Управление образования администрации Яковлевского района

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Кривцовская средняя общеобразовательная школа

Яковлевского района Белгородской области»

Формирование устойчивого интереса

к предметам математического цикла
путем использования инновационных технологий с целью повышения
качества знаний учащихся

Выполнила: Авдеева Галина

Александровна, учитель математики
МОУ «Кривцовская средняя

общеобразовательная школа»

с. Кривцово, 2009

Содержание

Информация об опыте 3

Технология опыта 5

Библиографический список 15

Приложение к опыту 16

Информация об опыте

Условия становления опыта

Как известно, значение учебного предмета в школьной программе
определяется ролью соответствующей науки в жизни современного общества, ее влиянием на темп развития научно-технического прогресса.

Поэтому своей целью на уроках и внеурочной деятельности я ставлю, прежде всего, развитие личности и интеллекта ученика в такой степени, чтобы он, будучи выпускником, был способен не только самостоятельно находить и усваивать готовую информацию, но и креативно мыслить.

Проработав в школе 22 года, я замечаю, что в последние годы снижается уровень интеллектуального развития, духовно-нравственной культуры подрастающего поколения. Считаю, что это следствие длительной недооценки важности комплексной научной проработки психолого-педагогических проблем обучения и воспитания. Поэтому в последние годы я обязательно провожу психологическое диагностирование в классах, где работаю. Результаты таковы: холериков – 28%, сангвиников – 51%, флегматиков – 12,5%, меланхоликов – 8,5%. Из них: левополушарных (принадлежащих к логическому типу мышления) – 51%, а правополушарных (обладающих способностями к образному мышлению) – 49%.

А так как традиционная система активизировала детей «левополушарных», то игнорирование «правополушарных» качеств связано с ростом бездуховности – дефицитом любви, уважения, понимания, добра, красоты. Акцент только на развитие интеллекта приводит к следующему: ум становится блестящим как алмаз, но при этом холодным, жестким и жестоким. Поэтому, чтобы избежать этих недостатков, я совершенствую учебно-познавательную мотивацию, стимулирую познавательную деятельность на уроках математики, что способствует глубокому усвоению знаний, умений и навыков, повышает уровень обученности школьников и по другим предметам, воспитывает нравственные качества личности. Об этом свидетельствуют психодиагностические исследования роста мотивации к изучению математики в школе.

Актуальность опыта

Считаю свой опыт актуальным, так как его содержание способствует повышению познавательного интереса учащихся, обладает достаточной степенью контролируемости, конкретностью определения результатов по каждой из ведущих тем: дает возможность установить степень достижения промежуточных и итоговых результатов и выявить способ прохождения программы в любой момент обучения; предполагаемые компоненты методики адекватны задачам профильного обучения.

Ведущей педагогической идеей опыта является то, что технология развивающего обучения позволяет формировать в комплексе все основные интеллектуальные умения: эвристические, логические и речевые, развивает качественные характеристики мышления – гибкость, глубину ума, критичность. Все это благотворно влияет на всю психическую деятельность человека.

Длительность работы над опытом.

Над темой опыта работаю в течение последних пяти лет.

Диапазон опыта

Общеизвестно, что отсутствие интереса к изучению того или иного предмета является одной из важнейших причин низких результатов обучения школьников. Зачастую для того, чтобы увлечь ребенка своим предметом, пробудить его интерес, учителю требуется немало сил, педагогической изобретательности. И, несмотря на то, что в результате поиска решения данной проблемы, появился целый ряд интересных, нетрадиционных, инновационных форм учебных занятий, все же жесткие рамки учебного времени, урока существенно ограничивают инициативу, как учителя, так и ученика. Поэтому, раздвигая временные рамки урока, стараюсь максимально использовать возможности внеклассной, внеурочной работы. Она стала средством повышения мотивации учения и развития мышления школьников, позволяет им со значительно меньшими нагрузками и в более короткий срок получить более высокий уровень усвоения информации.

Теоретическая база опыта

В своей практической деятельности на протяжении более 20 лет пользуюсь технологией обучения, включающей в себя четкую дозировку учебного времени, пошаговое его усвоение, поэтапный контроль и оценивание, блочно-модульной технологией, широко применяю технологию опорных сигналов В.Ф. Шаталова, проблемное обучение М.И. Махмутовой.

Однако с изменением социально-экономических условий требуется принципиально иной тип личности, поэтому объяснительно-иллюстративную технологию пришлось заменить новыми технологиями развивающего обучения Д.Б. Эльконина, В.В. Давыдова и Л.В. Занкова. Убеждена, что технология развивающего обучения обеспечивает мотивированное включение школьников в познавательную деятельность с целью самостоятельного «добывания» знаний.

Степень новизны

Многие крупные математики полагают, что некоторые лица обладают специфическими творческими задатками и что их успех в той или иной области деятельности зависит именно от их наличия. Известно, что талант, одаренность, скажем в области математики, физического эксперимента, конструирования новых приборов даны от природы не всем. Никакой упорный труд не может заменить эту природную одаренность. Он дает действительно ценные плоды в науке лишь в соединении с одаренностью, как, конечно, и одаренность окажется бесплодной без упорного и содержательного труда. Система развивающего обучения призвана передавать школьникам опыт творческого мышления, творческой поисковой деятельности по решению задач.

Новизна опыта заключается в том, что преподавание математики направлено на расширение и углубление знаний и развитие гибкости мыслительного процесса, стремление к своеобразной экономии умственных усилий – к изяществу решений, а так же позволяет использовать различные формы проведения уроков.

Технология опыта

Цель опыта - формирование устойчивого интереса к предметам математического цикла, повышение качества знаний учащихся.

Достижение обозначенной цели предполагает решение мной следующих задач:

• углубить знания по изучаемым предметам;
• развивать интеллектуальные способности учащихся;
• развивать творческую инициативу личности;
• способствовать развитию познавательного интереса к предмету;
• развивать исследовательскую деятельность учащихся.

Организация учебно-воспитательного процесса

Для выполнения поставленных целей и задач на каждом уроке использую разнообразные формы и методы организации работы учащихся, позволяющих раскрыть содержание их субъективного опыта относительно предложенной темы.

Степень развитости ученика измеряется и оценивается его способностью самостоятельно приобретать новые знания, использовать в учебной и практической деятельности уже полученные знания. Обучение не может протекать успешно, если не ставится задача вооружения школьников системой умений и навыков учебного труда. Обучение учащихся я строю по формуле:

«овладение = усвоение + применение знаний на практике».

Эта формула в полном объеме реализуется в процессе восприятия,
осмысления, запоминания, применения, обобщения и систематизации.

При отсутствии должной доли самостоятельности знания запоминаются учащимися механически, они не обнаруживают того многообразия связей, которое должно быть усвоено для достижения высокого уровня системности знаний.

В этом случае я применяю обучающие самостоятельные работы.

Под обучающими работами понимаются задания, в которых новый материал изучается самими учащимися до объяснения учителем ( I тип).

Урок, на котором я провожу обучающие работы, состоит из следующих частей:

1. вводной беседы, основное назначение которой повторение материала, необходимого для выполнения обучающего задания;
2. выполнения задания;
3. обобщающей беседы, во время которой исправляются ошибки допущенные учащимися.

II тип самостоятельной работы (новые знания сообщаются целенаправленной системой упражнений).

Например: При выводе формулы сокращенного умножения я даю серию упражнений:

(a – b) (a + b) = (m + n) (m – n) =

(x – y) (x + y) = (p – q) (p + q) =

(a – b) (a + b) = a2 – b2

На уроках геометрии я часто использую аналогию сравнения, интуицию.

Аналогия часто позволяет «открывать» свойства фигур.

Интуиция помогает находить способ решения проблемы и т.д.

Работая по технологии развивающего обучения, я пришла к выводу, что на уроках геометрии хорошо усваивается материал по следующей методике работы с теоремами.

Все это требует времени. Поэтому, чтобы избежать значительных затрат времени, я применяю эту методику тогда, когда имеются предпосылки, связанные с содержанием материала и когда имеется резерв времени.

Резерв времени я получаю только тогда, когда использую технологию укрупнения дидактических единиц. Этот прием хорош, но за ним должен идти математический тренажер по изученной теме (математический тренажер может проходить в различной форме: решение номеров из учебника, карточки, дидактический материал) с последующей самостоятельной работой с включенными номерами развивающего обучения.

При организации самостоятельной работы я продумываю систему предварительных упражнений для учащихся, облегчающих выполнение каждого задания, включая и указания для самоконтроля: подбираю такую систему упражнений, чтобы первые из них подготавливали учащихся к выполнению следующих; подбираю примеры, позволяющие найти ошибки и их исправить; продумываю такие упражнения, при выполнении которых учащимся необходимо было бы перестроить мысли с прямого хода на обратный; предлагаю школьникам задания на установление рационального способа решения.

Всякий раз, предлагая то или иное задание для самостоятельной работы, определяю степень самостоятельности учащихся, продолжительность этой работы, формы и методы ее проведения, характер руководства и проверки этой работы. Перечисленные компоненты определяются характером изучаемого материала и уровнем подготовленности учащихся к самостоятельной работе.

Для отработки прочных навыков по предмету использую технологию дифференцированного обучения и разноуровневый подход.

Формы, методы и средства учебно-воспитательной работы

Из многолетнего опыта работы я убедилась, что решение математических задач лишь тогда будет развивать творческую инициативу, совершенствовать и поднимать на новый качественный уровень способности, когда деятельность учащихся мотивируется живым детским интересом, когда ее результаты, выраженные символами, знаками, образами или моделями, личностно и общественно значимы для ребенка, вызывают у него потребность общения с товарищами, чувство удивления, восторга, когда сам процесс поиска решения задачи одухотворяет личность, возвышает ее.

Большие возможности для развития творческой инициативы учащихся заложены в задачах, имеющих несколько различных способов решения. Поиск альтернативных решений сопряжен с разрушением стереотипов мышления, преодолением шаблонности в организации умственной деятельности, развитием таких ее качеств, как критичность, гибкость, самостоятельность и, следовательно, по всей своей сути формирует творческую направленность личности. Сама возможность существования других способов решения подталкивает ребенка к поиску, создание благоприятных условий к самоутверждению, к самовыражению. (Приложение №1)

Необычное (нестандартное) решение стандартных задач напрямую связано с работой творческого воображения, фантазии. Красивое решение невозможно без активного участия эмоциональной сферы человеческой психики (установок, ожиданий, переживаний и т.п.). Рациональное решение невозможно без мысленного перебора альтернатив каждого шага построения, преобразования и рассуждения. Упражнения учащихся в поисках таких решений и есть один из действенных способов привития им вкуса, потребности к творческой деятельности. И поэтому на уроке нужно стремиться не за количеством, а за качеством решения задач. Элементы творчества проявляются не только при решении задач, но и при придумывании задачи.

Самостоятельное составление задач – есть убедительное свидетельство глубины познавательного интереса учащихся, проявление стремления обучаемых к творческой деятельности. Разумеется, наивно полагать, что такое стремление может развиться само собой в процессе овладения учебным материалом, без какой-либо дополнительной работы учителя. Напротив, практика показывает, что лишь при целенаправленном обучении детей простейшим способам или приемам составления задач можно сформировать у них необходимые качества. К таким приемам относятся составление задач по аналогии с только что решенной или заданной, составление задач по изображению, табличным данным, заданным ответам и т.д.

Этой проблеме я уделяю постоянное внимание, начиная с 5 класса.
Я предлагаю учащимся различные творческие задания, для привития интереса к математике и развития математического кругозора. Это задания на составление задач по образцу, геометрические задания, сообщения из истории математики, мини-сочинения и т.д. (Приложение№ 2)

С первых этапов обучения в старшей школе учащиеся учатся работать с различной литературой. Затем с годами задания усложняются и уже в старших классах учащиеся работают над проектами по различным темам.(Приложение№ 3)

Творческая инициатива школьников проявляется и в деятельности, связанной со всевозможными построениями геометрических фигур, различными преобразованиями, проведением простейших исследований.

Различные геометрические построения в известном смысле схожи с рисованием, графикой, которая формируется и направляется не только логическими структурами интеллекта, но и воображением, фантазией, чувством красоты, гармонии. Она непосредственно опирается на творческое начало ребенка в тех случаях, когда формулировки учебных заданий предполагают определенную свободу действий, когда мысль не только сковывается жесткими решениями начальных условий, а напротив, имеет возможность саморазвития.

Удавшееся построение приносит удовлетворение ребенку, становится предметом гордости. Здесь с учащимися я использую информационно-коммуникационные технологии.

В отличие от обычных технических средств обучения ИКТ позволяют не только насытить обучающегося большим количеством готовых, строго отобранных, соответствующим образом организованных знаний, но и развивать интеллектуальные, творческие способности учащихся, их умение самостоятельно приобретать новые знания, работать с различными источниками информации. Использование ИКТ на уроках математики позволит интенсифицировать деятельность учителя и школьника; повысить качество обучения предмету; отразить существенные стороны математических объектов, зримо воплотив в жизнь принцип наглядности; выдвинуть на передний план наиболее важные (с точки зрения учебных целей и задач) характеристики изучаемых объектов. (Приложение №4)

Век компьютерных технологий набирает обороты и уже, пожалуй, нет ни одной области человеческой деятельности, где она не нашла бы свое применение. Педагогические технологии не остались в стороне от всеобщего процесса компьютеризации. Поэтому, я считаю, что использование информационных и коммуникационных технологий (ИКТ) в учебном процессе является актуальной проблемой современного школьного образования. По данным исследований, в памяти человека остается 1/4 часть услышанного материала, 1/3 часть увиденного, 1/2 часть увиденного и услышанного, 3/4 части материала, если ученик привлечен в активные действия в процессе обучения. Компьютер позволяет создать условия для повышения процесса обучения: совершенствование содержания, методов и организационных форм.

Компьютер может использоваться на всех этапах процесса обучения: при объяснении нового материала, закреплении, повторении, контроле. Для ученика он выполняет различные функции: учителя, рабочего инструмента, объекта обучения и поиска дополнительного материала по многим темам нашей программы (использование Интернета).

На этапе объяснения нового материала наиболее эффективным является учебный тип деятельности. Воздействие учебного материала на учащихся во многом зависит от степени и уровня иллюстративности устного материала. Визуальная насыщенность учебного материала делает его ярким, убедительным, способствует лучшему его усвоению и запоминанию. При изучении новой темы можно провести урок-лекцию с применением компьютерных презентаций, позволяющих акцентировать внимание учащихся на значимых моментах излагаемой информации. Объяснение темы урока сопровождается демонстрацией слайда, на котором дана тема урока и план изучения темы. Затем идёт объяснение темы по плану, ученики делают необходимые записи. После объяснения темы ученики решают устные упражнения, затем решают в тетрадях задания более сложные. Все предлагаемые задания также представлены на слайдах.

Особенностью применения компьютерных презентаций является наличие автоматического контроля и ограничения времени демонстрации слайд-шоу, сочетание устного лекционного материала с демонстрацией слайд-шоу позволяет концентрировать визуальное внимание учащихся на особо значимых моментах учебного материала.

Материал для получения новых знаний учащимися беру, используя CD-диски «Уроки алгебры» Кирилла и Мефодия для 9-11 классов, «Виртуальная школа» 10-11 классы, «Алгебра» Современный учебный методический комплекс» 7-9 классы и другие.

При контроле используются тесты. Возможны две формы организации тестов, которые условно можно назвать “выбери ответ из предлагаемых вариантов” и “напиши правильный ответ”.

В качестве домашнего задания учащимся предлагается найти информацию об ученых-математиках, математических величинах, изучить какие-то факты, разделы, темы и составить мультимедийную презентацию. Созданная учащимися презентация - творческая работа, в которой сочетаются текстовая информация и графические изображения, звуковые эффекты, часть материала переносится в формат гиперссылок. Учащимися при этом используется программа Power Point из пакета программ Microsoft Office.(Приложение№5)

ИКТ успешно применяется и во внеурочной деятельности школьников. (Приложение №6)

Исследовательская деятельность в любой области человеческого познания является творческой по самой своей сути. Сопровождаясь анализом частных явлений, закономерностей или событий, выдвижением гипотез, поиском путей их доказательства или опровержения, она ведет к установлению новых истин, к расширению знаний, представлений об окружающем мире, к познанию объективной реальности.

Использование исследовательских заданий в учебном познании благотворно влияет на развитие личности ученика, формирование внутренних мотивов учения, устойчивого интереса к изучаемому предмету. Исследовательские задания могут выполняться как отдельными учениками, так и небольшими группами учащихся. Они могут быть связаны с изучением условий построения тех или иных геометрических фигур, возможностей их взаимного расположения, с выявлением свойств, закономерностей, различных способов решения и т.п.

Мне пришлось более подробно разработать изучение темы «Модуль числа» в 6 классе. Эта тема часто воспринимается как «проходная», необходимая только для введения правил арифметических действий с рациональными числами». Вместе с тем глубокое понимание этой темы совершенно необходимо для построения системы знаний о рациональных числах, осознанного решения уравнений и – в перспективе – неравенств, содержащих модуль, работы с параметрами.

Наиболее трудной и важной частью этой темы являлось решение уравнений с параметром. После введения понятия о параметре вводилось понятие контрольного значения параметра. Решались самые простые уравнения с параметром: ах = 5; mx = 10

bx = – 3; ax = 0 и т.д.

При этом обязательно подчеркивалось, что контрольными значениями параметра являются те значения, при которых коэффициент при х обращается в 0. Рассматривались все случаи. Например. При решении уравнения
ах = 5 указывалось, что если а 0, то х = 5 : а,

если а = 0, то нет корней.

Затем переходим к более сложным уравнениям:

(а – 2) х = 1, 3х + 1 = а,

а (х – 1) = 1, 5 + х = ах, и так далее.

При решении уравнения 3х + 1 = а рассуждали и запись велась следующим образом: 3х = а – 1,

3 0, значит,

х = при любом а.

Ответ: при любом а х =

Данная тема развивает у учащихся умение анализировать полученное решение, позволяет показать, что уравнение может и не иметь корней или иметь посторонние корни (уравнения с модулем). Эти наблюдения существенно расширяют представления учащихся об уравнении.

На последнюю тему «Координаты на плоскости» отводится 11 часов.

Эстетический потенциал школьной математики как раз проявляется при изучении этой темы в так называемых красивых заданиях на координатной плоскости, практикуемый главным образом в 6 классах. Они вызывают большой интерес у детей, прежде всего потому, что просты по форме и разнообразны по внешнему выражению, ведь на рисунках в координатах могут быть изображены не только отдельные объекты, но даже целые сюжеты. Такие задания пробуждают фантазию учеников, заставляют воочию увидеть связь красоты и математики, непосредственно соприкоснуться с миром прекрасного прямо на уроке, в процессе выполнения учебно-познавательных заданий. На уроках кроме решения основной дидактической цели: умения определять координаты точек на плоскости и умения строить точки по их координатам с успехом решались при опережающем ознакомлении школьников с геометрическими преобразованиями, с элементарными преобразованиями графиков функций, с некоторыми вопросами аналитической геометрии. По многим темам учащиеся выполняют творческие работы. Организация творческих работ позволяет существенно повысить мотивацию изучения математики.

В старшей школе я использую лекционно-практическую систему обучения, что, несомненно, является важным этапом для успешной адаптации к обучению в вузе. Излагая материал блоками, можно достичь гораздо лучших результатов, чем при параграфном изложении этих тем. Высвобождается много времени на действительное применение изучаемой теории к решению разнообразных задач, в том числе и с экономическим содержанием, выработку самостоятельных умений и навыков учащихся. Успеху дела способствует и то, что во внимание учащихся постоянно и целиком сконцентрировано на материале всей темы и они с каждым днем все с большим интересом и пониманием участвуют в работе, особенно если все уроки по теме проводятся подряд. Хорошо и то, что на протяжении всей серии уроков повторяется самое главное из предыдущих тем, делаются обобщения. К тому же и оценивается ученик по конечному результату.

Приведу пример изучения темы «Решение тригонометрических уравнений, неравенств, систем».

Итак, на уроках-лекциях разбирается теоретический материал и показывается образцы практического применения. На уроках первичного закрепления отрабатывается базовый уровень подготовки, причем идет дифференцированная работа в сменных группах. На первых уроках учащиеся работают в смешанных группах, чтобы дети со средним уровнем обученности могли работать по образцу с детьми с высоким уровнем, а группа с низким уровнем работает непосредственно с учителем.

На последующих уроках учащиеся работают по другим группам:
I (сильные), II (средние), III (слабые).

Учащиеся I группы решают следующие задачи: а) расширение и углубление знаний, формирование умений решать задачи повышенной сложности; б) развитие устойчивого интереса к предмету, углубление представлений о роли математики в жизни, науке, технике; в) развитие умения самостоятельно работать с учебной и научно-популярной литературой.

II группа (средняя)

а) создание соответствующих условий; повторение, ликвидация пробелов, актуализация знаний для успешного изучения темы;

б) развитие и закрепление интереса к математике и учебной деятельности;

в) формирование навыков учебного труда, умений самостоятельно работать над задачей;

г) доведение учащихся до хорошего уровня усвоения знаний и способов деятельности.

III группа

а) ликвидация пробелов в знаниях и умениях;

б) развитие навыков и умений осуществлять самостоятельную деятельность по образцу и в сходных ситуациях;

в) доведение учащихся до минимального уровня усвоения знаний.

Наибольший эффект от этой работы бывает тогда, когда каждый ученик сам выбирает себе упражнения, которые помогут ему уяснить ранее ускользавшие от него положения теории и, таким образом, позволяют «наработать» недостающие умения и навыки. Для лучшей организации работы рассаживаю учащихся так, чтобы, не мешая другим, я могла одновременно оказывать помощь целой группе учащихся, которых волнует один и тот же вопрос. Следует сказать, что на этих уроках исключается списывание с доски. Конечно, мы решаем у доски трудные задачи, разбираем различные способы решения задач. Но, чтобы внимание было устойчивым, эти готовые решения тут же стираются. На таких уроках проявляется повышенный интерес к выполнению домашних заданий, разбирается каждый случай затруднений и причины, вызывающие их. Здесь добровольно могут подходить дети и брать темы для творческой самостоятельной работы. Отчет по выбранной теме заслушивается на обобщающих уроках.

Результативность опыта

В ходе работы по теме опыта регулярно отслеживались результаты. Качество знаний учащихся по математике при 100% успеваемости составляет:

Мои ученики постоянно участвуют в олимпиадах различного уровня: в школьных, межшкольных, районных. Так, в 2008 г. ученица 6 класса Варжавинова Алёна и ученица 7 класса Авдеева Екатерина заняли в межшкольной олимпиаде по математике, которая проходила на базе МОУ «Гостищевская СОШ», первые места.

На протяжении трёх лет я провожу контрольный опрос учащихся: «Нравится ли вам заниматься математикой?». Большинство учащихся отвечают положительно.

Я считаю, что идет обновление содержания школьного образования за счет расширения и углубления базового курса, развития познавательного интереса и профессиональной подготовки учащихся за счет элективных курсов и увеличения числа часов (до 6) в неделю. Все это положительно решает проблему профессионального современного образования.

Таким образом, основные результаты деятельности по решению поставленных задач свидетельствуют об эффективности осуществления
образовательного процесса. В то же время, вижу перспективу своей педагогической работы в дальнейшем развитии исследовательской деятельности обучающихся, повышающей уровень математической компетентности школьников.

Библиографический список

1. Васильева З.И. и другие. Изучение личности школьника учителем. –М.: Педагогика, 1991.
2. Кульневич С.В., Лакоцетина Т.П. Современный урок (часть 1, часть 2), – М.: издательство «Учитель», 2002.
3. Новиков А.И. К вопросу о реформе математического образования. «Математика в школе», 2000, №6.
4. Окунев А.А. Спасибо за урок, дети! – М.: Просвещение, 1988.
5. Черкасова О.В. Проблема личностно-ориентированного подхода в обучении. «Высшее образование», 1999, № 5.
6. Чубурин П.Ф. Прочные знания – основа подготовки школьников к труду.
7. Шухшунов В.А. Инновационная деятельность в российском образовании. «Высшее образование», 2000, №2.
8. Сергеева Т. Новые информационные технологии и содержание обучения. // Информатика и образование. М., - 1991. №1. С. 3-10.

Приложение к опыту

1.	Приложение №1	Примеры решения уравнений с применением некоторых оригинальных приёмов
2.	Приложение № 2	Творческие задания учащихся
3. 4. 5. 6.	Приложение№3 Приложение№4 Приложение№5 Приложение №6	Презентация учащихся 9 класса по теме «Квадратичная функция» Презентация по теме «Площади четырёхугольников». Презентация учащихся 6 класса «Старинные русские задачи» Математическая игра «Что? Где? Когда?»

ПРИЛОЖЕНИЕ№1

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕКОТОРЫХ ОРИГИНАЛЬНЫХ ПРИЕМОВ.

Решение иррациональных уравнений.

Метод подстановки.

1.Решите уравнение .

Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение

, .

Тогда,

Выполним почленное сложение обеих частей уравнения .

Имеем систему уравнений

Т.к. а + в = 4, то

Значит: 9 – x = 8 х = 1. Ответ : х = 1

2.Решите уравнение .

Введем обозначения: , ; , .

Значит:

Сложив почленно левую и правую части уравнений, имеем .

Имеем систему уравнений

а + в = 2, , , ,

.

Вернемся к системе уравнений:

, .

Решив уравнение относительно (ab), имеем ab = 9, ab = -1 (-1 посторонний корень, т.к. , .).

Данная система не имеет решений, значит, исходное уравнение также не имеет решения.

Ответ : нет решений.

Применение монотонности функции.

1. Решите уравнение :

ОДЗ : , т.к. .

Известно, что сумма возрастающих функций есть функция возрастающая.

Левая часть представляет собой возрастающую функцию. Правая часть – линейная функция (к=0). Графическая интерпретация подсказывает, что корень единственный. Найдем его подбором, имеем х = 1.

Доказательство:

Предположим имеется корень х1, больший 1, тогда выполняется

, т.к. х1 >1,

,

,

.

.Делаем вывод, что корней больших единицы нет.

Аналогично, можно доказать, что нет корней, меньших единицы.

Значит x=1 – единственный корень.

Ответ: x = 1.

2. Решите уравнение:

ОДЗ: [ 0,5 ; + ), т.к. т.е. .

Преобразуем уравнение ,

,

.

Левая часть представляет собой возрастающую функцию ( произведение возрастающих функций ), правая часть – линейная функция ( к = 0). Геометрическая интерпретация показывает, что исходное уравнение должно иметь единственный корень, который можно найти подбором, х = 7.

Проверка:

Можно доказать, что других корней нет( см. пример выше).

ПРИЛОЖЕНИЕ №2

МОУ «Кривцовская средняя общеобразовательная школа

Яковлевского района Белгородской области»

«Математические сказания…»

Выполнили работы учащиеся

математического кружка.

Учитель: Авдеева Г.А.

Сказание о множествах

В некотором царстве, в некотором государстве под названием « Математика» проживали разные люди. Особым уважением пользовался господин N,

имеющий полную фамилию Натуральный. Было у него много детей с

интересными именами: Один, Два, Три и так далее. Первых детей господин N еще знал, но их было так много, что всех их запомнить он не мог. Для удобства он указывал своих детей следующим образом: N= {1, 2, 3, 4……}. С помощью своих детей он ласково называл еще их элементами, господин N пересчитывал, приумножая свое благосостояние. Все результаты снова становились его элементами.

Жили они спокойно, радуясь своей жизни. Но вот однажды к нему приехал

купец и попросил подсчитать долг, который у него требовали. Есть у купца

семь лошадей, а отдать надо восемь. Как это сделать, купец не знает. Почесал затылок N, посмотрел на своих детей, нашел среди них 7 и 8 и указал

следующую позицию: 7-8=? Вот вопрос? Нет среди его детей результата.

Удивился господин N и пошел на поклон к государю Математики. Выслушал государь и приказал присоединить к N элементы с противоположными знаками, добавив O на всякий случай. Это множество назвали Z, полная фамилия «Целый». Чтобы увидеть все свои элементы, Z указывал их так: Z=„ ……. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3….” Сколько их было всего Z так и не знал, хотя пытался сосчитать. Помог Z решить купцу проблему с долгом. Пошла слава о господине Z по всему царству. Каждый стремился не только приумножать свое богатство, но и отнимать его у других. Случались и войны, но в основном пытались решать проблему мирно. Разбогатели жители и принялись делить богатство, а результат не всегда целый, что делать? Как быть? Позвали на помощь государя Математику. Выслушал он их и решил проблему рациональным способом. Все элементы стали обозначать и присвоили фамилию Q – рациональный. Кто попадал в «дроби», тяжело вздыхал и записывал деление в виде дроби. А кто-то счастливо улыбался и записывал деление целым или натуральным. Государь Математика повелел свое государство изобразить в виде кругов, а помог ему ученый ЭЙЛЕР.

История государства на этом не заканчивается. Но об этом в следующий раз.

Монолог о числах

Где это видано, где это слыхано, чтобы числа спорили друг с другом.

Оказывается, спорили, да еще как. Спорили натуральные числа с

отрицательными. Натуральные числа важно шагали по числовой прямой,

кивали головой друг другу, охотно уступая место друг другу. При этом они подчеркивали, что для каждого из них есть своя точка на прямой.

Все точки расположились на свои места. «Очень удобно», - говорили они,- «Находиться» на одинаковом расстоянии друг от друга. Смотреть достаточно в

одну сторону. Нас так много, что не видно самого последнего. Любит нас люди,

т.к. с нами складывается и приумножается благосостояние всегда. Отнимать мы, конечно, можем, добавляли они, но в разумных мерах. Отрицательные числа слушали их и удивлялись их ограниченности. Посмотрите на нас, разведите

руками. Это все мы, а вы среди нас. Нас больше.

Мы точно живые на прямой, и у каждого из нас есть на ней свое место. Есть

среди нас особое число O, разделяющее числа на прямой. Повернувшись из

него вправо, можно увидеть натуральные, а повернувшись влево, - им противоположные. Все вместе мы целые числа. Жалко, что до сих пор мы так

и не увидели крайних чисел на прямой. Поспорив друг с другом, они взялись парами. Пары были не простые, а противоположные числа. Но вот чудо, как

только они взялись за руки, они исчезли, а вместо них появились нули:- а+а=0. Улыбнувшись друг другу, они разбежались на прямой и уселись на свои места.

Треугольник

Есть фигура в геометрии под названием «Треугольник». Познакомились мы с

ней. Есть в ней три угла, три стороны. Удивительно, какие только не бывают треугольники, а все из-за углов и сторон. Какие-то непостоянные они. Вообще-то есть одно постоянство: сумма углов у них всегда 1800.Каждый из углов пытается взять себе побольше, а остальное оставить двум другим углам. В зависимости от дележа 1800 они получают себе имена:

•Остроугольный треугольник

Треугольник колючий, все углы острые. Каждый угол от 00 до900.

•Тупоугольный треугольник

Жадный треугольник, один из углов тупой, ограниченный от 900 до 1800.

Совсем мало оставил двум другим углам. Даже сумма их от 00 до 900.

Обижаются они на своего собрата, но сделать ничего не могут. Так и

проживают они вместе.

•Прямоугольный треугольник

Особый треугольник, значимый. Один угол у него 900,и это придает

треугольнику особое место в геометрии. С ним чаще, чем с другими.

встречаются. Большую известность он приобрел после встречи с Пифагором.

Дети шутят над ним: «Пифагоровы штаны во все стороны равны» Однако

прямоугольный треугольник не обижается. «Шутят, значит - любят»,-

говорит он. Однажды после дележа градусов двум углам досталось поровну. Смотрят они друг на друга довольные и придумали треугольнику красивое

название «Равнобедренный» « Бедрами» называют стороны, которые смотрят на равные углы. Чтобы не было обидно треугольникам, они могут быть

остроугольные, прямоугольные, тупоугольные.

Есть среди треугольников один, который рассудил правильно. Не надо брать

больше себе, чем другим. Пусть всем будет одинаково по 600. Не только все

углы одинаковые, но и стороны равные. Поэтому этот треугольник называют равносторонним, правильным.

Какие они все разные треугольники, но есть общее название « Ключевая

фигура». Неспроста дали такое имя. Является треугольник « Ключом» решения многих задач. За это любят треугольник дети, знают о нем больше, чем о

других фигурах.

Ода треугольнику

Есть фигура в геометрии

Очень даже всем заметная,

Мы ее увидим тут

Треугольником зовут

Трехсторонняя она:

Три сторонки, три угла.

Каждый из углов старается,

И побольше стать пытается.

Остальным двум – так и быть-

Что осталось поделить

Поделили – вот те на!- Получились имена!

Стал один остроугольным,

Вечно, чем-то недовольным

Он колючий, словно ёж:

«Тронь меня-дыру проткнешь!».

Дальше следует другой,

Очень Жадный и тупой,

Ограниченный и злой,

Он доволен лишь собой

Живет он в полной независимости

От 900 до 1800–ти!

Остальные два угла

Обобрал он догола…

Их узнаешь очень просто

От 00 до 900

Обижаются они

И в слезах проводят дни.

Сделать ничего не могут

И худеют понемногу…

Прямоугольный треугольник

Фигура особая и для черчения удобная

Его узнать гораздо просто

Один угол - 900

Вот так и живут треугольники:

Остроугольные,

Прямоугольные,

Тупоугольные.

Все они такие разные

Треугольники прекрасные

Много лет фигуры эти

Знают все на свете дети.

Параллелограмм

Пришел на телевидение Параллелограмм и предложил показать фокусы.

Удивились на Ц.Т, что может показать интересного какое-то четырехугольник?

Не смутила Параллелограмма такая встреча. Упрямства и упорства в

достижении своей цели ему не занимать. Настаивает на открытии своей

передачи « Чудеса фигуры». Посоветовавшись с Л. Якубовичем, на Ц.Т. решили сделать премьеру. Запустили рекламу, и через некоторое время на экране телевизоров появился Параллелограмм:

Представился, поклонившись зрителям. Стороны меня противоположные параллельные, а как следствия сего:

А где же фокусы? – Заволновались зрители.

Смотрите, как выпрямляется фигура и становится Прямоугольником – отвечает параллелограмм

- Постой, постой Параллелограмм!

Ведь все опять как у тебя?!

- Внимательнее надо быть. У прямоугольника диагонали равны, а у меня – разные!!!

- Это все фокусы?

- Конечно, нет. Смотрите дальше, как изменяются мои стороны. Они становятся равными. Теперь я называюсь Ромбом.

Посмотрите на диагонали, на угол между ними. Он стал прямым. И это еще не

все. Диагонали- биссектрисы углов.

- Удивительные изменения! Не ожидали мы такого увидеть! - кричали зрители

Довольный Параллелограмм продолжал свои фокусы. А теперь смотрите мой последний фокус, и выпрямляет Ромб. Он на глазах зрителей превращается в

другую фигуру, которую назвали Квадратом. Потом Параллелограмм

обращается к Прямоугольнику и советует ему изменить стороны, сделать их равными.

На глазах телезрителей Прямоугольник превращается в Квадрат

В заключение передачи Параллелограмм выстроил всех по следующей схеме.

Я, Параллелограмм, отец семейства и передаю свое наследство детям: Прямоугольнику и Квадрату и общему внуку Квадратику.

Квадрат, соединивший в себе все свойства, считается правильным четырехугольником, хранителем наследства. Передача поправилась всем, и

многие высказали пожелание дальнейших встреч с Параллелограммом.

Ода Математике

Славься, царица наук, что наш разум весьма обостряешь,

Ты в море чисел холодных уверенно путь пролагаешь.

Кто, как не ты, указываешь нам путь, к благоденствию приводит?

Счастье тому, кто, освоив тебя, до всего сам доходит!

Всякий, познавший тебя, не умрет в нищете и пороке,

Средь мудрецов и философов не прослывёт одиноким.

Горе невежде заблудшему – в бедности век коротает,

В детстве наук не познав, сам себя корки хлебной лишает.

Стоит пенять на судьбу, свою жизнь проклиная доколе,

Если ленился и часто уроки прогуливал в школе?

Цифр науку узрев, и в душе озарение настанет,

В разум великий войдёшь, и хитрец никакой не обманет!