивающимися и неуравновешивающимися, что нелепо».
Рис. 1. К определению центра тяжести тела
Действительно, если бы плоскости, рассекающие груз на уравновешенные части, оказались параллельными (не пересекались), то можно было бы уравновесить тело, не поворачивая его, а только сдвинув параллельно самому себе. Это означало бы, что к одной из частей добавился бы отнятый от второй части объем, заключенный между плоскостями, что должно было бы нарушить равновесие. Путем подобных же рассуждений доказывается, что на линии пересечения плоскостей находится единственная точка, являющаяся центром тяжести.
Архимед решил ряд задач на нахождение центров тяжести различных геометрических фигур: треугольника, параллелограмма, конуса, сегмента параболы.
Закон рычага
Закон рычага, вероятно, был сформулирован в одном из упомянутых выше не дошедших до нас сочинений Архимеда. Причем сохранившийся в «Механике» Герона отрывок из сочинения Архимеда показывает, что в этом сочинении рассматривался случай, когда точки приложения сил расположены на окружностях разного диаметра, имеющих общую точку поворота. Это схема таких механизмов, как ворот, зубчатая передача и амфирион (разновидность ворота, состоящая из сидящих на одном валу барабанов разного диаметра). Приведя теорему, сводящую этот случай к рычагу, Герон пишет: «Это доказал Архимед в своей книге о равновесии. Отсюда ясно, что можно сдвинуть большую величину малой силой».
Но более серьезную разработку этих проблем Архимед предпринял позже в сочинении «О равновесии плоских фигур», состоящем из двух частей. В первой приводится ряд аксиом и теорем общего характера, а во второй с их помощью решается задача о нахождении центра тяжести сегмента параболы. В этой работе Архимед впервые развил аксиоматический подход к механике. Он строит свою теорию на базе геометрии путем добавления к геометрическим аксиомам нескольких «механических» аксиом. Книга начинается так:
«Сделаем следующие допущения:
Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине.
Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой будет прибавлено».
Архимед приводит семь аксиом и на их основании доказывает ряд теорем, касающихся определения общего центра тяжести двух или нескольких фигур. Нахождение общего центра тяжести фигур сводится к их уравновешиванию на воображаемом рычаге, поскольку такое уравновешивание произойдет, если точка подвеса окажется в этом центре.
Содержание закона рычага, выведенного из аксиом, заключено в следующих двух теоремах:
«Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, которые будут обратно пропорциональны тяжестям».
«Если величины несоизмеримы, то они точно так же уравновешиваются на длинах, которые обратно пропорциональны этим величинам».
Разумеется, для практики, когда требуются лишь приближенные расчеты, вторая теорема не нужна. Но она имеет глубокий теоретический смысл, показывая, что закон рычага действует при любых отношениях плеч, включая и иррациональные.
Архимед не только ввел в геометрию новый класс задач (определение центров тяжести фигур), но и впервые применил при их решении «механические» методы (например, мысленное взвешивание для нахождения площадей сложных фигур).
Применив математику для изучения механического равновесия, Архимед показал, что математический подход к решению физических проблем не только помогает проникнуть в суть законов природы, но обогащает и саму математику.
«То механическое открытие»
В XI главе «Математической библиотеки» Паппа говорится: «Как определенный груз привести в движение определенной силой – это то механическое открытие Архимеда, которое заставило его радостно воскликнуть: «Дай мне место, где бы я мог стоять, и я подниму Землю!» Сходный по содержанию текст имеется у Плутарха, который рассказывает: «Архимед, между прочим, писал однажды своему родственнику и другу царю Гиерону, что данной силой можно поднять любую тяжесть. В юношески смелом доверии к силе своего доказательства он сказал, что, если бы у него была другая Земля, он перешел бы на нее и сдвинул с места нашу. Удивленный Гиерон стал просить его доказать свои слова и привести в движение какое-либо большое тело малой силой. Архимед приказал посадить на царскую грузовую триеру, с громадным трудом с помощью многих рук вытащенную на берег, большой экипаж, положить на нее обыкновенный груз и, усевшись на некотором расстоянии, без всяких усилий, спокойно двигая рукой конец полиспаста, стал тянуть к себе триеру так тихо и ровно, как будто она плыла по морю».
Таким образом, открытие связывается с эффектной механической демонстрацией и со знаменитой фразой Архимеда о том, что он смог бы сдвинуть саму Землю. Обычно эту фразу относят к открытию закона рычага. Но рычаг был известен с незапамятных времен, а закон его действия, хотя и не строго, уже был сформулирован в «Механических проблемах». Кроме того, при попытке сдвинуть рычагом очень большой груз, мы получим весьма малое перемещение. Также мало вероятно, чтобы эта фраза относилась к какому-нибудь изобретенному Архимедом механизму, например винту. Ведь Папп говорит о каком-то открытом Архимедом законе, «как определенный груз привести в движение определенной силой». Ссылаясь на книгу Герона «Барулк», Папп пишет: «В «Барулк» он описывает, как поднять определенный груз определенной силой, причем он принимает отношение диаметра колеса к диаметру оси равным 5:1, предварительно допустив, что подлежащий поднятию груз весит 1000 талантов (25 т), а движущая сила равна 5 талантам (125 кг)». Далее Папп, меняя условия задачи (поднять груз в 160 талантов силой 4 таланта), описывает расчет многоступенчатого зубчатого редуктора, имеющего на входе червячную передачу.Слово «барулк», видимо, и является названием описываемого механизма.
«Открытие» не названо, но по крайней мере теперь мы знаем, что оно заключено в механизме, который мы бы назвали лебедкой, содержащей барабан для наматывания каната, несколько зубчатых передач и червячную пару. Кроме червячной передачи, которая входит в состав лебедки, остальные механизмы – ворот и зубчатые колеса – упоминаются в «Механических проблемах» и, значит, были известны до Архимеда.
Новым здесь был сам принцип построения многоступенчатой передачи. Открытие Архимеда должно было состоять в нахождении закона определения общего «выигрыша в силе», достигаемого с помощью механизма, состоящего из последовательно соединенных передач. Этот закон можно сформулировать так: общее передаточное отношение многозвенного механизма равно произведению передаточных отношений его звеньев.
Но это простое правило приводит к ошеломляющим результатам. Если взять пару зубчатых колес с отношениями радиусов 1:5 (как у Герона), то получим на большом колесе «выигрыш в силе» в 5 раз. Если же мы на вал с малым колесом насадим еще одно такое же большое и сцепим его с еще одним таким же маленьким, то получится уже «выигрыш» в 25 раз. Для редуктора с тремя такими передачами он будет равен 125, с пятью – 3125, а с семью передачами составит 390 625; наконец, взяв всего 12 передач, получим астрономическое число 1 220 703 125!
Найдя этот закон, Архимед открыл, на что способна механика, и счел не лишним продемонстрировать ее могущество окружающим.
Гидростатика
Хотя, как мы видим, Архимед ввел понятие центра тяжести и нашел закон рычага, в физику под именем закона Архимеда и архимедовой силы вошли понятия из его замечательного сочинения «О плавающих телах». Как и сочинение «О равновесии плоских фигур», это сочинение состоит из двух частей: вступительной, в которой даются основные положения, и основной, посвященной рассмотрению равновесия плавающего в жидкости параболоида вращения.
Замечательно, что роль аксиомы здесь берет на себя физическая модель «идеальной жидкости». «Предположим, – пишет Архимед, – что жидкость имеет такую природу, что из ее частиц, расположенных на одинаковом уровне и прилежащих друг к другу, менее сдавленные выталкиваются более сдавленными и что каждая из частиц сдавливается жидкостью, находящейся над ней по отвесу, если только жидкость не заключена в каком-нибудь сосуде и не сдавливается чем-нибудь другим». Это единственное предположение, исходя из которого Архимед выводит все остальное.
Первым выводом является доказательство того, что «поверхность всякой жидкости, установившейся неподвижно, будет иметь форму шара, центр которого совпадает с центром Земли». Далее следуют теоремы: «Тела, равнотяжелые с жидкостью, будучи опущены в эту жидкость, погружаются так, что никакая их часть не выступает над поверхностью жидкости и не будут двигаться вниз», «Тело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, погружается настолько, чтобы объем жидкости, соответствующий погружений части тела, имел вес, равный весу всего тела», Тела, более легкие, чем жидкость, опущенные в эту жидкость насильственно, будут выталкиваться вверх силой, равной тому весу, на который жидкость, имеющая равный объем с телом, будет тяжелее этого тела», «Тела, более тяжелые, чем жидкость, опущенные в жидкость, будут погружаться, пока не дойдут до самого низа, и в жидкости станут легче на величину а жидкости в объеме, равном объему погруженного тела».
Трудно представить себе более ясные и четкие формулировки поведения в воде плавающих тел. Но возникает вопрос: правомочно ли было выводить их из принятого вначале положения о свойствах жидкости. Как можно доказать его правильность?
И тут мы впервые в истории физики встречаемся со своеобразием ее аксиом.
Архимед предлагает нам мысленно представить себе вещество, состоящее из абсолютно скользких атомов, способных передавать давление во все стороны и подвергающихся давлению со стороны таких же атомов, находящихся сверху. Потом он математически исследует это вещество. Оказывается, что поверхность такого вещества в свободном состоянии есть сфера с центром в центре земного шара. Но так как это общеизвестный факт (форма поверхности Мирового океана), то отсюда можно сделать обратный вывод: поскольку поверхность океана – сфера, то жидкость имеет именно такое строение, какое постулировано Архимедом. Можно также не сомневаться в том, что выведенные математические законы гидростатики Архимед проверял на опыте.
Таким образом, сочинение «О плавающих телах» – первая попытка экспериментально проверить фундаментальное предположение о строении вещества путем создания его модели. В этом сочинении Архимед не только подтвердил атомистические идеи Демокрита, но и доказал ряд важных положений о физических свойствах атомов жидкости.
Архимед вывел законы гидростатики для идеальной жидкости, описав ее свойства. Свойства реальной жидкости немного отличаются от свойств архимедовой идеальной жидкости. Эти отличия в некоторых случаях играют заметную роль. Так, вопреки законам Архимеда смазанная жиром иголка может держаться на поверхности налитой в сосуд воды. Но нельзя упрекнуть ученого в неверности его законов. Эти законы справедливы постольку, поскольку жидкость приближается к идеальной модели. Для описания свойств реальной жидкости надо внести соответствующие поправки в модель. Но это не опровергает справедливость выкладок Архимеда.
Определение удельного веса
Римский архитектор Витрувий, сообщая о поразивших его открытиях разных ученых, приводит следующую историю: «Что касается Архимеда, то изо всех его многочисленных и разнообразных открытий то открытие, о котором я расскажу, представляется мне сделанным с безграничным остроумием.
Во время своего царствования в Сиракузах Гиерон после благополучного окончания всех своих мероприятий дал обет пожертвовать в какой-то храм золотую корону бессмертным богам. Он условился с мастером о большой цене за работу и дал ему нужное по весу количество золота. В назначенный день мастер принес свою работу царю, который нашел ее отлично исполненной; после взвешивания корона оказалась соответствующей выданному весу золота.
После этого был сделан донос, что из короны была взята часть золота и вместо него примешано такое же количество серебра. Гиерон разгневался на то, что его провели, и, не находя способа уличить это воровство, попросил Архимеда хорошенько подумать об этом. Тот, погруженный в думы по этому вопросу, как-то случайно пришел в баню и там, опустившись в ванну, заметил, что из нее вытекает такое количество воды, каков объем его тела, погруженного в ванну. Выяснив себе ценность этого факта, он, не долго думая, выскочил с радостью из ванны, пошел домой голым и громким голосом сообщал всем, что он нашел то, что искал. Он бежал и кричал одно и то же по-гречески: «Эврика, эврика! (Нашел, нашел!)».
Затем, исходя из своего открытия, он, говорят, сделал два слитка, каждый такого же веса, какого была корона, один из золота, другой из серебра. Сделав это, он наполнил сосуд до самых краев и опустил в него серебряный слиток, и... соответственное ему количество воды вытекло. Вынув слиток, он долил в сосуд такое же количество воды.., отмеряя вливаемую воду секстарием (0,547л), чтобы, как прежде, сосуд был наполнен водой до самых краев. Так он нашел, какой вес серебра соответствует какому определенному объему воды.
Произведя такое исследование, он таким же образом опустил золотой слиток... и, добавив той же меркой вылившееся количество воды, нашел на основании меньшего количества секстантов воды (секстант – римская мера веса, равная 0,534 Н), насколько меньший объем занимает слиток».
Потом тем же методом был определен объем короны. Она вытеснила воды больше, чем золотой слиток, и кража была доказана.
Часто этот, рассказ связывают с открытием закона Архимеда, хотя он касается способа определения объема тел неправильной формы.
Возможно, что в этом рассказе Витрувия ванна, забытая одежда и возглас «Эврика!» являются вымыслом, но нас интересуют научные факты. Во-первых, бросается в глаза, что согласно описанию Витрувия Архимед сделал больше того, что требовалось. Чтобы обнаружить примесь, достаточно было сравнить объем короны с объемом равного ей веса золота. По-видимому, Витрувий не вполне разобрался в какой-то другой принадлежавшей Архимеду задаче об определении удельного веса тел. Об этом свидетельствует и фраза: «Отсюда он нашел, какой вес серебра соответствует какому объему воды». В ней, собственно, и содержится определение удельного веса – отношение веса к объему или к весу вытесненной воды (при измерении объема золотого слитка говорится о весе воды).
Таким образом, Архимед является автором методики определения удельного веса тел путем измерения их объема погружением в жидкость.
Оптика
В своем стремлении математически описать явления природы Архимед выделял задачи, наиболее поддающиеся геометрическому анализу. Поэтому занятия Архимеда в области геометрической оптики – «катоптрике», как ее называли прежде, можно считать закономерными.
Очень немного можно сказать о «катоптрике» Архимеда. От нее в позднем пересказе уцелела единственная теорема, в которой доказывается, что при отражении света от зеркала угол падения луча равен углу отражения. Свои оптические теории (как и механические) Архимед строил на основе аксиом. Одной из таких аксиом являлась обратимость хода луча – глаз и объект наблюдения можно поменять местами. Весь же круг вопросов «катоптрики» был очень широк. Перечисление проблем, которых касался Архимед в этой книге, мы находим у других авторов античного периода. Вот как об этих работах говорил Апулей: «Почему в плоских зеркалах предметы сохраняют свою натуральную величину, в выпуклых – уменьшаются, а в вогнутых – увеличиваются; почему левые части предметов видны справа и наоборот; когда изображение в зеркале исчезает и когда появляется; почему вогнутые зеркала, будучи поставлены против Солнца, зажигают поднесенный к ним трут; почему в небе видна радуга; почему иногда кажется, что на небе два одинаковых Солнца, и много другого подобного же рода, о чем рассказывается в объемистом томе Архимеда». Из других свидетельств следует, что Архимед изучал также и явление преломления лучей в воде.
С «катоптрикой» связана легенда о поджоге Архимедом римских кораблей во время осады Сиракуз. Что в ней вымысел и что, быть может, является отражением действительных событий, мы рассмотрим в отдельной главе.
Можно не сомневаться в том, что «катоптрика» Архимеда оказала большое влияние на последующее развитие оптики.
Влияние работ Архимеда на развитие физики
Если говорить об ученых, опередивших свое время, то Архимед, вероятно, может считаться своеобразным рекордсменом. Его идеи нашли продолжателей лишь через 1800 лет.
Предложенное Архимедом направление в науке – математическая физика, которую он провозгласил и в которой так много сделал, не была воспринята ни его ближайшими потомками, ни учеными средневековья.
Архимеда знали как гениального математика, им восхищались, его изучали и комментировали, но его физические работы долгое время не получали развития.
В какой-то мере в средние века на сочинениях Архимеда базировались работы ряда ученых Востока о взвешивании и определении удельного веса веществ. Математик и астроном IX в. Сабит ибн-Корра перевел на арабский язык и прокомментировал многие сочинения Архимеда и составил трактат о рычажных весах. На основе сочинения Архимеда «О плавающих телах» крупнейшие ученые того же времени ал-Бируни и Омар Хайям провели определения удельных весов большого количества металлов и драгоценных камней. При этом ал-Бируни пользовался методом сравнения значений веса равных объемов различных минералов, а Омар Хайям – методом взвешивания образцов на воздухе и в воде.
В эпоху Возрождения, когда центр научной мысли вновь переместился в Европу, европейская наука училась у арабской. Некоторые труды Архимеда дошли до нас только в арабских переводах. Одним из первых продолжателей механики Архимеда был итальянский ученый и инженер Гвидо Убальди дель Монте (1545...1607), исследовавший вопросы равновесия и решивший задачу о грузе на наклонной плоскости. Многое сделал для развития статики Архимеда другой итальянский ученый – Джовани Баттиста Бенедетти (1530...1590). Крупнейшим механиком «школы Архимеда» был фламандский ученый Симон Стевин (1548...1620). В своем классическом труде «Начала статики» он не только исходит из ряда аксиом Архимеда, но и развивает его работы, анализируя целый ряд механизмов. В число постулатов Стевин вводит принцип невозможности вечного двигателя; ему принадлежит также введение обозначений сил в виде стрелок. Много Стевин сделал и в области гидростатики, развив положения Архимеда, данные им в «Плавающих телах». Интерес Стевина к этим проблемам был далеко не абстрактным, так как он занимал должность инспектора плотин и консультанта голландского адмиралтейства.
Главным достижением классической механики была математическая разработка законов динамики Галилеем и Ньютоном. И хотя здесь достижения Архимеда непосредственно не использовались, его математический подход к проблемам торжествовал. Знаменательно, что Галилей хорошо знал труды Архимеда и часто к ним обращался. Например, при рассмотрении |равноускоренного движения он писал: «Я не предполагаю ничего иного, кроме определения движения; я хочу трактовать и рассматривать это явление в подражание Архимеду, который, заявив в «Спиральных линиях», что под движением по спирали он понимает движение, слагающееся из двух равномерных (одного – прямолинейного, а другого – кругового), непосредственно переходит к демонстрации выводов. Я заявляю о намерении исследовать признаки, присущие движению тела, начинающемуся с состоянии покоя и продолжающемуся с равномерно возрастающей скоростью, а именно так, что приращения этой скорости возрастают не скачками, а плавно, пропорционально времени».
Архимед-инженер
Глава 3
Слава Архимеда-инженера была внезапной и ошеломляющей, оставившей след в сознании всего эллинистического мира, перешагнувшей границы стран и столетий. Инженерный гений Архимеда проявился при драматических обстоятельствах осады Сиракуз весной 214 г. до н.э., когда Архимеду было уже за семьдесят. Эта победа над римлянами стала величайшим триумфом, который когда-либо выпадал на долю ученых.
Осада
«Римляне, взявшие Леонтины с первого же натиска, под действием только ужаса, – пишет Тит Ливий, – были вполне уверены, что в каком-нибудь месте они прорвутся в обширный, разбросанный по большому пространству город, и придвинули к стенам всю наличность осадных машин. И начатое с такой силой предприятие увенчалось бы успехом, если бы в то время не было одного человека. Этим человеком был Архимед».
Тита Ливия отделяют от эпохи Архимеда полтора столетия. Сохранилось описание осады, более близкое по времени. Его дал в своей «Всеобщей истории» греческий историк Полибий (201...120 г. до н.э.). К сожалению, «История» Полибия дошла до нас в отрывках, включенных в византийскую историческую хрестоматию XII в., содержащую подобранные по темам цитаты из сочинений разных историков. В хрестоматии есть и раздел «об осадах», в котором уцелел рассказ о штурме Сиракуз.
В своей «Всемирной истории», написанной примерно через пятьдесят лет после осады Сиракуз, Полибий рассказывает: «Начальники расположились станом невдалеке от города и решили, что сухопутное войско пойдет на приступ со стороны Гексапил(шестивратная башня в северной стене Сиракуз, куда входила леонтинская дорога), а флот – против Ахрадины(приморский район Сиракуз) у портика, именуемого Скитским, где стена тянется вдоль моря. Приготовив плетенки (переносные укрытия), метательные орудия и все прочее, нужное для осады, римляне надеялись благодаря многочисленности рабочих рук покончить с приготовлениями в течение пяти дней и не дать неприятелю подготовиться. Но при этом они не приняли в расчет искусство Архимеда, не учли, что иногда один даровитый человек способен сделать больше, чем множество рук...
Архимед заготовил внутри города... такие средства обороны, что защитникам не было необходимости утруждать себя непредусмотренными работами на случай неожиданных способов нападения; у них заранее было все готово к отражению врага...
Итак, Аппий сделал попытку приблизиться к той части стены, которая с востока упирается в Гексапилы, а Марцелл с шестьюдесятью пятипалубными судами направился против Ахрадины. Находившиеся на каждом судне люди были вооружены луками, пращами и легкими дротиками, чтобы прогонять врага с зубцов стен. Вместе с тем римляне сняли у восьми пятипалубных судов весла – у одних с правой стороны, у других с левой, – связали суда попарно бортами, лишенными весел, и, действуя веслами только с наружных сторон, стали подводить к городской стене так называемые самбуки (штурмовые трапы, укрепленные на кораблях)....
Однако Архимед соорудил машины, которые могли выбрасывать снаряды на любое желаемое расстояние, Враги были еще далеко от города, когда Архимед из своих больших дальнобойных метательных машин стал поражать их корабли таким множеством тяжелых снарядов и стрел, что они никак не могли уберечься от них и оказались беспомощными и бездеятельными. Когда Архимед замечал, что снаряды попадают слишком далеко... он пускал в ход меньшие машины, соответственно нужному ему расстоянию...
Лишь только римляне начинали выставлять против города самбуки, осажденные тотчас же пускали в ход свои машины, находившиеся внутри городских стен и остававшиеся до этих пор незаметными для врага. Когда надо было пустить их в дело, они поднимались над бастионами и высовывали свои клювы далеко вперед от укреплений города. Одни несли на себе камни, весившие не менее десяти талантов (четверти тонны), другие – груды свинца. Как только самбуки приближались к стенам, осажденные, ослабляя при помощи канатов блоки, к которым «клювы» этих машин были подвешены, поворачивали их вправо или влево – туда, где это было нужно; затем открывались задвижки и из клюва падал на самбуки камень, который разбивал не только машину, но и корабль, на котором она стояла, подвергая находившихся на ней воинов величайшей опасности.
В распоряжении сиракузян были и другие машины; когда приближались вражеские корабли, покрытые специальными плетенками для защиты от стрел, бросаемых через отверстия в стенах, эти машины бросали камни такой величины, что находившиеся на носах кораблей принуждены были спасаться бегством. Кроме того, по приказу Архимеда опускалась железная лапа, привязанная к цепи. Этой лапой машинист, управлявший клювом машины, точно рулем корабля, захватывал нос корабля и затем опускал вниз другой конец машины, находившейся внутри городских стен. Он поднимал таким образом в воздух нос корабля и ставил корабль отвесно на корму, а затем закреплял неподвижно основание, а лапа и цепь отделялись при помощи каната. Непосредственным результатом этого было то, что корабли либо падали на бок, либо совершенно опрокидывались; еще чаще (так как носы падали с большой высоты в море) корабли совершенно наполнялись водой и погружались к ужасу тех, которые на них находились.
Марцелл оказался в очень тяжелом положении. Все его планы терпели крушение. Потери римлян были огромны, а осажденные глумились над всеми их усилиями...
Аппий с войском очутился в столь же трудном положении и потому совсем отказался от приступа. И действительно, находясь еще далеко от города, римляне сильно терпели от метательных машин Архимеда, ибо сиракузяне имели наготове множество превосходных и метких метательных орудий. Оно и понятно, так как Гиерон дал на них деньги, а Архимед изобрел и мастерски исполнил. Итак, когда римляне приближались к городу, одни из них были, как я говорил уже выше, непрерывно обстреливаемы через отверстия в стене, терпели урон и не могли продолжать наступление, другие, надеявшиеся пробиться вперед под защитой плетенок, гибли под ударами камней и бревен, падавших сверху.
Много бед причинили сиракузяне римлянам и теми машинами с железными лапами... Лапы эти поднимали воинов в полном вооружении и кидали их вниз... Аппий с товарищами возвратился на стоянку и устроил совещание с трибунами, на котором единогласно решили испытать все мыслимые средства, но отказаться от надежды взять Сиракузы приступом...
Марцелл, раздосадованный неудачами, вынужден был сделать попытку тайком, ночью подойти к городу на кораблях. Когда римляне подошли к берегу на расстояние выстрела, Архимед употребил другое средство против воинов, сражавшихся с судов. Он велел сделать в стене приблизительно на высоте человеческого роста отверстия, с наружной стороны имевшие ширину пальца в четыре; у отверстий изнутри стены он поставил стрелков с легкими скорпионами (самострелами), через отверстия обстреливал корабельных воинов и тем отнимал у них возможность что-нибудь сделать...
Римляне оставались под стенами города в течение восьми месяцев, и не было такой уловки или отважного дела, перед которым они остановились бы, но на приступ идти они уже ни разу не осмелились. Такова чудесная сила одного человека, одного дарования, умело приспособленного к какому-либо специальному делу. Вот и теперь, располагая столь значительными силами сухопутными и морскими, римляне надеялись с первого же приступа взять город и сделали бы это, если бы кто-нибудь изъял из среды сиракузян одного этого старичка. Но он был, и римляне не решались даже идти на приступ».
Текст Полибия интересен во многих отношениях, тем более что его близость по времени к описанным событиям и авторитет Полибия как объективного историка позволяют считать описанные факты достоверными.
Во-первых, ясно, что Архимед являлся одним из непосредственных руководителей обороны. Власть в Сиракузах в это время принадлежала офицерам Ганнибала (Гиппократу и Эпикиду), но о них Полибий здесь и не упоминает. Двум римским полководцам – Марцеллу и Аппию противопоставлен Архимед, причем Архимед показан не только создателем системы обороны, но и ее организатором. Полибий это специально подчеркивает, употребляя выражение «по приказу Архимеда» или рассуждая о том, что римляне взяли бы город, если бы кто-нибудь изъял ученого из среды сиракузян.
Из рассказа Полибия явствует, что машинами для обороны города Архимед занимался задолго до того, как они пригодились. Эти машины поразили воображение современников. И не только машины. Полибия явно восхищает и удивляет глубокая, мы бы сказали, математическая продуманность обороны. Видимо, Архимед умел рассчитывать не только геометрические соотношения. Но сейчас основной интерес в тексте Полибия для нас представляет описание архимедовых машин.
Как уже говорилось, Диодор Сицилийский упоминал о «многих замечательных изобретениях» Архимеда, «известных всему миру». Но «список Диодора» не Л сохранился. В рассказе же Полибия этот перечень выглядит так:
метательные машины,
машины для сбрасывания камней и «груд свинца» на корабли,
машины с «железными лапами», опрокидывавшие корабли и хватавшие воинов,
применение бойниц, устроенных в теле крепостных стен.
Разберем по порядку эти названные Полибием архимедовы новшества.
Метательные машины
Об античных метательных машинах известно довольно много. Но сказать, какие усовершенствования в них внес Архимед, не представляется возможным (текст Полибия не содержит об этом конкретных указаний). Вероятно, по дальнобойности и весу бросаемых «снарядов» они намного превосходили подобные же машины того времени. Так, во всяком случае, можно понять следующие слова Полибия: «Враги были еще далеко от города, когда Архимед из своих больших дальнобойных машин стал поражать их корабли... множеством тяжелых снарядов и стрел». Но пожалуй, еще больше, чем качеством архимедовой артиллерии, Полибий восхищается «системой стрельбы», совместными действиями метательных машин различной дальнобойности, которые, очевидно, не могли быть достигнуты без соответствующих расчетов и предварительной пристрелки местности. Полибий так увлекается разъяснением действия артиллерии Архимеда, что явно переоценивает эффект стрельбы. Сначала он пишет, что из-за нее римляне не могли подойти к стенам, но потом оказывается, что сиракузянам пришлось сражаться с врагом непосредственно у стен. По-видимому, для военной тактики того времени, концентрированное применение метательных машин и планирование стрельбы было важным новшеством, выведенным Архимедом.
Оборонительные машины ближнего действия
«Железные лапы» или «сбрасыватели камней», судя по описанию Полибия, были схожи. Еще вероятнее, что это была одна и та же конструкция, которая могла оснащаться захватывающей «лапой» или сбрасываемым каменным снарядом.
Во всем ли можно верить Полибию? С.Я. Лурье в своей книге «Архимед» высказывает к нему определенное недоверие именно в этом вопросе: «Рассказу о судах, вытянутых из воды железными лапами и поставленных вертикально на корму, верить нельзя: такого результата без помощи механического двигателя достигнуть невозможно», – пишет он.
И.Н. Веселовский, напротив, доверяет Полибию и отмечает, что создание машин для опрокидывания кораблей могло служить для Архимеда толчком к изучению устойчивости плавающих тел и разработке основ гидростатики.
Идея применения «подъемных кранов» для целей обороны не принадлежит Архимеду. Витрувий приводит, например, следующую историю, произошедшую почти за сто лет до знаменитой осады Сиракуз: «Был в Родосе такой архитектор Диогнет. Ему из казны ежегодно выплачивалось определенное содержание... В ту пору прибыл в Родос еще один архитектор Каллий из Арада, выступил с докладом и представил макет стены: на верху ее установил на вращающейся площадке механизм, при помощи которого он подхватывал «гелеполу» (осадную башню) в момент подхода ее к городским стенам и переправлял ее внутрь города через стену. Когда родосцы увидели этот макет, то пришли в восхищение, отняли у Диогнета установленное ежегодное содержание и эту честь перенесли на Каллия».
Дальше события развивались следующим образом. В 304 г. до н.э. в ходе войн между преемниками Александра Македонского Деметрий Полиоркет осадил Родос. Бывший в его войске афинский архитектор Епимах соорудил осадную машину, «стоившую чудовищных средств, с затратой напряженнейшей изобретательской энергии и труда». Машина имела высоту порядка 40 м, ширину 20 м и весила около 100 т. Когда родосцы попросили Каллия осуществить свой проект и спасти их от врага, перетащив эту машину в город, он честно ответил, что сделать этого не может. Родос спас опальный архитектор Диогнет, к которому горожане явились на поклон. В ночь перед штурмом он велел незаметно вылить перед стеной огромное количество воды и грязи, и утром машина врага намертво завязла в грязи, так и не дойдя до укреплений.
Этот пример наглядно показывает дистанцию от идеи до возможности ее реального воплощения. Заслуга Архимеда как конструктора состоит в том, что он не довольствовался макетами, а доводил свои грандиозные замыслы до полного завершения.
В отрывках сочинения Полибия мы находим следующие характеристики машин Архимеда.
Машины были передвижными. Полибий пишет, что они скрывались за стенами и, только когда было нужно, выдвигались за пределы укреплений. Кроме того, их, вероятно, надо было передвигать вдоль стены к тому месту, где в этот момент совершалось нападение.
Машина имела стрелу, поворачивавшуюся вокруг вертикальной оси: «Осажденные... поворачивали их вправо или влево... Машинист управлял машиной, словно рулем корабля...»
Стрела поворачивалась также вокруг горизонтальной оси: «Этой лапой машинист... захватывал нос корабля и затем опускал вниз другой конец машины, находившейся внутри городских стен».
Очень вероятно, что на конце главной стрелы помещалась вспомогательная, как у современных портовых кранов (на это указывает термин «клюв», примененный к описанию конца машины).
Описание машин Архимеда, данное Титом Ливием, в целом совпадает с описанием Полибия: «На те же корабли, которые подходили ближе... Архимед при помощи выступающего за стену рычага набрасывал железную лапу; когда она захватывала нос корабля, то при помощи опускающегося до земли тяжелого противовеса нос корабля поднимался...»
Плутарх в своем описании осады больше стремился к эффектности, чем к точности, но нарисованный им внешний облик машин тоже соответствует их описанию в книге Полибия, хотя слово «клюв» он понял буквально: «Другие (машины) железными лапами или клювами наподобие журавлиных схватывали корабли за носы, поднимали их в воздух, ставили корабль на корму и затем топили. Часто корабль поднимало высоко над поверхностью моря, и, вися в воздухе, он, к ужасу окружающих, качался в разные стороны...»
На рис. 2 показаны возможные схемы машины: 1 – машина с одним рычагом; 2 – машина с дополнительным рычагом (клювом»). В варианте 3 предусмотрен противовес, который можно перемещать по балке, чтобы уравновесить меняющуюся нагрузку. В схеме по варианту 4 задний конец стрелы притягивается к заделанному в землю анкеру. В этом случае основание машины не испытывает опрокидывающих нагрузок, и такое решение представляется наиболее вероятным.
Рис. 2. Возможные схемы оборонительной машины Архимеда
Во всех вариантах «лапа» прикреплена на короткой цепи к концу стрелы. Может показаться, что слова Полибия: «...опускалась железная лапа, привязанная цепью» – нужно понимать в том смысле, что с неподвижной машины висящая на цепи «лапа» опускалась при «стравливании» цепи. Однако вероятность такого решения мала. Чтобы захватить нос корабля, стреле нужно подвести «лапу» точно к нужному месту. Сделать это при большой длине цепи намного труднее, чем при малой. Кроме того, механизмы вытягивания цепи сложны и их применение без крайней необходимости сомнительно. Зато построить механизм сбрасывания «лапы» с использованием цепи очень просто: последнее звено цепи должно висеть на стержне, который можно из-под него выдернуть.
Зная о свойствах центра тяжести, Архимед мог совместить оси поворота «клюва» с его центром тяжести и то же самое сделать с главной стрелой, уравновесив ее с «клювом». В таком случае механизм будет находиться в состоянии безразличного равновесия, какие бы положения ни занимала стрела. Это свойство очень важно для легкости управления машиной. Без такого уравновешивания управление стрелой, вес которой должен был составлять несколько тонн, оказалось бы невозможным. А ведь Полибий пишет, что машиной управлял один машинист! Так что в этой машине должны были найти применение теория центра тяжести и глубокое знание законов рычага.
Если «камнесбрасыватель» и «железная лапа» были одной машиной, но с разным сменным «вооружением», вес каменного снаряда и вес «лапы» должны были быть близкими (чтобы машина в момент наведения оставалась уравновешенной). По-видимому, такое требование выполнить нетрудно.
Попытаемся теперь представить себе технические характеристики машины. Они, конечно, во многом должны зависеть от размеров и веса кораблей, с которыми велась борьба.
Основными типами античных судов были галеры (беспалубные суда с одним ярусом весел), триремы (суда, имевшие три ряда весел) и пентеры (с пятью ярусами весел). Галеры несли команду около 80 человек и имели водоизмещение до 100 т. Команда трирем состояла примерно из 200 человек, а их водоизмещение превышало 200 т; это был наиболее распространенный тип военного корабля той эпохи. Наконец, пентеры весили больше 500 т и имели экипаж из 350...400 человек.
Как мы видим, суда уже в ту эпоху обладали внушительным весом. Поэтому правдивость приведенного Полибием описания действия «железных лап» действительно может вызвать сомнения. Чтобы поднимать корабли на воздух, эта машина должна была обладать грузоподъемностью в сотни тонн. Однако в действительности Полибий не пишет, что корабли вытягивались из воды (кстати, для целей обороны это и не нужно). Согласно описанию Полибия машины Архимеда лишь переворачивали корабли. А для этого требуется сила, гораздо меньшая веса корабля. Достаточно было приподнять нос корабля настолько, чтобы погрузить в воду корму или часть весельных люков. (Нижние весла у многоярусных судов располагались так низко, что во время волнения их люки приходилось задраивать кожаными щитами.) Вода хлынет внутрь, корабль начнет погружаться и переворачиваться сам. Проделанные расчеты показывают, что для этого достаточна сила, составляющая приблизительно 10% веса корабля. Грузоподъемность архимедовых машин могла составлять 10...15 т, и создание таких машин – задача, вполне разрешимая для античной техники. Такую силу вполне могут создать объединенные действия нескольких сотен человек. Известный норвежский путешественник Тур Хейердал для разгадки методов транспортировки гигантских статуй на острове Пасхи, провел следующий опыт. Лежащую на земле статую весом 12 т обмотали канатом, и 180 человек, взявшихся за канат, сравнительно легко протащили ее по земле.
Если коэффициент трения камня по земле принять равным даже 0,5, то каждый из участников этого эксперимента тянул с силой 30 кг.
Машины, с помощью которых грузы поднимались за счет силы людей, тянущих канаты, в античную эпоху применялись. Витрувий описал подъёмный кран: «Груз крепится к параллельным трехкратным или пятикратным полиспастам, от которых три каната спускаются к особому блоку, который привязывается к основанию машины и содержит три ролика, через которые канаты, будучи продеты, передаются в руки людей для тяги. Таким образом, три ряда людей тянут без помощи ворота и быстро поднимают тяжесть на надлежащую высоту».
Предполагаемое действие машины Архимеда было следующим. При приближении вражеского корабля машину подтаскивали (скорее всего, на полозьях) к опасному месту и машинисты, манипулируя стрелами, пытались захватить вражеский корабль. В это время канаты полиспастов были распущены и не мешали движению машины. Но как только корабль оказывался «зачаленным», нижние блоки полиспастов зацеплялись за один из анкеров, заранее заделанных в грунт вдоль стены, и сотни людей, впрягшись в канаты, бежали, притягивая внутренний конец стрелы к земле. При этом машина поднимала «клюв» и опрокидывала судно.
У Полибия сказано, что лапы «поднимали воинов в полном вооружении и швыряли вниз». Если корабль еще можно подцепить крюком, то применение такого же приема против воина сомнительно. Кроме того, в этом случае «лапа», судя по тексту, не сбрасывалась, а расстегивалась.
Что касается самой «железной лапы» – устройства для захвата судов, то это мог быть механический захват типа клещей или крюк. Сообщение Полибия о том, что «лапа и цепь отделялись при помощи каната», т.е. тонули вместе с кораблем, естественное в случае применения крюка, не находится также в противоречии с возможностью использования самозатягивающихся клещей: открыть такие клещи под нагрузкой практически невозможно. В пользу клещей свидетельствует применение «железных лап» против пехоты.
Принцип этого несложного устройства описан в «Пиротехнике»итальянского инженера Вануччо Берингуччо, изданной в 1540 г. Клещи, сжимавшиеся надетым на их изогнутые ручки кольцом, применялись для захвата проволоки при волочении. Видимо, конструкция эта очень старая. Во всяком случае несомненно, что создание подобного захватного устройства не представляло для Архимеда неразрешимой проблемы. «Железные лапы» Архимеда были уникальными машинами – предками современных манипуляторов и подъемных кранов. Ни до, ни после Архимеда никто таких военных машин не использовал. Психологический эффект их применения на нападавших был огромен. Плутарх пишет: «Наконец, римляне стали так трусливы, что если замечали, что над стеной движется кусок каната или бревно, то кричали: «Вот, вот оно!» – и, думая, что Архимед хочет направить на них какую-нибудь машину, ударялись в бегство».
Бойницы в стенах
Античная фортификация знала только сплошные стены. Амбразуры в теле крепостных укреплений (так называемый «нижний и средний бой») появились в средние века с распространением огнестрельного оружия. Недаром Полибий описывает бойницы сиракузских стен как некую хитрость, придуманную Архимедом.
Из этого следует, что Архимед был не только механиком, но и строителем, причем строителем незаурядным.
Бойницы сильно усложняют конструкцию стены, ведь в ее толще требуется поместить ниши для стрелков, оснастить ее соответствующими помостами и лестницами.
О том, что Архимед занимался строительным делом, свидетельствует и его не дошедшее до нас сочинение «Книга опор». Отрывки из нее сохранились в «Механике» Герона, которая дошла до нас в переводе арабского ученого IX в. н.э. Косты ал-Балбаки.
Изложение содержания «Книги опор» Герои открывает знаменательной фразой: «Нам совершенно необходимо разъяснить кое-что о давлении, его передаче и переносе с количественной стороны».
Надо сказать, что «Книга опор», по-видимому, является единственной в античной технике работой, посвященной строительным расчетам. Дошедшие до нас тексты этого рода относятся либо к определению пропорций между частями сооружений, либо к вычислению объемов и стоимости нужных материалов. Но расчетов на прочность не только в эпоху Архимеда, но и гораздо позже архитекторы не вели. Это приводило иногда к огромным запасам прочности, невероятно удорожавшим сооружения, а иногда к крупным авариям. Так, в 27 г. н.э. в городе Фиденах под Римом рухнул во время гладиаторского боя амфитеатр, полный публики. В результате этой грандиозной катастрофы погибло несколько тысяч человек.
Задачи, рассматриваемые в «Книге опор», состоят в определении давлений на колонны, подпирающие длинную балку или стену. Архимед решает задачу следующим образом: он мысленно рассекает балку в местах, где ее подпирают средние колонны, и таким образом получает вместо одной «многоопорной» балки ряд «двухопорных»; в этом случае определение нагрузки не составляет труда (достаточно поделить вес нужного отрезка балки пополам). С точки зрения современной науки такое решение задачи не совсем правильно: не учтена несущая способность самой балки.
Все же решение Архимеда в ряде случаев (когда «балка» не обладает значительной жесткостью) приводит к правильным результатам (например, при расчете подпорок перекрытия с земляным потолком, опор под сложенной из камней стеной или столбов, держащих желоб, в котором главной нагрузкой является вода).
В «Книге опор» рассматривалось также давление двухопорной балки на колонны в случае действия на нее сосредоточенных нагрузок (подвешивание груза); эта задача решалась правильно.
Особый интерес представляет задача о балке, имеющей выступающие концы. В этом случае Архимед рассматривал балку как рычаг и решение было неверно. Причиной этого было отсутствие представления о центре тяжести, что заставляет считать «Книгу опор» ранним произведением Архимеда, написанным до введения им этого понятия.
Водоподъемный винт
Историк Диодор в одном из своих сочинений пишет: «Нил после разливов наносит на поля новые количества ила, и обитатели легко могут орошать все поле с помощью изобретенной Архимедом Сиракузским машины, которая по причине своей формы носит название улитки (кохлеи)». Речь идет о винте Архимеда.
В сочинении писателя II в. н.э. Атенея об удалении воды из трюма корабля сказано: «Ее отсасывал один человек при помощи изобретенного Архимедом бесконечного винта».
«Улитка» устроена просто, и изготовление ее по силам любому плотнику. Вот как говорит об этом Витрувий:
«Берут балку... и придают ей форму вала, обтесав по циркулю. На круглую поверхность наносят продольные и поперечные (охватывающие) линии. Потом берут гибкую просмоленную рейку и прибивают ее к бревну так, чтобы она проходила наискось через точки пересечения разметочных штрихов, т.е. шла по винтовой линии. Сверху на эту рейку набивают такую же, потом еще и еще, пока виток не станет достаточно высоким. Таким образом, рейки образуют собой винтообразные канальцы,...т.е. настоящую натуральную имитацию улитки. К этим спиралям прибивают обшивку из досок, чтобы закрыть спиральные ходы, затем пропитывают ее смолой и обвивают железными обручами для того, чтобы она не могла лопнуть под влиянием воды. Выступающие концы бревна кладут на опоры так, чтобы один конец обшивки был в воде, а другой поднимался над тем местом, куда надо подавать воду. В установленном наклонно винте между витками и обшивкой образуются карманы, которые заполняются водой. Поскольку эти карманы при вращении «улитки» как бы бегут вверх, то и захваченная ими вода поднимается, пока не выплеснется.
Сохранилась помпейская фреска, на которой изображена эта машина. Вращает ее человек, переступающий ногами по самой обшивке винта.
На изготовление «улитки» уходит меньше дерева, чем на изготовление водоподъемного колеса, что важно для южных стран, где дерево – дефицитный материал.
В Египте архимедову «улитку» можно найти и сейчас.
Очень удобным оказался водоподъемный винт для откачки воды из шахт. Винты не занимали много места и хорошо вписывались в наклонные выработки.
Историк Диодор, описывая испанские рудники, сообщает: «Горнорабочие встречаются иногда с подземными реками, быстрое течение которых они уменьшают, отводя их в наклонные рвы, и неутомимая жажда золота заставляет их доводить до конца свои предприятия. Самое удивительное заключается в том, что они могут целиком вывести всю воду на поверхность при помощи египетских винтов, которые изобрел Архимед Сиракузский... Они, таким образом, постепенно подымают воду вплоть до отверстия рудника и после осушения подземных галерей спокойно в них работают. Эта машина так искусно устроена, что с ее помощью можно поднять громадные массы воды и даже легко вывести целую реку из земных глубин на поверхность».
Преимущества водоподъемного винта обеспечили ему широкое применение в течение многих столетий. Наброски архимедовых винтов имеются среди технических рисунков Леонардо да Винчи. Но по конструкции они отличаются от античных. Винт образуется спиральной трубой, надетой на стержень. «Это изобретение», – писал Галилей об архимедовом винте, – не только великолепно, но просто чудесно, поскольку мы видим, что вода подымается в винте, беспрерывно опускаясь».
Другие механизмы Архимеда
Среди средств практической механики, которые, по выражению Диодора, «известны всему миру», устройства, принадлежащие Архимеду, следует искать в числе тех, которые не упомянуты в «Механических проблемах» и, следовательно, не были, по-видимому, известны ко времени Архимеда, но встречаются в сочинениях более поздних авторов – Витрувия, Герона и Паппа.
Прежде всего, как уже говорилось, речь может идти об изобретении Архимедом многоступенчатого редуктора и червячной передачи – механизмов, примененных Архимедом для перемещения корабля «силой одного человека». Плутарх назвал в качестве примененного Архимедом средства полиспаст. Но полиспаст упоминается в «Механических проблемах» и, следовательно, был изобретен до Архимеда. Это вовсе не означает, что Плутарх передал неверные сведения. Применение Архимедом полиспаста очень вероятно. Но простой расчет показывает, что для цели демонстрации Архимеда (перемещение судна одним человеком) одного лишь полиспаста для получения нужного выигрыша в силе недостаточно.
Действительно, триера весила около 200 т и, чтобы сдвинуть ее с места при благоприятных условиях, требовалась сила не меньше 20 т. Полиспаст мог применяться для того, чтобы увеличить число тянущих канатов и тем самым уменьшить их толщину. Но практически построить полиспаст с числом канатов, большим десяти, не удается (с увеличением количества блоков быстро растут потери на трение). Поэтому для получения усилия в 20 т к его канату требовалось приложить силу не меньше 2 т, и передвижение корабля «силами одного человека» с помощью только полиспаста исключено. Зато в многоступенчатом редукторе «выигрыш в силе» с увеличением числа ступеней растет в геометрической прогрессии, а потери – т в арифметической, и коэффициент полезного действия получается намного выше. Поэтому канат полиспаста, как это делается и сейчас, должен был наматываться на барабан лебедки с многоступенчатым редуктором.
Следует, однако, отметить, что практического применения зубчатые редукторы в античную эпоху не нашли. Редуктор нужен при использовании быстроходных двигателей, а древняя техника вынуждена была ограничиваться силой людей и животных, которые не развивают большой скорости. Поэтому античная механика обходилась блоком и воротом, а если груз был очень велик, в канаты впрягались десятки и сотни людей. Поэтому, видимо, восходящие к Архимеду конструкции лебедок, описанные Героном и Паппом, имели чисто теоретический или «демонстрационный» характер.
